Как сделать степень в степени

Как написать степень на клавиатуре в любом редакторе

Часто при написании различных параметров, например метр квадратный или кубический, необходимо написать число как степень. Если вам нужно сделать это один раз и навсегда забыть про степени, то вам достаточно всего-лишь скопировать число, записанное степенью, и вставить в нужное место: x² — квадрат, x³ — куб. Но если у вас есть постоянная необходимость записывать числа таким образом, то мы расскажем вам, как написать степень на клавиатуре, чтобы вы всегда могли сделать это сами.

Есть несколько способов, как написать число-степень на клавиатуре

Первый способ — удерживая клавишу Alt, набрать на цифровой клавиатуре клавиши в нужном порядке.

Как сделать степень в степениДля работоспособности этого способа у вас на клавиатуре должна быть включена английская раскладка. Эта комбинация работает во всех редакторах, например блокноте, Word, NotePad, визуальном редакторе WordPress, практически везде, где можно набирать текст.

Второй способ — в редакторе Word

С помощью ворда можно ставить не только квадратную и кубическую степени, но и любые другие, в том числе буквенные. Например когда математические задачи требуют от степени числа быть переменной. Этот способ не связан с клавиатурой, больше с мышкой, но написать степень в Word очень просто. В верхнем меню есть специальный инструмент: надстрочный знак.

Как сделать степень в степени

Выделяем число или буквы, которые нужно сделать степенью, и нажимаем на кнопку в верхнем меню, указанную на рисунке. Также можно воспользоваться сочетанием клавиш Ctrl+Shift+=. В результате можно получить любую степень, какая только нужна. Рядом есть инструмент «подстрочный знак», с помощью которого можно записывать число в нижнем регистре, например для логарифмов.

Третий способ — альтернативный для Word, работающий во всех версиях, в том числе старых

Нужно выделить текст, которой должен стать степенью, и нажать на него правой кнопкой. В появившемся меню нажать на вкладку «Шрифт».

Как сделать степень в степени

В появившемся меню можно задать любые параметры выделенному тексту, в том числе и сделать его степенью. Для этого нужно поставить галочку в пункте «Надстрочный».

Как сделать степень в степени

Вот и всё, теперь вы знаете, как написать степень на клавиатуре и можете применять этот навык в жизни.

Источник

Степень с натуральным показателем

Что такое степень?

Степенью называют произведение из нескольких одинаковых множителей. Например:

Значение данного выражения равно 8

Левую часть этого равенства можно сделать короче – сначала записать повторяющийся множитель и указать над ним сколько раз он повторяется. Повторяющийся множитель в данном случае это 2. Повторяется он три раза. Поэтому над двойкой записываем тройку:

Это выражение читается так: « два в третьей степени равно восемь» или « третья степень числа 2 равна 8».

Короткую форму записи перемножения одинаковых множителей используют чаще. Поэтому надо помнить, что если над каким-то числом надписано другое число, то это есть перемножение нескольких одинаковых множителей.

А число, которое надписано над числом 5 называют показателем степени. В выражении 5 3 показателем степени является число 3. Показатель степени показывает сколько раз повторяется основание степени. В нашем случае основание 5 повторяется три раза

Как сделать степень в степени

Саму операцию перемножения одинаковых множителей называют возведением в степень.

Например, если нужно найти произведение из четырёх одинаковых множителей, каждый из которых равен 2, то говорят, что число 2 возводится в четвёртую степень:

Как сделать степень в степени

Видим, что число 2 в четвёртой степени есть число 16.

Отметим, что в данном уроке мы рассматриваем степени с натуральным показателем. Это вид степени, показателем которой является натуральное число. Напомним, что натуральными называют целые числа, которые больше нуля. Например, 1, 2, 3 и так далее.

Вообще, определение степени с натуральным показателем выглядит следующим образом:

Как сделать степень в степени

Примеры:

Как сделать степень в степени

Следует быть внимательным при возведении числа в степень. Часто по невнимательности человек умножает основание степени на показатель.

Например, число 5 во второй степени есть произведение двух множителей каждый из которых равен 5. Это произведение равно 25

Как сделать степень в степени

Теперь представим, что мы по невнимательности умножили основание 5 на показатель 2

Как сделать степень в степени

Получилась ошибка, поскольку число 5 во второй степени не равно 10.

Дополнительно следует упомянуть, что степень числа с показателем 1, есть само это число:

Как сделать степень в степени

Например, число 5 в первой степени есть само число 5

Как сделать степень в степени

Соответственно, если у числа отсутствует показатель, то надо считать, что показатель равен единице.

Например, числа 1, 2, 3 даны без показателя, поэтому их показатели будут равны единице. Каждое из этих чисел можно записать с показателем 1

Как сделать степень в степени

А если возвести 0 в какую-нибудь степень, то получится 0. Действительно, сколько бы раз ничего не умножалось на само себя получится ничего. Примеры:

Как сделать степень в степени

А выражение 0 0 не имеет смысла. Но в некоторых разделах математики, в частности анализе и теории множеств, выражение 0 0 может иметь смысл.

Для тренировки решим несколько примеров на возведение чисел в степени.

Пример 1. Возвести число 3 во вторую степень.

Число 3 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен 3

Пример 2. Возвести число 2 в четвертую степень.

Число 2 в четвертой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен 2

2 4 =2 × 2 × 2 × 2 = 16

Пример 3. Возвести число 2 в третью степень.

Число 2 в третьей степени это произведение трёх множителей, каждый из которых равен 2

Возведение в степень числа 10

Чтобы возвести в степень число 10, достаточно дописать после единицы количество нулей, равное показателю степени.

Например, возведем число 10 во вторую степень. Сначала запишем само число 10 и в качестве показателя укажем число 2

Теперь ставим знак равенства, записываем единицу и после этой единицы записываем два нуля, поскольку количество нулей должно быть равно показателю степени

Значит, число 10 во второй степени это число 100. Связано это с тем, что число 10 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен 10

Пример 2. Возведём число 10 в третью степень.

В данном случае после единицы будут стоять три нуля:

Пример 3. Возведем число 10 в четвёртую степень.

В данном случае после единицы будут стоять четыре нуля:

Пример 4. Возведем число 10 в первую степень.

В данном случае после единицы будет стоять один нуль:

Представление чисел 10, 100, 1000 в виде степени с основанием 10

Чтобы представить числа 10, 100, 1000 и 10000 в виде степени с основанием 10, нужно записать основание 10, и в качестве показателя указать число, равное количеству нулей исходного числа.

Представим число 10 в виде степени с основанием 10. Видим, что в нём один нуль. Значит, число 10 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10 1

Пример 2. Представим число 100 в виде степени основанием 10. Видим, что число 100 содержит два нуля. Значит, число 100 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10 2

Пример 3. Представим число 1 000 в виде степени с основанием 10.

Пример 4. Представим число 10 000 в виде степени с основанием 10.

Возведение в степень отрицательного числа

При возведении в степень отрицательного числа, его обязательно нужно заключить в скобки.

Например, возведём отрицательное число −2 во вторую степень. Число −2 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен (−2)

Когда мы ставим перед положительным числом минус, мы тем самым выполняем операцию взятия противоположного значения.

Допустим, дано число 2, и нужно найти его противоположное число. Мы знаем, что противоположное числу 2 это число −2. Иными словами, чтобы найти противоположное число для 2, достаточно поставить минус перед этим числом. Вставка минуса перед числом уже считается в математике полноценной операцией. Эту операцию, как было указано выше, называют операцией взятия противоположного значения.

В случае с выражением −2 2 происходит две операции: операция взятия противоположного значения и возведение в степень. Возведение в степень является более приоритетной операцией, чем взятие противоположного значения.

Поэтому выражение −2 2 вычисляется в два этапа. Сначала выполняется операция возведения в степень. В данном случае во вторую степень было возведено положительное число 2

Затем выполнилось взятие противоположного значения. Это противоположное значение было найдено для значения 4. А противоположное значение для 4 это −4

Скобки же имеют самый высокий приоритет выполнения. Поэтому в случае вычисления выражения (−2) 2 сначала выполняется взятие противоположного значения, а затем во вторую степень возводится отрицательное число −2. В результате получается положительный ответ 4, поскольку произведение отрицательных чисел есть положительное число.

Пример 2. Возвести число −2 в третью степень.

Число −2 в третьей степени это произведение трёх множителей, каждый из которых равен (−2)

Пример 3. Возвести число −2 в четвёртую степень.

Число −2 в четвёртой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен (−2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Легко заметить, что при возведении в степень отрицательного числа может получиться либо положительный ответ либо отрицательный. Знак ответа зависит от показателя исходной степени.

Если показатель степени чётный, то ответ будет положительным. Если показатель степени нечётный, ответ будет отрицательным. Покажем это на примере числа −3

Как сделать степень в степени

В первом и в третьем случае показатель был нечётным числом, поэтому ответ стал отрицательным.

Во втором и в четвёртом случае показатель был чётным числом, поэтому ответ стал положительным.

Пример 7. Возвести число −5 в третью степень.

Число −5 в третьей степени это произведение трёх множителей каждый из которых равен −5. Показатель 3 является нечётным числом, поэтому мы заранее можем сказать, что ответ будет отрицательным:

Пример 8. Возвести число −4 в четвёртую степень.

Число −4 в четвёртой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен −4. При этом показатель 4 является чётным, поэтому мы заранее можем сказать, что ответ будет положительным:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

Нахождение значений выражений

При нахождении значений выражений, не содержащих скобки, возведение в степень будет выполняться в первую очередь, далее умножение и деление в порядке их следования, а затем сложение и вычитание в порядке их следования.

Пример 1. Найти значение выражения 2 + 5 2

Сначала выполняется возведение в степень. В данном случае во вторую степень возводится число 5 — получается 25. Затем этот результат складывается с числом 2

Пример 10. Найти значение выражения −6 2 × (−12)

Сначала выполняется возведение в степень. Заметим, что число −6 не взято в скобки, поэтому во вторую степень будет возведено число 6, затем перед результатом будет поставлен минус:

Завершаем пример, умножив −36 на (−12)

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

Пример 11. Найти значение выражения −3 × 2 2

Сначала выполняется возведение в степень. Затем полученный результат перемножается с числом −3

Если выражение содержит скобки, то сначала нужно выполнить действия в этих скобках, далее возведение в степень, затем умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Пример 12. Найти значение выражения (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5

Как сделать степень в степени

(3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 = 12 − 15 + 5 = 2

Пример 13. Найти значение выражения 2 × 5 3 + 5 × 2 3

Сначала возведем числа в степени, затем выполним умножение и сложим полученные результаты:

2 × 5 3 + 5 × 2 3 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290

Тождественные преобразования степеней

Над степенями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым упрощая их.

(2 3 ) 2 это произведение двух степеней, каждая из которых равна 2 3

Как сделать степень в степени

При этом каждая из этих степеней является произведением трёх множителей, каждый из которых равен 2

Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Этот пример можно значительно упростить. Для этого показатели выражения (2 3 ) 2 можно перемножить и записать это произведение над основанием 2

Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

После перемножения показателей, получится другая степень, значение которой можно найти.

Пример 2. Найти значение выражения (3 2 ) 2

В данном примере основанием является 3, а числа 2 и 2 являются показателями. Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Основание оставим без изменений, а показатели перемножим:

Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Рассмотрим остальные преобразования.

Умножение степеней

Чтобы перемножить степени, нужно по отдельности вычислить каждую степень, и полученные результаты перемножить.

2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108

В этом примере основания степеней были разными. В случае, если основания будут одинаковыми, то можно записать одно основание, а в качестве показателя записать сумму показателей исходных степеней.

Например, умножим 2 2 на 2 3

Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Вообще, для любого a и показателей m и n выполняется следующее равенство:

Как сделать степень в степени

Отметим, что данное преобразование можно применять при любом количестве степеней. Главное, чтобы основание было одинаковым.

Как сделать степень в степени

В некоторых задачах достаточным бывает выполнить соответствующее преобразование, не вычисляя итоговую степень. Это конечно же очень удобно, поскольку вычислять большие степени не так-то просто.

Пример 1. Представить в виде степени выражение 5 8 × 25

В данной задаче нужно сделать так, чтобы вместо выражения 5 8 × 25 получилась одна степень.

Как сделать степень в степени

В этом выражении можно применить основное свойство степени — основание 5 оставить без изменений, а показатели 8 и 2 сложить:

Как сделать степень в степени

Запишем решение покороче:

Как сделать степень в степени

Пример 2. Представить в виде степени выражение 2 9 × 32

Как сделать степень в степени

Все хорошо знают, что три умножить на три равно девять, но задача требует в ходе решения воспользоваться основным свойством степени. Как это сделать?

Вспоминаем, что если число дано без показателя, то показатель нужно считать равным единице. Стало быть сомножители 3 и 3 можно записать в виде 3 1 и 3 1

Теперь воспользуемся основным свойством степени. Основание 3 оставляем без изменений, а показатели 1 и 1 складываем:

Далее вычисляем значение выражения. Число 3 во второй степени равно числу 9

Как сделать степень в степени

Далее вычисляем значение каждой степени и находим произведение:

Как сделать степень в степени

Пример 5. Выполнить умножение x × x

Это два одинаковых буквенных сомножителя с показателями 1. Для наглядности запишем эти показатели. Далее основание x оставим без изменений, а показатели сложим:

Как сделать степень в степени

Находясь у доски, не следует записывать перемножение степеней с одинаковыми основаниями так подробно, как это сделано здесь. Такие вычисления нужно выполнять в уме. Подробная запись скорее всего будет раздражать учителя и он снизит за это оценку. Здесь же подробная запись дана, чтобы материал был максимально доступным для понимания.

Решение данного примера желательно записать так:

Как сделать степень в степени

Пример 6. Выполнить умножение x 2 × x

Показатель второго сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:

Как сделать степень в степени

Пример 7. Выполнить умножение y 3 y 2 y

Показатель третьего сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:

Как сделать степень в степени

Пример 8. Выполнить умножение aa 3 a 2 a 5

Показатель первого сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:

Как сделать степень в степени

Пример 9. Представить степень 3 8 в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями.

Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Представление степени в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями это по большей части творческая работа. Поэтому не нужно бояться экспериментировать.

Как сделать степень в степени

Конструкции с суммами показателей были записаны для наглядности. Чаще всего их можно пропустить. Тогда получится компактное решение:

Как сделать степень в степени

Возведение в степень произведения

Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в указанную степень каждый множитель этого произведения и перемножить полученные результаты.

Как сделать степень в степени

Теперь возведём во вторую степень каждый множитель произведения 2 × 3 и перемножим полученные результаты:

Как сделать степень в степени

Принцип работы данного правила основан на определении степени, которое было дано в самом начале.

Возвести произведение 2 × 3 во вторую степень означает повторить данное произведение два раза. А если повторить его два раза, то можно получить следующее:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Это позволяет сгруппировать одинаковые множители:

Как сделать степень в степени

Данное свойство справедливо для любого количества множителей. Следующие выражения также справедливы:

Как сделать степень в степени

Пример 2. Найти значение выражения (2 × 3 × 4) 2

Как сделать степень в степени

Пример 3. Возвести в третью степень произведение a × b × c

Заключим в скобки данное произведение, и в качестве показателя укажем число 3

Как сделать степень в степени

Далее возводим в третью степень каждый множитель данного произведения:

Как сделать степень в степени

Пример 4. Возвести в третью степень произведение 3xyz

Заключим в скобки данное произведение, и в качестве показателя укажем 3

Возведём в третью степень каждый множитель данного произведения:

В некоторых примерах умножение степеней с одинаковыми показателями можно заменять на произведение оснований с одним показателем.

5 2 × 3 2 = 25 × 9 = 225

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

Возведение степени в степень

Это преобразование мы рассматривали в качестве примера, когда пытались понять суть тождественных преобразований степеней.

При возведении степени в степень основание оставляют без изменений, а показатели перемножают:

К примеру, выражение (2 3 ) 2 является возведением степени в степень — два в третьей степени возводится во вторую степень. Чтобы найти значение этого выражения, основание можно оставить без изменений, а показатели перемножить:

(2 3 ) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3 ) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Данное правило основано на предыдущих правилах: возведении в степень произведения и основного свойства степени.

А это есть возведение в степень произведения, которое мы изучили ранее. Напомним, что для возведения в степень произведения, нужно возвести в указанную степень каждый множитель данного произведения и полученные результаты перемножить:

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2

Теперь имеем дело с основным свойством степени. Основание оставляем без изменений, а показатели складываем:

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

В степень также может возводиться произведение, сомножители которого тоже являются степенями.

(2 2 × 3 2 ) 3 = 2 2×3 × 3 2×3 = 2 6 × 3 6 = 64 × 729 = 46656

Примерно тоже самое происходит при возведении в степени произведения. Мы говорили, что при возведении в степень произведения, в указанную степень возводится каждый множитель этого произведения.

Например, чтобы возвести произведение 2 × 4 в третью степень, нужно записать следующее выражение:

Как сделать степень в степени

Перепишем решение с помощью правила возведения степени в степень. У нас должен получиться тот же результат:

Как сделать степень в степени

Пример 2. Найти значение выражения (3 3 ) 2

Основание оставляем без изменений, а показатели перемножаем:

Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Пример 3. Выполнить возведение в степень в выражении (xy

Возведём в третью степень каждый множитель произведения:

Как сделать степень в степени

Пример 4. Выполнить возведение в степень в выражении (abc)⁵

Возведём в пятую степень каждый множитель произведения:

Как сделать степень в степени

Пример 5. Выполнить возведение в степень в выражении (−2ax) 3

Возведём в третью степень каждый множитель произведения:

Как сделать степень в степени

Поскольку в третью степень возводилось отрицательное число −2, оно было взято в скобки.

Как сделать степень в степени

Пример 6. Выполнить возведение в степень в выражении (10xy) 2

Как сделать степень в степени

Пример 7. Выполнить возведение в степень в выражении (−5x) 3

Как сделать степень в степени

Пример 8. Выполнить возведение в степень в выражении (−3y) 4

Как сделать степень в степени

Пример 9. Выполнить возведение в степень в выражении (−2abx)⁴

Как сделать степень в степени

Пример 10. Упростите выражение x 5 × (x 2 ) 3

Степень x 5 пока оставим без изменений, а в выражении (x 2 ) 3 выполним возведение степени в степени:

Основное свойство степени можно использовать в случае, если основания исходных степеней одинаковы. В данном примере основания разные, поэтому для начала исходное выражение нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы основания степеней стали одинаковыми.

Запишем решение данного примера:

Как сделать степень в степени

Деление степеней

Чтобы выполнить деление степеней, нужно найти значение каждой степени, затем выполнить деление обыкновенных чисел.

Как сделать степень в степени

Если при делении степеней основания окажутся одинаковыми, то основание можно оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Например, найдем значение выражения 2 3 : 2 2

Основание 2 оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

Как сделать степень в степени

Данное свойство основано на умножении степеней с одинаковыми основаниями, или как мы привыкли говорить на основном свойстве степени.

Разделить одно число на другое означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст в результате делимое.

Как сделать степень в степени

Таким образом, при делении степеней с одинаковыми основаниями выполняется следующее равенство:

Как сделать степень в степени

Может случиться и так, что одинаковыми могут оказаться не только основания, но и показатели. В этом случае в ответе получится единица.

Как сделать степень в степени

При решении примера 2 2 : 2 2 также можно применить правило деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получается число в нулевой степени, поскольку разность показателей степеней 2 2 и 2 2 равна нулю:

Как сделать степень в степени

В математике принято считать, что любое число в нулевой степени есть единица:

Как сделать степень в степени

Почему число 2 в нулевой степени равно единице мы выяснили выше. Если вычислить 2 2 : 2 2 обычным методом, не используя правило деления степеней, получится единица.

Пример 2. Найти значение выражения 4 12 : 4 10

Воспользуемся правилом деления степеней. Основание 4 оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

4 12 : 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

Пример 3. Представить частное x 3 : x в виде степени с основанием x

Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя. Показатель делителя равен единице. Для наглядности запишем его:

Как сделать степень в степени

Пример 4. Представить частное x 3 : x 2 в виде степени с основанием x

Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

Как сделать степень в степени

Деление степеней можно записывать в виде дроби. Так, предыдущий пример можно записать следующим образом:

Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Деление степеней подробно можно не расписывать. Приведённое сокращение можно выполнить короче:

Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Пример 5. Выполнить деление x 12 : x 3

Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Пример 6. Найти значение выражения Как сделать степень в степени

В числителе выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями:

Как сделать степень в степени

Теперь применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Основание 7 оставляем без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

Как сделать степень в степени

Завершаем пример, вычислив степень 7 2

Как сделать степень в степени

Пример 7. Найти значение выражения Как сделать степень в степени

Выполним в числителе возведение степени в степень. Сделать это нужно с выражением (2 3 ) 4

Как сделать степень в степени

Теперь выполним в числителе умножение степеней с одинаковыми основаниями:

Как сделать степень в степени

Теперь применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

Как сделать степень в степени

Значит, значение выражения Как сделать степень в степениравно 16

В некоторых примерах можно сокращать одинаковые множители в ходе решения. Это позволяет упростить выражение и само вычисление в целом.

Как сделать степень в степени

В числителе выполним возведение степени в степень. Сделать это нужно с выражением (2 2 ) 3

Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Пример 8. Найти значение выражения Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Теперь можно применить правило деления степеней:

Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Возведение в степень обыкновенных дробей

Чтобы возвести в степень обыкновенную дробь, нужно возвести в указанную степень числитель и знаменатель этой дроби.

Например, возведём обыкновенную дробь во вторую степень. Возьмём в скобки данную дробь и в качестве показателя укажем 2

Как сделать степень в степени

Итак, чтобы вычислить значение выражения Как сделать степень в степени, нужно возвести во вторую степень числитель и знаменатель данной дроби:

Как сделать степень в степени

Получили дробь в числителе и в знаменателе которой содержатся степени. Вычислим каждую степень по отдельности

Как сделать степень в степени

Значит обыкновенная дробь во второй степени равна дроби Как сделать степень в степени.

Приведённое правило работает следующим образом. Дробь во второй степень это произведение двух дробей, каждая из которых равна

Как сделать степень в степени

Мы помним, что для перемножения дробей необходимо перемножить их числители и знаменатели:

Как сделать степень в степени

А поскольку в числителе и в знаменателе происходит перемножение одинаковых множителей, то выражения 2 × 2 и 3 × 3 можно заменить на 2 2 и 3 2 соответственно:

Как сделать степень в степени

Откуда и получится ответ Как сделать степень в степени.

Вообще, для любого a и b ≠ 0 выполняется следующее равенство:

Как сделать степень в степени

Это тождественное преобразование называют возведением в степень обыкновенной дроби.

Пример 2. Возвести дробь Как сделать степень в степенив третью степень

Заключим данную дробь в скобки и в качестве показателя укажем число 3. Далее возведём числитель и знаменатель данной дроби в третью степень и вычислим получившуюся дробь:

Как сделать степень в степени

Отрицательная дробь возводится в степень таким же образом, но перед вычислениями надо определиться какой знак будет иметь ответ. Если показатель четный, то ответ будет положительным. Если показатель нечетный, то ответ будет отрицательным.

Например, возведём дробь Как сделать степень в степениво вторую степень:

Как сделать степень в степени

Показатель является чётным числом. Значит ответ будет положительным. Далее применяем правило возведения в степень дроби и вычисляем получившуюся дробь:

Как сделать степень в степени

Ответ положителен по причине того, что выражение Как сделать степень в степенипредставляет собой произведение двух сомножителей, каждый из которых равен дроби Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

А произведение отрицательных чисел (в том числе и рациональных) есть положительное число:

Как сделать степень в степени

Если возводить дробь Как сделать степень в степенив третью степень, то ответ будет отрицательным, поскольку в данном случае показатель будет нечётным числом. Правило возведения в степень остаётся тем же, но перед выполнением этого возведения, нужно будет поставить минус:

Как сделать степень в степени

Здесь ответ отрицателем по причине того, что выражение Как сделать степень в степенипредставляет собой произведение трёх множителей, каждый из которых равен дроби Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Сначала перемножили Как сделать степень в степении Как сделать степень в степени, получили Как сделать степень в степени, но затем умножив Как сделать степень в степенина Как сделать степень в степенимы получим отрицательный ответ Как сделать степень в степени

Как сделать степень в степени

Пример 3. Найти значение выражения Как сделать степень в степени

Выполним возведение в степень обыкновенной дроби:

Как сделать степень в степени

Далее вычислим значение получившегося выражения:

Как сделать степень в степени

Возведение в степень десятичных дробей

При возведении в степень десятичной дроби её необходимо заключить в скобки. Например, возведём во вторую степень десятичную дробь 1,5

Как сделать степень в степени

Допускается переводить десятичную дробь в обыкновенную и возводить в степень эту обыкновенную дробь. Решим предыдущий пример, переведя десятичную дробь в обыкновенную:

Как сделать степень в степени

Пример 2. Найти значение степени (−1,5) 3

Показатель степени является нечётным числом. Значит ответ будет отрицательным

Как сделать степень в степени

Пример 3. Найти значение степени (−2,4) 2

Показатель степени является чётным числом. Значит ответ будет положительным:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *