Как сделать союзную матрицу

Нахождение обратной матрицы: три алгоритма и примеры

Что значит найти обратную матрицу?

При решении примеров мы разберём эти действия подробнее. А пока узнаем, что гласит теория об обратной матрице.

Как сделать союзную матрицу

Обратной матрицей, которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А, называется такая матрица

Как сделать союзную матрицу,

произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е,
Как сделать союзную матрицу. (1)

Как сделать союзную матрицу

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.

Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы этими методами.

Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.

Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.

На сайте есть онлайн калькулятор для нахождения обратной матрицы. Вы можете открыть его в новом окне уже сейчас, если держите перед собой ваши собственные задания. А мы разберём несколько разминочных.

Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений (союзной матрицы)

Для неособенной квадратной матрицы А обратной является матрица

Как сделать союзную матрицу, (2)

где Как сделать союзную матрицу— определитель матрицы А, а Как сделать союзную матрицу— матрица, союзная с матрицей А.

Пусть существует квадратная матрица A:

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Остановимся на минорах и алгебраических дополнениях.

Пусть есть квадратная матрица третьего порядка:

Как сделать союзную матрицу.

Как сделать союзную матрицу

Вычислим алгебраическое дополнение элемента Как сделать союзную матрицу, то есть элемента 2, стоящего на пересечении первой строки и второго столбца.

Для этого нужно сначала найти минор этого элемента. Он получается вычёркиванием из определителя строки и столбца, на пересечении которых стоит указанный элемент. В результате останется следующий определитель, который и является минором элемента Как сделать союзную матрицу:

Как сделать союзную матрицу.

Как сделать союзную матрицу.

По этой инструкции нужно вычислить алгебраические дополнения всех элементов матрицы A’, транспонированной относительно матрицы матрица A.

И последнее из значимых для нахождение обратной матрицы понятий. Союзной с квадратной матрицей A называется матрица Как сделать союзную матрицутого же порядка, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы Как сделать союзную матрицу, транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, союзная матрица состоит из следующих элементов:

Как сделать союзную матрицу

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом алгебраических дополнений

1. Найти определитель данной матрицы A. Если определитель равен нулю, нахождение обратной матрицы прекращается, так как матрица вырожденная и обратная для неё не существует.

2. Найти матрицу, транспонированную относительно A.

3. Вычислить элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения марицы, найденной на шаге 2.

4. Применить формулу (2): умножить число, обратное определителю матрицы A, на союзную матрицу, найденную на шаге 4.

5. Проверить полученный на шаге 4 результат, умножив данную матрицу A на обратную матрицу. Если произведение этих матриц равно единичной матрицы, значит обратная матрица была найдена верно. В противном случае начать процесс решения снова.

Пример 1. Для матрицы

Как сделать союзную матрицу

найти обратную матрицу.

Как сделать союзную матрицу

Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная) и для неё существует обратная.

Найдём матрицу, союзную с данной матрицей А.

Найдём матрицу Как сделать союзную матрицу, транспонированную относительно матрицы A:

Как сделать союзную матрицу

Вычисляем элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения матрицы, транспонированной относительно матрицы A:

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Следовательно, матрица Как сделать союзную матрицу, союзная с матрицей A, имеет вид

Как сделать союзную матрицу

Замечание. Порядок вычисления элементов и транспонирования матрицы может быть иным. Можно сначала вычислить алгебраические дополнения матрицы A, а затем транспонировать матрицу алгебраических дополнений. В результате должны получиться те же элементы союзной матрицы.

Применяя формулу (2), находим матрицу, обратную матрице А:

Как сделать союзную матрицу

Нахождение обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

Как сделать союзную матрицу,

Как сделать союзную матрицуи Как сделать союзную матрицу.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.

2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась единичная матрица, тогда в правой части на месте единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.

2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.

Пример 2. Для матрицы

Как сделать союзную матрицу

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

Как сделать союзную матрицу

и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица. Начинаем преобразования.

Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой, а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим

Как сделать союзную матрицу.

Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим

Как сделать союзную матрицу.

Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её с третьей строкой. Тогда получим

Как сделать союзную матрицу.

Разделим третью строку на 8, тогда

Как сделать союзную матрицу.

Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:

Как сделать союзную матрицу.

Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:

Как сделать союзную матрицу.

Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части получилась обратная матрица Как сделать союзную матрицу. Таким образом:

Как сделать союзную матрицу.

Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:

Как сделать союзную матрицу.

В результате должна получиться обратная матрица.

Пример 3. Для матрицы

Как сделать союзную матрицу

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

Как сделать союзную матрицу

и будем её преобразовывать.

Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй, а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим

Как сделать союзную матрицу.

Первую строку умножаем на 2 и складываем её со второй, а затем из третьей строки вычитаем вторую, тогда получим

Как сделать союзную матрицу.

Видим, что в третьей строке в левой части все элементы получились равными нулю. Следовательно, матрица вырожденная и обратной матрицы не имеет. Дальнейшее нахождение обратной марицы прекращаем.

Нахождение обратной матрицы методом линейных преобразований

Матрицы теснейшим образом связаны с системами линейных уравнений. Каждой матрице соответствует система линейных уравнений, коэффициенты в которой есть элементы матрицы. И наоборот, системе линейных уравнений соответствует некоторая матрица.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом линейных преобразований

Как сделать союзную матрицу,

Как сделать союзную матрицу,

3. Находим коэффициенты при y: Как сделать союзную матрицу, которые и будут элементами матрицы, обратной для матрицы A.

4. Пользуясь элементами, найденными на шаге 3, записать найденную обратную матрицу.

Пример 4. Найти обратную матрицу для матрицы

Как сделать союзную матрицу.

Сначала проверим, не равен ли нулю определитель данной матрицы. Он не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.

Для данной матрицы записываем линейное преобразование:

Как сделать союзную матрицу.

Находим линейное преобразование, обратное предыдущему, для этого потребуется находить алгебраические дополнения (урок откроется в новом окне). Запишем обратное линейное преобразование:

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Найти обратную матрицу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти обратную матрицу для матрицы

Как сделать союзную матрицу.

Источник

Метод элементарных преобразований (методы Гаусса и Гаусса-Жордана для нахождения обратных матриц).

В первой части был рассмотрен способ нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Здесь же мы опишем иной метод нахождения обратных матриц: с использованием элементарных преобразований.

Метод Гаусса

Этот метод делят на два этапа, которые называют прямым ходом и обратным.

Прямой ход метода Гаусса

Когда мы придём к последней строке, матрица до черты станет верхней треугольной, т.е. все элементы под главной диагональю будут равны нулю. Это будет означать конец прямого хода метода Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса

Как только мы дойдём до первой строки, матрица до черты станет единичной, и алгоритм завершится.

Метод Гаусса-Жордана

Когда мы обработаем последнюю строку, матрица до черты станет единичной, и алгоритм завершится.

Метод Гаусса

Прямой ход метода Гаусса

На втором шаге прямого хода мы работаем с второй строкой. Второй элемент этой строки (число 3) не равен нулю, поэтому можем приступать к обнулению ненулевых элементов второго столбца, расположенных под второй строкой:

Матрица до черты стала верхней треугольной, поэтому прямой ход метода Гаусса окончен.

Обратный ход метода Гаусса

Матрица до черты стала единичной, преобразования завершены. Обратная матрица будет такой:

Если пропустить все пояснения, то решение будет таким:

Теперь решим этот же пример методом Гаусса-Жордана.

Метод Гаусса-Жордана

На этом первый шаг закончен. Нулевых строк в матрице до черты не возникло, поэтому продолжаем решение.

Замечание относительно облегчения работы с дробями, сделанное после второго шага прямого хода метода Гаусса, остаётся в силе и здесь.

Матрица до черты стала единичной, преобразования завершены. Обратная матрица будет такой:

Если пропустить все пояснения, то решение будет таким:

В предыдущем примере были даны подробные пояснения каждого шага как метода Гаусса, так и метода Гаусса-Жордана. В этом примере я стану комментировать лишь некие нюансы, которые возникнут в ходе решения.

Метод Гаусса

Пора переходить ко второму шагу прямого хода метода Гаусса. На этом шаге должна использоваться вторая строка, однако второй элемент данной строки равен нулю. Согласно алгоритму, нужно поменять местами вторую строку с одной из нижележащих строк, у которых второй элемент отличен от нуля. Поменяем местами вторую и четвёртую строки, а потом продолжим преобразования:

Из последней матрицы получаем ответ:

Метод Гаусса-Жордана

Пора переходить ко второму шагу метода Гаусса-Жордана. На этом шаге должна использоваться вторая строка, однако второй элемент данной строки равен нулю. Согласно алгоритму, нужно поменять местами вторую строку с одной из нижележащих строк, у которых второй элемент отличен от нуля. Поменяем местами вторую и четвёртую строки, а потом продолжим преобразования:

Из последней матрицы получаем ответ:

В данном примере применим метод Гаусса.

Ответ: обратной матрицы не существует.

Источник

Примеры решения матриц с ответами

Простое объяснение принципов решения матриц и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения матриц

Матрица – это математическая таблица с числовыми значениями. Обозначаются матрицы латинскими буквами.

Есть два отличия между матрицами:

С матрицей можно выполнять самые наипростейшие действия: умножение, деление, сложение, вычитание и трансформация.

Сложение и вычитание

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Данные действия можно совершать тогда, когда матрицы равны между собой, чтобы в конце получилось выражение аналогичной размерности. Сложение и вычитание выполняются по аналогии друг друга.

Задание

Даны две матрицы, найдите их сумму.

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Решение

Элемент первой строки складывается с элементом второй. Абсолютно также совершается вычитание, только вместо плюса, нужно поставить минус.

Как сделать союзную матрицу

Задание

Даны две матрицы, найдите их разность.

Как сделать союзную матрицу

Решение

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Задание

Найдите C=2A +3B, если :

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Решение

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Умножение

В математике умножать таблицу с числами можно абсолютно любую. В таком случае число умножается с показателем. Умножаем первое число на первой строке с числом второго столбца и так далее.

Задание

Даны две матрицы. Умножьте их друг на друга.

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Решение

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Матрицы можно перемножать друг на друга, только если количество столбцов в первой матрице, равно количеству строк второй. Элемент матрицы будет равняться сумме произведений (Aji), где i – строки в таблице; j – строки чисел второй таблицы.

Возведение матрицы в степень

Если вы не уверены, что справитесь с работой, обратитесь за помощью к профессионалам. Работу могут написать преподаватели, доцены вузов

Данную формулу используют лишь в случаях, если матрица стоит в квадратном выражении. Важно знать, что степень должна быть у таких выражений натуральной!

Как сделать союзную матрицу

Если число не будет натуральным, то это усложняет возведение матрицы в степень, так как степень n придётся умножить саму на себя n количество раз. Но если у Вас такой случай, то используется следующая формула.

Как сделать союзную матрицу

Задание

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Решение

В первую очередь найдём, для этого нужно будет просто умножить её саму на себя.

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

После по формуле подставляем числовые значения.

Как сделать союзную матрицу

Расчёт определителя

В математике линейной есть два понятия – определитель и детерминант. Определитель – это какое-либо число, которое ставится в соответствии с квадратной матрицей. Определитель используется при решении многих задач. Найти его можно с помощью формулы.

А детерминант находиться с помощью перемножения простых матриц, используются числа только с побочной и главной диагоналях.

Есть вероятность, что произведения матрицы будут значительно отличаться друг от друга. Если индекс чётный, то число будет со знаком плюс, если нечётный, то число будет со знаком минус. Обозначается определитель det А, а круглые скобки меняются на квадратные.

Дано

Как сделать союзную матрицу

Решение

Пользуемся свойствам степеней – A^<3>=A^<2>*A

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Далее используем свойство степеней

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Ответ

Как сделать союзную матрицу

Задание

Найдите определитель матрицы А.

Как сделать союзную матрицу

Решение

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Обратная матрица

Перед тем, как речь непосредственно пойдёт о самой обратной связи матрицы, давайте разберём алгоритм трансформирования матрицы. Во время трансформации столбцы и строки меняются местами.

Задание

Найти обратную матрицу А.

Как сделать союзную матрицу

Решение

Приписываем к матрице А матрицу третьего ряда.

Как сделать союзную матрицу

Переводим всё в единичную матрицу.

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Ответ

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Обратная матрица

Обратная матрица схожа с алгоритмом нахождения обратных чисел. К примеру, если умножить матричную таблицу на обратную матрицу, то в итоге мы получаем A*A(-1)=E. Но чтобы перейти уже к нахождению обратной матрицы, нам придётся найти её определитель. Мы рассмотрим самый простой способ – алгебраических дополнений.

Задание

В пример возьмём квадратную матрицу, она находиться с помощью следующей формулы:

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

-транспортированные матрицы;|А| – определитель.

Рассмотрим самый простейший пример, где размер таблицы 2*2.

Найти обратную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Решение

Для начала находим определитель матрицы.

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Подставляем числа, возвращаясь к матрица, которая указана выше.

Как сделать союзную матрицу

Всегда начинаем с левого верхнего угла и делаем следующее:

Как сделать союзную матрицу

← линиями показано, что нужно и как зачеркнуть.

Как итог, у нас остаётся число 4

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Теперь мы переходим к нахождению алгебраических дополнений.

Первым делом нужно поменять знаки у двух чисел в мироне.

Как сделать союзную матрицу

← подчёркнуты те числа, у которых мы будем менять знаки.

Как сделать союзную матрицу

, вот что у нас получилось.

И наконец-то мы переходим к завершающему этапу, к нахождению транспортированной матрице.

Как сделать союзную матрицу

, вспоминаем формулу нахождения, и подставляем числовые значения

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

В завершении желательно проверить правильно ли мы нашли числовую таблицу. Это делать не обязательно, но рекомендуется, чтобы удостовериться в том, то ответ верный.

Задание

Как сделать союзную матрицу

Решение

Начинаем с определения матрицы.

Как сделать союзную матрицу

Как сделать союзную матрицу

Дело осталось за малым – осталось начти алгебраическое дополнение матрицы А:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *