Как найти площадь основания пирамиды

29.08.202229.08.2022 admin 0 Комментариев

Как найти площадь основания пирамиды

Площадь основания пирамиды

Основание правильной пирамиды является правильный многоугольник — равносторонний треугольник, квадрат. Основанием пирамиды называют ту фигуру, над которой расположена вершина пирамиды.То есть это та грань пирамиды, которая не включает в себя ее вершину. Площадь основания пирамиды — это площадь этой плоской фигуры.

Площадь основания правильной пирамиды

Правильная пирамида может быть трех видов:

Соответственно у правильной треугольной пирамида основание — равносторонний треугольник. У правильной четырехугольной пирамиды основание — квадрат. В основании шестиугольной правильной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Приведем формулы для нахождения площади основания пирамиды:

Площадь основания правильной треугольной пирамиды

В основании равносторонний треугольник — находим его площадь:

, где — сторона треугольника.

Основание треугольной пирамиды

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, площадь квадрата:

, где — сторона квадрата.

Основание четырехугольной пирамиды

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды

Это площадь правильного шестиугольника. Если известна сторона шестиугольника, то площадь правильного шестиугольника находится по формуле:

Основание шестиугольной пирамиды

Площадь основания любой пирамиды

Площадь основания любой пирамиды — это площадь ее основания.

Если в основании пирамиды треугольник, то формулы для нахождения площади любого треугольника вы можете посмотреть в статье «Площадь треугольника».

В основании пирамиды может лежать любой прямоугольник, любой многоугольник. Обычно в школьных задачах, в основании пирамиды часто лежит треугольник, редко прямоугольник. Задачи, в которых в основании пирамиды лежит пятиугольник, семиугольник или произвольных многоугольник, практически не встречаются. Хотя их можно увидеть в олимпиадных задачах.

Теперь давайте решим несколько задач для нахождения площади основания пирамиды

Примеры решения задач

Задача 1

Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, в основании равносторонний треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: . Нам дана сторона , тогда

Ответ:

Задача 2

Теперь подсчитаем, сколько нам понадобится досок: .

Задача 3

Основанием пирамиды является прямоугольный равнобедренный треугольник, с катетом, равным 4. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: иными словами — нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то один из катетов будет основанием треугольника, а другой — высотой. Определяем площадь по формуле:

Источник

Площадь основания пирамиды: формулы для треугольных и четырехугольных правильных фигур

Вычисление площадей фигур является одной из приоритетных задач геометрии на плоскости и в пространстве. В данной статье рассмотрим объемную фигуру пирамиду. И покажем, какие формулы площади основания пирамиды следует применять для вычисления этой величины.

Что представляет собой пирамида?

Ответ на этот вопрос не столь очевиден, как многим может показаться. Когда люди слышат слово «пирамида», то в их воображении всплывает великое каменное сооружение египетских фараонов. Однако это лишь частный случай фигур этого класса.

Вам будет интересно: Образ русской женщины в классической литературе

Здесь изображен набор самых разных пирамид. Верхняя левая называется треугольной, поскольку ее основание является треугольником. Нижняя правая пирамида называется двадцатиугольной.

Правильные и неправильные фигуры

Мы выяснили, что такое основание фигуры. Тем не менее, до того как начать обсуждение формулы площади основания пирамиды, следует дать определение правильных и неправильных фигур этого класса.

Выше было упомянуто о вершине пирамиды. Она соответствует точке, где пересекаются все треугольные боковые грани фигуры. Если из вершины опустить перпендикуляр к основанию, то длина полученного отрезка будет соответствовать расстоянию от вершины до основания. Этот отрезок называется высотой фигуры.

Если высота пересекает многоугольник в его геометрическом центре, то пирамида называется прямой. Если основанием прямой пирамиды будет многоугольник, имеющий стороны одинаковой длины и равные между собой углы, то пирамида называется правильной. Соответственно, если какое-либо из названных условий не выполняется, то говорят о неправильной пирамиде.

Согласно описанной классификации, пирамида Хеопса является правильной четырехугольной, имеющей в основании квадрат.

Площадь основания правильной пирамиды

Если n-угольник является правильным, то формула площади основания пирамиды будет универсальной. Запишем ее:

Пирамида треугольная правильная

Равносторонний треугольник является основанием правильной пирамиды треугольной. Площадь основания ее можно определить, если применить записанную в пункте выше формулу для Sn. Учитывая, что n = 3, получаем:

S3 = n/4*a2*ctg(pi/n) = 3/4*a2*ctg(pi/3) = √3/4*a2

Зная длину основания a, можно рассчитать соответствующую площадь.

Любопытно отметить, что в треугольной пирамиде, которую часто называют тетраэдром, все четыре стороны являются треугольниками. В правильной фигуре в общем случае только одна из сторон представляет собой равносторонний треугольник (основание). Остальные грани являются треугольниками равнобедренными.

Четырехугольная пирамида правильная

Пожалуй, она является самой знаменитой среди класса пирамид. Формула для площади основания пирамиды четырехугольной правильной известна школьнику уже в начальных классах, поскольку речь идет о площади квадрата. Следуя общему подходу, воспользуемся выражением для Sn. Подставляя n = 4, получаем:

S4 = 4/4*a2*ctg(pi/4) = a2

Например, найдем площадь основания четырехугольной пирамиды Хеопса. Длина стороны ее основания составляет приблизительно 230 метров. Это означает, что соответствующая площадь равна 52,9 тыс. м2, что больше площади 10 футбольных полей.

Источник

Пирамида

Определение

Треугольники $PA_1A_2, \ PA_2A_3$ и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки $PA_1, PA_2$ и т.д. – боковыми ребрами, многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5$ – основанием, точка $P$ – вершиной.

Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий:

$(a)$ боковые ребра пирамиды равны;

$(b)$ высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;

$(c)$ боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

$(d)$ боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.

Теорема

Условия $(a), (b), (c), (d)$ эквивалентны.

Доказательство

Следствие

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

Определение

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.

Важные замечания

1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).

3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).

4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.

Определение

Пирамида называется прямоугольной, если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Важные замечания

1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть $SR$ – высота.

2. Т.к. $SR$ перпендикулярно любой прямой из основания, то $\triangle SRM, \triangle SRP$ – прямоугольные треугольники.

3. Треугольники $\triangle SRN, \triangle SRK$ – тоже прямоугольные.
То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным.

Теорема

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: \[V_<\text<пирамиды>>=\dfrac13 S_<\text<осн>>\cdot h\]

Следствия

Пусть $a$ – сторона основания, $h$ – высота пирамиды.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.

Определение

Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания.

Важные замечания

1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой.

Источник

Пирамида

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей :

В зависимости от многоугольника, лежащего в основании, пирамиды могут быть треугольными, четырехугольными и т.д.

У треугольной пирамиды есть еще одно название – тетраэдр (четырехгранник).

Формулы вычисления объема и площади поверхности произвольной пирамиды.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

В произвольной пирамиде боковые грани могут быть разными треугольниками, поэтому площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней, найденных по отдельности.

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник

В основании лежит четырехугольник

Прямоугольник

Трапеция

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее высота приходит в центр основания (в центр описанной окружности). Все боковые ребра правильной пирамиды равны, следовательно, все боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$- высота боковой грани (апофема)

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

Так как пирамида правильная, то в основании у нее лежит равносторонний треугольник, найдем его площадь по формуле:

Подставим все данные в формулу объема и вычислим его:

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

Источник

Треугольная пирамида и формулы для определения ее площади

О какой пирамиде пойдет речь?

Треугольная пирамида представляет собой фигуру, которую можно получить, если соединить все вершины произвольного треугольника с одной единственной точкой, не лежащей в плоскости этого треугольника. Согласно этому определению рассматриваемая пирамида должна состоять из исходного треугольника, который называется основанием фигуры, и трех боковых треугольников, которые имеют по одной общей стороне с основанием и соединены друг с другом в точке. Последняя называется вершиной пирамиды.

Вам будет интересно: Защита проекта: образец. Темы для защиты проекта. Требования к проектной работе

Рисунок выше демонстрирует произвольную треугольную пирамиду.

Рассматриваемая фигура может быть наклонной или прямой. В последнем случае перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание, должен его пересекать в геометрическом центре. Геометрическим центром любого треугольника является точка пересечения его медиан. Геометрический центр совпадает с центром масс фигуры в физике.

Если в основании прямой пирамиды будет лежать правильный (равносторонний) треугольник, то она называется правильной треугольной. В правильной пирамиде все боковые стороны равны друг другу и представляют собой равносторонние треугольники.

Если высота правильной пирамиды такова, что ее боковые треугольники становятся равносторонними, то она называется тетраэдром. В тетраэдре все четыре грани равны друг другу, поэтому каждая из них может полагаться основанием.

Элементы пирамиды

К этим элементам относятся грани или стороны фигуры, ее ребра, вершины, высота и апофемы.

Как было показано, все стороны треугольной пирамиды являются треугольниками. Их число равно 4 (3 боковых и один в основании).

Ребра можно определить, как линии пересечения двух треугольных сторон, или как линии, которые соединяют каждые две вершины. Количество ребер соответствует удвоенному числу вершин основания, то есть для треугольной пирамиды оно равно 6 (3 ребра принадлежат основанию и 3 ребра образованы боковыми гранями).

Высота, как выше было отмечено, является длиной перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к ее основанию. Если из этой вершины провести высоты к каждой из сторон треугольного основания, то они будут называться апотемами (или апофемами). Таким образом, пирамида треугольная имеет одну высоту и три апофемы. Последние равны друг другу для правильной пирамиды.

Основание пирамиды и его площадь

Поскольку основание для рассматриваемой фигуры в общем случае представляет собой треугольник, то для расчета его площади достаточно найти его высоту ho и длину стороны основания a, на которую она опущена. Формула для площади So основания имеет вид:

Если треугольник основания является равносторонним, тогда площадь основания треугольной пирамиды вычисляется по такой формуле:

То есть площадь So однозначно определяется длиной стороны a треугольного основания.

Боковая и общая площадь фигуры

Прежде чем рассматривать площадь треугольной пирамиды, полезно привести ее развертку. Она изображена на рисунке ниже.

Площадь этой развертки, образованной четырьмя треугольниками, является общей площадью пирамиды. Один из треугольников соответствует основанию, формула для рассматриваемой величины которого была записана выше. Три боковых треугольных грани в сумме образуют боковую площадь фигуры. Поэтому для определения этой величины достаточно к каждому из них применить записанную выше формулу для произвольного треугольника, а затем, сложить три полученных результата.

Если пирамида является правильной, то расчет площади боковой поверхности облегчается, поскольку все грани боковые представляют собой одинаковые равносторонние треугольники. Обозначим hb длину апотемы, тогда площадь боковой поверхности Sb можно определить так:

Эта формула следует из общего выражения для площади треугольника. Цифра 3 появилась в числители из-за того, что пирамида имеет три боковых грани.

Апотему hb в правильной пирамиде можно вычислить, если известна высота фигуры h. Применяя теорему Пифагора, получаем:

Очевидно, что общая площадь S поверхности фигуры равна сумме ее площадей боковой поверхности и основания:

Для правильной пирамиды, подставляя все известные величины, получаем формулу:

S = √3/4*a2 + 3/2*a*√(h2 + a2/12)

Площадь пирамиды треугольной зависит только от длины стороны ее основания и от высоты.

Пример задачи

Известно, что боковое ребро треугольной пирамиды равно 7 см, а сторона основания составляет 5 см. Необходимо найти площадь поверхности фигуры, если известно, что пирамида является правильной.

Воспользуемся равенством общего вида:

Площадь So равна:

So = √3/4*a2 = √3/4*52 ≈ 10,825 см2.

Для определения площади боковой поверхности, необходимо найти апотему. Не сложно показать, что через длину бокового ребра ab она определяется по формуле:

Тогда площадь Sb равна:

Sb = 3/2*a*hb = 3/2*5*6,538 = 49,035 см2.

Общая площадь пирамиды составляет:

S = So + Sb = 10,825 + 49,035 = 59,86 см2.

Заметим, что при решении задачи мы не использовали в расчетах значение высоты пирамиды.

Источник

Общая формула площади основания пирамиды правильной: формулы для треугольного и четырехугольного правильного основания

Фигура пирамида с точки зрения геометрии состоит из различных элементов и описывается с помощью разных величин, например, длины ребер или высоты. Одной из важных характеристик этого класса фигур является площадь основания. В данной статье содержится ответ на вопрос, с помощью каких формул площадь основания пирамиды можно посчитать.

Пирамида как геометрическая фигура

Каркас из ребер пирамиды легко получить, если представить себе плоский многоугольник, вершины которого соединены отрезками с единственной пространственной точкой. Последняя не должна находиться в плоскости многоугольника. Эта точка является главной вершиной фигуры. Помимо нее, пирамида имеет еще n вершин, которые принадлежат основанию.

Основными линейными параметрами любой пирамиды являются длины ее ребер и высота. Сами ребра бывают двух типов: те, которые относятся к основанию, и те, что ограничивают боковые треугольные грани. Высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, который опущен на основание с главной вершины. Если он пересекает основание в его центре, то говорят о прямой пирамиде. Если прямая пирамида имеет правильное основание, например, равносторонний треугольник, то ее называют правильной фигурой. С правильными пирамидами удобно работать при расчете геометрических свойств, например, площадей и объемов.

Как вычислить площадь основания?

Ввиду описанного выше многообразия пирамид, универсальной формулы площади основания фигуры не существует. Так, если в основании находится треугольник, то следует применять соответствующее выражение для расчета его площади, если это будет основание в виде параллелограмма, то формула уже будет иметь иной вид. Иными словами, для каждого n-угольника произвольной формы необходимо провести определенный геометрический анализ, чтобы определить его площадь.

Ситуация сильно упрощается, если основанием является равносторонний и равноугольный многоугольник. Отметим, что речь идет только о правильности самого основания, а не пирамиды в целом. Имея правильное основание, она может быть наклонной.

Для правильного основания существует выражение общего характера, которое позволяет вычислить его площадь. В случае n-угольника правильного формула площади основания пирамиды имеет следующий вид:

Основание треугольной правильной пирамиды

Правильная треугольная пирамида также называется тетраэдром. Состоит она из четырех треугольников, один из которых обязательно должен быть равносторонним. Он является основанием фигуры. Чтобы записать формулу площади основания пирамиды треугольной, можно поступить двумя способами. Опишем оба.

Как известно, высота в равностороннем треугольнике является его биссектрисой и делит угол в 60 o пополам. Этот факт позволяет использовать тригонометрическую функцию, например, косинус, чтобы вычислить высоту треугольника. Обозначим ее h_a, тогда ее длина определится так:

Тогда площадь основания треугольника равностороннего запишется как произведение h_a на длину его стороны, деленное пополам:

Второй способ, который также приводит к этой формуле, заключается в простой подстановке значение n=3 в приведенную выше формулу для S_n. В таком случае получаем:

Основание четырехугольной правильной пирамиды

Типичным примером этой пирамиды являются древние каменные сооружения в Гизе, Египет. Основанием этих пирамид является квадрат. Каждый школьник знает, как рассчитать площадь квадрата, если длина его стороны известна. Соответствующая формула площади основания четырехугольной пирамиды имеет простой вид:

К этому выражению можно прийти, если подставить n=4 в равенство для S_n.

Для многих правильных оснований с n>4 нельзя точно записать формулу в том виде, в котором она записана для S₃ и S₄. Связано это с тем, что функция котангенса приводит к иррациональным числам, которые не могут быть записаны в виде конкретного корня.

Источник

Как найти площадь основания пирамиды

Здравствуйте!
Как найти площадь основания пирамиды? Буду признательна за формулы и пример.
Спасибо!

Как найти площадь основания пирамиды
В задачах часто бывает необходимым вычислить площадь поверхности пирамиды, а для этого обязательно нужно находить площадь ее основания.
Поскольку основанием пирамиды может быть любой многоугольник, необходимо уметь вычислять площадь многоугольников, которые могут быть не только трех- или четырех-, но и пяти-, шести- и т.д.
Формула для вычисления площади основания пирамиды напрямую будет зависеть от разновидности той геометрической фигуры, которая лежит в основании этой пирамиды.
То есть, первое, что нужно определить — это какая фигура лежит в основании пирамиды, а второе — выбрать подходящую формулу для вычисления площади этой фигуры.
Например, если в основании пирамиды лежит шестиугольник, то можно воспользоваться формулой:

К примеру, сторона шестиугольника равна 7 см, тогда площадь этого шестиугольник будет равна:
(кв. см).
Если же в основании пирамиды лежит квадрат со стороной 13 см, то площадь основания такой пирамиды будет:
(кв. см).
То есть формула площади основания всегда зависит от той геометрической фигуры, которая лежит в основании этой пирамиды.

Источник

Площадь шестиугольной пирамиды

Пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник, а боковые стороны образуются правильными треугольниками, называется шестиугольной.

Этот многогранник отличается множеством свойств:

Для расчета площади правильной шестиугольной пирамиды применяется стандартная формула площади боковой поверхности шестиугольной пирамиды:

где P – периметр основания, a – длина апофемы пирамиды. В большинстве случаев можно рассчитать боковую площадь по этой формуле, однако иногда можно воспользоваться и другим методом. Так как боковые грани пирамиды образованы равными треугольниками, можно найти площадь одного треугольника, а потом умножить его на количество боковых сторон. В шестиугольной пирамиде их 6. Но этот способ можно применять и при расчете площади треугольной пирамиды.Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности шестиугольной пирамиды.

Также немаловажным моментом является поиск площади основания. Формула площади основания шестиугольной пирамиды выводится из свойств правильного шестиугольника:

Формула площади шестиугольной пирамиды представляет собой сумму площади основания и боковой развертки:

Рассмотрим пример расчета площади шестиугольной пирамиды.

Источник

Площадь и высота правильной пирамиды

Свойства

Площадь основания правильной пирамиды зависит от длины стороны многоугольника и количества сторон. Поэтому, зная площадь основания, можно рассчитать длину стороны и затем все остальные параметры пирамиды. S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) a=√((4S tan⁡〖(180°)/n〗)/n) P=an=2√(nS tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, а также радиус окружности, описанной вокруг него зависят от значения площади основания в следующих пропорциях. (рис.34.1, 34.2) r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )=√nS/(2√(tan⁡〖(180°)/n〗 )) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )=√(nS tan⁡〖(180°)/n〗 )/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Внутренний угол основания, как правильного многоугольника, рассчитывается по количеству сторон фигуры. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n

Через прямоугольные треугольники, соединяющие высоту с боковым ребром и высоту с апофемой по основанию через радиусы вписанной и описанной окружностей, можно рассчитать высоту и боковое ребро, зная площадь основания. (рис.34.4, 35.1) h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-nS/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )) b=√(l^2+nS/(4 cos⁡〖(180°)/n〗 sin⁡〖(180°)/n〗 ))

Из этих же прямоугольных треугольников можно найти углы между основаниями и боковым ребром и апофемой через отношения косинуса. (рис.34.4, 34.5) cos⁡α=R/b cos⁡β=r/l

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания равна произведению периметра на половину апофемы. Площадь полной поверхности вычисляется как сумма полученного значения и площади основания. S_(б.п.)=lP/2 S_(п.п.)=lP/2+S

Чтобы найти объем пирамиды, нужно умножить площадь основания на треть высоты пирамиды. V=1/3 S_(осн.) h

Сфера, которую можно вписать в пирамиду, должна иметь радиус, равный отношению трех объемов к площади полной поверхности, которые можно вычислить через периметр и апофему пирамиды. Радиус сферы, которую можно описать вокруг пирамиды, должен быть равен квадрату боковой стороны, деленному на удвоенную высоту. (рис.34.6, 34.7) r_1=3V/S_(п.п.) R_1=b^2/2h

Источник

Формулы и свойства правильной четырехугольной пирамиды

Что собой представляет пирамида

Под пирамидой понимают геометрическую фигуру пространственную, которая получается в результате соединения всех углов многоугольника с одной точкой пространства. Рисунок ниже демонстрирует расположение линий (ребер) для четырехугольной и пятиугольной пирамид.

Многоугольная грань фигуры называется ее основанием. Точка, где все треугольные грани соединяются, называется вершиной. Для определения высоты пирамиды отмеченные элементы являются важными.

Правильная треугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида – это пирамида, у которой основанием оказывается правильный треугольник, а вершина опускается в центр основания.

Элементы правильной пирамиды

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной , четырехугольной и т.д.

Высота фигуры

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, который из ее вершины опущен на плоскость основания. Важно понимать, что из каждой вершины, принадлежащей основанию фигуры, тоже можно провести перпендикуляр к соответствующей треугольной грани, однако он высотой не будет являться. Высота пирамиды – это единственный перпендикуляр, который является одной из важных ее линейных характеристик.

Каждому школьнику известно, что любая плоская фигура обладает геометрическим центром (в физике ему соответствует центр масс). Например, геометрический центр для произвольного треугольника определяется точкой пересечения его медиан, для параллелограмма – точкой пересечения диагоналей. Если высота пирамиды пересекает ее основание в геометрическом центре, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая в основании многоугольник с одинаковыми сторонами и углами, называется правильной.

Рисунок выше показывает, чем отличается неправильная пирамида от правильной. Видно, что высота неправильной фигуры лежит за пределами ее основания, в то время как у правильной шестиугольной пирамиды высота находится внутри фигуры, пересекая ее основание в центре геометрическом.

Важными свойствами всех правильных пирамид являются следующие:

Что такое пирамида в общем случае?

В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.

Мы видим что первая фигура имеет треугольное основание, вторая – четырехугольное. Две последние представлены пяти- и шестиугольным основанием. Однако боковая поверхность всех пирамид образована треугольниками. Их число точно равно количеству сторон или вершин многоугольника в основании.

Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия:

Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре.

Объем пирамиды

Формула для нахождения объема пирамиды через площадь основания и высоту:

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Верно и обратное.

Правильная пирамида с треугольным основанием

Фигура, которая получена с использованием произвольного треугольника и точки в пространстве, будет неправильной наклонной пирамидой в общем случае. Теперь представим, что исходный треугольник имеет одинаковые стороны, а точка пространства расположена точно над его геометрическим центром на расстоянии h от плоскости треугольника. Построенная с использованием этих исходных данных пирамида будет правильной.

Очевидно, что число ребер, сторон и вершин у правильной треугольной пирамиды будет таким же, как у пирамиды, построенной из произвольного треугольника.

Однако правильная фигура обладает некоторыми отличительными чертами:

Правильная треугольная пирамида является не только чисто теоретическим геометрическим объектом. Некоторые структуры в природе имеют ее форму, например кристаллическая решетка алмаза, где атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами ковалентными связями, или молекула метана, где вершины пирамиды образованы атомами водорода.

Формулы для высоты правильной пирамиды

Существует четыре основных линейных характеристики для любой пирамиды правильной:

Все они связаны математически друг с другом. Обозначим длину стороны основания символом a, высоту — h, апофему — hb и ребро — b. Формулы, которые эти величины связывают, имеют индивидуальный вид для соответствующей n-угольной пирамиды. Например, для правильной пирамиды четырехугольной высоту можно определить по формулам:

Эти формулы следуют из теоремы Пифагора при рассмотрении соответствующих прямоугольных треугольников внутри пирамиды.

Если рассматривается фигура с треугольным основанием, тогда справедливы следующие формулы для высоты правильной пирамиды:

Источник

Как найти площадь основания пирамиды

Площадь боковой поверхности пятиугольной пирамиды равна 13. Чему будет равна площадь боковой поверхности пирамиды, если все ее ребра уменьшить в 2 раза?

Площадь боковой поверхности пирамиды равна

где P − периметр основания, а h −апофема. Поскольку все ребра уменьшились в два раза, следовательно, периметр и апофема тоже уменьшились в два раза. Следовательно, площадь боковой поверхности

Приведем другое решение.

Площадь боковой поверхности пирамиды равны сумме площадей боковых граней. Если все ребра уменьшить в два раза, то каждая боковая грань исходной пирамиды будет подобна боковой грани получившейся пирамиды с коэффициентом подобия 2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, поэтому площадь каждой грани получившейся пирамиды будет в 4 раза меньше площади соответствующей грани исходной пирамиды. Следовательно, площадь боковой поверхности получившейся пирамиды равна

Источник

Как найти s пирамиды. Как вычислить площадь пирамиды: основания, боковую и полную

Какую фигуру мы называем пирамидой? Во-первых, это многогранник. Во-вторых, в основании этого многогранника расположен произвольный многоугольник, а стороны пирамиды (боковые грани) обязательно имеют форму треугольников, сходящихся в одной общей вершине. Вот теперь, разобравшись с термином, выясним, как найти площадь поверхности пирамиды.

Понятно, что площадь поверхности такого геометрического тела составится из суммы площадей основания и всей его боковой поверхности.

Вычисление площади основания пирамиды

Выбор расчетной формулы зависит от формы лежащего в основании нашей пирамиды многоугольника. Он может быть правильным, то есть со сторонами одинаковой длины, или неправильным. Рассмотрим оба варианта.

В основании – правильный многоугольник

Из школьного курса известно:

Но существует и общая формула, для расчета площади любого правильного многоугольника (Sn): надо умножить значение периметра этого многоугольника (Р) на радиус вписанной в него окружности (r), а затем разделить полученный результат на два: Sn=1/2P*r.

В основании – неправильный многоугольник

Схема нахождения его площади заключается в том, чтобы сначала разбить весь многоугольник на треугольники, вычислить площадь каждого из них по формуле: 1/2a*h (где а – основание треугольника, h – опущенная на это основание высота), сложить все результаты.

Площадь боковой поверхности пирамиды

Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности пирамиды, т.е. сумму площадей всех ее боковых сторон. Здесь также возможны 2 варианта.

Полная площадь поверхности правильной пирамиды найдется суммированием площади ее основания с площадью всей боковой поверхности.

Примеры

Для примера вычислим алгебраически площади поверхности нескольких пирамид.

Площадь поверхности треугольной пирамиды

В основании такой пирамиды – треугольник. По формуле Sо=1/2a*h находим площадь основания. Эту же формулу применяем для нахождения площади каждой грани пирамиды, также имеющей треугольную форму, и получаем 3 площади: S1, S2 и S3. Площадь боковой поверхности пирамиды является суммой всех площадей: Sб= S1+ S2+ S3. Сложив площади боковых сторон и основания, получим полную площадь поверхности искомой пирамиды: Sп= Sо+ Sб.

Площадь поверхности четырехугольной пирамиды

– это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.

Площадь правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами. Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Дана пирамида с апофемой a = 4 см и гранью основания b = 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Для начала находим площадь одной из боковых граней. В данном случае она будет:
Подставляем значения в формулу:
Так как в правильной пирамиде все боковые стороны одинаковы, то площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей трех граней. Соответственно:

Площадь усеченной пирамиды

Усеченной пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:

Типичными геометрическими задачами на плоскости и в трехмерном пространстве являются проблемы определения площадей поверхностей разных фигур. В данной статье приведем формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды четырехугольной.

Что собой представляет пирамида?

Приведем строгое геометрическое определение пирамиды. Предположим, что имеется некоторый многоугольник с n сторонами и с n углами. Выберем произвольную точку пространства, которая не будет находиться в плоскости указанного n-угольника, и соединим ее с каждой вершиной многоугольника. Мы получим фигуру, имеющую некоторый объем, которая называется n-угольной пирамидой. Для примера покажем на рисунке ниже, как выглядит пятиугольная пирамида.

Поверхность пирамиды

Прежде чем переходить к вопросу о площади боковой поверхности правильной пирамиды четырехугольной, следует подробнее остановиться на понятии самой поверхности.

Поверхность удобно изучать на примере развертки фигуры. Развертка для правильной четырехугольной пирамиды приведена на рисунки ниже.

Видим, что площадь ее поверхности равна сумме четырех площадей одинаковых равнобедренных треугольников и площади квадрата.

Общую площадь всех треугольников, которые образуют боковые стороны фигуры, принято называть площадью боковой поверхности. Далее покажем, как ее рассчитать для четырехугольной пирамиды правильной.

Площадь боковой поверхности четырехугольной правильной пирамиды

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности указанной фигуры, снова обратимся к приведенной выше развертке. Предположим, что нам известна сторона квадратного основания. Обозначим ее символом a. Видно, что каждый из четырех одинаковых треугольников, имеет основание длиной a. Чтобы вычислить их суммарную площадь, необходимо знать эту величину для одного треугольника. Из курса геометрии известно, что треугольника площадь S t равна произведению основания на высоту, которое следует поделить пополам. То есть:

Эта формула содержит два параметра: апотему и сторону основания. Если последняя в большинстве условий задач известна, то первую приходится вычислять, зная другие величины. Приведем формулы для расчета апотемы h b для двух случаев:

Если обозначить длину ребра бокового (сторона равнобедренного треугольника) символом L, тогда апотема h b определиться по формуле:

Это выражения является результатом применения теоремы Пифагора для треугольника боковой поверхности.

Если известна высота h пирамиды, тогда апотему h b можно рассчитать так:

Покажем, как применять эти формулы, решив две интересные задачи.

Задача с известной площадью поверхности

Запишем формулу площади S b поверхности боковой через высоту. Имеем:

Чтобы найти значение a, сделаем замену переменных:

Подставляем теперь известные значения и решаем квадратное уравнение:

Мы выписали только положительный корень этого уравнения. Тогда стороны основания пирамиды будет равна:

Чтобы получить длину апотемы, достаточно воспользоваться формулой:

h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 см.

Боковая поверхность пирамиды Хеопса

Найденное значение немного больше площади 17 футбольных полей.

Прежде всего, стоит понять, что боковая поверхность пирамиды представлена несколькими треугольниками, площади которых можно найти с помощью самых различных формул, в зависимости от известных данных:

На самом деле, это лишь самые основные из известных формул для нахождения площади треугольника.

Рассчитав при помощи указанных выше формул площади всех треугольников, являющихся гранями пирамиды, можно приступить к исчислению площади данной пирамиды. Делается это предельно просто: необходимо сложить площади всех треугольников, образующих боковую поверхность пирамиды. Формулой это можно выразить так:

Для большей ясности можно рассмотреть небольшой пример: дана правильная пирамида, боковые грани которой образованы равносторонними треугольникам, а в основании ее лежит квадрат. Длина ребра данной пирамиды составляет 17 см. Требуется найти площадь боковой поверхности данной пирамиды.

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²

Известно, что в основании пирамиды лежит квадрат. Таким образом, понятно, что данных равносторонних треугольников четыре. Тогда площадь боковой поверхности пирамиды рассчитывается так:

125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды составляет 500.548 см²

Если в основании пирамиды лежит неправильный многоугольник, для вычисления площади всей фигуры сначала нужно будет разбить многоугольник на треугольники, вычислить площадь каждого, а затем сложить. В остальных же случаях, чтобы найти боковую поверхность пирамиды, нужно найти площадь каждой ее боковой грани и сложить полученные результаты. В некоторых случаях задача нахождения боковой поверхности пирамиды может быть облегчена. Если одна боковая грань перпендикулярна основанию или две смежные боковые грани перпендикулярны основанию, то основание пирамиды считается ортогональной проекцией части ее боковой поверхности, и они связаны формулами.

Чтобы завершить вычисление площади поверхности пирамиды, сложите площади боковой поверхности и основания пирамиды.

Пирамида является многогранником, имеющим основание в виде многоугольника, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, которая проведена из её вершины.

Если в основании пирамиды лежит неправильный многоугольник, то для вычисления площади всей фигуры снова придется разбивать многоугольник на треугольники, вычислять площадь каждого, а затем складывать.

Многоугольник представляет собой геометрическую фигуру, построенную путем замыкания ломаной. Различают несколько видов многоугольника, которые отличаются в зависимости от количества вершин. Вычисление площади производится для каждого вида многоугольника определенными способами.

Перемножьте длины сторон, если вам необходимо вычислить площадь квадрата или прямоугольника. Если необходимо узнать площадь прямоугольного треугольника, достройте его до прямоугольника, вычислить его площадь и разделить ее на два.

Используйте для вычисления площади следующий способ, если фигура не имеет больше 180 градусов (выпуклый многоугольник), при этом все ее вершины находятся в сетки координат, а сама себя не пересекает.
Опишите вокруг такого многоугольника прямоугольник, чтобы его стороны были параллельны линиям сетки (осям координат). При этом хотя бы одна из вершин многоугольника должна быть вершиной прямоугольника.

Периметр и площадь неправильного многоугольника вычисляются иначе. Стороны имеют разную длину. Чтобы

Коротко о главном

Площадь поверхности (2019)

Площадь поверхности призмы

Есть ли общая формула? Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Формулу можно написать для прямой призмы:

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы. Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Это уже выводили при подсчёте объёма.

Площадь поверхности пирамиды

Для пирамиды тоже действует общее правило:

Теперь давай посчитаем площадь поверхности самых популярных пирамид.

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно. Нужно найти и.

Вспомним теперь, что

Это площадь правильного треугольника.

И еще вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

Пользуясь основной формулой площади и теоремой Пифагора, находим

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е.), то формула получается такой:

Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно.

Осталось найти площадь боковой грани

Площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды.

Пусть сторона основания равна, а боковое ребро.

Как найти? Шестиугольник состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете площади поверхности правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

Ну, и площадь боковой грани мы уже искали аж два раза

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

Источник

Формула объема пирамиды

Элементы пирамиды

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон);

Боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;

Боковые ребра — общие стороны боковых граней;

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Объем пирамиды через площадь основания и высоту

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S_(ABCDEF) на высоту h (OS)

\[ \LARGE V = \frac<1> <3>\cdot S \cdot h \]

Калькулятор объема пирамиды через площадь основания и высоту

Объём усечённой пирамиды

\[ \LARGE V = \frac<1> <3>\cdot h \cdot \left( S_1 + \sqrt + S_2 \right) \]

Калькулятор объема усечённой пирамиды

Объём правильной пирамиды

Объем правильной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного многоугольника, являющегося основанием S _(ABCDEF) на высоту h _(OS)

Калькулятор объёма правильной пирамиды

Объём правильной треугольной пирамиды

Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S _(ABC) на высоту h _(OS)

Калькулятор объёма правильной треугольной пирамиды

Объём правильной четырёхугольной пирамиды

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен одной трети произведения площади квадрата, являющегося основанием S _(ABCD) на высоту h _(OS)

\[ \LARGE V = \frac<1> <3>h \cdot a^2 \]

Калькулятор объёма правильной четырёхугольной пирамиды

Объём тетраэдра

Объем тетраэдра — равен дроби в числителе которой корень квадратный из двух в знаменателе двенадцать, помноженной на куб длины ребра тетраэдра

Источник

Как найти площадь основания четырехугольной пирамиды. Как вычислить площадь пирамиды: основания, боковую и полную

Есть ли общая формула? Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Формулу можно написать для прямой призмы:

Это уже выводили при подсчёте объёма.

Площадь поверхности пирамиды

Для пирамиды тоже действует общее правило:

Теперь давай посчитаем площадь поверхности самых популярных пирамид.

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно. Нужно найти и.

Вспомним теперь, что

Это площадь правильного треугольника.

И еще вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

Пользуясь основной формулой площади и теоремой Пифагора, находим

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е.), то формула получается такой:

Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно.

Осталось найти площадь боковой грани

Площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды.

Пусть сторона основания равна, а боковое ребро.

Ну, и площадь боковой грани мы уже искали аж два раза

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Теперь самое главное.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Как? Есть два варианта:

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

Найди задачи и решай!

При подготовке к ЕГЭ по математике учащимся приходится систематизировать знания по алгебре и геометрии. Хочется объединить все известные сведения, например, о том, как вычислить площадь пирамиды. Причем начиная от основания и боковых граней до площади всей поверхности. Если с боковыми гранями ситуация ясна, так как они являются треугольниками, то основание всегда разное.

Как быть при нахождении площади основания пирамиды?

Оно может быть совершенно любой фигурой: от произвольного треугольника до n-угольника. И это основание, кроме различия в количестве углов, может являться правильной фигурой или неправильной. В интересующих школьников заданиях по ЕГЭ встречаются только задания с правильными фигурами в основании. Поэтому речь будет идти только о них.

То есть равносторонний. Тот, у которого все стороны равны и обозначены буквой «а». В этом случае площадь основания пирамиды вычисляется по формуле:

Произвольный правильный n-угольник

У стороны многоугольника то же обозначение. Для количества углов используется латинская буква n.

S = (n * а 2) / (4 * tg (180º/n)).

Как поступить при вычислении площади боковой и полной поверхности?

Поскольку в основании лежит правильная фигура, то все грани пирамиды оказываются равными. Причем каждая из них является равнобедренным треугольником, поскольку боковые ребра равны. Тогда для того, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды, потребуется формула, состоящая из суммы одинаковых одночленов. Число слагаемых определяется количеством сторон основания.

S = ½ Р*А, где Р — периметр основания пирамиды.

Бывают ситуации, когда не известны стороны основания, но даны боковые ребра (в) и плоский угол при ее вершине (α). Тогда полагается использовать такую формулу, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды:

S = n/2 * в 2 sin α.

Задача № 1

Условие. Найти общую площадь пирамиды, если в его основании лежит со стороной 4 см, а апофема имеет значение √3 см.

Задача № 2

Решение. Поскольку многогранник — четырехугольный и правильный, то в его основании лежит квадрат. Узнав площади основания и боковых граней, удастся сосчитать площадь пирамиды. Формула для квадрата дана выше. А у боковых граней известны все стороны треугольника. Поэтому можно использовать формулу Герона для вычисления их площадей.

Задача № 3

Решение. Проще всего воспользоваться формулой с произведением периметра и апофемы. Первое значение найти просто. Второе немного сложнее.

Придется вспомнить теорему Пифагора и рассмотреть Он образован высотой пирамиды и апофемой, которая является гипотенузой. Второй катет равен половине стороны квадрата, поскольку высота многогранника падает в его середину.

Искомая апофема (гипотенуза прямоугольного треугольника) равна √(3 2 + 4 2) = 5 (см).

Теперь можно вычислять искомую величину: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).

Задача № 4

Условие. Дана правильная Стороны ее основания равны 22 мм, боковые ребра — 61 мм. Чему равна площадь боковой поверхности этого многогранника?

Решение. Рассуждения в ней такие же, как были описаны в задаче №2. Только там была дана пирамида с квадратом в основании, а теперь это шестиугольник.

Теперь необходимо узнать полупериметр равнобедренного треугольника, который является боковой гранью. (22+61*2):2 = 72 см. Осталось по формуле Герона сосчитать площадь каждого такого треугольника, а потом умножить ее на шесть и сложить с той, что получилась для основания.

Перед изучением вопросов о данной геометрической фигуре и её свойствах, следует разобраться в некоторых терминах. Когда человек слышит о пирамиде, ему представляются большущие постройки в Египте. Так выглядят самые простые из них. Но они бывают разных видов и форм, а значит и формула вычисления для геометрических фигур будет разной.

В первом случае, в основании лежит правильный многоугольник. Тут все боковые поверхности равны между собой и сама фигура порадует глаз перфекциониста.

Во втором случае, оснований два — большое в самом низу и малое между вершиной, повторяющее форму основного. Иными словами – усечённая пирамида представляет собой многогранник с сечением, образованным параллельно основанию.

Термины и обозначения

Формулы площади

Находить площадь боковой поверхности пирамиды любого типа можно несколькими способами. Если фигура не симметричная и представляет собой многоугольник с разными сторонами, то в данном случае легче вычислить общую площадь поверхности через совокупность всех поверхностей. Иными словами – надо посчитать площадь каждой грани и сложить их вместе.

В зависимости от того, какие параметры известны, могут потребоваться формулы вычисления квадрата, трапеции, произвольного четырёхугольника и т.д. Сами формулы в разных случаях тоже будут иметь отличия.

В случае с правильной фигурой находить площадь намного проще. Достаточно знать всего несколько ключевых параметров. В большинстве случаев требуются вычисления именно для таких фигур. Поэтому далее будут приведены соответствующие формулы. В противном случае пришлось бы расписать всё на несколько страниц, что только запутает и собьёт с толку.

Основная формула для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды будет иметь следующий вид:

S=½ Pa (P – периметр основания, а – апофема)

Рассмотрим один из примеров. Многогранник имеет основание с отрезками A1, А2, А3, А4, А5, и все они равны 10 см. Апофема пусть будет равна 5 см. Для начала надо найти периметр. Так как все пять граней основания одинаковые, можно находить так: Р=5*10=50 см. Далее применяем основную формулу: S =½*50*5=125 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды вычислить легче всего. Формула имеет следующий вид:

S =½* ab *3, где а – апофема, b – грань основания. Множитель тройки здесь означает количество граней основания, а первая часть – площадь боковой поверхности. Рассмотрим пример. Дана фигура с апофемой 5 см и гранью основания 8 см. Вычисляем: S =1/2*5*8*3=60 см в квадрате.

Тут для начала следует найти периметры оснований: р_01 =3*4=12 см; р_02=6*4=24 см. Осталось подставить значения в основную формулу и получим: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 см в квадрате.

Таким образом, можно найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды любой сложности. Следует быть внимательным и не путать эти вычисления с полной площадью всего многогранника. А если это всё же понадобится сделать – достаточно вычислить площадь самого большого основания многогранника и прибавить её к площади боковой поверхности многогранника.

Видео

Закрепить информацию о том, как найти площадь боковой поверхности разных пирамид, вам поможет это видео.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Что собой представляет пирамида?

Поверхность пирамиды

Площадь боковой поверхности четырехугольной правильной пирамиды

Это выражения является результатом применения теоремы Пифагора для треугольника боковой поверхности.

Если известна высота h пирамиды, тогда апотему h b можно рассчитать так:

Покажем, как применять эти формулы, решив две интересные задачи.

Задача с известной площадью поверхности

Запишем формулу площади S b поверхности боковой через высоту. Имеем:

Чтобы найти значение a, сделаем замену переменных:

Подставляем теперь известные значения и решаем квадратное уравнение:

Мы выписали только положительный корень этого уравнения. Тогда стороны основания пирамиды будет равна:

Чтобы получить длину апотемы, достаточно воспользоваться формулой:

h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 см.

Боковая поверхность пирамиды Хеопса

Найденное значение немного больше площади 17 футбольных полей.

Определение

Определений пирамиды можно встретить достаточно много. Начиная еще с древних времен, она пользовалась большой популярностью.

К примеру, Эвклид определял ее как телесную фигуру, состоящую из плоскостей, которые, начиная от одной, сходятся в определенной точке.

Герон представил более точную формулировку. Он настаивал на том, что это фигура, которая имеет основание и плоскости в виде треугольников, сходящиеся в одной точке.

Опираясь на современное толкование, пирамиду представляют, как пространственный многогранник, состоящий из определённого k-угольника и k плоских фигур треугольной формы, имеющую одну общую точку.

Разберемся более подробно, из каких элементов она состоит:

Число рёбер вычисляется по формуле 2*k, где k – количество сторон k-угольника. Сколько граней у такого многогранника, как пирамида, можно определить посредством выражения k+1.

Важно! Пирамидой правильной формы называют стереометрическую фигуру, плоскость основы которой является k-угольник с равными сторонами.

Основные свойства

Правильная пирамида обладает множеством свойств, которые присущи только ей. Перечислим их:

Благодаря всем перечисленным свойствам, выполнение вычислений элементов намного упрощается. Исходя из приведенных свойств, обращаем внимание на два признака:

В основе лежит квадрат

Правильная четырёхугольная пирамида – многогранник, у которого в основе лежит квадрат.

У неё четыре боковых грани, которые по своему виду являются равнобедренными.

К примеру, если необходимо связать сторону квадрата с его диагональю, то используют следующую формулу: диагональ равна произведению стороны квадрата на корень квадратный из двух.

В основе лежит правильный треугольник

Правильная треугольная пирамида – многогранник, в основании которого лежит правильный 3-угольник.

Если основание является правильным треугольником, а боковые рёбра равны ребрам основания, то такая фигура называется тетраэдром.

Все грани тетраэдра являются равносторонними 3-угольниками. В данном случае необходимо знать некоторые моменты и не тратить на них время при вычислениях:

Сечения многогранника

В любом многограннике различают несколько видов сечения плоскостью. Зачастую в школьном курсе геометрии работают с двумя:

Осевое сечение получают при пересечении плоскостью многогранника, которая проходит через вершину, боковые рёбра и ось. В данном случае осью является высота, проведённая из вершины. Секущая плоскость ограничивается линиями пересечения со всеми гранями, в результате получаем треугольник.

Внимание! В правильной пирамиде осевым сечением является равнобедренный треугольник.

Если секущая плоскость проходит параллельно основанию, то в результате получаем второй вариант. В этом случае имеем в разрезе фигуру, подобную основе.

К примеру, если в основании лежит квадрат, то сечение параллельно основе также будет квадратом, только меньших размеров.

Для того чтобы определить высоту усеченного многогранника, необходимо провести высоту в осевом сечении, то есть в трапеции.

Площади поверхностей

Основные геометрические задачи, которые приходится решать в школьном курсе геометрии, это нахождение площадей поверхности и объема у пирамиды.

Значение площади поверхности различают двух видов:

Из самого названия понятно, о чём идёт речь. Боковая поверхность включает в себя только боковые элементы. Из этого следует, что для ее нахождения необходимо просто сложить площади боковых плоскостей, то есть площади равнобедренных 3-угольников. Попробуем вывести формулу площади боковых элементов:

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из суммы площадей боковых плоскостей и основания: Sп.п.= Sбок+Sосн.

Что касается площади основания, то здесь формула используется соответственно виду многоугольника.

Объем правильной пирамиды равен произведению площади плоскости основания на высоту, разделенную на три: V=1/3*Sосн*Н, где Н – высота многогранника.

Что такое правильная пирамиды в геометрии

Свойства правильной четырехугольной пирамиды

Источник

Площадь сечения пирамиды

Формула для расчета площади основания пирамиды или сечения параллельного основанию:

Формула для расчета площади диагонального сечения пирамиды:

Смотрите также статью о всех геометрических фигурах (линейных 1D, плоских 2D и объемных 3D).

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета площади основания, бокового и диагонального сечения пирамиды, если известны основание пирамиды и высота правильной четырехугольной пирамиды. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете рассчитать площадь сечения пирамиды (площадь диагонального сечения пирамиды, площадь бокового сечения пирамиды, площадь основания пирамиды и площадь сечения пирамиды параллельного основанию).

Источник

Теория: 07 Пирамида (площади поверхности)

Апофема правильной пирамиды

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Тогда $\displaystyle SK$ – апофема данной пирамиды.

Пусть $\displaystyle BC=4$ – сторона основания правильной треугольной пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды означает площадь полной поверхности пирамиды.

Воспользуемся формулой для вычисления площади полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды $\displaystyle S $ равна

где $\displaystyle S_ <осн>$ – площадь основания,

$\displaystyle S_<бок>$ – площадь боковой поверхности пирамиды.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит правильный четырёхугольник, то есть квадрат со стороной $\displaystyle BC <\small.>$ Значит, площадь основания равна

Подставим $\displaystyle BC<\small:>$

Требуется найти площадь боковой поверхности $\displaystyle S_<бок>$ правильной пирамиды. Эта площадь равна сумме площадей всех боковых граней.

Боковые грани правильной пирамиды – равные треугольники. Следовательно, площади боковых граней равны.

У правильной четрырехугольной пирамиды четыре боковых грани. Значит,

Вычислим $\displaystyle S_<грани>\small. $

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на сторону, к которой она проведена. То есть

Подставим $\displaystyle BC<\small :>$

$\displaystyle S_<бок>=4 \cdot S_<грани>=4\cdot 2 \cdot SK = 8\cdot SK\small. $

Подставим $\displaystyle S_<осн>$ и $\displaystyle S_<бок>$ в формулу площади полной поверхности пирамиды:

Подставим $\displaystyle S$ и вычислим апофему пирамиды $\displaystyle SK<\small :>$

Источник

Геометрические фигуры. Правильная пирамида.

В правильной пирамиде все боковые ребра имеют одинаковую величину, и каждая боковая грань является равнобедренными треугольниками одного размера.

Правильная пирамида обладает следующими свойствами:

Формулы для правильной пирамиды.

Ниже указанная формула определения объема используется лишь для правильной пирамиды:

Боковое ребро правильной пирамиды находят по формуле:

где b — боковое ребро правильной пирамиды (SA, SB, SC, SD либо SE),

n — количество сторон правильного многоугольника (основание правильной пирамиды),

h — высота правильной пирамиды (OS).

Указания к решению задач. Свойства, которые мы перечислили выше, помогают при практическом решении. Когда нужно определить углы наклона граней, их поверхность и так далее, значит общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для определения отдельных элементов пирамиды, так как большинство элементов оказываются общими для нескольких фигур.

Правильная треугольная пирамида.

Формулы для правильной треугольной пирамиды.

Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:

Еще одним частным случаем правильно пирамиды является тетраэдр.

Источник

Общая формула площади основания пирамиды правильной: формулы для треугольного и четырехугольного правильного основания

От Masterweb

Пирамида как геометрическая фигура

Как вычислить площадь основания?

Основание треугольной правильной пирамиды

Как известно, высота в равностороннем треугольнике является его биссектрисой и делит угол в 60o пополам. Этот факт позволяет использовать тригонометрическую функцию, например, косинус, чтобы вычислить высоту треугольника. Обозначим ее ha, тогда ее длина определится так:

Тогда площадь основания треугольника равностороннего запишется как произведение ha на длину его стороны, деленное пополам:

Второй способ, который также приводит к этой формуле, заключается в простой подстановке значение n=3 в приведенную выше формулу для Sn. В таком случае получаем:

Основание четырехугольной правильной пирамиды

К этому выражению можно прийти, если подставить n=4 в равенство для Sn.

Для многих правильных оснований с n>4 нельзя точно записать формулу в том виде, в котором она записана для S3 и S4. Связано это с тем, что функция котангенса приводит к иррациональным числам, которые не могут быть записаны в виде конкретного корня.

Источник

Высота и сторона основания правильной пирамиды

Свойства

Зная сторону основания правильной пирамиды, то есть пирамиды, в основании которой лежит правильный многоугольник, можно найти периметр основания, его площадь, радиус окружностей, которые можно вписать или описать около него, а также угол между сторонами многоугольника.

Периметр правильного многоугольника равен произведению длины его стороны на их удвоенное количество, а площадь представляет собой отношение количества сторон, умноженного на квадрат длины одной стороны, к четырем тангенсам 180 градусов, деленных на количество сторон. P=n(a+b) S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, нужно разделить сторону основания на два тангенса из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. (рис.34.1) r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус окружности, описанной вокруг основания правильной пирамиды, равен отношению стороны основания к двум синусам того же угла.(рис.34.2) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Угол γ между сторонами правильного многоугольника, заложенного в основание пирамиды, легко найти, умножив 180 градусов на количество сторон многоугольника без двух, и деленное на полное количество сторон. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n

Параметры самой пирамиды, как объемного тела, такие как боковое ребро и апофема пирамиды вычисляются через теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике с высотой во внутреннем пространстве пирамиды. Вторым катетом прямоугольного треугольника с апофемой является радиус вписанной окружности, а катетом треугольника с боковым ребром – радиус описанной окружности основания. (рис.34.4,34.5) l=√(h^2+r^2 )=√(h^2+(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ) b=√(h^2+R^2 )=√(h^2+(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 )

Угол между апофемой и основанием рассчитывается как отношение синуса – высоты к радиусу вписанной окружности, а угол между боковым ребром и основанием аналогично – высоты к радиусу описанной окружности, из тех же прямоугольных треугольников. sin⁡α=h/r=(2h tan⁡〖(180°)/n〗)/a sin⁡β=h/R=(2h sin⁡〖(180°)/n〗)/a

Зная апофему и сторону основания пирамиды, можно найти площадь боковой поверхности, а затем площадь полной поверхности пирамиды. S_(б.п.)=lan/2 S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту, таким образом, зная высоту и сторону основания пирамиды, вычислить ее объем можно, подставив соответствующее выражение вместо площади основания. V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 h)/(12 tan⁡〖(180°)/n〗 )

В любую правильную пирамиду (в основании которой лежит правильный многоугольник) можно вписать сферу, а также описать сферу около нее. Радиусы вписанной и описанной сфер зависят не только от высоты и стороны основания, но и от объема пирамиды, площади полной поверхности и бокового ребра пирамиды, поэтому для их вычисления необходимо произвести алгебраические преобразования формул. (рис.34.6,34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =ah/(tan⁡〖(180°)/n〗 (2l+a/tan⁡〖(180°)/n〗 ) ) R_1=b^2/2h=(h^2+(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2)/2h

Источник

Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды. Усеченная треугольная пирамида

Геометрические представления о фигуре

Прежде чем переходить к рассмотрению свойств правильной пирамиды треугольной, разберемся подробнее, о какой фигуре идет речь.

Предположим, что имеется произвольный треугольник в трехмерном пространстве. Выберем в этом пространстве любую точку, которая в плоскости треугольника не лежит, и соединим ее с тремя вершинами треугольника. Мы получили треугольную пирамиду.

Поскольку фигура образована четырьмя сторонами, ее также называют тетраэдром.

Правильная пирамида

Выше была рассмотрена произвольная фигура с треугольным основанием. Теперь предположим, что мы провели перпендикулярный отрезок из вершины пирамиды к ее основанию. Этот отрезок называется высотой. Очевидно, что можно провести 4 разные высоты для фигуры. Если высота пересекает в геометрическом центре треугольное основание, то такая пирамида называется прямой.

Прямая пирамида, основанием которой будет треугольник равносторонний, называется правильной. Для нее все три треугольника, образующих боковую поверхность фигуры, являются равнобедренными и равны друг другу. Частным случаем правильной пирамиды является ситуация, когда все четыре стороны являются равносторонними одинаковыми треугольниками.

Рассмотрим свойства правильной пирамиды треугольной и приведем соответствующие формулы для вычисления ее параметров.

Сторона основания, высота, боковое ребро и апотема

Любые два из перечисленных параметров однозначно определяют остальные две характеристики. Приведем формулы, которые связывают названные величины.

Предположим, что сторона основания треугольной пирамиды правильной равна a. Длина ее бокового ребра равна b. Чему будут равны высота правильной пирамиды треугольной и ее апотема.

Для высоты h получаем выражение:

Эта формула следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, сторонами которого являются боковое ребро, высота и 2/3 высоты основания.

Апотемой пирамиды называется высота для любого бокового треугольника. Длина апотемы ab равна:

Из этих формул видно, что какими бы ни были сторона основания пирамиды треугольной правильной и длина ее бокового ребра, апотема всегда будет больше высоты пирамиды.

Представленные две формулы содержат все четыре линейные характеристики рассматриваемой фигуры. Поэтому по известным двум из них можно найти остальные, решая систему из записанных равенств.

Объем фигуры

Для абсолютно любой пирамиды (в том числе наклонной) значение объема пространства, ограниченного ею, можно определить, зная высоту фигуры и площадь ее основания. Соответствующая формула имеет вид:

Применяя это выражение для рассматриваемой фигуры, получим следующую формулу:

Не сложно получить формулу для объема тетраэдра, у которого все стороны равны между собой и представляют равносторонние треугольники. В таком случае объем фигуры определится по формуле:

То есть он определяется длиной стороны a однозначно.

Площадь поверхности

Продолжим рассматривать свойства пирамиды треугольной правильной. Общая площадь всех граней фигуры называется площадью ее поверхности. Последнюю удобно изучать, рассматривая соответствующую развертку. На рисунке ниже показано, как выглядит развертка правильной пирамиды треугольной.

Предположим, что нам известны высота h и сторона основания a фигуры. Тогда площадь ее основания будет равна:

Получить это выражение может каждый школьник, если вспомнит, как находить площадь треугольника, а также учтет, что высота равностороннего треугольника также является биссектрисой и медианой.

Площадь боковой поверхности, образованной тремя одинаковыми равнобедренными треугольниками, составляет:

Данное равенство следует из выражения апотемы пирамиды через высоту и длину основания.

Полная площадь поверхности фигуры равна:

S = So + Sb = √3/4*a2 + 3/2*√(a2/12+h2)*a

Заметим, что для тетраэдра, у которого все четыре стороны являются одинаковыми равносторонними треугольниками, площадь S будет равна:

Свойства правильной усеченной пирамиды треугольной

Если у рассмотренной треугольной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, срезать верх, то оставшаяся нижняя часть будет называться усеченной пирамидой.

В случае правильной пирамиды с треугольным основанием в результате описанного метода сечения получается новый треугольник, который также является равносторонним, но имеет меньшую длину стороны, чем сторона основания. Усеченная треугольная пирамида показана ниже.

Мы видим, что эта фигура уже ограничена двумя треугольными основаниями и тремя равнобедренными трапециями.

Предположим, что высота полученной фигуры равна h, длины сторон нижнего и верхнего оснований составляют a1 и a2 соответственно, а апотема (высота трапеции) равна ab. Тогда площадь поверхности усеченной пирамиды можно вычислить по формуле:

S = 3/2*(a1+a2)*ab + √3/4*(a12 + a22)

Объем фигуры рассчитывается следующим образом:

V = √3/12*h*(a12 + a22 + a1*a2)

Для однозначного определения характеристик усеченной пирамиды необходимо знать три ее параметра, что демонстрируют приведенные формулы.

Источник

Что такое пирамида: определение, элементы, виды, варианты сечения

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения пирамиды. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение пирамиды

Пирамида – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник, который состоит из основания и боковых граней (с общей вершиной), количество которых зависит от количества углов основания.

Примечание: пирамида – это частный случай конуса.

Элементы пирамиды

Для рисунка выше:

Развёртка пирамиды – фигура, полученная при “разрезе” пирамиды, т.е. при совмещении всех ее граней в плоскости одной из них. Для правильной четырехугольной пирамиды развертка в плоскости основания выглядит следующим образом.

Примечание: свойства пирамиды представлены в отдельной публикации.

Виды сечения пирамиды

1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через вершину фигуры и диагональ основания. У четырехугольной пирамиды таких сечения два (по одному на каждую диагональ):

2. Если секущая плоскость параллельна основанию пирамиды, она делит ее на две фигуры: подобную пирамиду (считая от вершины) и усеченную пирамиду (считая от основания). Сечением является подобный основанию многоугольник.

На данном рисунке:

Примечание: Существуют и другие виды сечения, но они не так распространены.

Источник

Объём правильной пирамиды

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Основанием может быть любой многоугольник. Но в большинстве задач на ЕГЭ речь в условии, как правило, идёт о правильных пирамидах. Напомню одно из её свойств:

Вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания

Посмотрите на проекцию правильной треугольной, четырёхугольной и шестиугольной пирамид (ВИД СВЕРХУ):

Можете посмотреть ещё одну статью на блоге, где разбирались задачи связанные с нахождением объёма пирамиды. Рассмотрим задачи:

27087. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна корню из трёх.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Найдём площадь основания пирамиды, это правильный треугольник. Воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:

Таким образом, объём пирамиды равен:

27088. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен корню из трёх.

Такие понятия как высота пирамиды и характеристики её основания связаны формулой объёма:

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Сам объём нам известен, площадь основания можем найти, так как известны стороны треугольника, который является основанием. Зная указанные величины без труда найдём высоту.

Для нахождения площади основания воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:

Таким образом, подставив данные значения в формулу объема можем вычислить высоту пирамиды:

Высота равна трём.

27109. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Высота нам известна. Необходимо найти площадь основания. Напомню, что вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Мы можем найти его диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен синим):

Отрезок соединяющий центр квадрата с точкой В это катет, который равен половине диагонали квадрата. Этот катет можем вычислить по теореме Пифагора:

Значит BD = 16. Вычислим площадь квадрата воспользовавшись формулой площади четырёхугольника:

Таким образом, объём пирамиды равен:

27178. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Высота пирамиды и её и объём известны, значит можем найти площадь квадрата, который является основанием. Зная площадь квадрата, мы сможем найти его диагональ. Далее рассмотрев прямоугольный треугольник по теореме Пифагора вычислим боковое ребро:

Найдём площадь квадрата (основания пирамиды):

Вычислим диагональ квадрата. Так как его площадь равна 50, то сторона будет равна корню из пятидесяти и по теореме Пифагора:

Точка О делит диагональ BD пополам, значит катет прямоугольного треугольника ОВ = 5.

Таким образом, можем вычислить чему равно боковое ребро пирамиды:

245353. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Как уже неоднократно было сказано – объём пирамиды вычисляется по формуле:

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Боковое ребро перпендикулярное основанию равно трём, это означает, что высота пирамиды равна трём. Основания пирамиды – это многоугольник, площадь которого равна:

27086. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

27111. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

27113. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

27176. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4.

27179. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

Источник