Что такое корень числа

Что такое
квадратный корень

В уроке «Степень числа» мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя. Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:

Но как быть, если нам нужно получить обратный результат? Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число « 9 »?

Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.

У квадратного корня есть специальный знак. Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает « 9 », это число « 3 ». Запись извлечения квадратного корня из числа « 9 » выглядит так:

Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический». Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.

Число под знаком корня называют подкоренным выражением.

Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом. Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.

Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа.

Квадратный корень из нуля

Квадратный корень из нуля равен нулю.

Квадратный корень из единицы

Квадратный корень из единицы равен единице.

Как найти квадратный корень из числа

Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто. Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.

Решение примеров с квадратными корнями

Разбор примера

Вычислить арифметический квадратный корень из числа.

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

При нахождении квадратного корня из десятичной дроби нужно выполнить следующие действия:

Более подробно разберем на примере ниже.

Разбор примера

Вычислить квадратный корень из десятичной дроби « 0,16 ».

По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа « 16 ».

Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает « 16 ». Это число « 4 ».

Вспомним правило умножения десятичных дробей. Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой дроби.

Т.е., например, при умножении « 0,15 » на « 0,3 » в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.

Значит, при вычислении квадратного корня √ 0,16 нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой. Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться два знака после запятой, как у десятичной дроби « 0,16 ».

Получается, что ответ — десятичная дробь « 0,4 ».

Убедимся, что квадрат десятичной дроби « 0,4 2 » дает « 0,16 ». Умножим в столбик « 0,4 » на « 0,4 ».

Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:

Представим вместо десятичной дроби « 1,44 » целое число « 144 ». Какое число в квадрате даст « 144 »? Ответ — число « 12 ».

Так как в десятичной дроби « 1,44 » — два знака после запятой, значит в десятичной дроби, которая дала в квадрате « 1,44 » должен быть один знак после запятой.

Убедимся, что « 1,2 2 » дает в квадрате « 1,44 ».

1,2 2 = 1,2 · 1,2 = 1,44

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен √ 2 или √ 3 и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст « 2 »? Или число « 3 »? Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя непериодическую десятичную дробь и входит в множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:

√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число « 7 ». Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно оставить с корнем.

√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора, то после вычисления квадратного корня на калькуляторе округлите результат до необходимого количества знаков.

Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:

«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до « 0,001 ».

√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7 ≈ 2,646

Источник

Вычислить квадратный корень из числа

Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

Число знаков после запятой:

√

Что такое квадратный корень

Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:

Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

Раскладываем число на квадратные множители. Число 784 кратно 4, значит первый квадратный множитель — 4 x 4 = 16. Делим 784 на 16 получаем 49 — это тоже квадратное число 7 x 7 = 16.
Применим правило Извлекаем корень из каждого квадратного множителя, умножаем результаты и получаем ответ.	Ответ.

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

Раскладываем число 252 на квадратный и обычный множитель.
Оцениваем значение корня. Для этого подбираем два квадратных числа, которые стоят впереди и сзади подкоренного числа в цифровой линейки.	Подкоренное число — 7. Значит ближайшее большее квадратное число будет 8, а меньшее 4. между 2 и 4.
Оцениваем значение	Вероятнее √7 ближе к 2. Подбираем таким образом, чтобы при умножении этого числа на само себя получилось 7. 2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76 7.
Вычисляем корень

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала.
Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так: — целую часть справа налево; — число после запятой слева направо.	Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 Допускается, что вначале остается непарное число.
Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел). Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа. У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 =
Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7. А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_. Примечание: числа должны быть одинаковыми.
Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8.
Запишите найденное число в верхнем правом углу. Это второе число из искомого корня. Снесите следующую пару чисел и запишите возле полученной разницы слева.
Вычтите полученное справа произведение из числа слева. Удваиваем число, которое расположено справа вверху и записываем выражение с прочерками.
Сносим к получившейся разнице еще пару чисел. Если это числа дробной части, то есть расположены за запятой, то и в верхнем правом углу возле последней цифры искомого квадратного корня ставим запятую. Заполняем прочерки в выражении справа, подбирая число так, чтобы полученное произведение было меньше или равно разницы выражения слева.
Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение прочерками, подбираем множители для него и так далее.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.

Источник

Что такое квадратный корень

О чем эта статья:

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:

Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.

Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень из

Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.

Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.

Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

Это два нетождественных друг другу выражения.

— это квадратное уравнение.

— арифметический квадратный корень.

Из выражения следует, что:

Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.

Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

Пример решен неверно

Это квадратное уравнение.

Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.

Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Даны два выражения:

Первое выражение — квадратное уравнение.

Второе выражение — арифметический квадратный корень.

Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

Примеры иррациональных чисел:

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.

Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.

Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:

Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.

В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень.

Извлечение корней

Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.

Таблица квадратов

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Влево — 1, вверх — 7.

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.

Ищем в таблице число 7396.

Влево — 8, вверх — 6.

Ищем в таблице число 9025.

Влево — 9, вверх — 5.

Ищем в таблице число 1600.

Влево — 4, вверх — 0.

Извлечением корня называется нахождение его значение.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.

Корень произведения равен произведению корней

Извлечь корень из дроби — это извлечь корень из числителя и из знаменателя

Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем

Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три операции с корнями. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.

Умножение арифметических корней

Для умножения арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.

Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:

Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями:

Деление арифметических корней

Для деления арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Ответ: смешанную дробь превращаем в неправильную (16 * 3) + 1 = 49

Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.

Возведение арифметических корней в степень

Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:

Примеры:

Эти две формулы нужно запомнить:

Повторите свойства степеней или запишитесь на курсы по математике, чтобы без труда решать такие примеры.

Внесение множителя под знак корня

Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.

А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.

Число семь умножено на квадратный корень из числа девять.

Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.

В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня.

Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.

Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.

Формула внесения множителя под знак корня:

Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.

Вынесение множителя из-под знака корня

С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.

В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:

Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.

Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.

Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения,

Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.

Вынесите множитель из-под знака корня в выражении:

Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4.

Представим в виде

Представим в виде

Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.

Выносим общий множитель за скобки:

Далее вычисляем все, что в скобках:

Сравнение квадратных корней

Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.

Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.

Если:

Давайте разберем на примере.

Сравните два выражения: и

Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

Сравните два выражения: и

Сравните два выражения: и

Сравните два выражения: и

Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.

Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.

Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.

Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.

Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.

Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

Определить «сотни», между которыми оно стоит.

Определить «десятки», между которыми оно стоит.

Определить последнюю цифру в этом числе.

Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.

Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.

Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей

4 2 = 16 ⇒ 6

5 2 = 25 ⇒ 5

6 2 = 36 ⇒ 6

7 2 = 49 ⇒ 9

8 2 = 64 ⇒ 4

9 2 = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.

Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.

Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.

Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.

Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.

Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.

Еще пример. Извлечем корень из числа

Источник

Квадратный корень — все, что нужно для сдачи ОГЭ и ЕГЭ

Зачем нужен квадратный корень? Очень хороший вопрос…

Попробуй на калькуляторе извлечь корень из трех.

Получается число, которое никогда не кончается: \( \sqrt<3>=1,732050807568\ldots \)

Как же такое число запомнить? А как его записать, если, допустим, нельзя округлять? Например на ЕГЭ?

Очень просто. С помощью квадратного корня. Пишешь \( \sqrt <3>\) и все.

Именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня. К слову такие числа называются иррациональными.

Ну и давай теперь разберемся с квадратным корнем…

Квадратный корень. Коротко о главном

Определение квадратного корня

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \( \displaystyle a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \( \displaystyle a\).

Главное!

Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Свойства арифметического квадратного корня

Что такое арифметический квадратный корень

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \(a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). \( (\sqrt=x,\ <^<2>>=a;\ x,\ a\ge 0)\).

А почему же число \( a\) (число под корнем) должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен \( \sqrt<-9>\)?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число! Это надо запомнить!

Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что не только число под корнем должно быть неотрицательным, но и само значение тоже должно быть неотрицательным!

Ведь в определении сказано, что «квадратным корнем из числа\( a\)называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен\( a\)».

Но подождите! В самом начале мы разбирали пример \( <^<2>>=4\) и один из ответов был отрицательным числом!

А тут говорится, что квадратным корнем должно быть «неотрицательное число»! Почему?

Такой вопрос вполне уместен. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратного уравнения и арифметического квадратного корня.

К примеру, \( \displaystyle <^<2>>=4\) (квадратное уравнение) не равносильно выражению \( x=\sqrt<4>\) (арифмитический квадратный корень).

\( \left| x \right|=\sqrt<4>\), то есть \( x=\pm \sqrt<4>=\pm 2\) или \( <_<1>>=2\); \( <_<2>>=-2\)

(не помнишь почему так? Почитай тему «Модуль числа»!)

А из \( x=\sqrt<4>\) следует, что \( x=2\).

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки «плюс-минус» являются результатом решения квадратного уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как \( 2\), так и \( x=-2\).

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Наглядный пример разницы между квадратным уравнением и квадратным корнем

Этот наглядный пример привёл наш читатель Игорь, спасибо ему за это:

Пусть есть две ситуации:

Во втором случае у нас нет квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда «одно неотрицательное число», то есть 8.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

А теперь попробуй решить такое уравнение \( <^<2>>=3\).

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: \( <<0>^<2>>=0\) – не подходит.

Двигаемся дальше \( \displaystyle x=1\); \( \displaystyle <<1>^<2>>=1\) – меньше трех, тоже отметаем.

А что если \( \displaystyle x=2\)?

Проверим: \( \displaystyle <<2>^<2>>=4\) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

Давай построим график функции \( \displaystyle y=<^<2>>\) и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора (как мы это делали в начале)!

Извлечем корень из \( \displaystyle 3\), делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что \( \sqrt<3>=1,732050807568\ldots \) Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Еще один пример для закрепления

Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной \( \displaystyle 1\) км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: \( <^<2>>=<^<2>>+<^<2>>\).

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что \( c=\sqrt<2>\). Корень из двух приблизительно равен \( \displaystyle 1,41\), но, как мы заметили раньше, \( c=\sqrt<2>\) — уже является полноценным ответом.

Извлечение корней

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать.

Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от \( \displaystyle 1\) до \( \displaystyle 20\), а также уметь их распознавать.

То есть, тебе необходимо знать, что \( \displaystyle 15\) в квадрате равно \( \displaystyle 225\), а также, наоборот, что \( \displaystyle 225\) – это \( \displaystyle 15\) в квадрате.

Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.

Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

Ответы:

Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

Ответы:

Свойства арифметического квадратного корня

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!

Умножение корней

Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!

Начнем с простенького:

\( 12\) это \( \displaystyle 4\cdot 3\), а это значит, что мы можем записать вот так:

Усвоил? Вот тебе следующий:

\( \displaystyle \sqrt<4>\cdot \sqrt<6>=2\cdot \sqrt<6>=2\sqrt<6>\)

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:

\( \displaystyle \sqrt<2>\cdot \sqrt<8>=\sqrt<16>=4\) \( \displaystyle \sqrt<12>\cdot \sqrt<3>=\sqrt<36>=6\)

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

\( \displaystyle \sqrt<5>\cdot \sqrt<3>\cdot \sqrt<2>=\sqrt<10\cdot 3>=\sqrt30\)

Теперь полностью самостоятельно:

Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!

Деление корней

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

Вот и вся наука. А вот такой пример:

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

А вот такой примерчик:

Еще ты можешь встретить такое выражение:

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа \( \displaystyle a\) – это число, квадратный корень которого равен \( \displaystyle a\).

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен \( \displaystyle a\), в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно, \( \displaystyle a\)!

Рассмотрим на примерах:

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

Открыть ответы…

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Внесение под знак корня

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

Это совсем легко!

Допустим, у нас записано число \( \displaystyle 3\sqrt<5>\)

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка – корень квадратный из \( \displaystyle 9\)!

\( \displaystyle 3\sqrt<5>=\sqrt<9>\cdot \sqrt<5>=\sqrt<45>\)

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

\( \displaystyle 3\sqrt<10>-\sqrt<45>\cdot \sqrt<2>=\sqrt<90>-\sqrt<90>=0\)

Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.

Реши самостоятельно вот этот пример — \( \displaystyle 4\sqrt<6>-2\sqrt<3>\cdot \sqrt<8>\)

Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:

Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

Сравнение корней

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше: \( \displaystyle 3\sqrt<7>\) или \( \displaystyle 2\sqrt<17>\)?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!

Т.е. если \( \displaystyle 68>63\), значит, \( \displaystyle \sqrt<68>>\sqrt<63>\).

Отсюда твердо делаем вывод, что \( \displaystyle 3\sqrt

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

\( \displaystyle \sqrt<15>\cdot \sqrt<180>\cdot \sqrt<12>\)

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

Вот и все, не так все и страшно, правда?

\( \displaystyle \sqrt<15>\cdot \sqrt<54>\cdot \sqrt<10>=?\)

Получилось \( \displaystyle 90\)? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

Открыть ответы…

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий курсов

Добавить комментарий Отменить ответ

6 комментариев

Я сейчас учусь в 10 классе и я очень благодарен за этот ваш сайт. Очень помогло. Спасибо большое.

Спасибо, Абдурахмон! Очень приятно слышать. Заходите к нам ещё.

Рожик, очень рады слышать! Кстати, учебник рассчитан и на 8 класс тоже, потому что каждая тема идет от простого к сложному. У нас есть ученики из 5-го класса )

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Люба
13 ноября 2017
спасибо огромное очень помогли

Александр (админ)
13 ноября 2017
Люба, и тебе спасибо. Очень рады помочь!

илгар
21 августа 2019
спасибо очень понравилось отличная я сам с нуля изучаю физику физика самый классный предмет

Александр (админ)
21 августа 2019
Илгар, удачи в изучении физики. Физика очень интересный предмет!

Александр (админ)
13 ноября 2017
Анна, очень приятно слышать. Особенно нашим преподавателям, которые писали этот учебник Шевчуку Алексею Сергеевичу и Баштовой Елене Евгеньевне. Удачи, тебе на экзаменах.

Александр (админ)
15 ноября 2017
Отлично, Алевтина! Спасибо!

кыса
15 ноября 2017
шыкарнае обясненее. я сразу всё понила.

Александр (админ)
15 ноября 2017
СпасЫбо, Кыса! ))

БезгрАмАдный Оркадий
22 ноября 2017
шЫкарнА длА пАвтАрения перИт кАнтрольнАй))) А если нормально, но действительно годная теория))

Оликсандэр (админ)
23 ноября 2017
«Паффтарения» пишыца чириc дфа фэ… Спасибо! :))

Ирина
23 ноября 2017
СПАСИИИИБОО. 10 лет назад закончила учебу, а сейчас понадобилась математика вновь. Очень доходчиво и легко пишете. Огромное спасибо!

Александр
23 ноября 2017
Ничего себе! Через 10 лет понадобилась школьная математика? Мы рады, что помогло, Ирина.

Александр (админ)
23 ноября 2017
Ксения, спасибо и тебе! Удачи на экзаменах!

сара
28 ноября 2017
спасибо…

Александр (админ)
28 ноября 2017
Пожалуйста, Сара!

28 ноября 2017
Благодарю:3 Очень помогло! Я не поняла корни на уроке, а тут просто и четко объяснили! Спасибо огромное)

Александр (админ)
28 ноября 2017
Очень рады, что помогло! Теперь если что не понятно, ты знаешь где искать простое и четкое объяснение 🙂 На youclever )

Нина
30 ноября 2017
Спасибо огромное! Думала репетитора придётся нанимать. Молодцы всё очень понятно.

Александр (админ)
30 ноября 2017
Пожалуйста, Нина. Очень приятно слышать такую оценку… но если захотите все-таки нанимать репетитора, посмотрите сначала наши курсы на 100gia.ru… Пишите )

Арсений
01 декабря 2017
Очень помогла теория и тут же закрепила практикой. Спасибо за понятную теорию!

Александр (админ)
01 декабря 2017
Рады слышать… Пожалуйста… (не знаю как обращаться, Арсений?). А где закрепляла практикой? Здесь же в учебнике? Или где-то еще. Вопрос не праздный… Очень надо знать.

Илья
08 декабря 2017
Всё очень понятно, но здесь к сожалению нет примеров, с которыми у меня возникают трудности: это когда под корнем ещё один корень( а под ним может быть ещё один, и т.д.).

Александр (админ)
10 декабря 2017
Илья, замечание принято. К сожалению мы не успеваем учитывать все, но вот какое объяснение я нашел на стороннем ресурсе. Может будет понятно… https://www.youtube.com/watch?v=5rntedrQ7NY

Алик
10 декабря 2017
Спасибо! За 10 минут я понял всю тему чем за 45 минут урока….

Александр (админ)
10 декабря 2017
Алик, как приятно слышать! Мы, вся команда, математики, консультанты, администраторы именно этого и добивались, чтобы было понятно за 10 минут. Удачи на экзаменах!)

Полина
12 декабря 2017
Очень доходчиво! Буду надеяться что сдам конторошку… Кстати не знаю нужно это вам или нет, НО мы сейчас час проходим такие примеры: Под корнем 17 в степени 2 минус 8 в степени 2(это на пример) В общем я думаю вам бы понадобилось и это записать)

Александр (админ)
12 декабря 2017
Полина, спасибо! Лучики тепла тебе и удачи ни контрошке… Может быть тебе будет интересно… у нас на 100gia.ru есть возможность за небольшие деньги купить «Тренировку по теме». Там по каждой теме много задач, с решениями и ответами моментальными и с объяснениями. Как раз чтобы подготовиться к конкретной контрошке (хорошее слово, кстати) 🙂

Алексей Шевчук
20 декабря 2017
Полина, посмотри в теме «Формулы сокращённого умножения» — разность квадратов: https://youclever.org/book/formuly-sokrashhennogo-umnozheniya-1#raznost-kvadratov

Юлька
19 декабря 2017
А про построение графиков с арифметическими корнями, если они возводятся в квадрат. y=(√x+3)^2+(√5-x)^2 при x>5 корень над всем выражением в скобках

Алексей Шевчук
21 декабря 2017
Юля, если корень возводится в квадрат, нужно написать ОДЗ и убрать корни вместе с квадратами. Если же это корень из квадрата выражения (то есть квадрат под корнем), то он превращается в модуль выражения.

Алла
22 декабря 2017
И все же. если в примере стоит корень из 64, то в ответе надо писать 8 или + — 8?

Сергей
18 января 2018
Ответьте мне пожалуйста на 1 вопрос. Зачем он нужен этот квадратный корень? Я начинающий программист в школе учился хорошо, сейчас для общего развития решаю задачки со всякими алгоритмами в том числе с квадратным корнем. Чем умнее я становлюсь тем больше убеждаюсь что вся эта муть простому человеку нафиг не нужна ну серьёзно. Чтобы делать сайты не нужно быть математиком, я уже не говорю про гуманитариев, которые даже таблицу умножения могут не помнить уже. Так зачем всё это нужно?

Александр (админ)
18 января 2018
Хороший вопрос, Сергей ). По мне, так вопрос «Зачем?» самый важный и интересный. В особенности в математике. Ответ есть в нашем тексте. Почитайте внимательно. Математики люди ленивые и потому сообразительные. Чтобы записывать иррациональные числа более простым способом ввели понятие квадратного корня. Вот и все.

RedTea01
20 февраля 2018
Админ, спасибо за помощь)))

Александр (админ)
20 февраля 2018
Всегда рад! 🙂

Егор
21 февраля 2018
В школе ничего не понял, зашел на сайт и разобрал темы на 3 урока вперед. Спасибо вам, доходчиво и с подробными объяснениями.

Александр (админ)
21 февраля 2018
Егор, вот ради таких комментариев мы и работаем. ОЧЕНЬ приятно слышать всей нашей команде!

Александр
12 марта 2018
О как! Светлана, здравствуйте! Очень приятно слышать! Удачи Вашей внучке на экзаменах! )

Семён
13 мая 2018
А мне 77 лет. С удовольствием заполняю досуг, благо свободного времени хватает. И такое удовольствие получаю. Вот бы так учили в мои школьные годы. Израиль

Александр (админ)
13 мая 2018
Вот это комментарий. Семен, это ОЧЕНЬ приятно слышать. У нас были сомнения о том, как писать учебник: как обычно или «человеческим» языком. Видимо мы нашли правильный способ подачи материала. Спасибо Вам и отличного времяпровождения )

Александр
14 марта 2018
Ребята Огромное спасибо, я после армии, нужно сдать экзамен)) вы очень помогли.

Александр (админ)
14 марта 2018
Привет, Александр. Приятно слышать. Сам через это проходил: сдавал вступительные экзамены в институт (тогда ЕГЭ не было) после армии. Это очень трудно. Удачи на экзаменах.

Евгения
04 мая 2018
Спасибо огромное! Всё очень понятно и даже увлекательно) Кажется я начинаю любить математику:З

Александр (админ)
04 мая 2018
Ого! Евгения, это то, на что даже мы не рассчитывали! 🙂 На самом деле очень приятно… Удачи тебе с математикой. Она не такая и страшная, правда ведь? )

Шерзод
01 ноября 2018
Добрый день! Есть вопросы?

Александр (админ)
05 ноября 2018
Сергей, спасибо Вам! Очень ценно для нас слышать такие отзывы. Мы старались написать программу так, чтобы люди без подготовки и без знаний математики смогли ее понять. Удачи Вам и Вашему внуку.

Александр (админ)
02 декабря 2018
Спасибо, Рам!

лол
17 января 2019
Спосыба аграмнае, очинь панятна

Александр (админ)
17 января 2019
Пажылуста ни мение агромнае!

SpaceJumpsuit
03 февраля 2019
Я уже 2 года учусь только по вашему сайту, ибо школа нормально ничего не объясняет. Снимаю шляпу перед YouClever… Спасибо, спасибо, спасибо.

Александр (админ)
03 февраля 2019
Вау. Вот это да! Очень! Очень приятно!

Алина
11 февраля 2019
Сайт-офигенный, вот реально, всё понятно, мне оч нравится, спасибо Вам большое от души

Александр (админ)
11 февраля 2019
Алина, спасибо огромное! Лучики тепла тебе!))

Алексей
11 февраля 2019
Геннадий, это хороший вопрос, который в рамках школьной программы, к сожалению, не разбирается. Вы можете посмотреть ответ на подобный вопрос в этом видео: https://www.youtube.com/watch?v=w9wPMMapKIQ

Сергей
19 февраля 2019
Ваш сайт единственный который смог достучаться до меня (в плане алгебры).

Александр (админ)
19 февраля 2019
Это очень… приятно слышать, Сергей. Удачи, на экзамене!

Викп
20 февраля 2019
Спасибо огромное за теорию. Очень понятно и доходчиво написано, разобрала все за минут 40-50

Александр (админ)
20 февраля 2019
Спасибо, Викп! Была бы у меня возможность ставить смайлики, поставил бы довольную рожицу! 🙂

Павел
26 февраля 2019
Спасибо большое, все понял…почти. Вы написали что для того что бы вычислить квадратный корень из большого числа нужно разложить его на множители но как например разложить на множители такие крупные числа как 11234 3345 и т.д если таблицы квадратов на экзамене не будет+ очень трудно будет ее запомнить с11по 99)). Есть совет как быстро разложить такие большие числа на множители?

Александр (админ)
27 февраля 2019
Спасибо, Павел. Если коротко, то нужно знать две вещи: 1) что такое простое число 2) признаки делимости чисел(наизусть) и затем делить большое число на наименьший простой делитель (кроме единицы) без остатка, в столбик, до тех пор пока не останется 1. В вашем примере, используя признаки делимости определяем на какое наименьшее простое число делится 112 343 345. На 2? Нет. На 3? Сумма цифр числа не делится на 3. Значит нет. На 5? Да! Делим на 5 в столбик и получаем 22 468 669…. Опять вспоминаем признаки делимости. На какое наименьшее простое число делится уже новое число? И вот тут интересно…оно не делится без остатка ни на одно простое число. Это мы определяем по признакам делимости. Значит оно само — уже простое число. Мы можем разделить его только на 1 или на само себя. Вот мы и разложили ваше большое число на два множителя: 5 и 22 468 669…. Если я нигде не ошибся )) Ну, думаю, идею вы поняли. Признаки делимости можно посмотреть здесь: https://youclever.org/book/razlozhenie-na-mnozhiteli-2 Их надо выучить назубок.

Александр (админ)
27 февраля 2019
Павел, вот здесь наглядно очень про то, как раскладывать на множители большие числа: https://ru.wikihow.com/разложить-число-на-множители

Игорь
17 марта 2019
Спасибо коллективу авторов и участникам проекта! Понятное объяснение на примерах!

Александр (админ)
17 марта 2019
Приятно слышать, Игорь!

Александр (админ)
27 марта 2019
К сожалению нет. Но идея хорошая. Может быть прикрутим редактор к коментариям.

Сергей
15 апреля 2019
Очень жаль, что не читаете комментарий. В тексте написано: «присвоили ему специальный символ √.» Было предложено дописать: «присвоили ему специальный символ √(радикал).» Это, что ухудшит текст?

Александр (админ)
15 апреля 2019
Сергей, я прочитал комментарий, но не понял, что это было предложение ). Не обижайтесь, но я его не принял. Мы старались облегчить тексты для понимания. Если дать сразу все определения слова «радикал» — это не поможет разобраться, наоборот запутает. Ведь тогда надо говорить, что радикал — это еще и значение числа, извлекаемого из квадратного корня, а так же значение выражения извлекаемого из квадратного корня, что это «не тот радикал, что бросает бомбы», ну и так далее. Определение символа добавляет не много смысла, но утяжеляет текст и отвлекает от основного понятия. На мой взгляд учебники математики для школьников этим грешат: даются сразу все определения, причем строгие… Но так никто не учится. В том числе и те, кто пишет эти учебники. Их учили не так. Им в детстве вводили понятия не сразу все, а последовательно и давали возможность встроить понятия в свою картину мира, своими словами. А уж потом давали строгие определения… В общем без обид :)) Я не буду перегружать текст.

Сергей
15 апреля 2019

прочитал комментарий, но не понял, что это было предложение ).

Александр (админ)
30 мая 2019
Сергей, спасибо еще раз за предложение сделать html код. Дай бог дойдут руки… Но предложение правда хорошее. По сути предмета — я не математик ) Эти лекции писал не я.

Даня
30 мая 2019
спасибо за информацию. без нее я бы не написал реферат и не получил бы итоговую

Александр Кель (админ)
30 мая 2019
Даня! Приятно слышать! Мои поздравления с итоговой оценкой! Так держать! 🙂

Anubis
07 июня 2019
Ужасный сайт всё платное плохо всё расписано просто —

Александр (админ)
12 июня 2019
Anubis, а что конкретно «плохо расписано»? По поводу платности контента. Для меня весь контент сайта платный. Мне пришлось заплатить математикам, которые его писали, довольно приличную сумму. А для пользователей сайта 90% конетнта бесплатно. Вы разве не заметили? За оставшиеся 10% я беру деньги и они идут на поддержание сайта. Кстати, Anubi, не хотите бесплатно поработать над созданием контента или еще над чем-нибудь для сайта? Что вы умеете? Работы много…

Алексей Шевчук
30 июня 2019
Александр, корень из числа имеет только один вариант ответа (в рамках действительных чисел — комплексных чисел в школьной программе нет, а если даже есть, то в условии задачи явно говорят, что комплексные корни нас тоже интересуют). Два варианта ответа возникает не при извлечении корня и не при решении иррациональных уравнений, а при решении квадратных уравнений, то есть тех, где неизвестная была в квадрате, а не под корнем.

Дима
19 июня 2019
Спасибо огромное за помощь в математике

Александр (админ)
20 июня 2019
Дима, рады, что смогли помочь. Удачи на всех экзаменах!

Ирина
19 июня 2019
Можете пожалуйста на вопрос. Вот корень из х^2+1 можно разложить на 2 корня? Корень из х^2 + корень из 1?

Александр (админ)
20 июня 2019
Нет, Ирина, так нельзя делать. Смотри, как только ты видишь «икс в квадрате» перед тобой квадратное уравнение. Твое уравнение квадратное. Но оно неполное, потому что нет еще одного икса… Вот как решаются неполные квадратные уравнения. Посмотри это видео вдумчиво,. с паузами и ты все поймешь. https://www.youtube.com/watch?v=CtgP34y-uOI

Вадик 5,5лет детский садик нумер 8
03 июля 2019
Очинь панравился

Александр (пдмин)
03 июля 2019
Какой молодец, Вадик! Такие взрослые книги читаешь в 5,5 лет!

Я
16 июля 2019
Посмотрим-посмотрим

Ирина
16 августа 2019
В какой последовательности решается 8÷3√5

Алексей Шевчук
17 августа 2019
Ирина, а что именно нужно решить? Предположу, что избавиться от иррациональности в знаменателе, тогда нужно числитель и знаменатель домножить на √5. Тогда два корня в знаменателе дадут просто 5, и останется 8√5÷15 (корень переехал в числитель).

Огрызок Яблока
21 октября 2019
Нормальный такой сайт. Не, ну реально бОмБа)))0), а админи какие добрые. Даже такой овощь как я понял, моё увожение

Александр (админ)
21 октября 2019
Круто, уважаемый Огрызок Яблока. Я, например, очень жалею, что в мое время такого сайта не было. Спасибо и удачи!

Сергей
09 ноября 2019
Почему в блоке Возведение в степень, у вас в 1 задании √(−3)^2 а должно же быть неотрицательным.

Алексей Шевчук
09 ноября 2019
Сергей, (−3)^2=9 — число положительное. Квадрат всё делает положительным. Но нужно быть внимательным: если квадрат за пределами корня, то его магия уже не работает: (√(−3))^2 — здесь мы сначала пытаемся извлечь корень из (-3) и всё ломается.

Диля
10 ноября 2019
Спасибо большое, всё понятно и простым языком.

Александр (админ)
10 ноября 2019
Спасибо, Диля, от меня и Алексея Шевчука. Рады, что понравился текст.

Хадижат
26 ноября 2019
Спасибо, всё объяснили всё поняла

Александр (admin)
26 ноября 2019
Пожалуйста, Хадижат! Успехов!

Ася
26 ноября 2019
Спасибо большое! Вы ОЧЕНЬ помогли! Я на больничном, поэтому такую важную тему пропустила, а догонять как-то надо и вот случайно зашла на ваш сайт!

Александр (админ)
26 ноября 2019
Ася, выздоравливай скорее! И спасибо тебе за теплые слова. Нам очень всем приятно. Надеемся, что эта тема в нашем учебнике улучшила тебе самочувствие во время болезни. Удачи на экзаменах!

Ирина
02 декабря 2019
все хорошо, но не написали как решать такие примеры: 9-корень из 21 (нет знака корень на клавиатуре)

Алексей Шевчук
03 декабря 2019
Ирина, это тема «Квадратный корень» — то есть (по определению) корень степени 2. Если Вам нужны корни более высокой степени, добро пожаловать в тему «Степень и её свойства»: https://youclever.org/book/stepen-i-ee-svojstva-1 — ищите там раздел «степень с рациональным показателем».

Максим
15 декабря 2019
Спасибо вам огромное! Я в 6 классе, но мне очень интересно как вычислить корень у того или иного числа! Срасибо еще раз! Вы для меня прямо открыли целый мир алгебры!)

Александр (админ)
15 декабря 2019
Очень приятно слышать, Максим! Ты большой молодец, что в 6-и классе читаешь учебники, предназначенные для 8-го — 11-го класса!

лера
17 декабря 2019
статья чупер алгебра легко дается спасибо)))) а у вас есть формулы сокращенного умножения?

Александр (админ)
17 декабря 2019
Конечно, есть, Лера. Все темы математики для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ есть. В сокращенном варианте бесплатно и в полном варианте для учеников YouClever. Но я советую тебе зарегистрироваться на сайте, через пункт меню «Войти» и у тебя будет доступ к 5 темам математики в полном варианте бесплатно. Одна из тем — темы сокращенного умножения. Там есть все что нужно, чтобы разобраться. Даже примеры для тренировки.

Кирилл
20 марта 2020
Спасибо очень помогли!

Александр (админ)
20 марта 2020
Пожалуйста, Кирилл! Удачи на экзамене!

Матвей
26 марта 2020
Спасибо,но хотелось бы увидеть по больше примеров,а так,информация довольно понятна даже таким как я.

Александр (админ)
26 марта 2020
Пожалуйста, Матвей. Хорошо, что во всем разобрался. Приходи еще)

Ильнара
04 апреля 2020
Спасибо вам, наконец я поняла эту тему. Ураа

Александр (админ)
04 апреля 2020
Ильнара, ты умница! Удачи тебе на всех жизненных экзаменах!

даня
16 апреля 2020
спасибо хорошее объяснениие у меня во фторник был экзамен и мне эта тема пригадилась

Александр (админ)
16 апреля 2020
Спасибо, Даня! Рады, что ты справился с экзаменом.

Тоха
16 июня 2020
сайт просто топ) спасибо)))))))))))))))))))))))))) сдал еге на чистую 5)))))))))))))))))) спасибо)))))))))))))))))

Алексей Шевчук
23 июня 2020
Ну а что там вспоминать. 1) Чему равен корень из 1600? Умножаем это на 0,5. 2) Чему равен корень из 36? Умножаем на 1/3. Потом вычитаем из первого второе.

В этом комментарии я собрал отзывы о нашей работе за разные годы:

Люба, 13 ноября 2017
спасибо огромное очень помогли

илгар
21 августа 2019
спасибо очень понравилось отличная я сам с нуля изучаю физику физика самый классный предмет

Александр (админ)
15 ноября 2017
Отлично, Алевтина! Спасибо!

кыса
15 ноября 2017
шыкарнае обясненее. я сразу всё понила.

БезгрАмАдный Оркадий
22 ноября 2017
шЫкарнА длА пАвтАрения перИт кАнтрольнАй))) А если нормально, но действительно годная теория))

Ирина
23 ноября 2017
СПАСИИИИБОО. 10 лет назад закончила учебу, а сейчас понадобилась математика вновь. Очень доходчиво и легко пишете. Огромное спасибо!

28 ноября 2017
Благодарю:3 Очень помогло! Я не поняла корни на уроке, а тут просто и четко объяснили! Спасибо огромное)

Нина
30 ноября 2017
Спасибо огромное! Думала репетитора придётся нанимать. Молодцы всё очень понятно.

Арсений
01 декабря 2017
Очень помогла теория и тут же закрепила практикой. Спасибо за понятную теорию!

Алик
10 декабря 2017
Спасибо! За 10 минут я понял всю тему чем за 45 минут урока….

Полина
12 декабря 2017
Очень доходчиво! Буду надеяться что сдам конторошку…

Александр
11 февраля 2018
Здравствуйте! Очень много полезной информации! СПАСИБО!

RedTea01
20 февраля 2018
Админ, спасибо за помощь)))

Егор
21 февраля 2018
В школе ничего не понял, зашел на сайт и разобрал темы на 3 урока вперед. Спасибо вам, доходчиво и с подробными объяснениями.

Семён
13 мая 2018
А мне 77 лет. С удовольствием заполняю досуг, благо свободного времени хватает. И такое удовольствие получаю. Вот бы так учили в мои школьные годы. Израиль

Александр
14 марта 2018
Ребята Огромное спасибо, я после армии, нужно сдать экзамен)) вы очень помогли.

Евгения
04 мая 2018
Спасибо огромное! Всё очень понятно и даже увлекательно) Кажется я начинаю любить математику

лол
17 января 2019
Спосыба аграмнае, очинь панятна

SpaceJumpsuit
03 февраля 2019
Я уже 2 года учусь только по вашему сайту, ибо школа нормально ничего не объясняет. Снимаю шляпу перед YouClever… Спасибо, спасибо, спасибо.

Алина
11 февраля 2019
Сайт-офигенный, вот реально, всё понятно, мне оч нравится, спасибо Вам большое от души

Сергей
19 февраля 2019
Ваш сайт единственный который смог достучаться до меня (в плане алгебры).

Викп
20 февраля 2019
Спасибо огромное за теорию. Очень понятно и доходчиво написано, разобрала все за минут 40-50

Игорь
17 марта 2019
Спасибо коллективу авторов и участникам проекта! Понятное объяснение на примерах!

Даня
30 мая 2019
спасибо за информацию. без нее я бы не написал реферат и не получил бы итоговую

Дима
19 июня 2019
Спасибо огромное за помощь в математике

Огрызок Яблока
21 октября 2019
Нормальный такой сайт. Не, ну реально бОмБа)))0), а админи какие добрые. Даже такой овощь как я понял, моё увожение

Диля
10 ноября 2019
Спасибо большое, всё понятно и простым языком.

Хадижат
26 ноября 2019
Спасибо, всё объяснили всё поняла

Ася
26 ноября 2019
Спасибо большое! Вы ОЧЕНЬ помогли! Я на больничном, поэтому такую важную тему пропустила, а догонять как-то надо и вот случайно зашла на ваш сайт!

Максим
15 декабря 2019
Спасибо вам огромное! Я в 6 классе, но мне очень интересно как вычислить корень у того или иного числа! Срасибо еще раз! Вы для меня прямо открыли целый мир алгебры!)

лера
17 декабря 2019
статья чупер алгебра легко дается спасибо)))) а у вас есть формулы сокращенного умножения?

Кирилл
20 марта 2020
Спасибо очень помогли!

Ильнара
04 апреля 2020
Спасибо вам, наконец я поняла эту тему. Ураа

даня
16 апреля 2020
спасибо хорошее объяснениие у меня во фторник был экзамен и мне эта тема пригадилась

Тоха
16 июня 2020
сайт просто топ) спасибо)))))))))))))))))))))))))) сдал еге на чистую 5)))))))))))))))))) спасибо)))))))))))))))))

Источник

Что такое корень числа

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

Сам значок называется красивым словом «радикал«.

Как извлечь корень? Это лучше рассмотреть на примерах.

Сколько будет квадратный корень из 9? А какое число в квадрате даст нам 9? 3 в квадрате даст нам 9! Т.е:

А вот сколько будет квадратный корень из нуля? Не вопрос! Какое число в квадрате ноль даёт? Да сам же ноль и даёт! Значит:

Уловили, что такое квадратный корень? Тогда считаем примеры:

Ответы (в беспорядке): 6; 1; 4; 9; 5.

Решили? Действительно, уж куда проще-то?!

Но. Что делает человек, когда видит какое-нибудь задание с корнями?

Тосковать начинает человек. Не верит он в простоту и лёгкость корней. Хотя, вроде, и знает, что такое квадратный корень.

Всё потому, что человек проигнорировал несколько важных пунктиков при изучении корней. Потом эти пунктики жестоко мстят на контрольных и экзаменах.

Пунктик первый. Корни надо узнавать в лицо!

И никаких калькуляторов! Только для проверки. Иначе на экзамене будете тормозить нещадно.

Пунктик второй. Корень, я тебя не знаю!

Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.

Попробуем вычислить вот такой корень:

Такая же история будет с любым отрицательным числом. Отсюда вывод:

Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!

На первый взгляд это очень сложно. Подбирать дроби, да в квадрат возводить. Не волнуйтесь. Когда разберёмся со свойствами корней, такие примеры будут сводиться к всё той же таблице квадратов. Жизнь станет проще!

Ну ладно дроби. Но нам ведь ещё попадаются выражения типа:

Если при решении примера у вас получилось что-то неизвлекаемое, типа:

то так и оставляем. Это и будет ответ.

Нужно чётко понимать, что под значками

, , .

и так далее, скрываются просто числа! Неровные, лохматые, иррациональные, но числа!

Конечно, если корень из числа извлекается ровно, вы обязаны это сделать. Ответ задания в виде, например

никто не оценит. Надо корень посчитать и написать

вполне себе полноценный ответ.

И, конечно, надо знать на память приблизительные значения:

Это знание здорово помогает оценить ситуацию в сложных заданиях.

Пунктик третий. Самый хитрый.

Основную путаницу в работу с корнями вносит как раз этот пунктик. Именно он придаёт неуверенность в собственных силах. Разберёмся с этим пунктиком как следует!

Для начала опять извлечём квадратный корень их четырёх. Что, уже достал я вас с этим корнем?) Ничего, сейчас интересно будет!

Верно. Два. Но ведь и минус два даст в квадрате 4. А между тем, ответ

правильный, а ответ

грубейшая ошибка. Вот так.

Так в чём же дело?

Действительно, (-2) 2 = 4. И под определение корня квадратного из четырёх минус два вполне подходит. Это тоже корень квадратный из четырёх.

Путаница начинается при решении квадратных уравнений. Например, надо решить вот такое уравнение.

Уравнение простое, пишем ответ (как учили):

Вот так. Если вы просто извлекаете квадратный корень из чего-либо, вы всегда получаете один неотрицательный результат. Например:

Но если вы решаете какое-нибудь квадратное уравнение, типа:

то всегда получается два ответа (с плюсом и минусом):

Надеюсь, что такое квадратный корень со своими пунктиками вы уяснили. Теперь осталось узнать, что можно делать с корнями, каковы их свойства. И какие там пунктики и подводные кор. извините, камни!)

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Источник

Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней

Эффективное решение существует!

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\) до \(20\) : \[\begin <|ll|>\hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end\]

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Источник

Корень из числа

Корень n-ой степени из числа a — это число, n-ая степень которого равна a. Например, корнем второй степени из 36 будет число 6, так как:

Для записи корня используется знак √ (знак корня или радикал). Под чертой знака записывается подкоренное число, а над знаком, в левом верхнем углу, показатель корня:

Подкоренное число — это степень, показатель корня — это показатель степени, корень — основание степени. Если

,

.

Извлечение корня — это действие, обратное возведению в степень, с помощью которого по данной степени и по данному показателю степени находят основание степени.

3 √ 125 = 5, так как 5 3 = 125;

2 √ 81 = 9, так как 9 2 = 81;

5 √ 32 = 2, так как 2 5 = 32.

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа a называется число, квадрат которого равен a.

при различных значениях a:

В этом случае уравнение имеет единственное решение:

В этом случае уравнение имеет два корня: положительный и отрицательный, модули которых равны. Так как вторая степень отрицательного числа является числом положительным:

Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что для того чтобы из числа можно было извлечь квадратный корень, необходимо, чтобы оно было числом положительным или нулём.

Арифметический квадратный корень

Арифметический квадратный корень из положительного числа a — это положительное число x, квадрат которого равен a:

При обозначении квадратного корня показатель корня опускается, то есть квадратный корень обозначается знаком корня без показателя. Например:

√ a — квадратный корень из a.

Обратите внимание, что при чтении выражения слово арифметический опускается.

Действие, с помощью которого вычисляется квадратный корень, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — действие обратное возведению в квадрат (или возведению числа во вторую степень). При возведении в квадрат известно число, требуется найти его квадрат. При извлечении квадратного корня известен квадрат числа, требуется по нему найти само число.

Поэтому для проверки полученного результата можно найденный корень возвести во вторую степень, если степень будет равна подкоренному числу, значит корень был найден правильно.

Источник

Основные сведения о квадратных корнях

Что такое арифметический квадратный корень

Корень n-ой степени натурального числа a представляет собой такое число, n-я степень которого равна a (подкоренное число).

Для любого арифметического действия предусмотрено обратное ему действие, к примеру, сложение и вычитание, умножение и деление. Обратными действиями также являются возведение в степень и извлечение корня.

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа а — это неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Исходя из определения квадратного корня, можно сделать вывод о способе его вычисления. То есть, чтобы высчитать корень, требуется выполнить подбор числа, которое при возведении во вторую степень станет равным подкоренному значению.

Рассмотрим в качестве примера записи:

Данные выражения равнозначны, так как 2 над знаком корня не принято записывать. Это объясняется тем, что 2 является самой маленькой степенью. Когда над корнем число отсутствует, подразумевается показатель 2.

Вычислим квадратный корень из 16. Для этого нужно подобрать число, которое при возведении во вторую степень даст в результате 16:

4 × 4 = 4 2 = 16 → 16 = 4

Свойства квадратных корней

Арифметические квадратные корни обладают тремя свойствами. Запомнить их полезно, чтобы упростить решение многих задач.

1. Корень произведения равен произведению корней:

81 × 16 = 81 × 16 = 9 × 4 = 36

2. Извлечение корня из дроби означает извлечение корня из числителя и из знаменателя:

81 16 = 81 16 = 9 4 = 2 1 4

3. Возведение корня в степень выполняют путем возведения в степень подкоренного значения:

( 4 ) 4 = ( 4 4 ) = 256 = 16

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Распространенным способом вычисления квадратного корня является метод разложения на простые множители. В этом случае можно пойти двумя путями, исходя из типа подкоренного числа. Рассмотрим первый алгоритм, предусмотренный для целого числа, которое можно разложить на квадратные множители.

Квадратными числами называют числа, из которых можно извлечь корень без остатка.

Множители являются числами, результат произведения которых представляет собой исходное число.

Квадратными числами являются: 25, 36, 49.

Квадратные множители являются множителями в виде квадратных чисел.

В качестве примера применения метода разложения на простые множители, извлечем корень из числа 784.

В первую очередь следует разложить число на квадратные множители. Зная, что 784 кратно 4, запишем первый квадратный множитель:

Разделим 784 на 16:

Известно, что 49 также является квадратным числом, так как:

Воспользуемся правилом, запишем формулу:

Таким образом, требуется:

784 = 16 × 49 = 16 × 49 = 4 × 7 = 28

Во втором случае возьмем неделимое число, которое не может быть разложено на множители. Это наиболее часто встречающийся случай при решении задач в средних классах школы. В результате ответ получится не целый, а дробный и приблизительный.

Упростить работу по вычислению можно с помощью разложения подкоренного числа, чтобы получить в итоге квадратный множитель и число, из которого нельзя извлечь квадратный корень. Корни сложных чисел целесообразно посмотреть в таблице.

Возьмем некое число 252. Попробуем выполнить разложение для получения квадратного и обычного множителя.

252 = 36 × 7 = 36 × 7 = 6 7

Нужно узнать значение корня путем подбора пары квадратных чисел, которые расположены впереди и сзади подкоренного числа в числовом ряду. Подкоренным числом является 7. Таким образом, ближайшее большее квадратное число равно 9, а меньшее — 4.

Можно сделать вывод, что 7 расположен между 2 и 3. Скорее всего, 7 ближе к 3. Выполним подбор значения так, чтобы при умножении этого числа на себя в результате получилось 7.

Данное значение можно оставить, так как 6,76\sim 7.

Примеры вычисления выражений с корнями

Дано выражение, которое требуется решить, 3 + 5 x = 7

Согласно определению квадратного корня:

Переменная b в этом случае является числом 7. Переменная а соответствует подкоренному выражению (3 + 5x). Возведем 7 в квадрат и приравняем его к (3 + 5x).

В выражении 7 2 = 3 + 5 x следует решить левую часть. В результате:

В итоге получилось стандартное линейное уравнение, корни которого можно определить:

Необходимо определить значение выражения 2 49 и написать ответ.

Здесь записано произведение 2 и квадратного корня из числа 49. В первую очередь следует извлечь квадратный корень. Далее нужно умножить полученный результат на 2.

Дано два выражения, которые требуется сравнить:

Выполним преобразование выражения 9 5 :

9 5 = 81 × 5 = 81 × 5 = 405

Сравним подкоренные выражения:

Такая задача решается путем разложения подкоренного выражения на множители:

24 = 6 × 4 = 6 × 4 = 2 6

Найти значение выражения 3 1 16

Следует выполнить преобразование смешанной дроби, чтобы получить неправильную дробь:

Источник

Вычисление квадратного корня из числа: как вычислить вручную

При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.

К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.

Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов

Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?

При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.

Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.

Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.

Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.

Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.

Разложение на простые множители

Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители. Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.

Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.

Метод Герона

Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:

где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.

Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:

√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.

Теперь проверим точность метода:

Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:

√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Проверим точность расчёта:

После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.

Вычисление корня делением в столбик

Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора.

Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.

В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.

Поразрядное вычисление значения квадратного корня

Метод обладает высокой точностью. Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.

Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.

Источник

Квадратный корень

Основные сведения

Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень.

Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см

S = 3 2 = 9 см 2

Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени.

Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени.

Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем.

Введём для работы с корнями новые обозначения.

Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата)

Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня)

Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом:

Значит квадрат площадью 9 см 2 имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня.

Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3. При его возведении во вторую степень тоже получается число 9

Получается, что выражение имеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3.

Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное.

Например, извлечём квадратный корень из числа 4

Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4

Поэтому ответ к выражению вида записывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения.

Запишем ответ к выражению с плюсом и минусом:

Определения

Дадим определение квадратному корню.

Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16

Корень 4 можно обозначить через радикал так, что .

Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16

Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным.

В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.

Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи можно использовать запись. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень.

Квадратный корень из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство:

Это по причине того, что единица во второй степени равна единице:

и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице:

Выражение вида смысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение , поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4.

Если выражение вида возвести во вторую степень, то есть если записать , то это выражение будет равно подкореннóму выражению a

Например, выражение равно 4

Это потому что выражение равно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4.

Корень из квадрата числá равен модулю этого числá:

Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5

Действительно, если не пользуясь правилом , вычислять выражение обычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5

Не следует путать правило с правилом . Правило верно при любом a, тогда как правило верно в том случае, если выражение имеет смысл.

В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так:

Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень.

Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64.

Примеры извлечения квадратных корней

Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней.

Пример 1. Извлечь квадратный корень √36

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 6 2 = 36

Пример 2. Извлечь квадратный корень √49

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 7 2 = 49

В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть:

Но 7 × 7 это 7 2

Пример 3. Извлечь квадратный корень √100

Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения. Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов.

Пример 3. Извлечь квадратный корень √256

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов.

Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256.

Пример 4. Найти значение выражения 2√16

Пример 7. Решить уравнение

В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4.

Значение переменной x равно 16, поскольку . Значит корень уравнения равен 16.

Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом .

Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же.

Применим равенство b 2 = a к нашему примеру . Роль переменной b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем , а именно переменная x

Пример 8. Решить уравнение

Перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной x

Пример 9. Решить уравнение

Воспользуемся определением квадратного корня:

Корень уравнения равен . Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:

Пример 10. Найти значение выражения

В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49.

Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2

Приближённое значение квадратного корня

Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению.

А извлечь квадратный корень нельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается.

Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению.

Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее.

Найдём значение корня приближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня будет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра.

Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу:

Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2

А √3 больше, чем √1 но меньше, чем √4. Запишем это в виде двойного неравенства:

Точные значения корней √1 и √4 известны. Это числа 1 и 2

Тогда очевидно, что значение корня √3 будет представлять собой десятичную дробь, потому что между числами 1 и 2 нет целых чисел.

Для нахождения приближённого значения квадратного корня √3 будем проверять десятичные дроби, располагающиеся в интервале от 1 до 2, возводя их в квадрат. Делать это будем до тех пор пока не полýчим значение, максимально близкое к 3. Проверим к примеру дробь 1,1

Проверим тогда дробь 1,8

Проверим тогда дробь 1,7

В данном случае мы нашли приближенное значение корня √3 с точностью до десятых. Значение можно получить ещё более точно. Для этого его следует находить с точностью до сотых.

Чтобы найти значение с точностью до сотых проверим десятичные дроби в интервале от 1,7 до 1,8

Проверим дробь 1,74

Проверим тогда дробь 1,73

Процесс нахождения приближённого значения квадратного корня продолжается бесконечно. Так, корень √3 можно находить с точностью до тысячных, десятитысячных и так далее:

√3 = 1,732 (вычислено с точностью до тысячных)

√3 = 1,7320 (вычислено с точностью до десятитысячных)

√3 = 1,73205 (вычислено с точностью до ста тысячных).

Ещё квадратный корень можно извлечь с точностью до целых. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых равно единице:

Значение 2 будет слишком большим, поскольку при возведении этого числа во вторую степень получается число 4, которое больше подкоренного выражения. Нас же интересуют значения, которые при возведении во вторую степень равны подкореннóму выражению или максимально близки к нему, но не превосходят его.

В зависимости от решаемой задачи допускается находить значение, вторая степень которого больше подкоренного выражения. Это значение называют приближённым значением квадратного корня с избытком. Поговорим об этом подробнее.

Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком

Иногда можно встретить задание, в котором требуется найти приближённое значение корня с недостатком или избытком.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых тоже был найден с недостатком:

Это потому что при возведении единицы в квадрат получаем единицу. То есть до числа 3 недостаёт ещё 2.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых можно найти и с избытком. Тогда этот корень приближённо будет равен 2

Это потому что при возведении числа 2 в квадрат получаем 4. Число 4 превосходит подкореннóе выражение 3 на единицу. Извлекая приближённо квадратный корень с избытком желательно уточнять, что корень извлечен именно с избытком:

Потому что приближённое значение чаще всего ищется с недостатком, чем с избытком.

Так, если в задании сказано извлечь квадратный корень из числа 5 с точностью до 0,01, то это значит что корень следует извлекать приближённо с точностью до сотых:

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 1

Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,1

Пример 4. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,01

Границы, в пределах которых располагаются корни

Если исходное число принадлежит промежутку [1; 100], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [1; 10].

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 49

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 1

Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 100

Квадраты чисел от 1 до 10 обязательно нужно знать наизусть. Ниже представлены эти квадраты:

1 2 = 1
2 2 = 4
3 2 = 9
4 2 = 16
5 2 = 25
6 2 = 36
7 2 = 49
8 2 = 64
9 2 = 81
10 2 = 100

И обратно, следует знать значения квадратных корней этих квадратов:

Если к любому числу от 1 до 10 в конце дописать ноль (или несколько нулей), и затем возвести это число во вторую степень, то в полученном числе будет в два раза больше нулей.

А если к числу 6 дописать два нуля, и возвести это число во вторую степень, то полýчим число, в котором четыре нуля. То есть в два раза больше нулей:

Тогда можно сделать следующий вывод:

Если исходное число содержит знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Для этого следует извлечь корень из знакомого нам квадрата и затем записать половину количества нулей из исходного числа.

Теперь из исходного числа записываем половину от количества нулей. В исходном числе 900 содержится два нуля. Половина этого количества нулей есть один ноль. Записываем его в ответе после цифры 3

Пример 2. Извлечём квадратный корень из числа 90000

Здесь опять же имеется знакомый нам квадрат 9 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 9 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе содержится четыре нуля. Половиной же этого количества нулей будет два нуля:

Пример 3. Извлечем квадратный корень из числа 36000000

Здесь имеется знакомый нам квадрат 36 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 36 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе шесть нулей. Половиной же будет три нуля:

Пример 4. Извлечем квадратный корень из числа 2500

Здесь имеется знакомый нам квадрат 25 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 25 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе два нуля. Половиной же будет один ноль:

Если подкореннóе число увеличить (или уменьшить) в 100, 10000 то корень увеличится (или уменьшится) в 10, 100 раз соответственно.

Например, . Если увеличим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень увеличится в 10 раз:

И наоборот, если в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень уменьшится в 10 раз:

Пример 2. Увеличим в равенстве подкореннóе число в 10000, тогда квадратный корень 70 увеличиться в 100 раз

Пример 3. Уменьшим в равенстве подкореннóе число в 100 раз, тогда квадратный корень 70 уменьшится в 10 раз

Умнóжим десятичную дробь 0,25 на 100, полýчим 25. А из числа 25 квадратный корень извлекается легко:

Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,25, а не из 25. Чтобы исправить ситуацию, вернём нашу десятичную дробь. Если в равенстве подкореннóе число уменьшить в 100 раз, то полýчим под корнем 0,25 и соответственно ответ уменьшится в 10 раз:

В предыдущем примере в подкоренном числе 0,25 можно было сдвинуть запятую вправо на две цифры, а в полученном ответе сдвинуть её влево на одну цифру.

Например, извлечем корень из числа 0,81. Мысленно передвинем запятую вправо на две цифры, полýчим 81. Теперь извлечём квадратный корень из числа 81, полýчим ответ 9. В ответе 9 передвинем запятую влево на одну цифру, полýчим 0,9. Значит, .

Это правило работает и в ситуации, когда после запятой содержатся четыре цифры и эти цифры образуют знакомый нам квадрат.

Если исходное число принадлежит промежутку [100; 10000], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [10; 100].

В этом случае применяется таблица квадратов:

Видим, что это число 24. Значит .

Извлечем квадратный корень из числа 432 с точностью до десятых.

В таблице квадратов ближайшее меньшее число к 432 это число 400. Квадратный корень из него равен 20. Отталкиваясь от числа 20, будем проверять различные десятичные дроби, целая часть которых равна 20.

Проверим, например, число 20,8. Для этого возведём его в квадрат:

Необязательно запоминать промежутки чтобы узнать в каких границах располагается корень. Можно воспользоваться методом нахождения ближайших квадратов с чётным количеством нулей на конце.

Извлечём квадратные корни из чисел 3600 и 4900. Это числа 60 и 70 соответственно:

Корень 64 не годится. Проверим корень 65

Получается 4225. Значит 65 является корнем числа 4225

Тождественные преобразования с квадратными корнями

Над квадратными корнями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым облегчая их вычисление. Рассмотрим некоторые из этих преобразований.

Квадратный корень из произведения

Квадратный корень из произведения это выражение вида , где a и b некоторые числа.

Например, выражение является квадратным корнем из произведения чисел 4 и 9.

Но при извлечении квадратных корней из больших чисел это правило может оказаться весьма полезным.

Допустим, потребовалось извлечь квадратный корень из числа 144. Этот корень легко определяется с помощью таблицы квадратов — он равен 12

Но предстáвим, что таблицы квадратов под рукой не оказалось. В этом случае число 144 можно разложить на простые множители. Затем из этих простых множителей составить числа, квадратные корни из которых извлекаются.

Итак, разлóжим число 144 на простые множители:

Получили следующее разложение:

В разложéнии содержатся четыре двойки и две тройки. При этом все числа, входящие в разложение, перемнóжены. Это позволяет предстáвить произведения одинаковых сомножителей в виде степени с показателем 2.

В результате будем иметь следующее разложение:

Теперь можно извлекáть квадратный корень из разложения числа 144

Применим правило извлечения квадратного корня из произведения:

Ранее было сказано, что если подкореннóе выражение возведенó во вторую степень, то такой квадратный корень равен модулю из подкореннóго выражения.

Простые множители представляют в виде степени для удобства и короткой записи. Допускается также записывать их под кóрнем как есть, чтобы впоследствии перемнóжив их, получить новые сомножители.

затем перемнóжить некоторые сомножители так, чтобы получились числа, квадратные корни из которых извлекаются. В данном случае можно дважды перемнóжить две двойки и один раз перемнóжить две тройки:

Затем применить правило извлечения квадратного корня из произведения и получить окончательный ответ:

С помощью правила извлечения квадратного корня из произведения можно извлекать корень и из других больших чисел. В том числе, из тех чисел, которых нет в таблице квадратов.

Итак, разложим число 13456 на простые множители:

Теперь будем извлекать квадратный корень из разложения числа 13456

Докажем равенство . Для этого воспользуемся определением квадратного корня.

Итак, выпишем правую часть равенства и возведём ее во вторую степень:

Теперь воспользуемся правилом возведения в степень произведения. Согласно этому правилу, каждый множитель данного произведения нужно возвести в указанную степень:

Значит равенство справедливо, поскольку при возведéнии правой части во вторую степень, получается подкореннóе выражение левой части.

Правило извлечения квадратного корня из произведения работает и в случае, если под кóрнем располагается более двух множителей. То есть справедливым будет следующее равенство:

, при a ≥ 0 и b ≥ 0, c ≥ 0.

Пример 1. Найти значение квадратного корня

Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:

Пример 2. Найти значение квадратного корня

Теперь под кóрнем образовалось два одинаковых множителя 10 и 10. Перемнóжим их, полýчим 100

Далее применяем правило извлечения квадратного кóрня из произведения и получáем окончательный ответ:

Пример 3. Найти значение квадратного корня

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

Далее возводим число 11 во вторую степень и получаем окончательный ответ:

Пример 4. Найти значение квадратного корня

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из произведения:

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

Вычислим произведение получившихся степеней и полýчим окончательный ответ:

Сомножители, находящиеся под корнем, могут быть десятичными дробями. Например, извлечём квадратный корень из произведения

Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:

Пример 6. Найти значение квадратного корня

Пример 7. Найти значение квадратного корня

Например, произведение 8 × 4 равно 32

Это свойство полезно при решении некоторых задач на извлечение квадратных корней. Сомножители подкореннóго выражения можно умнóжить и разделить так, чтобы корни из них извлекались.

Например, извлечём квадратный корень из произведения . Если сразу воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из произведения, то не полýчится извлечь корни √1,6 и √90, потому что они не извлекаются.

Запишем полное решение данного примера:

Процесс умножения и деления можно выполнять в уме. Также можно пропустить подробную запись извлечения квадратного корня из каждого сомножителя. Тогда решение станóвится короче:

Пример 9. Найти значение квадратного корня

Если в равенстве поменять местами левую и правую часть, то полýчим равенство . Это преобразовáние позволяет упрощáть вычисление некоторых корней.

Например, узнáем чему равно значение выражения .

Квадратные корни из чисел 10 и 40 не извлекаются. Воспользуемся правилом , то есть заменим выражение из двух корней на выражение с одним корнем, под которым будет произведение из чисел 10 и 40

Теперь найдём значение произведения, находящегося под корнем:

А квадратный корень из числа 400 извлекается. Он равен 20

Сомножители, располагáющиеся под корнем, можно расклáдывать на множители, группировáть, представлять в виде степени, а также перемножáть для получения новых сомножителей, корни из которых извлекаются.

Например, найдём значение выражения .

Воспользуемся правилом

Перемнóжим сомножители 2 и 2, полýчим 4. А сомножитель 2 4 предстáвим в виде степени с показателем 2

Теперь воспóльзуемся правилом и вычислим окончательный ответ:

Пример 12. Найти значение выражения

Воспользуемся правилом

Теперь воспользуемся правилом и вычислим окончательный ответ:

Квадратный корень из дроби

Вычислим квадратные корни в числителе и знаменателе:

Докáжем, что равенство является верным.

Возведём правую часть во вторую степень. Если в результате полýчим дробь , то это будет означать, что равенство верно:

Пример 1. Извлечь квадратный корень

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Пример 2. Извлечь квадратный корень

Переведём подкореннóе выражение в неправильную дробь, затем воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Пример 3. Извлечь квадратный корень

Предстáвим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. 0,09 это девять сотых:

Теперь можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Пример 4. Найти значение выражения

Извлечём корни из 0,09 и 0,25, затем сложим полученные результаты:

Также можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

В данном примере первый способ оказался проще и удобнее.

Пример 5. Найти значение выражения

Сначала вычислим квадратный корень, затем перемнóжим его с 10. Получившийся результат вычтем из 4

Пример 6. Найти значение выражения

Сначала найдём значение квадратного корня . Он равен 0,6 поскольку 0,6 2 = 0,36

Теперь вычислим получившееся выражение. Согласно порядку действий, сначала надо выполнить умножение, затем сложение:

Вынесение множителя из-под знака корня

В некоторых задачах может быть полезным вынесение множителя из-под знака корня.

Рассмотрим квадратный корень из произведения . Согласно правилу извлечения квадратного корня из произведения, нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя данного произведения:

В нашем примере квадратный корень извлекается только из множителя 4. Его мы извлечём, а выражение оставим без изменений:

Это и есть вынесение множителя из-под знака корня.

На практике подкореннóе выражение чаще всего требуется разложить на множители.

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 9 и 2. Тогда полýчим:

Теперь воспользуемся правило извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 9. Множитель 2 остáвим под кóрнем:

Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 121 и 3. Тогда полýчим:

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 121. Выражение √3 остáвим под корнем:

Пример 4. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

Квадратный корень извлекается только из числа 121. Извлечём его, а выражение √15 оставим без изменений:

Получается, что множитель 11 вынесен из-под знака корня. Вынесенный множитель принято записывать до выражения с корнем. Поменяем выражения √ 15 и 11 местами:

Пример 5. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 4 и 3

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

Извлечём корень из числа 4, а выражение √3 остáвим без изменений:

Пример 6. Упростить выражение

Предстáвим второе слагаемое в виде . А третье слагаемое предстáвим в виде

Теперь в выражениях и вынесем множитель из-под знака корня:

Замечáем, что получившемся выражении квадратный корень √3 является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Вычислим содержимое скобок, полýчим −1

Если множителем является −1, то записывают только минус. Единица опускается. Тогда полýчим окончательный ответ −√3

Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим следующее выражение:

В этом выражении число 5 умнóжено на квадратный корень из числа 9. Найдём значение этого выражения.

Сначала извлечём квадратный корень, затем перемнóжим его с числом 5.

Квадратный корень из 9 равен 3. Перемнóжим его с числом 5. Тогда полýчим 15

Число 5 в данном случае было множителем. Внесём этот множитель под знак корня. Но сделать это нужно таким образом, чтобы в результате наших действий значение исходного выражения не изменилось. Проще говоря, после внесения множителя 5 под знак корня, получившееся выражение по-прежнему должно быть равно 15.

Значение выражения не изменится, если число 5 возвести во вторую степень и только тогда внести его под корень:

Итак, если данó выражение , и нужно внести множитель a под знак корня, то надо возвести во вторую степень множитель a и внести его под корень:

Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении

Возведём число 7 во вторую степень и внесём его под знак корня:

Пример 2. Внести множитель под знак корня в выражении

Возведём число 10 во вторую степень и внесем его под знак корня:

Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении

Вносить под знак корня можно только положительный множитель. Ранее было сказано, что выражение вида не имеет смысла.

Однако, если перед знаком кóрня располагается отрицательный множитель, то минус можно оставить за знáком корня, а самó число внести под знак корня.

Пример 4. Внести множитель по знак корня в выражении

В этом примере под знак корня внóсится только 3. Минус остаётся за знáком корня:

Пример 5. Выполнить возведéние в степень в следующем выражении:

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

Теперь необходимо упростить получившееся выражение.

Для выражений и применим правило . Ранее мы говорили, что если выражение вида возвести во вторую степень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a.

А в выражении для множителей и применим правило . То есть заменим произведение корней на один общий корень:

Приведём подобные слагаемые. В данном случае можно сложить слагаемые 3 и 2. А в слагаемом вычислить произведение, которое под кóрнем:

Источник