к нормальному уравнению прямой имеет отношение

Нормальное уравнение прямой

В данной статье мы рассмотрим нормальное уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения нормального уравнения прямой по углу наклона нормального вектора прямой от оси Ox и по расстоянию от начала координат до прямой. Представим метод приведения общего уравнения прямой к нормальному виду. Рассмотрим численные примеры.

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат. Тогда нормальное уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

где r− расстояние от начала координат до прямой L, а φ− это угол между нормальным вектором n прямой L и осью Ox. (Если r>0, то нормальный вектор n направлен в сторону прямой L).

Выведем формулу (1). Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат и прямая L (Рис.1). Проведем через начало координат прямую Q, перпендикулярную прямой L, и точку пересечения обозначим через R. На этой прямой выделим единичный вектор n, с направлением, совпадающим с вектором к нормальному уравнению прямой имеет отношение. (Если точки O и R совпадают, то направление n можно взять произвольным).

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

Выразим уравнение прямой L через два параметра: длину отрезка к нормальному уравнению прямой имеет отношениеи угол φ между вектором n и осью Ox.

Так как вектор n является единичным вектором, то его проекции на Ox и Oy будут иметь следующие координаты:

Обозначим через r расстояние от начала координат до точки R. Рассмотрим, теперь, точку M(x,y). Точка M лежит на прямой L тогда и только тогда, когда проекция вектора к нормальному уравнению прямой имеет отношениена прямую R равна r, т.е.

Скалярное произведение векторов n и к нормальному уравнению прямой имеет отношениеимеет следующий вид:

где к нормальному уравнению прямой имеет отношение− обозначен скалярное произведение векторов n и к нормальному уравнению прямой имеет отношение, а | · |− норма (длина) вектора, α−угол между векторами n и к нормальному уравнению прямой имеет отношение.

Поскольку n единичный вектор, то (4) можно записать так:

Учитывая, что n=<cosφ, sinφ>, к нормальному уравнению прямой имеет отношение, мы получим:

Тогда из уравнений (3), (5), (6) следует:

Пример 1. Построить нормальное уравнение прямой, нормальный вектор которого с осью Ox имеет угол φ=60°, а расстояние от начала координат до прямой составляет 4.

Решение. Имеем: φ=60°, r=4. Вычисляем:

к нормальному уравнению прямой имеет отношение, к нормальному уравнению прямой имеет отношение

Подставляя вычисленные значения в (7) получим:

Приведение общего уравнения прямой на плоскости к нормальному виду

Так как уравнения (1) и (8) должны определять одну и ту же прямую (Замечание 1 статьи «Общее уравнение прямой на плоскости»), то существует такое число t, что

Возвышая в квадрат первые два равенства в (9) и складывая их, получим:

Упростим выражение и найдем t:

Знаменатель в (11) отличен от нуля, т.к. хотя бы один из коэффициентов A, B не равен нулю (в противном случае (8) не представлял бы уравнение прямой).

Выясним, какой знак имеет t. Обратим внимание на третье равенство в (9). Так как r−это расстояние от начала координат до прямой, то r≥0. Тогда произведение tC должна иметь отрицательный знак. Т.е. знак t в (11) должен быть противоположным знаку C.

Пример 2. Задано общее уравнение прямой

Построить нормальное уравнение прямой.

Решение. Из уравнения (12) можно записать: A=2, B=−3, C=4. Вычислим t из равенства (11):

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

Так как C>0, то знак t отрицательный:

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

Умножим уравнение (12) на t:

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

Ответ. Нормальное уравнение прямой (12) имеет следующий вид:

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

Отметим, что число к нормальному уравнению прямой имеет отношениеявляется расстоянием от начала координат до прямой (12).

Источник

Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой

Пусть дана некоторая прямая L. Проведём через начало координат прямую n, перпендикулярно данной и назовём её нормалью к прямой L. Буквой N отметим точку, в которой нормаль пересекает прямую L. На нормали введём направление от точки O к точке N.

Обозначим через к нормальному уравнению прямой имеет отношениеугол, на которой нужно повернуть против часовой стрелки ось Ox до совмещения её положительного направления с направлением нормали, через p длину отрезка ON.

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

к нормальному уравнению прямой имеет отношение. (1)

будет нормальным уравнением прямой.

С помощью нормального уравнения прямой можно определить расстояние от данной точки плоскости до прямой. Пусть к нормальному уравнению прямой имеет отношение— точка, не лежащая на прямой, заданной нормальным уравнением. Требуется определить расстояние d от точки до прямой. Это расстояние определяется по формуле

к нормальному уравнению прямой имеет отношение. (2)

Общее уравнение прямой можно привести к нормальному виду. Пусть

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

— общее уравнение прямой, а

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

— её нормальное уравнение.

Так как оба уравнения определяют одну и ту же прямую, их коэффициенты пропорциональны.

Очевидно, для получения нормального уравнения следует все члены общего уравнения умножить на постоянный множитель к нормальному уравнению прямой имеет отношение, вычисляемый по формуле

к нормальному уравнению прямой имеет отношение. (3)

В этой формуле берётся знак, противоположный знаку C в общем уравнении прямой.

Таким образом, получаем уравнение

к нормальному уравнению прямой имеет отношение, (4)

которое и будет нормальным уравнением прямой на плоскости.

Пример 1. Привести общее уравнение прямой к нормальному уравнению прямой имеет отношениек нормальному виду.

Решение. Вычисляем нормирующий множитель:

к нормальному уравнению прямой имеет отношение(знак, противоположный C).

Умножаем все члены общего уравнения на нормирующий множитель и получаем:

к нормальному уравнению прямой имеет отношение.

Пример 2. Привести общее уравнение прямой к нормальному уравнению прямой имеет отношениек нормальному виду.

Решение. Вычисляем нормирующий множитель:

к нормальному уравнению прямой имеет отношение(знак, противоположный C).

Умножаем все члены общего уравнения на нормирующий множитель и получаем:

к нормальному уравнению прямой имеет отношение.

Пример 3. Найти расстояние от точки к нормальному уравнению прямой имеет отношениедо прямой к нормальному уравнению прямой имеет отношение.

Решение. Приведём данное уравнение к нормальному виду. Вычисляем нормирующий множитель:

к нормальному уравнению прямой имеет отношение(знак, противоположный C).

Умножаем все члены общего уравнения на нормирующий множитель и получаем нормальное уравнение:

к нормальному уравнению прямой имеет отношение.

По формуле (2) находим искомое расстояние:

к нормальному уравнению прямой имеет отношение.

Источник

Нормальное уравнение прямой

Как привести уравнение прямой к нормальному виду

Для того, чтобы найти нормальное уравнение прямой, заданной уравнением Ax+By+C=0, необходимо разделить данное уравнение на
к нормальному уравнению прямой имеет отношение
при этом знак «минус» берётся, когда C>0, а знак «плюс» берётся, когда C x cosα + y sinα − p = 0

Это и есть нормальное уравнение прямой

То же самое получим, если обе части уравнения Ах + By + С = 0 умножим на число

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

x cosα + y sinα − p = 0

Графически это можно представить следующем образом

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

Прямая AB с полярным расстоянием p (длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат OK) и полярным углом α (угол измеренный в положительном направлении между положительным направлением оси Ox и направлением этого перпендикуляра) представляется уравнением:

x cosα + y sinα − p = 0

Если p=0, то прямая проходит через начало координат, а угол
к нормальному уравнению прямой имеет отношение
задаёт угол наклона прямой.

Пример 1
Привести уравнение 3x-4y+5=0 к нормальному виду. Здесь A=3, B=-4, C=5>0. Поэтому делим на
к нормальному уравнению прямой имеет отношениеполучаем

Это уравнение вида

x cosα + y sinα − p = 0

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

Источник

Нормальное уравнение прямой

к нормальному уравнению прямой имеет отношение к нормальному уравнению прямой имеет отношение к нормальному уравнению прямой имеет отношение к нормальному уравнению прямой имеет отношение

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

29) Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В 2 не равно 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (a1, a2), компоненты которого удовлетворяют условию Аa1 + Вa2 = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.

30) Нормальное уравнение прямой имеет вид к нормальному уравнению прямой имеет отношение,где к нормальному уравнению прямой имеет отношение– расстояние от прямой до начала координат; a – угол между нормалью к прямой и осью к нормальному уравнению прямой имеет отношение.

Расстояние от точки к нормальному уравнению прямой имеет отношениедо прямой определяется по формуле

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

34) Э́ллипс — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

к нормальному уравнению прямой имеет отношениепричем | F1F2 | > 2a > 0.

36) Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусомпараболы). Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом. Уравнение параболы: к нормальному уравнению прямой имеет отношение.

37) Прямоугольная, или Декартова система координат — наиболее простая и поэтому часто используемая система координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат XX и YY. Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ.

39) Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

41)Нормальное уравнение прямой

к нормальному уравнению прямой имеет отношение к нормальному уравнению прямой имеет отношение к нормальному уравнению прямой имеет отношение к нормальному уравнению прямой имеет отношение к нормальному уравнению прямой имеет отношение к нормальному уравнению прямой имеет отношениек нормальному уравнению прямой имеет отношение

. Расстояние точки A(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

к нормальному уравнению прямой имеет отношение к нормальному уравнению прямой имеет отношение к нормальному уравнению прямой имеет отношениек нормальному уравнению прямой имеет отношение

42) Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. Доказывается, что этот угол не зависит от выбора такой плоскости. Угол между двумя параллельными плоскостями принимается равным нулю.

43) Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

где к нормальному уравнению прямой имеет отношение— радиус-вектор некоторой фиксированной точки M0, лежащей на прямой, к нормальному уравнению прямой имеет отношение— ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, к нормальному уравнению прямой имеет отношение— радиус-вектор произвольной точки прямой.

44) Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда к нормальному уравнению прямой имеет отношениепараллелен к нормальному уравнению прямой имеет отношение. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: к нормальному уравнению прямой имеет отношение.

Источник

Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.

Общее уравнение прямой: основные сведения

указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

Неполное уравнение общей прямой

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

Решение

На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.

к нормальному уравнению прямой имеет отношение

Решение

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Решение

Решение

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Решение

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Решение

Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:

Решение

Произведем нужные действия по алгоритму:

Решение

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

Решение

Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:

Перейдем от канонического к общему:

Решение:

Просто перепишем уравнение в необходимом виде:

Составление общего уравнения прямой

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.

Решение

Решение

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *