какие напряжения возникают при поперечном сечении при кручении образца

Какие напряжения возникают при поперечном сечении при кручении образца

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент М_z. Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент не вносят. С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения и ) М_z связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики (рис. 1)

Условимся считать M_z положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки (рис. 2). Это правило проиллюстрировано на рис. 1 и в указанном соотношении, где крутящий момент М_z принят положительным. Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Ог.

Рис.1. Связь крутящего момента с касательными напряжениями

Рис.2. Иллюстрация положительного и отрицательного крутящего момента

Рассмотрим кручение призматических стержней кругового поперечного сечения. Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 3) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня:

поперечные сечения остаются плоскими (выполняется гипотеза Бернулли);

расстояния между поперечными сечениями не изменяются, следовательно ;

контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачивающиеся при деформировании относительно оси стержня Ог. Отсюда следует, что любые деформации в плоскости пластинки равны нулю, в том числе и ;

материал стержня подчиняется закону Гука. Учитывая, что , из обобщенного закона Гука в форме получаем . Это означает, что в поперечных сечениях, стержня возникают лишь касательные напряжения , а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно напряженное состояние стержня — чистый сдвиг.

Рис.3. Иллюстрация кручения: а) исходное и б) деформированное состояния

Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения. Как видно, поворот правого торцевого сечения относительно неподвижного левого на угол (назовем его углом закручивания стержня) вызывает поворот продольных волокон на угол (угол сдвига), поскольку на величину искажаются углы ортогональной сетки продольных и поперечных рисок модели.

Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и, поскольку нас интересуют деформации элемента, левое сечение его будем считать неподвижным (рис. 5). При повороте правого сечения на угол в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса ) будет перемещаться по дуге BB₁, вызывая поворот волокна на угол сдвига

Обратим внимание на то, что в соответствии с рис. 5 и рис. 6, а сдвиг и связанное с ним касательное напряжение перпендикулярны радиусу . Определим , воспользовавшись законом Гука для чистого сдвига

Рис.5. Расчетная модель определения касательных напряжений

а) ортогональность и
Рис.6. Распределение касательных напряжений при кручении:

Здесь — погонный угол закручивания стержня, который остается пока неизвестным. Для его нахождения обратимся к условию статики, записав его в более удобной для данного случая форме (рис. 6, a)

Подставляя (1) в (2) и учитывая, что

где J_p— полярный момент инерции поперечного сечения (для круга с диаметром d ), получаем

Рис.7. Распределение напряжений для кольцевого сечения

а) разрушение дерева, б) разрушение чугуна
Рис.8. Распределение исходных касательных и главных напряжений:

Подставляя выражение (3) в (1), получаем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения

Как видно из (4), сдвиги и касательные напряжения пропорциональны расстояний от оси стержня. Обратим внимание на структурные аналогии формул для нормальных напряжений чистого изгиба и касательных напряжений кручения.

Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня, определяемый по (3). Поскольку величина DJ_p стоит в знаменателе формулы и при заданной нагрузке (M_z через нее выражается) тем меньше, чем больше DJ_p, последнюю называют жесткостью поперечного сечения при кручении.

Пользуясь (3) для определения угла закручивания элемента длиной dz

найдем полный угол закручивания стержня длиной l

В случае, если по длине стержня М_z и DJ_p постоянны, получаем

когда эти величины кусочно-постоянны, то:

Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня.

Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при

где W_р — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления

.

Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе для максимальных касательных напряжений, очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочности стержня при кручении принимает вид

где — допускаемое напряжение на кручение.

Как показали эксперименты и точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные ранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и для стержня кольцевого поперечного сечения (рис. 7). Поэтому все выведенные ранее формулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей, что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов с диаметрами D и d

где , а момент сопротивления определяется по формуле

Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу (рис. 7) и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

Как отмечено ранее, напряженное состояние при кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частным случаем плоского напряженного состояния. На площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения и на парных им площадках продольных сечений возникают экстремальные касательные напряжения max-min , а главные напряжения действуют на площадках, наклоненных.коси стержня под углами ; главное напряжение .

РАСЧЕТ ВАЛОВ

Рассмотрим расчет вала на прочность и жесткость. Пусть известна мощность W (кВт), передаваемая вращающимся с заданным числом оборотов в минуту (n) валом от источника мощности (например, двигателя) к ее потребителю (например, станку), а момент т, передаваемый валом, требуется найти, так как численно равный этому моменту крутящий момент необходим для расчета вала.

кНм,

где учтено, что .

Если мощность подается на вал через ведущий шкив, а раздается потребителям через несколько ведомых шкивов, то соответственно определяются моменты на шкивах, а затем строится эпюра крутящих моментов. Расчет вала на прочность и жесткость ведется, очевидно, по max M_z.

Определение диаметра вала из условия прочности. Условие прочности при кручении вала имеет вид (7), где допускаемые напряжения принимаются пониженными по сравнению с допускаемыми напряжениями обычного статического расчета в связи с необходимостью учета наличия концентраторов напряжений (например, шпоночных канавок), переменного характера нагрузки и наличия наряду с кручением и изгиба вала.

Требуемое значение W_p=d з /16 получаем из условия (7), принимая в нем знак равенства

,

откуда получаем формулу для диаметра вала кругового сечения

Определение диаметра вала из условия жесткости. Условие жесткости состоит в наложении ограничения на погонный угол закручивания вала , так как недостаточно жесткие валы не обеспечивают устойчивой передачи мощности и подвержены сильным колебаниям:

Тогда, учитывая, что , для диаметра вала из условия жесткости имеем

Аналогично проводятся расчеты и для вала кольцевого поперечного сечения.

Источник

Деформация кручения

В различных механизмах детали подвергаются влиянию разных сил, приводящих к возникновению деформаций. Далее рассмотрена деформация кручения: факторы и закономерности ее проявления, формирующие ее силы, особенности деформации изделий различной формы.

Основные понятия

Под кручением понимают вид деформации, свойственный для условий приложения к телу силы в поперечной плоскости. В результате этого в поперечном разрезе формируется крутящий момент. Деформациям кручения подвергаются валы и пружины.

Валом называют функционирующую на кручение вращающуюся деталь в виде стержня.

Под торсионом понимают функционирующий на кручение стержень, применяемый в качестве упругого элемента.

Для круглых валов, наиболее обширно применяемых в технике, разработана теория кручения. Она основана на трех положениях:

Из приведенных положений следует, что кручение представлено деформацией сдвига материала между соседними поперечными сечениями, обусловленной проворотом последних вокруг оси.

Деформациями при кручении считают взаимный проворот сечений. Они формируются вследствие воздействия на стержень пар сил с перпендикулярными к его продольной оси плоскостями действия.

Величина деформаций описывается углом закручивания. Под полным понимают угол поворота свободного конца. Относительным считают значение для определенной длины вала. Данные параметры рассчитывают с учетом прочности и жесткости деталей.

Угол закручивания стержня цилиндрической конфигурации в границах упругих деформаций определяется уравнением закона Гука для кручения, представляющего отношение произведения момента и длины вала к произведению геометрического полярного инерционного момента и модуля сдвига.

Относительный угол закручивания вычисляют как частное угла закручивания и длины стержня.

Под вращающими либо скручивающими моментами понимают показатели пар сил, воздействующих на вал. Их подразделяют на внешние, называемые вращающими и скручивающими, и внутренние (крутящие). Под влиянием перпендикулярных продольной оси бруса внешних крутящих моментов формируются внутренние. Они передаются на деталь в точках установки шкивов ременных передач, зубчатых колес и т. д.

Крутящий момент представлен силовым фактором, обуславливающим круговое передвижение сечения относительно перпендикулярной ему оси или препятствующим ему. Его значение равно сумме скручивающих усилий по одну сторону от данной точки. Положительными считают внутренние моменты, направленные против часовой стрелки со стороны внешней нормали (отброшенной части). При этом соответствующий внешний момент имеет направление, совпадающее с ходом часовой стрелки.

Условия прочности и жесткости применяют для решения следующих задач:

Под эпюрой крутящих моментов понимают график, отображающий закон их изменения по длине либо сечению детали.

При разделении детали по длине на три участка в соответствии с методом сечений получится, что для первого (правого) фрагмента наблюдается линейная зависимость крутящего момента от координаты сечения ввиду влияния равномерно распределенной нагрузки, для второго и третьего участков данная зависимость отсутствует. При этом в точках приложения внешних сосредоточенных усилий наблюдаются скачки, соответствующие их величине.

В сечении наблюдается линейное изменение, определяемое законом касательных напряжений, в прямой зависимости от расстояния от центра.

Таким образом, в продольном разрезе наибольшие деформации кручения характерны для точки, наиболее удаленной от места закрепления детали. В поперечном разрезе максимальные деформации кручения наблюдаются на поверхности.

Полярный инерционный момент сечения представляет собой геометрическую характеристику жесткости при кручении для круглого вала. Полярный момент сопротивления сечения является аналогичным параметром для его прочности.

Следует отметить, что большинство приведенных выше понятий описывается с применением формул.

Напряжения кручения

Исходя из приведенного выше определения деформации кручения, при данном процессе в поперечном сечении наблюдаются лишь касательные напряжения, направленные перпендикулярно к радиусам. Их определяют для конкретной точки как произведение соотношения крутящего момента к геометрическому полярному инерционному моменту и расстояния данной точки от оси кручения.

Изменение касательных напряжения линейно, и максимальной величины они достигают на поверхности при наибольших значениях крутящего момента и расстояния от оси кручения, поэтому ее значение вычисляют как частное наибольшего крутящего и полярного моментов сопротивления.

С применением данного условия возможно вычислить прочие параметры: по силовым факторам, создающим крутящий момент – показатель сопротивления и далее размеры сечения в зависимости от формы, либо по размеру сечения – максимально допустимое для него значение крутящего момента и на основе последней допустимые значения внешних нагрузок.

Касательные напряжения, по закону парности, формируются при кручении как в поперечных, так и в продольном направлениях. Вследствие этого во всех точках вала наблюдается деформация в виде чистого сдвига. Главные напряжения направлены к образующей под углом 45°.

Помимо скручивающих усилий возможно воздействие на вал моментной нагрузки.

Из изложенных выше данных следует, что удаление материала в районе оси вала незначительно сказывается на прочности ввиду того, что данная часть мало нагружена. При равных площади сечения и массе деталей кольцевые варианты характеризуются большими полярными моментами сопротивления и инерции по сравнению со сплошными валами. То есть при равной массе полые варианты прочнее и жестче, а при одинаковых показателях прочности и жесткости легче. Названные параметры определяют устойчивость данных изделий к деформации.

Выше были рассмотрены особенности деформации кручения круглых в поперечном разрезе предметов. Для треугольных, прямоугольных, эллиптических и прочих вариантов не применима гипотеза плоских сечений. Это обусловлено тем, что поверхности данного типа при кручении искривляются. Данный процесс их коробления вследствие смещения отдельных точек при деформации вдоль оси называют депланацией. Вследствие этого методы сопротивления материалов для вычисления кручений и напряжений неприменимы. Вместо них используют методы теории упругости.

Для изделий произвольной поперечной формы касательные напряжения имеют направление по касательной к контуру, однако при наличии внешних углов они отсутствуют. Так, при разложении напряжения вблизи угла по нормалям к его сторонам надвое из закона парности следует формирование касательных напряжений на свободной поверхности. Однако в данном случае она свободна от нагрузки, поэтому у внешнего угла касательные напряжения обнуляются.

Для наиболее распространенных среди вариантов некруглого сечения прямоугольных валов наибольшие напряжения характерны для поверхностных участков в середине длинных сторон. Следовательно, там наблюдается наибольшая деформация кручения.

Прямоугольные детали в сравнении с круглым характеризуются значительно меньшими жесткостью и прочностью. Причем это отличие увеличивается с ростом отношения сторон. Следовательно, они более подвержены деформации.

Источник

Напряжения при кручении

Напряжения при кручении

Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, образовавшийся на поверхности после деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол , продольные линии искривляются, прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации.

При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипотезу плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений

При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.16).

При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1г).

Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига.

Закон Гука при сдвиге , — модуль упругости при сдвиге, ; — угол сдвига, рад.

Эта теория взята со страницы решения задач по предмету «техническая механика»:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник