кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Кинематические уравнения движения

Кинематические уравнения движения используются, чтобы описать перемещение объекта в пространстве. Так как при поступательном движении все точки объекта движутся одинаково, то его удобно представлять материальной точкой: она имеет определенную массу, однако её размерами можно пренебречь. Чтобы количественно описать движение точки, нужно ввести временную и пространственные координаты. При поступательном движении удобней всего пользоваться декартовой системой координат.

Положение такой точки в пространстве описывается радиус-вектором:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Можно спроектировать его на оси координат, тогда получим систему скалярных уравнений. Эти уравнения и называют кинематическими уравнениями движения:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Характеристики кинематического уравнения движения

Длина пути точки, пройденного ею с начального момента до момента t, обозначается кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной формеи является скалярной величиной. Если движение прямолинейное, то вектор перемещения кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме, соединяющий начальное и конечное положение точки, совпадает с путем точки, кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме. Если же движение криволинейное, кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной формеобычно находят с помощью геометрических построений.

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Длина пути, пройденная точкой за конечное время t, может быть найдена с помощью формулы:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Здесь v – функция изменения скорости точки во времени, кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме— начальная скорость, а – ускорение, t – время.

Если движение равномерное, то есть скорость остается неизменной, пройденный путь можно найти проще:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Скорость – величина векторная; она характеризует не только быстроту движения точки, но и направление этого движения. Она направлена так же, как и вектор перемещения. Средняя скорость может быть рассчитана:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Если интервал времени кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме, вектор перемещения стремится к тому, чтобы совпадать с путем перемещения, и тогда может быть вычислена мгновенная скорость:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Ускорение точки (в векторном или скалярном виде) мы узнаем, взяв производную от скорости по времени:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Если движение криволинейно, ускорение можно разложить на две составляющие: тангенциальное ускорение кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной формеи центростремительное ускорение кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

где R – это радиус кривизны рассматриваемой траектории. Модуль ускорения, включающего обе компоненты, при криволинейном движении:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Если движение имеет прямолинейный характер, ускорение имеет только тангенциальную составляющую.

Примеры решения задач

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной формем.

2) Вычислим производную от уравнения движения и найдём мгновенную скорость точки:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

3) Вычислим производную от уравнения скорости, чтобы найти мгновенное ускорение:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

ОтветВ рассматриваемый момент времени кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной формем, кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной формем/с, кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной формем/с кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

В начальной координате объект находится в момент времени t = 0. Её значение:

х (t = 0) = 5 + 4t – t 2 = 5 + 4•0 – 0 2 = 5 м.

Из уравнения движения видим, что ускорение точки (заданное последним слагаемым) отрицательное. Значит, скорость уменьшается, и максимальная координата будет достигнута в тот момент, когда скорость начнёт менять знак. Найдём скорость как первую производную, взятую от уравнения движения, и приравняем ее к нулю:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Отсюда t = 2 c – момент, когда координата будет максимальной. Найдём эту координату:

х (t = 2) = 5 + 4t – t 2 = 5 + 4•2 – 2 2 = 9 м.

Найдём момент времени, когда координата х = 0:

Поскольку график, выражающий зависимость координаты от переменной времени, представляет собой кривую линию второго порядка, то в него входят пять разных коэффициентов. Поэтому найдём координаты еще для двух значений времени:

х (t = 1) = 5 + 4t – t 2 = 5 + 4•1 – 1 2 = 8 м.

За этими данными мы можем начертить график для координаты. График пути строим за предыдущим графиком следующим образом:

1) До того, как скорость изменит свой знак, графики пути и координаты повторяют друг друга;

2) Начиная с момента, когда скорость изменит свой знак, путь возрастает по той же функции, по какой убывает координата.

Вычислим среднюю скорость за отрезок времени от t1 = 1 c до t2 = 6 с:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Чтобы найти среднюю путевую скорость, найдём путь, пройденный точкой за интервал времени от t1 = 1 c до t2 = 6 с. Этот путь складывается из двух отрезков пути – до и после перемены знака скорости:

Источник

Тема 1.6. Основные понятия кинематики

§1. Кинематика точки. Введение в кинематику.

Кинематикой (от греческого «кинема» — движение) называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени.

Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета.

Рис.1. Система отчета

Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны).

Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем, как трехмерное евклидово пространство.

Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т.е. как функции времени t.

Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).

Основная задача кинематики точки твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих дан­ное движение.

Положение тела можно определить с помощью радиус-вектора или с помощью координат.

Рис.2. Радиус-вектор

Рис.3. Координаты точки М

Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно.

Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движе­нии все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки.

В дальнейшем под словом «тело» будем понимать «материальная точка».

Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета.

В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.

где и — радиус-векторы тела в эти моменты времени.Единицы измерения в системе СИ: м (метр).

Модуль перемещения не может быть больше пути: ≤s.

Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется.

Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:

Видео-урок «Механическое движение»

§2. Способы задания движения точки

Для задания движения точки можно применять один из следую­щих трех способов:

1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

1. Векторный способ задания движения точки.

Рис.4. Движение точки М

При движении точки М вектор будет с течением времени изме­няться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу­мента t:

Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

2. Координатный способ задания движе­ния точки.

Положение точки можно непосредственно опре­делять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.4), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви­жения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент вре­мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

3. Естественный способ задания движе­ния точки.

Рис.5. Движение точки М

Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех слу­чаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ явля­ется траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О’, которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицатель­ное направления отсчета (как на координат­ной оси).

Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость s=f(t).

§3. Вектор скорости точки

Одной из основных кинематических характеристик движе­ния точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий.

Единица измерения скорости – м/с. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 м/с.

Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным.

Для равномерно-прямолинейного движения ∆r=v∆t, где v – постоянный вектор скорости.

Из соотношения видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени.

Источник

Кинематика

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Механика — это раздел физики, изучающий механическое движение тел.

Кинематика — это раздел механики, в котором изучается механическое движение тел без учета причин, вызывающих это движение.

Материальная точка — тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь, если

Система отсчета — это тело отсчета, связанная с ним система координат и прибор для измерения времени.
Траектория — это линия, которую описывает тело при своем движении.
Путь — это скалярная величина, равная длине траектории.
Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением за данный промежуток времени.

Важно!
В процессе движения путь может только увеличиваться, а перемещение как увеличиваться, так и уменьшаться, например, когда тело поворачивает обратно.
При прямолинейном движении в одном направлении путь равен модулю перемещения, а при криволинейном — путь больше перемещения.
Перемещение на замкнутой траектории равно нулю.

Основная задача механики — определить положение тела в пространстве в любой момент времени.

Механическое движение и его виды

Механическое движение — это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение может быть:
1. по характеру движения

2. по виду траектории

Относительность механического движения

Относительность движения — это зависимость характеристик механического движения от выбора системы отсчета.

Правило сложения перемещений

Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета равно векторной сумме перемещения тела относительно подвижной системы отсчета и перемещения подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

где ​ \( S \) ​ — перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета;
​ \( S_1 \) ​ — перемещение тела относительно подвижной системы отсчета;
​ \( S_2 \) ​ — перемещение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.

Правило сложения скоростей

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

где ​ \( v \) ​ — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета;
​ \( v_1 \) ​ — скорость тела относительно подвижной системы отсчета;
​ \( v_2 \) ​ — скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.

Относительная скорость

Важно! Чтобы определить скорость одного тела относительно другого, надо мысленно остановить то тело, которое мы принимаем за тело отсчета, а к скорости оставшегося тела прибавить скорость остановленного, изменив направление его скорости на противоположное.

Пусть \( v_1 \) — скорость первого тела, а \( v_2 \) — скорость второго тела.
Определим скорость первого тела относительно второго \( v_ <12>\) :

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Определим скорость второго тела относительно первого \( v_ <21>\) :

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Следует помнить, что траектория движения тела и пройденный путь тоже относительны.

Если скорости направлены перпендикулярно друг к другу, то относительная скорость рассчитывается по теореме Пифагора:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Если скорости направлены под углом ​ \( \alpha \) ​ друг к другу, то относительная скорость рассчитывается по теореме косинусов:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Скорость

Скорость — это векторная величина, характеризующая изменение перемещения данного тела относительно тела отсчета с течением времени.

Обозначение — ​ \( v \) ​, единицы измерения — ​м/с (км/ч)​.

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Средняя скорость — это векторная величина, равная отношению всего перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Средняя путевая скорость — это скалярная величина, равная отношению всего пути, пройденного телом, к промежутку времени, за которое этот путь пройден:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Важно! Чтобы определить среднюю скорость на всем участке пути, надо время разделить на отдельные промежутки и все время представить в виде суммы этих промежутков.
Чтобы определить среднюю скорость за все время движения, надо путь разделить на отдельные участки и весь путь представить как сумму этих участков.

Мгновенная скорость — это скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.
Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения.

Ускорение

Ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости.

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

где ​ \( v \) ​ – конечная скорость; ​ \( v_0 \) ​ – начальная скорость;
​ \( t \) ​ – промежуток времени, за который произошло изменение скорости.

В проекциях на ось ОХ:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

где ​ \( a_n \) ​ – нормальное ускорение, ​ \( a_ <\tau>\) ​ – тангенциальное ускорение.

Тангенциальное ускорение сонаправлено с вектором линейной скорости, а значит, направлено вдоль касательной к кривой:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Нормальное ускорение перпендикулярно направлению вектора линейной скорости, а значит, и касательной к кривой:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости, а скорость – векторная величина, которая имеет модуль (числовое значение) и направление.

Важно!
Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости.
Если \( a_ <\tau>\) ≠ 0, \( a_n \) = 0, то тело движется по прямой;
если \( a_ <\tau>\) = 0, \( a_n \) = 0, ​ \( v \) ​ ≠ 0, то тело движется равномерно по прямой;
если \( a_ <\tau>\) = 0, \( a_n \) ≠ 0, тело движется равномерно по кривой;
если \( a_ <\tau>\) = 0, \( a_n \) = const, то тело движется равномерно по окружности;
если \( a_ <\tau>\) ≠ 0, \( a_n \) ≠ 0, то тело движется неравномерно по окружности.

Равномерное движение

Равномерное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.

Скорость при равномерном движении – величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Проекция вектора скорости на координатную ось равна быстроте изменения данной координаты:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

График скорости (проекции скорости)

График скорости (проекции скорости) представляет собой зависимость скорости от времени:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

График скорости при равномерном движении – прямая, параллельная оси времени.
График 1 лежит над осью ​ \( t \) ​, тело движется по направлению оси ОХ.
Графики 2 и 3 лежат под осью ​ \( t \) ​, тело движется против оси ОХ.

Перемещение при равномерном движении – это величина, равная произведению скорости на время:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Проекция вектора перемещения на ось ОХ:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

График перемещения (проекции перемещения)

График перемещения (проекции перемещения) представляет собой зависимость перемещения от времени:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Координата тела при равномерном движении рассчитывается по формуле:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

График координаты представляет собой зависимость координаты от времени: ​ \( x=x(t) \) ​.

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

График координаты при равномерном движении – прямая.
График 1 направлен вверх, тело движется по направлению оси ОХ:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

График 2 параллелен оси ОХ, тело покоится.
График 3 направлен вниз, тело движется против оси ОХ:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Прямолинейное равноускоренное движение

Прямолинейное равноускоренное движение – это движение по прямой, при котором тело движется с постоянным ускорением:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

При движении с ускорением скорость может как увеличиваться, так и уменьшаться.

Скорость тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

При разгоне (в проекциях на ось ОХ):

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

При торможении (в проекциях на ось ОХ):

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

График ускорения (проекции ускорения) при равноускоренном движении представляет собой зависимость ускорения от времени:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

График ускорения при равноускоренном движении – прямая, параллельная оси времени.
График 1 лежит над осью t, тело разгоняется, ​ \( a_x \) ​ > 0.
График 2 лежит под осью t, тело тормозит, \( a_x \) \( v_ <0x>\) ​ > 0, ​ \( a_x \) ​ > 0.

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

График 2 направлен вниз, тело движется равнозамедленно в положительном направлении оси ОХ, \( v_ <0x>\) > 0, \( a_x \) \( v_ <0x>\) \( a_x \) \( t_2-t_1 \) ​. Для этого необходимо определить площадь фигуры под графиком (заштрихованной фигуры).

Перемещение при равноускоренном движении рассчитывается по формулам:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Перемещение в ​ \( n \) ​-ую секунду при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Координата тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Свободное падение (ускорение свободного падения)

Свободное падение – это движение тела в безвоздушном пространстве под действием только силы тяжести.

Все тела при свободном падении независимо от массы падают с одинаковым ускорением, называемым ускорением свободного падения.
Ускорение свободного падения всегда направлено к центру Земли (вертикально вниз).

Движение тела по вертикали

Тело падает вниз, вектор скорости направлен в одну сторону с вектором ускорения свободного падения:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Если тело падает вниз без начальной скорости, то ​ \( v_0 \) ​ = 0.
Время падения рассчитывается по формуле:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Тело брошено вверх:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Если брошенное вверх тело достигло максимальной высоты, то ​ \( v \) ​ = 0.
Время подъема рассчитывается по формуле:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Движение тела, брошенного горизонтально

Движение тела, брошенного горизонтально, можно представить как суперпозицию двух движений:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Скорость тела в любой момент времени:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Угол между вектором скорости и осью ОХ:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (баллистическое движение)

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как суперпозицию двух движений:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Скорость тела в любой момент времени:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Угол между вектором скорости и осью ОХ:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Время подъема на максимальную высоту:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Максимальная высота подъема:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Максимальная дальность полета:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Важно!
При движении вверх вертикальная составляющая скорости будет уменьшаться, т. е. тело вдоль вертикальной оси движется равнозамедленно.
При движении вниз вертикальная составляющая скорости будет увеличиваться, т. е. тело вдоль вертикальной оси движется равноускоренно.
Скорость ​ \( v_0 \) ​, с которой тело брошено с Земли, будет равна скорости, с которой оно упадет на Землю. Угол ​ \( \alpha \) ​, под которым тело брошено, будет равен углу, под которым оно упадет.

При решении задач на движение тела, брошенного под углом к горизонту, важно помнить, что в точке максимального подъема проекция скорости на ось ОУ равна нулю:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Это облегчает решение задач:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью – простейший вид криволинейного движения.

Траектория движения – окружность. Вектор скорости направлен по касательной к окружности.
Модуль скорости тела с течением времени не изменяется, а ее направление при движении по окружности в каждой точке изменяется, поэтому движение по окружности – это движение с ускорением.
Ускорение, которое изменяет направление скорости, называется центростремительным.
Центростремительное ускорение направлено по радиусу окружности к ее центру.

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является периодическим движением, т. е. его координата повторяется через равные промежутки времени.
Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.
Обозначение – ​ \( T \) ​, единицы измерения – с.

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

где ​ \( N \) ​ – количество оборотов, ​ \( t \) ​ – время, за которое эти обороты совершены.
Частота вращения – это число оборотов за единицу времени.
Обозначение – ​ \( \nu \) ​, единицы измерения – с –1 (Гц).

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Период и частота – взаимно обратные величины:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Линейная скорость – это скорость, с которой тело движется по окружности.
Обозначение – ​ \( v \) ​, единицы измерения – м/с.
Линейная скорость направлена по касательной к окружности:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Направление угловой скорости можно определить по правилу правого винта (буравчика).
Если вращательное движение винта совпадает с направлением движения тела по окружности, то поступательное движение винта совпадает с направлением угловой скорости.
Связь различных величин, характеризующих движение по окружности с постоянной по модулю скоростью:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Важно!
При равномерном движении тела по окружности точки, лежащие на радиусе, движутся с одинаковой угловой скоростью, т. к. радиус за одинаковое время поворачивается на одинаковый угол. А вот линейная скорость разных точек радиуса различна в зависимости от того, насколько близко или далеко от центра они располагаются:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Если рассматривать равномерное движение двух сцепленных тел, то в этом случае одинаковыми будут линейные скорости, а угловые скорости тел будут различны в зависимости от радиуса тела:

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

кинематические уравнения связывающие перемещение скорость и ускорение в векторной форме

Мгновенная скорость нижней точки ​ \( (m) \) ​ равна нулю, мгновенная скорость в верхней точке ​ \( (n) \) ​ равна удвоенной скорости ​ \( v_1 \) ​, мгновенная скорость точки ​ \( (p) \) ​, лежащей на горизонтальном радиусе, рассчитывается по теореме Пифагора, а мгновенная скорость в любой другой точке ​ \( (c) \) ​ – по теореме косинусов.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *