изобразите отношения между понятиями в кругах эйлера
ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ. КРУГИ ЭЙЛЕРА
ПОНЯТИЕ
Каждый предмет или явление обладает некими свойствами (признаками).
Получается, что составить понятие об объекте означает, прежде всего, умение отличить его от других сходных с ним объектов.
Можно сказать, что понятие – это мысленное содержание слова.
Понятие – это форма мысли, отображающая предметы в их наиболее общих и существенных признаках.
Понятие – это форма мысли, а не форма слова, так как слово лишь метка, которой мы помечаем ту или иную мысль.
Слова могут быть различны, но при этом обозначать одно и то же понятие. По-русски – «карандаш», по-английски – «pencil», по-немецки – bleistift. Одна и та же мысль в разных языках имеет разное словесное выражение.
ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ. КРУГИ ЭЙЛЕРА.
Понятия, имеющие в своих содержаниях общие признаки, называются СРАВНИМЫМИ («адвокат» и «депутат»; «студент» и «спортсмен»).
В противном случае, понятия считаются НЕСРАВНИМЫМИ («крокодил» и «блокнот»; «человек» и «пароход»).
Если кроме общих признаков понятия имеют и общие элементы объёма, то они называются СОВМЕСТИМЫМИ.
Существует шесть видов отношений между сравнимыми понятиями. Отношения между объёмами понятий удобно обозначать с помощью кругов Эйлера (круговые схемы, где каждый круг обозначает объём понятия).
Упражнение : Определите вид отношений по объёму приведённых ниже понятий. Изобразите их с помощью кругов Эйлера.
 |
1) А – горячий чай; В – холодный чай; С – чай с лимоном
Горячий чай (В) и холодный чай (С) – находятся в отношении противоположности.
Чай с лимоном (С) может быть как горячим,
так и холодным, но может быть и, например, тёплым.
2) А – деревянный; В – каменный; С – строение; D – дом.
Всякое ли строение (С) – дом (D)? – Нет.
Всякий ли дом (D) – строение (С)? – Да.
Что-то деревянное (А) обязательно ли дом (D) или строение (С) – Нет.
Но можно найти деревянное строение (например, будка),
также можно найти деревянный дом.
Что-то каменное (В) не обязательно дом (D) или строение (С).
Но может быть и каменное строение, и каменный дом.
3) А – российский город; В – столица России;
С – Москва; D – город на Волге; Е – Углич.
Столица России (В) и Москва (С) – один и тот же город.
Углич (Е) является городом на Волге (D).
При этом, Москва, Углич, как и любой город на Волге,
Круги Эйлера — примеры и методы решения логических задач
Круги Эйлера (другое название — диаграммы Венна) — это геометрическая схема, которую можно применять для наглядного отображения отношений между множествами. Диаграммы разработал известный математик и механик, чьим именем и назван метод. Учёный считал, что его подход облегчает размышления человека.
Множества в математике
Диаграммы Венна помогают показать связь теории множеств и логических операций. Круги Эйлера, множества чисел и других предметов тесно связаны. Под множеством понимается совокупность каких-то объектов, называемых элементами. В множества можно объединять объекты с общим признаком. Например, множество студентов второго курса университета или множество статей, написанных одним учёным. Можно выделить три вида таких математических объектов:
Группа элементов, составляющая множество, входящее в другое, более обширное множество называется подмножеством. Такое отношение получается между множеством действительных чисел и входящим в его состав подмножеством натуральных чисел.
В курсах информатики и обычно изучаются такие темы как «Введение в математическую логику» и «Поиск информации в Интернет». При решении задач по этим темам помощь оказывают диаграммы Венна. Для их построения можно использовать онлайн-калькулятор. Обозначения операций над множествами, которым должны соответствовать обозначения в калькуляторе:
Калькулятор выдаёт результат и подробное решение с правильным порядком операций при подстановке конкретных множеств.
Кольцом в теории множеств называют непустую систему R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности, то есть при пересечении или операции симметрической разности любых двух множеств обязательно получается множество, входящее в R. Это означает, что для любых элементов A, B из кольца элементы A∩B и A∆B будут лежать в кольце.
Отношения между понятиями
Логические операции, разрешающие доказывать утверждения и делать выводы, основаны на связях и отношениях разных понятий. При классификации понятия делятся на сравнимые, между которыми существуют логические связи и отношения, и несравнимые, которые не имеют связей. К несравнимым относятся, например, «машина» и «квадрат», «озеро» и «клетка». У них нет общих элементов и их нельзя сравнивать.
Рисунок 1
Сравнимые понятия подразделяются на совместимые и несовместимые. Совместимые понятия отличаются тем, что имеют хотя бы один общий элемент:
У равнозначных понятий объёмы полностью совпадают. Например, А — писатель Чехов, В — автор пьесы «Вишнёвый сад». Графически тождественность можно представить как два круга, слившиеся в один (Рисунок 1).
Пересекающимися понятиями, или находящимися в отношении перекрещивания, считаются те, объёмы которых совпадают частично. Пример: A — «математик», B — «репетитор»; A — «студент», B — «спортсмен». Часть объёма понятия «математик» входит в объём понятия «репетитор» и наоборот.
Понятия, состоящие в отношении подчинения, содержат одинаковые элементы, а объём подчинённого целиком входит в объём подчиняющего. Например, «млекопитающее» и «коза».
Несовместимыми называют понятия, не имеющие общих элементов:
Соподчинённые понятия имеют общие элементы и вместе входят в родовое понятие, но в их объёмах общие элементы отсутствуют. Например, А — «корова», B — «овца», C — «млекопитающее». Круги A и B необходимо поместить внутри круга, изображающего объём понятия C, но они не смогут пересекаться, так как не бывает млекопитающих, которые были бы и коровой, и овцой одновременно.
Противоположные понятия — это виды одного и того же рода, но одно из них имеет какой-то признак, а другое не обладает им и содержит признак, несовместимый с первым, направленный против него. Таковы A — «большой дом» и B — «маленький дом». Тут в отличие от отношения противоречия возможны предметы, которые не входят ни в A и ни в B. Если общее родовое C — дом, то в его круге будут изображения двух сегментов A и B, расположенных напротив друг друга, а оставшаяся часть должна соответствовать всем остальным домам (средним, меньше средних).
Противоречащими считается категория понятий, у одного из которых есть какой-то признак, а у другого он отрицается. Например, «чёрный» и «нечёрный», «злой» — «незлой». При этом весь массив родственных элементов делится на две части: одни имеют этот признак, а другие — нет.
Решение задач, примеры
Круги Эйлера и как решать сложные логические задачи, используя свойства диаграммы, можно показать на примерах.
Задача 1. Пусть имеется следующее условие: 54 школьника шестых классов занимаются в авиамодельном, музыкальном и танцевальном кружках. Каждый посещает хотя бы один кружок. Музыкой занимаются 32 ученика, 22 — танцами, 34 — авиамоделированием. Участвуют в музыкальном и танцевальном кружках 11 школьников, в музыкальном и авиамоделировании — 21, в танцевальном и авиамоделировании — 12. Сколько учащихся посещают все три кружка?
Рисунок 2
Проект решения предполагает необходимость расписать всех 54 школьников в соответствии с условиями задачи. Известно, что в авиамодельном кружке 34 ученика. Если прибавить к этому число учеников, которые занимаются музыкой, их 32 человека, то получится A ⋃ M, где ⋃ обозначение объединения множеств, будет состоять из 34 + 32… учеников.
Но при взгляде на круги Эйлера (Рисунок 2) становится понятно, что те, кто занимается и музыкой, и авиамоделированием посчитаны дважды. Это область на диаграмме, которая принадлежит и кругу A, и кругу М, таких учеников 21. Значит, объединение множеств A ⋃ M будет 34 + 32 — 21…
Теперь нужно прибавить 22 школьника, занимающихся танцами. A ⋃ M ⋃ T равно 34 + 32 — 21 + 22… Тут опять некоторые ученики оказываются посчитаны дважды. Можно вычесть из общей суммы тех, кто занимается танцами и музыкой — 11 человек и 12 человек, участвующих в авиамодельном и танцевальном кружках одновременно. Функция принимает следующий вид: A ⋃ M ⋃ T будет 34 + 32 — 21 + 22 — 11 — 12…
Но при этом школьники, которые посещают все три кружка, оказались отняты дважды. Их число обозначено x и его надо прибавить один раз к имеющейся формуле. Чтобы решить задачу, требуется определить x из полученного уравнения (Рисунок 3).
54 = 34 + 32 — 21 + 22 — 11 — 12 + х; откуда следует, что x = 10. Ответ: 10.
Рисунок 3
Задача 2. В школьную библиотеку пришло 30 учеников седьмого класса. Из них 15 человек взяли учебник по алгебре, 12 — по русскому языку, 10 человек не взяли ни одного учебника. Сколько учеников получили учебники по алгебре и русскому языку?
Множества на диаграммах представлены на рисунке 4. В большом круге 30 учеников, внутри двух малых 30 — 10 = 20 человек. По условию задачи 15 учеников получили учебник по алгебре, значит, 20 — 15 = 5 учеников получили только учебник по русскому языку. А в условии говорится, что 12 человек взяли учебник по русскому, то есть 12 — 5 = 7 школьников получили учебники и по алгебре, и по русскому. Ответ: 7.
Рисунок 4
Круги Эйлера часто применяются для решения самых разных задач. Они служат для развития способности к логическому мышлению у дошкольников. Большой раздел задач для школьников может решаться с помощью диаграмм. Многие учёные в своих исследованиях тоже обращаются к этому методу, который повышает наглядность решаемых проблем и помогает в их обдумывании. Использование простых фигур позволяет свести решение любой сложной задачи к символической логике и упростить ход рассуждений. Диаграммы могут применяться и в обычной жизни, например при поиске работы. Пересечение кругов «лучше всего получается», «больше всего нравится делать» и «чем можно заработать», возможно, даст нужный результат.
Круги Эйлера и примеры задач на логику
Круги Эйлера, на самом деле, достаточно часто встречаются в нашей жизни. Еще в младшей школе ученики начинают работать со схематическими фигурами, которые наглядно объясняют соотношения предметов и понятий.
Описание схемы кругов Эйлера
Круги Эйлера – геометрические конструкции, применяемые для упрощения восприятия логических связей между предметами, понятиями и явлениями.
Делятся на группы, в зависимости от типа отношений между множествами:
Типовой пример такой диаграммы:
Наибольшее множество, отмеченное зеленым цветом, представляет собой все варианты игрушек.
Одним из вариантов игрушек являются конструкторы. Они выделены голубым овалом. Конструкторы являются отдельным множеством, и, одновременно, частью множества «Игрушки».
Заводные игрушки также являются частью множества «Игрушки», но не относятся к множеству «Конструкторы». Поэтому, они выделяются фиолетовым овалом. А вот множество «Заводных автомобилей» является самостоятельным, но при этом, является подмножеством «Заводных игрушек».
При помощи этого метода ученый решал сложнейшие математические задачи. Применение простых фигур позволяло свести решение любой, даже самой сложной задачи, к символической логике – максимальному упрощению рассуждений.
Позже, данный способ был доработан англичанином Джоном Венном, который ввел понятие пересечения нескольких множеств.
Методика очень проста в использовании — круги Эйлера для дошкольников от 4-5 лет начинают преподавать уже в детском саду. При этом, она же на столько удобна, что применяется даже в высшей академической среде.
Применение кругов Эйлера
Основная цель использования диаграмм – практическое решение задач по объединению или пересечению множеств.
Области применения: математика, логика, менеджмент, статистика, информатика и др. На самом деле, их значительно больше, но перечислить все попросту невозможно.
Диаграммы делятся на два вида.
Первый описывает объединение понятий, вложенность одного в другое. Пример приведен в статье выше.
Второй описывает пересечения двух разных множеств некоторыми общими признаками. Один из примеров
Примеры задач и решения
Рассмотрим задачи, в которых помогают разбираться круги Эйлера, примеры решения задач по логике и математике.
Задачи для дошкольников
Первые в очереди: круги Эйлера для дошкольников, задания с ответами на которые помогут понять, как малыши впервые знакомятся с методикой упрощения сложных математических и логических задач.
Задание №1 – начальный уровень.
Цель: научить ребенка определять предмет, наиболее соответствующий одновременно двум свойствам.
Правильный ответ: кубик Рубика.
Задание №2
Правильный ответ: лягушка.
Задание №3
Правильный ответ: груша.
Задание №4 – средний уровень.
Задания усложняются тем, что используется больше множеств.
Правильный ответ: Солнце.
Задание №5
Правильный ответ: платье.
Задание №6
Правильный ответ: полезные.
Задания для школьников
Следующие задачи по логике с ответами, круги Эйлера в которых являются основой для решения, касаются младших школьников. Подобные задания обучают детей разбирать логические пересечения по определенным признакам.
Задание №1
35 учеников зарегистрированы в школьной или городской библиотеках. Из них 25 регулярно посещают школьную библиотеку, а 20 – городскую.
Ответ:
35 – 20 = 15 – левая сектор голубой зоны.
35 – 20 = 15 – также, левый сектор голубой.
Задание №2 – также предназначено для младших классов, но является более сложным.
В 7-А учится 38 человек. Ученики увлекаются разными спортивными играми: 16 – баскетболом, 17 – хоккеем, 18 – футболом. Одновременно баскетбол и хоккей любят 4 человека, баскетбол и футбол – 3, хоккей и футбол – 5, а 3 ученика не интересуются спортом.
Ответ:
Все ученики класса – наибольшая окружность.
Круг «Б» — баскетболисты, «Х» — хоккеисты, «Ф» — футболисты, «Z» — универсальные спортсмены. Трое неспортивных учеников просто находятся в общем круге.
Баскетболисты, входящие в множество «Б», но не входящие в зоны пересечения со множествами «Х» и «Ф».
По аналогии, находим количество хоккеистов.
18 – (3 + Z + 5) = 10 – Z.
Чтобы пределить значение Z, нужно суммировать множества учеников.
3 + (9 – Z) + (8 – Z) + (10 – Z) + 3 + 4 + 5 + Z = 38;
Соответственно, Б = 7, Ф = 8, Х = 6.
Применение круговых диаграмм позволяет наглядно продемонстрировать все взаимоотношения разных групп учеников.
Метод схематического изображения взаимоотношений множеств – не просто увлекательная вещь. Круги Эйлера, примеры решения задач, логика которых неочевидна, показывают, что метод может использоваться не только при развязывании математических заданий, но и находить выход из житейских ситуаций.
Множества в математике
Диаграммы Венна помогают показать связь теории множеств и логических операций. Круги Эйлера, множества чисел и других предметов тесно связаны. Под множеством понимается совокупность каких-то объектов, называемых элементами. В множества можно объединять объекты с общим признаком. Например, множество студентов второго курса университета или множество статей, написанных одним учёным. Можно выделить три вида таких математических объектов:
Группа элементов, составляющая множество, входящее в другое, более обширное множество называется подмножеством. Такое отношение получается между множеством действительных чисел и входящим в его состав подмножеством натуральных чисел.
В курсах информатики и обычно изучаются такие темы как «Введение в математическую логику» и «Поиск информации в Интернет». При решении задач по этим темам помощь оказывают диаграммы Венна. Для их построения можно использовать онлайн-калькулятор. Обозначения операций над множествами, которым должны соответствовать обозначения в калькуляторе:
Калькулятор выдаёт результат и подробное решение с правильным порядком операций при подстановке конкретных множеств.
Кольцом в теории множеств называют непустую систему R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности, то есть при пересечении или операции симметрической разности любых двух множеств обязательно получается множество, входящее в R. Это означает, что для любых элементов A, B из кольца элементы A∩B и A∆B будут лежать в кольце.
Отношения между понятиями
Логические операции, разрешающие доказывать утверждения и делать выводы, основаны на связях и отношениях разных понятий. При классификации понятия делятся на сравнимые, между которыми существуют логические связи и отношения, и несравнимые, которые не имеют связей. К несравнимым относятся, например, «машина» и «квадрат», «озеро» и «клетка». У них нет общих элементов и их нельзя сравнивать.
Рисунок 1
Сравнимые понятия подразделяются на совместимые и несовместимые. Совместимые понятия отличаются тем, что имеют хотя бы один общий элемент:
У равнозначных понятий объёмы полностью совпадают. Например, А — писатель Чехов, В — автор пьесы «Вишнёвый сад». Графически тождественность можно представить как два круга, слившиеся в один (Рисунок 1).
Пересекающимися понятиями, или находящимися в отношении перекрещивания, считаются те, объёмы которых совпадают частично. Пример: A — «математик», B — «репетитор»; A — «студент», B — «спортсмен». Часть объёма понятия «математик» входит в объём понятия «репетитор» и наоборот.
Понятия, состоящие в отношении подчинения, содержат одинаковые элементы, а объём подчинённого целиком входит в объём подчиняющего. Например, «млекопитающее» и «коза».
Несовместимыми называют понятия, не имеющие общих элементов:
Соподчинённые понятия имеют общие элементы и вместе входят в родовое понятие, но в их объёмах общие элементы отсутствуют. Например, А — «корова», B — «овца», C — «млекопитающее». Круги A и B необходимо поместить внутри круга, изображающего объём понятия C, но они не смогут пересекаться, так как не бывает млекопитающих, которые были бы и коровой, и овцой одновременно.
Противоположные понятия — это виды одного и того же рода, но одно из них имеет какой-то признак, а другое не обладает им и содержит признак, несовместимый с первым, направленный против него. Таковы A — «большой дом» и B — «маленький дом». Тут в отличие от отношения противоречия возможны предметы, которые не входят ни в A и ни в B. Если общее родовое C — дом, то в его круге будут изображения двух сегментов A и B, расположенных напротив друг друга, а оставшаяся часть должна соответствовать всем остальным домам (средним, меньше средних).
Противоречащими считается категория понятий, у одного из которых есть какой-то признак, а у другого он отрицается. Например, «чёрный» и «нечёрный», «злой» — «незлой». При этом весь массив родственных элементов делится на две части: одни имеют этот признак, а другие — нет.
Решение задач, примеры
Круги Эйлера и как решать сложные логические задачи, используя свойства диаграммы, можно показать на примерах.
Задача 1. Пусть имеется следующее условие: 54 школьника шестых классов занимаются в авиамодельном, музыкальном и танцевальном кружках. Каждый посещает хотя бы один кружок. Музыкой занимаются 32 ученика, 22 — танцами, 34 — авиамоделированием. Участвуют в музыкальном и танцевальном кружках 11 школьников, в музыкальном и авиамоделировании — 21, в танцевальном и авиамоделировании — 12. Сколько учащихся посещают все три кружка?
Рисунок 2
Проект решения предполагает необходимость расписать всех 54 школьников в соответствии с условиями задачи. Известно, что в авиамодельном кружке 34 ученика. Если прибавить к этому число учеников, которые занимаются музыкой, их 32 человека, то получится A ⋃ M, где ⋃ обозначение объединения множеств, будет состоять из 34 + 32… учеников.
Но при взгляде на круги Эйлера (Рисунок 2) становится понятно, что те, кто занимается и музыкой, и авиамоделированием посчитаны дважды. Это область на диаграмме, которая принадлежит и кругу A, и кругу М, таких учеников 21. Значит, объединение множеств A ⋃ M будет 34 + 32 — 21…
Теперь нужно прибавить 22 школьника, занимающихся танцами. A ⋃ M ⋃ T равно 34 + 32 — 21 + 22… Тут опять некоторые ученики оказываются посчитаны дважды. Можно вычесть из общей суммы тех, кто занимается танцами и музыкой — 11 человек и 12 человек, участвующих в авиамодельном и танцевальном кружках одновременно. Функция принимает следующий вид: A ⋃ M ⋃ T будет 34 + 32 — 21 + 22 — 11 — 12…
Но при этом школьники, которые посещают все три кружка, оказались отняты дважды. Их число обозначено x и его надо прибавить один раз к имеющейся формуле. Чтобы решить задачу, требуется определить x из полученного уравнения (Рисунок 3).
54 = 34 + 32 — 21 + 22 — 11 — 12 + х; откуда следует, что x = 10. Ответ: 10.
Рисунок 3
Задача 2. В школьную библиотеку пришло 30 учеников седьмого класса. Из них 15 человек взяли учебник по алгебре, 12 — по русскому языку, 10 человек не взяли ни одного учебника. Сколько учеников получили учебники по алгебре и русскому языку?
Множества на диаграммах представлены на рисунке 4. В большом круге 30 учеников, внутри двух малых 30 — 10 = 20 человек. По условию задачи 15 учеников получили учебник по алгебре, значит, 20 — 15 = 5 учеников получили только учебник по русскому языку. А в условии говорится, что 12 человек взяли учебник по русскому, то есть 12 — 5 = 7 школьников получили учебники и по алгебре, и по русскому. Ответ: 7.
Рисунок 4
Круги Эйлера часто применяются для решения самых разных задач. Они служат для развития способности к логическому мышлению у дошкольников. Большой раздел задач для школьников может решаться с помощью диаграмм. Многие учёные в своих исследованиях тоже обращаются к этому методу, который повышает наглядность решаемых проблем и помогает в их обдумывании. Использование простых фигур позволяет свести решение любой сложной задачи к символической логике и упростить ход рассуждений. Диаграммы могут применяться и в обычной жизни, например при поиске работы. Пересечение кругов «лучше всего получается», «больше всего нравится делать» и «чем можно заработать», возможно, даст нужный результат.