Как сделать сократите дробь
Сокращение дробей. Что значит сократить дробь?
Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.
Сокращение дробей, определение и формула.
Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?
Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно основному свойству рациональных чисел.
Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.
Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac<9><15>\)
Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.
Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac<3><5>\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.
Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.
Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.
Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.
Получите несократимую дробь \(\frac<48><136>\).
Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
Правило сокращения дроби до несократимого вида.
Пример:
Сократите дробь \(\frac<152><168>\).
Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
Ответ: \(\frac<19><21>\) несократимая дробь.
Сокращение неправильной дроби.
Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.
Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac<44><32>\).
Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.
Сокращение смешанных дробей.
Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.
Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac<30><45>\).
Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.
Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.
Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:
Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.
На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac<100><150>\).
Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
Получили несократимую дробь \(\frac<2><3>\).
Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac<100><150>\) на 2.
Получили сократимую дробь \(\frac<50><75>\).
Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac<4><8>\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.
Пример:
Сравните две дроби \(\frac<2><3>\) и \(\frac<8><12>\).
Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac<8><12>\):
Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.
Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac<90><65>\) б) \(\frac<27><63>\) в) \(\frac<17><100>\) г) \(\frac<100><250>\)
Общие сведения
Первые упоминания о дробях встречаются в Древнем Египте. Его жители умели делить два предмета на три части. Применяли они для этого специальное обозначение: 1/2, 2/3, 1/3. При этом запись вида 2/3 была единственной, где в верхней части использовалась не единица, а двойка. Египтяне для обозначения, впрочем, как и вавилоняне, использовали формулу: 1/ n. Для записи других дробей использовалась сумма. Например, вместо 8/15 они использовали сложение двух выражений: 1/3 и 1/5.
Работать с такими дробями было сложно. Различные философы и учёные пытались придумать запись, универсальную для любых случаев. Так, были попытки использовать шестидесятеричные дроби, которыми пользовались в Вавилоне и Греции. Но выполнять над ними операции опять же было сложно. В Риме использовали систему, называемую асс. В её основе лежало деление на двенадцать. Долю, которую она составляла, называли унцией.
Современную же систему записи предложили в Индии. Единственным отличием от общепринятой записи была её перевернутость. Сверху писали делимое, а внизу — делитель. Дробную черту не ставили. Запись же, используемая сегодня, была предложена арабами.
Любая дробь состоит из двух частей: верхней, называемой числителем, и нижней — знаменателя. При произношении читается сначала числитель, а после знаменатель. Например, 3/8 — три восьмых. Верхняя часть обозначает, сколько взято долей, а нижняя — каких. В алгебре используется и иная формулировка. Числитель называют делимым, а знаменатель делителем.
Существуют следующие виды дробей:
В любом виде отношений могут стоять определённые числа или неизвестные переменные. Поэтому сократить дробь можно как со степенями, так и буквами или цифрами. На правило упрощения содержание делителя и делимого не влияет.
Свойства дроби
По сути, сократить дробь — значит, её упростить. Можно использовать разный алгоритм, но в любом случае применяется основное свойство отношений. Заключается оно в том, что если делитель или делимое умножить на одно и то же число, то количественное значение в ответе не изменится. Это правило справедливо и при замене операции умножения на деление.
Алгебраически свойство можно записать в виде равенства: (q * c) / (r * c) = q / r. Для объяснения этого правила используется следующее доказательство. Пусть имеется равенство (q * r) * c = (c * r) * q. Оно возможно, так как соответствует закону умножения натуральных чисел. При этом учитывается свойство деления, согласно которому, если число разделить на равное ему значение, то результатом действия будет единица. Например, с / с = 1 или 12к/12k = 1. Последнее правило довольно логичное и интуитивно понятное. Если представить, что есть число вещей, равное x, и их нужно разложить на кучки так, чтобы в каждой оказалось x предметов, то очевидно, что получится лишь одна кучка.
Исходя из этих двух правил, можно утверждать, что выражения q * c / r * c и q : c / r : c равны q / r. То есть эти два выражения равны друг другу. На уроках математики в школе предлагают графическую иллюстрацию основного свойства. Пусть есть квадрат, который набран из девяти других квадратов. Каждый из них, в свою очередь, разделён на четыре части. Можно утверждать, что основная фигура поделена на 9 * 4 = 36 частей.
Если закрасить пять больших квадратов другим цветом, то фактически будет окрашено 20 квадратов меньшего размера (4 * 5). Отмеченная область составляет 5/9 от целого квадрата или 20/36, если считать маленькие фигуры. Но так как окрашенная часть одна, то справедливо будет утверждать о верности равенства 5 / 9 = 20 / 36. Вместо чисел 20 и 36 можно подставить их произведения. В итоге получится выражение: 5 / 9 = 5 * 4 / 9 * 4 = 20 * 4 / 36 * 4 = 20 / 36. Что и следовало доказать.
Свойство дроби используется при поиске наименьшего и наибольшего общего знаменателя, а также позволяет упрощать выражения. Невозможно правильно научиться сокращать дроби, не понимая рассмотренного правила.
Алгоритм сокращения
Существующие дроби можно разделить на сократимые и несократимые. Сократить отношение — значит, разделить верхнюю и нижнюю часть на общий делитель. При этом его значение не должно быть равное единице. В итоге получится новое выражение с меньшим значением делителя и делимого. Например, пусть дана дробь 16 / 24. Числитель и знаменатель выражения можно разделить на восемь. В результате запись упростится до вида 16:8 / 24:8 = 2 / 3. Полученная дробь является уже несократимой и её дальнейшее упрощение невозможно.
Любое упрощение выражения можно представить в виде следующего алгоритма:
Таким образом, суть действия сводится к нахождению такого сократителя, после применения которого она превратится в тождественную начальной, но уже станет несократимой. Наибольшим общим делителем (НОД) называют одночлен или многочлен, являющийся самым большим из всевозможных делителей, на которое числитель и знаменатель делится без остатка. Например, для чисел 12a и 24a НОД будет равный 12a.
Чтобы быстро найти НОД, нужно знать таблицу умножения и уметь раскладывать числа на простые множители. Ими называют числа, которые делятся на единицу и сами на себя. Существует даже таблица простых чисел до 997, с которой знакомят на уроках алгебры в 7 классе. Но многие натуральные числовые выражения могут делиться и на другие цифры без остатка. Например, двенадцать можно разделить на 1, 2, 3, 4, 6, и 12. Эти числа называют делителями.
При разложении используется запись в виде столбика с вертикальной чертой. В правой части пишут делимое, а в левой — исходное значение. Начинают пробовать делить на двойку, если действие невозможно, повышают значение делимого на единицу. Например, 45 = 3 * 3 * 5.
При поиске НОД каждый знаменатель раскладывают на простые множители, а затем находят одинаковые цифры и перемножают их. Полученный ответ и будет искомым сокращателем. Например, в числителе стоит число 24, а в знаменателе 42. Согласно правилу, их нужно разложить: 24 = 2 * 2 * 2 * 3 и 42 = 2 * 3 * 7. В одной и другой записи повторяются цифры три и два. Их произведение 2 * 3 = 6 и является НОД, на который и будет сокращаться дробное выражение. То есть 24:6 / 42:6 = 4 / 7. Полученная дробь является уже несократимой.
Сложные выражения
Многочлены, стоящие в числителе или знаменателе, имеющие первую степень, сокращать довольно легко. Но часто в задании попадаются степенные выражения. Для того чтобы их упростить, нужно хорошо знать основные формулы и свойства степеней. Заключаются они в следующем:
В заданиях могут встречаться рациональные и простые числа, известные и неизвестные. Решают их таким же образом. Например, нужно сократить дробь со степенями и буквами: ((0,25 ) p +1 * 8 p ) / (2 2p+1 * (0,5) p-1 ) = (0,25 p * 0,25 1 * 8 p ) / (2 2p * 2 1 * 0,5 p :0,5 1 ) = (1 / 4) p * 0,25 * 8 k / 4 p * 4 * 0,5 p = 2 p * 0,25 / 2 p * 4 = 0,25 / 4 = (1/4) / 4 = 1 / 4* 4 = 1/16.
Смотря на этот пример, можно понять важность упрощения дробей. Ведь из задания, практически недоступного для решения, получилось простейшее наглядное выражение. Но при этом может случиться так, что исходная формула будет довольно сложна для предварительного анализа, например, содержать квадратный корень, экспоненту или логарифм. Для таких случаев есть резон использовать специализированные сайты-вычислители.
Использование онлайн-калькулятора
Воспользоваться возможностью сократить дробь на онлайн-калькуляторе сможет любой пользователь интернета. Такую услугу бесплатно предоставляют несколько десятков специализированных сайтов. Неоспоримое их преимущество заключается в быстром и правильном упрощении любого дробного выражения. При этом от пользователя не требуется никаких математических знаний.
Всё что необходимо, это подключение к сети и веб-браузер с поддержкой Flash плеера. Пользователю нужно просто зайти на сайт и в предложенную форму ввести упрощаемую формулу, а затем нажать виртуальную кнопку «Рассчитать». Программа сделает все вычисления самостоятельно, используя оптимальный алгоритм.
Кроме того, на этих сайтах содержится теоретический материал. Он часто подкреплён примерами. Причём даётся не просто ответ, а приводится вся цепочка вычислений, по которой можно разобраться в сути действий.
Из доступных сайтов можно выделить несколько, наиболее популярных среди пользователей:
Применение онлайн-калькуляторов может стать частью учебного процесса. Учащийся, вводя различные дроби, может воочию видеть нюансы сокращения того или иного вида выражений, а также использовать ресурсы для проверки самостоятельного решения.
Сокращение обыкновенных дробей
Что такое «сокращение дробей»
Математика любит точность и краткость: лохматыми громоздкими числами ее расположение не заслужить. Поэтому, следуя негласному правилу, сокращайте все, что можно сократить.
Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель. Общий делитель должен быть положительным и не равен нулю и единице.
В результате сокращения вы получаете новую дробь, равную исходной дроби. Такие дроби равны по основному свойству:
Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число — получится дробь, равная данной.
С основным свойством дроби знакомятся в 5 классе, но встречаться оно будет до самого окончания школы. Поэтому запоминаем, как выглядит основное свойство дроби в виде буквенных выражений:
= 
= 
где a, b, m — натуральные числа.
Графически сокращение дробей обычно записывается вот так:
Числитель и знаменатель зачеркиваются черточками. В этом примере числитель — 8, знаменатель — 36. Справа над ними записывают результаты деления числителя и знаменателя на их общий делитель. Общий делить 8 и 36 — 4. Это число не нужно записывать.
Тренировка — залог успеха в любом деле, и математика — не исключение. Запишите ребенка на бесплатный вводный урок в онлайн-школу Skysmart.
Порешаем задачки в интерактивном формате, наметим программу обучения и вдохновим подружиться с предметом.
Пример 1. Сократим обыкновенную дробь 
Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 3.
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 2. Сократим обыкновенную дробь 
Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 2.
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Приведение дробей к несократимому виду
Смысл сокращения дробей в том, чтобы в результате сокращения в числителе и знаменателе оказались наименьшие из возможных чисел.
Так, в результате сокращения в примере 2, мы из дроби получили дробь
Выходит, что дробь выдержит еще одно сокращение и придет к виду 
Сокращая дробь, стремитесь в итоге получить несократимую дробь.
Разделите числитель и знаменатель дроби на их НОД (наибольший общий делитель). Так вы приведете дробь к несократимому виду.
— несократимая дробь, так как по свойствам НОД мы знаем, что:
a : НОД(a, b) и b : НОД(a, b) — взаимно простые числа.
Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице, НОД(a, b) = 1.
Пример 3. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду 
Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 12
Найдем частное: 12 : 12 = 1
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 4. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду 
Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 5
Найдем частное: 15 : 5 = 3
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Правило сокращения дробей
Чтобы без труда сокращать любую обыкновенную дробь, запомните правило.
Выполняйте сокращение дробей по следующему алгоритму:
В 6 классе каждая вторая задачка — с дробями. Чтобы легко управляться с ними и уметь сокращать любые числа, нужно хорошо потренироваться. Давайте разберем еще несколько примеров сокращения обыкновенных дробей.
Чтобы легко сокращать дроби, нужно уметь быстро находить НОД числителя и знаменателя. Для этого неплохо бы знать таблицу умножения и уметь раскладывать числа на простые множители.
Чтобы найти НОД числителя и знаменателя, разложим числа на простые множители.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
84 = 2 * 2 * 3 * 7
Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 = 12.
НОД 36 и 84 = 12.
Пример 5. Сократите дробь 
Разложим числа в числителе и знаменателе на множители.
135 = 9 * 3 * 5
180 = 9 * 2 * 2 * 5
Мысленно убираем все общие множители и перемножаем оставшиеся.
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 6. Сократите обыкновенную дробь 
Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 9
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Дробь можно сократить, последовательно сокращая числитель и знаменатель на общий делитель. Такой способ подходит, если в числителе и знаменателе стоят крупные числа, и вы не уверены в подобранном НОД.
Пример 6. Сократите дробь: 
= 
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 7. Сократите дробь 
Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.
168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7
240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5
Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 2 * 3 = 24
НОД 168 и 240 равен 24
Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 168 : 24 = 7
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 8. Сократите дробь 
Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.
360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5
540 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5
Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 180
НОД 360 и 540 равен 180
Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 360 : 180 = 2
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 8. Сократите дробь 
Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.
420 = 2 * 2 * 3 * 5 * 7
2520 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7
Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 420
НОД 420 и 2520 равен 420
Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 420 : 420 = 1
= 
= 
Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: =
Пример 9. Сократите дробь 
Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.
1575 = 3 * 3 * 5 * 5 * 7
3450 = 2 * 3 * 5 * 5 * 23
Перемножаем все общие множители между собой 3 * 5 * 5 = 75
НОД 1575 и 3450 равен 72
Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 1575 : 75 = 21
= 
= 
Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: =
Иногда разложение на простые множители занимает немало времени, особенно если раскладываемые числа большие, как в двух предыдущих примерах. Чтобы быстро разложить любое число на простые множители, можно обратиться к онлайн-калькулятору — в интернете их много. Воспользуйтесь одним из них.
Если времени совсем не хватает — можно использовать онлайн-калькулятор и для нахождения НОД. Однако не стоит постоянно прибегать к калькулятору для решения задач, пока вы не научитесь уверенно и быстро вычислять сами.
На уроках математики в детской онлайн-школе Skysmart ваш ребенок научится множеству математических приемов и хитростей. Преподаватели расскажут, как распутывать самые запутанные примеры и справляться с любыми задачками.
На занятиях ученики пользуются онлайн-учебником и чертят на настоящей интерактивной доске — ничего общего со скукой и бесконечными листочками.