Книга: Картан А. «Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы»
Эта книга, написанная выдающимся математиком Анри Картаном, содержит изложение его лекций по курсу «Математика II» в Парижском университете. В них входит дифференциальное исчисление, теория дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, теория дифференциальных форм и построенная на ее основе теория многомерных интегралов, а также первоначальные сведения по вариационному исчислению и дифференциальной геометрии. Изложение элементарно, хотя и ведется на современном научном уровне. Книга принесет большую пользу студентам и преподавателям высших учебных заведений (в том числе и технических), в которых читается расширенный курс математики. Современная трактовка условий интегрируемости систем дифференциальных уравнений, вариационных задач, метода подвижного репера и дифференциальной геометрии кривых иповерхностей представит большой интерес для механиков, физиков и инженеров, использующих в своей работе математические методы.
Издательство: «URSS» (2004)
Другие книги автора:
Картан А.
Окончил знаменитую Высшую нормальную школу, где он был учеником П.Монтеля. Основные работы в области гомологической алгебры (его совместная с С. Эйленбергом книга стала знаменитой), алгебраической топологии, теории функций комплексного переменного, и общей топологии (теория фильтров, обобщившая понятие предела).
Среди его учеников наиболее известны Ж.-П.Серр и Р.Том
Был одним из основателей группы Бурбаки и наиболее активных ее участников.
Книги на русском языке
Ссылки
См. также
Израиль Гельфанд / Карл Зигель (1978) · Жан Лере / Андре Вейль (1979) · Анри Картан / Андрей Колмогоров (1980) · Ларс Альфорс / Оскар Зарисский (1981) · Хасслер Уитни / Марк Крейн (1982) · Шиинг-Шен Черн / Пол Эрдёш (1983/4) · Кунихико Кодаира / Ганс Леви (1984/5) · Самуэль Эйленберг / Атле Сельберг (1986) · Кийоси Ито / Питер Лакс (1987) · Фридрих Хирцебрух / Ларс Хёрмандер (1988) · Альберто Кальдерон / Джон Милнор (1989) · Эннио де Джорджи / Илья Пятецкий-Шапиро (1990) · Леннарт Карлесон / Джон Г. Томпсон (1992) · Михаил Громов / Жак Титс (1993) · Юрген Мозер (1994/5) · Роберт Ленглендс / Эндрю Уайлс (1995/6) · Джозеф Келлер / Яков Синай (1996/7) · Ласло Ловас / Элиас Штейн (1999) · Рауль Ботт / Жан-Пьер Серр (2000) · Владимир Арнольд / Саарон Шела (2001) · Микио Сато / Джон Тэйт (2002/3) · Григорий Маргулис / Сергей Новиков (2005) · Стефен Смейл / Гарри Фюрстенберг (2006/7) · Пьер Делинь / Филипп Гриффитс / Дэвид Мамфорд (2008)
См. также в других словарях:
Дифференциальные формы в электродинамике — Дифференциальные формы в электромагнетизме Содержание 1 Граф Десшампа 2 Дифференциальные формы в электродинамике … Википедия
Дифференциальные формы в электромагнетизме — Дифференциальные формы в электромагнетизме одна из возможных математических формулировок классической электродинамики при помощи дифференциальных форм. Рассмотрим 2 форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля: Эта форма… … Википедия
Дифференциальное уравнение в частных производных — (частные случаи также известны как уравнения математической физики, УМФ) дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные. Содержание 1 Введение 2 История … Википедия
Дифференциальное и интегральное исчисление — Математический анализ совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с… … Википедия
Исчисление — У этого термина существуют и другие значения, см. Исчисление (значения) … Википедия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА — 1) Д. ф. степени р, р форма на дифференцируемом многообразии М р раз ковариантное тензорное поле на М. Ее можно интерпретировать также как р линейное (над алгеброй F(M)гладких вещественных функций на М)отображение F(M), где есть Р(М) модуль… … Математическая энциклопедия
Дифференциальная форма — порядка или форма кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия. Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах… … Википедия
Внешний дифференциал — Дифференциальная форма порядка k или k форма кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия. Дифференциальные формы были введены Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во… … Википедия
Внешняя производная — Дифференциальная форма порядка k или k форма кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия. Дифференциальные формы были введены Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во… … Википедия
Внутренняя производная — Дифференциальная форма порядка k или k форма кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия. Дифференциальные формы были введены Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во… … Википедия
Замкнутая форма — Дифференциальная форма порядка k или k форма кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия. Дифференциальные формы были введены Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во… … Википедия
которая является отрицательной величиной интеграла той же дифференциальной формы на том же интервале, когда используется противоположная ориентация. То есть:
Это придает геометрический контекст соглашениям об одномерных интегралах, согласно которым знак меняется при изменении ориентации интервала на противоположную. Стандартное объяснение этого в теории интегрирования одной переменной состоит в том, что, когда пределы интегрирования находятся в противоположном порядке ( b ), приращение dx отрицательно в направлении интегрирования.
Мультииндексная нотация
Внешняя производная
Дифференциальное исчисление
Первой идеей, ведущей к дифференциальным формам, является наблюдение, что ∂ vf ( p ) является линейной функцией от v :
Смысл этого выражения дается путем вычисления обеих сторон в произвольной точке p : в правой части сумма определяется « поточечно », так что
поэтому найти такое f будет невозможно, если только
где ∧ определяется так, что:
Внутренние определения
По универсальному свойству внешних степеней это эквивалентно чередующемуся полилинейному отображению :
Внешняя алгебра может быть вложена в тензорную алгебру с помощью отображения чередования. Карта чередования определяется как отображение
Операции
Помимо сложения и умножения с помощью скалярных операций, которые возникают из структуры векторного пространства, существует несколько других стандартных операций, определенных для дифференциальных форм. Наиболее важными операциями являются внешнее произведение двух дифференциальных форм, внешняя производная одной дифференциальной формы, внутреннее произведение дифференциальной формы и векторного поля, производная Ли дифференциальной формы относительно векторного поля и ковариантная производная дифференциальной формы по векторному полю на многообразии с заданной связностью.
Внешний продукт
Антисимметрия, присущая внешней алгебре, означает, что когда α ∧ β рассматривается как полилинейный функционал, он является альтернированным. Однако, когда внешняя алгебра вложила подпространство тензорной алгебры с помощью отображения альтернирования, тензорное произведение α ⊗ β не является альтернированным. Существует явная формула, описывающая внешний вид продукта в этой ситуации. Внешний вид продукта
Риманово многообразие
Структуры векторных полей
Внешний дифференциальный комплекс
Откат
Интеграция
Интеграция в евклидовом пространстве
Интеграция по цепочкам
Предположим, что φ определяется формулой
Тогда интеграл в координатах можно записать как
Интеграция с использованием разделов единства
Интеграция по волокнам
Обозначим эту форму через
Затем ( Dieudonne 1972 ) доказывает обобщенную формулу Фубини ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFDieudonne1972 ( справка )
определяется предметом интерьера
Теорема Стокса
Эта теорема также лежит в основе двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепей.
Связь с мерами
Течения
Приложения в физике
Используя упомянутые выше определения, уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны в геометрических единицах как
которая является отрицательной величиной интеграла той же дифференциальной формы на том же интервале, когда используется противоположная ориентация. То есть:
Это придает геометрический контекст соглашениям об одномерных интегралах, согласно которым знак меняется при изменении ориентации интервала на противоположную. Стандартное объяснение этого в теории интегрирования одной переменной состоит в том, что, когда пределы интегрирования находятся в противоположном порядке ( b ), приращение dx отрицательно в направлении интегрирования.
Мультииндексная нотация
Внешняя производная
Дифференциальное исчисление
Первой идеей, ведущей к дифференциальным формам, является наблюдение, что ∂ vf ( p ) является линейной функцией от v :
Смысл этого выражения дается путем вычисления обеих сторон в произвольной точке p : в правой части сумма определяется « поточечно », так что
поэтому найти такое f будет невозможно, если только
где ∧ определяется так, что:
Внутренние определения
По универсальному свойству внешних степеней это эквивалентно чередующемуся полилинейному отображению :
Внешняя алгебра может быть вложена в тензорную алгебру с помощью отображения чередования. Карта чередования определяется как отображение
Операции
Помимо сложения и умножения с помощью скалярных операций, которые возникают из структуры векторного пространства, существует несколько других стандартных операций, определенных для дифференциальных форм. Наиболее важными операциями являются внешнее произведение двух дифференциальных форм, внешняя производная одной дифференциальной формы, внутреннее произведение дифференциальной формы и векторного поля, производная Ли дифференциальной формы относительно векторного поля и ковариантная производная дифференциальной формы по векторному полю на многообразии с заданной связностью.
Внешний продукт
Антисимметрия, присущая внешней алгебре, означает, что когда α ∧ β рассматривается как полилинейный функционал, он является альтернированным. Однако, когда внешняя алгебра вложила подпространство тензорной алгебры с помощью отображения альтернирования, тензорное произведение α ⊗ β не является альтернированным. Существует явная формула, описывающая внешний вид продукта в этой ситуации. Внешний вид продукта
Риманово многообразие
Структуры векторных полей
Внешний дифференциальный комплекс
Откат
Интеграция
Интеграция в евклидовом пространстве
Интеграция по цепочкам
Предположим, что φ определяется формулой
Тогда интеграл в координатах можно записать как
Интеграция с использованием разделов единства
Интеграция по волокнам
Обозначим эту форму через
Затем ( Dieudonne 1972 ) доказывает обобщенную формулу Фубини ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFDieudonne1972 ( справка )
определяется предметом интерьера
Теорема Стокса
Эта теорема также лежит в основе двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепей.
Связь с мерами
Течения
Приложения в физике
Используя упомянутые выше определения, уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны в геометрических единицах как
Уравнения Максвелла-Фарадея и Максвелла-Ампера с использованием дифференциальных форм в трёх измерениях, следуя Десшампу, можно изобразить в виде графа
где обозначает внешнее дифференцирование формы по метрическому пространству, а — дифференцирование формы по времени. Знак минус обозначает, что дифференциал суммируется с обратным знаком.
Например, уравнения Максвелла — Ампера (сформулированные впервые Хевисайдом) можно получить из правого графа Десшампа, если записать выражения для J и D.
Для получения выражений, надо просуммировать (с учётом знака) все входящие стрелки (то-есть, соответствующие им дифференциалы) выбранной физической величины.
Дифференциальные формы в электродинамике
Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:
Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), аналогичная ситуация — лишь с другой группой — возникает в любой калибровочной теории. 3-форма тока имеет вид
или, что тоже самое (это выражение является обобщением теоремы Гаусса и теоремы Стокса):
В этих обозначениях уравнения Максвелла в геометрических единицах могут быть очень компактно записаны как
где * — оператор Ходжа (он же звёздочка Ходжа или просто звёздочка). Подобным образом может быть описана геометрическая структура любой калибровочной теории.
2-форма также называется 2-формой Максвелла.
Обобщённый граф уравнений Максвелла для дифференциальных форм в трёхмерном пространстве
Запишем уравнения Максвелла в терминах дифференциальных форм для трёхмерного пространства. В дополнительной горизонтальной графе 2 показаны номера дифференциальных форм для трёхмерного пространства. Первая половина системы уравнений Максвелла называется уравнения Максвелла-Фарадея. При записи уравнений с использованием дифференциальных форм векторный оператор набла заменяется на операцию внешнего произведения по пространству. Для 1-формы E, которая представлена векторной физической величиной, эта операция есть . Для 2-формы В та же самая операция является . Получается уравнение для 2-формы:
Все физические величины записаны в единицах системы СИ. Из теорема де Рама|теоремы де Рама следует: 2-форма В локально может быть представлена через 1-форму A:
Используя снова теорему де Рама, мы определяем скалярный потенциал электрического поля 0-форму . Приравниваем выражение в скобках в последней формуле и напряжённость электрического поля, следовательно есть:
Представление полей в терминах векторного магнитного потенциала и скалярного электрического потенциала неоднозначно, так как потенциалы A и могут отличаться на любую скалярную функцию .
,
Такое условие называется условием Лоренца. Эти уравнения не зависят от природы электромагнитной среды.
Вторая половина так называемых уравнений Максвелла (впрочем сформулированных в таком виде Хевисайдом) называется уравнения Максвелла-Ампера. Вектор H заменяем на 1-форму H. Вектор D на 2-форму D. Тогда в нотации дифференциальных форм:
В правых частях этих выражений находятся плотности. J 2-форма плотности электрического тока или плотность магнитного потенциала. 3-форма плотность заряда или плотность кванта электрического поля. Применим операцию внешнего произведения по пространственной физической величине к уравнению для 2-формы. Тогда с учётом
Все выражения которые приведены выше можно представить в виде графа Десшампа (который приведён выше).
Обобщённый граф уравнений Максвелла для дифференциальных форм в четырёхмерном пространстве-времени
Запишем 1-форму для четырёхмерного времени-пространства.
Запишем дифференциальный оператор Минковского для четырёхмерного пространства (пространство-время).
.
Тогда уравнения Максвелла-Фарадея сведутся в одно выражение:
Запишем 3-форму источников для уравненений Максвелла-Ампера
Запишем 1-форму для четырёхмерного потенциала электромагнитного поля (используем теорему де Рама, лемму Пуанкаре).
где 0-форма или скалярная функция.
Приведём граф Десшампа для четырёхмерного пространства-времени.
Запишем материальное уравнение для среды.
где — двухэлементный тензор(diadics).
Магнитные источники
Магнитный источник состоит из четырёхмерной 2-формы магнитного тока Jm и четырёхмерной 3-формы плотности магнитного заряда ρm :
По теореме де Рама магнитный четыре ток можно представить через вторую форму:
При постоянных магнитных источниках не может быть выражена через 1-форму для четырёхмерного потенциала электромагнитного поля (используем теорему де Рама, лемму Пуанкаре):
В случае электрических и магнитных источников имеем:
Или что тоже самое:
Четыре 2-Формы и Четыре источники (3-формы) взаимно заменяемы (можно трансформировать одно в другое):
При исчезающих электрических источниках ( γe = 0 ) Ψ может быть выажена через магнитный четыре потенциал:
Выражения для суперформ
История
В статье 1981 года Десшамп [2] помещает два графа (DAG) для электромагнитных дифференциальных форм и описание аппарата дифференциальных форм. Оба графа взаимосвязи дифференциальных форм Дешампа полностью содержится в Системе Физических Величин Плотникова Н. А. Теоремы Стокса и Гаусса, а так же операции с дифференциальными формами различного порядка так же описаны в публикации Плотникова Н. А. от 1978 года.
В 2004 году Ismo V. Lindell [3] публикует книгу с подробным описанием аппарата дифференциальных форм и его применения к теории электромагнитного поля. Эта работа — отличное и глубокое введение в современный язык теории электромагнитного поля. Книга Ismo V. Lindell содержит последние результаты автора по исследованию сред со сложными электромагнитными свойствами. Ismo V. Lindell значительно развил аппарат математического описания физических процессов электромагнитного поля.
Примечания
Литература
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Дифференциальные формы в электродинамике» в других словарях:
Дифференциальная форма — порядка или форма кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия. Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах… … Википедия
Внешний дифференциал — Дифференциальная форма порядка k или k форма кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия. Дифференциальные формы были введены Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во… … Википедия
Внешняя производная — Дифференциальная форма порядка k или k форма кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия. Дифференциальные формы были введены Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во… … Википедия
Внутренняя производная — Дифференциальная форма порядка k или k форма кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия. Дифференциальные формы были введены Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во… … Википедия
Замкнутая форма — Дифференциальная форма порядка k или k форма кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия. Дифференциальные формы были введены Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во… … Википедия
Ковектор — Дифференциальная форма порядка k или k форма кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия. Дифференциальные формы были введены Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во… … Википедия
Вариационные принципы — Принципами механики называются исходные положения, отражающие столь общие закономерности механических явлений, что из них как следствия можно получить все уравнения, определяющие движение механической системы (или условия её равновесия). В ходе… … Википедия
Вариационные принципы механики — Принципами механики называются исходные положения, отражающие столь общие закономерности механических явлений, что из них как следствия можно получить все уравнения, определяющие движение механической системы (или условия её равновесия).… … Большая советская энциклопедия
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ — Принципами механики наз. исходные положения, отражающие столь общие закономерности механич. явлений, что из этих положений как следствия можно получить ур ния, определяющие движения механич. системы (или условия её равновесия). В механике… … Физическая энциклопедия
обозначает внешнее дифференцирование формы по метрическому пространству, а 
— дифференцирование формы по времени. Знак минус обозначает, что дифференциал суммируется с обратным знаком.
также называется 2-формой Максвелла.
заменяется на операцию внешнего произведения 
. Для 2-формы В та же самая операция 
. Получается уравнение для 2-формы:
. Приравниваем выражение в скобках в последней формуле 
и напряжённость электрического поля, следовательно есть:
.
, 
3-форма плотность заряда или плотность кванта электрического поля. Применим операцию внешнего произведения по пространственной физической величине к уравнению для 2-формы. Тогда с учётом
.
для четырёхмерного потенциала электромагнитного поля (используем теорему де Рама, лемму Пуанкаре).
0-форма или скалярная функция.
— двухэлементный тензор(diadics).
не может быть выражена через 1-форму 
