Что такое взаимно простые числа

29.08.202229.08.2022 admin 0 Комментариев

Что такое взаимно простые числа

Взаимно простые числа определение. Взаимно простые числа примеры. Что значит взаимно простые числа? Два взаимно простых числа

Что такое взаимно простые числа?

Взаимно простые числа определение

Определение взаимно простых чисел:

Взаимно простые числа примеры

Пример взаимно простых чисел:

У 2 и 3 нет иных общих делителей кроме единицы.

Ещё пример взаимно простых чисел:

У 3 и 7 нет иных общих делителей кроме едининицы.

Другой пример взаимно простых чисел:

У 11 и 13 нет иных общих делителей кроме едининицы.

Теперь мы можем ответить на вопрос, что значит взаимно простые числа.

Что значит взаимно простые числа?

Это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.

Два взаимно простых числа

Каждая из этих пар есть два взаимно простых числа.

Общие делители взаимно простых чисел

Общие делители взаимно простых чисел – это только единица, что следует из определения взаимно простых чисел.

Наибольший общий делитель взаимно простых чисел

Наибольший общий делитель взаимно простых чисел – это единица, что следует из определения взаимно простых чисел.

Являются ли взаимно простыми числа?

Являются ли взаимно простыми числа 3 и 13? Да, ведь у них нет общих делителей, кроме единицы.

Являются ли взаимно простыми числа 3 и 12? Нет, ведь у них общими делителями являются 1 и 3. А по определению взаимно простых чисел общим делителем должна быть только единица.

Являются ли взаимно простыми числа 3 и 108? Нет, ведь у них общими делителями являются 1 и 3. А по определению взаимно простых чисел общим делителем должна быть только единица.

Являются ли взаимно простыми числа 108 и 5? Да, ведь у них нет общих делителей, кроме единицы.

Простые и взаимно простые числа

Свойство взаимно простых чисел:

Вопрос: являются ли взаимно простые числа всегда простыми?

Ответ: нет, взаимно простые числа могут не быть простыми.

Пример взаимно простых чисел, которые не являются простыми:

Числа 9 и 16 есть взаимно простые, но ни одно из них не является простым числом.

Источник

Взаимно простые числа

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 171.

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 171.

Взаимно простые числа тема достаточно сложная тема 6 класса математики. Как и простые числа, тема взаимно простых чисел используется для сложения и вычитания дробей. Чтобы не допускать ошибок в этой теме разберемся в вопросе подробнее.

Простые числа

Что такое простое число? Простое число делится только на единицу и на само себя. Например, число 13 является простым, так как нацело делится только на 1 и на 13. Секрет в том, что практически каждое число можно разделить на другое число. Но в простых числах важно именно деление нацело, дробные частные и деление с остатком не рассматривается.

Простые числа в знаменателях дробей означают, что для нахождения общего знаменателя нужно перемножить эти числа между собой. Разложить простые числа на множители невозможно. Поэтому НОД двух простых чисел это их произведение.

Числа, которые содержат в себе больше двух множителей, то есть делятся на несколько чисел, называются сложными. Сложные числа состоят из перемноженных простых.

Взаимно простые числа

Взаимно простыми числами называются числа, наибольший общий делитель которых равен единицы. Доказать факт того, что числа являются взаимно простыми можно только с помощью разложения чисел на простые множители. Если у чисел нет общих множителей, кроме 1, то они будут взаимно простыми.

При этом сами по себе взаимно простые числа могут быть сложными. Важен именно НОД двух чисел.

Нужно учитывать, что взаимно простыми могут быть не только два числа, но и 3, 4, 10 – любое множество чисел может быть взаимно простым.

Как определить взаимно простые числа?

Для того чтобы определить взаимно простые числа, можно воспользоваться двумя алгоритмами:

Относительно друг друга два простых числа всегда будут взаимно простыми. А если одно из чисел, делится на другое нацело, то эти числа точно не являются взаимно простыми.

Пример

Определим, являются ли взаимно простыми числа 1729 и 282

Определение начинается с разложения на множители:

Обратите внимание, что для разложения таких чисел придется использовать метод перебора. Согласно таблице простых чисел каждый множитель проверяется, после чего деление продолжается. Подбирать множители нужно от маленьких чисел к большим, то есть от 2 и выше.

Как видно, общих множителей у двух чисел нет. Это значит, что числа можно считать взаимно простыми. Не нужно пугаться, если среди множителей попадаются достаточно большие числа. Среди учеников существует миф, что простые числа редко бывают больше 20, это не так. Просто такие числа проще использовать в задачах, чтобы набить руку. На экзамене или в контрольной сложность числа для разложения может быть абсолютно любой

Что мы узнали?

Мы поговорили о простых числах. Выяснили, что такое взаимно простые числа и обговорили некоторые их свойства. Привели примеры взаимно простых чисел. Обговорили неправильные мнения по поводу простых и взаимно простых чисел.

Источник

Что такое взаимно простые числа

Содержание статьи

Простым в математике называется такое число, которое можно разделить только на единицу и на само себя. 3, 7, 11, 143 и даже 1 111 111 – все это простые числа, причем каждое из них обладает данным свойством в отдельности.

Чтобы говорить о взаимно простых числах, их должно быть не менее двух. Данное понятие характеризует общий признак нескольких чисел.

Определение взаимно простых чисел

Например, число 8 к таковым не относится, ведь его можно разделить на 2 и на 4, но 8 и 11 – взаимно простые числа. Определяющим признаком здесь является именно отсутствие общего делителя, а не характеристики отдельных чисел.

Впрочем, два и более простых числа всегда будут взаимно простыми. Если каждое из них делится лишь на единицу и на само себя, то общего делителя у них быть не может.

Для взаимно простых чисел существует особое обозначение в виде горизонтального отрезка и опущенного на него перпендикуляра. Это соотносится со свойством перпендикулярных прямых, у которых нет общего направления, как и у этих числе нет общего делителя.

Попарно взаимно простые числа

Возможно и такое сочетание взаимно простых чисел, из которого можно взять наугад любые два числа, и они обязательно окажутся взаимно простыми. Например, 2, 3 и 5: общего делителя не имеют ни 2 и 3, ни 2 и 5, ни 5 и 3. Такие числа именуют попарно взаимно простые.

Не всегда взаимно простые числа бывают попарно взаимно простыми. Например, числа 15, 20 и 21 – это взаимно простые числа, но назвать их попарно взаимно простыми нельзя, ведь 15 и 20 делятся на 5, а 15 и 21 – на 3.

Применение взаимно простых чисел

В цепной передаче, как правило, количество звеньев цепи и зубьев звездочки выражаются взаимно простыми числами. Благодаря этому каждый из зубьев соприкасается с каждым звеном цепи поочередно, механизм меньше изнашивается.

Существует и еще более интересное свойство взаимно простых чисел. Необходимо начертить прямоугольник, длина и ширина которого выражаются взаимно простыми числами, и провести из угла внутрь прямоугольника луч под углом 45 градусов. В точке соприкосновения луча со стороной прямоугольника нужно начертить другой луч, расположенный под углом 90 градусов к первому – отражение. Делая такие лучи-отражения раз за разом, можно получить геометрический узор, в котором любая часть по структуре подобна целому. С точки зрения математики такой узор является фрактальным.

Источник

Взаимно простые числа, их свойства

Определение взаимно простых чисел

Сначала определимся, что значит простое число.

Главное свойство простых чисел в том, что простое число делится только на единицу и на само себя.

Таких чисел немного, большинство все-таки можно разделить на другие числа. В простых числах самое важное — это деление нацело. Дробные частные и деление с остатком не рассматриваем.

Понятие взаимно простых чисел можно применить для двух целых чисел или для большего количества. Сформулируем, какие числа называются взаимно простыми.

Взаимно простые числа

Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице — то есть НОД (a, b) = 1.

Проще говоря, взаимно простые числа — это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать так: НОД (a, b).

Наибольший общий делитель взаимно простых чисел — это единица, что следует из определения взаимно простых чисел.

Приведем примеры взаимно простых чисел.

Заметим, что два простых числа всегда являются взаимно простыми. Однако, два числа не обязательно должны быть простыми, чтобы быть взаимно простыми. Вот такая математика в 5 классе. И еще раз: либо одно из них, либо они оба могут быть составными и при этом являться взаимно простыми. Приведем пример.

Делители 8: ±1, ±2, ±4, ±8.

На математике в 5 и 6 класса часто встречаются задания, в которых нужно доказать, что конкретные целые числа являются взаимно простыми. Из чего обычно состоит такое доказательство:

Перед вычислением НОД можно заглянуть в таблицу простых чисел и проверить, вдруг исходные целые числа можно назвать простыми. Тогда решение будет проще, так как мы знаем, что НОД простых чисел равен единице.

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

Повторим еще раз. Что значит взаимно простые числа? Это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.

Видео

Составные цифры

Два числа относительно друг друга будут взаимно простыми всегда. Аналогичные отношения формируются между составными цифрами. Возможно, что из пары m или n одно — составное, а другое — простое, либо две цифры составные (натуральные числа, у которых есть больше двух делителей). Чтобы подтвердить каноническое утверждение, рассматривается пара из 9 и 88. Её простота доказывается путём вычисления НОД.

Разложение 88: ±1, ±2, ±4, ±8±1, ±2, ±4, ±8. НОД (9): ±1, ±3, ±9±1, ±3, ±9. Из двух вариантов выбираются общие цифры, а из списка определяется самая большая. Из полного перечня подходит единица.

На практике часто определяется ВПЧ двух целых цифр. Алгоритм решения задач заключается в поиске НОД, его сравнении с единицей. Чтобы быстро и правильно найти пару, используется таблица, в которой есть числа, кратные одному и сами себе.

Описание нескольких групп признаков делимости (ПД) неизвестной а:

Разложение на простые множители

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Воспользуемся свойством степеней, тогда получим,

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Такая запись разложения на простые множители называется канонической, т.е. для того чтобы разложить в канонической форме число на множители необходимо воспользоваться свойством степеней и представить число в виде произведения степеней с разными основаниями

Решение примеров

21 и 24 не являются взаимно простыми числами, потому что имеют множитель равный 3. ( 21 = 3 х 7, 24 = 2 х 2 х 2 х 3 ).

Являются ли взаимно простыми числа 13 и 11

13 и 11 взаимно простые числа, потому что это простые числа (свойство 2).

Являются ли взаимно простыми числа 17 и 18

17 и 18 взаимно простые числа, потому что это два последовательных числа (свойство 3).

Связанные определения

Примеры

Пример

Определим, являются ли взаимно простыми числа 1729 и 282

Определение начинается с разложения на множители:

Взаимно простые числа

При этом сами по себе взаимно простые числа могут быть сложными. Важен именно НОД двух чисел.

Определение попарно простых чисел

Через взаимно простые числа можно дадим определение попарно простых чисел.

Приведем пример попарно простых чисел.

Попарно простые числа всегда взаимно простые.

При этом, взаимно простые числа далеко не всегда могут быть попарно простыми. Подтвердим на примере. 8, 16, 5 и 15 не являются попарно простыми, так как числа 8 и 16 не взаимно простые. Однако, 8, 16, 5 и 15 — взаимно простые. Таким образом, 8, 16, 5 и 15 — взаимно простые, но не попарно простые.

Остановимся на понятии совокупности некоторого количества простых чисел. Эти числа всегда являются и взаимно простыми и попарно простыми. Например, 71, 443, 857, 991 — и попарно простые, и взаимно простые.

Когда речь идет о двух целых числах, то для них понятия «попарно простые» и «взаимно простые» совпадают.

Источник

Взаимно простые числа

Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Примеры: 14 и 25 взаимно просты, а 15 и 25 не взаимно просты (у них имеется общий делитель 5).

Наглядное представление: если на плоскости построить «лес», установив на точки с целыми координатами «деревья» нулевой толщины, то из начала координат видны только деревья, координаты которых взаимно просты.

Содержание

Обозначения

Для указания взаимной простоты чисел и используется обозначение [1] :

Подобно тому, как перпендикулярные прямые не имеют общего направления, так и перпендикулярные числа не имеют общих сомножителей. [1]

Однако не все математики признают и используют это обозначение. Чаще всего используется словесная формулировка или эквивалентная запись , что означает: «наибольший общий делитель чисел a и b равен 1».

Связанные определения

Примеры

Свойства

Обобщения

Понятия простого числа и взаимно простых чисел естественно обобщаются на произвольные коммутативные кольца, например, на кольцо многочленов или гауссовы целые числа. Обобщением понятия простого числа является «неприводимый элемент». Два элемента кольца называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме делителей единицы. При этом аналог основной теоремы арифметики выполняется не во всех, а только в факториальных кольцах.

Применение

Обычно число зубьев на звёздочках и число звеньев цепи в цепной передаче стремятся делать взаимно простыми, что обеспечивает равномерность износа: каждый зуб звёздочки будет поочерёдно работать со всеми звеньями цепи.

См. также

Примечания

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Взаимно простые числа» в других словарях:

ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА — натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; напр., 15 и 16 … Большой Энциклопедический словарь

взаимно-простые числа — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN relative prime … Справочник технического переводчика

Взаимно-простые числа — Два целых числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Содержание 1 Связанные определения 2 Примеры 3 Свойства 4 См. также … Википедия

взаимно простые числа — натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; например, 15 и 16. * * * ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА, натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; напр., 15 и 16 … Энциклопедический словарь

Взаимно простые числа — несколько целых чисел, таких, что общими делителями для всех этих чисел являются лишь + 1 и 1. Если каждое из этих чисел взаимно просто с каждым другим из них, то говорят, что числа попарно простые (для двух чисел оба понятия совпадают).… … Большая советская энциклопедия

ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА — натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; напр., 15 и 16 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Простые числа — Простое число это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на… … Википедия

Простые множители — Простое число это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на… … Википедия

Попарно взаимно просты — Два целых числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Содержание 1 Связанные определения 2 Примеры 3 Свойства 4 См. также … Википедия

Источник

Взаимно простые числа: определение, примеры и свойства

В этом статье мы расскажем о том, что такое взаимно простые числа. В первом пункте сформулируем определения для двух, трех и более взаимно простых чисел, приведем несколько примеров и покажем, в каких случаях два числа можно считать простыми по отношению друг к другу. После этого перейдем к формулировке основных свойств и их доказательствам. В последнем пункте мы поговорим о связанном понятии – попарно простых числах.

Что такое взаимно простые числа

Взаимно простыми могут быть как два целых числа, так и их большее количество. Для начала введем определение для двух чисел, для чего нам понадобится понятие их наибольшего общего делителя. Если нужно, повторите материал, посвященный ему.

Если мы возьмем два простых числа, то по отношению друг к другу они будут взаимно простыми во всех случаях, однако такие взаимные отношения образуются также и между составными числами. Возможны случаи, когда одно число в паре взаимно простых является составным, а второе простым, или же составными являются они оба.

На практике довольно часто приходится определять взаимную простоту двух целых чисел. Выяснение этого можно свести к поиску наибольшего общего делителя и сравнению его с единицей. Также удобно пользоваться таблицей простых чисел, чтобы не производить лишних вычислений: если одно из заданных чисел есть в этой таблице, значит, оно делится только на единицу и само на себя. Разберем решение подобной задачи.

Решение

Оба числа явно имеют больше одного делителя, поэтому сразу назвать их взаимно простыми мы не можем.

Как мы уже говорили раньше, определение таких чисел можно распространить и на случаи, когда у нас есть не два числа, а больше.

Обычно взаимная простота чисел не является очевидной с первого взгляда, этот факт нуждается в доказательстве. Чтобы выяснить, будут ли некоторые числа взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель и сделать вывод на основании его сравнения с единицей.

Решение

Сверимся с таблицей простых чисел и определим, что все три этих числа в ней есть. Тогда их общим делителем может быть только единица.

Ответ: все эти числа будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Решение

Ответ: семь больше единицы, значит, взаимно простыми эти числа не являются.

Основные свойства взаимно простых чисел

Такие числа имеют некоторые практически важные свойства. Перечислим их по порядку и докажем.

Это свойство мы уже доказывали. Доказательство можно посмотреть в статье о свойствах наибольшего общего делителя. Благодаря ему мы можем определять пары взаимно простых чисел: достаточно лишь взять два любых целых числа и выполнить деление на НОД. В итоге мы должны получить взаимно простые числа.

Это все свойства взаимно простых чисел, о которых бы мы хотели вам рассказать.

Понятие попарно простых чисел

Зная, что из себя представляют взаимно простые числа, мы можем сформулировать определение попарно простых чисел.

Источник

Взаимно простые числа

О чем эта статья:

Определение взаимно простых чисел

Сначала определимся, что значит простое число.

Главное свойство простых чисел в том, что простое число делится только на единицу и на само себя.

Взаимно простые числа

Проще говоря, взаимно простые числа — это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.

Приведем примеры взаимно простых чисел.

Делители 8: ±1, ±2, ±4, ±8.

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

Пример 1

Доказать, что числа 84 и 275 являются взаимно простыми.

Сверяемся с таблицей простых чисел. 84 и 275 не являются простыми, поэтому нельзя сразу сказать об их взаимной простоте.

Вычислим НОД. Используем алгоритм Евклида для нахождения НОД:

Доказали, что числа 84 и 275 взаимно простые.

Определение взаимно простых чисел можно расширить для трех и большего количества чисел.

То есть если у некоторого набора целых чисел есть положительный общий делитель, отличный от единицы, то эти целые числа не являются взаимно простыми.

Любая совокупность простых чисел составляет набор взаимно простых чисел, например, 2, 3, 11, 19, 151, 293 и 677 — взаимно простые числа. А четыре числа 12, −9, 900 и −72 не являются взаимно простыми, так как у них есть положительный общий делитель 3. Числа 17, 85 и 187 тоже не взаимно простые, потому что каждое из них можно разделить на 17.

Как определить взаимно простые числа:

Пример 2

Являются ли числа 331, 463 и 733 взаимно простыми?

Заглянем в таблицу простых чисел. Видим, что 331, 463 и 733 — простые. Значит, у них есть единственный положительный общий делитель — единица. Поэтому, 331, 463 и 733 есть взаимно простые числа.

Пример 3

Доказать, что числа −14, 105, −2 107 и −91 не являются взаимно простыми.

Найдем НОД заданных чисел и убедимся, что он не равен единице.

Делители целых отрицательных чисел совпадают с делителями соответствующих противоположных чисел. Поэтому НОД (−14, 105, 2 107, −91) = НОД (14, 105, 2 107, 91). Посчитаем:

НОД (14, 105, 2 107, 91) = 7.

Мы получили, что наибольший общий делитель исходных чисел равен семи, поэтому эти числа не являются взаимно простыми. Доказали.

Свойства взаимно простых чисел

У взаимно простых чисел есть определенные свойства. Рассмотрим основные свойства взаимно простых чисел.

Свойство 1

Числа, которые получились при делении целых чисел a и b на их наибольший общий делитель, называются взаимно простыми. То есть, a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Это свойство взаимно простых чисел помогает находить пары взаимно простых чисел. Для этого достаточно взять два любых целых числа и разделить их на наибольший общий делитель. В результате получим взаимно простые числа.

Свойство 2

Докажем эту необходимость:

Пусть числа a и b взаимно простые. Тогда по определению взаимно простых чисел НОД (a, b) = 1. А из свойств НОД мы знаем, что для целых чисел a и b верно соотношение Безу au₀ + bv₀ = НОД (a, b). Следовательно, au₀ + bv₀ = 1.

Соотношение Безу — представление НОД целых чисел в виде их линейной комбинации с целыми коэффициентами.

Докажем достаточность:

Свойство 3

Если числа a и b взаимно простые, и произведение ac делится на b — значит c делится на b.

Действительно, так как a и b взаимно простые, то из предыдущего свойства у нас есть равенство au₀ + bv₀ = 1. Если умножть обе части этого равенства на c, получится acu₀ + bcv₀ = c.

Первое слагаемое суммы acu₀ + bcv₀ делится на b, так как ac делится на b по условию, второе слагаемое этой суммы также делится на b, так как один из множителей равен b. Можно сделать вывод, что вся сумма делится на b. А так как сумма acu₀ + bcv₀ равна c, то и c делится на b.

Свойство 4

Если числа a и b взаимно простые, то НОД (ac, b) = НОД (c, b).

Покажем, во-первых, что НОД (ac, b) делит НОД (c, b), а во-вторых, что НОД (c, b) делит НОД (ac, b), это и будет доказывать равенство НОД (ac, b) = НОД (c, b).

НОД (ac, b) делит и ac и b, а так как НОД (ac, b) делит b, то он также делит и bc. То есть, НОД (ac, b) делит и ac и bc, следовательно, в силу свойств наибольшего общего делителя он делит и НОД (ac, bc), который по свойствам НОД равен c * НОД (a, b) = c. Таким образом, НОД (ac, b) делит и b и c, следовательно, делит и НОД (c, b).

С другой стороны, НОД (c, b) делит и c и b, а так как он делит с, то также делит и ac. Поэтому НОД (c, b) делит и ac и b, следовательно, делит и НОД (ac, b).

Так мы показали, что НОД (ac, b) и НОД (c, b) взаимно делят друг друга, значит, они равны.

Свойство 5

Предыдущее свойство взаимно простых чисел поможет намзаписать ряд равенств вида:

Определение попарно простых чисел

Через взаимно простые числа можно дадим определение попарно простых чисел.

Приведем пример попарно простых чисел.

Когда речь идет о двух целых числах, то для них понятия «попарно простые» и «взаимно простые» совпадают.

Источник

Взаимно-простые числа

Взаимно-простые числа — это натуральные числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен единице.

То есть, если НОД (a; b)=1, то числа a и b — взаимно-простые.

Делители числа 21: 1 ; 3; 7; 21.

Их единственный, а значит, и наибольший, общий делитель равен 1:

НОД (4; 21) = 1. Значит, 4 и 21 — взаимно-простые числа.

Делители 6: 1 ; 2; 3; 6.

Делители 35: 1 ; 5; 7; 35.

НОД (6; 35) = 1. Следовательно, числа 6 и 35 являются взаимно-простыми.

Делители 27: 1; 3 ; 9; 27.

Делители 33: 1; 3 ; 11; 33.

НОД (27; 33) = 3. Так как НОД (27; 33) ≠ 1, то 27 и 33 не являются взаимно-простыми числами.

Можно ли по внешнему виду определить, являются ли числа взаимно-простыми или нет? В некоторых случаях, можно.

Например, если оба числа чётные, то у них есть общий делитель 2, следовательно, два чётных числа не могут быть взаимно-простыми.

Если запись одного числа оканчивается на 5, а другого — на 5 или на 0, то оба числа делятся на 5, а значит, их НОД не единица, и эти числа не взаимно-простые.

Если числа простые, они делятся только на 1 и на себя, значит, их наибольший общий делитель равен 1 и они — взаимно-простые. Является ли число простым, проще всего определить по таблице простых чисел.

В остальных случаях наибольший общий делитель составных чисел находят, разложив эти числа на простые множители, используя признаки делимости. Если при разложении оказывается, что единственный общий делитель равен 1, то эти числа являются взаимно-простыми.

2 Comments

Это определение и для трех чисел? Например, 4, 7 и 15?

Источник

Взаимно простые числа

Взаимно простые числа от 1 до 100

Приведем примеры взаимно простых чисел.
2 и 99,
15 и 16,
28 и 57,
29 и 31,
12 и 1,
59 и 97 и т. д.
Чтобы образовывать взаимно простые числа, должно быть, по крайней мере, два числа.

Как проверить, являются ли взаимно простыми числа

Решим примеры.
Являются ли взаимно простыми числа:

Свойства взаимно простых чисел

Свойство 1: Число 1 взаимно простое с каждым числом.

Свойство 2: Все простые числа взаимно просты между собой.

Свойство 3: Любые два последовательных числа всегда взаимно просты.

Рассмотрим любые два последовательных числа, например, 2 и 3, 3 и 4 или 14 и 15. У всех этих чисел общий делитель – это единица.

Свойство 4: Сумма любых двух взаимно простых чисел всегда взаимно проста с их произведением.

2 и 3 взаимно просты. Их сумма равна 5 (2+3), а произведение – 6 (2х3). Следовательно, числа 5 и 6 взаимно просты.

Источник

Взаимно простые числа – определение, примеры и свойства.

Информация этой статьи покрывает тему «взаимно простые числа». Сначала дано определение двух взаимно простых чисел, а также определение трех и большего количества взаимно простых чисел. После этого приведены примеры взаимно простых чисел, и показано, как доказать, что данные числа являются взаимно простыми. Дальше перечислены и доказаны основные свойства взаимно простых чисел. В заключение упомянуты попарно простые числа, так как они тесно связаны со взаимно простыми числами.

Навигация по странице.

Взаимно простые числа – определение и примеры

Понятие взаимно простых чисел дается как для двух целых чисел, так и для их большего числа. Сначала приведем определение двух взаимно простых чисел. Это определение дается через наибольший общий делитель чисел, так что рекомендуем сначала разобраться с материалом указанной статьи.

Приведем примеры взаимно простых чисел.

Заметим, что два простых числа всегда являются взаимно простыми. Однако, два числа не обязательно должны быть простыми, чтобы быть взаимно простыми. Либо одно из них, либо они оба могут быть составными и при этом являться взаимно простыми. Приведем пример, иллюстрирующий это высказывание.

Часто встречаются задания, в которых требуется доказать, что данные целые числа являются взаимно простыми. Доказательство сводится к вычислению наибольшего общего делителя данных чисел и проверке НОД на его равенство единице. Полезно также перед вычислением НОД заглянуть в таблицу простых чисел: вдруг исходные целые числа являются простыми, а мы знаем, что наибольший общий делитель простых чисел равен единице. Рассмотрим решение примера.

Докажите, что числа 84 и 275 являются взаимно простыми.

Определение взаимно простых чисел можно расширить для трех и большего количества чисел.

Из озвученного определения следует, что если некоторый набор целых чисел имеет положительный общий делитель, отличный от единицы, то данные целые числа не являются взаимно простыми.

Обычно далеко не очевидно, что некоторые числа являются взаимно простыми, и этот факт приходится доказывать. Для выяснения, являются ли данные числа взаимно простыми, приходится находить наибольший общий делитель этих чисел, и на основании определения взаимно простых чисел делать вывод.

Источник

Взаимно-простые числа

Два целых числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1.

Содержание

Связанные определения

Примеры

Свойства

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Взаимно-простые числа» в других словарях:

Взаимно простые числа — Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Примеры: 14 и 25 взаимно просты, а 15 и 25 не взаимно просты (у них имеется общий делитель 5). Наглядное представление: если на плоскости построить… … Википедия

Источник

Что такое взаимно простые числа

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В этом уроке Вы узнаете, какие числа называются взаимно простыми, и научитесь их определять.

Итак, что подразумевается под понятием «взаимно простые числа»?

Рассмотрим два натуральных числа 25 и 26. Это составные числа.

Натуральное число 25 делится без остатка на 1, 5, 25.

А натуральное число 26 делится без остатка на 1, 2, 13, 26.

Видим, что числа 25 и 26 имеют только один общий делитель – это число 1.

Такие числа называют взаимно простыми.

Таким образом, можно сделать вывод:

Натуральные числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Даны пары натуральных чисел 14 и 28, 15 и 22.

Определим, какие из данных пар являются взаимно простыми.

Для этого необходимо определить, какие делители имеет каждое из чисел.

14 без остатка делится на 1, 2, 7, 14;

28 без остатка делится на 1, 2, 4, 7, 14, 28.

Теперь рассмотрим другую пару чисел 15 и 22.

Значит, пара натуральных чисел 15 и 22 являются взаимно простыми числами.

Теперь возьмем еще два составных натуральных числа 45 и 32.

Натуральное число 45 делится на 1, 3, 5, 9, 15, 45, а натуральное число 32 делится на 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Значит, числа 45 и 32 являются взаимно простыми.

Разложим эти числа на простые множители. 45=3*3*5, 32=2*2*2*2*2.

Легко заметить, что взаимно простые натуральные числа 45 и 32 в разложении на простые множители не содержат одинаковых простых множителей.

Таким образом, приходим к выводу, что разложения на простые множители взаимно простых чисел не содержат одних и тех же простых множителей.

Итак, в этом уроке Вы узнали, какие числа называются взаимно простыми, а также научились определять взаимно простые числа.

Источник

Взаимно простые числа: определение, примеры и свойства

Время чтения: 12 минут

Эта статья – экскурс в мир математики и взаимно простых чисел. Но не стоит их путать с «простыми». Далее вы узнаете почему взаимно простые числа являются простыми, чем они отличаются и для чего они нужны. Будут рассмотрены все характеристики и особенности взаимно простых чисел. Все свойства и особые случаи будут рассмотрены на наглядных примерах. Шаг за шагом мы подойдем к доказательствам и рассмотрим такую вещь, как попарно простые числа.

Что такое взаимно простые числа?

Взаимно простым числом называют целое число, которое имеет с другим числом наибольший общий делитель – 1 (единицу).

Возьмем 2 простых числа и определим их, как a и b. Взаимно простыми будут те числа, которые имеют 1, как наибольший общий делитель (НОД). (a, b) = 1

Пример 1:

Простым примером взаимно простых будут числа 5 и 11. Почему? Давайте посмотрим на делители этих чисел: 5 делится на 5 и на 1, а число 11 можно разделить на 11 и на 1 (без остатка). Общим положительным делителем этих двух чисел будет единица. Единица – самый большой общий делитель двух чисел – значит, что они будут взаимно простые.

Но не только простые числа могут быть взаимно простыми по отношению друг к другу. Условие взаимной простоты образуется и между составными числами.

Составное число – число, делители которого отличаются от самого числа и единицы).

Ситуаций, где в паре чисел одно является простым, а второе составным, или оба являются составными – не редкость. И мы научимся с ними работать.

Пример 2:

Для числа 8 делителями будут: ±1, ±2, ±4, ±8;
Для числа 9 делителями будут: ±1, ±3, ±9.

А вот числа 45 и 500 не будут таковыми. Почему? Помимо единицы, они имеют еще один общий делитель 5, и он больше единицы (вспоминаем правило про наибольший общий делитель). 5 больше 1, значит о взаимной простоте чисел не может быть и речи.

Аналогичная ситуация с числами 201 и 3. Если расписать все из общие делители, то там будет число 3. А 3 больше 1, значит и в этой ситуации нет взаимной простоты между числами.

Как показывает практика, решение задач на определение взаимной простоты встречаются часто и не только в школьных учебниках. Вся их суть сводится к одному: поиск наибольшего общего делителя этих чисел и сравнение его с единицей. Расписывать все делители будет очень проблематично, в некоторых случаях. Например, число 234 567. Для упрощения задачи есть несколько вариантов:

Разберем решение таковой задачи на примере.

Источник

Взаимно простые числа, их свойства

Вы будете перенаправлены на Автор24

Простые и составные числа

Составным называют число, у которого кроме единицы и самого себя есть другие делители.

Взаимно простые числа

Попарно взаимно простые

Если в наборе чисел любые два взаимно просты, то такие числа называются попарно взаимно простыми. Для двух чисел понятия «взаимно простые» и «попарно взаимно простые» совпадают.

Готовые работы на аналогичную тему

Как мы видим, для того, чтобы определить являются ли числа взаимно простыми, необходимо сначала разложить их на простые множители. Обратим внимание на то, как правильно это сделать.

Разложение на простые множители

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Воспользуемся свойством степеней, тогда получим,

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Каноническое разложение натурального числа в общем виде

Каноническое разложение натурального числа в общем виде имеет вид:

Представление числа в виде канонического разложения на простые множества облегчает нахождение наибольшего общего делителя чисел, и выступает как следствие доказательства или определения взаимно простых чисел.

Решение: Разложим числа на простые множества с помощью канонического разложения

Теперь найдем НОД этих чисел, для этого выберем степени с одинаковым основанием и с наименьшим показателем степени, тогда

$НОД \ (180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

Составим алгоритм нахождения НОД с учетом канонического разложения на простые множители.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел с помощью канонического разложения, необходимо:

Решение: Воспользуемся для разложения на множители каноническим разложением:

$195=3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$НОД \ (195;336) =3\cdot 5=15$

Решение: Воспользуемся для разложения на множители каноническим разложением:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

Решение: Воспользуемся для разложения на множители каноническим разложением:

Нужны еще материалы по теме статьи?

Воспользуйся новым поиском!

Найди больше статей и в один клик создай свой список литературы по ГОСТу

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29.06.2022

Источник

Что такое взаимно простые числа

Определение взаимно простых чисел

Взаимно простыми числами называются числа, наибольший общий делитель которых равен 1.

Общим делителем нескольких натуральных чисел называется число, являющееся делителем каждого из данных чисел. В случае если их несколько, наибольший из них называется наибольшим общим делителем (НОД).

Для нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел необходимо:

Примеры решения задач

Задание. Найти НОД чисел 2520 и 5940

Решение. 1) Запишем их каноническое разложение

$2520=2^ <3>\cdot 3^ <2>\cdot 5 \cdot 7 \quad 5940=2^ <2>\cdot 3^ <3>\cdot 5 \cdot 11$

2) У этих двух чисел общими будут такие простые числа: 2, 3, 5 ;

Задание. Среди перечисленных чисел указать взаимно простые числа:

11 и 29; 84 и 715; 27 и 111

Решение. В первой паре 11 и 29 каждое из чисел является простым числом, поэтому они будут взаимно простыми. Для второй пары чисел 84 и 715 найдем НОД. Их канонические разложения имеют вид

$$84=2^ <2>\cdot 3 \cdot 7 \quad, \quad 715=5 \cdot 11 \cdot 13$$

Ответ. Взаимно простыми являются числа: 11 и 29; 84 и 715.

Источник

Главные понятия

Чтобы доказать, что числа взаимно простые (ВПЧ), учитываются их свойства. Запись считается правдивой, если выполняется одно из следующих условий: значение НОД равно 1, в задачах используются попарно ВПЧ. Чтобы понять слово «делитель», рассматривается конкретный пример: у 24 и 54 этот показатель равен 6. НОД может являться то число, на которое делятся без остатка m и n.

Показатель существует, и он определён, если значение m или n отлично от нуля. Понятие записывается различным набором символов. Рекомендуется следовать следующими записями:

НОД (m, n) делится на все общие делители m и n. Если соблюдается условие для а: НОД (a, b)(a, b) и для b: НОД (a, b)(a, b), значит a и b — ВПЧ. С помощью такого свойства легко определяются подходящие пары.

Составные цифры

Описание нескольких групп признаков делимости (ПД) неизвестной а:

Задачи и доказательства

Числа a1, a2, …, akу, у которых есть положительный НОД, больший 11, не являются между собой взаимно обратными. Пример с последующей проверкой: 99, 17−99, 17 и −27−27 — простые. Любое количество цифр будет ВПЧ по отношению к другим членам совокупности. Но 12, −9, 90012, −9, 900 и −72−72 к этой категории не относятся.

Первое задание

Нужно найти число из 4 цифр, кратное 15. Это не дробь, знаменателя нет, но произведение составляющих равняется 60. Решение: чтобы результат делился на 15 без остатка, он должен делиться на 3 и 5. Из предполагаемого списка вычёркивается нуль, так как произведение бы равнялось 0, что невозможно. Можно прийти к выводу, что последняя цифра результата — 5.

Известно, что в ответе должно быть четыре цифры, из которых одна уже известна. Нужно найти оставшиеся три, которые находятся в ряду перед пятёркой, а при их умножении получается 12. Проверка предположения: 60:5=12. Полученный результат легко представить в виде нескольких вариантов со следующими тремя множителями:

По условию задачи, результат должен делиться на 15. Поэтому ответ будет состоять из трёх вариантов: 3225, 2325 и 2235.

Второй пример

Из 181615121 нужно зачеркнуть 3 цифры так, чтобы результат был кратным 12. Множители делителя: 3 и 4. Если их вычеркнуть, заданное число разделится на три и четыре, что объясняется их ПД:

Учитывая ПД на 4, можно прийти к выводу, что последние две цифры из заданного числа не делятся на четыре. Поэтому из 181615121 вычёркивается единица.

Чтобы разделить 181615121 на три, необходимо просуммировать все составляющие, разделив на 3. Результат суммы равен 25 (3х8). Так как условие выполняется, вычеркивается последняя единица.

Воспользовавшись признаками делимости на 3 и 4, можно составить следующие уравнения:

Ответ: 181512, 811512 либо 181152.

Третье и четвёртое задания

Пример 3: необходимо определить шестизначное число, для записи которого используются 0 и 6, а также оно делится на 90. Решение: составляется уравнение 90 = 10х9. Результат делится на 9 и 10. В конце находится нуль, а сумма составных цифр делится на девять. Для записи используются три шестёрки, так как 3 х 6=18, а 18 кратно 9. Ответы: 666000, 660600, 606060, 600660.

Пример 4: нужно определить четырёхзначное число, которое делится на 45 без остатка. Все составные цифры разные и нечётные. Решение: следует составить уравнение с учётом условия задачи. Так как 45 = 9х5, то результат делится на пять и на девять. Одновременно он должен оканчиваться на 5, так как нуль считается чётным. Первые три цифры: 1, 3, 7, 9. Из списка выбираются те три числа, которые в сумме с пятёркой делятся на 9. К ним относятся: 1, 3, 9 и 5. Ответы: 9135, 3915,1935, 1395, 3195.

В условиях некоторых задач говорится о попарно простых числах (ППЧ). Понятие распространяется на последовательность целых цифр a1, a2, …, aka1, a2, …, ak, где каждая взаимно простая относительно других. Пример последовательности: 14, 9, 1714, 9, 17, и −25−25. Любая пара из списка будет взаимно простой. Последнее условие считается обязательным для ППЧ, но взаимно простые попарны не в каждом случае.

Другое понятие, которое встречается в задачах на рассматриваемую тему — совокупность ПЧ. Такие цифры всегда попарно и взаимно простые. Пример последовательности: 1, 443, 857, 99171, 443, 857, 991. У любой такой последовательности понятия попарности и взаимности совпадают.

Источник

Что такое взаимно простые числа

Онлайн калькулятор определит являются ли число взаимно простыми, путем нахождения наибольшего общего делителя чисел.

Для определения взаимно простых чисел необходимо указать количество и ввести числа.

Нажмите кнопку рассчитать и калькулятор укажет как определить взаимно простые числа.

Определение взаимно простых чисел

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Ниже описано как определить являются ли числа 35 и 40 взаимно простыми.

Пример Определить являются ли 77 и 20 взаимно простыми числами

Примеры взаимно простых чисел

Рассмотрим на примере как определить взаимно простые числа.

Пример Являются ли числа 42 и 55 взаимно простыми

Определим что 3 числа 10, 30, 41 являются взаимно простыми.

Пример Проверить что числа 10, 30, 41 взаимно просты

Источник

взаимно простые числа

Смотреть что такое «взаимно простые числа» в других словарях:

Источник

ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

целые числа, не имеющие общих (простых) делителей. Наибольший общий делитель В. п. ч. а и b равен единице, это принято обозначать . Если a и b взаимно просты, то существуют такие числа ии v, , , что

Понятие взаимной простоты может быть введено также для многочленов и вообще для элементов любого евклидова кольца.

Смотреть что такое «ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА» в других словарях:

Источник

Взаимно простые числа – какие, примеры, определение, таблица (6 класс, математика)

Простые числа

Что такое простое число? Простое число делится только на ноль и на само себя. Например, число 13 является простым, так как нацело делится только на 1 и на 13. Секрет в том, что практически каждое число можно разделить на другое число. Но в простых числах важно именно деление нацело, дробные частные и деление с остатком не рассматривается.

Взаимно простые числа

При этом сами по себе взаимно простые числа могут быть сложными. Важен именно НОД двух чисел.

Как определить взаимно простые числа?

Для того чтобы определить взаимно простые числа, можно воспользоваться двумя алгоритмами:

Относительно друг друга два простых числа всегда будут взаимно простыми. А если одно из чисел, делится на другое нацело, то эти числа точно не являются взаимно простыми.

Пример

Определим, являются ли взаимно простыми числа 1729 и 282

Определение начинается с разложения на множители:

Что мы узнали?

Источник

Взаимно простые числа таблица

Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1.

Содержание

Обозначения [ править | править код ]

Для указания взаимной простоты чисел m и n используется обозначение [1] :

Связанные определения [ править | править код ]

Примеры [ править | править код ]

Свойства [ править | править код ]

Обобщения [ править | править код ]

Применение [ править | править код ]

Для определения взаимно простых чисел необходимо указать количество и ввести числа.

Нажмите кнопку рассчитать и калькулятор укажет как определить взаимно простые числа.

Определение взаимно простых чисел

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Ниже описано как определить являются ли числа 35 и 40 взаимно простыми.

Пример Определить являются ли 77 и 20 взаимно простыми числами

Примеры взаимно простых чисел

Рассмотрим на примере как определить взаимно простые числа.

Пример Являются ли числа 42 и 55 взаимно простыми

Определим что 3 числа 10, 30, 41 являются взаимно простыми.

Пример Проверить что числа 10, 30, 41 взаимно просты

Что такое взаимно простые числа

Решение

Оба числа явно имеют больше одного делителя, поэтому сразу назвать их взаимно простыми мы не можем.

Решение

Ответ: все эти числа будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Решение

Ответ: семь больше единицы, значит, взаимно простыми эти числа не являются.

Основные свойства взаимно простых чисел

Такие числа имеют некоторые практически важные свойства. Перечислим их по порядку и докажем.

Это все свойства взаимно простых чисел, о которых бы мы хотели вам рассказать.

Понятие попарно простых чисел

Источник

Числа. Взаимно простые числа.

Целые числа будут взаимно простыми, когда у них не будет ни одного общего делителя (множителя), не считая ±1.

14, 25 взаимно простые — не существует общих делителей.

15, 25 не взаимно простые (общий делитель 5).

6, 8, 9 взаимно простые — не существует делителей, общих для 3-х чисел.

Пример: расстановим на плоскости точки с целыми координатами нулевой толщины, так чтобы из начала координат были видны лишь точки, у которых координаты взаимно просты.

Числа 4 и 9 взаимно простые, значит, диагональ решетки 4 на 9 не пересекает других точек решетки.

Целые числа a₁, a₂, …, a_k, k>₂ будут взаимно простыми, когда НОД этих чисел будет 1.

Свойства взаимно простых чисел.

Числа a и b взаимно просты лишь в том случае, если выполняется одно из эквивалентных условий:

Всякие 2 (разных) простых числа всегда будут взаимно простыми.

Когда a — делитель произведения bc, и a взаимно просто с b, значит a — делитель c.

Возможность того, что любое k, которое выбрано случайным образом, положительных целых чисел окажутся взаимно простыми, соответствует 1/ζ(k), при этом, при N→∞ возможность того, что k положительных целых чисел, которые меньше N (и которые выбраны случайно) окажутся взаимно простыми, стремится к 1/ζ(k).

2 натуральных числа, которые расположены рядом, всегда взаимно просты.

Примеры взаимно простых чисел:

8, 15 — взаимно простые, но не простые.

6, 8, 9 — не попарно взаимно простые, но взаимно простые числа.

8, 15, 49 — попарно взаимно простые.

Применение взаимно простых чисел.

Зачастую количество зубьев на звёздочках и количество звеньев цепи в цепной передаче стараются сделать взаимно простыми. Это дает более равномерный износ: все зубья звёздочки будут по очереди работать с каждым из звеньев цепи.

Источник

ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; напр., 15 и 16.

Смотреть что такое «ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА» в других словарях:

Источник

Какие натуральные числа называются взаимно простыми

Какие числа называются взаимно простыми? Этот вопрос часто интересует школьников, а также их родителей. Задачи и примеры с взаимно простыми числами входят в задачи по математике, существует большое количество примеров и задач, когда школьники их используют. Сегодня мы подробно поговорим о том, какие числа называются взаимно простыми, приведем примеры на 6 класс. Читайте следующую статью на kakogo-chisla.ru, и вы также узнаете, какие натуральные числа называются взаимно простыми.

Какие числа называются взаимно простыми

Взаимно простые числа — это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы. Наибольший общий делитель взаимно простых чисел — это единица, что следует из определения взаимно простых чисел.

Взаимно простые числа определение: два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице — то есть НОД (a, b) = 1. Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

Какие натуральные числа называются взаимно простыми

Но если a и b два соседних числа (пусть a b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1. Из определения взаимно простых чисел и простых чисел также следует, что разные простые числа всегда оказываются взаимно простыми. Ведь делителями любого простого числа являются лишь оно само и 1.

Какие 2 числа называются взаимно простыми

Два натуральных числа называют взаимно простыми, если единственным их общим делителем является 1, или, что то же самое, их наибольший общий делитель равен 1. Учитывая основную теорему арифметики, можно сказать, что два натуральных числа взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей.

Вариант определения сохраняется буквально: два целых числа взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей. Иногда встречается не совсем аккуратная формулировка типа «два числа — натуральных или целых — называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей».

Какие числа называются взаимно простыми 6 класс

Взаимно простые числа тема достаточно сложная тема 6 класса математики. Как и простые числа, тема взаимно простых чисел используется для сложения и вычитания дробей. Разбирая взаимно простые числа в 6 классе, пристальное внимание уделяют понятию «делитель».

Под ним имеют в виду величину, на которую можно разделить величину без остатка. Если разные значения возможно поделить на одно число, делитель называют общим. Например, для 36 и 18 им является 6.

Простыми называют натуральные числа, имеющие только 2 положительных делителя, поэтому можно утверждать о взаимной простоте любых таких чисел. Пара значений необязательно должна быть простой, чтобы быть взаимной.

Либо одно из них, либо сразу оба могут относиться к составному типу и при этом быть взаимно простыми. Следует отметить, что составными называют выражения, превышающие единицу, имеющие 3 и более положительных делителя.

Какие числа называются взаимно простыми приведите примеры

Взаимно простыми могут быть как два целых числа, так и их большее количество. На практике довольно часто приходится определять взаимную простоту двух целых чисел. Выяснение этого можно свести к поиску наибольшего общего делителя и сравнению его с единицей.

Также удобно пользоваться таблицей простых чисел, чтобы не производить лишних вычислений: если одно из заданных чисел есть в этой таблице, значит, оно делится только на единицу и само на себя. Разберем решение подобной задачи.

Пример первый — выясните, являются ли взаимно простыми числа 275 и 84: оба числа явно имеют больше одного делителя, поэтому сразу назвать их взаимно простыми мы не можем. Вычисляем наибольший общий делитель, используя алгоритм Евклида: 275=84·3+23, 84=23·3+15, 23=15·1+8, 15=8·1+7, 8=7·1+1, 7=7·1. Поскольку НОД (84, 275) =1, то данные числа будут взаимно простыми.

Пример второй — определите, являются ли числа 331, 463 и 733 взаимно простыми: сверимся с таблицей простых чисел и определим, что все три этих числа в ней есть. Тогда их общим делителем может быть только единица. Все эти числа будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Пример третий — приведите доказательство того, что числа −14, 105, −2 107 и −91 не являются взаимно простыми: начнем с выявления их наибольшего общего делителя, после чего убедимся, что он не равен 1. Поскольку у отрицательных чисел те же делители, что и у соответствующих положительных, то НОД (−14, 105, 2 107, −91) =НОД (14, 105, 2 107, 91). Согласно правилам, которые мы привели в статье о нахождении наибольшего общего делителя, в данном случае НОД будет равен семи. Семь больше единицы, значит, взаимно простыми эти числа не являются.

Источник

§ 2. Взаимно простые числа

Число 1 является общим делителем для любой пары чисел а и b. Может случиться, что единица будет единственным их общим делителем, т. е.

В этом случае мы говорим, что числа а и b взаимно простые.

Пример. (39, 22) = 1.

Если числа имеют общий делитель, больший единицы, то они также имеют общий простой делитель.

Итак, два числа могут быть взаимно простыми только тогда, когда они не имеют общих простых множителей, поэтому условие (4.2.1) означает, что числа а и b не имеют общих простых множителей, т. е. все их простые множители различны.

Вернемся к началу этой главы, где мы приводили дробь а/b к простейшему виду. Если d 0 есть наибольший общий делитель чисел а и b, то мы можем написать

В формуле (4.2.2) числа а 0 и b 0 не могут иметь простых общих множителей, в противном случае числа а и b имели бы общин множитель, больший, чём d 0. Следовательно,

Это означает, что для второй дроби в формуле (4.2.3) дальнейшее сокращение невозможно.

Одним из часто применяемых свойств взаимно простых чисел является следующее.

Если произведение ab делится на число с, которое взаимно просто с числом b, то число а делится на с.

Доказательство. Так как число с делит произведение ab, то простые множители числа с содержатся среди простых множителей чисел а и b. Но так как D(b, c) = 1, то их не может быть среди множителей числа b. Таким образом, все простые множители числа с делят число а, но не делят число b, и они появляются в числе а в степенях, не меньших, чем в числе с, так как число с делит ab.

Позже мы используем другой факт.

Если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом,

то числа а и b являются квадратами:

Доказательство. Для того чтобы некоторое число было квадратом, необходимо и достаточно, чтобы все степени в разложении его на простые множители были четными. Так как числа а и b — взаимно простые (4.2.5), то любой простой множитель из с 2 содержится либо в а, либо в b, но не в обоих; отсюда простые множители чисел а и b должны иметь четные степени.

Система задач 4.2.

1. Какие числа взаимно простые с числом 2?

2. Почему D(n, n + 1) = 1?

3. Исследуйте пары дружественных чисел в табл. 2 (стр. 45) и найдите те из них, которые взаимно просты.

4. Может ли правило, выраженное в формулах (4.2.5) и (4.2.6), быть справедливым не только для квадратов, но и для произвольных степеней?

Взаимно простые числа.

Два натуральных числа называют взаимно простыми, если единственным их общим делителем является 1, или, что то же самое, их наибольший общий делитель равен 1. Учитывая основную теорему арифметики, можно сказать, что два натуральных числа взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей.

Заметьте, например, что числа 4 и 9 взаимно просты, но по отдельности ни одно из них не является простым. А число 1 взаимно просто с любым числом, в том числе и с самим собой.

Для этого определения совершенно несущественно, что чисел только два — оно буквально переносится на любое количество натуральных чисел. Например, числа 6, 10, 15 взаимно просты, хотя никакие два из них взаимно простыми, очевидно, не являются.

Зато второй вариант определения сохраняется буквально: два целых числа взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей.

Для взаимно простых целых чисел чрезвычайно важным и полезным с точки зрения задач является следующий критерий взаимной простоты двух целых чисел: целые числа a и b взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие целые числа u и v, что au+ bv = 1.

Это свойство, однако, явно неверно, если говорить только о натуральных числах: очевидно, не существует таких натуральных чисел u и v, что 2u + Зv = 1.

На основании именно этого свойства можно доказать — независимо от основной теоремы, что если произведение двух целых чисел делится на простое число р, то хотя бы одно из этих чисел делится на р. В самом деле, если а не делится на р, то а и р взаимно просты, а тогда для некоторых u и v выполняется равенство au + рv = 1, откуда abu + bрv = b, так что b делится на р.

Более того, это утверждение в действительности является главным для доказательства основной теоремы арифметики.

В то же время доказательство самого критерия взаимной простоты не то чтобы сложно, но довольно громоздко, и основывается на алгоритме Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных или целых чисел.

Зная эти теоремы вы сможете не только просто решать некоторые математические упражнения. А также если вас интересует передача что где когда, то эти знания помогут вам победить в данном конкурсе.

Источник

Взаимно простые числа, их свойства — студенческий портал

Одним из основных понятий в арифметике является деление. Каждая величина характеризуется делимостью. В зависимости от неё определяют и взаимно простые числа.

Что это такое и какую пользу несёт знание правила их нахождения, изучают в шестом классе средней школы.

Это базисное понятие, которое позволяет в дальнейшем выполнять различные математические упрощения и преобразования как при решении элементарных задач, так и сложного уровня на уроках высшей математики.

Общие сведения

В системе счисления и мер используется специальная система знаков, называемая цифрами. Слово «цифра» происходит от латинского cifra. Интересно, что на арабском термин пишется как صفر‎, что в дословном переводе на русский язык обозначает «пустой». С этих символов формируются числа. Чтобы разобраться в отличиях одних от других, нужно запомнить 3 утверждения:

Нужно знать, что существует несколько систем счисления. В России принято использовать арабскую. В церковнославянском и древнегреческом применяли запись буквами. Её до сих пор используют в иврите. В программировании применяется смешанная запись. Так как она шестнадцатеричная, используют комбинации знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Итак, «число» и «цифра» разные понятия по происхождению. Первое используют как единицу счёта. Им выражают количество. Второй же параметр применяют для обозначений значений. Для записи в международном формате принята арабская последовательность от 0 до 9, но в некоторых случаях ставят и римские символы — I, II, III, IV, V, V I, V II, V III, IX, X и так далее.

По своему виду числа бывают:

Кроме этого, их разделяют на положительные и отрицательные. Перед последними при записи ставят знак минус.

Часто при вычислениях используют округление. Это запись, при которой указывают примерное значение. Округляют значение путём убирания десятичных частей или уменьшением их разрядности. Например, 5,17

4,5. Благодаря этой операции вычисление упрощается, хотя при этом теряется точность ответа.

Делимость чисел

Разбирая взаимно простые числа в 6 классе, пристальное внимание уделяют понятию «делитель». Под ним имеют в виду величину, на которую можно разделить величину без остатка. Если разные значения возможно поделить на одно число, делитель называют общим. Например, для 36 и 18 им является 6.

В свою очередь, общий делитель может быть наименьшим и наибольшим (НОД). Чтобы найти НОД, нужно выполнить простую последовательность действий:

Свойства делимости:

Взаимно простые числа

Два натуральных числа называют взаимно простыми, если единственным их общим делителем является 1, или, что то же самое, их наибольший общий делитель равен 1.

Учитывая основную теорему арифметики, можно сказать, что два натуральных числа взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей.

Заметьте, например, что числа 4 и 9 взаимно просты, но по отдельности ни одно из них не является простым. А число 1 взаимно просто с любым числом, в том числе и с самим собой.

Очень полезно для решения задач следующее достаточно очевидное утверждение: всякое простое число р взаимно просто с любым числом, которое не делится на р.

Это свойство, однако, явно неверно, если говорить только о натуральных числах: очевидно, не существует таких натуральных чисел u и v, что 2u + Зv = 1.

На основании именно этого свойства можно доказать — независимо от основной теоремы, что если произведение двух целых чисел делится на простое число р, то хотя бы одно из этих чисел делится на р. В самом деле, если а не делится на р, то а и р взаимно просты, а тогда для некоторых u и v выполняется равенство au + рv = 1, откуда abu + bрv = b, так что b делится на р.

В то же время доказательство самого критерия взаимной простоты не то чтобы сложно, но довольно громоздко, и основывается на алгоритме Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных или целых чисел.

Взаимно простые числа

При этом сами по себе взаимно простые числа могут быть сложными. Важен именно НОД двух чисел.

Для того чтобы определить взаимно простые числа, можно воспользоваться двумя алгоритмами:

Среди учеников существует миф, что простые числа редко бывают больше 20, это не так. Просто такие числа проще использовать в задачах, чтобы набить руку.

На экзамене или в контрольной сложность числа для разложения может быть абсолютно любой

Средняя оценка: 4.5. Всего получено оценок: 295.

Что такое взаимно простые числа

Взаимно простые числа – математическое понятие, которое не следует путать с числами простыми. Общее между двумя понятиями заключается лишь в том, что оба они имеют прямое отношение к делению. Простым в математике называется такое число, которое можно разделить только на единицу и на само себя. 3, 7, 11, 143 и даже 1 111 111 – все это простые числа, причем каждое из них обладает данным свойством в отдельности.

Взаимно простыми называются такие числа, которые не имеют общего делителя, не считая единицы – например, 3 и 5. При этом каждое число в отдельности может и не быть простым само по себе.Например, число 8 к таковым не относится, ведь его можно разделить на 2 и на 4, но 8 и 11 – взаимно простые числа. Определяющим признаком здесь является именно отсутствие общего делителя, а не характеристики отдельных чисел.Впрочем, два и более простых числа всегда будут взаимно простыми. Если каждое из них делится лишь на единицу и на само себя, то общего делителя у них быть не может.

Такие числа именуют попарно взаимно простые.

Не всегда взаимно простые числа бывают попарно взаимно простыми.

Например, числа 15, 20 и 21 – это взаимно простые числа, но назвать их попарно взаимно простыми нельзя, ведь 15 и 20 делятся на 5, а 15 и 21 – на 3.

Существует и еще более интересное свойство взаимно простых чисел.

Необходимо начертить прямоугольник, длина и ширина которого выражаются взаимно простыми числами, и провести из угла внутрь прямоугольника луч под углом 45 градусов. В точке соприкосновения луча со стороной прямоугольника нужно начертить другой луч, расположенный под углом 90 градусов к первому – отражение.

Делая такие лучи-отражения раз за разом, можно получить геометрический узор, в котором любая часть по структуре подобна целому. С точки зрения математики такой узор является фрактальным.

Взаимно простые числа: определение, примеры и свойства

В этом статье мы расскажем о том, что такое взаимно простые числа.

В первом пункте сформулируем определения для двух, трех и более взаимно простых чисел, приведем несколько примеров и покажем, в каких случаях два числа можно считать простыми по отношению друг к другу.

После этого перейдем к формулировке основных свойств и их доказательствам. В последнем пункте мы поговорим о связанном понятии – попарно простых числах.

Что такое взаимно простые числа

Взаимно простыми будут два таких числа a и b, наибольший общий делитель которых равен 1, т.е. НОД (a, b) =1.

Из данного определения можно сделать вывод, что единственный положительный общий делитель у двух взаимно простых чисел будет равен 1. Всего два таких числа имеют два общих делителя – единицу и минус единицу.

Какие можно привести примеры взаимно простых чисел? Например, такой парой будут 5 и 11. Они имеют только один общий положительный делитель, равный 1, что является подтверждением их взаимной простоты.

Для этого запишем все их делители (рекомендуем перечитать статью о нахождении делителей числа). У 8 это будут числа ±1, ±2, ±4, ±8, а у 9 – ±1, ±3, ±9. Выбираем из всех делителей тот, что будет общим и наибольшим – это единица.

Разберем решение подобной задачи.

Взаимно простыми целые числа a1, a2, …, ak, k>2 будут тогда, когда они имеют наибольший общий делитель, равный 1.

Иными словами, если у нас есть набор некоторых чисел с наибольшим положительным делителем, большим 1, то все эти числа не являются по отношению друг к другу взаимно обратными.

Возьмем несколько примеров. Так, целые числа −99, 17 и −27 – взаимно простые.

Любое количество простых чисел будет взаимно простым по отношению ко всем членам совокупности, как, например, в последовательности 2, 3, 11, 19, 151, 293 и 667.

А вот числа 12, −9, 900 и −72 взаимно простыми не будут, потому что кроме единицы у них будет еще один положительный делитель, равный 3. То же самое относится к числам 17, 85 и 187: кроме единицы, их все можно разделить на 17.

Условие: определите, являются ли числа 331, 463 и 733 взаимно простыми.

Решение

Ответ: все эти числа будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Условие: приведите доказательство того, что числа −14, 105, −2 107 и −91 не являются взаимно простыми.

Решение

Начнем с выявления их наибольшего общего делителя, после чего убедимся, что он не равен 1. Поскольку у отрицательных чисел те же делители, что и у соответствующих положительных, то НОД (−14, 105, 2 107, −91) =НОД (14, 105, 2 107, 91). Согласно правилам, которые мы привели в статье о нахождении наибольшего общего делителя, в данном случае НОД будет равен семи.

Ответ: семь больше единицы, значит, взаимно простыми эти числа не являются.

Основные свойства взаимно простых чисел

Такие числа имеют некоторые практически важные свойства. Перечислим их по порядку и докажем.

Если разделить целые числа a и b на число, соответствующее их наибольшему общему делителю, мы получим взаимно простые числа. Иначе говоря, a: НОД (a, b) и b: НОД (a, b) будут взаимно простыми.

Необходимым и достаточным условием взаимной простоты чисел a и b является существование таких целых чисел u0 и v0, при которых равенство a·u0+b·v0=1 будет верным.

Начнем с доказательства необходимости этого условия. Допустим, у нас есть два взаимно простых числа, обозначенных a и b. Тогда по определению этого понятия их наибольший общий делитель будет равен единице. Из свойств НОД нам известно, что для целых a и b существует соотношение Безу a·u0+b·v0=НОД (a, b). Из него получим, что a·u0+b·v0=1.

После этого нам надо доказать достаточность условия. Пусть равенство a·u0+b·v0=1 будет верным, в таком случае, если НОД (a, b) делит и a, и b, то он будет делить и сумму a·u0+b·v0, и единицу соответственно (это можно утверждать, исходя из свойств делимости).

А такое возможно только в том случае, если НОД (a, b)=1, что доказывает взаимную простоту a и b.

В самом деле, если a и b являются взаимно простыми, то согласно предыдущему свойству, будет верным равенство a·u0+b·v0=1. Умножаем обе его части на c и получаем, что a·c·u0+b·c·v0=c.

Мы можем разделить первое слагаемое a·c·u0+b·c·v0 на b, потому что это возможно для a·c, и второе слагаемое также делится на b, ведь один из множителей у нас равен b.

Из этого заключаем, что всю сумму можно разделить на b, а поскольку эта сумма равна c, то c можно разделить на b.

Если два целых числа a и b являются взаимно простыми, то НОД (a·c, b)=НОД (c, b).

Докажем, что НОД (a·c, b) будет делить НОД (c, b), а после этого – что НОД (c, b) делит НОД (a·c, b), что и будет доказательством верности равенства НОД (a·c, b)=НОД (c, b).

Поскольку НОД (a·c, b) делит и a·c и b, а НОД(a·c, b) делит b, то он также будет делить и b·c. Значит, НОД (a·c, b) делит и a·c и b·c, следовательно, в силу свойств НОД он делит и НОД (a·c, b·c), который будет равен c·НОД (a, b)=c. Следовательно, НОД (a·c, b) делит и b и c, следовательно, делит и НОД (c, b).

Также можно сказать, что поскольку НОД (c, b) делит и c, и b, то он будет делить и c, и a·c. Значит, НОД (c, b) делит и a·c и b, следовательно, делит и НОД (a·c, b).

Таким образом, НОД (a·c, b) и НОД (c, b) взаимно делят друг друга, значит, они являются равными.

Если числа из последовательности a1, a2, …, ak будут взаимно простыми по отношению к числам последовательности b1, b2, …, bm (при натуральных значениях k и m), то их произведения a1·a2·…·ak и b1·b2·…·bm также являются взаимно простыми, в частности, a1=a2=…=ak=a и b1=b2=…=bm=b, то ak и bm – взаимно простые.

Согласно предыдущему свойству, мы можем записать равенства следующего вида: НОД (a1·a2·…·ak, bm) =НОД (a2·…·ak, bm) =…=НОД (ak, bm) =1. Возможность последнего перехода обеспечивается тем, что ak и bm взаимно просты по условию. Значит, НОД (a1·a2·…·ak, bm) =1.

Обозначим a1·a2·…· ak=A и получим, что НОД (b1·b2·…· bm, a1·a2·…·ak) =НОД (b1·b2·…· bm, A)= НОД (b2·…·b·bm, A)=… =НОД (bm, A) =1. Это будет справедливым в силу последнего равенства из цепочки, построенной выше. Таким образом, у нас получилось равенство НОД (b1·b2·…·bm, a1·a2·…·ak) =1, с помощью которого можно доказать взаимную простоту произведений a1·a2·…·ak и b1·b2·…·bm

Это все свойства взаимно простых чисел, о которых бы мы хотели вам рассказать.

Понятие попарно простых чисел

Попарно простые числа – это последовательность целых чисел a1, a2, …, ak, где каждое число будет взаимно простым по отношению к остальным.

Примером последовательности попарно простых чисел может быть 14, 9, 17, и −25. Здесь все пары (14 и 9, 14 и 17, 14 и −25, 9 и 17, 9 и −25, 17 и−25) взаимно просты.

Отметим, что условие взаимной простоты является обязательным для попарно простых чисел, но взаимно простые числа будут попарно простыми далеко не во всех случаях.

Например, в последовательности 8, 16, 5 и 15 числа не являются таковыми, поскольку 8 и 16 не будут взаимно простыми.

Также следует остановиться на понятии совокупности некоторого количества простых чисел. Они всегда будут и взаимно, и попарно простыми. Примером может быть последовательность 71, 443, 857, 991. В случае с простыми числами понятия взаимной и попарной простоты будут совпадать.

Взаимно простые числа — это… Что такое Взаимно простые числа?

Обозначения

Для указания взаимной простоты чисел и используется обозначение[1]:

Связанные определения

Примеры

Свойства

Обобщения

Понятия простого числа и взаимно простых чисел естественно обобщаются на произвольные коммутативные кольца, например, на кольцо многочленов или гауссовы целые числа.

Обобщением понятия простого числа является «неприводимый элемент». Два элемента кольца называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме делителей единицы.

При этом аналог основной теоремы арифметики выполняется не во всех, а только в факториальных кольцах.

Применение

См. также

Примечания

Конспект по теме: «Взаимно простые числа»

Математика.6 класс. Учебник. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др., 2013.-288 с.

Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор — Минаева С.С. — 2014 год.

Математика. 6 класс (И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович) 2009

Предмет: математика 6 класс

Тема урока: Взаимно простые числа.

Тема нашего урока: «Взаимно простые числа». На этом занятии Вы узнаете, какие числа называются взаимно простыми, и научитесь их определять.

Итак, что подразумевается под понятием «взаимно простые числа»? Рассмотрим два натуральных числа 25 и 26. Это составные числа. Натуральное число 25 делится без остатка на 1, 5, 25. А натуральное число 26 делится без остатка на 1, 2, 13, 26. Видим, что числа 25 и 26 имеют только один общий делитель – это число 1. Такие числа называют взаимно простыми.

Таким образом, можно сделать вывод, что натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Рассмотрим пример. Даны пары натуральных чисел 14 и 28, 15 и 22. Определим, какие из данных пар являются взаимно простыми. Для этого, необходимо определить какие делители имеет каждое из чисел. 14 без остатка делится на 1, 2, 7, 14; 28 без остатка делится на 1, 2, 4, 7, 14, 28.

Мы видим, что числа 14 и 28 кроме единицы, имеют и другие общие делители 2, 7, 14, а значит, не являются взаимно простыми числами. Теперь рассмотрим другую пару чисел 15 и 22. Число 15 делится без остатка на 1, 3, 5, 15, а число 22 делится без остатка на 1, 2, 11, 22. Мы видим, что числа 15 и 22 имеют только один общий делитель-1.

Значит, пара натуральных чисел 15 и 22 являются взаимно простыми числами.

Теперь возьмем еще два составных натуральных числа 45 и 32. Натуральное число 45 делится на 1, 3, 5, 9, 15, 45, а натуральное число 32 делится на 1, 2, 4, 8, 16, 32. Видим, что эти числа имеют только один общий делитель-1. Значит, числа 45 и 32 являются взаимно простыми.

Разложим эти числа на простые множители. 45=3*3*5, 32=2*2*2*2*2. Натуральные числа 45 и 32 в разложении на простые множители не содержат одних и тех же простых множителей.

Итак, приходим к выводу, что разложения на простые множители взаимно простых чисел не содержат одинаковых простых множителей.

На уроке Вы узнали, какие числа называются взаимно простыми. И научились определять взаимно простые числа.

Математика.6 класс. Учебник. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др., 2013.-288 с.

Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор — Минаева С.С. — 2014 год.

Математика. 6 класс (И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович) 2009

Предмет: математика 6 класс

Тема урока: Взаимно простые числа.

Какие натуральные числа называются взаимно простыми?

Какие из данных пар натуральных чисел являются взаимно простыми?

Какие из данных натуральных чисел являются взаимно простыми?

Какие из данных пар натуральных чисел не являются взаимно простыми?

Определите взаимно простые числа по их разложению.

Какие из данных натуральных чисел не являются взаимно простыми?

Найдите среди чисел 12, 15, 16, 40 пару взаимно простых чисел.

Определите не взаимно простые числа по их разложению.

Найдите среди чисел 40, 45, 55 пару взаимно простых чисел.

Найдите среди чисел 17, 22, 43, 36 пару чисел которые не являются взаимно простыми числами.

Найдите среди чисел 36, 37, 38 пару чисел которые не являются взаимно простыми числами.

Какие числа взаимно простые? Каковы свойства взаимно простых чисел?

Натуральные числа a и b называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1 (НОД(a; b) = 1). Другими словами, если числа a и b не имеют никаких общих делителей, кроме 1, то они взаимно просты.

Примеры пар взаимно простых чисел: 2 и 5, 13 и 16, 35 и 88 и т. п. Можно указать несколько взаимно простых чисел, например, числа 7, 9, 16 – взаимно просты.

Часто взаимно простые числа обозначают так: (a, b) = 1. Например, (23, 30) = 1. Эта запись как бы является сокращенной записью обозначения наибольшего общего делителя двух чисел (НОД(23, 30) = 1), и говорит о том, что их наибольший общий делитель равен 1.

Два соседних натуральных числа всегда будут взаимно просты. Например, 15 и 16 — пара взаимно простых чисел, также как 16 и 17.

Это легко понять, если принять во внимание «правило» о том, что если два натуральных числа a и b делятся на одно и то же натуральное число большее 1 (n > 1), то и их разница также должна делится на это число n (здесь имеется в виду, что a, b и их разность делятся нацело, т. е. кратны числу n).

Но если a и b два соседних числа (пусть a https://scienceland.info/algebra8/coprime-integers

Взаимно простые числа, их свойства

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Взаимно простые числа, их свойства
Рубрика (тематическая категория)	Технические дисциплины
Articles-ads

Натуральное число p называется простым числом, если у нᴇᴦο только 2 делителя: 1 и оно само.

Делителем натурального числа a называют натуральное число, на ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ исходное число a делится без остатка.

Составным называют число, у которого кроме единицы и самого себя есть другие делители.

Дополнительный материал 1

Число 1 имеет только один делитель-само ϶то число, по϶тому ᴇᴦο не относят ни к простым, ни к составным.

Взаимно простые числа

Попарно взаимно простые

Если в наборе чисел любые два взаимно просты, то такие числа называются попарно взаимно простымиВажно сказать, что для двух чисел понятия ʼʼвзаимно простыеʼʼ и ʼʼпопарно взаимно простыеʼʼ совпадают.

Как мы видим, того, чтобы выяснить являются ли числа взаимно простыми, необходимо сначала разложить их на простые множители. Обратим внимание на то, как правильно ϶то сделать.

Разложение на простые множители

Каноническое разложение натурального числа в общем виде

Каноническое разложение натурального числа в общем виде имеет вид:

Представление числа в виде канонического разложения на простые множества облегчает нахождение наибольшᴇᴦο общᴇᴦο делителя чисел, и выступает как следствие доказательства или определения взаимно простых чисел.

Составим алгоритм нахождения НОД с учетом канонического разложения на простые множители.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел с помощью канонического разложения, необходимо:

195=3cdot 5cdot 13

336=2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 3cdot 7=2^4cdot 3cdot 5

НОД (195;336) =3cdot 5=15

Решение: Воспользуемся разложения на множители каноническим разложением:

112=2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 7=2^4cdot 7

Решение: Воспользуемся разложения на множители каноническим разложением:

Взаимно простые числа, их свойства — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Взаимно простые числа, их свойства»2018-2019.

Матвокс ⋆ свойства взаимно простых чисел ⋆ энциклопедия математики

Свойство 1

Если числа a и b взаимно простые и число с кратно как а так и b, то это число будет кратно и произведению a*b. Это можно записать так: если:

Например, возьмем взаимно простые числа, (5, 6) = 1. Возьмем число с = 60, число 60 кратно как 5, так и 6, а также кратно:

Возьмем числа 9 и 11. (9, 11) = 1 и число 198:

Число 198 кратно 99, то есть произведению 9*11=99.

Если числа a и b взаимно простые и взято число с кратное:

то произведение a*c также будет кратно:

Число с=18 кратно b=9, тогда:

Число 126 делится на 9 нацело:

Значит 126 кратно 9.

Источник