какая квадратичная форма называется положительно определенной

Положительно определенные квадратичные формы

Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны. Очевидно, что квадратичная форма какая квадратичная форма называется положительно определеннойположительно определена.

Определение. Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением ненулевого значения при ненулевых значениях переменных.

Определение. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений.

Квадратичные формы, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными.

При n=1 квадратичная форма какая квадратичная форма называется положительно определеннойлибо положительно определена (при какая квадратичная форма называется положительно определенной), либо отрицательно определена (при какая квадратичная форма называется положительно определенной). Неопределенные формы появляются при какая квадратичная форма называется положительно определенной.

Теорема (критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы). Для того, чтобы квадратичная форма

какая квадратичная форма называется положительно определенной

была положительно определена, необходимо и достаточно выполнение условий:

какая квадратичная форма называется положительно определенной.

Доказательство. Используем индукцию по числу переменных, входящих в какая квадратичная форма называется положительно определенной. Для квадратичной формы, зависящей от одной переменной какая квадратичная форма называется положительно определенной, какая квадратичная форма называется положительно определеннойи утверждение теоремы очевидно. Положим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы какая квадратичная форма называется положительно определенной, зависящей от n-1 переменных какая квадратичная форма называется положительно определенной.

1. Доказательство необходимости. Пусть

какая квадратичная форма называется положительно определенной

положительно определена. Тогда квадратичная форма

какая квадратичная форма называется положительно определенной

будет положительно определенной, так как если какая квадратичная форма называется положительно определенной, то при какая квадратичная форма называется положительно определенной.

По предположению индукции все главные миноры формы какая квадратичная форма называется положительно определеннойположительны, т.е.

какая квадратичная форма называется положительно определенной.

Остается доказать, что какая квадратичная форма называется положительно определенной.

Положительно определенная квадратичная форма какая квадратичная форма называется положительно определеннойневырожденным линейным преобразованием Х=ВY приводится к каноническому виду

какая квадратичная форма называется положительно определенной.

Квадратичной форме какая квадратичная форма называется положительно определеннойсоответствует диагональная матрица

какая квадратичная форма называется положительно определенной

с определителем какая квадратичная форма называется положительно определенной.

Линейное преобразование, заданное невырожденной матрицей В, преобразует матрицу С квадратичной формы в матрицу какая квадратичная форма называется положительно определенной. Но так как какая квадратичная форма называется положительно определеннойто какая квадратичная форма называется положительно определенной.

2. Доказательство достаточности. Предположим, что все главные миноры квадратичной формы положительны: какая квадратичная форма называется положительно определенной.

Докажем, что квадратичная форма какая квадратичная форма называется положительно определеннойположительно определена. Из предположения индукции вытекает положительная определенность квадратичной формы какая квадратичная форма называется положительно определенной. Поэтому какая квадратичная форма называется положительно определеннойневырожденным линейным преобразованием приводится к нормальному виду какая квадратичная форма называется положительно определенной. Сделав соответствующую замену переменных какая квадратичная форма называется положительно определеннойи положив какая квадратичная форма называется положительно определенной, получим

какая квадратичная форма называется положительно определенной,

где какая квадратичная форма называется положительно определенной— какие-то новые коэффициенты.

Осуществляя замену переменных какая квадратичная форма называется положительно определенной, получим

какая квадратичная форма называется положительно определенной.

Определитель матрицы этой квадратичной формы равен какая квадратичная форма называется положительно определенной, а так как знак его совпадает со знаком какая квадратичная форма называется положительно определенной, то какая квадратичная форма называется положительно определенной, и, значит, квадратичная форма какая квадратичная форма называется положительно определенной— положительно определена. Теорема доказана.

Для того чтобы квадратичная форма какая квадратичная форма называется положительно определеннойбыла отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы

какая квадратичная форма называется положительно определенной

была положительно определенной, а значит, чтобы все главные миноры матрицы

какая квадратичная форма называется положительно определенной

были положительны. Но это означает, что

какая квадратичная форма называется положительно определенной

т.е. что знаки главных миноров матрицы C чередуются, начиная со знака минус.

Пример. Вычислить, является ли квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной или неопределенной.

а) какая квадратичная форма называется положительно определенной.

Решение. Матрица квадратичной формы какая квадратичная форма называется положительно определеннойимеет вид:

какая квадратичная форма называется положительно определенной.

Вычислим главные миноры матрицы С:

какая квадратичная форма называется положительно определенной

Квадратичная форма положительно определена.

б) какая квадратичная форма называется положительно определенной.

Решение. Вычислим главные миноры матрицы

какая квадратичная форма называется положительно определенной

какая квадратичная форма называется положительно определенной

Квадратичная форма является неопределенной.

В заключение сформулируем следующую теорему.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма невырожденными линейными преобразованиями, не зависит от выбора этих преобразований.

7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7

7.1. Доказать, что если квадратичная форма с матрицей А положительно определена, то и квадратичная форма с обратной матрицей какая квадратичная форма называется положительно определеннойположительно определена.

7.2. Найти нормальный вид в области вещественных чисел

какая квадратичная форма называется положительно определенной.

7.3. Найти нормальный вид в области вещественных чисел

какая квадратичная форма называется положительно определенной.

7.4. Найти нормальный вид в области вещественных чисел

какая квадратичная форма называется положительно определенной.

7.5. Найти нормальный вид в области вещественных чисел

какая квадратичная форма называется положительно определенной.

7.6. Найти нормальный вид в области вещественных чисел

какая квадратичная форма называется положительно определенной

7.7. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами

какая квадратичная форма называется положительно определенной.

7.8. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами

какая квадратичная форма называется положительно определенной.

7.9. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами

какая квадратичная форма называется положительно определенной.

7.10. Доказать, что в положительно определенной форме все коэффициенты при квадратах неизвестных положительны и что это условие не является достаточным для положительной определенности формы.

7.11. Выяснить, какие из форм эквивалентны между собой в области вещественных чисел

какая квадратичная форма называется положительно определенной

7.12. Выяснить, какие из форм эквивалентны между собой в области вещественных чисел

какая квадратичная форма называется положительно определенной

7.13. Найти все значения параметра какая квадратичная форма называется положительно определенной, при которых квадратичная форма положительно определена

какая квадратичная форма называется положительно определенной

7.14. Найти все значения параметра какая квадратичная форма называется положительно определенной, при которых квадратичная форма положительно определена

какая квадратичная форма называется положительно определенной

7.15. Найти все значения параметра какая квадратичная форма называется положительно определенной, при которых квадратичная форма положительно определена

Источник

Содержание:

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому п, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Понятие квадратичной формы

Квадратичной формой какая квадратичная форма называется положительно определенной

Пример:

Сумма какая квадратичная форма называется положительно определеннойявляется квадратичной формой от трех неизвестных какая квадратичная форма называется положительно определенной.

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при какая квадратичная форма называется положительно определеннойобозначаются через какая квадратичная форма называется положительно определеннойа коэффициенты при какая квадратичная форма называется положительно определеннойчерез какая квадратичная форма называется положительно определеннойпричем какая квадратичная форма называется положительно определенной„ Член какая квадратичная форма называется положительно определеннойзаписывается в виде какая квадратичная форма называется положительно определеннойПосле этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде: какая квадратичная форма называется положительно определенной

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

какая квадратичная форма называется положительно определенной

какая квадратичная форма называется положительно определенной

результатом скалярного произведения матриц X и АХ. Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид какая квадратичная форма называется положительно определенной. Если какая квадратичная форма называется положительно определенной— произвольный n— мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму какая квадратичная форма называется положительно определеннойвместо X получится число какая квадратичная форма называется положительно определенной, которое называется значением квадратичной формы F(X) на векторе какая квадратичная форма называется положительно определенной.

Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма F(X) имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. какая квадратичная форма называется положительно определеннойпри какая квадратичная форма называется положительно определенной. При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами какая квадратичная форма называется положительно определенной,т.е.:

какая квадратичная форма называется положительно определенной

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

какая квадратичная форма называется положительно определенной

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

какая квадратичная форма называется положительно определенной

где какая квадратичная форма называется положительно определенной-собственные значения матрицы А.

Применим к квадратичной форме линейное преобразование какая квадратичная форма называется положительно определенной— матрица-столбец новых переменных какая квадратичная форма называется положительно определенной— матрица, обратная к S.

какая квадратичная форма называется положительно определенной

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

какая квадратичная форма называется положительно определенной

Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу r квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема, Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис какая квадратичная форма называется положительно определеннойпространства R» называется каноническим базисом квадратичной формы какая квадратичная форма называется положительно определенной, если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. какая квадратичная форма называется положительно определеннойпри какая квадратичная форма называется положительно определенной

Если какая квадратичная форма называется положительно определеннойканонический базис F(X), то выражение: какая квадратичная форма называется положительно определеннойназывается каноническим видом F(X) в базисе какая квадратичная форма называется положительно определеннойгде какая квадратичная форма называется положительно определенной— новый набор неизвестных.

Теорема. Если какая квадратичная форма называется положительно определенной— разложение вектора а по каноническому базису какая квадратичная форма называется положительно определенной квадратичной формы какая квадратичная форма называется положительно определенной то значение F(X) на векторе а вычисляется по формуле какая квадратичная форма называется положительно определенной

Доказательство:

какая квадратичная форма называется положительно определенной

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис какая квадратичная форма называется положительно определеннойквадратичной формы F(X) и ее канонический вид какая квадратичная форма называется положительно определеннойв этом базисе, то для вычисления значения F(a) квадратичной формы F(X) на векторе а достаточно:

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы А и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства Rсостоящий из собственных векторов какая квадратичная форма называется положительно определенной симметрической матрицы какая квадратичная форма называется положительно определенной, является каноническим базисом квадратичной формы какая квадратичная форма называется положительно определенной, а выражение какая квадратичная форма называется положительно определенной— ее каноническим видом в базисе какая квадратичная форма называется положительно определенной,

Доказательство:

Канонический базис Якоби квадратичной формы какая квадратичная форма называется положительно определенной. Будем говорить, что матрица какая квадратичная форма называется положительно определеннойудовлетворяет условию Якоби, если определители:

какая квадратичная форма называется положительно определенной

называемые угловыми минорами матрицы А, не равны нулю. Очевидно, что какая квадратичная форма называется положительно определенной

Обозначим через какая квадратичная форма называется положительно определеннойматрицу:

какая квадратичная форма называется положительно определенной

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д. какая квадратичная форма называется положительно определеннойИз условия какая квадратичная форма называется положительно определеннойследует, что какая квадратичная форма называется положительно определеннойи, значит, каждая система уравнений какая квадратичная форма называется положительно определенной, где какая квадратичная форма называется положительно определеннойвектор диагональной системы, имеет единственное решение какая квадратичная форма называется положительно определенной. Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы А, которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. матрица А квадратичной формы какая квадратичная форма называется положительно определеннойудовлетворяет условию Якоби, система векторов Якоби какая квадратичная форма называется положительно определенной матрицы А является каноническим базисом квадратичной формы какая квадратичная форма называется положительно определенной, а выражение:

какая квадратичная форма называется положительно определенной ее каноническим видом в базисе какая квадратичная форма называется положительно определенной.

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

какая квадратичная форма называется положительно определенной

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *