какими свойствами обладает отношение делимости на множестве z

Отношение делимости в Z и его свойства

Обозначается: a/b и читается «а делится на b», или «b делит а».

Это отношение есть частичная бинарная операция на Z, т.к. . Например, 4 не делится на 3. С другой стороны, это отношение будет трехместным предикатом на множестве Z.

Свойства:

2. Отношение делимости транзитивно. Действительно:

» a, b, c Î Z (a/b & b/c) => (а/с), т.к. из того что (a/b) Þ

Следовательно, отношение делимости не является отношением эквивалентности, а будет отношением частичного порядка на множестве Z.

Теорема 1.В кольце Z любое целое число (а) можно разделить на целое число (b¹0) с остатком, единственным образом.

1. Покажем возможность деления.

Источник

Отношение делимости в кольце z и его свойства

Определение. 7.1. Целое число а делится на целое число b0, если

qZ а = bq.

Обозначается а b и читается “a делится на b”, а также b | a и читается “b делит а”.

Используется и другое обозначение:

2 0 Отношение делимости транзитивно на множестве целых чисел:

(т.е.а, b, cZ а b b c a c), т.к. (а b)q₁Z: а = bq₁, кроме того, (b c)q₂Z : b= cq₂ а =cq₂q₁ = cq₂ (а c).

4 0 Отношение делимости антисимметрично на множестве натуральных чисел (т.е. а, b N а b b а а = b), т.к. если b = a  n, a = b  m, то m, n  N, и b = (b m) n = = b (m  n), т.е. m  n = 1, и m = n = 1, а значит, а = b.

Следовательно, отношение делимости не является отношением эквивалентности, а будет отношением частичного порядка на множестве N.

Действительно, если a b, то b= a  q для некоторого целого q, тогда

b c = a (q c), следовательно, aс b

Свойство 6 0 является следствием свойства 5 0 и определения делимости.

Замечание 1. Запись означает, что а не делится на b.

Определение. 7.2. Целое число а делится на bZ, b 0 с остатком, еслиq, r Z: а = bq + r, где 0 0. Докажем существование деления с остатком числа a на число b методом математической индукции по числу a.

a) Если a = 0, то 0 = b 0 + 0 (имеем: q = 0, r = 0) и в этой ситуации возможность деления с остатком показано.

II. Докажем единственность существования частного и остатка от деления а на b.

Пусть a = bq₁+ r₁, 0 r₁ 17 / 26 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая > >>

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

Отношение делимости и его свойства

Делимость натуральных чисел

Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство. Для любого натурального а справедливо равенство а = а·1. Так как 1 N, то, по определению отношения делимости, а а.

Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е.

если a b и а≠b, то .

Доказательство. Предположим противное, т.е. что b а. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию a b и а≠b. Тогда, по той же теореме, b≤а.

Неравенства а ≤b и b ≤а будут справедливы лишь тогда, когда а=b, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверное и поэтому если a b и а≠b, то .

Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если a b и b с, то а с.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что сумма 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведение вида ах, где х N, делится на b.

Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b.

Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.

Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так как 34 2, 376 2,124 2, но .

Теорема 9. Если в произведении ab множитель а делится на натуральное число m, а множитель b делится на натуральное число n, то ab делится на mn.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

Доказательство. Так как ас делится на bс, то существует такое натуральное число q, что ас = (bc)q, откуда ас = (bq)c и, следовательно, а =bq, т.е. а b.

Признаки делимости

Рассмотренные в п. 88 свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3,4, 5, 9.

Признаки делимости позволяют установить по записи числа делится ли оно на другое, не выполняя деления.

Теорема 11 (признак делимости на 2). Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2,4, 6, 8.

Теорема 12 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.

Теорема 13 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.

Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, то двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4.

Например, число 157872 делится на 4, так как последние две цифры в его записи образуют число 72, которое делится на 4. Число 987641 не делится на 4, так как последние две цифры в его записи образуют число 41, которое не делится на 4.

Теорема 14 (признак делимости на 9). Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилось на 9.

В последней сумме каждое слагаемое делится на 9:

а₁·(10-1) 9, так как (10-1) 9,

Следовательно, х 9.

Докажем обратное, т.е. если х 9, то сумма цифр его десятичной записи делится на 9.

Например, число 34578 делится на 9, так как сумма его цифр, равная 27, делится на 9. Число 130542 не делится 9, так как сумма его цифр, равная 15, не делится на 9.

Теорема 15 (признак делимости на 3). Для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилось на 3.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству признака делимости на 9.

Источник

Отношение делимости в кольце Z и его свойства

Определение. 7.1.Целое число а делится на целое число b 0, если

q Zа = bq.

Обозначается а b и читается “a делится на b”, а также b | a и читается “b делит а”.

Используется и другое обозначение:

2 0 Отношение делимости транзитивно на множестве целых чисел:

(т.е. а, b, c Zа b b c a c), т.к. (а b) q₁ Z:а = bq₁, кроме того, (b c) q₂ Z:b= cq₂ а = cq₂q₁ = cq₂ (а c).

4 0 Отношение делимости антисимметрично на множестве натуральных чисел (т.е. а, b Nа b b а а = b), т.к. если b = a × n, a = b × m, то m, n Î N, и b = (b× m)× n = = b× (m × n), т.е. m × n = 1, и m = n = 1, а значит, а = b.

Следовательно, отношение делимости не является отношением эквивалентности, а будет отношением частичного порядка на множестве N.

Действительно, если a b, то b= a × q для некоторого целого q, тогда

b× c = a× (q× c), следовательно, aс b

Свойство 6 0 является следствием свойства 5 0 и определения делимости.

Замечание 1.Записьозначает, чтоа не делится на b.

Определение. 7.2.Целое число а делится на b Z, b 0 с остатком, если q, r Z: а = bq + r, где 0

Примеры. Разделить с остатком а на b, если: а) при а = 53 на b= 5, получим: 53 = 5 · 10 + 3 (т.е. неполное частное q = 10, остаток r = 3).

г)приа = 53 на b = – 5, получим: 53 = (-5) · (-10) + 3.

Теорема 7.1 (о делении с остатком).Для любых целых чисел a, b 0 однозначно определены частное q и остаток r от деления a на b т.е.

a) Если a = 0, то 0 = b× 0 + 0 (имеем: q = 0, r = 0) и в этой ситуации возможность деления с остатком показано.

II. Докажем единственность существования частного и остатка от деления а на b.

Пусть a = bq₁+ r₁, 0 r₁

Тип урока:урок изучения нового материала.

Источник

Отношение делимости и его свойства

Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Гово­рят, что число а делится на число b, если существует та­кое натуральное число q, что a = bq.

Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если

Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. образуют конечное множество <1,2,3,4,6,9,12,18,36>.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Например, число 13- простое, поскольку, у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое нату­ральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1,2 и 4.

Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимо­сти, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство. Для любого натурального а справед­ливо равенство а = а·1. Так как 1 Є N, то, по определению отношения делимости, а : _. а.

то b ⁞͞ a.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что b⁞a. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию и а ⁞. b и а ≠ b. Тогда, по той же теореме, b ≤ а.

Неравенства а ≤ b и b ≤ а будут справедливы лишь тогда, когда а = b, что противоречит условию теоремы. Следова­тельно, наше предположение неверное и теорема доказана.

Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если а⁞ b и b⁞ с, то а⁞ с.

а⁞ с.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведениe вида ах, где х Є N, делитcя на b.

Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b. Например, произведение 24·976·305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся cумма на число b не делится.

Теорема 9. Если в произведении ab множитель a делится на натуральное число т, а множитель b делится на натуральное число n,то ab делится на mn.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

1.Объясните, почему число 15 является делителем числа 60 и не является делителем числа 70.

2.Постройте граф отношения «быть делителем данного числа», заданного на множестве Х = <2, 6,. 12, 18, 24>. Как от­ражены на этом графе свойства данного отношения?

4. Запишите множество делителей числа.

5.На множестве X = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; 12>задано отношение «иметь одно и то же число делителей». Является ли оно отношением эквивалентности?

6.Постройте умозаключение, доказывающее, что:

а) число 19 является простым;

б) число 22 является составным.

7.Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.

б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

в) Если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

г) Если одно из слагаемых суммы делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то и сумма не делится на это число.

Источник