В цифровой технике применяют две формы представления чисел: с фиксированной и плавающей точкой. Эти формы называют соответственно естественной и полулогарифмической.
Представление чисел с фиксированной точкой.
В случае фиксированной точки (запятой), для всех чисел, над которыми выполняются операции в машине, положение точки строго фиксировано – порядок числа P в машине постоянен. Выбор величины P при использовании чисел с фиксированной точкой (запятой), в принципе, может быть произвольным. Положение точки закрепляется в определенном месте относительно разрядов числа и сохраняется неизменным для всех чисел, при этом точка никак не выделяется в коде числа, а только подразумевается. Множество чисел, которые могут быть изображены с помощью n разрядов, представляют собой на числовой оси ряд из 2 n равностоящих точек с дискретностью, равной весу младшего разряда, которые заполняют некоторую область между Nmin и Nmax. Любое число между Nmin и Nmax может быть изображено с абсолютной погрешностью, не превышающей половины младшего разряда.
Для хранения целых чисел в ячейках памяти предусматривается распределение разрядов (разрядная сетка), показанное в таблице 2.4.
Таблица 2.4
n – 1
n – 2
номера разрядов
знаковый разряды модуля числа
Для всех представляемых чисел их знаки плюс или минус, как правило, обозначают цифрами 0 и 1 соответственно и располагают перед старшим разрядом кода числа. В таблице 2.5 показана разрядная сетка восьмибитного числа.
Таблица 2.5
номера разрядов
– 5110
1
знаковый разряды модуля числа
Каждый разряд двоичного числа называют битом (от binary digit).
Восьмибитовая единица получила название байт (byte).
Если точка фиксирована после младшего разряда, то могут быть представлены только целые числа. Диапазон представления целых беззнаковых чисел:
Если количество значащих разрядов модуля числа превышает n – 1, происходит потеря старших разрядов модуля. Это явление называется переполнением разрядной сетки и приводит к ошибке в представлении числа. Учет знака приводит к уменьшению диапазона представляемых чисел.
При представлении дробных чисел запятая фиксируется перед старшим разрядом. Диапазон представления дробных чисел:
Если представляемое число меньше Nmin, происходит обнуление разрядной сетки.
При представлении смешанных чисел запятая фиксируется (подразумевается) между целой и дробной частью:
целая часть дробная часть
Работа вычислительных устройств с фиксированной точкой используется в основном для управления технологическими процессами и обработки и обработки информации в реальном масштабе времени. При выполнении операций с фиксированной точкой основным операндом в ЭВМ является 32-разрядное, в микро и мини-ЭВМ- 16-разрядное, а в микропроцессорах- 8-разрядное слово (байт). В упакованном формате в одном байте размещаются две десятичные цифры.
Основное достоинство представления чисел с фиксированной запятой (точкой) заключается в том, что имеется возможность построить несложные арифметические устройства с высоким быстродействием.
Любая информация (числа, команды, алфавитно-цифровые записи и т. п.)представляется в ЭВМ в виде двоичных кодов (двоичных слов) фиксированной или переменной длины. Отдельные элементы двоичного кода, имеющие значение 0или 1,называют разрядами или битами. В ЭВМ слова часто разбивают на части, называемыеслогамиилибайтами.В современных ЭВМ широко используется байт, содержащий 8бит (разрядов).
Двоичный разряд представляется в ЭВМ некоторым техническим устройством, например триггером, двум различным состояниям которого приписывают значения 0и 1.Набор соответствующего количества таких устройств служит для представления многоразрядного двоичного числа (слова).
В ЭВМ применяют две формы представления чисел: с фиксированной запятой (точкой) и с плавающей запятой (точкой). Эти формы называют также соответственно естественной и полулогарифмической.
При представлении чисел с фиксированной запятой положение запятой фиксируется в определенном месте относительно разрядов числа. Обычно подразумевается, что запятая находится или перед старшим разрядом, илипосле младшего. В первом случае могут быть представлены только числа, которые по модулю меньше 1,во втором —только целые числа.
Рис.1.1.Форматы данных для представления двоичных чисел с фиксированной запятой (точкой):
На рис. 1.1показаны примеры форматов данных для представления двоичных чисел с фиксированной запятой и соответствующие разрядные сетки. По сложившейся в вычислительной технике традиции нумерация разрядов (бит) в разрядной сетке в машинах общего назначения (ЕС ЭВМ) ведется слева направо, а в малых ЭВМ, микро-ЭВМ и микропроцессорах —справа налево. На разрядной сетке указаны веса разрядов.
При представлении числа со знаком для кода знака выделяется «знаковый» разряд (обычно крайний слева). В этом разряде 0соответствует плюсу, а 1 —минусу.
На рис. 1.1, aпоказан формат для чисел с запятой, фиксированной перед старшим разрядом. В этом формате могут быть с точностью до2 –(n-1) представлены числа (правильные дроби) в диапазоне
Первые ЭВМ были машинами с фиксированной запятой, причем запятая фиксировалась перед старшим разрядом числа. В настоящее время, как правило, форму с фиксированной запятой применяют для представления целых чисел (запятая фиксирована после младшего разряда).
Используют два варианта представления целых чисел: со знаком и без знака. В последнем случае все разряды разрядной сетки служат для представления модуля числа.
Представление чисел с фиксированной запятой используется как основное и единственное лишь в сравнительно небольших по своим вычислительным возможностям машинах, применяемых в системах передачи данных, для управления технологическими процессами и обработки измерительной информации в реальном масштабе времени.
В машинах, предназначенных для решения широкого круга вычислительных задач, основным является представление чисел с плавающей запятой, не требующее масштабирования данных. Однако в таких машинах часто наряду с этой формой представления чисел используется также и представление с фиксированной запятой для целых чисел, поскольку операции с такими числами выполняютсяза меньшее время. В частности, к операциям с целыми числами сводятся операции над кодами адресов (операции индексной арифметики).
Представление числа с плавающей запятой в общем случае имеет вид
x = s p q; |q| p— характеристика числа х;р—порядок-,s— основаниехарактеристики (обычно целая степень числа 2).
Мантисса (правильная дробь со знаком) и порядок (целое число со знаком) представляются в системе счисления с основанием, равным s(в соответствующей двоично-кодированной форме). Знак числа совпадает со знаком мантиссы.
Порядок р, который может быть положительным или отрицательным целым числом, определяет положение запятой в числе х.
На рис. 1.2показаны примеры форматов данных для чисел с плавающей запятой. Одна часть бит формата используется для представления порядка, а другая —для мантиссы.
Арифметические действия над числами с плавающей запятой требуют выполнения помимо операций над мантиссами определенных операций над порядками (сравнение, вычитание и др.). Для упрощения операций над порядками их сводят к действиям над целыми положительными числами (целыми числами без знаков), применяя представление чисел с плавающей запятой со «смещенным порядком».
Смещенный порядок рсм=р+N всегда положителен. Для его представлениянеобходимо такое же число разрядов, как и для модуля и знака порядкар.
Важная особенность смещенных порядков состоит в том, что если для порядков р’ир»,представляющих собой целые числа со знаками, выполняется соотношение
то и для положительных целых чисел соответствующих смещенных порядков р‘см ир«см всегда
Рис.1.2.Представление в ЭВМ чисел с плавающей запятой:
При фиксированном числе разрядов мантиссы любая величина представляется в машине с наибольшей возможной точностью нормализованным числом.
Число х = s»qназываетсянормализованным,если мантисса qудовлетворяет условию
т. е.старший разряд мантиссы в s-ричнойсистеме отличен от нуля. В процессе вычислений может получаться ненормализованное число. В этом случае машина, если это предписано командой, автоматически нормализует его («нормализация результата» операции).
Пусть rстарших разрядов s-ричноймантиссы равны 0.Тогда нормализация заключается в сдвиге мантиссы на rразрядов влево и уменьшении порядка на rединиц, при этом в младшие rразрядов мантиссы записывается 0.После такой операции число не меняется, а условие (2.4)выполняется. При нулевой мантиссе нормализация невозможна.
Примерами применяемых форм чисел с плавающей запятой с различными основаниями системы счисления являются
В скобках указаны соответствующие условия получения нормализованных чисел.
Использование для чисел с плавающей запятой недвоичного основания несколько уменьшает точность вычислений (при заданном числе разрядов мантиссы), но позволяет увеличить диапазон представляемых в машине чисел и ускорить выполнение некоторых операций, в частности нормализации, за счет того, что сдвиг может производиться сразу на несколько двоичных разрядов (на четыре разряда для s = 16).Кроме того, уменьшается вероятность появления ненормализованных чисел в ходе вычислений.
Диапазон представимых вмашине чисел с плавающей запятой зависит от основания системы счисления и числа разрядов, выделенных для изображения порядка. Точность вычислений при плавающей запятой определяется числом разрядов мантиссы. С увеличением числа разрядов мантиссы увеличивается точность вычислений, но увеличивается и время выполнения арифметических операций.
Задачи, решаемые на ЭВМ, предъявляют различные требования к точности вычислений. Поэтому во многих машинах используется несколько форматов с плавающей запятой с различным числом разрядов мантиссы.
Знак S = 0 Порядок P = 8 + 1023 = 103110 = 100000001112 Мантисса: 1011111000101 Для числа с двойной точностью мантисса занимает 52 разряда. Добавляем нули. Мантисса: 1011 1110 0010 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 Запишем число: 0 10000000111 1011 1110 0010 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 В шестнадцатеричной системе счисления: 407BE2800000000016
455,375 = 111000111,01102 = 1,110001110110*2 8 2
Дан код величины типа Double. Преобразуйте его число. а) 408B894000000000; Представим в двоичном коде: 010000001000 1011 1000 1001 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 где S = 0 (положительное число) P = 100000010002 = 1032 – 1023 = 9 M = 10111000100101 N = 1,10111000100101 С учетом P = 9, N = 1101110001,00101
б) C089930000000000. Представим в двоичном коде: 1 10000001000 100110010011000000000000000000000000 0000 0000 0000 0000 где S = 1 (отрицательное число) P = 100000010002 = 1032 – 1023 = 9 M = 100110010011 N =1,100110010011 С учетом P = 9, N = 1100110010,011
Машинным изображением числа называют его представление в разрядной сетке ЭВМ. В вычислительных машинах применяются две формы представления чисел:
Всякое десятичное число, прежде чем оно попадает в память компьютера, преобразуется по схеме:
После этого осуществляется ещё одна важная процедура:
Существуют следующие коды двоичных чисел:
Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией сложения.
Содержание
Естественная форма
В форме с фиксированной запятой в разрядной сетке выделяется строго определенное число разрядов для целой и для дробной частей числа. Левый (старший) разряд хранит признак знака (0 – «+», 1 – «-«) и для записи числа не используется.
Сама запятая никак не изображается, но ее место строго фиксировано и учитывается при выполнении всех операций с числами. Независимо от положения запятой в машину можно вводить любые числа, т.к.
Естественная форма числа в неявном, условном виде реализуется формулой:
т.е. число записывается только с помощью набора значащих цифр x j без явного указания их весов и знаков сложения между ними. Отсчет ведется от точки, которая обычно фиксируется между целой и дробной частями числа.
С фиксированной запятой числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной(например, 32,54; 0,0036; –108,2). Форма представления чисел с фиксированной запятой упрощает аппаратную реализацию ЭВМ, уменьшает время выполнения машинных операций, однако при решении задач на машине необходимо постоянно следить за тем, чтобы все исходные данные, промежуточные и окончательные результаты находились в допустимом диапазоне представления. Если этого не соблюдать, то возможно переполнение разрядной сетки, и результат вычислений будет неверным. От этих недостатков в значительной степени свободны ЭВМ, использующие форму представления чисел с плавающей точкой, или нормальную форму. В современных компьютерах форма представления чисел с фиксированной запятой используется только для целых чисел.
Нормальная форма
С плавающей запятой (ПЛЗ) числа изображаются в виде:
Tо есть нормальная форма реализуется формулой:
Нормальная форма представления имеет огромный диапазон чисел и является основной в современных ЭВМ.
В конкретной ЭВМ диапазон представления чисел с плавающей запятой зависит от основания системы и числа разрядов для представления порядка. При этом у одинаковых по длине форматов чисел с плавающей запятой с увеличением основания системы счисления существенно расширяется диапазон представляемых чисел. Точность вычислений при использовании формата с плавающей запятой определяется числом разрядов мантиссы. Она увеличивается с увеличением числа разрядов.
Алгоритм представления числа с плавающей запятой:
При представлении информации в виде десятичных многоразрядных чисел каждая десятичная цифра заменяется двоично-десятичным кодом. Для ускорения обмена информацией, экономии памяти и удобства операций над десятичными числами предусматриваются специальные форматы их представления: зонный (распакованный) и упакованный. Зонный формат используется в операциях ввода-операций. Для этого в ЭВМ имеются специальные команды упаковки и распаковки десятичных чисел.
Прямой код
Положительные числа в ЭВМ всегда представляются с помощью прямого кода. Прямой код числа полностью совпадает с записью самого числа в ячейке машины. Вообще, положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.
Прямой код отрицательного числа отличается от прямого кода соответствующего положительного числа лишь содержимым знакового разряда. Но отрицательные целые числа не представляются в ЭВМ с помощью прямого кода, для их представления используется так называемый дополнительный код.
Прямой код двоичного числа(а это либо мантисса, либо порядок) образуется по такому алгоритму:
Обратный код
Обратный код положительного двоичного числа совпадает с прямым кодом.Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.
Дополнительный код
При представлении целых чисел со знаком старший (левый) разряд отводится под знак числа, и под собственно число остаётся на один разряд меньше.
Алгоритм получения дополнительного кода отрицательного числа:
Дополнительный код используется для упрощения выполнения арифметических операций. Если бы вычислительная машина работала с прямыми кодами положительных и отрицательных чисел, то при выполнении арифметических операций следовало бы выполнять ряд дополнительных действий. Например, при сложении нужно было бы проверять знаки обоих операндов и определять знак результата. Если знаки одинаковые, то вычисляется сумма операндов и ей присваивается тот же знак. Если знаки разные, то из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и результату присваивается знак большего числа. То есть при таком представлении чисел (в виде только прямого кода) операция сложения реализуется через достаточно сложный алгоритм. Если же отрицательные числа представлять в виде дополнительного кода, то операция сложения, в том числе и разного знака, сводится к из поразрядному сложению.
Для компьютерного представления целых чисел обычно используется один, два или четыре байта, то есть ячейка памяти будет состоять из восьми, шестнадцати или тридцати двух разрядов соответственно.
После того, как мы узнали об основных единицах для измерения информации необходимо разобраться с тем, как в ЭВМ хранятся различные типы данных. В этой статье мы поговорим про представление чисел в компьютере.
Основные понятия и положения
Прежде чем начать разбираться в теме, следует понимать, что все ЭВМ, на данный момент времени, работают с двоичной системой счисления. Это значит, что и вся информация (звуковая, графическая или текстовая) хранится в памяти ПК в виде последовательностей нулей и единиц.
Схематично компьютерная память выглядит так, как показано на схеме ниже:
Как видно из рисунка внутренняя память представляет собой разряды, каждый из которых содержит один бит информации (0 или 1). А восемь битовых кластеров образуют один байт (машинное слово).
Машинное слово – минимально адресуемая ячейка памяти, которую за раз можно обработать командой процессора. То есть минимально процессор может обработать один байт.
Отсюда также вытекает правило, что данные в компьютере представляются дискретно (отдельно). В качестве примера приведем изображение на мониторе. Оно состоит из точек (пикселей). Цвет же каждой точки задается последовательностью из 0 и 1.
Представление чисел в компьютере
Существует несколько вариантов для отображения чисел в ЭВМ, и зависят они от формата числа.
Представление целых чисел в ЭВМ
Для представления целых чисел, в вычислительных машинах существует несколько способов, которые используют 8,16, 24 или 32 разряда памяти (1, 2, 3 и 4 байта).
Первым способом является беззнаковое представление. С его помощью представляются только целые положительные величины, которые не участвуют в арифметических операциях и выступают в роли констант (дата, время и т.д.).
Чтобы представить число в беззнаковой форме необходимо перевести его в двоичную систему счисления и дополнить с начала нулями до нужной разрядности (дополняем до 1,2,3 или 4 байт).
Также следует отметить, что есть ограничения на количество чисел, которые можно представить в n разрядной ячейке. Для беззнаковых величин оно составляет \( 2^n \).
Пример: Перевести 54 в беззнаковый формат.
Находим представление 54 в бинарной системе счисления:
Дополняем результат до одной из стандартных разрядностей (8 бит) = 00110110.
Ответ: 00110110.
Для представления чисел, которые участвуют в вычислительных операциях, используется представление со знаком. В такой форме записи старший разряд всегда отводится под знак (0 для положительных чисел и 1 для отрицательных).
В случае со знаковым представлением также существуют ограничения. Так как один разряд отводится под знак, то в n-разрядную ячейку можно записать \( (2^ -1) \) положительных и \( 2^ \) отрицательных значений.
Также следует отметить следующую особенность — все отрицательные значения в компьютере хранятся в обратном или дополнительном коде, а положительные в прямом.
Для того чтобы перевести число в обратный и дополнительный код вам надо:
Почему же для хранения отрицательных чисел используют обратный или дополнительный код? Это позволяет изменить операцию вычитания на операцию сложения. В противном случае компьютеру бы каждый раз приходилось выяснять, где положительная величина, а где отрицательная и после этого сравнивать их модули, для определения конечного знака, что очень сильно усложняло бы весь алгоритм.
Представление вещественных чисел
Всего существует два способа для представления множества вещественных значений – естественная или экспоненциальная форма.
В жизни мы пользуемся естественной формой. Так число 42,6 мы можем записать несколькими способами. Например:
В компьютере же используется экспоненциальная форма записи. Выглядит она так:
Здесь m – мантисса, которая представляет собой правильную дробь (в правильных дробях числитель меньше знаменателя).
q – система счисления, в которой представлено число.
P – порядок.
В ЭВМ отводится один разряд под знак мантиссы, один под знак порядка и различное число бит под саму мантиссу и порядок. Данный формат записи называется «С плавающей запятой».
Чем больше бит отводится под мантиссу, тем точнее представляемая величина, чем больше ячеек отводится под порядок, тем шире диапазон от наименьшего числа, до наибольшего числа, представляемого в компьютере при заданном формате.
Так как компьютерная память величина дискретная и конечная, то и множество вещественных чисел, с которым работает ЭВМ также конечно.
Видео
Заключение
Вот мы и разобрались с представлением чисел в компьютере и информатике. Краткий материал из данной статьи вы можете использовать для своей онлайн-презентации. При возникновении вопросов оставляйте их в комментариях.
