С элементами математической логики вы уже встречались в курсе информатики основной школы, изучая способы записи запросов к базе данных и условной функции ЕСЛИ в электронных таблицах, основы алгоритмизации и программирования. Повторим основные понятия логики с целью дальнейшего углубления ваших знаний в использовании ее для программирования.
К числу основных понятий логики относятся: высказывание, логическая величина, логические операции, логические выражения и формулы.
Высказывание (суждение) — это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать, истинно оно или ложно.
Например, высказывание «На улице идет дождь» будет истинным или ложным в зависимости от состояния погоды в данный момент. Истинность высказывания «Значение А больше, чем Б», записанного в форме неравенства: А > В, будет зависеть от значений переменных А и В.
Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Следовательно, если известно, что А, В, X, Y и др. — переменные логические величины, то, значит, они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Логическое выражение — простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операций (связок).
Логические операции
Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используются знаки & или ∧. Конъюнкция — двухместная операция; записывается в виде: А & В. Значением такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного из операндов ложно.
Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке этой связке соответствует союз ИЛИ. В математической логике она обозначается знаком ∨. Дизъюнкция — двухместная операция; записывается в виде: A ∨ В. Значением такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного из операндов истинно.
Правила выполнения рассмотренных логических операций отражены в следующей таблице, которая называется таблицей истинности логических операций (здесь И означает «истина», Л — «ложь»):
Логическая формула — формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок выполнения операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.
Например:
Пример. Вычислить значение логической формулы:
если логические переменные имеют следующие значения: X = ЛОЖЬ, У = ИСТИНА, Z = ИСТИНА.
Решение. Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в формуле:
Логические функции на области числовых значений
Алгебра чисел пересекается с алгеброй логики в тех случаях, когда приходится проверять принадлежность значений алгебраических выражений некоторому множеству. Например, принадлежность значения числовой переменной X множеству положительных чисел выражается через высказывание: «X больше нуля». Символически это записывается так: Х > 0. В алгебре такое выражение называют неравенством. В логике — отношением.
Отношение X > О может быть истинным или ложным. Если X — положительная величина, то оно истинно, если отрицательная, то ложно. В общем виде отношение имеет следующую структуру:
Здесь выражения 1 и 2 — некоторые математические выражения, принимающие числовые значения. В частном случае выражение может представлять собой одну константу или одну переменную величину. Знаки отношений могут быть следующими:
0 — всегда ИСТИНА, 3 ≠ 6 : 2 — всегда ЛОЖЬ; так и переменной: а 0) или Р(х, у) = (х 2 2 + У 2 2 и Rl 2 2 + У 2 2 и R2 2 — правая граница, парабола.
Рассматриваемая область есть пересечение трех полуплоскостей, описываемых неравенствами:
Во внутренних точках все эти три отношения являются одновременно истинными. Поэтому искомый предикат имеет вид:
Логические выражения на Паскале
Уже говорилось о том, что в Паскале имеется логический тип данных.
Логические переменные: описываются с типом Boolean.
Операции отношения: осуществляют сравнение двух операндов и определяют, истинно или ложно соответствующее отношение между ними. Знаки операций отношения: = (равно), <> (не равно), > (больше), = (больше или равно),
Вопросы и задания
а) все числа X, Y, Z равны между собой;
б) из чисел X, У, Z только два равны между собой;
в) каждое из чисел X, У, Z положительно;
г) только одно из чисел X, У, Z положительно;
Пояснения: odd(x) — логическая функция определения четности аргумента, равна true, если х — нечетное, и равна false, если х — четное; trunc (х) — целочисленная функция от вещественного аргумента, возвращающая ближайшее целое число, не превышающее х по модулю.
Какого типа величина получается при вычислении отношения неравенства между числами
Урок 36. Логический тип данных. Логические величины. Логические операции. Правила записи и вычисления логических выражений
Логические величины, операции, выражения
С элементами математической логики вы уже встречались в курсе информатики основной школы, изучая способы записи запросов к базе данных и условной функции ЕСЛИ в электронных таблицах, основы алгоритмизации и программирования. Повторим основные понятия логики с целью дальнейшего углубления ваших знаний в использовании ее для программирования.
К числу основных понятий логики относятся:высказывание, логическая величина, логические операции, логические выражения и формулы.
Высказывание (суждение) — это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывании можно сказать, истинно оно или ложно.
Например, высказывание «На улице идет дождь» будет истинным или ложным в зависимости от состояния погоды в данный момент. Истинность высказывания «Значение А больше, чем В», записанного в форме неравенства: А > В, будет зависеть от значений переменных А и В.
Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Следовательно, если известно, что А, В, X, Y и др. — переменные логические величины, то, значит, они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Логическое выражение — простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операций (связок).
Логические операции
Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используются знаки & или ∧. Конъюнкция — двухместная операция; записывается в виде: А & В. Значением такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного из операндов ложно.
Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке этой связке соответствует союз ИЛИ. В математической логике она обозначается знаком v.Дизъюнкция — двухместная операция; записывается в виде: A v В. Значением такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного из операндов истинно.
Правила выполнения рассмотренных логических операций отражены в следующей таблице, которая называется таблицей истинности логических операций (здесь И означает «истина», Л — «ложь»):
Логическая формула — формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок выполнения операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.
Например: (А & В) v (¬ А & В) v (¬ А & ¬ В).
Пример. Вычислить значение логической формулы:
если логические переменные имеют следующие значения: X = ЛОЖЬ, Y = ИСТИНА, Z = ИСТИНА.
Решение. Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в формуле:
Используя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам:
Логические функции на области числовых значений
Алгебра чисел пересекается с алгеброй логики в тех случаях, когда приходится проверять принадлежность значений алгебраических выражений некоторому множеству. Например, принадлежность значения числовой переменной X множеству положительных чисел выражается через высказывание: «X больше нуля». Символически это записывается так: Х > 0. В алгебре такое выражение называют неравенством. В логике — отношением.
Отношение X > 0 может быть истинным или ложным. Если X — положительная величина, то оно истинно, если отрицательная, то ложно. В общем виде отношение имеет следующую структуру:
Здесь выражения 1 и 2 — некоторые математические выражения, принимающие числовые значения. В частном случае выражение может представлять собой одну константу или одну переменную величину. Знаки отношений могут быть следующими:
Итак, отношение — это простое высказывание, а значит, логическая величина. Оно может быть как постоянной: 5 > 0 — всегда ИСТИНА, 3 * 6 : 2 — всегда ЛОЖЬ; так и переменной: а 0) или Р(х, у) = = (х 2 + У 2 2 2 + У 2 2 и R1 2 2 + У 2 2 и R2 2 + У 2 ) > R1 2 ) & ((X 2 + У 2 ) 2 ) & R1 2 + У 2 ) > R2 2 ) & ((X 2 + У 2 ) 2 ) & R2 2 — правая граница, парабола.
Рассматриваемая область есть пересечение трех полуплоскостей, описываемых неравенствами:
Во внутренних точках все эти три отношения являются одно-временно истинными. Поэтому искомый предикат имеет вид:
Логические выражения на Паскале
Уже говорилось о том, что в Паскале имеется логический тип данных.
Логические константы:true (истина), false (ложь).
Логические переменные: описываются с типом Boolean.
операции отношения заключены в скобки, поскольку они младше логических операций, а выполняться должны раньше.
Вопросы и задания
1. Какого типа величина получается при вычислении отношения (неравенства) между числами?
2. Что такое предикат? Приведите примеры.
3. Запишите на языке алгебры логики логические функции, которые будут принимать значение ИСТИНА, если справедливы следующие утверждения, и ЛОЖЬ — в противном случае:
4. Все формулы, полученные при решении предыдущей задачи, запишите в виде логических выражений на Паскале.
5. Постройте таблицу истинности для логической формулы:
Пояснение: в таблице истинности должны быть вычислены значения формулы для всех вариантов значений логических переменных: X, У, Z. Следовательно, таблица будет содержать 2 3 = 8 строк и 4 столбца: значения X, У, Z и результат. В таблицу можно добавить дополнительные столбцы, содержащие результаты промежуточных операций.
6. Вычислите значения следующих логических выражений, записанных на Паскале:
Пояснения:odd(x) — логическая функция определения четности аргумента, равна true, если х — нечетное, и равна false, если х — четное; trunc (х) — целочисленная функция от вещественного аргумента, возвращающая ближайшее целое число, не превышающее х по модулю.
Логические переменные: описываются с типом Boolean.
Операции отношения: осуществляют сравнение двух операндов и определяют, истинно или ложно соответствующее отношение между ними. Знаки операций отношения: = (равно), <> (не равно), > (больше), = (больше или равно),
Для правильной записи сложного логического выражения (предиката) нужно учитывать относительные приоритеты арифмети-ческих, логических операций и операций отношений, поскольку все они могут присутствовать в логическом выражении. По убыванию приоритета операции располагаются в следующем порядке.
1. Арифметические операции:
2. Логические операции:
3. Операции отношения:
операции отношения заключены в скобки, поскольку они младше логических операций, а выполняться должны раньше.
Вопросы и задания
1. Какого типа величина получается при вычислении отношения (неравенства) между числами?
2. Что такое предикат? Приведите примеры.
3. Запишите на языке алгебры логики логические функции, которые будут принимать значение ИСТИНА, если справедливы следующие утверждения, и ЛОЖЬ — в противном случае:
а) все числа X, Y, Z равны между собой;
б) из чисел X, Y, Z только два равны между собой;
в) каждое из чисел X, Y, Z положительно;
г) только одно из чисел X, У, Z положительно;
д) значения чисел X, У, Z упорядочены по возрастанию.
4. Все формулы, полученные при решении предыдущей задачи, запишите в виде логических выражений на Паскале.
5. Постройте таблицу истинности для логической формулы:
Пояснение: в таблице истинности должны быть вычислены значения формулы для всех вариантов значений логических переменных: X, У, Z. Следовательно, таблица будет содержать 2 3 = 8 строк и 4 столбца: значения X, У, Z и результат. В таблицу можно добавить дополнительные столбцы, содержащие результаты промежуточных операций.
6. Вычислите значения следующих логических выражений, записанных на Паскале:
Пояснения:odd (x) — логическая функция определения четности аргумента, равна true, если х — нечетное, и равна false, если х — четное; trunc (х) — целочисленная функция от вещественного аргумента, возвращающая ближайшее целое число, не превышающее х по модулю.
Программирование ветвлений
Полное ветвление:
Then
Else
Неполное ветвление:
Then
То, что в алгоритмах называется условием, в Паскале является логическим выражением, которое вычисляется в первую очередь. Если его значение равно true, то будет выполняться (после Then), если — false, то (после Else) для полной формы или оператор, сразу следующий после условного, для неполной формы (без Else). На ветвях может быть как простой оператор, так и составной — серия операторов в операторных скобках Begin, End.
Пример 1. По длинам трех сторон треугольника а, b, с требуется вычислить его площадь.
Для решения задачи используется формула Герона
где р = (а + b + с)/2 — полупериметр треугольника. Исходные данные должны удовлетворять основному соотношению для сторон треугольника — длина каждой стороны должна быть меньше суммы длин двух других сторон, и длины сторон не могут быть отрицательными величинами.
Имея возможность в одном условном операторе записывать достаточно сложные логические выражения, используя логические операции, мы можем сразу «отфильтровать» все варианты неверных исходных данных.
Пример 2. Требуется перевести пятибалльную оценку в ее на-именование: 5 — «отлично», 4 — «хорошо», 3 — «удовлетворительно», 2 — «неудовлетворительно».
Блок-схема алгоритма приведена на рис. 3.14.
Этот алгоритм имеет структуру вложенных ветвлений и может быть запрограммирован с использованием условного оператора If следующим образом:
Пример 3. Решение рассмотренной в предыдущем примере задачи можно запрограммировать с помощью одного оператора выбора, имеющегося в языке Паскаль. Вот как будет выглядеть такая программа:
Оператор выбора имеет следующий формат:
Caseof
Else
Здесь — это выражение любого порядкового типа; — постоянная величина того же типа, что и селектор; — любой простой или составной оператор.
Выполнение оператора выбора происходит так: вычисляется выражение-селектор; затем в списках констант ищется такое значение, которое совпадает с полученным значением селектора; далее исполняется оператор, помеченный данной константой. Если такой константы не найдено, то происходит переход к выполнению оператора, следующего после слова Else.
Пример 4. В этом примере демонстрируется использование списка констант в операторе выбора. Программа сообщает, сдал студент экзамен или не сдал. Если оценка одна из следующих: 3, 4, 5, то экзамен сдан; если 2, то не сдан.
Case N of
3, 4, 5: WriteLn(‘Экзамен сдан’);
2: WriteLn(‘Экзамен не сдан’);
Else WriteLn(‘Нет такой оценки’)
Так же как условный оператор, оператор выбора может ис-пользоваться в неполной форме, т. е. без ветви Else.
Если применить условный оператор, то эта программа запишется так:
If (N=3) or (N=4) or (N=5)
Then WriteLn(‘Экзамен сдан’)
Else If N=2
Then WriteLn(‘Экзамен не сдан’)
Else WriteLn(‘Нет такой оценки’);
В условии ветвления использовано сложное логическое выражение, содержащее операции логического сложения or (или).
Вопросы и задания
1. Какие операторы используются для программирования ветвящихся алгоритмов?
2. В каких случаях удобно использование оператора выбора?
3. Составьте на Паскале программу упорядочения по возрастанию значений в трех переменных: X, Y, Z.
4. Используя оператор выбора, составьте программу, которая по введенному номеру месяца будет выводить название соответствующего времени года (зима, весна, лето, осень).
Дата добавления: 2020-11-23 ; просмотров: 115 ; Мы поможем в написании вашей работы!
С элементами математической логики вы уже встречались в курсе информатики основной школы, изучая способы записи запросов к базе данных и условной функции ЕСЛИ в электронных таблицах, основы алгоритмизации и программирования. Повторим основные понятия логики с целью дальнейшего углубления ваших знаний в использовании ее для программирования.
К числу основных понятий логики относятся:высказывание, логическая величина, логические операции, логические выражения и формулы.
Высказывание (суждение) — это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывании можно сказать, истинно оно или ложно.
Например, высказывание «На улице идет дождь» будет истинным или ложным в зависимости от состояния погоды в данный момент. Истинность высказывания «Значение А больше, чем В», записанного в форме неравенства: А > В, будет зависеть от значений переменных А и В.
Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Следовательно, если известно, что А, В, X, Y и др. — переменные логические величины, то, значит, они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Логическое выражение — простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операций (связок).
Логические операции
Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используются знаки & или ∧. Конъюнкция — двухместная операция; записывается в виде: А & В. Значением такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного из операндов ложно.
Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке этой связке соответствует союз ИЛИ. В математической логике она обозначается знаком v. Дизъюнкция — двухместная операция; записывается в виде: A v В. Значением такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного из операндов истинно.
Правила выполнения рассмотренных логических операций отражены в следующей таблице, которая называется таблицей истинности логических операций (здесь И означает «истина», Л — «ложь»):
Логическая формула — формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок выполнения операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.
Например: (А & В) v (¬ А & В) v (¬ А & ¬ В).
Пример. Вычислить значение логической формулы:
если логические переменные имеют следующие значения: X = ЛОЖЬ, Y = ИСТИНА, Z = ИСТИНА.
Решение. Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в формуле:
Используя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам:
Логические функции на области числовых значений
Алгебра чисел пересекается с алгеброй логики в тех случаях, когда приходится проверять принадлежность значений алгебраических выражений некоторому множеству. Например, принадлежность значения числовой переменной X множеству положительных чисел выражается через высказывание: «X больше нуля». Символически это записывается так: Х > 0. В алгебре такое выражение называют неравенством. В логике — отношением.
Отношение X > 0 может быть истинным или ложным. Если X — положительная величина, то оно истинно, если отрицательная, то ложно. В общем виде отношение имеет следующую структуру:
Здесь выражения 1 и 2 — некоторые математические выражения, принимающие числовые значения. В частном случае выражение может представлять собой одну константу или одну переменную величину. Знаки отношений могут быть следующими:
Итак, отношение — это простое высказывание, а значит, логическая величина. Оно может быть как постоянной: 5 > 0 — всегда ИСТИНА, 3 * 6 : 2 — всегда ЛОЖЬ; так и переменной: а 0) или Р(х, у) = = (х 2 + У 2 2 2 + У 2 2 и R1 2 2 + У 2 2 и R2 2 + У 2 ) > R1 2 ) & ((X 2 + У 2 ) 2 ) & R1 2 + У 2 ) > R2 2 ) & ((X 2 + У 2 ) 2 ) & R2 2 — правая граница, парабола.
Рассматриваемая область есть пересечение трех полуплоскостей, описываемых неравенствами:
Во внутренних точках все эти три отношения являются одно-временно истинными. Поэтому искомый предикат имеет вид:
Логические выражения на Паскале
Уже говорилось о том, что в Паскале имеется логический тип данных.
Логические константы:true (истина), false (ложь).
Логические переменные: описываются с типом Boolean.
операции отношения заключены в скобки, поскольку они младше логических операций, а выполняться должны раньше.
Вопросы и задания
1. Какого типа величина получается при вычислении отношения (неравенства) между числами?
2. Что такое предикат? Приведите примеры.
3. Запишите на языке алгебры логики логические функции, которые будут принимать значение ИСТИНА, если справедливы следующие утверждения, и ЛОЖЬ — в противном случае:
4. Все формулы, полученные при решении предыдущей задачи, запишите в виде логических выражений на Паскале.
5. Постройте таблицу истинности для логической формулы:
Пояснение: в таблице истинности должны быть вычислены значения формулы для всех вариантов значений логических переменных: X, У, Z. Следовательно, таблица будет содержать 2 3 = 8 строк и 4 столбца: значения X, У, Z и результат. В таблицу можно добавить дополнительные столбцы, содержащие результаты промежуточных операций.
6. Вычислите значения следующих логических выражений, записанных на Паскале:
Пояснения:odd(x) — логическая функция определения четности аргумента, равна true, если х — нечетное, и равна false, если х — четное; trunc (х) — целочисленная функция от вещественного аргумента, возвращающая ближайшее целое число, не превышающее х по модулю.
К числу основных понятий логики относятся: высказывание, логическая величина, логические операции, логические выражения и формулы.
Высказывание (суждение) — это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывании можно сказать, истинно оно или ложно.
К числу основных понятий логики относятся: высказывание, логическая величина, логические операции, логические выражения и формулы.
Высказывание (суждение) — это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывании можно сказать, истинно оно или ложно.
Программирование ветвлений