исследование формы гиперболы по ее уравнению

Исследование формы гиперболы по ее уравнению.

Определим форму гиперболы по ее каноническому урав­нению (4).

1) Координаты точки О (0; 0) не удовлетворяют уравнению (4), поэтому гипербола, определяемая этим уравнением, не проходит через начало координат.

исследование формы гиперболы по ее уравнению

не имеет действительных решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось Оу.

3) Так как в уравнение (4) переменные х и у входят только в четных степенях, то гипербола симметрична относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4) Определим область изменения переменных х и у;для этого из уравнения (4) находим

исследование формы гиперболы по ее уравнению, (5)

исследование формы гиперболы по ее уравнению. (6)

Из (5) следует, что |х| ≥ а, т.е. ха или х ≤ –а; из (6) следует, что у – любое действительное число. Таким образом, все точки гиперболы расположены слева oт прямой х = – а и справа от прямой х = а.

5) Из (5) следует также, что

Это означает, что гипербола состоит из двух ветвей, одна из которых расположена справа от прямой х = а (правая ветвь гиперболы), а другая – слева от прямой х = – а (левая ветвь гиперболы).

исследование формы гиперболы по ее уравнению

Гипербола имеет форму, изображенную на рис. 2.

Определение 4. Точки А1 (а; 0) и А2 (а; 0) пересечения гиперболы с осью Ох называются вершинами гиперболы. Отрезок A1A2 (A1A2=2a),соединяющий вершины гиперболы, называется действительной осью.Отрезок B1B2 (B1B2=2b), соединяющий точки B1 (0; b) и В2 (0;b), называется мнимой осью.Число а называется действительной полуосью, число bмнимой полуосью.Оси А1А2 и В1В2 являются осями симметрии гиперболы. Точка О пересечения осей симметрии называется центром гиперболы.

У гиперболы (4) фокусы F1 и F2 всегда находятся на действительной оси.

Можно показать (так же, как и в случае эллипса), что фокальные радиусы для точки М (х; у), расположенной на правой ветви гиперболы, вычисляются по формулам

исследование формы гиперболы по ее уравнениюи исследование формы гиперболы по ее уравнению, (7)

а для точки М (х; у), расположенной на левой ветви, – по формулам

исследование формы гиперболы по ее уравнениюи исследование формы гиперболы по ее уравнению. (8)

Асимптоты гиперболы.

Определение 5. Прямая y=kx+m называется наклонной асимптотойкривой y = f(x) при х → +∞,если

исследование формы гиперболы по ее уравнению. (9)

Аналогично определяется асимптота при х → –∞. Докажем, что прямые

исследование формы гиперболы по ее уравнению(10)

являются асимптотами гиперболы (4) при х → ±∞.

исследование формы гиперболы по ее уравнению

Так как прямые (10) и гипербола (4) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти (рис. 3). Напишем уравнения прямых (10) и гиперболы (4), соответствующие первой четверти:

исследование формы гиперболы по ее уравнению,

исследование формы гиперболы по ее уравнению.

Положив исследование формы гиперболы по ее уравнениюи исследование формы гиперболы по ее уравнению, найдем

исследование формы гиперболы по ее уравнению

Следовательно, прямые (10) являются асимптотами гиперболы (4).

Отметим, что асимптоты (10) являются продолжениями диагоналей прямоугольника, стороны которого параллельны осям Ох и Оу и равны соответственно и 2b, а его центр находится в начале координат.

исследование формы гиперболы по ее уравнению

При этом ветви гиперболы расположены внутри вертикальных углов, образуемых асимптотами, и приближаются сколь угодно близко к асимптотам (рис. 4).

Эксцентриситет гиперболы.

Определение 6. Эксцентриситетом гиперболыназывается отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси и обозначается буквой ε:

исследование формы гиперболы по ее уравнению(11)

5. Сопряженная гипербола. Рассмотрим уравнение вида

исследование формы гиперболы по ее уравнению. (12)

При переходе к новой системе координат, полученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол α = 90° (или α = –90°), уравнение (12) преобразуется в уравнение гиперболы

исследование формы гиперболы по ее уравнению

Следовательно, кривая, определяемая уравнением (12), есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось – на оси Ох.

Две гиперболы, которые определяются уравнениями

исследование формы гиперболы по ее уравнениюи исследование формы гиперболы по ее уравнению

в одной и той же системе координат и при одних и тех же значениях а и b, называются сопряженнымидруг с другом.

Равносторонняя гипербола.

Определение 7. Гипербола называется равносторонней,если длины ее полуосей равны между собой, т.е. а=b. В этом случае уравнение гиперболы принимает вид

исследование формы гиперболы по ее уравнению,

исследование формы гиперболы по ее уравнению. (13)

Равносторонняя гипербола определяется одним параметром а и асимптотами являются биссектрисы координатных углов

исследование формы гиперболы по ее уравнению.

У всех равносторонних гипербол один и тот же эксцентриситет

исследование формы гиперболы по ее уравнению

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, их можно принять за оси новой системы координат Ox’y’, полученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол α = –45° (рис. 5). Составим уравнение равносторонней гиперболы относительно новой системы координат Ох’у’.

Учитывая равенство (13), получим x’y’ = а 2 /2. (14)

исследование формы гиперболы по ее уравнению

Определение 8. Уравнение (14) называется уравнением равносторонней гиперболы, отнесенной к своим асимптотам.

Из уравнения (14) следует, что переменные х’ и у’ – величины обратно пропорциональные. Таким образом, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам, представляет собой график обратной пропорциональной зависимости.

Если центр гиперболы находится не в начале координат, а в точке О'(х0; у0), а оси гиперболы параллельны осям координат, то уравнение гиперболы будет иметь вид

исследование формы гиперболы по ее уравнению исследование формы гиперболы по ее уравнениюили исследование формы гиперболы по ее уравнению(15)

Это уравнения гиперболы со смещенным центром.

исследование формы гиперболы по ее уравнению

исследование формы гиперболы по ее уравнению

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

исследование формы гиперболы по ее уравнению

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

исследование формы гиперболы по ее уравнению

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Источник

Исследование формы гиперболы

Так как в каноническое уравнение гиперболы координаты х и у входят во второй степени. То оси Ох и Оу являются осями симметрии гиперболы, заданной уравнением: исследование формы гиперболы по ее уравнению. (1)

а начало координат – центром симметрии.

Из уравнения (1) следует, что

исследование формы гиперболы по ее уравнению,

т.е. или исследование формы гиперболы по ее уравнению, или исследование формы гиперболы по ее уравнению. Геометрически это означает, что между прямыми исследование формы гиперболы по ее уравнениюи исследование формы гиперболы по ее уравнениюнет ни одной точки гиперболы (1).

Ось симметрии Оу не пересекает гиперболу, заданную уравнением (1), и называется мнимой осью. Ось Ох – пересекает гиперболу (1) в двух точках:

исследование формы гиперболы по ее уравнению.

Эта ось называется действительной осью гиперболы. Точки, в которых действительная ось пересекается гиперболу, называются вершинами гиперболы.

Числа а и b в каноническом уравнении называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Решая уравнение (1) относительно у, беря лишь положительное значение: исследование формы гиперболы по ее уравнению(2)

и считая исследование формы гиперболы по ее уравнению, мы получим точки гиперболы (1), лежащие в первой четверти. Из уравнения (2) следует, что у в полуинтервале исследование формы гиперболы по ее уравнениюесть возрастающая функция; при этом

исследование формы гиперболы по ее уравнению.

Всякая прямая пересекает гиперболу не более чем в двух точках, так как прямая определяется уравнением первой степени, а гипербола – второй.

Рассмотрим уравнение прямой исследование формы гиперболы по ее уравнению(3)

Найдем расстояние исследование формы гиперболы по ее уравнениюот точки М(х, у), лежащей на дуге гиперболы, определяемой уравнением (2), до прямой (3); переписывая уравнение (3) в виде исследование формы гиперболы по ее уравнению, находим:

исследование формы гиперболы по ее уравнению

исследование формы гиперболы по ее уравнениюОтсюда следует, то на полуинтервале исследование формы гиперболы по ее уравнениюрасстояние исследование формы гиперболы по ее уравнениюот точки М(х, у) рассматриваемой части гиперболы до прямой (3) есть убывающая функция от х и исследование формы гиперболы по ее уравнению(рис. 167). Прямая, определяемая уравнением исследование формы гиперболы по ее уравнениюназывается асимптотой гиперболы.

В силу того, что гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно начала координат, расстояние от точки М(х, у), лежащей на дуге гиперболы, заданной уравнением исследование формы гиперболы по ее уравнениюдо прямой исследование формы гиперболы по ее уравнениюстремиться к нулю при исследование формы гиперболы по ее уравнению. Так как гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична и относительно оси Оу, то она имеет вторую асимптоту исследование формы гиперболы по ее уравнению,

которая обладает свойством, аналогичным свойству первой асимптоты по отношению к дугам гиперболы, расположенным во второй и четвертой четвертях.

Асимптоты гиперболы являются диагоналями прямоугольника исследование формы гиперболы по ее уравнению, исследование формы гиперболы по ее уравнению, исследование формы гиперболы по ее уравнению, исследование формы гиперболы по ее уравнению.

При одной и той же абсциссе х ординаты точки ветви гиперболы, лежащей в первой четверти, с ординатой точки асимптоты исследование формы гиперболы по ее уравнениюсвязаны неравенством: исследование формы гиперболы по ее уравнению.

Отсюда и из того, что гипербола симметрична относительно осей координат, следует, что она имеет две ветви, заключенные в двух областях: одна из них ограничена отрезком исследование формы гиперболы по ее уравнениюи продолжениями отрезков исследование формы гиперболы по ее уравнениюи исследование формы гиперболы по ее уравнениюза точки исследование формы гиперболы по ее уравнениюи исследование формы гиперболы по ее уравнению, другая симметрична этой области относительно мнимой оси гиперболы (рис 168).

Рис.168 исследование формы гиперболы по ее уравнению

Гипербола, у которой полуоси равны, называются равносторонней. Каноническое уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

исследование формы гиперболы по ее уравнению

Уравнение асимптот равносторонней гиперболы таковы:

исследование формы гиперболы по ее уравнению.

это биссектрисы углов между ее осями симметрии. Асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Обратно, если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то ее полуоси равны между собой и, значит гипербола равносторонняя.

Источник

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

Определение. Пускай на плоскости заданы две точки F1и F2, расстояние между которыми равняется 2c. Пускай, помимо этого, задано положительное число a, меньшее c. Преувеличением именуется множество точек той же плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до точек F1 и F2, именуемых фокусами преувеличения, имеется число постоянное, равное 2а.

исследование формы гиперболы по ее уравнению

Вывод канонического уравнения

Для вывода уравнения преувеличения, которое мы потом назовём каноническим, выберем на плоскости прямоугольную декартову совокупность координат следующим образом: ось

исследование формы гиперболы по ее уравнению

совершим через фокусы преувеличения, а ось

исследование формы гиперболы по ее уравнению

– перпендикулярно ей через середину отрезка F1F2 (рис. 3.1). По определению преувеличении удовлетворяют те, и лишь те точки М плоскости, для которых

исследование формы гиперболы по ее уравнению

Чтобы получить уравнение преувеличения остаётся лишь записать равенство (1) в координатах. В выбранной совокупности координат фокусы преувеличения имеют следующие координаты: F1 (–c; 0); F2 (c; 0). Координаты произвольной (либо текущей) точки множества постоянно обозначаются x и y. Так, M(x; y). Так как

исследование формы гиперболы по ее уравнению

исследование формы гиперболы по ее уравнению

то уравнение (1) равносильно следующему:

исследование формы гиперболы по ее уравнению

которое, со своей стороны, равносильно уравнению:

исследование формы гиперболы по ее уравнению

Оба эти уравнения являются уравнениями преувеличения, но они имеют громоздкий вид, неудобны для применения и для запоминания, исходя из этого мы преобразуем их к более несложному виду. Совершим следующую цепочку преобразований:

исследование формы гиперболы по ее уравнению
исследование формы гиперболы по ее уравнению
исследование формы гиперболы по ее уравнению

исследование формы гиперболы по ее уравнению
исследование формы гиперболы по ее уравнению
исследование формы гиперболы по ее уравнению

исследование формы гиперболы по ее уравнению
исследование формы гиперболы по ее уравнению
исследование формы гиперболы по ее уравнению

исследование формы гиперболы по ее уравнению
исследование формы гиперболы по ее уравнению

исследование формы гиперболы по ее уравнению

, поделив последнее уравнение на

исследование формы гиперболы по ее уравнению

исследование формы гиперболы по ее уравнению

исследование формы гиперболы по ее уравнению

исследование формы гиперболы по ее уравнению

, исходя из этого найдется такое положительное число

исследование формы гиперболы по ее уравнению

исследование формы гиперболы по ее уравнению

. Сейчас уравнение (4′) примет вид:

исследование формы гиперболы по ее уравнению

Мы доказали: в случае если точка в собственности преувеличении, то её координаты удовлетворяют уравнению (3) либо (4).

Докажем обратное: в случае если координаты точки удовлетворяют уравнению (4) либо (3), то она в собственности преувеличении. Итак,

исследование формы гиперболы по ее уравнению

исследование формы гиперболы по ее уравнению
исследование формы гиперболы по ее уравнению
исследование формы гиперболы по ее уравнению
исследование формы гиперболы по ее уравнению
исследование формы гиперболы по ее уравнению
исследование формы гиперболы по ее уравнению

§22 Изучение канонического уравнения преувеличения

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *