Чему равна площадь трапеции

Трапеция

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны друг другу, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие — боковыми сторонами или боками.

Отрезок, перпендикулярный основаниям трапеции, называется высотой. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией.

Трапеция может быть равнобедренной или прямоугольной. Равнобедренная (или равнобокая) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Формула площади трапеции:

где S — это площадь трапеции, a и b — основания трапеции, h — высота трапеции.

Доказательство. Разделим трапецию на два треугольника, проведя диагональ BD. Получилось два треугольника ΔABD и ΔBCD, имеющих одинаковую высоту — h и основания a и b:

Площади этих треугольников будут вычисляться по следующим формулам:

Площадь трапеции будет равна сумме площадей треугольников, из которых она состоит, следовательно:

Источник

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S = ((AD + BC) / 2) · BH,

где высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Доказательство.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S.

Докажем, что S = ((AD + BC) / 2) · BH.
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = S_ABD + S_BCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH₁ за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

Так как DH₁ = BH, то S_BCD = BC · BH / 2.
Таким образом,

S = AD · BH / 2 + BC · BH = ((AD + BC) / 2) · BH.

Источник

Как найти площадь трапеции

Трапеция — геометрическая фигура, две противоположных стороны которой параллельны, а две других не параллельны. На рисунке трапеция изображается таким способом, чтобы параллельными оказались нижняя и верхняя стороны, которые получили название «основания». Верхняя сторона короче нижней. Такой рисунок используется для наглядности, так легче понять, как выполнять дополнительные построения, необходимые для решения задач.

Боковые стороны могут быть расположены под произвольными углами к основаниям. Если одна из сторон перпендикулярна основанию, то трапецию называют прямоугольной. При равных боковых сторонах — равнобедренной.

Важные линии трапеции

Для решения задачи нахождения площади трапеции необходимо использовать ряд линий, так или иначе характеризующих трапецию. Это высота, диагональ и средняя линия.

Высота — перпендикулярный отрезок, соединяющий верхнее и нижнее основание. На рисунках принято проводить перпендикуляр из вершины угла, чтобы не загромождать схему. Но на практике высоту можно опускать с любой точки верхнего основания.

Диагональ — отрезок, соединяющий противоположные вершины трапеции. У каждой трапеции две диагонали, разбивающие фигуру на два равных треугольника.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Длина линии равна половине суммы длин оснований.

Вторая средняя линия — отрезок, соединяющий середины оснований. У равнобедренной трапеции совпадает с высотой.

Названные линии используются при вычислении площади трапеции. Это одна из геометрических фигур, площадь которой можно найти разными способами. Почему нужно знать все формулы, как найти площадь трапеции? В условиях задач часто приведена только часть данных о фигуре, например, углы и диагонали, длина сторон, средняя линия и высота и т.д.

Формулы площади трапеции

Для каждого, или почти каждого случая найдены готовые формулы, в которые остается только подставить числовые данные, чтобы найти площадь произвольной трапеции. Рассмотрим самые распространенные случаи.

Самый простой способ вычисления площади — по длине оснований и высоте. Зная эти величины, используем формулу S = 1/2(a + b)*h. Сначала найдем сумму длин оснований, затем разделим на два и умножим на высоту. Именно такой порядок действий даст желаемый результат. На практике, когда, например, нужно найти площадь трапециевидного земельного участка, используется чаще всего именно эта формула. Измерить длину оснований не сложно, как и высоту фигуры.

Вторая задача — как узнать площадь трапеции через длину средней линии. Вспомним, что длина этой линии равна половине суммы оснований. Фактически получаем ту же формулу, что и в предыдущем случае, только записываем ее по-другому S=mh, где m – длина средней линии.

Третья задача — как найти площадь трапеции через диагонали. Кроме длины диагоналей нужен еще и хотя бы один из углов между ними. Для определения площади достаточно умножить длины диагоналей между собой и затем на синус любого угла между ними. Эта задача не сложнее предыдущих, зная угол в градусах, найти синус можно по специальным таблицам.

Четвертая задача — как найти площадь трапеции, зная все стороны. Здесь все несколько труднее. Необходимо произвести ряд вычислений, не отличающихся большой сложностью, но занимающих некоторое время. Распишем процесс вычисления по алгоритму:

Все выглядит достаточно громоздко, но если воспользоваться готовой формулой, то не так и страшно.

Для равнобедренной трапеции формула упрощается:

Пятая задача — формула Герона для трапеции. S = (a + b)/4|a — b| · √(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d). Здесь тоже задействовано все четыре стороны и Р – полупериметр. Наиболее распространенная ошибка, когда вместо полупериметра, то есть суммы длин сторон разделенной на 2, используют периметр.

Шестая задача — площадь трапеции через синус угла. Для решения этой задачи нужно знать длину оснований и синусы углов при нижнем основании. Формула выглядит так: S=2(b2−a2)​⋅sin(α+β)sin(α)⋅sin(β). Для ее использование необходимы первичные знания по тригонометрии.

Седьмая задача — найти площадь трапеции, зная радиус вписанной окружности и длину оснований. Формула не представляет сложности S=r⋅(a+b)=​1/2​​√​a⋅b​​​​​⋅(a+b), важно только не перепутать порядок действий.

Формул для трапеции значительно больше, но владея теми, которые названы выше, вы справитесь с любой задачей.

Как найти площадь прямоугольника 3 класс

Как найти площадь круга

Как найти процент от числа

Шар и сфера, объем шара, площадь сферы, формулы

Как найти курсы по физике для подготовки к ЕГЭ

Источник

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Рис.1

Признаки равнобедренной трапеции

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

Основные свойства равнобедренной трапеции

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC · AD

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:

4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

Диагонали равнобедренной трапеции

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

2. Формула площади через стороны и угол:

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = ( a + b ) · r = √ ab ·c = √ ab ·m

6. Формула площади через диагонали и угол между ними:

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через основания и высоту:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Чему равна площадь трапеции

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.<2>^<○>$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

$$ 4.<3>^<○>$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.<4>^<○>$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.<5>^<○>$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.<6>^<○>$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

$$ 4.<7>^<○>$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.<8>^<○>$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.<10>^<○>$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.<11>^<○>$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«|\|«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.<12>^<○>$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

Источник

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны, являющиеся основаниями и две не параллельные стороны, являющиеся боковыми сторонами.

Содержание

Виды трапеций

Равнобедренная трапеция — это вид трапеции с равными боковыми сторонами.

Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции ( a параллельно b ),

m, n — боковые стороны трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

Площадь трапеции

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:

MN || a, MN || b, MN = \frac

Сумма углов трапеции

Сумма углов трапеции, прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^ <\circ>:

\alpha + \beta = 180^

\gamma + \delta =180^

Равновеликие треугольники трапеции

Подобие образованных треугольников трапеции

\triangle AOD \sim \triangle COB

Коэффициент подобия k находится по формуле:

Причем отношение площадей этих треугольников равно k^ <2>.

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.

Описанная около трапеции окружность

Каждая равнобокая трапеция может содержать описанную окружность. Только равнобокую трапецию возможно вписать в окружность.

Вписанная в трапецию окружность

Опущенные на гипотенузы, высоты этих треугольников, тождественны радиусу вписанной окружности, а высота трапеции тождественна диаметру вписанной окружности.

Источник

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

трапеция АВСД, ВС – 6, АД – 9, диагонали перетинаються в точке О. Найти ОД и ОВ, якщо ОД-ВО=2.

Помогите пожалуйста в решении такой задачи.Найдите радиус окружности вписанной в равнобедренную трапецию если основание 8,2 см. Заранее спасибо!

Виталий, чего-то не хватает в условии. Дайте точную формулировку.

Помогите пожалуйста решить задачу. Найти площадь равнобедренной трапеции если диагональ делит острый угол пополам и среднюю линию на отрезки 23 и 13.Большое спасибо.

Пусть – меньшее и большее основания соответственно.
, так как отрезок средней линии трапеции, равный 13, является средней линией треугольника с основанием . Аналогично
Далее замечаем, что треугольник – равнобедренный, тогда
Опускаем из и высоты к . Из одного из образовавшихся прямоугольных треугольников находим высоту по теореме Пифагора:
Наконец,

Помогите пожалуйста решить задачку. Дана равнобедренная трапеция АВСD (AD параллельна BC). Известно,что AD>BC. На её описанной окружности отмечена точка Е, такая, что BE перпендикулярна AD. Докажите, что АЕ+ВС>DE.

прошу подсказать решение:
Дана трапеция АВСД (не равнобедренная!). Диагонали АС и ВД перпендикулярны, причем АС=48см. Средняя линия MN=25см.
Высота ВН опущена на основание АД(перпендикулярна ему)
Найти Высоту ВН

Перенесите диагональ параллельно самой себе в точку . У полученного прямоугольного треугольника ( – точка на ) известна гипотенуза (50) и катет (48). Находим второй катет (14) – это ( или ).
Теперь вам просто надо найти высоту прямоугольного треугольника , проведенную к гипотенузе. Все для этого есть!

спасибо большое, оказывается все очень просто!

Елена Юрьевна,добрый вечер.Поздравляю Вас с профессиональным
праздником! Помогите пожалуйста разобраться в задаче для 8 класса. В учебнике мало информации. Заранее благодарю Вас.
Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

Виктория,спасибо!
Можно положить плитки друг к другу так, чтобы боковые стороны совпали, при этом меньшее основание одной плитки лежало бы на одной прямой с большим основанием другой плитки (а такое совпадение обязательно произойдет, так как сумма соседних углов при разных основаниях равна 180 градусам по свойству трапеции). Так можно покрыть полосу, а такими полосами покрыть и плоскость.

Источник

Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон

Применяем смекалку

Есть одна хитрость, которая может помочь в случае забывчивости специфических формул. Рассмотрим внимательнее, что представляет собой трапеция. Если мысленно разделить ее на части, то мы получим знакомые и понятные геометрические фигуры: квадрат или прямоугольник и треугольник (один или два). Если известны высота и стороны трапеции, можно воспользоваться формулами площади треугольника и прямоугольника, после чего сложить все полученные величины.

Проиллюстрируем это следующим примером. Дана прямоугольная трапеция. Угол C = 45°, углы A, D составляют 90°. Верхнее основание трапеции равно 20 см, высота равна 16 см. Требуется вычислить площадь фигуры.

Данная фигура очевидным образом состоит из прямоугольника (если два угла равны 90°) и треугольника. Так как трапеция прямоугольная, следовательно, ее высота равна ее боковой стороне, то есть 16 см. Имеем прямоугольник со сторонами 20 и 16 см соответственно. Рассмотрим теперь треугольник, угол которого равен 45°. Мы знаем, что одна его сторона составляет 16 см. Так как эта сторона является одновременно высотой трапеции (а нам известно, что высота опускается на основание под прямым углом), следовательно, второй угол треугольника равен 90°. Отсюда оставшийся угол треугольника составляет 45°. Следствием этого мы получаем прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого две стороны одинаковы. Значит, другая сторона треугольника равна высоте, то есть 16 см. Осталось вычислить площадь треугольника и прямоугольника и сложить полученные величины.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = (16*16)/2 = 128. Площадь прямоугольника равняется произведению его ширины на длину: S = 20*16 = 320. Мы нашли требуемое: площадь трапеции S = 128 + 320 = 448 кв. см. Можно легко себя перепроверить, воспользовавшись вышеприведенными формулами, ответ будет идентичен.

Прямоугольная фигура и ее характеристики

Несмотря на невысокую симметрию трапеции с прямыми углами, работать с ней удобно при решении задач, поскольку можно напрямую использовать теорему Пифагора.

Пусть имеется фигура, в которой a и b — это основания, c — сторона, которая им обоим перпендикулярна и образует с ними прямые внутренние углы, d — боковая сторона, которая наклонена под некоторым углом к основаниям. Из такого построения ясно, что боковая сторона c также является высотой h фигуры.

Углы и диагонали

Формулы для расчета внутренних углов и длин диагоналей в прямоугольной фигуре имеют простой вид. Чтобы найти тупой и острый углы, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник, который образован следующими отрезками:

Нетрудно доказать, что синус острого угла α при основании может быть рассчитан по следующей формуле:

Поскольку вместе с тупым углом β он составляет 180 °, тогда справедливы равенства:

sin (α) = sin (β) = c/d и β = 180 ° — α.

Для вычисления диагоналей прямоугольной трапеции можно воспользоваться общими формулами для D1 и D2.

Для вычисления диагоналей D1 и D2 необязательно знать длину боковой стороны d.

Вычисление площади

Существует несколько выражений, используя которые можно определить площадь любой трапеции. Для прямоугольной фигуры все эти формулы имеют упрощенный вид. В первую очередь следует отметить общее выражение для площади S, которая равна произведению медианы M на высоту h:

Для прямоугольной трапеции эта формула преобразуется в следующее равенство:

Где h=c и M = (a+b)/2.

Удобно определять площадь рассматриваемой фигуры также через ее диагонали D1, D2 и угол их пересечения γ. Эта формула имеет вид:

То есть половина произведения диагоналей на синус угла их пересечения дадут площадь всей фигуры

Необходимо отметить, что неважно, какой брать угол (острый или тупой) они связаны друг с другом (в сумме дают 180 °) и их синусы равны. Если диагонали пересекаются под прямым углом, то формула для S сводится к выражению:

Существует еще одна формула площади трапеции прямоугольной через ее основания a, b и острый угол α. Применяя следующие рассуждения и выкладки можно ее получить:

Аналогичную формулу можно использовать, если известен не острый угол α, а тупой β. В этом случае выражение для S примет вид:

Функция tg (β) здесь является отрицательной величиной, поэтому вычитаемое и уменьшаемое в множителе a-b поменялись местами. Все выражения для расчета площади применимы при определении объема призм в трехмерном пространстве, у которых основания представляют собой трапеции.

Площадь трапеции формула:

Говорят: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований и высоты.

То есть, получается, что она равна произведению средней линии и высоты:

Вы, наверное, уже заметили, что это очевидно. Геометрически это можно выразить так: если мы мысленно отрежем от трапеции треугольники 2 и 4 и положим их соответственно на треугольники 1 и 3:

То у нас получится прямоугольник по площади равный площади нашей трапеции. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению средней линии и высоты, то есть можем записать:

Но дело тут не в записи, конечно, а в понимании.

Скачать (посмотреть) материал статьи в формате *pdf

На этом всё. Успеха вам!

Трапецией
называется четырехугольник, у которого только две
стороны параллельны между собой.

Они называются основаниями фигуры, оставшиеся – боковыми сторонами. Частными случаями фигуры считается параллелограмм. Также существует криволинейная трапеция, которая включает в себя график функции. Формулы площади трапеции включают в себя практически все ее элементы, и лучшее решение подбирается в зависимости от заданных величин.
Основные роли в трапеции отводятся высоте и средней линии. Средняя линия
– это линия, соединяющая середины боковых сторон. Высота
трапеции проводится под прямым углом от верхнего угла к основанию.
Площадь трапеции через высоту равняется произведению полусуммы длин оснований, умноженному на высоту:

Если по условиям известна средняя линия, то эта формула значительно упрощается, так как она равна полусумме длин оснований :

Если по условиям даны длины всех сторон, то можно рассмотреть пример расчета площади трапеции через эти данные:
Допустим, дана трапеция с основаниями a
= 3 см, b
= 7 см и боковыми сторонами c
= 5 см, d
= 4 см. найдем площадь фигуры:

Свойства равнобокой (равнобедренной) трапеции

Свойсво 1′. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренную (равнобокую) трапецию ABCD, где AD = BC (Рис.11).

Проведем высоты DM и CN. Поскольку DM = CN и AD = BC, то прямоугольники ADM и NCB равны гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства). Тогда \( \small \angle A=\angle B. \) Докажем, далее, что \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) \( \small \angle A +\angle ADC=180° \) поскольку углы A и ADC являются односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично \( \small \angle B +\angle DCB=180°. \) Учитывая, что \( \small \angle A=\angle B \), получим \( \small \angle ADC=\angle DCB. \)

Свойсво 2′. В равнобокой трапеции диагонали равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ADC и DCB (Рис.12). Имеем CD общая сторона для обеих треугольников, AD = CB, \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно диагонали AC и DB трапеции ABCD равны.

Свойсво 3′. В равнобокой трапеции высота, приведенная из вершины тупого угла на основание, делит основание трапеции на отрезки, больший из которых равен половине суммы оснований, а меньший равен половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник DMNC (Рис.11). Имеем:

Тогда четырехугольник DMNC является прямоугольником. Следовательно DC = MN. Поскольку треугольники ADM и NCB равны (см. доказательство следствия 1), то AM = NB. Следовательно:

Метод трапеций

Предположим, что нам нужно приближенно вычислить определенный интеграл ∫abf(x)dx, подынтегральная функция которого y=f(x) непрерывна на отрезке a;b. Для этого разделим отрезок a;b на несколько равных интервалов длины h точками a=x

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными.

Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.

Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.

Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).
Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.
Что из этого следует?
Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.

Свойства трапеции, достроенной до треугольника

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований.
Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей ( KO/ON ) будет равно соотношению оснований трапеции ( BC/AD ).
KO / ON = BC / AD
Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

Что такое площадь трапеции

Трапеция — четырехугольник, две стороны которого, называемые основаниями, параллельны друг другу, а две другие стороны — нет.

Вычисление площади трапеции входит в раздел геометрии, который называется планиметрия и занимается фигурами на плоскости.

Площадь трапеции, как и любой другой геометрической фигуры — это часть плоскости, ограниченная периметром и измеряемая в квадратных единицах.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

В формулах основания обозначаются буквами a и b, боковые стороны — с и d.

Способы нахождения площади

Существует более двадцати способов вычисления площади трапеции. Выбор способа расчета зависит от известных данных, которые можно подставить в формулу, и от типа самой трапеции: она может быть равнобедренной (равнобокой) или прямоугольной, тогда задача упростится.

Например, если трапеция равнобедренная, вычислить длину ее сторон можно, разбив ее на прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

Если трапеция прямоугольная, легко запомнить соотношение ее сторон, пользуясь формулами для усеченного конуса, который образуется при ее вращении вокруг ее боковой стороны, находящейся под прямым углом к основаниям:

Стороны такой трапеции, наглядно видные на схеме, связаны следующим соотношением:

Но большинство формул подходит и для разносторонних трапеций. Если задача практическая и трапеция имеет материальную форму, основания, боковые стороны, высоту и диагонали легко измерить с помощью линейки.

Погрешности

Промежуточные вычисления для определения значения определенного интеграла проводят в большинстве своем приближенно. Это значит, что при увеличении n начинает накапливаться вычислительная погрешность.

Сравним оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников:

Метод прямоугольников для заданного n при одинаковом объеме вычислительной работы дает вдвое меньшую погрешность. Это делает метод более предпочтительным в тех случаях, когда известны значения функции в средних отрезках элементарных отрезков.

В тех случаях, когда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах, мы можем использовать метод трапеций.

Если сравнивать точность метода трапеций и метода правых и левых прямоугольников, то первый метод превосходит второй в точности результата.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

от 1 дня / от 150 р.

от 5 дней / от 1800 р.

от 1 дня / от 700 р.

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

Далее приведены формулы, отображающие зависимость между сторонами, углами трапеции и величиной ее диагоналей. Эти формулы пригодятся для решения задач по геометрии на тему «диагонали трапеции»

Далее, в формулах используются следующие обозначения:

a, b — основания трапеции

c, d — боковые стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форумеЗадачаРешениеОтветЗадачаРешениеобозначим не путать с обозначениями в формуле22222222222222222222Ответ2

Трапеция (задачи про основания)Описание курса Прямоугольная трапеция

Метод 1 из 2: определение площади по длине параллелей и высоте

Добавьте длину параллельных сторон.

Например, предположим, вы знаете, что значение стороны параллельно вершине (b1) составляет 8 см, а нижняя параллель (b2) составляет 13 см, общая длина параллельных сторон 8 см + 13 см = 21 см (что отражает часть «b = b1 + b2″в формуле).

Как следует из названия, параллельные стороны — это 2 параллельные стороны трапеции. Если вы еще не знаете длины двух параллельных сторон, измерьте их линейкой. После этого сложите два вместе.

Измерьте высоту трапеции.

Длина гипотенузы или основания трапеции не равна высоте трапеции. Линия высоты должна быть перпендикулярна двум параллельным сторонам.

Высота трапеции — это расстояние между двумя параллельными сторонами. Проведите линию между двумя параллельными сторонами и с помощью линейки или другого измерительного инструмента найдите длину линии. Делайте заметки, чтобы не забыть и не потерять их.

Умножьте количество параллельных сторон на высоту.

В этом примере 21 см x 7 см = 147 см, что отражает часть уравнения «(b) t».

Далее вам нужно умножить сумму сторон (b) на высоту (t) трапеции. Ответы должны быть в квадратных единицах.

Умножьте результат на ½, чтобы найти площадь трапеции.

В этом примере площадь (W) трапеции составляет 147 см / 2 = 73,5 см.

Вы можете умножить произведение на 1/2 или разделить на 2, чтобы найти конечную площадь трапеции. Убедитесь, что единицы ответа выражены в квадратных единицах.

Метод 2 из 2: расчет площади трапеции, если вы знаете размер сторон

Разбейте трапецию на 1 прямоугольник и 2 прямоугольных треугольника.

Этот метод работает только со стандартной равнобедренной трапецией.

Нарисуйте прямую линию из каждого угла верхней стороны трапеции перпендикулярно нижней стороне. Теперь у трапеции есть 1 прямоугольник посередине и 2 правых и левых правых треугольника. Рекомендуется провести эту линию, чтобы вы могли более четко видеть форму и рассчитать высоту трапеции.

Найдите длину одного из оснований треугольника.

Например, если верхний (b1) по длине 6 см и нижней стороной по (b2) 12 см, что означает, что основание треугольника равно 3 см (поскольку b = (b2 — б1) / 2 и (12 см — 6 см) / 2 = 6 см, что может быть упрощено до 6 см / 2 = 3 см).

Отнимите длину нижней стороны трапеции от верхней. Разделите результат на 2, чтобы найти длину основания треугольника. Теперь у вас есть длина основания и гипотенуза треугольника.

Используйте теорию Пифагора, чтобы найти высоту трапеции. Подставьте длины основания и гипотенузы (самой длинной стороны треугольника) в формулу Пифагора A + B = C, где A — основание, а C — гипотенуза. Решите уравнение для B, чтобы найти высоту трапеции. Если длина стороны основания 3 см, а длина гипотенузы 5 см, вот расчет:

Подсказки: Если у вас нет идеального квадрата в уравнении, просто упростите его насколько возможно и оставьте остаток как квадратный корень, например √32 = √ (16) (2) = 4√2.

Подставьте длину и высоту трапеции в формулу площади и решите. Подставьте длину и высоту основания в формулу L = ½ (b₁ + b₂) t, чтобы найти площадь трапеции. Максимально упростите числа и дайте им квадратные единицы.

Примеры задач

№ 1. Условие. Известен угол между диагоналями произвольной трапеции, он равен 30 градусам. Меньшая диагональ имеет значение 3 дм, а вторая больше ее в 2 раза. Необходимо посчитать площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно узнать длину второй диагонали, потому что без этого не удастся сосчитать ответ. Вычислить ее несложно, 3 * 2 = 6 (дм).

Теперь нужно воспользоваться подходящей формулой для площади:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (дм2). Задача решена.

Ответ: площадь трапеции равна 4,5 дм2.

№ 2. Условие. В трапеции АВСД основаниями являются отрезки АД и ВС. Точка Е — середина стороны СД. Из нее проведен перпендикуляр к прямой АВ, конец этого отрезка обозначен буквой Н. Известно, что длины АВ и ЕН равны соответственно 5 и 4 см. Нужно вычислить площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно сделать чертеж. Поскольку значение перпендикуляра меньше стороны, к которой он проведен, то трапеция будет немного вытянутой вверх. Так ЕН окажется внутри фигуры.

Чтобы отчетливо увидеть ход решения задачи, потребуется выполнить дополнительное построение. А именно, провести прямую, которая будет параллельна стороне АВ. Точки пересечения этой прямой с АД — Р, а с продолжением ВС — Х. Получившаяся фигура ВХРА — параллелограмм. Причем его площадь равна искомой. Это связано с тем, что треугольники, которые получились при дополнительном построении, равны. Это следует из равенства стороны и двух прилежащих к ней углов, один — вертикальный, другой — накрест лежащий.

Найти площадь параллелограмма можно по формуле, которая содержит произведение стороны и высоты, опущенной на нее.

Таким образом, площадь трапеции равна 5 * 4 = 20 см2.

Ответ: S = 20 см2.

№ 3. Условие. Элементы равнобедренной трапеции имеют такие значения: нижнее основание — 14 см, верхнее — 4 см, острый угол — 45º. Нужно вычислить ее площадь.

Решение. Пусть меньшее основание имеет обозначение ВС. Высота, проведенная из точки В, будет называться ВН. Поскольку угол 45º, то треугольник АВН получится прямоугольный и равнобедренный. Значит, АН=ВН. Причем АН очень легко найти. Она равна половине разности оснований. То есть (14 — 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).

Основания известны, высота сосчитана. Можно пользоваться первой формулой, которая здесь была рассмотрена для произвольной трапеции.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см2).

Ответ: Искомая площадь равна 45 см2.

№ 4. Условие. Имеется произвольная трапеция АВСД. На ее боковых сторонах взяты точки О и Е, так что ОЕ параллельна основанию АД. Площадь трапеции АОЕД в пять раз больше, чем у ОВСЕ. Вычислить значение ОЕ, если известны длины оснований.

Решение. Потребуется провести две параллельные АВ прямые: первую через точку С, ее пересечение с ОЕ — точка Т; вторую через Е и точкой пересечения с АД будет М.

Пусть неизвестная ОЕ=х. Высота меньшей трапеции ОВСЕ — н₁, большей АОЕД — н₂.

Поскольку площади этих двух трапеций соотносятся как 1 к 5, то можно записать такое равенство:

Высоты и стороны треугольников пропорциональны по построению. Поэтому можно записать еще одно равенство:

В двух последних записях в левой части стоят равные величины, значит, можно написать, что (х + а₁) / (5(х + а₂)) равно (х — а₂) / (а₁ — х).

Здесь требуется провести ряд преобразований. Сначала перемножить крест накрест. Появятся скобки, которые укажут на разность квадратов, после применения этой формулы получится короткое уравнение.

В нем нужно раскрыть скобки и перенести все слагаемые с неизвестной «х» в левую сторону, а потом извлечь квадратный корень.

Примеры из реальной жизни

Платок

Допустим, у вас есть платок в форме трапеции, и вы хотите отделать его бахромой. Вам понадобится узнать периметр платка, чтобы не купить лишнего материала или не ходить в магазин два раза. Пусть ваш равнобедренный платок имеет следующие параметры: a = 120 см, b = 60 см, c = 100 см, d = 60 см. Вбиваем эти данные в онлайн-форму и получаем ответ в виде:

Таким образом, периметр платка составляет 340 см, и именно такой длины должна быть тесьма бахромы для его отделки.

Откосы

К примеру, вы решили сделать откосы для нестандартных металлопластиковых окон, которые имеют трапецеидальную форму. Такие окна широко используются при дизайне зданий, создавая композицию из нескольких створок. Чаще всего такие окна выполняются в виде прямоугольной трапеции. Давайте выясним, сколько материала потребуется для выполнения откосов такого окна. Стандартное окно имеет следующие параметры a = 140 см, b = 20 см, c = 180 см, d = 50 см. Используем эти данные и получим результат в виде

Следовательно, периметр трапециевидного окна составляет 390 см, и именно столько вам понадобится купить пластиковых панелей для формирования откосов.

Площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция — это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция — это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.

Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.

Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной — с, а и b — длины оснований:

Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

где а — верхнее основание, с — боковая сторона.

Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:

S = ½ * (b2 – a2) * tg α

Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:

Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.

Пусть боковая сторона — с, средняя линия — m, угол — a, тогда:

Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет — r.

Круг в трапеции

Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:

Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):

Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:

(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).

Трапеция в круге

Через основания и радиус окружности площадь ищется так:

Если известны только основания, то площадь считается по формуле:

Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию — m вычисляется так:

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.

Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.

Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:

В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:

Другой способ рассчитать площадь — перемножить длину средней линии на высоту:

или на длину боковой перпендикулярной стороны:

Следующий способ вычисления — через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Прямоугольная трапеция с перпендикулярными диагоналями

Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:

Еще один способ вычисления — через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.

Эта формула действительна для оснований. Если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:

Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:

Источник

Трапеция формула площади: Все формулы площади трапеции — найти онлайн

Все формулы площади равнобедренной трапеции

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

а — нижнее основание

b — верхнее основание

с — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S ):

2. Формулы площади равнобедренной трапеции если в нее вписана окружность

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

O — центр вписанной окружности

H — высота трапеции

α, β — углы трапеции

а — нижнее основание

b — верхнее основание

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, (S ):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

R — радиус вписанной окружности

m — средняя линия

O — центр вписанной окружности

c — боковые стороны

а — нижнее основание

b — верхнее основание

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, стороны и среднюю линию (S ):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d — диагональ трапеции

α, β — углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S ):

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

c — боковая сторона

m — средняя линия трапеции

α, β — углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

a — нижнее основание

b — верхнее основание

h — высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S ):

Площадь трапеции | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.

RU

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу. Высотой трапеции называют линию, перпендикулярную основаниями, для удобства ее часто проводят из тупого угла трапеции на большее основание. Средняя линия трапеции – это линия, которая параллельна основаниям, и разделяет боковые стороны ровно пополам. Среднюю линию трапеции можно найти средним арифметическим оснований – сложив их и разделив на два.

Площадь трапеции в самом простом виде – это произведение средней линии на высоту, или если раскрыть формулу средней линии, то произведение полусуммы оснований на высоту.

Доказательством этой формулы будет служить представление площади трапеции, как суммы площадей двух треугольников полученных при проведении диагонали.

Площади этих треугольников будут равны соответственно и (для того, чтобы нарисовать высоту во втором треугольнике, необходимо будет продлить основание b). Площадь трапеции будет равна сумме полученных выражений, где мы вынесем высоту за скобку, и получим искомую формулу:

Вывести формулу, для того чтобы вычислить площадь трапеции через стороны, можно с помощью метода подстановки.

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними считается условным делением трапеции на четыре треугольника, точно также как и площадь любого произвольного четырехугольника.

Площадь равнобедренной трапеции можно найти еще одним способом, если даны угол при основании и радиус вписанной окружности. Дело в том, что центр вписанной окружности, откуда берет свое начало радиус, находится точно в центре трапеции, таким образом, приравнивая высоту и диаметр окружности (либо удвоенный радиус). Также одно из свойств трапеции, описанной вокруг окружности – это равенство суммы оснований и суммы боковых сторон, значит, мы сможем найти среднюю линию, зная боковые стороны. Проведя высоту, из прямоугольного треугольника получаем боковую сторону и среднюю линию
Тогда площадь трапеции равна

формулы площади, доказательства. Трапеция на занятиях с репетитоом по математике — Колпаков Александр Николаевич

, где DP – внешняя высота в

Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:

Вынесем за скобку

Что и требовалось доказать.

Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то

3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь? Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:

Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).

Спецприемы репетитора по математике.

Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то — вторая ее половина. Ч.т.д.

В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы :). Приходите на занятия!

Задачи на площадь трапеции:

Замечание репетитора по математике: Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.

Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.

Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве, подготовка к ЕГЭ в Строгино.

Как рассчитать площадь трапеции. Формула площади трапеции

Основные свойства трапеции

1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d₁ и d₂ связаны со сторонами соотношением:

d₁ 2 + d₂ 2 = 2ab + c 2 + d 2

Формулы определения длин сторон трапеции:

1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a – h · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a – c·cos α – d·cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Как найти площадь трапеции через четыре стороны

Отнимите от большего основания меньшее.

Найдите квадрат полученного числа.

Прибавьте к результату квадрат одной боковой стороны и отнимите квадрат второй.

Поделите полученное число на удвоенную разность оснований.

Найдите квадрат результата и отнимите его от квадрата боковой стороны.

Найдите корень из полученного числа.

Умножьте результат на половину от суммы оснований.

Средняя линия трапеции

Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Через длины оснований и высоту

Чему равна площадь трапеции, если:
основание a =
основание b =
высота h =

Чему равна площадь трапеции если известны основания a и b, а также высота h?

Формула

Пример

Если у трапеции основание a = 3 см, основание b = 6 см, а высота h = 4 см, то её площадь:

S = ½ ⋅ (3 + 6) ⋅ 4 = 36 / 2 = 18 см²

Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали

Формула для нахождения площади трапеции через перпендикулярные диагонали: <2>d_1 cdot d_2>, где d₁, d₂ — диагонали трапеции (перпендикулярные).

Как вычислить площадь равнобедренной трапеции через четыре стороны

Отнимите от большего основания трапеции меньшее и поделите результат на два.

Найдите квадрат полученного числа и отнимите его от квадрата боковой стороны.

Найдите корень из результата.

Умножьте полученное число на сумму оснований и поделите на два.

Таблица с формулами площади трапеции

В зависимости от известных исходных данных и вида трапеции, площадь трапеции можно вычислить по различным формулам.

Найти площадь равнобедренной трапеции, зная радиус вписанной окружности и угол

Радиус вписанной окружности r

Угол трапеции α

Сообщить об ошибке

Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

Чему равна площадь трапеции, если:
средняя линия m =
сторона c =
угол α =

ед. ²

Чему равна площадь равнобедренной трапеции если средняя линия m, боковая сторона с, a угол при основании α?

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

Пусть a и b основания трапеции. доказать что отрезок, соединяющий середины её диагоналей равен 1/2 * | а – б|?

Возьмем трапецию ABCD

Определим точку М как середину диагонали АС, точку N как середину диагонали BD. Тогда средняя линия трапеции KF будет проходить через точки M и N.

Вспомним свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции является параллельной основаниям и равняется полусумме их длин.

Рассмотрим треугольник ACD:

Рассмотрим треугольник BCD

Выразим MN через отрезки MF и NF:

Подставим в формулу значения отрезков MF и NF:

MN = AD/2-BC/2 = (AD-BC)/2

Площадь трапеции через основания и два угла

Найти площадь трапеции, зная диагонали и угол между ними

Диагональ трапеции d₁

Диагональ трапеции d₂

Угол между диагоналями α

Площадь трапеции (формула) и как ее найти для любой трапеции на рисунке

Главная / ЧАстые ВОпросы

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. В этой статье мы расскажем, как посчитать площадь трапеции. Эту тему подробно изучают в школе в 8-м классе.

Но в классической программе учителя дают далеко не все формулы, с помощью которых можно вычислить нужное значение. И ограничиваются, как правило, одной или двумя.

Мы же дадим максимально развернутый ответ на этот вопрос. Ведь трапеция – это весьма примечательная и сложная фигура в геометрии. А соответственно, и формулы для вычисления ее площади отличаются определенной сложностью и громоздкостью.

Тут нет банальных «перемножить длины сторон», как у площади прямоугольника. Все гораздо мудреней.

Что такое трапеция

Но для начала будет нелишним напомнить, что из себя представляет трапеция.

Трапеция – это геометрическая фигура, которая является четырехугольником, и у которой две противоположные стороны параллельны.

Последнее утверждение очень важное. ТОЛЬКО ДВЕ противоположные стороны параллельны у трапеции. Ведь если бы обе пары лежали на параллельных прямых, то это был бы уже параллелограмм.

Вот так выглядит трапеция:

А вот так параллелограмм:

Кстати, именно по этому принципу древний математик Евклид и разделил все четырехугольники на две большие категории.

Именно он впервые описал разные геометрические фигуры, в том числе трапеции и параллелограммы. И все свои соображения подробно изложил в книге «Начала», которая датируется 300 годом до нашей эры.

Что такое площадь

Раз уж мы решили вычислять эту величину, напомним, что она обозначает.

Площадь – это численное значение геометрической фигуры, нарисованной в двухмерном (плоском) пространстве. А проще говоря, это пространство, которое ограничено границами фигуры, и находится как бы внутри нее.

В нашем случае площадь трапеции – это область, закрашенная синим цветом:

Кстати, в древности вместо термина «площадь» говорили «квадратура». Считалось, что любую фигуру можно разбить на равные квадраты со стороной «один». Частично это понятие докатилось и до наших дней.

Ведь именно в «квадратных метрах» мы измеряем площадь комнаты/квартиры/дачи/офиса. И в «квадратных километрах» частенько озвучивают площадь какой-то территории. Например, когда в телевизионных новостях говорят о масштабах лесных пожаров или наводнений.

Главная формула для вычисления площади трапеции

Та формула, которую изучают в школе, основана на вычислении площади трапеции по длине ее оснований и высоте.

Основания трапеции – это стороны, которые лежат на параллельных прямых. Другая пара сторон называется боковыми.

Высота – это отрезок, проведенный из вершины любого угла к противоположному основанию под углом 90 градусов.

То есть мы имеем вот такие исходные данные:

Здесь «a» и «b» являются основаниями трапеции, а «h» — высотой.

И тогда формула для вычисления площади трапеции выглядит вот так:

Например, если длины сторон и высота равны:

то площадь такой трапеции будет равна:

Опять же заметьте, если стороны и высота у трапеции обозначались в сантиметрах, то площадь будет измеряться в квадратных сантиметрах (то самое понятие «квадратуры», о котором мы писали выше).

То же самое – миллиметры/квадратные миллиметры, метры/квадратные метры, километры/квадратные километры и так далее.

Доказательство теоремы о площади трапеции

Любая формула в геометрии требует доказательства. И в нашем случае, формулы вычисления площади трапеции также доказывают во время уроков.

Возьмем для примера трапецию:

В ней AD и BC – основания, BH – высота. Нам надо доказать, что:

Доказательство строится на том, что если провести диагональ BD, то она разделит нашу трапецию на два треугольника. Это будут треугольники ABD и BCD.

И чтобы получить площадь нашей трапеции, нужно посчитать отдельно площади этих треугольников и сложить их.

А как вычислять площадь треугольника, мы уже знаем (или должны знать, согласно школьному курсу). Надо перемножить длину его основания и высоту и поделить на два.

У треугольника ABD высота – это BH. А у треугольника BCD в силу его выпуклости нам пришлось продлить зрительно основание BC, чтобы получить высоту Dh2.

Но в случае с трапецией высоты равны, то есть BH = Dh2. И тогда формулу площади для второго треугольника можно заменить на:

И наконец, с учетом всего вышесказанного начинаем вычислять площадь нашей трапеции. Она равна:

Как часто говориться на уроках геометрии – что и требовалось доказать!

Извиняемся за столь подробное описание доказательства. Но, во-первых, это требуется в рамках школьной программы. А во-вторых, всегда ведь интересно докопаться до самой сути и понять, как и почему именно так что-то устроено.

Как еще можно найти площадь трапеции (другие формулы)

На этот раз мы уже не будем приводить подробные доказательства каждой из формул. Иначе это займет слишком много времени и места. Просто поверьте, все они правильные и по ним можно вычислить площадь трапеции.

По высоте и средней линии

Средняя линия – это та, которая делит боковые стороны трапеции на две равные части. Формула площади выглядит совсем просто:

По четырем сторонам

Тут формула гораздо сложнее:

Площадь трапеции через диагонали

По основанию и углам при нем

Формулы площади для равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция – та, у которой боковые стороны равны. А соответственно, они еще и соприкасаются с основаниями под одинаковыми углами.

Это частный случай, и для него верны все перечисленные формулы. Но с учетом равенства сторон и углов формулы заметно упрощаются.

По четырем сторонам

По малому основанию, боковой стороне и углу у большого основания

По большому основанию, углу при нем и боковой стороне

По основаниям и углам

Как видите, формулы громоздкие и весьма сложные сами по себе. Без калькулятора здесь точно не обойтись. С другой стороны, они крайне редко применяются. И служат скорее дополнительными средствами.

Вот и все, что мы хотели рассказать о том, как вычислять площадь трапеции.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Как найти площадь трапеции: формула, калькулятор онлайн

Информация

В нашей жизни такая отрасль, как строительство, является одной из важнейших. Это связанно с тем, что именно строительство позволяет нам жить в комфортных условиях, когда тепло, сухо и тихо. Однако, строительство также является невероятно ответственной сферой деятельности. Это целый процесс, состоящий из проектирования, расчетов, технических работ и многих других нюансов. Специалисты, осуществляющие все работы (механические и теоретические) в процессе строительства, несут большую ответственность за жизни тех людей, которые в дальнейшем будут эксплуатировать здание.

Поэтому они обязаны внимательно проводить расчеты различных значений показателей, одним и которых является формула площади трапеции. Данная формула является одной из многих формул, которые обязаны знать специалисты определенных отраслей. Также стоит учитывать существующее разнообразие трапеций: прямоугольные, равнобедренные и произвольные. Всю подобную информацию обязаны учитывать сотрудники многих отраслей и знать, как найти площадь трапеции.

Онлайн калькулятор расчёта площади трапеции

Мы разработали калькулятор, который существенно упрощает работу людям как в сфере строительства, так и в многих других сферах деятельности. Наш калькулятор поможет просчитать площадь прямоугольной трапеции в кротчайшие сроки и избегая вероятности допущения какой-либо ошибки при расчетах. Помимо прямоугольной трапеции, калькулятор может рассчитать площадь равнобедренной трапеции, также просто. Для этого Вам нужно просто ввести исходные данные, которые запрашивает калькулятор.

Наш калькулятор запрограммирован таким образом, что он не только рассчитывает площадь любого вида трапеции, и сообщает чему она ровна, в одно мгновение, но и демонстрирует формулы расчета, а также дает Вам возможность выбрать по какой формуле рассчитать площадь трапеции.

Наш калькулятор онлайн дает большое количество преимуществ:

Таким образом, калькулятор онлайн является эффективным инструментом как для строителя, так и любого другого человека, который столкнулся с необходимостью расчета какого-либо показателя.

Как найти площадь трапеции: формулы и примеры

Практика прошлогодних ЕГЭ и ГИА показывает, что задачи по геометрии вызывают сложности у многих школьников. Вы легко справитесь с ними, если заучите все нужные формулы и попрактикуетесь в решении задач.

В этой статье вы увидите формулы нахождения площади трапеции, а также примеры задач с решениями. Такие же могут попасться вам в КИМах на аттестационных экзаменах или на олимпиадах. Поэтому отнеситесь к ним внимательно.

Что нужно знать про трапецию?

Для начала вспомним, что трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны, их еще называют основаниями, параллельны, а две другие – нет.

В трапеции также может быть опущена высота (перпендикуляр к основанию). Проведена средняя линия – это прямая, которая параллельна основаниям и равна половине их суммы. А также диагонали, которые могут пересекаться, образуя острые и тупые углы. Или, в отдельных случаях, под прямым углом. Кроме того, если трапеция равнобедренная, в нее можно вписать окружность. И описать окружность около нее.

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h.

Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h. Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.

Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d₁и d₂, которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними: S= 1/2d₁d₂ *sinα.

Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Мы рассмотрим несколько вариантов формулы площади равнобедренной трапеции.

Первый вариант: для случая, когда внутрь равнобедренной трапеции вписана окружность с радиусом r, а боковая сторона и большее основание образуют острый угол α. Окружность может быть вписана в трапецию при условии, что сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон.

Формула площади криволинейной трапеции

Начнем с того, что разберемся: что такое криволинейная трапеция. Представьте себе ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знака в пределах заданного отрезка [a; b] на оси x. Криволинейную трапецию образуют график функции у = f(x) – вверху, ось х – внизу (отрезок [a; b]), а по бокам – прямые, проведенные между точками a и b и графиком функции.

Вычислить площадь такой нестандартной фигуры нельзя приведенными выше способами. Тут нужно применить математический анализ и использовать интеграл. А именно: формулу Ньютона-Лейбница – S = ∫ b _af(x)dx = F(x)│ b _a = F(b) – F(a). В этой формуле F – первообразная нашей функции на выбранном отрезке [a; b]. И площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на заданном отрезке.

Примеры задач

Чтобы все эти формулы лучше улеглись в голове, вот вам несколько примеров задач на нахождение площади трапеции. Лучше всего будет, если вы сперва попробуете решить задачи сами, и только потом сверите полученный ответ с готовым решением.

Задача №1: Дана трапеция. Ее большее основание – 11 см, меньшее – 4см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, вторая – 9 см.

Решение: Постройте трапецию АМРС. Проведите прямую РХ через вершину Р так, чтобы она оказалась параллельной диагонали МС и пересекла прямую АС в точке Х. Получится треугольник АРХ.

Мы рассмотрим две полученных в результате этих манипуляций фигуры: треугольник АРХ и параллелограмм СМРХ.

Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = МР = 4см. Откуда можем вычислить сторону АХ треугольника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Дальше вам потребуется доказать, что треугольники АМР и РСХ являются равновеликими. Основанием послужит равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опустите на эти стороны – они равны высоте трапеции АМРС.

Задача №2: Дана трапеция КРМС. На ее боковых сторонах расположены точки О и Е, при этом ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ находятся в соотношении 1:5. РМ = а и КС = b. Требуется найти ОЕ.

Решение: Проведите через точку М прямую, параллельную РК, и точку ее пересечения с ОЕ обозначьте Т. А – точка пересечения прямой, проведенной через точку Е параллельно РК, с основанием КС.

Введем еще одно обозначение – ОЕ = х. А также высоту h₁ для треугольника ТМЕ и высоту h₂ для треугольника АЕС (вы можете самостоятельно доказать подобие этих треугольников).

Будем считать, что b > а. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ относятся как 1:5, что дает нам право составить такое уравнение: (х + а) * h₁ = 1/5(b + х) * h₂. Преобразуем и получим: h₁/ h₂ = 1/5 * ((b + х)/(х + а)).

Раз треугольники ТМЕ и АЕС подобные, имеем h₁/ h₂ = (х – а)/( b – х). Объединим обе записи и получим: (х – а)/(b – х) = 1/5 * ((b + х)/(х + а)) ↔ 5(х – а)(х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х 2 – а 2 ) = (b 2 – х 2 ) ↔ 6х 2 = b 2 + 5а 2 ↔ х = √(5а 2 + b 2 )/6.

Таким образом, ОЕ = х = √(5а 2 + b 2 )/6.

Также советуем посмотреть вам наше новое видео по теме нахождения площади фигур, в том числе и трапеции:

Заключение

Геометрия не самая легкая из наук, но вы наверняка сможете справиться с экзаменационными заданиями. Достаточно проявить немного усидчивости при подготовке. И, конечно, запомнить все нужные формулы.

Мы постарались собрать в одном месте все формулы вычисления площади трапеции, чтобы вы могли воспользоваться ими, когда будете готовиться к экзаменам и повторять материал.

Обязательно расскажите про эту статью одноклассникам и друзьям в социальных сетях. Пускай хороших оценок за ЕГЭ и ГИА будет больше!

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Как найти площадь трапеции (формула и видео) // Tutors.com

Содержание

Трапеция представляет собой четырехугольник с одной парой параллельных сторон. Итак, этот четырехсторонний многоугольник представляет собой плоскую фигуру и замкнутую фигуру. Он имеет четыре отрезка линии и четыре внутренних угла.Параллельные стороны — это две базы трапеции ; две другие стороны — его ноги.

Что такое средний по математике?

В математике среднее значение представляет собой сумму группы чисел, деленную на количество элементов в группе.

Чтобы найти площадь трапеции, вы найдете среднюю длину двух оснований.

Как найти площадь трапеции

Чтобы найти площадь любой трапеции, начните с обозначения ее основания и высоты.На нашей трапеции обозначьте более длинное основание a и более короткое основание b. Обозначьте линию, перпендикулярную двум основаниям, h для высоты или высоты трапеции.

Обратите внимание, мы не пометили ноги. Нам не нужно ничего знать о длине ног или углах вершин, чтобы найти площадь.

Площадь трапеции, формула

Формула площади трапеции — это среднее значение оснований, умноженное на высоту. В формуле длинное и короткое основание — это a и b, а высота — h:

Умножение на 12 аналогично делению на 2.Мы берем половину суммы длины двух оснований (их среднее значение), а затем умножаем ее на высоту или высоту, чтобы найти площадь в квадратных единицах.

Уравнение площади трапеции

Трапеция LMNO имеет параллельные основания LM и NO. Линейный сегмент LM имеет длину 7 см, а линейный сегмент NO — 13 см. Мы обозначим более длинную сторону NO как a, а короткую сторону LM как b. Высота h 5 см.

Сначала давайте подставим эти числа в нашу формулу:

площадь = 13 см + 7 см2 × 5 см

Далее складываем 13 плюс 7 и получаем:

площадь = 20 см2 × 5 см

Потом делим на два и получаем:

площадь = 10 см × 5 см

Наконец, умножаем и получаем ответ:

площадь = 50 см2

Площадь этой трапеции составляет 50 квадратных сантиметров.

Площадь трапеции Примеры

Теперь попробуйте! Другая трапеция имеет длинное основание a, 11 метров, и более короткое основание b, 7 метров. Его высота h составляет 9 метров. Какая площадь в квадратных метрах?

площадь = 11 см + 7 см2 × 9 см

Получили 81 квадратный метр? Ваш ответ для площади всегда выражается в квадратных единицах линейного измерения. Таким образом, трапеция, измеренная в футах, дает площадь в квадратных футах, сантиметры — в квадратных сантиметрах и так далее.

Помните, что умножение на 1/2 аналогично делению на 2, поэтому вы можете сложить длины оснований, а затем разделить их сумму на два, если вам так легче.

Из-за коммутативности умножения вы можете переставить эти три числа, 12, высоту h и длину основания a + b, в любом порядке, чтобы упростить вычисление.

Итак, с трапецией LMNO вы могли бы написать такую ​​формулу, как:

площадь = 12 × 9 × (11 + 7)

Пример # 2

Вот вам еще один пример. Новая трапеция перевернута по сравнению с тем, как вы их обычно видите, но пусть это вас не остановит! Короткое основание b имеет длину 21 дюйм.Длинное основание a (на этот раз вверху рисунка) составляет 31 дюйм в длину. Высота h (независимо от того, с какой стороны вы смотрите на трапецию) составляет 5 дюймов.

площадь = 12 × 5 × (31 + 21)

площадь = 12 × (31 + 21) × 5

площадь = 31 + 212 × 5

Как бы вы ни использовали формулу, вы всегда получите один и тот же ответ: площадь = 130 дюйм2

Краткое содержание урока

В этом уроке и видео мы рассмотрели, что такое трапеция, изучили, как средние значения играют роль в геометрии, научились маркировать и использовать части трапеции для вычисления площади, а также узнали формулу для вычисления площади трапеции в квадратные единицы.

Следующий урок:

Площадь трапеции — пояснения и примеры

В трапеции параллельные стороны известны как основания, а пара непараллельных сторон известна как ноги.Расстояние по перпендикуляру между двумя параллельными сторонами трапеции называется высотой трапеции.

Проще говоря, основание и высота трапеции перпендикулярны друг другу.

Трапеции могут быть как правыми трапециями (два угла 90 градусов), так и равнобедренными трапециями (две стороны одинаковой длины). Но иметь один прямой угол невозможно, потому что у него есть пара параллельных сторон, которые ограничивают его, образуя два прямых угла одновременно.

Из этой статьи вы узнаете:

Как найти площадь трапеции?

Площадь трапеции — это область, покрытая трапецией в двухмерной плоскости. Это пространство, заключенное в 2D-геометрии.

На рисунке выше трапеция состоит из двух треугольников и одного прямоугольника.Следовательно, мы можем вычислить площадь трапеции, взяв сумму площадей двух треугольников и одного прямоугольника.

Вывести формулу площади трапеции

Площадь трапеции ADEF = (½ x AB x FB ) + ( BC x FB ) + (½ x CD x EC )

= ¹ / ₂ × h × (b ₁ + b ₂ ) ……………….(Это формула площади трапеции)

Формула площади трапеции

Согласно формуле площади трапеции, площадь трапеции равна половине произведения высоты и суммы двух оснований.

Площадь = ½ x (сумма параллельных сторон) x (расстояние по перпендикуляру между параллельными сторонами).

Площадь = ½ h (b ₁ + b ₂ )

Где h — высота, а b _1, и b ₂ — параллельные стороны трапеции.

Как определить площадь неправильной трапеции?

Неровная трапеция имеет непараллельные стороны неравной длины. Чтобы найти его площадь, вам нужно найти сумму оснований и умножить ее на половину высоты.

В вопросе иногда не хватает высоты, что можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Как найти периметр трапеции?

Вы знаете, что периметр — это сумма всех длин внешнего края фигуры.Следовательно, периметр трапеции — это сумма длин всех 4 сторон.

Пример 1

Вычислите площадь трапеции, высота которой составляет 5 см, а основания — 14 см и 10 см.

Пусть b ₁ = 14 см и b ₂ = 10 см

Площадь трапеции = ½ h (b ₁ + b ₂ ) см 2

= ½ x 5 (14 + 10) см 2

Пример 2

Найдите площадь трапеции с высота 30 мм, а основания 60 мм и 40 мм.

Площадь трапеции = ½ h (b ₁ + b ₂ ) кв. Единиц

= ½ x 30 x (60 + 40) мм 2

= ½ x 30 x 100 мм 2

Пример 3

Площадь трапеции составляет 322 квадратных дюйма. Если длины двух параллельных сторон трапеции составляют 19 дюймов и 27 дюймов, найдите высоту трапеции.

Площадь трапеции = ½ часа (b ₁ + b ₂ ) кв.единицы измерения.

⇒ 322 квадратных дюйма = ½ x в x (19 + 27) кв. дюймов

⇒ 322 квадратных дюйма = ½ x h x 46 кв. дюймы

Разделите обе стороны на 23.

Итак, высота трапеции составляет 14 дюймов.

Пример 4

Пусть b ₁ = 25 м

Площадь трапеции = ½ h (b ₁ + b ₂ ) кв. Единиц

⇒ 352 м 2 = ½ x 16 м x (25 m + b ₂ ) квадратных единиц

⇒ 352 = 8 x (25 + b ₂ )

Вычтите 200 с обеих сторон.

Разделите обе стороны на 8, чтобы получить;

Следовательно, длина другого основания трапеции составляет 19 м.

Пример 5

Рассчитайте площадь трапеции, показанной ниже.

Поскольку стороны (непараллельные стороны) трапеции равны, то высоту трапеции можно рассчитать следующим образом;

Чтобы получить основание двух треугольников, вычтите 15 см из 27 см и разделите на 2.

12 2 = h 2 + 6 2 По теореме Пифагора высота (h) рассчитывается как;

144 = h 2 + 36.

Вычтем 36 с обеих сторон.

Следовательно, высота трапеции 10,39 см.

Теперь вычислите площадь трапеции.

Площадь трапеции = ½ ч (b ₁ + b ₂ ) кв. единицы измерения.

Пример 6

Пусть высота = x

Другая база равна 10 м, чем высота = x + 10.

Площадь трапеции = ½ h (b ₁ + b ₂ ) Кв. единицы измерения.

480 = ½ * x * (x + 10 + 18)

480 = ½ * x * (x + 28)

Используйте свойство распределения, чтобы удалить круглые скобки.

Умножьте каждый член на 2.

x 2 + 28x — 960 = 0

Решите квадратное уравнение, чтобы получить;

x = — 48 или x = 20

Подставьте положительное значение x в уравнение высоты и основания.

Другая база = x + 10 = 10 + 20 = 30 м.

Следовательно, другое основание и высота трапеции 30 и 20 м соответственно.

Практические задачи

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Как найти площадь трапеции

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects. org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Калькулятор площади трапеции

Если у вас когда-либо были проблемы с запоминанием формул в классе геометрии, эта область калькулятора трапеции обязательно вам поможет. Всего за несколько простых шагов вы сможете найти площадь трапеции и определить все другие ее свойства, такие как длины сторон или внутренние углы. Итак, если вас беспокоят такие вопросы, как «как найти периметр трапеции», не смотрите дальше — просто продолжайте читать, чтобы узнать!

Вы также можете воспользоваться нашим калькулятором длины окружности, чтобы более подробно проанализировать геометрию круга.

Что такое трапеция?

Трапеция — это четырехсторонняя геометрическая форма, две стороны которой параллельны друг другу.Эти две стороны ( a и b на изображении выше) называются основаниями трапеции. Две другие стороны ( c и d ) называются ножками. h — высота трапеции.

Сумма всех внутренних углов трапеции дает 360 °. Кроме того, углы на одной стороне ножки называются смежными и всегда в сумме составляют 180 °:

Как найти площадь трапеции?

Площадь трапеции находится по следующей формуле:

Как найти периметр трапеции?

Вы также можете использовать вычислитель площади трапеции, чтобы найти периметр этой геометрической формы. Просто сложите все стороны длины вместе:

Использование калькулятора площади трапеции: пример

Предположим, вы хотите вычислить площадь определенной трапеции. Все данные:

Найдите длины сторон трапеции, используя формулу синуса угла:

c = sin 30 ° * 6 = 12 см

d = sin 55 ° * 6 = 7,325 см

A = (a + b) * h / 2 = (4 + 1,675) * 6/2 = 17,026 см²

Обязательно взгляните и на калькулятор шестиугольника!

Площадь трапеции. Определение, формула и калькулятор

Площадь трапеции. Определение, формула и калькулятор — Открытый справочник по математике

Количество квадратных единиц, необходимое для полного заполнения
трапеция.
Формула: Средняя ширина × высота

Попробуйте это Перетащите оранжевые точки, чтобы переместить трапецию и изменить ее размер. Как размер трапеции
изменяется, производится пересчет площади.

Формула площади

Площадь трапеции равна средней ширине, умноженной на высоту, или по формуле:

где
b1, b2 — длины каждого основания,
h — высота (высота)

Напомним, что основания — это две параллельные стороны трапеции.
Высота (или высота) трапеции — это
перпендикулярное расстояние
между двумя базами.

В приведенном выше апплете нажмите «заморозить размеры». Когда вы перетаскиваете любую вершину, вы увидите, что трапеция перерисовывается, сохраняя неизменными высоту и основания. Обратите внимание, как область в отображаемой формуле не меняется. Площадь зависит только от высоты и длины основания, поэтому, как видите, существует множество трапеций с заданным набором размеров, которые имеют одинаковую площадь.

Вывод формулы

См. Раздел «Как получить формулу площади трапеции».

Калькулятор

Используйте калькулятор выше, чтобы рассчитать высоту, базовую длину и площадь трапеции.

Введите любые три значения, и будет вычислено недостающее.
Например: введите высоту и две базовые длины и нажмите «Рассчитать». Площадь будет рассчитана.

Точно так же, если вы введете площадь и две длины основания, будет рассчитана высота, необходимая для получения этой площади.

Определение высоты по площади

Как найти высоту (высоту) трапеции, задайте две базы и площадь.Приведенная выше основная формула площади имеет четыре переменные (площадь, два основания и высоту). Если мы знаем какие-то три, мы всегда сможем найти четвертый.
Так, например, если мы знаем площадь и две базы, мы можем найти высоту, просто изменив основную формулу:

Где a — площадь, а b1, b2 — две базы.

Поиск базы в районе

Как найти основание трапеции, укажите одно из оснований, высоту и площадь.
Приведенная выше основная формула площади имеет четыре переменные (площадь, два основания и высоту).Если мы знаем какие-то три, мы всегда сможем найти четвертый.
Так, например, если мы знаем площадь, одно основание и высоту, мы можем найти недостающее основание, просто изменив основную формулу:

Где a — это площадь, b — известная база, а h — высота (высота).

Если известно медианное значение

Напомним, что
медиана (м) трапеции
— отрезок прямой, соединяющий середины непараллельных сторон. Напомним также, что длина медианы — это среднее значение двух параллельных сторон.См. Медиану трапеции

Где м, — это медиана, а х — высота (высота).

Площадь как сложная форма

Другой способ найти площадь трапеции — рассматривать ее как более простые формы, а затем добавлять или вычитать их площади, чтобы найти результат. Для
Например, трапецию можно рассматривать как меньший прямоугольник плюс два прямоугольных треугольника:

Дополнительные сведения об этой общей технике см. В разделе «Область неправильных многоугольников».

Координатная геометрия

В координатной геометрии, если вы знаете координаты четырех вершин,
вы можете рассчитать различные его свойства, в том числе площадь и периметр.Для получения дополнительной информации см. Площадь и периметр трапеции (Координатная геометрия).

Что стоит попробовать

Другие полигоны

Общий

Типы многоугольника

Площадь различных типов полигонов

Периметр различных типов полигонов

Углы, связанные с многоугольниками

Именованные полигоны

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Площадь трапеции Калькулятор

[1] 2021.03.31 02:55 Мужчина / До 20 лет / Другое / Немного /

Цель использования требуется способность Комментарий / запрос потребности возможность смены левой и правой сторон

[2] 2021/02/26 00:48 Женский / До 20 лет / Начальная школа / Младший старшеклассник / Не совсем /

Цель использования найдите область трапеции с неизвестной высотой

[3] 23.02.2021 22:14 Женский / — / Старшая школа / Университет / Аспирант / Полезно /

Цель использования Догоняй по математике работа

[4] 2021.01.21 00:14 Мужчина / До 20 лет / Начальная школа / Неполный средний класс / Полезно /

Цель использования Помощь со школой

[5 ] 22.09.2020 04:12 Женщина / Уровень 20 лет / Инженер / Очень / 9002 1

Цель использования Расчеты для инженерного проекта в работе

[6] 24.07.2020 19:57 Мужской / 20-летний уровень / Высшая школа / Университет / Аспирант / Очень /

Цель использования Требуется поверхность крыши в саду

[7] 30.01.2020 10:10 Женский / До 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / — /

Цель использования помогите с домашним заданием

[8] 2019/11/28 02:47 Женщина / Уровень 20 / Домохозяйка / Очень /

Цель использования Разработка плана этажа дома Комментарий / Запрос Было бы Было бы неплохо, если бы была включена формула для нахождения длин диагональных сторон трапеции

[9] 2018/12/03 10:50 Женщина / Моложе 20 лет / Начальная школа / Ученица неполной средней школы / Очень /

Цель использования Путать формулой 908 25

[10] 2018/06/24 01:51 Мужчина / уровень 50 лет / Пенсионеры A / Очень /

Сообщение об ошибке Шеттейл размером 110 × 110 × 110 × 87 футов и высотой 18 футов.Сколько бумаги требуется для крышки бака.

Обнаружение формул для площади — элементарная математика

Формулы площади

Студенты, у которых есть неформальное представление о том, что область — это «количество двумерного« материала », содержащегося внутри области, могут изобрести для себя большинство формул, которые их часто просят просто запомнить. Каждая формула, которую они изобретают заново, помогает им лучше понять (и запомнить) другие известные им формулы. (См. Также площадь поверхности.)

Площадь прямоугольников

Выбирая квадрат в качестве единицы площади, мы получаем интуитивное представление о площади прямоугольников.Если мы решим, что площадь этого квадрата равна 1, то прямоугольник, который в 7 раз длиннее, будет иметь площадь 7 × 1.

Прямоугольник, который вдвое превышает высоту, будет иметь удвоенную площадь, поэтому площадь составляет 2 × 7 единиц площади. Мы можем сосчитать два ряда по семь квадратов. Точно так же он имеет 3 ряда по 7 квадратов (или 7 столбцов по 3 квадрата), всего 7 × 3 квадратов, поэтому его площадь составляет 21 квадратную единицу.

Количество квадратов в одном ряду — это длина прямоугольника. Количество строк — это высота прямоугольника.Таким образом, площадь равна длине × высоте.

Поскольку прямоугольник можно нарисовать под наклоном, «высота» определяется как «направление, перпендикулярное основанию», а «основание» определяется как, ну, с какой бы стороны вы ни выбрали его.

Это работает для подсчета чисел. Это работает даже для дробей. Показанный здесь синий прямоугольник измеряет половину единицы длины на пять с половиной единиц длины. Если мы выберем соответствующий квадрат в качестве единицы площади, мы увидим, что синий прямоугольник содержит пять половин площади и одну четверть единицы площади, или всего две и три четверти единицы площади.(Розовые части показывают завершение каждой квадратной единицы площади.)

Площадь параллелограммов

Мы можем вычислить формулу площади параллелограмма, разрезав параллелограмм и переставив части, чтобы получился прямоугольник.Поскольку параллелограмм и прямоугольник состоят из одинаковых частей, они обязательно имеют одинаковую площадь. (См. Определение площади, чтобы узнать, почему эти области одинаковы.)

Мы видим, что они и имеют точно такую ​​же длину основания (синий) и точно такую ​​же высоту (зеленый). Поскольку основание × высота дает площадь прямоугольника, мы можем использовать те же измерения на параллелограмме, чтобы вычислить его площадь: основание × высота .(Как и раньше, «высота» измеряется перпендикулярно основанию, а «основание» — это та сторона, которую вы выбрали первой. См. Параллелограмм.)

На разрезе, показанном выше, легко увидеть, что базовая длина не изменилась. Фактически, перпендикулярный разрез можно делать где угодно по основанию.

Укрепление отверстий

Интуиция и доказательство

Что, если мы выберем короткую сторону в качестве основания?

Мы можем выбрать любую сторону в качестве основы; «Высота» определяется как измеряемая перпендикулярно стороне, которую мы выбираем в качестве основания. Если мы возьмем за основу короткую сторону (синюю), то рассечение, показанное выше, не будет таким убедительным.Резка на такой высоте и перестановка деталей оставляет беспорядок:

В этом конкретном примере мы можем спасти беспорядок, сделав еще один разрез, но что, если бы параллелограмм был еще длиннее и тоньше?

Немного другая идея рассечения в этом случае значительно упрощает жизнь. (Самостоятельно вы можете показать, что это работает и в исходном корпусе.)

Почему так важно быть осторожным?

В большинстве учебных программ учащиеся не имеют достаточной систематической базы геометрических знаний до 8-го класса, чтобы убедительно доказать, что эти вскрытия работают.Но интуитивного понимания достаточно для объяснения и обоснования формул и хорошей основы для дальнейшего изучения геометрии.

Площадь треугольника

Знание того, как найти площадь параллелограмма, помогает нам найти площадь треугольника.

Рассечение треугольника

Удвоение треугольника и уменьшение полученной площади вдвое

(Как всегда, выберите «основание» и измерьте высоту перпендикулярно этому основанию, от основания до противоположной вершины.)

Площадь трапеции

Удвоение трапеции и уменьшение полученной площади вдвое

Как и в случае с треугольником, две копии трапеции можно соединить вместе, чтобы получился параллелограмм.

Рассечение трапеции

Мы также можем разрезать трапецию так же, как мы разрезали треугольник, с одним срезом, разрезающим ее высоту пополам. Две части соединяются вместе, образуя параллелограмм, основание которого является суммой двух оснований трапеции, но высота которого равна половине высоты трапеции.

В случае трапеции основания не могут быть выбраны произвольно. Две параллельные стороны являются основаниями, а высота, как всегда, представляет собой перпендикулярное расстояние от одного основания до противоположного.

Площадь этого параллелограмма равна его высоте (полувысоте трапеции), умноженной на его основание (сумма оснований трапеции), поэтому его площадь равна полувысоте × ( основание1 + основание2 ). Поскольку параллелограмм состоит из того же материала, что и трапеция, это тоже площадь трапеции.

Площадь остальных четырехугольников

Площадь ромба

Площадь ромба может быть найдена путем разрезания и перестановки частей в форме параллелограмма. Это можно сделать несколькими способами:

Площадь кайта

Площадь воздушного змея может быть похожа на площадь ромба. Если разрезать более длинную диагональ, получатся два равных треугольника. Если мы переставим их, мы можем сформировать параллелограмм с более длинной диагональю (b) в качестве основания и половиной более короткой диагонали (a) в качестве высоты. Итак, площадь становится b * a = ab. Более сложный подход требует немного алгебры. Разрежьте змей по более короткой диагонали, чтобы сформировать два треугольника с более короткой диагональю (a) в качестве основы.Таким образом, площадь первого треугольника — * волнистая, где волнистая — высота. Площадь второго треугольника равна a * (b — волнистый), где (b — волнистый) — оставшаяся часть большей диагонали. Таким образом, общая площадь становится (a * волнистая) + (a * (b — волнистая)). Вынося за скобки a, получаем a (волнистый + b — волнистый) = ab.

Ну что вы знаете. По сути, вам нужно только знать формулу для площади параллелограмма, а затем вывести формулу для других.

Источник