Как вычислить предел

Как вычислить предел

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Как вычислить предел

Примеры решений

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Внимание «чайникам» 🙂 Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем.

Алгоритм вычисления лимитов

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Источник

Пределы функций. Примеры решений

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

Как вычислить предел

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела Как вычислить предел.
2) Записи под значком предела, в данном случае Как вычислить предел. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно Как вычислить предел, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность (Как вычислить предел).
3) Функции под знаком предела, в данном случае Как вычислить предел.

Сама запись Как вычислить пределчитается так: «предел функции Как вычислить пределпри икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала Как вычислить предел, затем Как вычислить предел, Как вычислить предел, …, Как вычислить предел, ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Как вычислить предел

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Как вычислить предел

Разбираемся, что такое Как вычислить предел? Это тот случай, когда Как вычислить пределнеограниченно возрастает, то есть: сначала Как вычислить предел, потом Как вычислить предел, потом Как вычислить предел, затем Как вычислить предели так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией Как вычислить предел?
Как вычислить предел, Как вычислить предел, Как вычислить предел, …

Итак: если Как вычислить предел, то функция Как вычислить пределстремится к минус бесконечности:

Как вычислить предел

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию Как вычислить пределбесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Как вычислить предел

Опять начинаем увеличивать Как вычислить пределдо бесконечности и смотрим на поведение функции:
Как вычислить предел

Вывод: при Как вычислить пределфункция Как вычислить пределнеограниченно возрастает:
Как вычислить предел

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

Как вычислить предел, Как вычислить предел, Как вычислить предел, Как вычислить предел, Как вычислить предел, Как вычислить предел, Как вычислить предел, Как вычислить предел, Как вычислить предел, Как вычислить предел
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если Как вычислить предел, попробуйте построить последовательность Как вычислить предел, Как вычислить предел, Как вычислить предел. Если Как вычислить предел, то Как вычислить предел, Как вычислить предел, Как вычислить предел.

! Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: Как вычислить предел, то все равно Как вычислить предел, так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как Как вычислить предел, Как вычислить предел, Как вычислить предели т.д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!

На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже:

Пределы с неопределенностью вида Как вычислить предели метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда Как вычислить предел, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Вычислить предел Как вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида Как вычислить предел. Можно было бы подумать, что Как вычислить предел, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим Как вычислить пределв старшей степени:
Как вычислить предел
Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим Как вычислить пределв старшей степени:
Как вычислить предел
Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность Как вычислить пределнеобходимо разделить числитель и знаменатель на Как вычислить пределв старшей степени.

Как вычислить предел
Разделим числитель и знаменатель на Как вычислить предел
Как вычислить предел

Вот оно как, ответ Как вычислить предел, а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак Как вычислить предел, он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
Как вычислить предел
Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Найти предел Как вычислить предел
Снова в числителе и знаменателе находим Как вычислить пределв старшей степени:
Как вычислить предел
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности Как вычислить пределделим числитель и знаменатель на Как вычислить предел.
Полное оформление задания может выглядеть так:

Как вычислить предел

Разделим числитель и знаменатель на Как вычислить предел

Как вычислить предел

Найти предел Как вычислить предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( Как вычислить пределможно записать как Как вычислить предел)
Для раскрытия неопределенности Как вычислить пределнеобходимо разделить числитель и знаменатель на Как вычислить предел. Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Как вычислить предел

Разделим числитель и знаменатель на Как вычислить предел

Как вычислить предел

Под записью Как вычислить пределподразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида Как вычислить пределу нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида Как вычислить предели метод их решения

Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о бесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее.

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида Как вычислить предел, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел
Как вычислить предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Как вычислить предел
Сначала находим дискриминант:
Как вычислить предел
И квадратный корень из него: Как вычислить предел.

В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни:
Как вычислить предел
Как вычислить предел

Таким образом:
Как вычислить предел

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель Как вычислить пределуже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Как вычислить предел

Очевидно, что можно сократить на Как вычислить предел:

Как вычислить предел

Как вычислить предел

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Как вычислить предел

Разложим числитель на множители.
Как вычислить предел
Как вычислить предел
Как вычислить предел
Как вычислить предел
Как вычислить предел
Как вычислить предел

Как вычислить предел

Вычислить предел Как вычислить предел

Сначала «чистовой» вариант решения

Как вычислить предел

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: Как вычислить предел
Знаменатель:
Как вычислить предел
Как вычислить предел
Как вычислить предел
Как вычислить предел, Как вычислить предел
Как вычислить предел

Как вычислить предел

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида Как вычислить предел

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Найти предел Как вычислить предел

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Как вычислить предел

Получена неопределенность вида Как вычислить предел, которую нужно устранять.
Как вычислить предел

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности Как вычислить пределиспользуют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: Как вычислить предел
И смотрим на наш предел: Как вычислить предел
Что можно сказать? Как вычислить пределу нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать Как вычислить предел(которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Как вычислить предел

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо, Как вычислить пределмы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на Как вычислить предел:

Как вычислить предел

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу Как вычислить предел:

Как вычислить предел

Неопределенность Как вычислить пределне пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Как вычислить предел

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:
Как вычислить предел

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:

Как вычислить предел

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Как вычислить предел

Найти предел Как вычислить предел

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Как вычислить предел

Разложим числитель на множители:
Как вычислить предел
Как вычислить предел
Как вычислить предел
Как вычислить предел
Как вычислить предел
Как вычислить предел

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Как вычислить предел

Спасибо за внимание.

Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемые Замечательные пределы. После освоения двух базовых уроков, рекомендую изучить статью Методы решения пределов, материалы которой позволят выйти на «твёрдую четвёрку»!

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Как вычислить предел «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Как вычислить предел Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys

Источник

Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений

Как вычислить предел

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Как вычислить предел

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Как вычислить предел

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Как вычислить предел

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Как вычислить предел

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Как вычислить предел

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Как вычислить предел

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Как вычислить предел

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Как вычислить предел

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Как вычислить предел

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как вычислить предел

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Как вычислить предел

Сократим и получим:

Как вычислить предел

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Как вычислить предел

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Как вычислить предел

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Как вычислить предел

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Как вычислить предел

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Как вычислить предел

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Числовая последовательность.
Как найти предел последовательности?

На данном уроке мы узнаем много интересного из жизни участников большого сообщества под названием Вконтакте числовые последовательности. Рассматриваемая тема относится не только к курсу математического анализа, но и затрагивает основы дискретной математики. Кроме того, материал потребуется для освоения других разделов вышки, в частности, в ходе изучения числовых рядов и функциональных рядов. Можно банально сказать, что это важно, можно ободряюще сказать, что это просто, можно сказать ещё много дежурных фраз, однако сегодня первая, необыкновенно ленивая учебная неделя, поэтому меня жутко ломает сочинять первый абзац =) Уже в сердцАх сохранил файл и собрался спать, как вдруг… голову озарила идея чистосердечного признания, которое невероятно облегчило душу и подтолкнуло к дальнейшему стуку пальцами по клавиатуре.

Отвлечёмся от летних воспоминаний, и заглянем в этот увлекательный и позитивный мир новой социальной сети:

Понятие числовой последовательности

Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.

Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности располагаются строго в определённом порядке. Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер:
Как вычислить предел

С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению Как вычислить пределпо некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число Как вычислить предел. Тогда говорят, что задана числовая последовательность Как вычислить предел.

Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.

При этом:
Как вычислить пределназывают первым членом последовательности;
Как вычислить пределвторым членом последовательности;
Как вычислить пределтретьим членом последовательности;

Как вычислить пределэнным или общим членом последовательности;

На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена, например:
Как вычислить предел– последовательность положительных чётных чисел:
Как вычислить предел

Таким образом, запись Как вычислить пределоднозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям Как вычислить пределв соответствие ставятся числа Как вычислить предел. Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:

Последовательность положительных нечётных чисел Как вычислить предел:
Как вычислить предел

Ещё одна распространённая последовательность Как вычислить предел:
Как вычислить предел

Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.

На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию. Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть Как вычислить предел– первый член, а Как вычислить пределшаг арифметической прогрессии. Тогда:
Как вычислить предел– второй член данной прогрессии;
Как вычислить предел– третий член данной прогрессии;
Как вычислить предел– четвертый;
Как вычислить предел– пятый;

И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной формулой Как вычислить предел

Примечание: в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.

Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до Как вычислить предел, нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии: Как вычислить предел. В нашем случае:
Как вычислить предел

Подставьте в формулу Как вычислить пределнатуральные номера Как вычислить предели проверьте правильность построенной выше числовой последовательности.

Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии, энный член которой задаётся формулой Как вычислить предел, где Как вычислить предел– первый член Как вычислить предел, а Как вычислить пределзнаменатель прогрессии Как вычислить предел. В заданиях по матану первый член частенько равен единице.

прогрессия Как вычислить пределзадаёт последовательность Как вычислить предел;
прогрессия Как вычислить пределзадаёт последовательность Как вычислить предел;
прогрессия Как вычислить пределзадаёт последовательность Как вычислить предел;
прогрессия Как вычислить пределзадаёт последовательность Как вычислить предел.

Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно –1, а в чётной – единице.

Прогрессию называют бесконечно убывающей, если Как вычислить предел(последние два случая).

Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора:

Последовательность Как вычислить пределна математическом жаргоне называют «мигалкой»:
Как вычислить предел

Таким образом, члены последовательности могут повторяться. Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел.

А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например, Как вычислить пределзадаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»: Как вычислить предел

Факториал: Как вычислить предел
Всего лишь свёрнутая запись произведения:
Как вычислить предел

Отнюдь не графомания, пригодится для задач 😉 Рекомендую осмыслить-запомнить и даже переписать в тетрадь. …Пришёл тут в голову один вопрос: а почему никто не создаёт такие полезные граффити? Едет себе человек в поезде, смотрит в окно и изучает факториалы. Панки отдыхают =)

Возможно, некоторым читателям всё-таки ещё не до конца понятно, как расписать члены последовательности, зная общий член. Тот редкий случай, когда контрольный выстрел возвращает к жизни:

Разберёмся с последовательностью Как вычислить предел.

Сначала подставим в энный член значение Как вычислить предели внимательно проведём вычисления:
Как вычислить предел

Далее подставим в общий член Как вычислить предел:
Как вычислить предел

Потом подставим следующий номер Как вычислить предел:
Как вычислить предел

Четвёрку:
Как вычислить предел

Чего уж, теперь и отличную отметку не зазорно заработать:
Как вычислить предел

и так далее… пока разогреется самый последний чайник!

Понятие предела последовательности. Простейшие примеры

Для лучшего осмысления нижеследующей информации желательно ПОНИМАТЬ, что такое предел функции. Конечно, в стандартном курсе математического анализа сначала рассматривают предел последовательности и только потом предел функции, но дело в том, что о самой сущности предела я уже подробно рассказывал. Более того, в теории числовая последовательность считается частным случаем функции, и людям, которые знакомы с пределом функции, будет заметно веселее.

Впрочем, дальше могут читать все-все-все, однако если у вас возникнет непонимание или недопонимание чего-либо, то, пожалуйста, начните с пределов функций.

Пригласим на танец незамысловатую подругу Как вычислить предел:
Как вычислить предел

Что происходит, когда «эн» увеличивается до бесконечности? Очевидно, что члены последовательности будут бесконечно близко приближаться к нулю. Это и есть предел данной последовательности, который записывается следующим образом:
Как вычислить предел

Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой.

В теории математического анализа даётся строгое определение предела последовательности через так называемую эпсилон-окрестность. Этому определению будет посвящёна следующая статья, а пока что разберём его смысл:

Изобразим на числовой прямой члены последовательности Как вычислить предели симметричную относительно нуля (предела) Как вычислить предел-окрестность:
Как вычислить предел
Теперь зажмите синюю окрестность рёбрами ладоней и начинайте её уменьшать, стягивая к пределу (красной точке). Число Как вычислить пределявляется пределом последовательности, если ДЛЯ ЛЮБОЙ заранее выбранной Как вычислить предел-окрестности (сколь угодно малой) внутри неё окажется бесконечно много членов последовательности, а ВНЕ неё – лишь конечное число членов (либо вообще ни одного). То есть эпсилон-окрестность может быть микроскопической, да и того меньше, но «бесконечный хвост» последовательности рано или поздно обязан полностью зайти в данную окрестность.

Последовательность Как вычислить пределтоже бесконечно малА: Как вычислить пределс той разницей, что её члены не прыгают туда-сюда, а подбираются к пределу исключительно справа.

Естественно, предел может быть равен и любому другому конечному числу, элементарный пример:
Как вычислить предел

Здесь дробь стремится к нулю, и соответственно, предел равен «двойке».

Если у последовательности Как вычислить пределсуществует конечный предел Как вычислить предел, то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при Как вычислить предел). В противном случае – расходящейся, при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой. Пронесёмся галопом по примерам первого параграфа:

Последовательности Как вычислить пределявляются бесконечно большими, поскольку их члены уверенным ходом продвигаются к «плюс бесконечности»:
Как вычислить предел

Арифметическая прогрессия с первым членом Как вычислить предели шагом Как вычислить пределтоже бесконечно великА:
Как вычислить предел

К слову, расходится и любая арифметическая прогрессия, за исключением случая с нулевым шагом – когда к конкретному числу Как вычислить пределбесконечно добавляется Как вычислить предел. Предел такой последовательности существует и совпадает с первым членом.

У последовательностей Как вычислить пределсхожая судьба:
Как вычислить предел

Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, как ясно уже из названия, бесконечно малА:
Как вычислить предел

Если знаменатель геометрической прогрессии Как вычислить предел, то последовательность бесконечно великА:
Как вычислить предел

Если же Как вычислить предел, например, Как вычислить предел, то предела Как вычислить пределвообще не существует, так как члены Как вычислить пределбез устали прыгают то к «плюс бесконечности», то к «минус бесконечности». А здравый смысл и теоремы матана подсказывают, что если что-то куда-то и стремится, то это заветное место единственно.

После небольшого разоблачения Как вычислить пределстановится понятно, что в безудержных метаниях виновата «мигалка», которая, кстати, расходится и сама по себе.
Действительно, для последовательности Как вычислить пределлегко подобрать Как вычислить предел-окрестность, которая, скажем, зажимает только число –1. В результате бесконечное количество членов последовательности («плюс единиц») останутся вне данной окрестности. Но по определению, «бесконечный хвост» последовательности с определённого момента (натурального номера) должен полностью заходить в ЛЮБУЮ Как вычислить предел-окрестность своего предела. Вывод: предела Как вычислить пределне существует.

Факториал Как вычислить пределявляется бесконечно большой последовательностью:
Как вычислить предел

Причём, растёт он как на дрожжах, так, Как вычислить пределпредставляет собой число, у которого более 100 цифр (разрядов)! Почему именно 70? На нём просит пощады мой инженерный микрокалькулятор.

С контрольным выстрелом всё чуть сложнее, и мы как раз подошли к практической части лекции, в которой разберём боевые примеры:

Как найти предел последовательности?

А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы. Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции:
Как вычислить предел

В пределе последовательности «динамическая» переменная «эн» может стремиться только к «плюс бесконечности» – в сторону увеличения натуральных номеров Как вычислить предел.
В пределе функции «икс» может быть направлен куда угодно – к «плюс/минус бесконечности» либо к произвольному действительному числу.

Последовательность дискретна (прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов. Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять. Для аргумента же функции характерна непрерывность, то есть «икс» плавно, без приключений стремится к тому или иному значению. И, соответственно, значения функции будут так же непрерывно приближаться к своему пределу.

По причине дискретности в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей.

Начнём с прогрессий:

Найти предел последовательности
Как вычислить предел

Решение: нечто похожее на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но она ли это? Для ясности распишем несколько первых членов:
Как вычислить предел

Так как Как вычислить предел, то речь идёт о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая рассчитывается по формуле Как вычислить предел.

Как вычислить предел

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Как вычислить предел. В данном случае: Как вычислить предел– первый член, Как вычислить предел– знаменатель прогрессии.

Главное, совладать с четырёхэтажностью дроби:

Как вычислить предел

Написать первые четыре члена последовательности и найти её предел
Как вычислить предел

Это пример для самостоятельного решения. Для устранения неопределённости Как вычислить пределв числителе потребуется применить формулу суммы Как вычислить пределпервых членов арифметической прогрессии:
Как вычислить предел, где Как вычислить предел– первый, а Как вычислить предел– энный член прогрессии.

Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость Как вычислить предел– одна из самых популярных.
И многие примеры решаются точно так же, как пределы функций
!

Как вычислить предел

Как вычислить эти пределы? Смотрите Примеры № 1-3 урока Пределы. Примеры решений.

А может быть что-нибудь посложнее наподобие Как вычислить предел? Ознакомьтесь с Примером № 3 статьи Методы решения пределов.

С формальной точки зрения разница будет лишь в одной букве – там «икс», а здесь «эн».
Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени.

Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость Как вычислить предел. Как решать пределы вроде Как вычислить пределможно узнать из Примеров № 11-13 той же статьи.

Чтобы разобраться с пределом Как вычислить предел, обратитесь к Примеру № 7 урока Замечательные пределы (второй замечательный предел справедлив и для дискретного случая). Решение снова будет как под копирку с различием в единственной букве.

Следующие четыре примера (№ 3-6) тоже «двулики», но на практике почему-то больше характерны для пределов последовательностей, чем для пределов функций:

Найти предел последовательности
Как вычислить предел

Решение: сначала полное решение, потом пошаговые комментарии:
Как вычислить предел

(1) В числителе дважды используем формулу Как вычислить предел.

(2) Приводим подобные слагаемые в числителе.

(3) Для устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на Как вычислить предел(«эн» в старшей степени).

Как видите, ничего сложного.

Найти предел последовательности
Как вычислить предел

Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения в помощь.

В пределах с показательными последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя:

Найти предел последовательности
Как вычислить предел

Решение оформим по той же схеме:
Как вычислить предел

(1) Используя свойства степеней, вынесем из показателей всё лишнее, оставив там только «эн».

(2) Смотрим, какие показательные последовательности есть в пределе: Как вычислить предели выбираем последовательность с наибольшим основанием: Как вычислить предел. В целях устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на Как вычислить предел.

(3) В числителе и знаменателе проводим почленное деление. Поскольку Как вычислить пределявляется бесконечно убывающей геометрической прогрессией Как вычислить предел, то она стремится к нулю. И тем более к нулю стремится константа, делённая на растущую прогрессию: Как вычислить предел. Делаем соответствующие пометки и записываем ответ.

Найти предел последовательности
Как вычислить предел

Это пример для самостоятельного решения.

Как-то незаслуженно остался в забвении стильный почерк, присущий только пределу последовательности. Пора исправить ситуацию:

Найти предел последовательности
Как вычислить предел

Решение: чтобы избавиться от «вечного соперника» Как вычислить пределнужно расписать факториалы в виде произведений. Но прежде, чем приступить к математическому граффити, рассмотрим конкретный пример, например: Как вычислить предел.

Последним множителем в произведении идёт шестёрка. Что нужно сделать, чтобы получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: 6 – 1 = 5. Чтобы получить множитель, который располагается ещё дальше, нужно из пятёрки ещё раз вычесть единичку: 5 – 1 = 4. И так далее.

Не беспокойтесь, это не урок в первом классе коррекционной школы, на самом деле мы знакомимся с важным и универсальным алгоритмом под названием «как разложить любой факториал». Давайте разделаемся с самым злостным флудером нашего чата: Как вычислить предел

Очевидно, что последним множителем в произведении будет Как вычислить предел.

Как получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: Как вычислить предел

Как достать прадедушку? Ещё раз вычесть единицу: Как вычислить предел.

Ну и ещё на один шаг продвинемся вглубь: Как вычислить предел

Таким образом, наше чудовище распишется следующим образом:
Как вычислить предел

С факториалами числителя всё проще, так, мелкие хулиганы.

Оформляем решение:
Как вычислить предел

(1) Расписываем факториалы

(2) В числителе ДВА слагаемых. Выносим за скобки всё, что можно вынести, в данном случае это произведение Как вычислить предел. Квадратные скобки, как я где-то пару раз говорил, отличаются от круглых скобок только своей квадратностью.

(3) Сокращаем числитель и знаменатель на Как вычислить предел…. …хммм, флуда тут и впрямь много.

(4) Упрощаем числитель

(5) Сокращаем числитель и знаменатель на Как вычислить предел. Тут в известной степени повезло. В общем случае вверху и внизу получаются заурядные многочлены, после чего приходится выполнять стандартное действие – делить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени.

Более подготовленные студенты, которые легко раскладывают факториалы в уме, могут решить пример значительно быстрее. На первом шаге делим почленно числитель на знаменатель и мысленно выполняем сокращения:
Как вычислить предел

Но способ с разложением всё-таки более основателен и надёжен.

Найти предел последовательности
Как вычислить предел

Это пример для самостоятельного решения.

Желающие набить руку на рассмотренных типах пределов могут обратиться к сборнику Кузнецова. Около 150 прорешанных примеров можно найти здесь >>> (задачи № 2-6).

Как и в любом обществе, среди числовых последовательностей попадаются экстравагантные личности.

Теорема: произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность – есть бесконечно малая последовательность.

Если вам не очень понятен термин «ограниченность», пожалуйста, изучите статью об элементарных функциях и графиках.

Аналогичная теорема справедлива, кстати, и для функций: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию – есть бесконечно малая функция.

Найти предел последовательности
Как вычислить предел

Решение: последовательность Как вычислить предел– ограничена: Как вычислить предел, а последовательность Как вычислить предел– бесконечно малА, значит, по соответствующей теореме:
Как вычислить предел

Просто и со вкусом. Да-да, так и оформляем.

А почему бы и нет?

Найти предел последовательности
Как вычислить предел

Это пример для самостоятельного решения.

Ещё две распространённые ограниченные функции – арктангенс и арккотангенс:
Как вычислить предел

Аргументы перечисленных тригонометрических функций могут быть заполнены знатной абракадаброй, но это не должно приводить в панику – существенно то, что последовательности ограничены!

Иногда в ходе вычисления пределов последовательностей приходится использовать довольно неожиданные приёмы:

Найти предел последовательности
Как вычислить предел

Решение: неопределённость Как вычислить пределможно раскрутить двумя способами. Первый путь – через первый замечательный предел, который справедлив, как ни странно, и для последовательностей:
Как вычислить предел

(1) Используем формулу Как вычислить предел.

(2) Избавляемся от косинуса, указывая, что он стремится к единице.

(3) Неопределённость Как вычислить пределне устранена, но теперь вместо тангенса у нас синус, и появляется возможность организовать 1-й замечательный предел. Проводим стандартный искусственный приём: делим всё выражение на Как вычислить предели, чтобы ничего не изменилось, домножаем на Как вычислить предел.

(4) Используем первый замечательный предел Как вычислить предел, при этом, в качестве бесконечно малой величины выступает Как вычислить предел, которая, понятно, стремится к нулю при Как вычислить предел.

Прокатывает и 2-й метод решения – через замечательные эквивалентности:
Как вычислить предел

Заменим бесконечно малую последовательность эквивалентной:
Как вычислить пределпри Как вычислить предел.
В данном случае Как вычислить предел

Как вычислить предел

Найти предел последовательности
Как вычислить предел

Это пример для самостоятельного решения. Здесь аргумент арктангенса также бесконечно мал, поскольку его знаменатель более высокого порядка роста, чем числитель. Решать, разумеется, значительно выгоднее через замечательную эквивалентность.

Оба рассмотренных примера справедливы и для функций, похожие пределы также разобраны в Примерах 12-13 урока о бесконечно малых величинах.

В заключение урока рассмотрим ещё один важный вопрос:

Как найти предел знакочередующейся последовательности?

Такая последовательность уже неоднократно встречалась в статье, например, первая скрипка теоретического параграфа Как вычислить предел.

Действительно, как аналитически найти предел знакочередующейся последовательности, если знак то «плюс», то «минус»?

И я, наконец-то, заряжаю в свой револьвер тот самый волшебный патрон:

Найти предел последовательности Как вычислить предел

Решение: на первом шаге следует найти предел последовательности Как вычислить предел, которая составлена из модулей членов. Знак модуля уничтожает возможный минус, поэтому чтобы получить Как вычислить предел, нужно попросту убрать множитель, обеспечивающий знакочередование. Чаще всего это «мигалка»:
Как вычислить предел

Теперь как ни в чём не бывало, вымучиваем наш обычный предел:
Как вычислить предел

Получено конечное число. Очевидно, что знакочередование не поменяет сути – члены последовательности будут «прыгать» вокруг своего предела, бесконечно близко приближаясь к нему. Собственно, это проиллюстрировано на единственном рисунке данного урока.

Ситуация принципиально такая же, как, например, у более простых последовательностей Как вычислить предел.

Ответ: так как последовательность является знакочередующейся и Как вычислить предел, то Как вычислить предел.

Если в ходе исследования знакочередующейся последовательности Как вычислить пределполучен бесконечный результат Как вычислить предел(или если предела нет), то у последовательности Как вычислить пределпредела не существует вообще. Такой инцидент напоминает историю с Как вычислить предел.

Наше увлекательное путешествие в мир последовательностей подошло к концу и, надеюсь, оно составило достойную конкуренцию Вконтакте =) =) =)

Успехов в учёбе!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:
Как вычислить предел
Найдём предел последовательности:
Как вычислить предел
Используем формулу суммы Как вычислить пределпервых членов арифметической прогрессии Как вычислить предел.
В данном случае Как вычислить предел
Как вычислить предел

Пример 4: Решение:
Как вычислить предел

Пример 6: Решение:
Как вычислить предел

Пример 8: Решение:
Как вычислить предел

Пример 10: Решение: последовательность Как вычислить предел– ограничена: Как вычислить предел, а последовательность Как вычислить предел, значит, по соответствующей теореме:
Как вычислить предел

Пример 12: Решение:
Как вычислить предел
Заменим бесконечно малую эквивалентной: Как вычислить пределпри Как вычислить предел.
В данном примере Как вычислить предел.
Как вычислить предел

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Как вычислить предел «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Как вычислить предел Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys

Источник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение пределов.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции. Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс вычисления предела.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Немного теории.

Предел функции при \( x \to x_0 \)

Пусть функция \( f(x) \) определена на некотором множестве \(X\) и пусть точка \( x_0 \in X \) или \( x_0 \notin X \)

Определение. Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \( x = x_0 \) (или при \( x \to x_0 \) ), если для любой сходящейся к \(x_0\) последовательности (1) значений аргумента \(x\), отличных от \(x_0\) соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу \(A\).

Функция \(f(x)\) может иметь в точке \(x_0\) только один предел. Это следует из того, что последовательность \( \left\ < f(x_n) \right\>\) имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Предел функции при \( x \to x_ <0->\) и при \( x \to x_ <0+>\)

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число \(A\) называется правым (левым) пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), если для любой сходящейся к \(x_0\) последовательности (1), элементы \(x_n\) которой больше (меньше) \(x_0\), соответствующая последовательность (2) сходится к \(A\).

Кроме рассмотренных понятий предела функции при \( x \to x_0 \) и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) при \( x \to \infty \), если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к \(A\).

Теоремы о пределах функций

Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.

Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида \( \frac<0> <0>\) и \( \frac<\infty> <\infty>\).

Источник

Предел функции: примеры решений

Как вычислить предел

Обновлено: 24 Октября 2021

Рассмотрим понятие и определение предела, разберем основные решения пределов.

Разбор записи предела на математическом языке

Любой предел состоит из трех частей:

Данная запись читается так: «предел функции \(\lim_\frac<3x^2-2x-5>\) при икс стремящемся к единице». Что же значит выражение «икс стремится к единице»?

Понятие предела, в отличие от большинства известных математических понятий, динамическое, то есть нет какого-то статичного, неменяющегося числа или тождества в качестве его определения. Построим последовательность:

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность:

Все данные значения x и разница между ними настолько малы и близки к одной точке (в данном случае к единице), что можно сказать, что «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают. Это и означает «икс стремится к единице».

Предел последовательности: определение и свойства

Предел последовательности, как и предел функции, является одним из основных понятий математического анализа. По сути, каждое вещественное число может быть представлено в виде последовательности максимально приближенных к нему чисел.

Вещественные (действительные) числа обозначаются как ε (эпсилон) и принадлежат множеству R, которое включает в себя все натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа.

Как вычислить предел

Теперь обратимся к определению предела последовательности и разберем, что же оно означает.

Для лучшего восприятия понятия «окрестность» рассмотрим следующее изображение:

Как вычислить предел

Окрестностью в данном случае являются интервалы слева и справа от x0, причем окрестность может быть проколотой (третий случай), то есть сама точка x0 не входит в заданный интервал.

На математическом языке данное определение записывается следующим образом:

Свойства

1. Постоянный множитель c можно выносить за знак предела. На математическом языке данное утверждение выглядит так:

\(\lim_\;(c\times x_n)=cA=c\;\lim_\;x_n\) В данном случае n стремится к бесконечности, то есть мы имеем неопределенно большое количество значений x0 . Теперь докажем это свойство. Примем \(\lim_\;x_n\) за A, тогда переменную \(x_n\) мы можем представить в виде:

где \(a_n\) — бесконечно малая величина. Очевидно, что:

где \(\alpha_n\) и \(\beta_n\) — некоторые бесконечно малые величины.

Тогда \(x_n\pm y_n=(A\pm B)+(\alpha_n\pm\beta_n)\)

Учитывая, что \((\alpha_n\pm\beta_n)\) — бесконечно малая величина, получаем:

\(\lim_<>(x_n\pm y_n)=(A\pm B)=\lim_<>(x_n)\pm\lim_<>(y_n) \) Аналогично:

\(x_n\times y_n=(A\pm\alpha_n)(B\pm\beta_n)=AB+(B\alpha_n+A\beta_n+\alpha_n\beta_n)\)

Осталось распознать в выражении \( (B\alpha_n+A\beta_n+\alpha_n\beta_n)\) бесконечно малую величину, что влечет за собой:

\(\lim_<>(x_n\times y_n)=AB=\lim_<>x_n\times\lim_<>y_n\\\\ \)

Далее покажем, что отношение \(\frac\) можно представить в виде:

Что и требовалось доказать.

Определенного доказательства данного свойства нет, однако интуитивно мы можем провести следующие умозаключения.

Пусть \(\underset<><\lim\;>y_n=A,\) тогда:

\(y_n=A+\alpha_n\)

где \( \alpha_n\) – некоторая бесконечно малая величина.

Что и требовалось доказать.

Предел функции

Обратимся сразу к определению.

Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x→a, если, задав некоторое произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в ε-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 \(\lim_f(x)=f(a)\)

Для того, чтобы функция являлась непрерывной, обязательно должны выполнятся 3 условия:

Существуют и другие определения, которые, как и в случае с определением пределов по Коши и по Гейне, различаются по формулировке для наиболее удобного использования.

Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то её называют непрерывной на данном промежутке.

Также можно дать определение непрерывности справа или слева от точки.

Функция f(x) называется непрерывной справа/слева в точке x0, если она определена на некоторой правосторонней/левосторонней окрестности \(U(x_0+0)/U(x_0-0)\) этой точки, и если правый/левый предел в точке x0 равен значению функции в x0.

Вычисление пределов

Рассмотрим примеры вычисления пределов.

Простейшие пределы

Для начала обратимся к простейшему пределу, который был рассмотрен в самом начале: \(\lim_\frac<3x^2-2x-5>\)

В данном случае можно попробовать просто подставить единицу (так как предел стремится к единице) в выражение. Тогда:

Да, это работает только с простейшими пределами, которые, на самом деле, на практике встречаются не редко, так что попробовать просто подставить икс в выражение — одно из возможных решений.

Теперь попробуем сделать то же самое с пределом, который стремится к бесконечности.

Икс стремится к бесконечности \((x\rightarrow\infty)\) означает, что икс неограниченно возрастает (например, х=10, х=100, х=1000, х=10000 и так далее).

Рассмотрим предел \(\lim_(1-x)\) и подставим в функцию (1-x) бесконечность. Получается, что функция стремится к минус бесконечности. В данном случае метод «подстановки» тоже работает.

Даже если числитель функции в пределе, стремящимся к бесконечности, кажется очень большим — миллион, миллиард и т. п., весь предел все равно будет равен нулю, так как знаменатель, зависящий от бесконечности, в какой-то момент начнет принимать значения, гораздо большие, чем числитель. То есть:

Итак, когда мы видим простейший предел, сначала нужно попробовать подставить в функцию «х».

Выражения для самостоятельного решения:

Пределы с неопределенностью вида \(\frac\infty\infty\)

Неопределенность вида \(\frac\infty\infty\) появляется, когда мы пытаемся подставить «х» в предел стремящийся к бесконечности и имеющий дробную функцию:

Для начала находим и в числителе, и в знаменателе старшую степень икса, а затем выбираем наибольшую из них. В данном случае старшие степени числителя и знаменателя равны, однако это частный случай.

Теперь мы должны и числитель, и знаменатель разделить на х в старшей степени:

Затем анализируем дроби с иксом, мысленно подставляя вместо х бесконечность. Получается, что все эти дроби стремятся к нулю, соответственно, их можно принять за ноль. Значит:

Однако, ответом при решении предела, стремящегося к бесконечности, может быть как любое число — в том числе и ноль, — так и сама бесконечность.

Рассмотрим еще 2 примера, чтобы в этом убедиться.

Поделив числитель и знаменатель на \(x^4\) и подставив бесконечность в получившиеся дроби (для закрепления материала лучше высчитать это самостоятельно), получаем:

Пределы с неопределенностью вида \(\frac00\)

Сразу же возникает логичный вопрос: почему мы делим на ноль, если каждый школьник знает, что на ноль делить нельзя? Если обратиться к определению предела, все встанет на свои места: дело в том, что мы работаем не с самим нулем, а с бесконечно малыми числами и функциями, однако для удобства записываем «0».

Рассмотрим конкретные примеры и научимся решать подобные пределы.

Теперь запомним правило:

Почти всегда для этого необходимо решить квадратное уравнение и/или использовать ФСУ (формулы сокращенного умножения).

В знаменателе мы имеем x+1, это уже простейшая функция, так что знаменатель мы не трогаем.

Применяя стандартные операции для решения квадратного уравнения, раскладываем числитель и получаем (x+1)(5x-7).

Два важных момента, на которые стоит обратить внимание при вычислении дискриминанта:

Очевидно, что (х+1) в числителе и знаменателе можно сократить.

Очень важно при разложении на множители замечать формулы сокращенного умножения! Они могут быть видны не сразу, а после проведения одного или нескольких шагов, например, вынесения числа за скобку.

Чтобы облегчить процесс решения, всегда сразу выносите число за скобку, если это условие это позволяет. Кроме того, часто целесообразно выносить такие числа и за знаки предела, так как они не будут мешаться во время вычислений. Однако нужно быть крайне внимательным, чтобы не потерять в какой-то момент число или знак.

Теперь, для того, чтобы упростить выражение, нужно избавиться от корней. Вообще, в математике стараются избавляться от иррациональности в любом случае, когда это возможно, — так гораздо проще жить.

Что же это за метод? А основан он на всей известной формуле разности квадратов:

Теперь, учитывая формулу в числителе дроби, проводим ряд преобразований и получаем:

Да, избавившись от иррациональности в числителе, мы обрели ее в знаменателе, однако оперировать суммой корней, которую мы получили, гораздо легче. И, вообще, можно сразу подставить в корни тройку и вынести полученное число за знак предела, как упоминалось об это ранее.

А теперь просто раскладываем дробь на множители и получаем конечный ответ:

Примеры для самостоятельного решения:

Мы рассмотрели основное понятие пределов функции и последовательности и разобрали классические варианты решения пределов.

Если же быстро разобраться в этой сложной теме не получается, а сдача важной работы не за горами, вы всегда можете обратиться к авторам ФениксХелп, которые помогут с решением.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *