Как найти основание равнобедренного треугольника

29.08.202229.08.2022 admin 0 Комментариев

Как найти основание равнобедренного треугольника

Как найти основание равнобедренного треугольника?

Вариант 1

Если известно, чему равна боковая сторона, а также высота, опущенная на основание.

Как известно, высота перпендикулярна основанию, а в случае с равнобедренным треугольником она разбивает его на 2 равных прямоугольных треугольника.

Можно по теореме Пифагора найти половину основания, а затем это значение умножить на 2.

Вариант 2

Если известно, чему равна боковая сторона и один из углов.

Нужно воспользоваться теоремой синусов:

a/sinα = b/sinβ = c/sinγ.

c = (a*sinγ)/sinα.

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то легко можно найти 2 оставшихся угла, исходя из того, что сумма 3 углов равна 180 градусов.

1.) Допустим, мы знаем, чему равна боковая сторона и угол треугольника (любой из трех). Тогда мы сначала легко вычисляем два других угла треугольника, помня, что их сумма всегда равна 180 градусам, а затем применяем теорему синусов:

следовательно с (основание) будет равно:

2.) Допустим, мы знаем чему равна боковая сторона и высота нашего треугольника. Тогда мы сначала находим половину его основания (она является катетом треугольника, полученного делением исходного равнобедренного треугольника его высотой на два прямоугольных треугольника), применив теорему Пифагора.

Чтобы найти основание равнобедренного треугольника, необходимо вспомнить геометрию.

Так как у нас нет никаких данных задачи, значит следует указать только формулы, по которым можно найти основание.

Основание можно найти применив теорему Пифагора по формуле:

Чтобы понять, как правильно решать, вот примерная задача:

А вот решение для задачи:

Для того, чтобы найти основание равнобедренного треугольника? нам необходимо знать или один из углов, или же высоту треугольника, которая проводится к его основанию. Основание можно вычислить по следующей, вполне легкой формуле:

Для начала вспомним, какой треугольник называется равнобедренным и из этих его свойств будем уже находить величину основания.

Как видим из рисунка, равнобедренный треугольник- это треугольник, у которого две стороны равны и они называются боковыми. Третья же сторона является основанием этого треугольника. Равные стороны называются боковыми.

Какие же свойства имеет равнобедренный треугольник, которые помогут нам найти его основание?

Углы при основании у равнобедренного треугольника равны между собой.

Высота, которую мы опускаем с верхнего угла на основание одновременно является и биссектрисой и медианой.

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника нужно разделить на 2 произведение основания на высоту, проведенную к этому основанию.

К сожалению, нам не даны условия задачи, поэтому можно использовать несколько формул. Все будет зависеть от данных задачи.

Используя эти свойства, мы для нахождения основания можем использовать следующие формулы:

Так же нам может помочь в решении теорема синусов.

Источник

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Источник

как найти основание равнобедренного треугольника

Здравствуйте!
Как найти радиус описанной окружности треугольника? Какие есть способы?
Спасибо!

Основанием равнобедренного треугольника является та из его сторон, длина которой отличается от двух других, равных между собой, сторон.
Рассмотрим варианты того, как найти основание равнобедренного треугольника.

1-й способ. Использование теоремы синусов.
Согласно теореме синусов стороны треугольника являются прямо пропорциональными величинами к значению синусов противоположных углов:

Из этого равенства можно выразить любую искомую сторону через другую сторону и синусы двух углов.
Рассмотрим пример того, как найти основание равнобедренного треугольника, используя теорему синусов.

Пример 1.
У равнобедренного треугольника боковые стороны равны 17 см, а угол при основании равен 30 градусов. Найдем основание данного треугольника.

Решение.
Используем теорему о сумме углов треугольника:

Подставим в теорему синусов известные значения и получим:

Воспользуемся формулой приведения для синуса 120 градусов, согласно которой получим:

Подставим полученное значение в формулу для вычисления длины основания:
(см).

2-й способ. Использование теоремы косинусов.
Согласно теореме косинусов квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов остальных двух сторон и минус произведение этих сторон на косинус угла между ними умноженное на 2:

Источник

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Содержание:

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Доказательство теоремы:

Вывод:

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Доказательство теоремы:

Доказательство от противного.

Признаки равнобедренного треугольника

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

Формулы длины стороны (основания — b):

Формулы длины равных сторон — (а):

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Площадь равнобедренного треугольника

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

Источник

Основание треугольника

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 115.

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 115.

Основание треугольника – это такая же сторона, как и две других. Основание редко имеет особое значение, но из-за визуальной обособленности от других сторон, ученики часто путаются и допускают ошибки. Разберем подробнее, как сторона треугольника может считаться основанием, и в каких случаях это действительно имеет значение

Стороны треугольника

У треугольника всегда три стороны. Одна из них считается основанием. Как правило, основание выделяется только построением, т.е. нижняя сторона треугольника, и приниматься за основание.

Иногда в решении указывают углы при основании произвольного треугольника. Это не совсем верно, поскольку в произвольном треугольнике все углы равнозначны, а значит не имеет смысла выделять углы при основании. Выделяются только углы при основании равнобедренного треугольника.

Нужно учитывать, что любой произвольный треугольник можно условно перевернуть, т.е. перечертить фигуру таким образом, чтобы основанием стала другая сторона. По этому разделять понятие боковых сторон и основания у произвольного треугольника не имеет смысла – это только добавит путаницы в решение задачи.

Уравнение основания треугольника, так же, как и уравнение любой из сторон треугольника, является уравнением прямой линии.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – это единственный подвид треугольника, где основание имеет реальное практическое значение. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны между собой. Равные стороны зовутся боковыми, а третья сторона считается основанием.

Существует две теоремы об основании равнобедренного треугольника. Это:

В равнобедренном треугольнике основание определяется значением сторон: равные стороны – боковые, неравная – основание.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник.

По ходу решения задачи может получится так, что основание окажется сбоку, не нужно этого пугаться. Стоит или привыкнуть к такому построению равнобедренного треугольника или каждый раз перечерчивать чертеж, разворачивая треугольник в нужную сторону.

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник – это частный случай равнобедренного. У равнобедренного треугольника равны две стороны, а у равностороннего все три. Но именно из-за этого свойства значение основания равнобедренного треугольника теряется.

В равностороннем треугольнике какую сторону не выбери: две другие всегда будут равны между собой, а значит любая сторона может считаться основанием.

Рис. 3. Равносторонний треугольник.

Существует формула, где часто упоминается слово основание. Это формула площади, которая равна половине произведения основания треугольника на высоту, проведенную к этому основанию. Но в качестве основания может быть принята любая сторона, главное, чтобы именно на нее падала высота. Поэтому и в этом случае выбор стороны треугольника, которую можно считать основанием, некритичен.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое основание треугольника. Поговорили о ситуациях, когда стоит выделять основание среди других сторон треугольника, а когда это окажется напрасной тратой времени. Обсудили значимость основания равнобедренного треугольника.

Источник

Равнобедренный треугольник

Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные и равнобедренные.

Чем же эти виды треугольников такие уж особенные?

Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными «действующими лицами» задач ЕГЭ первой части.

А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии.

Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники.

Равнобедренный треугольник — коротко о главном

Определение равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого есть две равные стороны.

Свойства равнобедренного треугольника

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $ \displaystyle \angle A\ =\angle C$;

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой: $ \displaystyle BH$ — высота, медиана и биссектриса.

Признаки равнобедренного треугольника

Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный;

Если в некотором треугольнике совпадают высота и биссектриса или высота и медиана или медиана и биссектриса, проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

Определение равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Посмотри как это выглядит:

Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон.

Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

И снова внимание на картинку:

Может быть, конечно, и так:

Так что будь внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.

Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник?

Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?

Высота равнобедренного треугольника

Высота — это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Итак, провели высоту. Что же получилось?

Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.

Это уже хорошо, но так получится в любом, даже самом «кособедренном» треугольнике.

Тоже два прямоугольных….

Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:

Видишь, два прямоугольных треугольника (Δ. и Δ. ) – одинаковые!

Или, как математики любят говорить? Равные!

Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.

Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.

Доказательство равенства треугольников

Посмотри внимательно, у нас есть:

И, значит, $ \displaystyle AH\text< >=\text< >CH$!

Да мы просто найдём и $ \displaystyle AH$, и $ \displaystyle CH$ из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что $ \displaystyle AB=BC$)

Удостоверились? Ну вот, теперь у нас

А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.

Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Видишь, как интересно? Получилось, что:

Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – делит угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник.

Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать, равнобедренный ли треугольник?

То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?

Признаки равнобедренного треугольника

И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?

Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник –равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании).

Если в каком-то треугольнике высота и медиана, или высота и биссектриса, или биссектриса и медиана, проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание.

Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:

Если совпадают высота и биссектриса, то:

Если совпадают биссектриса и медиана, то:

Ну вот, не забывай и пользуйся:

Как пользоваться признаками равнобедренного треугольника при решении задач

Давай посмотрим, как это выглядит в задачах.

2 задачи на равнобедренный треугольник

Задача 1 (самая простая)

В треугольнике $ \displaystyle ABC$ стороны $ \displaystyle AB$ и $ \displaystyle AC$ равны, а $ \displaystyle \angle BAC=70<>^\circ $.

Найти $ \displaystyle \angle ABC$.

Решение

Что здесь основание? Конечно, $ \displaystyle BC$.

Вспоминаем, что если $ \displaystyle AB=AC$, то и $ \displaystyle \angle B=\angle C$.

Источник

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Равнобедренный треугольник (понятие):

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья неравная им сторона – основанием.

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание,

∠ АВС – вершинный угол, ∠ BАC и ∠ BСA – углы при основании

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним).

Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.

Различают следующие виды равнобедренных треугольников:

– остроугольный – все углы острые;

Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник

2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов равны между собой.

Рис. 3. Равнобедренный треугольник

АН₁ = СН₂ – высота, АМ₁ = СМ₂ – медиана, АL₁ = СL₂ – биссектриса, проведённые из углов при основании

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

ВD – биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию – это один и тот же отрезок

4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане (биссектрисе, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника.

Рис. 5. Равнобедренный треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

Признаки равнобедренного треугольника:

– если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

– если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Формулы равнобедренного треугольника:

Пусть a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b – длина основания, h – высота (биссектриса, медиана) равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, α – углы при основании, β – вершинный угол, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6, 7, 8).

Рис. 6. Равнобедренный треугольник

Формулы длины основания (b):

Формулы длины равных сторон (а):

Формулы углов:

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

Формулы периметра (Р) равнобедренного треугольника:

Рис. 8. Равнобедренный треугольник

Формулы площади (S) равнобедренного треугольника:

Равнобедренный треугольник в природе, технике и культуре:

Рис. 1. Структура молекулы сероводорода

Длина боковой стороны – связи HS = 133,6 пм, а вершинный угол ∠HSH = 92,1°.

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Мировая экономика

Справочники

Востребованные технологии

Поиск технологий

О чём данный сайт?

Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.

Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.

Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!

Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.

О Второй индустриализации

Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.

Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.

Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.

Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.

Источник

Как найти основание равнобедренного треугольника?

Стороны треугольника

Рис. 1. Углы произвольного треугольника.

Видео

Признаки равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник

Существует две теоремы об основании равнобедренного треугольника. Это:

Рис. 2. Равнобедренный треугольник.

Что мы узнали?

Математика Объем прямоугольника – формула расчета

Математика Переместительное свойство сложения – примеры (5 класс, математика)

Источник

Как найти основание равнобедренного треугольника если известен периметр и боковая сторона?

Боковая сторона известна. Вторая боковая сторона имеет то же самое числовое значение, раз треугольник равнобедренный, периметр известен. Что же мешает Вам найти основание? Думаю только то, что Вы не знаете, что периметр треугольника – это сумма всех его трёх сторон:
Р = а + в + с, где Р – периметр, а, в, с – стороны.

Так как в равнобедренном треугольнике две стороны равны, то формула его периметра такова:
Р = 2а + с.

Найти сумму боковых сторон равнобедренного треугольника не составляет труда. Для того чтобы найти основание, следует помнить то, что изучается в начальных классах: чтобы найти одно из слагаемых, надо из суммы вычесть второе слагаемое.

Перевожу: сумма – периметр – Вам известна. Первое слагаемое Вы нашли – это 2а, где а – сторона равнобедренного треугольника. Чтобы найти основание (с), надо из периметра вычесть значение двух сторон равнобедренного треугольника, то есть:
с = Р – 2а.

Допустим, Р = 30 см, а = 12 см, тогда с = 30 – 24, то есть с = 6 (см).

Источник

Равнобедренные треугольники

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

6. В равнобедренном треугольнике:

— биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;

— высоты, проведенные из вершин при основании, равны;

— медианы, проведенные из вершин при основании, равны.

7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.

8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Источник

Как найти основание равнобедренного треугольника по двум сторонам

Треугольник – это геометрическая фигура, которая имеет минимально допустимое для многоугольников число сторон и вершин и следственно является примитивной фигурой, в которой присутствуют углы. Дозволено сказать, что это самый «снисканный» многоугольник в истории математики – он применялся для выведения большого числа тригонометрических функций и теорем. И среди этих элементарных фигур есть больше примитивные и менее. К первым относится равнобедренный треугольник, состоящий из идентичных боковых сторон и основания.

Инструкция

2. Если же вестима только длина всей из боковых сторон (a), то для вычисления длины основания (b) необходима добавочная информация – скажем, величина угла между ними (?). В этом случае дозволено воспользоваться теоремой косинусов, из которой вытекает, что длина стороны треугольника (не неукоснительно равнобедренного) равна квадратному корню из суммы квадратов длин 2-х других сторон, из которой вычтено удвоенное произведение их длин на косинус угла между ними. Потому что в равнобедренном треугольнике длины задействованных a формуле сторон идентичны, то ее дозволено упростить: b = a*?(2*(1-cos(?))).

4. Если помимо длин боковых сторон (a) дана величина угла (?), прилегающего к основанию, то дозволено применить теорему о проекциях: длина стороны равна сумме произведений 2-х других сторон на косинус угла, тот, что всякая из них образует с этой стороной. Потому что в равнобедренном треугольнике эти стороны, как и задействованные углы, имеют идентичную величину, то записать формулу дозволено так: b = 2*a*cos(?).

Совет 2: Как обнаружить длину стороны треугольника по координатам

Геометрические задачи всякого яруса высокого яруса трудности полагают наличия у человека знания решать элементарные задачи. В отвратном случае вероятность приобретения требуемого итога гораздо снижается. Помимо процесса фактически интуитивного нащупывания верного метода, ведущего к надобному вам выводу, вы с необходимостью обязаны уметь рассчитывать площади, знать крупное число вспомогательных теорем, вольно проводить вычисления в координатной плоскости.

Инструкция

3. Обращайте внимание на некоторые характерные элементы данные, которые содержат в себе подсказку. К примеру, в тексте может быть упомянуто, что вершина треугольника лежит на одной из осей (что теснее дает вам информацию об одной из координат), проходит через предисловие координат. Все это значимо выписать, дабы владеть полной информацией.

4. Не забывайте о формулах, дозволяющих выразить стороны треугольника через другие его элементы, а также о существующих пропорциональных отношениях. К числу минимальных вспомогательных уравнений, которые вам сгодятся, относятся формулы для нахождения высоты, медианы и биссектрисы треугольников. Помимо того, запомните, что две стороны треугольника находятся в таком же отношении друг к другу, как и отрезки, на которые разбивает биссектриса, проведенная к третьей его стороне.

5. Будьте готовы к тому, что если вы используете в решении те либо иные формулы либо теоремы, вас могут попросить подтвердить их либо описать процедуру итога.

Источник

Как найти основание равнобедренного треугольника?

В категории Естественные науки Спросил Fearlessfire

2 Ответов 28078 Просмотров 1 месяц назад

Для добавления вопроса на сайт, блог или форум просто скопируйте и вставьте в html код:

Основание равнобедренного треугольника можно найти по следующей формуле

;

Ответил Anna Shakhmina 1 месяц назад

Смотря, что дано в данном треугольнике. Если в равнобедренном треугольнике дана сторона и угол, который находится напротив основания, то можете провести из этого угла высоту треугольника. В результате, по свойству равностороннего треугольника вы получите два равных прямоугольника.

В этом прямоугольнике один из катетов будет половиной основания, а угол, напортив него, половиной заданного угла. Гипотенузой прямоугольного треугольника, будет известная нам сторона равностороннего треугольника.

Есть правило в тригонометрии: катет прямоугольного треугольника равен гипотенузе, умноженной на синус угла, противолежащего этому катету.

Найдите половину основания, умножив величину гипотенузы (сторона равностороннего треугольника) на синус половины угла, противолежащего основанию. Увеличив полученную величину в два раза, вы получите искомое основание. Удачи!

Источник

Как найти основание равнобедренного треугольника?

следовательно с (основание) будет равно:

Чтобы найти основание равнобедренного треугольника, необходимо вспомнить геометрию.

Основание можно найти применив теорему Пифагора по формуле:

Чтобы понять, как правильно решать, вот примерная задача:

А вот решение для задачи:

Вариант 1

Если известно, чему равна боковая сторона, а также высота, опущенная на основание.

Можно по теореме Пифагора найти половину основания, а затем это значение умножить на 2.

Вариант 2

Если известно, чему равна боковая сторона и один из углов.

Нужно воспользоваться теоремой синусов:

a/sinα = b/sinβ = c/sinγ.

c = (a*sinγ)/sinα.

При решении задач с равнобедренным треугольником нужно использовать свойства как равнобедренного треугольника, так и прямоугольного, поскольку высота равнобедренного треугольника делит его на 2 одинаковых прямоугольных.

Основание равнобедренного треугольника ищется, когда есть какие-то исходные данные. Например известны сторона и угол. Тогда поступаем следующим образом:

Находим третий угол ( 180 градусов минус сумму двух углов) и используем теорему косинусов:

Какие же свойства имеет равнобедренный треугольник, которые помогут нам найти его основание?

Углы при основании у равнобедренного треугольника равны между собой.

Высота, которую мы опускаем с верхнего угла на основание одновременно является и биссектрисой и медианой.

Используя эти свойства, мы для нахождения основания можем использовать следующие формулы:

Так же нам может помочь в решении теорема синусов.

Для начала нужно понять, что такое равнобедренный треугольник, таким треугольником называют треугольник у которого две стороны равны. Ниже рисунок такого треугольника:

К сожалению нет данных в вопросе. Например, если задана площадь и высота ВH. Тогда основание (на рисунке выше сторона АС) будет равна площадь разделить на высоту BH и умножить на 0,5.

Если же нам известна одна сторона и высота треугольника, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Ниже представлена формула, по которой можно вычислить основание:

Возможно и другие варианты, например, если известна сторона и угол, тогда можно воспользоваться теоремой косинусов или синусов.

Можно найти для начала значение половины основания, а затем умножить это значение на два. Смысл в том, что мы опускаем на основание из противоположного угла высоту (она в равнобедренном треугольнике совпадает с биссектрисой и медианой), получается два прямоугольных треугольника. Вспоминаем теорему Пифагора, вычисляем разницу между гипотенузой и высотой, извлекаем корень. Конечно, в этом случае по условиям задачи нам должно быть известно значение высоты.

Если же известно значение боковой стороны и противоположного основанию угла, то легче всего пойти через формулу синусов:

Также можно воспользоваться формулой косинусов:

В задачах такого типа всегда даётся вариант, где у вас известен один угол, если вы знаете одну сторону угла равнобедренного треугольника. То вы умножаете значения на два угла и высоту равнобедренного треугольника. Таким образом вы получите чему равно основание этого треугольника.

Бисектриса тоже может вам помоч.

Чему равняется основание возможно узнать, если у нас есть данные чему равна одна боковая сторона (а вторая боковая будет равняться также) и высота. В этом случае воспользуемся такой формулой:

Но также можно решить эту задачку и другим способом, для этого должны знать чему равняется боковая сторона и один из углов.

Медиаторы бывают разные по толщине, форме. Есть даже металлические. Есть фирменные и именные. На концертных выступлениях разных групп, в микрофонной стойке они встроены в рядок, чтобы играющий мог брать, если потеряет, или уронит, или вдруг медиатор лопнет. Что бывает нередко.

В домашних условиях легко изготовить медиатор из старой кредитной карты. А раньше, в дикой молодости, мы вырезали их из крышек для банок. Дешево и сердито))

В продаже на али, я видел специальный компостер, или степлер, или корректнее, такой дырокол, позволяющий сразу пробивать медиатор из карты. Очень удобно, я считаю.

Кто-то даже коллекционирует медиаторы, покупая их в разных музыкальных магазинах мира.

Если ваша лучшая подружка пристает к вашему избраннику, то вы уверены, что она вам подружка, тем более лучшая? А делать ничего наверное не стоит,ну желательно конечно отдалить «подружку» от вашего дома и от вас, просто потому что это дружбой ну никак нельзя назвать. Если ваш избранник никак на это не реагирует, то замечательно, если реагирует, задам тот же вопрос, а вы уверенны, что он ваш избранник?

Источник

Основание равнобедренного треугольника, с примерами

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные треугольники и равнобедренные треугольники. Чем же эти виды треугольников такие уж особенные? Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными действующими «лицами» задач ЕГЭ первой части.

А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии. Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники.

И прежде всего, что же такое – равнобедренный треугольник. Или, как говорят математики, каково определение равнобедренного треугольника?

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Посмотри, как это выглядит:

Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон. Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

И снова внимание на картинку:

Может быть, конечно, и так:

Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник? Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?

Как найти основание равнобедренного треугольника

Это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне. Итак, провели высоту.

Что же получилось? Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.

Это уже хорошо, но так получится в любом, самом «кособедренном» треугольнике.

Тоже два прямоугольных….

Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:

Видишь, два прямоугольных треугольника ( и ) – одинаковые! Или, как математически любят говорить? равные!

Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.

Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.

Начнём? Посмотри внимательно, у нас есть:

(ещё говорят, — общая)

Видишь, как интересно? Получилось, что:

Как же об этом принято говорить у математиков? Давай по порядку:

(Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник. Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать равнобедренный треугольник? То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?

I. Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник – равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании).

II. Если в каком-то треугольнике

Если совпадают высота и биссектриса, то: Если совпадают биссектриса и медиана, то:

Ну вот, не забывай и пользуйся:

Давай посмотрим, как выглядит в задачах.

Задача 1 (самая простая)

Несложно, правда? Даже высоту проводить не пришлось.

Задача 2 (Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему «Прямоугольный треугольник»)

Решаем:

Треугольник-то — равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).

Заметим, что нам тут очень потребовались знания, касающиеся прямоугольного треугольника и «табличных» синусов и косинусов. Очень часто так и бывает: темы «Прямоугольный треугольник», «Равнобедренный треугольник» и «Основные формулы тригонометрии» в задачках ходят в связках, а с другими темами не слишком дружат.

Равнобедренный треугольник. Средний уровень

Свойства равнобедренного треугольника:

Значит, у них равны все соответствующие элементы.

Всё! Одним махом (высотой ) доказали сразу все утверждения.

И ты запомни: чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Признаки равнобедренного треугольника

Верны и обратные утверждения:

Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».

– как прямоугольные по катету и острому углу.

Доказали, что – равнобедренный.

2. a) Теперь пусть в каком–то треугольнике совпадают высота и биссектриса.

2. б) А если совпадают высота и медиана? Все почти так же, ничуть не сложнее!

— по двум катетам

2. в) А вот если нет высоты, которая опущена на основание равнобедренного треугольника, то нет и никаких изначально прямоугольных треугольников. Плохо!

Равнобедренный треугольник. Краткое описание и основные формулы

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого есть две равные стороны.

Свойства равнобедренного треугольника:

Признаки равнобедренного треугольника:

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

можно кликнув по этой ссылке.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

Равнобедренный треугольник (понятие):

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник

2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов равны между собой.

Рис. 3. Равнобедренный треугольник

АН1 = СН2 – высота, АМ1 = СМ2 – медиана, АL1 = СL2 – биссектриса, проведённые из углов при основании

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

ВD – биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию – это один и тот же отрезок

Рис. 5. Равнобедренный треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

Признаки равнобедренного треугольника:

Формулы равнобедренного треугольника:

Рис. 6. Равнобедренный треугольник

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

Рис. 8. Равнобедренный треугольник

карта сайта

Свойства и признаки равнобедренного треугольника

На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Признаки, составляющие элементы и свойства равнобедренного треугольника :

Первые историки нашей цивилизации – древние греки — упоминают Египет как место зарождения геометрии. Трудно с ними не согласиться, зная, с какой потрясающей точностью возведены гигантские усыпальницы фараонов. Взаимное расположение плоскостей пирамид, их пропорции, ориентация по сторонам света – достичь такого совершенства было бы немыслимо, не зная основ геометрии.

Само слово «геометрия» можно перевести как «измерение земли». Причём слово «земля» выступает не как планета – часть Солнечной системы, а как плоскость. Разметка площадей под ведение сельского хозяйства, скорее всего, и является самой изначальной основой науки о геометрических фигурах, их видах и свойствах.

Треугольник – самая простая пространственная фигура планиметрии, содержащая всего три точки — вершины (меньше не бывает). Основа основ, может быть, оттого и мерещится в нём нечто таинственное и древнее.

Всевидящее око внутри треугольника – один из самых ранних из известных оккультных знаков, причём география его распространения и временные рамки просто поражают воображение.

От древних египетской, шумерской, ацтекской и других цивилизаций до более современных сообществ любителей оккультизма, разбросанных по всему земному шару.

Какими бывают треугольники

Обычный разносторонний треугольник – это замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков разной длины и трёх углов, ни один из которых не является прямым. Кроме него, различают несколько особых видов.

Треугольник остроугольный имеет все углы величиной менее 90 градусов. Иными словами – все углы такого треугольника острые.

Прямоугольный треугольник, над которым во все времена плакали школьники из-за обилия теорем, имеет один угол с величиной 90 градусов или, как его ещё называют, прямой.

Тупоугольный треугольник отличается тем, что один из его углов тупой, то есть величина его — более 90 градусов.

Равносторонний треугольник имеет три стороны одинаковой длины. У такой фигуры равны также все углы.

И наконец, у равнобедренного треугольника из трёх сторон две равны между собой.

Отличительные особенности

Свойства равнобедренного треугольника определяют и его основное, главное, отличие – равенство двух сторон. Эти равные друг другу стороны принято называть бёдрами (или, чаще, боковыми сторонами), ну а третья сторона носит название «основание».

Третий признак. В треугольнике различают такие элементы, как высота, биссектриса и медиана.

Если в процессе решения задачи выясняется, что в рассматриваемом треугольнике два любых из этих элементов совпадают: высота с биссектрисой; биссектриса с медианой; медиана с высотой — однозначно можно делать вывод, что треугольник равнобедренный.

Геометрические свойства фигуры

1. Свойства равнобедренного треугольника. Одним из отличительных качеств фигуры является равенство углов, прилежащих к основанию:

Стороны равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник имеет две равные по значению боковые стороны a и основание b. Это позволяет рассчитать любые параметры треугольника, необходимые для решения задачи. Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне в сумме с основанием. (рис.88.1)
P=2a+b

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, с половиной основания в качестве второго катета и боковой стороной как гипотенузой. Такая высота одновременно является и медианой и биссектрисой. Найти ее можно по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника. (рис.88.2)
h_b=m_b=l_b=√(a^2-(b/2)^2 )=√(4a^2-b^2 )/2

Остальные две высоты равны друг другу и считаются через формулу с произведением разностей полупериметров и сторон, где приравнены боковые стороны. (рис.88.8)
h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a

Медиана и биссектриса, опущенные на основание, вычисляются по формуле высоты, приведенной выше, а оставшиеся две медианы (равно как и две биссектрисы) равны друг другу, поскольку строятся на равных боковых сторонах. Вычислить медиану можно, упростив формулу произвольного треугольника. (рис. 88.3)
m_a=√(2a^2+2b^2-a^2 )/2=√(a^2+2b^2 )/2

В формуле биссектрисы аналогично приравниваются боковые стороны, и ее становится возможным вычислить по упрощенной схеме. (рис. 88.4)
l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a) )/(a+b)=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)

Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна его половине, а средние линии, параллельные боковым сторонам, равны между собой и также равны половинам самих боковых сторон. (рис. 88.5)
M_b=b/2
M_a=a/2

Радиус окружности, вписанной в равнобедренной треугольник, является производной формулы для произвольного треугольника, и рассчитать его можно, зная боковую сторону и основание. (рис. 88.6)
r=b/2 √((2a-b)/(2a+b))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы и выглядит упрощенно следующим образом. (рис. 88.7)
R=a^2/√(4a^2-b^2 )

Источник

Стороны равнобедренного треугольника

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны в таком треугольнике называются боковыми, третья — основанием. Периметр равнобедренного треугольника (Р) будет равен сумме двух одинаковых боковых сторон (а) и основания (b):

Р = 2а + b

Против равных сторон лежат равные углы. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к его основанию, называется высотой равнобедренного треугольника. Проведенные к основанию биссектриса, медиана и высота совпадают между собой, делят треугольник на 2 равных прямоугольных треугольника, гипотенузой которых будет боковая сторона (а), а катетами — высота (h) и половина основания равнобедренного треугольника (b/2). По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов, в нашем случае квадрат боковой стороны а (как гипотенузы) равен сумме половины основания (b/2), возведенного в квадрат, и высоте h в квадрате:

а 2 = (b/2) 2 +h 2

Отсюда, боковая сторона будет равна корню из суммы половины основания в квадрате и высоты, также возведенной в квадрат:

где а — боковая сторона, b/2 — половина основания, h — высота.

Если в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза (в нашем случае это боковая сторона равнобедренного треугольника — а) и один из катетов (высота h), неизвестный катет находим, воспользовавшись теоремой Пифагора. Заметим, что неизвестный катет является половиной основания равнобедренного треугольника (b/2). Тогда, квадрат катета прямоугольного треугольника равен квадрату гипотенузы минус квадрат другого катета:

(b/2) 2 = a 2 — h 2

Половина основания треугольника (b/2) равняется корню квадратному из квадрата гипотенузы минус квадрат другого катета:

где b/2 — половина основания, а — боковая сторона, h — высота.
Умножив полученный результат на 2, находим всю длину основания.

Источник

Стороны равнобедренного треугольника

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 154.

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 154.

Стороны равнобедренного треугольника найти достаточно просто – нужно лишь выработать навык и научиться пользоваться теоремами об этой фигуре, которых не так много. Поговорим о каждой из сторон треугольника и способах определения отдельно.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – это треугольник, две стороны которого равны, а третья является основанием.

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

Только в равнобедренном треугольнике основание имеет реальное практическое применение. Для лучшего визуального восприятия фигуры стоит располагать чертеж так, чтобы основание располагалось внизу. Это не принципиальный вопрос и иногда решение вынуждает нас располагать фигуру иначе, но если есть возможность, то стоит поместить основание внизу фигуры.

Свойства равнобедренного треугольника

Свойств равнобедренного треугольника не так много. В решениях школьных задач даже старших классов используется всего 3 свойства:

Этих свойств вполне достаточно, чтобы использовать стиль решения неприменимый для любого другого треугольника.

Рис. 2. Свойство равнобедренного треугольника

Стороны равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник отличается от остальных фигур тем, что достаточно двух показателей, из которых хотя бы один должен быть стороной, чтобы решить весь треугольник.

Например, если известна боковая сторона и угол при основании, то можно провести медиану, она совпадет с биссектрисой и высотой, разбив треугольник на два малых равных между собой прямоугольных треугольников.
В этих треугольниках известна гипотенуза, которая является одновременной боковой стороной равнобедренного треугольника и угол при ней. Значит, через тригонометрическую функцию известного угла, т.е. через синус или косинус, можно найти каждый из катетов.

Один из катетов является биссектрисой, высотой и медианой. Второй – половиной основания. Почему половиной? Потому что часть отрезка, которая является катетом, отсекается от основания отрезком, который можно считать медианой. А медиана это отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

Тригонометрическую функцию известного угла можно определить по таблицам Брадиса. В этих таблицах рассчитаны значения для всех существующих целых и промежуточных углов.

Как найти оставшийся третий угол? С помощью все тех же тригонометрических функций. В малом прямоугольном треугольнике известен один угол, который является при этом углом при основании равнобедренного треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равняется 90 градусам, то есть вычитаем известное значение из 90 и получаем половину угла напротив основания.

Почему половину? Потому что высота, которая образовала два равных прямоугольных треугольника, является одновременно и биссектрисой. Поэтому полученное значение нужно умножить на два и получить результат.

Рис. 3. Высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник нельзя решить, если:

Во всех остальных случаях треугольник можно решить. Зачем знать варианты, когда решение точно невозможно? Чтобы не попасть в ловушку нерешаемых задач. Такие редко, но встречаются. Предоставляя их к решению, составители проверяют уровень знаний учеников о фигуре.

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое равнобедренный треугольник, выделили основные его свойства и поговорили о формулах сторон равнобедренного треугольника.

Источник

Высота равнобедренного треугольника

Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.

Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:

Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.

Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрощенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:

Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне

Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.

Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sin⁡α

Формула через боковую сторону и угол напротив основания β:

Формула через основание и угол при нем α:

через основание и угол противолежащий ему β:

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, обратное не верно.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже познакомились с такими понятиями как треугольник, рассмотрели его виды.

Рассмотрим такие виды треугольников: как равнобедренные и равносторонние, более подробно. Начнём с описания равнобедренного треугольника. Но для начала, дадим ему определение.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.

AB и BC – боковые стороны ∆ABC.

AC – основание ∆ABC.

Если третья сторона равна двум другим, то любая сторона может быть основанием.

Теперь рассмотрим треугольник, у которого все стороны равны. Такой треугольник называется равносторонним.

Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теперь сформулируем теорему о биссектрисе, медиане и высоте равнобедренного треугольника, проведённых к основанию.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой треугольника.

BC– основание ΔABC

AF– биссектриса ΔABC

Доказать: AF – медиана и высота.

Справедливы и следующие утверждения.

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

А медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

BC– основание ΔABC

AF – медиана ∠ВАС ΔABC

Доказать: AF – биссектриса и высота ΔABC.

∆ABF = ∆ACF т. к. ∠В = ∠С (по свойству равнобедренного треугольника); BF = CF (по определению медианы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника) → ∠BАF = ∠FАC (как соответствующие элементы равных треугольников) => AF ‑ биссектриса ΔABC (по определению биссектрисы треугольника).

∠AFB = ∠AFC как соответствующие элементы равных треугольников, но их сумма равна 180 (по свойству развернутого угла).

∠AFB = ∠AFC = 90° →AF – высота треугольника (по определению высоты треугольника).

Сегодня мы узнали, что такое равнобедренный, равносторонний треугольник, рассмотрели свойства равнобедренного треугольника.

Разберем задачу на доказательство.

Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие: «медиана равнобедренного треугольника».

На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AM – медиана, при этом AM = BM. Докажем, что угол А равен сумме двух других углов ∆ABC.

По условию AМ = ВМ → ∆АВМ – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника)→ ∠МВА = ∠ВАМ (по свойству равнобедренного треугольника).

Т. к. АМ – медиана ∆ABC и AМ = ВМ → AМ = ВМ = СМ → ∆АМС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) → ∠МСА = ∠ВАС (по свойству равнобедренного треугольника).

Получаем, что ∠А = ∠ВАС + ∠ВАМ = ∠МВА + ∠МСА = ∠В + ∠С.

Что и требовалось доказать.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 50 см, боковая сторона AC на 4 см больше основания BC. Найдите основание треугольника.

Решение: Пусть х – основание ВС треугольника АВС, тогда АС = АВ (как боковые стороны равнобедренного треугольника).

АС = АВ = х + 4 (по условию).

Периметр треугольника АВС равен сумме всех его сторон, т. е. 50 см = АС + ВС + АВ,

50 = (х + 4) + (х + 4) + х,

х = 14 см – основание BC.

На рисунке изображён равнобедренный треугольник ABC. AC – основание треугольника, ∠1 = 120. Найдите ∠2.

Решение: ∠1 и ∠АСВ – смежные →∠1 + ∠АСВ = 180, значит:

∠АСВ = 180 – 120 = 60

АВС – равнобедренный, значит: ∠ВАС = ∠АСВ = 60 (углы при основании равнобедренного треугольника равны).

Источник

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны между собой.

Свойства равнобедренного треугольника

1. Углы при основании равны

2. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой

3. Углы при основании равнобедренного треугольника вычисляются по следующей формуле:

где – угол напротив основания.

4. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов при основании равны между собой

5. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане=высоте=биссектрисе, проведенной к основанию

Признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

2. Если в треугольнике медиана является и высотой (биссектрисой), то такой треугольник равнобедренный.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Равнобедренный треугольник: определение, теорема о свойстве высоты

Что такое равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется тот треугольник, в котором две стороны равны.

Равные стороны называются боковыми, а третья – основанием.

Признаки равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника

Свойство первое

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Дан равнобедренный ΔABC, в котором AB = AC. К его основанию проведена биссектриса AD.

Так как AD является биссектрисой, соответственно, угол ∠1 будет равен углу ∠2. Сторона AD – общая для ΔADB и ΔADC. Следовательно, они равны по первому признаку. Тогда верно утверждение, что угол ∠B равен углу ∠C.

Свойство второе

В равнобедренном треугольнике биссектриса, опущенная к основанию, является медианой и высотой.

Дан равнобедренный ΔABC, в котором AB = AC. К его основанию проведена биссектриса AD.

Так как AD является биссектрисой, соответственно, угол ∠1 будет равен углу ∠2. Сторона AD – общая для ΔADB и ΔADC. Тогда эти треугольники равны по первому признаку. Тогда BD = DC. Следовательно, AD – медиана.

Сумма углов треугольника равна 180°, то есть ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Так как AD – биссектриса, то угол ∠A = 2*∠1.

В ΔACD ∠CDA + ∠1 + ∠2 = 180°, следовательно, ∠CDA = 90°.

Тогда AD – высота.

Свойство третье

В равнобедренном треугольнике медианы (соответственно, высоты и биссектрисы), проведенные из вершин при основании, равны.

Дан равнобедренный ΔABC, в котором AB = AC.

∠BAT = ∠BCM, так как AT и MC – биссектрисы равных углов. ∠B – общий для ΔABT и ΔCBM. Следовательно, ΔABT и ΔCBM равны по второму признаку. Тогда AT = CM.

Источник

Основание треугольника – уравнение

Стороны треугольника

Иногда в решении указывают углы при основании произвольного треугольника. Это не совсем верно, поскольку в произвольном треугольнике все углы равнозначны, а значит не имеет смысла выделять углы при основании. Выделяются только углы при основании равнобедренного треугольника.

Рис. 1. Углы произвольного треугольника.

Равнобедренный треугольник

Существует две теоремы об основании равнобедренного треугольника. Это:

Рис. 2. Равнобедренный треугольник.

Равносторонний треугольник

Рис. 3. Равносторонний треугольник.

Существует формула, где часто упоминается слово основание. Это формула площади, которая равна половине произведения основания треугольника на высоту, проведенную к этому основанию. Но в качестве основания может быть принята любая сторона, главное, чтобы именно на нее падала высота. Поэтому и в этом случае выбор стороны треугольника, которую можно считать основанием, некритичен.

Что мы узнали?

Источник