калькулятор приведения квадратичной формы к каноническому виду

Переход к канонической форме ЗЛП

Математическая модель ЗЛП называется основной, если ограничения в ней представлены в виде уравнений при условии неотрицательности переменных.

Математическая модель называется канонической, если ее система ограничений представлена в виде системы m линейно независимых уравнений (ранг системы r=m), в системе выделен единичный базис, определены свободные переменные и целевая функция выражена через свободные переменные. При этом правые части уравнений неотрицательны (b_i ≥ 0).

Переменные, входящие в одно из уравнений системы с коэффициентом один и отсутствующие в других уравнениях называются базисными неизвестными, а все другие – свободными.

Решение системы называется базисным, если в нем свободные переменные равны 0, и оно имеет вид:
X_баз = (0, 0; b₁, …, b_m), f(X_баз) = c₀

Базисное решение является угловой точкой множества решений системы, т.е. определяет вершину многоугольника решений модели. Среди таких решений находится и то, при котором целевая функция принимает оптимальное значение.

Базисное решение называется опорным, если оно допустимо, т.е. все правые части уравнений системы (или неравенств) положительны b_i ≥ 0.

Компактная форма канонической модели имеет вид:
AX = b
X ≥ 0
Z = CX(max)

Определение. Задача ЛП имеет каноническую форму, если все ограничения системы состоят только из уравнений (кроме неравенств, выражающих неотрицательность переменных) и целевую функцию необходимо минимизировать.
Примером такой задачи ЛП в канонической форме является задача 1 – сбалансированная транспортная задача с системой ограничений (1) и целевой функцией (2).
Однако в большинстве экономических задач чаще всего в систему ограничений первоначально входят не только уравнения, а и неравенства.

Утверждение. Любая общая задача ЛП может быть приведена к канонической форме.
Приведение общей задачи ЛП к канонической форме достигается путем введения новых (их называют дополнительными) переменных.
Система ограничений (3) этой задачи состоит из четырех неравенств. Введя дополнительные переменные y₁≥ 0, y₂≥ 0, y₃≥ 0, y₄ ≥ 0, можно перейти к системе ограничений:

Эти дополнительные переменные y _i имеют абсолютно ясный экономический смысл, а именно означают величину неиспользованного времени работы (простоя машины i-го вида).
Например, если бы машины первого вида работали все 18 ч, то x + y = 18, следовательно, y ₁ = 0. Но мы допускаем возможность неполного использования времени работы первой машины x + y y = 6, мы можем из системы ограничений (3.9) сделать вывод, что y₁ = y₂ = y₃ = 0, а y₄ = 12 – 6 = 6. Т. е. машины первого, второго, третьего вида используют свое рабочее время полностью. А вот четвертая машина загружена лишь наполовину, 6 часов, и при заданном оптимальном плане простаивает. Возможно, после таких выводов руководителю предприятия захочется загрузить ее другой работой, сдать в аренду на это время и т.д.
Итак, введением дополнительных переменных мы можем любое ограничение типа неравенства привести к уравнению.

Рассмотрим задачу о смеси. Система ограничений имеет вид:
Неравенства были обращены в сторону «больше», поэтому вводя дополнительные переменные y ₁, y ₂, y ₃≥ 0, их необходимо вычесть из левой части, чтобы уравнять ее с правой. Получим систему ограничений в канонической форме:
Переменные y_i также будут иметь экономический смысл. Если вы вспомните практическое содержание задачи, то переменная y ₁ будет означать количество излишнего вещества А в смеси, y ₂ –количество излишков вещества В в смеси, y₃ – излишки С в смеси.
Задача нахождения максимального значения целевой функции может быть сведена к нахождению минимума для функции –F ввиду очевидности утверждения max F = –min (– F ). Посмотрите на рисунок: если в какой-то точке x= x₀ функция y= F(x) достигает своего максимума, то функция y= –F(x), симметричная ей относительно оси OX, в этой же точке x₀ достигнет минимума, причем F_max = – (–F_min) при x = x₀.

Источник

Приведенные ступенчатые матрицы

Этот онлайн калькулятор преобразует заданную матрицу к приведенному ступенчатому виду по строкам (каноническому виду по строкам) и показывает решение по шагам.

Приведенные ступенчатые матрицы

Ступенчатая матрица

Ступенчатой матрицей, или матрицей ступенчатого вида по строкам, называется матрица, такая что

Примеры ступенчатых матриц:

Матрица, приведенная ниже, также является ступенчатой матрицей:

Приведенная ступенчатая матрица

Ступенчатая матрица называется приведенной, если матрица, составленная из всех ее основных столбцов, является единичной матрицей (столбец матрицы называется основным, если он содержит ведущий элемент какой-либо строки матрицы).

То есть, приведенная ступенчатая матрица не имеет нулевых строк, и все ведущие элементы ее строк равны единице. При этом все элементы основных столбцов, помимо ведущих элементов, являются нулями.

Матрица, приведенная ниже, является приведенной ступенчатой матрицей:

Преобразование матрицы к приведенному ступенчатому виду по строкам (каноническому виду по строкам)

Для приведения матрицы к ступенчатому или приведенному ступенчатому виду используются элементарные преобразования строк. Каждая матрица может быть преобразована к уникальному приведенному ступенчатому виду.

Элементарные преобразования строк:

Эти преобразования и используются калькулятором выше для приведения матрицы к каноническому виду по строкам.

Источник

к каноническому виду уравнение кривой второго порядка онлайн

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как к каноническому виду уравнение кривой второго порядка онлайн,как привести к каноническому виду уравнение,как привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка,как привести к каноническому виду уравнение параболы,как привести уравнение к каноническому виду,как привести уравнение к каноническому виду параболы,как привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду,как привести уравнение параболы к каноническому виду,как уравнение кривой второго порядка привести к каноническому виду,как уравнение параболы привести к каноническому виду,как уравнение привести к каноническому виду,калькулятор кривые второго порядка онлайн,калькулятор онлайн кривые второго порядка,канонический вид уравнения,каноническое уравнение параболы онлайн калькулятор,кривые 2 порядка онлайн,кривые второго порядка онлайн,онлайн калькулятор приведение кривой второго порядка к каноническому виду,онлайн каноническое уравнение,онлайн кривые второго порядка,онлайн построение кривых второго порядка,онлайн приведение уравнения к каноническому виду,онлайн привести к каноническому виду уравнение,онлайн привести к каноническому виду уравнение второго порядка,онлайн привести уравнение к каноническому виду,поверхности второго порядка онлайн,построение кривой второго порядка онлайн,построение кривых второго порядка онлайн,построение онлайн кривой второго порядка,построить и привести к каноническому виду,построить кривую,построить кривую второго порядка онлайн,построить кривую заданную уравнением,приведение к каноническому виду,приведение к каноническому виду онлайн,приведение к каноническому виду уравнений второго порядка,приведение к каноническому виду уравнений второго порядка онлайн,приведение к каноническому виду уравнения,приведение к каноническому виду уравнения онлайн,приведение кривой второго порядка к каноническому виду,приведение кривой второго порядка к каноническому виду калькулятор онлайн,приведение кривой второго порядка к каноническому виду онлайн,приведение кривой второго порядка к каноническому виду онлайн калькулятор,приведение уравнений второго порядка к каноническому виду,приведение уравнений второго порядка к каноническому виду онлайн,приведение уравнения к каноническому виду,приведение уравнения к каноническому виду онлайн,приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду,привести к каноническому виду,привести к каноническому виду и построить,привести к каноническому виду онлайн,привести к каноническому виду онлайн калькулятор,привести к каноническому виду поверхность второго порядка онлайн,привести к каноническому виду уравнение,привести к каноническому виду уравнение второго порядка,привести к каноническому виду уравнение второго порядка онлайн,привести к каноническому виду уравнение кривой,привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка,привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка онлайн,привести к каноническому виду уравнение онлайн,привести к каноническому виду уравнения кривых,привести к каноническому виду уравнения кривых второго порядка,привести к каноническому виду уравнения кривых второго порядка онлайн,привести поверхность второго порядка к каноническому виду онлайн,привести уравнение второго порядка к каноническому виду,привести уравнение второго порядка к каноническому виду онлайн,привести уравнение к каноническому виду,привести уравнение к каноническому виду второго порядка,привести уравнение к каноническому виду онлайн,привести уравнение к каноническому виду онлайн решение,привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду,привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду онлайн,привести уравнение кривой к каноническому виду,привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду,привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду онлайн,уравнение второго порядка привести к каноническому виду,уравнение кривой второго порядка к каноническому виду онлайн,уравнение кривой привести к каноническому виду,уравнение линии привести к каноническому виду построить ее,уравнение привести к каноническому виду онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и к каноническому виду уравнение кривой второго порядка онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же к каноническому виду уравнение кривой второго порядка онлайн Онлайн?

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Источник

Нормальный вид квадратичной формы онлайн калькулятор. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа

Так как каждому преобразованию базиса отвечает невырожденное линейное преобразование координат, то вопрос о приведении квадратичной формы к каноническому виду можно решать путем выбора соответствующего невырожденного преобразования координат.

Это преобразование невырожденное, так как определитель его матрицы отличен от нуля
= = 2 ≠ 0.

Преобразуем выделенную сумму к виду:

при этом коэффициенты a ij меняются на . Рассмотрим невырожденное преобразование

y 1 = x 1 + + … + ,

2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

5) Отношение расстояния r i от точки эллипса до фокуса F i к расстоянию d i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:

Составим уравнения директрис:

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.

1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу ). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5) Отношение расстояния r i от точки гиперболы до фокуса F i к расстоянию d i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

У Для вывода уравнения параболы выберем декартову

систему координат так, чтобы ее началом была середина

r су, а координатные оси располагались параллельно и

перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD

поскольку

1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e 1) или параболу (при е =1).

220400 Алгебра и геометрия Толстиков А.В.

Лекции 16. Билинейные и квадратичные формы.

1. Билинейная форма и ее свойства.

2. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Преобразование координат.

3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

4. Закон инерции квадратичных форм.

5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу собственных значений.

6. Критерий Сильверста положительной определенности квадратичной формы.

1. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

3. Воеводин В.В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.

4. Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. М.: Наука, 1981.

5. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

Доказательство. По свойствам билинейной формы получаем

Доказательство. По определению матрицы перехода и матрицы билинейной формы находим:



2. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Преобразование координат.

Свойство 1. По заданной квадратичной форме f (x ) билинейная форма находится однозначно по формуле

Доказательство. Для любых векторов x , y ÎV получаем по свойствам билинейной формы

Отсюда следует формула (1). 

Источник

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Квадратичная форма

Определение

Пример. Функции

Оказывается, что в любой квадратичной форме можно так сгруппировать входящие в нее одночлены, что в результате получится ее (эквивалентное) представление в виде суммы квадратов.

Пример.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Существует универсальный алгоритм, приводящий произвольную квадратичную форму к каноническому виду.

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Матричная форма записи квадратичной формы

Задача. Установить правило формирования коэффициентов канонического вида квадратичной формы, получающегося применением метода Лагранжа.

Пример. Для приведенной выше квадратичной формы

Пример. Для

Вернемся к примерам предыдущего пункта, перепишем их на матричном языке.

Пример. Для формы

Поставленную в начале пункта задачу об установлении структуры канонического вида квадратичной формы попытаемся решить сначала для случая когда замену переменных можно подобрать именно в треугольном виде.

Метод Лагранжа и метод Гаусса

Пример. Рассмотрим матрицу квадратичной формы

Формула Якоби

Закон инерции для квадратичных форм

Для заданной квадратичной формы канонические виды, т.е. представления в виде сумм квадратов, можно построить разными способами. Выясним, какие характеристики являются общими (инвариантными) для этих представлений.

Ранг квадратичной формы

Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.

Закон инерции

Теорема [закон инерции]. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Доказательство следует из формулы Якоби.

Пример. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы

Рассмотренный только что пример относится к общей задаче оценки влияния параметров на характеристики квадратичной формы:

Как меняются ранг и сигнатура при непрерывном изменении параметров?

Справедливо и более общее утверждение.

Конгруэнтность квадратичных форм

Множество всех квадратичных форм с вещественными коэффициентами можно разбить на классы эквивалентности, в каждом из которых будут находиться только конгруэнтные между собой формы. Каждый из классов полностью описывается каким-то из своих представителей. Таким представителем можно взять нормальный вид.

Какое преобразование квадратичной формы оставляет ее инвариантной?

Знакоопределенность

Задача. Найти условия неотрицательности и положительной определенности квадратичной формы в терминах ее коэффициентов.

Теорема. Ненулевая квадратичная форма, представленная в правильном виде

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

К счастью, явное представление канонического вида квадратичной формы уже имеется — как правило, он задается формулой Якоби. Индексы инерции вычисляются через знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Теорема [Сильвестр]. Квадратичная форма

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Квадратичная форма будет отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы будут чередоваться следующим образом:

Пример. Квадратичная форма

Имеются ли конструктивные необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы?

Теорема. Пусть линейное подпространство задано системой линейных однородных уравнений

Пример. Найти ортогональную замену переменных, приводящую квадратичную форму

Доказательство основано на правиле знаков Декарта.

Геометрия замен переменных

Оба преобразования координат не изменяют типа кривой: эллипс остается эллипсом. Но второе преобразование дает нечто большее: оно сохраняет размеры. Фактически, оно сводится к повороту исходного эллипса.

Источник