Как сделать лист мебиуса видео
Удивительный лист Мёбиуса
Таинственный и волшебный лист Мёбиуса придумал в 1858 году немецкий математик Август Мёбиус. Лист или лента Мёбиуса – удивительный математический объект, который вызывает истинное восхищение не только у детей, но и у взрослых.
Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности 
, так как, находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.
Лента Мёбиуса: что это?
Лента Мёбиуса — это простейшая односторонняя поверхность с краем. Она представляет собой ленту, повернутую одним концом на полоборота (то есть на 180 градусов) и скрепленную с его другим концом. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.
Лента Мебиуса обладает определенными свойствами:
Односторонность. Если двигаться по поверхности Ленты Мебиуса в одном направлении, не пересекая ее границ, то попадаешь в место, перевернутое по отношению к исходному.
Непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой.
Связность. Если разрезать лист Мёбиуса вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.
Удивительно, но ленту Мёбиуса легко сделать своими руками. Удобно сделать это из бумаги и с помощью несложных фокусов убедиться в её волшебных свойствах.
Лента Мёбиуса: как сделать из бумаги
Для этого приготовьте лист бумаги, ножницы и карандаш. Затем:
То, что получилось в результате, и есть лента Мёбиуса.
И действительно: простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить.
Для этого можно проделать удивительные, но простые фокусы с использованием ленты Мёбиуса.
Фокус №1
Проведём карандашом или фломастером линию-дорожку посередине листа Мёбиуса вдоль всей его длины. Удивительно, но линия оказалась и внутри и снаружи!
Фокус №2
А теперь закрасим полностью только одну сторону листа. Лист оказался закрашенным полностью! Почему? Ведь лист никто не переворачивал, чтобы закрасить с другой стороны? Лист Мёбиуса имеет одну поверхность. Внешняя и внутренняя стороны по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга.
Фокус №3
А теперь возьмём ножницы и попросим ребёнка разрезать ленту по центральной линии-дорожке, которую нарисовали в фокусе №1. Что получилось? Правильно, не два отдельных кольца, а одна длинная замкнутая полоска, перекрученная дважды. Её ещё называют «афганской лентой».
Фокус №4
Полученную, после первого разреза, «афганскую» ленту, разрежем посередине вдоль центральной линии. У вас в руках окажутся две одинаковые, сцепленные между собой ленты Мёбиуса.
Фокус №5
Для выполнения этого фокуса понадобится новая лента Мёбиуса. Опять нужно нарисовать на ней линию-дорожку, но не посередине, а ближе к краю. Что получится, если разрезать лист Мёбиуса таким образом? Удивительно, но на этот раз получаем два колечка, причём сцеплённых между собой.
Фокус №6
Сделайте ленту Мёбиуса, но перед склейкой поверните её не один раз, а три раза. Затем разрежьте её вдоль центральной линии. Получится замкнутая лента, завитая в узел трилистника.
Фокус №7
Склеиваем две ленты Мёбиуса, переворачивая полоски в одну и ту же сторону, перпендикулярно друг другу. Разрежем по продольным центральным воображаемым линиям. Получаются одно кольцо, похожее на сердце и одно кольцо, похожее на лодочку.
Фокус №8
Склеиваем две ленты Мёбиуса, переворачивая полоски в разные стороны, перпендикулярно друг другу. Разрежем по продольным центральным воображаемым линиям. Получаются сцепленные сердца.
С уважением, Ольга Наумова
Благодарю, что поделились статьей в социальных сетях!
Мёбиус и его лента
Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мебиус взял однажды бумажную ленту, повернул один ее конец на пол-оборота (то есть на 180 градусов), а потом склеил его с другим концом. Именно так и появилась еще в прошлом веке знаменитая лента Мебиуса, которая была обнаружена независимо еще одним немецким математиком Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 г.
Отец будущего ученого работал преподавателем танцев, а потому проживал в комнатах для преподавателей с женой и ребенком. Маленький Август плохо запомнил отца, ведь тот умер, когда ребенку не было еще и трех лет. Поэтому все начальное воспитание дала ему мать, в семье которой всегда гордились ее предком, Мартином Лютером. Кстати, уже в раннем возрасте Август активно интересовался математикой.
После окончания гимназии Мебиус поступил в Лейпцигский университет на факультет права. Проучившись полсеместра, он пришел к выводу, что быть правоведом — не его призвание, а потому перешел к изучению астрономии и математики. После окнчания университета Мебиус уехал из Лейпцига. Он посещал лекции в Геттингенском университете, математические семинары в университете Галле.
После защиты диссертации Мебиуса пригласили преподавателем астрономии в Лейпцигский университет. Ему дали звание экстраординарного профессора (несмотря на пышное название — это низшая степень, присваиваемая новичкам). На этом его карьерный рост надолго остановился. Причиной тому было полное неумение выставить себя в выгодном свете, заручиться поддержкой коллег или студентов. Он был очень спокойным и сдержанным человеком, лекции его не отличались театральностью, а потому на них приходило немного студентов. Все просто: чем меньше студентов, вносящих оплату за курс, тем меньше жалование и хуже отношение начальства.
Все это время Август Мебиус живет вместе с матерью, но в 1820 г. она умирает. Возможно, именно неустроенный быт заставляет его решиться на женитьбу. Его избраницей стала слепая от рождения девушка, однако это не помешало ей произвести на свет и воспитать трех прекрасных детей.
Только через 28 лет безупречной службы руководство Лейпцигского университета наконец-то предложило Мёбиусу звание профессора.
Говорят, что открытию свойств ленты Мебиуса, помогла служанка ученого, которая то ли неправильно сшила ленту, то ли слишком тщательно обматывала горло шарфом. На тот момент Мёбиусу было 68 лет.
Эту ленту сравнивают с символом бесконечности, ведь вдоль ее поверхности можно вести линию, сколь угодно долго. Увы, это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мебиуса.
Существует много занимательных опытов по разрезанию ленты Мебиуса. Но лента Мебиуса не только упражнение для разума, она и вполне практически применяется. В виде ленты Мебиуса делают полосу ленточного конвейера, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.
Лента Мебиуса используется как международный символ вторичной переработки. Этот знак вы увидите на упаковке товара, который сделан из переработанного сырья, либо пригоден для последующей переработки.
Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных скульптур и картин.
Голландский художник М.К. Эшер создан несколько литографий с использованием ленты. Один из известнейших примеров — литография «Лист Мебиуса II», в которой красные муравьи бесконечно ползут по ленте.
В Екатеринбурге в честь 285-летия в 2008 году установлена скульптура «Лента Мёбиуса». Скульптурный ансабль высотой четыре метра отлит из бронзы. Автор композиции, известный уральский скульптор Степан Адуашвили рассказал, что «Лента Мёбиуса» символизирует связь между прошлым и будущим.
В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра “Горизонт” находится памятник “Ленте Мёбиуса”. На основании скульптуры есть девиз: «Разные точки зрения на один предмет».
Лента Мебиуса установлена в Риге на месте бывшего памятника Ленина в честь грядущего 800-летия города.
Есть памятный знак «Лента Мёбиуса» в Минске.
У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса — на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка. Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл.
В 1967 году в Бразилии на международном математическом конгрессе выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво.
Лента Мебиуса завсегдатай в научной фантастике, она встречается например, в рассказе Артура Кларка «Стена темноты», постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла», есть в эссе Харуки Мураками «Облади Облада». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мебиуса. Существует теория, что ДНК — это часть листа Мебиуса.
Свойства ленты Мебиуса нашли свое применение не только в науке, технике, но и в быту. Вязальщицы неутомимо вяжут снуды — шарфы в виде ленты Мебиуса. Надеюсь, что именно они поддержат эту публикацию, нажав на кнопочку «нравится»!
Эксперименты с листом Мёбиуса
Вначале изготовим лист Мёбиуса. Берем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АD и СB друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка B с точкой D. Изготовим также обычное бумажное кольцо, края которого склеены обычным способом.
Чтобы понять, в чём особенность и отличие листа Мёбиуса, эксперименты будем проводить одновременно с обычным и перекрученным кольцом.
Эксперимент 1.
Определение непрерывности листа Мёбиуса.
Поставим точку на одной стороне каждого кольца и проведём непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку.
На обычном бумажном кольце линия проходит по одной стороне, замыкаясь в точке начала. В случае с листом Мёбиуса линия замыкается, полностью закрасив всю ленту. Следовательно, лист Мёбиуса – непрерывная поверхность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся «переползать» через край ленты.
Эксперимент 2.
Определим, сколько сторон имеет лист Мёбиуса.
Попробуем закрасить краской обычное кольцо и лист Мёбиуса.
У обычного кольца закрашена только одна внешняя сторона. Внутренняя сторона осталась чистой. Лента Мёбиуса оказалась закрашена полностью.
«Внешняя» и «внутренняя» стороны в процессе закрашивания по ходу движения вдоль ленты как бы переходят друг в друга. Следовательно, у листа Мёбиуса только одна сторона! В книге «Что такое математика?» Рихард Курант и Герберт Робинс пишут: «Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской».
Эксперимент 3.
Определение, сколько краёв имеет лист Мёбиуса.
Закрасим непрерывной линией только один край колец.
В результате эксперимента мы обнаружили, что один край обычного кольца закрашен, второй край нет. Линия края ленты Мёбиуса оказалась, непрерывно закрашена на всём кольце.
Значит, у листа Мёбиуса не только одна сторона, но и только один край!
Эксперимент 4.
Разрежем кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям и равноудалённой от краёв ленты.
При разрезании обычного кольца получилось два кольца, точнее две половинки от исходного кольца. Каждое будет уже, но длина их будет такой же, как длина первоначального кольца.
При разрезании листа Мёбиуса получилось одно перекрученное дважды кольцо в виде восьмёрки. Его длина в два раза больше, чем у исходного листа Мёбиуса. Значит, при таком разрезании лист Мёбиуса утратил свойство непрерывности.
Эксперимент 5.
Разрежем кольцо вдоль, отступив от края на 1/3 ширины кольца.
При разрезании обычного кольца получились два кольца: одно уже, другое шире. При разрезании ленты Мёбиуса получились два перекрученные сцепленные между собой кольца. Кольцо меньшего диаметра более широкое будет тоже листом Мёбиуса. Второе кольцо большего диаметра более узкое.
Эксперимент 6.
При разрезании колец, полученных из обычного кольца, снова получились простые кольца. Их ширина стала ещё уже. При разрезании колец, получившихся при разрезании листа Мёбиуса, снова получились два перекрученные восьмёркой сцепленные друг с другом кольца.
Следовательно, листу Мёбиуса присуща связность: при разрезании вдоль края он не распадается на отдельные части.
Нам показалось неудобным каждый раз склеивать бумажные кольца для экспериментов на разрезание. Мы придумали и изготовили наглядное пособие «Лист Мёбиуса», сшив между собой пять разноцветных застёжек-«молний». Теперь нет необходимости каждый раз разрезать данную импровизированную ленту Мёбиуса. Достаточно расстегнуть нужную «молнию».
Выводы:
Листу Мёбиуса присущи интересные свойства:
Ø Лист Мёбиуса можно получить из прямоугольника, где длина значительно больше ширины, т. е. из полоски бумаги, ленты.
Ø Лист Мёбиуса имеет одну сторону (поверхность). Это подтверждают результаты 1 и 2 экспериментов.
Ø Лист Мёбиуса имеет один край. Результат эксперимента 3.
Ø Если пустить по поверхности листа Мёбиуса движущиеся объекты (например, паука и муху), они будут двигаться бесконечно долго, т.е. поверхность непрерывна.
Ø Листу Мёбиуса присуща связность.
Ø Следовательно, можно сделать вывод, что лист Мёбиуса – односторонняя непрерывная связная неориентируемая поверхность с одним краем.
Ø Лист Мёбиуса, как и любая топологическая фигура, не меняет своих свойств, пока её не разрезают, не разрывают, или не склеивают его отдельные куски.
Ø Свойства листа Мёбиуса присущи ему как геометрической фигуре и не связаны с его положением в пространстве.
Внеклассное занятие по теме «Лента Мёбиуса»
Презентация к уроку
Слайд 2
Цель: знакомство с листом Мебиуса как объектом топологии.
Слайд 3
Задачи:
Оборудование: экран, проектор, бумажные ленты, ножницы, клей, краски (цветные карандаши, фломастеры).
Ход занятия
1. Орг.момент
Добрый день. Сегодня наш урок-эксперимент будет посвящен изобретению великого геометра А.Ф. Мёбиуса, которому в этом году исполняется 225 лет.
2. Изучение нового материала
Слайд 4
Как вы думаете, если космический корабль полетит все время прямо, никуда не сворачивая, то будет ли он все более удаляться от Земли?
Такой путь космического корабля нам поможет представить лента (лист, петля) Мёбиуса.
Слайд 5
Слайд 6
Лист Мебиуса считается одним из символов современной математики, а момент его открытия стал началом рождения новой науки – топологии. В некотором смысле слово топология – это наука, изучающая непрерывность.
Слайд 7
Тополог интересуется свойствами “предметов”, которые выдерживают деформации: сжатия и растяжения (как если бы они были сделаны из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и то же.
Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.
Вот такая интересная и занимательная наука топология.
Говорят, что открыть свой “лист” Мебиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.
3. Лабораторная работа
Давайте рассмотрим, что же такое лист Мёбиуса?
Как вы думаете, существует ли одежда без изнанки? Конечно же, нет. Давайте рассмотрим кольцо. Оно представляет собой двухстороннюю поверхность. Если двигаться по одной стороне кольца, то не “пересекая границы” нельзя очутиться на другой его стороне. Другое дело – лента Мёбиуса.
Слайд 8
Возьмите в руки бумажную ленту АВСD, разделённую пополам пунктирной линией.
Эксперимент 1. “Отрежь кусочек”.
Теперь разрежем ножницами склеенную ленту посередине вдоль пунктирной линии. Как вы думаете, что у нас получится? Конечно, если бы мы не перекрутили ленту перед склейкой, всё было бы просто: из одного широкого кольца получилось бы два узких. А что сейчас? Получилось не два кольца, а одно, но зато вдвое длиннее. К тому же перекручено оно не один раз, а два.
А ну-ка, разрежем это кольцо ещё раз посредине. Получится два сцепленных друг с другом кольца, каждое из которых дважды перекручено. Вот какие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из неё лист Мёбиуса.
У этого листа масса удивительных свойств. Сейчас вы в этом убедитесь. Сколько сторон у листа Мёбиуса? У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, имеется две стороны. А у него самого, оказывается, есть только одна сторона!
Возьмем ручку и представим что это вовсе не ручка, а вы сами. И вы пошли гулять вдоль пунктира, идущего посередине листа Мёбиуса. И вот вы шли, шли и вернулись к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом! Что надо сделать, чтобы вернуться к месту старта в нормальном положении. Точно нужно совершить еще одно “кругосветное” путешествие. Проверим!
Эксперимент 3. “Сколько сторон у листа Мёбиуса?”
Возьмите лист Мёбиуса, обмакните кисть в зелёную краску и начинайте красить, кладя каждый новый мазок так, чтобы он прилегал к прежним. Только не переходите через край ленты! Если бы лента не была перекручена, то через некоторое время одна сторона кольца оказалась бы полностью зелёной, а другая осталась белой. А как с листом Мёбиуса? Вы закрасите его весь!
Слайд 9
Близкой к ленте Мёбиуса односторонней поверхностью является бутылка Клейна.
Слайд 10 Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
4. Самостоятельная работа
Слайд 12 Проверка самостоятельной работы
6. Домашнее задание.
Слайд 27
7. Вывод
Слайд 28