каноническая форма квадратичной формы

Содержание:

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому п, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Понятие квадратичной формы

Квадратичной формой каноническая форма квадратичной формы

Пример:

Сумма каноническая форма квадратичной формыявляется квадратичной формой от трех неизвестных каноническая форма квадратичной формы.

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при каноническая форма квадратичной формыобозначаются через каноническая форма квадратичной формыа коэффициенты при каноническая форма квадратичной формычерез каноническая форма квадратичной формыпричем каноническая форма квадратичной формы„ Член каноническая форма квадратичной формызаписывается в виде каноническая форма квадратичной формыПосле этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде: каноническая форма квадратичной формы

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

каноническая форма квадратичной формы

каноническая форма квадратичной формы

результатом скалярного произведения матриц X и АХ. Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид каноническая форма квадратичной формы. Если каноническая форма квадратичной формы— произвольный n— мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму каноническая форма квадратичной формывместо X получится число каноническая форма квадратичной формы, которое называется значением квадратичной формы F(X) на векторе каноническая форма квадратичной формы.

Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма F(X) имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. каноническая форма квадратичной формыпри каноническая форма квадратичной формы. При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами каноническая форма квадратичной формы,т.е.:

каноническая форма квадратичной формы

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

каноническая форма квадратичной формы

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

каноническая форма квадратичной формы

где каноническая форма квадратичной формы-собственные значения матрицы А.

Применим к квадратичной форме линейное преобразование каноническая форма квадратичной формы— матрица-столбец новых переменных каноническая форма квадратичной формы— матрица, обратная к S.

каноническая форма квадратичной формы

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

каноническая форма квадратичной формы

Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу r квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема, Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис каноническая форма квадратичной формыпространства R» называется каноническим базисом квадратичной формы каноническая форма квадратичной формы, если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. каноническая форма квадратичной формыпри каноническая форма квадратичной формы

Если каноническая форма квадратичной формыканонический базис F(X), то выражение: каноническая форма квадратичной формыназывается каноническим видом F(X) в базисе каноническая форма квадратичной формыгде каноническая форма квадратичной формы— новый набор неизвестных.

Теорема. Если каноническая форма квадратичной формы— разложение вектора а по каноническому базису каноническая форма квадратичной формы квадратичной формы каноническая форма квадратичной формы то значение F(X) на векторе а вычисляется по формуле каноническая форма квадратичной формы

Доказательство:

каноническая форма квадратичной формы

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис каноническая форма квадратичной формыквадратичной формы F(X) и ее канонический вид каноническая форма квадратичной формыв этом базисе, то для вычисления значения F(a) квадратичной формы F(X) на векторе а достаточно:

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы А и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства Rсостоящий из собственных векторов каноническая форма квадратичной формы симметрической матрицы каноническая форма квадратичной формы, является каноническим базисом квадратичной формы каноническая форма квадратичной формы, а выражение каноническая форма квадратичной формы— ее каноническим видом в базисе каноническая форма квадратичной формы,

Доказательство:

Канонический базис Якоби квадратичной формы каноническая форма квадратичной формы. Будем говорить, что матрица каноническая форма квадратичной формыудовлетворяет условию Якоби, если определители:

каноническая форма квадратичной формы

называемые угловыми минорами матрицы А, не равны нулю. Очевидно, что каноническая форма квадратичной формы

Обозначим через каноническая форма квадратичной формыматрицу:

каноническая форма квадратичной формы

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д. каноническая форма квадратичной формыИз условия каноническая форма квадратичной формыследует, что каноническая форма квадратичной формыи, значит, каждая система уравнений каноническая форма квадратичной формы, где каноническая форма квадратичной формывектор диагональной системы, имеет единственное решение каноническая форма квадратичной формы. Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы А, которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. матрица А квадратичной формы каноническая форма квадратичной формыудовлетворяет условию Якоби, система векторов Якоби каноническая форма квадратичной формы матрицы А является каноническим базисом квадратичной формы каноническая форма квадратичной формы, а выражение:

каноническая форма квадратичной формы ее каноническим видом в базисе каноническая форма квадратичной формы.

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

каноническая форма квадратичной формы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра

Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась 🙂

Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную. Линейной формой каноническая форма квадратичной формыпеременных называют однородный многочлен 1-й степени:

каноническая форма квадратичной формы, где:

каноническая форма квадратичной формы– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля), а каноническая форма квадратичной формы– переменные, которые могут принимать произвольные значения.

* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа.

С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений, и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы каноническая форма квадратичной формы.

Например: каноническая форма квадратичной формы– линейная форма двух переменных

Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой каноническая форма квадратичной формыпеременных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных каноническая форма квадратичной формыимеет следующий вид:

каноническая форма квадратичной формы

Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
каноническая форма квадратичной формы– в этом слагаемом находится произведение каноническая форма квадратичной формыи каноническая форма квадратичной формы(квадрат);
каноническая форма квадратичной формы– здесь произведение каноническая форма квадратичной формы;
каноническая форма квадратичной формы– и здесь произведение каноническая форма квадратичной формы.

Далее будем полагать, что хотя бы одна из констант не равна нулю, и вот, пожалуйста, «неполный» пример: каноническая форма квадратичной формы, в котором:

каноническая форма квадратичной формы– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому: каноническая форма квадратичной формы

Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе каноническая форма квадратичной формы, но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы каноническая форма квадратичной формынам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.

И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:

каноническая форма квадратичной формы

…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.

Далее ситуация начинает усугубляться:

каноническая форма квадратичной формы

и усугублять мы её дальше не будем, т.к. формы с бОльшим количеством переменных встречаются довольно редко.

Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:

каноническая форма квадратичной формы
– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!

Квадратичная форма содержит каноническая форма квадратичной формыслагаемых с квадратами переменных и каноническая форма квадратичной формыслагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний). Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).

Матричная запись квадратичной формы

Как на счёт матриц? 🙂 Знаю, знаю, соскучились. В практических задачах широко распространенная матричная запись квадратичных форм. Объяснения опять начну с формы линейной, например, от трёх переменных: каноническая форма квадратичной формы. Её можно записать, как произведение двух матриц:

каноническая форма квадратичной формы

И действительно, выполняя матричное умножение, получаем матрицу «один на один»: каноническая форма квадратичной формы, единственный элемент которой можно эквивалентно записать вне матрицы: каноническая форма квадратичной формы.

Легко понять, что линейная форма «эн» переменных записывается в виде:
каноническая форма квадратичной формы

Квадратичная форма представима в виде произведения уже трёх матриц:

каноническая форма квадратичной формы, где:

каноническая форма квадратичной формы– столбец переменных;

каноническая форма квадратичной формы– его транспонированная строка;

каноническая форма квадратичной формыматрица квадратичной формы.

Это так называемая симметрическая матрица, на главной диагонали которой расположены коэффициенты каноническая форма квадратичной формыпри квадратах неизвестных, а симметрично относительно неё – «смешанные» коэффициенты, причём, строго на «своих местах» (например, каноническая форма квадратичной формы– в 1-й строке, 3-м столбце и 1-м столбце, 3-й строке).

Определитель каноническая форма квадратичной формыназывают дискриминантом квадратичной формы, а ранг матрицы каноническая форма квадратичной формырангом квадратичной формы.

Если перемножить три матрицы каноническая форма квадратичной формы, то получится в точности длинная «простыня» из предыдущего параграфа, но разворачивать её мы, конечно, не будем, а посмотрим, как это происходит в элементарном случае каноническая форма квадратичной формы. Согласно общей формуле, матричная запись данной формы имеет следующий вид:

каноническая форма квадратичной формы

И в самом деле:
каноническая форма квадратичной формы
далее:
каноническая форма квадратичной формы
каноническая форма квадратичной формы, в чём и требовалось убедиться.

Как вариант, сначала можно было перемножить правые матрицы, и затем первую матрицу умножить на полученный результат.

Вам понравилось так же, как и мне? Ну тогда пример для самостоятельного решения =)

Записать квадратичную форму в матричном виде и выполнить проверку. Определить дискриминант и ранг формы.

каноническая форма квадратичной формы

…что-то смущает? 😉 Краткое решение и ответ в конце урока! Статьи об определителе и ранге матрицы – в помощь.

После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных:

Записать матрицу квадратичной формы, найти её ранг и дискриминант

каноническая форма квадратичной формы

Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем ориентироваться на сами члены:

– слагаемое каноническая форма квадратичной формыдважды содержит 1-ю переменную, поэтому каноническая форма квадратичной формы;

– из аналогичных соображений определяем каноническая форма квадратичной формыи сразу записываем результаты на главную диагональ симметрической матрицы: каноническая форма квадратичной формы.

Так как в слагаемое каноническая форма квадратичной формывходят 1-я и 2-я переменная, то каноническая форма квадратичной формы(не забываем поделить на 2) и данный коэффициент занимает свои законные места: каноническая форма квадратичной формы.

Поскольку в форме отсутствует член с произведением каноническая форма квадратичной формы(а точнее, присутствует с нулевым множителем: каноническая форма квадратичной формы), то каноническая форма квадратичной формы, и на холст отправляются два нуля: каноническая форма квадратичной формы.

И, наконец, из слагаемого каноническая форма квадратичной формыопределяем каноническая форма квадратичной формы, после чего картина завершена:
каноническая форма квадратичной формы– матрица квадратичной формы. Вот так-то оно бывает – мы не только не испугались «страшных обозначений» каноническая форма квадратичной формы, но и заставили их работать на себя!

По условию не требовалось записывать матричное уравнение, однако науки ради:
каноническая форма квадратичной формы

Желающие могут перемножить три матрицы, в результате чего должна получиться исходная квадратичная форма.

Теперь определим ранг формы. Он равен рангу матрицы каноническая форма квадратичной формы. Так как в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, например, каноническая форма квадратичной формы, то ранг не меньше единицы. Теперь вычислим минор каноническая форма квадратичной формы, значит, ранг не меньше двух. И осталось проверить минор 3-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Здесь я ко второму столбцу прибавлю третий и раскрою определитель по 3-й строке:
каноническая форма квадратичной формы, значит, каноническая форма квадратичной формы

Если не очень понятно, что к чему, обязательно изучите статью о ранге матрицы – это довольно замысловатая задачка, и перед нами оказался лишь простой случай, когда угловые миноры не равны нулю.

Дискриминант квадратичной формы получен автоматом.

Ответ: каноническая форма квадратичной формы, ранг равен трём, дискриминант каноническая форма квадратичной формы

Следующее задание для самостоятельного решения:

Восстановить квадратичную форму по её матрице
каноническая форма квадратичной формы

При этом не нужно вспоминать никаких формул! Решение почти устное:

– сначала смотрим на главную диагональ и записываем слагаемые с квадратами переменных;

– затем анализируем симметричные элементы 1-й строки (или 1-го столбца), и записываем все слагаемые, в которые входит 1-я переменная (не забывая удвоить коэффициенты);

– далее смотрим на оставшиеся симметричные элементы 2-й строки (справа от диагонали) либо 2-го столбца (ниже диагонали) и записываем соответствующие парные произведения (с удвоенными коэффициентами!).

– и, наконец, анализируем правую нижнюю пару симметричных чисел.

Подробное решение и ответ в конце урока.

Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра

До сих пор мы рассматривали «внешнее устройство» форм и пришло время изучить их функциональное назначение. Да, по существу, они работают, как функции. Вернёмся к простенькой линейной форме каноническая форма квадратичной формы.

Как отмечалось в начале урока, переменные каноническая форма квадратичной формымогут принимать произвольные действительные значения (мы ограничились ими), и каждой такой паре соответствует определённое значение каноническая форма квадратичной формы, например:

каноническая форма квадратичной формы
каноническая форма квадратичной формы, и так далее.

Говоря языком науки, перед нами скалярная функция векторного аргумента, в которой каждому вектору каноническая форма квадратичной формыставится в соответствие определённое число каноническая форма квадратичной формы. Обращаю ваше внимание, что сейчас идёт речь не о геометрическом векторе, а о векторе в его алгебраическом понимании.

В зависимости от значений каноническая форма квадратичной формырассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы каноническая форма квадратичной формы– если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений каноническая форма квадратичной формы).

Такая форма называется знакопеременной. И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:

каноническая форма квадратичной формы

Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной.

каноническая форма квадратичной формы– всегда, если только каноническая форма квадратичной формыодновременно не равны нулю.

каноническая форма квадратичной формы– для любого вектора каноническая форма квадратичной формы, кроме нулевого каноническая форма квадратичной формы.

И вообще, если для любого ненулевого вектора каноническая форма квадратичной формы, каноническая форма квадратичной формы, то квадратичную форму называют положительно определённой; если же каноническая форма квадратичной формы– то отрицательно определённой.

Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения каноническая форма квадратичной формы, при которых она меньше нуля?

На этот счёт существует теорема: если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны*, то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.

* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны

Запишем матрицу вышеприведённой формы:
каноническая форма квадратичной формыи из уравнения каноническая форма квадратичной формынайдём её собственные значения:

каноническая форма квадратичной формы

Решаем старое доброе квадратное уравнение:
каноническая форма квадратичной формы
каноническая форма квадратичной формы, значит, форма каноническая форма квадратичной формыопределена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях каноническая форма квадратичной формыона больше нуля.

Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.

Как быть? Существует более простой путь!

Критерий Сильвестра

Нет, не Сильвестра Сталлоне 🙂 Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители каноническая форма квадратичной формыкоторые «разрастаются» из её левого верхнего угла:
каноническая форма квадратичной формы
и последний из них в точности равен определителю матрицы.

Теперь, собственно, критерий:

1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: каноническая форма квадратичной формы.

2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: каноническая форма квадратичной формы, каноническая форма квадратичной формы, если каноническая форма квадратичной формы– чётное или каноническая форма квадратичной формы, если каноническая форма квадратичной формы– нечётное.

Если в 1-й или 2-й последовательности есть нулевые миноры, то это два особых случая, которые я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры. При любой другой комбинации плюсов-минусов (и опционально нулей) форма знакопеременна.

Проанализируем угловые миноры матрицы каноническая форма квадратичной формы:

каноническая форма квадратичной формы, и это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно (отпал пункт 2).

каноническая форма квадратичной формы

Вывод: все угловые миноры больше нуля, значит, форма каноническая форма квадратичной формыопределена положительно.

Есть разница с методом собственных чисел? 😉

Запишем матрицу формы каноническая форма квадратичной формыиз Примера 1:
каноническая форма квадратичной формы

первый её угловой минор каноническая форма квадратичной формы, а второй каноническая форма квадратичной формы, откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений каноническая форма квадратичной формы, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.

Возьмём форму каноническая форма квадратичной формыи её матрицу из Примера 2:
каноническая форма квадратичной формы

тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
каноническая форма квадратичной формы, следовательно, форма точно не отрицательна.

каноническая форма квадратичной формы, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными).

Вывод: форма знакопеременна.

Разминочные примеры для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность

а) каноническая форма квадратичной формы

б) каноническая форма квадратичной формы

В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно.

Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора каноническая форма квадратичной формы, то форма определена неотрицательно, если каноническая форма квадратичной формы– то неположительно. У этих форм существуют ненулевые векторы каноническая форма квадратичной формы, при которых каноническая форма квадратичной формы.

Здесь можно привести такой «баян»:
каноническая форма квадратичной формы

Выделяя полный квадрат, сразу видим неотрицательность формы: каноническая форма квадратичной формы, причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: каноническая форма квадратичной формы.

«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:
каноническая форма квадратичной формы
и ещё более тривиальный пример:
каноническая форма квадратичной формы– здесь форма равна нулю при любом векторе каноническая форма квадратичной формы, где каноническая форма квадратичной формы– произвольное число.

Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?

Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы каноническая форма квадратичной формысуществуют два главных минора 1-го порядка:
каноническая форма квадратичной формы(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
каноническая форма квадратичной формы(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),

и один главный минор 2-го порядка:
каноническая форма квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.

У матрицы «три на три» каноническая форма квадратичной формыглавных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
каноническая форма квадратичной формы– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
каноническая форма квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
каноническая форма квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
каноническая форма квадратичной формы– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
каноническая форма квадратичной формы– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы каноническая форма квадратичной формы.
Сверяемся в конце урока и продолжаем.

Критерий Шварценеггера:

1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).

* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.

2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей каноническая форма квадратичной формыопределена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошлО чередование);

– главный минор каноническая форма квадратичной формы-го порядка неположителен, если каноническая форма квадратичной формы– нечётное либо неотрицателен, если каноническая форма квадратичной формы– чётное.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.

Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:
каноническая форма квадратичной формы

Составим матрицу каноническая форма квадратичной формыформы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?
каноническая форма квадратичной формы

Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен, и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае каноническая форма квадратичной формы2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы).

Главные миноры 1-го порядка:
каноническая форма квадратичной формы– положительны,
главный минор 2-го порядка:
каноническая форма квадратичной формы– не отрицателен.

Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна.

Запишем матрицу каноническая форма квадратичной формыформы каноническая форма квадратичной формы, для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
каноническая форма квадратичной формы– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
каноническая форма квадратичной формы– не отрицателен.

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.

Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
каноническая форма квадратичной формы

Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем.

Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:
каноническая форма квадратичной формы

Вычислим угловые миноры:
каноническая форма квадратичной формы
третий определитель я раскрою по 3-й строке:
каноническая форма квадратичной формы

Кстати, в силу симметрии, по 3-му столбцу он раскрывается точно так же.

Дальнейшее решение удобно разбить на 2 пункта:

1) Выясним, существуют ли значения «альфа», при которых форма определена положительно или неотрицательно. Согласно критерию Сильвестра, условию положительности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
каноническая форма квадратичной формы

В соответствии с поставленной задачей, сначала разберёмся со 2-м неравенством:
каноническая форма квадратичной формы
умножим обе его части на каноническая форма квадратичной формы, сменив у неравенства знак:
каноническая форма квадратичной формы, что противоречит первому неравенству системы.

Таким образом, система несовместна, а значит, форма не может быть положительно определённой ни при каких «альфа», из чего логически и автоматически следует, что она не может быть и неотрицательной.

2) Проведём исследование на отрицательность / неположительнось. По Сильвестру, условию отрицательности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
каноническая форма квадратичной формы

Второе неравенство уже решено: каноническая форма квадратичной формы, и оно не противоречит первому. И третье неравенство тоже «вписалось в рамки»: каноническая форма квадратичной формы.
Таким образом, имеем совместную систему:
каноническая форма квадратичной формы
из которой следует, что форма определена отрицательно при каноническая форма квадратичной формы. Например, если каноническая форма квадратичной формы:
каноническая форма квадратичной формы– то при любом ненулевом векторе каноническая форма квадратичной формыданная форма будет строго отрицательна.

Осталось исследовать «пограничный» случай. Если каноническая форма квадратичной формы, то:
каноническая форма квадратичной формы
Последнее значение не удовлетворяет 2-му пункту критерия Сильвестра, однако оно равно нулю, что позволяет предположить неположительнось формы. Запишем матрицу каноническая форма квадратичной формыформы и проверим критерий Шварценеггера. Главные миноры первого порядка:
каноническая форма квадратичной формы– отлично, все миноры неположительны, поэтому проверка продолжается.

Рассчитываем миноры 2-го порядка. Если хотя бы один из них окажется отрицательным, то форма будет знакопеременной:
каноническая форма квадратичной формы
Нет, все миноры неотрицательны, и минор 3-го порядка уже рассчитан:
каноническая форма квадратичной формы

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), имеет место неположительнось формы, иными словами, каноническая форма квадратичной формы, причём, нулю она равна и при некоторых ненулевых значениях каноническая форма квадратичной формы.

Ответ: при каноническая форма квадратичной формыформа определена отрицательно, при каноническая форма квадратичной формынеположительно, в остальных случаях форма знакопеременна.

И творческое задание для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
каноническая форма квадратичной формы

И в заключение статьи хочу выразить благодарность Сергею Хохлову, некогда ст. преподавателю МПГУ – за важные замечания и интересные дополнительные примеры, а также Арнольду Шварценеггеру, который сыграл в непривычном для себя амплуа и помог мне ярче объяснить материал 🙂

Как сказал актёр, I’ll be back, и я жду вас на следующем уроке – о каноническом виде квадратичной формы.

Пример 1. Решение: сначала приведём подобные слагаемые:
каноническая форма квадратичной формы
Квадратичная форма двух переменных имеет вид каноническая форма квадратичной формы, в данном случае: каноническая форма квадратичной формы. Запишем форму в матричном виде:
каноническая форма квадратичной формы

Проверка:
каноническая форма квадратичной формы
что и требовалось проверить.

Вычислим дискриминант формы:
каноническая форма квадратичной формы
Поскольку каноническая форма квадратичной формы, то ранг формы равен двум.

Ответ: каноническая форма квадратичной формы, каноническая форма квадратичной формы, ранг формы равен двум.

Пример 3. Решение: симметрическая матрица 4*4 определяет квадратичную форму 4 переменных. Коэффициенты главной диагонали каноническая форма квадратичной формы, следовательно:
каноническая форма квадратичной формы

Симметричные коэффициенты 1-й строки: каноническая форма квадратичной формы, таким образом:
каноническая форма квадратичной формы

Оставшиеся симметричные элементы 2-й строки: каноническая форма квадратичной формы, и:
каноническая форма квадратичной формы

И, наконец, каноническая форма квадратичной формы

Ответ: каноническая форма квадратичной формы

Пример 4. Решение:

а) запишем матрицу формы:
каноническая форма квадратичной формы
и вычислим её угловые миноры:
каноническая форма квадратичной формы

Таким образом, по критерию Сильвестра, форма определена отрицательно.

б) запишем матрицу формы:
каноническая форма квадратичной формы
и вычислим её угловые миноры:
каноническая форма квадратичной формы

Вывод: форма знакопеременна.

Задание на понимание: у данной матрицы четыре главных минора 1-го порядка:
каноническая форма квадратичной формы,
шесть главных миноров 2-го порядка:
каноническая форма квадратичной формы
четыре главных минора 3-го порядка:
каноническая форма квадратичной формы
и один главный минор 4-го порядка, равный определителю матрицы.

Пример 5*. Решение: запишем матрицу формы каноническая форма квадратичной формыи вычислим её угловые миноры:
каноническая форма квадратичной формы
Таким образом, форма не удовлетворяет критерию Сильвестра, однако, может оказаться неотрицательной (т.к. каноническая форма квадратичной формыи остальные миноры нулевые). Для этого все главные миноры должны быть неотрицательны. Главные миноры 1-го порядка:
каноническая форма квадратичной формы.
Вычислим главные миноры 2-го порядка:
каноническая форма квадратичной формы
каноническая форма квадратичной формы– среди главных миноров встретился отрицательный, следовательно, форма не удовлетворяет критерию неотрицательности.

Ответ: форма знакопеременна.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

каноническая форма квадратичной формы «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *