Как сделать каноническую матрицу
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Правила форума
Преобразование матрицы к каноническому виду
 |
Последний раз редактировалось Mikle1990 12.09.2013, 12:37, всего редактировалось 1 раз.
Я пытался в Интернете найти информацию о том, как это сделать. Нашёл, но так и не смог разобраться.
Дополнительная информация:
1. Единственные ненулевые элементы матрицы в ее каноническом виде – это единицы. Если они присутствуют, то располагаются на главной диагонали.
2. (из методички): Данную матрицу можно преобразовать к каноническому виду путём суммирования строк (по модулю 2) и перестановки строк местами.
Я пробовал суммировать строки и менять их местами. После 4-ёх подобных действий у меня в матрицы стало всего на один «0» больше.
| Заслуженный участник |
|
|
Последний раз редактировалось Mikle1990 12.09.2013, 13:44, всего редактировалось 3 раз(а).
У меня получилась вот такая матрица:
| Заслуженный участник |
 |
|
| Заслуженный участник |
|
|
|
Последний раз редактировалось Mikle1990 12.09.2013, 14:56, всего редактировалось 4 раз(а).
Вопрос в том, знаете ли вы как преобразовать данную матрицу к каноническому виду или нет.
А что касается остальных вещей, то это здесь врядли вам поможет.
Но всё таки..
Речь идёт о циклическом коде.
Длина кода 
(это кол-во столбцов матрицы)
Образующий полином 
(в двоичном виде: 
)
Количество строк 
(длина кода минус степень полинома, т.е. 
)
В учебнике про это ни слова не сказано. А в методичке дана похожая матрица и написано: «Полученную матрицу можно преобразовать к каноническому виду путём суммирования строк (по модулю 2) и перестановки строк местами».
Многие из вас очень привыкли, что речь всегда идёт о десятичной системы счисления. Здесь же речь идёт о двоичной.
Единственное, что мне приходит на ум это «Транспонировать матрицу, а потом, путём сложения строк, привести её к каноническому виду».
|
Здесь всё знают, кроме того что такое канонический вид, скажите нам что это такое
|
| Заслуженный участник |
 |
 |
Последний раз редактировалось tavrik 13.09.2013, 19:34, всего редактировалось 1 раз.
| Заслуженный участник |
|
| Заслуженный участник |
|
|
Последний раз редактировалось Mikle1990 13.09.2013, 19:59, всего редактировалось 1 раз.
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Приведение матрицы к каноническому виду
|
| Заслуженный участник |
 |
| Заслуженный участник |
|
| Заслуженный участник |
 |
При таких преобразованиях от матрицы ничего не останется кроме определителя:)
Если же просто решаете с.л.у. методом Гаусса, то вычитайте из третьей строки три первых, а потом 13 вторых и получите
|
| Заслуженный участник |
|
— умножение строки на ненулевое число;
— прибавление к строке другой строки, умноженной на число;
— перестановка строк;
— аналогичные действия со столбцами.
| Заслуженный участник |
|
| Заслуженный участник |
|
— умножение строки на ненулевое число;
— прибавление к строке другой строки, умноженной на число;
— перестановка строк;
— аналогичные действия со столбцами.
|
| Заслуженный участник |
|
Если нельзя, но очень хочется, то можно.
А что действительно нельзя, так это в общем случае получить буквально заказанную матрицу (диагональную с нулями и единицами на диагонали) с помощью только строковых операций (если исходная матрица вырождена).
| Заслуженный участник |
|
Если матрица приводится к указанному Вами виду, то у нее должен быть нулевой определитель как минимум
Не пишите так. А то изучающий метод Гаусса решения с.л.у. подумает, что и впрямь столбцы можно переставлять
| Заслуженный участник |
|
Хорошо, во избежание недоразумений добавлю.
Желательно этого по возможности избегать. Но, с другой стороны, если это допустить, то логическая структура метода Гаусса становится проще (для вырожденных матриц).
|
| Заслуженный участник |
|
|
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
Канонический вид ортогонального преобразования евклидова пространства
Рассмотрим инвариантные подпространства ортогонального преобразования евклидова пространства. По теореме 9.4 линейное преобразование вещественного пространства имеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство. Выясним геометрический смысл сужения ортогонального преобразования на инвариантное подпространство.
Поэтому несобственное ортогональное преобразование имеет два одномерных инвариантных подпространства (см. пункт 1).
Теорема (9.9) о каноническом виде ортогонального преобразования
Приведение ортогонального преобразования к каноническому виду
Задача приведения ортогонального преобразования к каноническому виду формулируется следующим образом: требуется найти базис (канонический), в котором матрица ортогонального преобразования имеет канонический вид (9.20). Для приведения ортогонального преобразования к каноническому виду нужно выполнить следующие действия.
Нахождение канонического вида ортогонального преобразования ( первый этап ).
1. Выбрать базис [math]\boldsymbol
2. Составить характеристическое уравнение [math]\det(A-\lambda E)=0[/math] и найти различные его корни [math]\lambda_1,\ldots, \lambda_k[/math] (а также их алгебраические кратности).
3. Записать блочно-диагональную матрицу (9.20) канонического вида ортогонального преобразования:
— каждый действительный корень [math]\lambda_1[/math] кратности [math]n_1[/math] поместить на главной диагонали [math]n_1[/math] раз;
Нахождение канонического базиса ( второй этап ).
1. Собственные векторы ортогональной матрицы, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.
2. Из пункта 1 следует, что для получения ортонормированного базиса достаточно ортонормировать отдельно каждую группу векторов, получаемых в пункте 4 или пункте 5 алгоритма, причем по свойству 8 столбцы [math]x_j,y_j[/math] в пункте 5 будут ортогональными.
3. Матрицу вида (9.20) можно представить в виде произведения матриц, каждая из которых есть либо матрица [math]\operatorname
Решение. Первый этап. Нахождение канонического вида преобразования.
2. Составляем характеристическое уравнение
Уравнение имеет три простых (кратности 1) корня: один действительный [math]\lambda_1=1[/math] и пару комплексных сопряженных [math]\lambda_<2,3>= \frac<1><2>\pm\frac<\sqrt<3>><2>\,i,
Выделяем действительную и мнимую части:
Нормируя столбцы, поделив координаты вектора [math]\boldsymbol
6. Записываем полученные в пункт 4, 5 столбцы [math]s_1,\,s_2,\,s_3[/math] в искомую матрицу перехода
Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:
I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.
II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.
III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.
Элементарные преобразования применяются для упрощения матриц, что будет в дальнейшем использоваться для решения разных задач.
Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду
Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.
1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля ( ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом ( ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.
2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.
3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).
4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.
Пример 1.29. Привести к ступенчатому виду матрицы
Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2):
Первый столбец и первую строку исключаем из рассмотрения. В оставшейся части матрицы имеется один элемент (-2), который выбираем в качестве ведущего. Разделив последнюю строку на ведущий элемент, получаем матрицу ступенчатого вида
Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя. Заметим, что получившаяся матрица является верхней треугольной.
Пункт 3 алгоритма делать не надо, так как под ведущим элементом стоит нуль. Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец. В оставшейся части ведущий элемент — число 2. Разделив ведущую строку (вторую) на 2, получаем ступенчатый вид:
Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя.
Ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на (-3) и на (-6) соответственно:
Обратим внимание на то, что полученная матрица еще не является матрицей ступенчатого вида, так как вторую ступеньку образуют две строки (2-я и 3-я) матрицы. Исключив 1-ю строку и 1-й столбец, ищем в оставшейся части ведущий элемент. Это элемент (-1). Делим вторую строку на (-1), а затем к третьей строке прибавляем ведущую (вторую), умноженную на 5:
Исключим из рассмотрения вторую строку и второй столбец. Поскольку исключены все столбцы, дальнейшие преобразования невозможны. Полученный вид — ступенчатый.
1. Говорят, что матрица имеет ступенчатый вид также и в случае, когда на месте ведущих элементов (обозначенных на рис. 1.4 единицей) стоят любые отличные от нуля числа.
2. Считается, что нулевая матрица имеет ступенчатый вид.
Пример 1.30. Привести к ступенчатому виду матрицу
Решение. Первый столбец матрицы — нулевой. Исключаем его из рассмотрения и исследуем оставшуюся часть (последние 5 столбцов):
Вторую строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Берем элемент в качестве ведущего. Делим третью строку на число 2 (умножаем на 0,5):
К четвертой строке прибавляем третью, умноженную на (-2):
Третью строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку в оставшейся части матрицы все элементы (один) нулевые, преобразования закончены. Матрица приведена к ступенчатому виду (см. рис. 1.4).
Замечание 1.9. Продолжая выполнять элементарные преобразования над строками матрицы, можно упростить ступенчатый вид, а именно привести матрицу к упрощенному виду (рис. 1.5).
Здесь символом 1 обозначены элементы матрицы, равные единице, символом * — обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. Заметим, что в каждом столбце с единицей остальные элементы равны нулю.
Пример 1.31. Привести к упрощенному виду матрицу
Решение. Матрица имеет ступенчатый вид. Прибавим к первой строке третью, умноженную на (-1), а ко второй строке третью, умноженную на (-2):
Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на (-1). Получим матрицу упрощенного вида (см. рис. 1.5):
Замечание 1.10. При помощи элементарных преобразований (строк и столбцов) любую матрицу можно привести к простейшему виду (рис. 1.6).
Пример 1.32. Привести матрицу к простейшему виду.
Умножим все элементы последнего столбца на (-1) и переставим его на место второго:
Таким образом, исходная матрица при помощи элементарных преобразований приведена к простейшему виду (см. рис. 1.6).
Свойства элементарных преобразований матриц
Следствие (о приведении матрицы к простейшему виду). Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк и столбцов можно привести к простейшему виду.
2. В теореме 1.1 говорится о приведении матрицы к ступенчатому (упрощенному) виду при помощи элементарных преобразований только ее строк, не используя преобразования ее столбцов. Чтобы привести произвольную матрицу к простейшему виду (следствие теоремы 1.1), нужно использовать преобразования и строк, и столбцов матрицы.
3. Рассмотрим следующую модификацию пункта 3 метода Гаусса. Ведущий элемент, выбранный в п. 1 метода Гаусса, определяет ведущую строку и ведущий столбец матрицы (он находится на их пересечении). Делим все элементы ведущей строки на ведущий элемент (см. п.2 метода Гаусса). Прибавляя ведущую строку, умноженную на соответствующие числа, к остальным строкам матрицы (аналогично п.3 метода Гаусса), делаем равными нулю все элементы ведущего столбца, за исключением ведущего элемента. Затем, прибавляя полученный ведущий столбец, умноженный на соответствующие числа, к остальным столбцам матрицы, делаем равными нулю все элементы ведущей строки, за исключением ведущего элемента. При этом получаем ведущие строку и столбец, все элементы которых равны нулю, за исключением ведущего элемента, равного единице.