классической вероятностью события а называется отношение

Теория вероятностей, формулы и примеры

классической вероятностью события а называется отношение

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

классической вероятностью события а называется отношение

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

классической вероятностью события а называется отношение

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

классической вероятностью события а называется отношение

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

У нас есть отличное онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся на пробное занятие!

Сложение и умножение вероятностей

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

классической вероятностью события а называется отношение

Если случайные события A1, A2. An образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

классической вероятностью события а называется отношение

По теореме умножения вероятностей:

классической вероятностью события а называется отношение

классической вероятностью события а называется отношение

Аналогично, для остальных гипотез:

классической вероятностью события а называется отношение

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:
классической вероятностью события а называется отношение

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

классической вероятностью события а называется отношение

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

P1000(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Кроме того, пусть Pn(k1;k2) — вероятность того, что число появлений события А находится между k1 и k2.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

классической вероятностью события а называется отношение

классической вероятностью события а называется отношение

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

классической вероятностью события а называется отношение

классической вероятностью события а называется отношение

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Источник

Содержание:

Классическое определение вероятности:

Пусть событие А — некоторый исход испытания и

классической вероятностью события а называется отношение

— конечная система всех возможных и единственно возможных попарно несовместных элементарных исходов этого испытания (полная система элементарных событий). Таким образом, событие А происходит тогда и только тогда, когда имеют место некоторые события из системы (1) (благоприятные или благоприятствующие исходы или так называемые шансы для события А).

Предположим, что события системы (1) равновозможны, т. е. нет основания предполагать, что одно из событий системы (1) превалирует, в смысле появления, перед другими. Иногда это можно установить, используя свойство симметрии.

Определение: Под вероятностью Р(А) события А понимается отношение числа равновозможных элементарных исходов, благоприятствующих событию А> к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания.

Таким образом, если классической вероятностью события а называется отношение

классической вероятностью события а называется отношение

Так как, очевидно, классической вероятностью события а называется отношение, то

классической вероятностью события а называется отношение

т. е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Замечание. Из определения вероятности следует, что равновозможные элементарные события являются равновероятными, т. е. обладают одной и той же вероятностью.

Из определения вероятности вытекают следующие основные ее свойства.

1. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие А невозможно, то число благоприятных ему элементарных исходов классической вероятностью события а называется отношение= 0 и мы имеем

классической вероятностью события а называется отношение

2. Вероятность достоверного события равна единице.

В самом деле, если событие А достоверно, то, очевидно, классической вероятностью события а называется отношение= классической вероятностью события а называется отношениеи, следовательно,

классической вероятностью события а называется отношение

Приведем некоторые элементарные теоремы о вероятностях.

Определение: Два события А и В называются эквивалентными:

классической вероятностью события а называется отношение

если каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое.

С точки зрения теории вероятностей такие события считаются равными.

Например, если в урне содержатся только белые и черные шары, то появление черного шара и появление небелого шара есть события эквивалентные.

Теорема: Эквивалентные события имеют одинаковые ве-роятности, т. е. если А = В, то

классической вероятностью события а называется отношение

Действительно, каждый элементарный исход для события А является таковым же для события В и обратно. В силу формулы (2) справедливо равенство (4).

Определение: Говорят, что из события А следует событие классической вероятностью события а называется отношение, если событие В появляется всякий раз, как только произошло событие А.

Например, для любых событий Аи В имеем классической вероятностью события а называется отношение

Теорема: Если классической вероятностью события а называется отношението

классической вероятностью события а называется отношение

В самом деле, пусть события А и В включены в общую систему равновероятных элементарных исходов, причем классической вероятностью события а называется отношение— число благоприятных элементарных исходов соответственно для событий А и В, а классической вероятностью события а называется отношение— общее число элементарных исходов. Так как каждый элементарный исход для события А является также элементарным исходом для события Б, то классической вероятностью события а называется отношениеи, следовательно,

классической вероятностью события а называется отношение

таким образом, неравенство (5) доказано.

Определение: Событие А, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А, называется противоположным последнему.

Например, если при бросании монеты событие А есть выпадение герба, то событие А представляет собой невыпадение герба, т. е. выпадение решетки.

Из определения 4 следует, что: 1) событие А + классической вероятностью события а называется отношениедостоверно; 2) событие классической вероятностью события а называется отношениеневозможно.

Теорема: Вероятность противоположного события классической вероятностью события а называется отношениеравна дополнению вероятности данного события А до 1, т. е.

классической вероятностью события а называется отношение

Действительно, пусть полная система равновозможных элементарных исходов содержит п событий, из которых классической вероятностью события а называется отношениеблагоприятны событию А. Тогда классической вероятностью события а называется отношениеэлементарных исходов неблагоприятны событию А, т.е. благоприятствуют событию А. Таким образом, имеем

классической вероятностью события а называется отношение

Приведем ряд примеров на непосредственное вычисление вероятностей событий.

Пример:

Монета бросается два раза. Какова вероятность: 1) выпадения герба хотя бы один раз (событие А); 2) двукратного выпадения герба (событие В)?

Решение:

Равновозможными элементарными исходами здесь являются: ГГ, ГР, РГ, РР; число их классической вероятностью события а называется отношение= 4.

Событию А благоприятствуют исходы ГГ, ГР, РГ, число которых классической вероятностью события а называется отношение= 3. Следовательно,

классической вероятностью события а называется отношение

Событию В благоприятствует один исход ГГ классической вероятностью события а называется отношение. Поэтому

классической вероятностью события а называется отношение

Пример:

Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие А)?

Решение:

Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары (х, у), где х и у принимают значения 1, 2, 3, 4, 5, 6; общее число элементарных исходов классической вероятностью события а называется отношение= 36.

Событию А благоприятствуют пары (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), число которых классической вероятностью события а называется отношение= 5.

классической вероятностью события а называется отношение

Статистическое определение вероятности:

Классическое определение вероятности события предполагает, что: 1) число элементарных исходов конечно; 2) эти исходы равновозможны.

Однако на практике встречаются испытания с бесконечным числом различных возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы равновозможных элементарных исходов.

Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограниченно.

Мы укажем сейчас другое определение вероятности, иногда более удобное для приложений.

Пусть производится п однотипных испытаний, одним из исходов которых является данное событие А.

Определение: Отношение числа появлений тп события А к общему числу испытаний п называется относительной частотой (частостью) события А.

Таким образом, обозначая через Wn (А) относительную частоту события А при классической вероятностью события а называется отношениеиспытаниях, будем иметь

классической вероятностью события а называется отношение

Очевидно, классической вероятностью события а называется отношение

Из формулы (1) получаем

классической вероятностью события а называется отношение

т. е. число появлений события А равно его относительной частоте умноженной на число испытаний.

При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, т. е. при числе испытаний классической вероятностью события а называется отношениеотносительная частота Wn(A) события А колеблется около некоторого постоянного числа р, причем эти отклонения тем меньше, чем больше произведено испытаний, если не учитывать отдельные неудачные испытания. Это число р называется вероятностью события А в статистическом смысле.

Определение: Под вероятностью события в статистическом смысле понимается почти достоверный предел его относительной частоты при неограниченно растущем числе испытаний.

Таким образом, почти достоверно, что относительная частота события приближенно совпадает с его статистической вероятностью, если число испытаний достаточно велико.

С этой точки зрения величина

классической вероятностью события а называется отношение

представляет собой среднее значение числа появления события А при п испытаниях.

При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смыслах совпадают между собой.

Пример:

В результате ряда испытаний было обнаружено, что при 200 выстрелах стрелок попадает в цель в среднем 190 раз. Какова вероятность р поражения цели этим стрелком? Сколько для него попаданий в цель можно ожидать при 1000 выстрелов?

Решение:

Используя статистическое определение вероятности, имеем

классической вероятностью события а называется отношение

Отсюда число удачных выстрелов из 1000 выстрелов примерно составляет

классической вероятностью события а называется отношение

Классическое определение вероятности (Формула)

Классическое определение вероятности. Если исходы опыта равновозможны, то вероятностью события A называется отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех возможных исходов опыта, т.е.

классической вероятностью события а называется отношение

где классической вероятностью события а называется отношение– число исходов опыта, благоприятствующих событию, а классической вероятностью события а называется отношение– число всех возможных исходов.

Свойства вероятностей

Если вероятность интересующего нас события A по каким-либо причинам вычислить трудно, то можно попытаться вычислить вероятность противоположного события, а затем с помощью свойства 3 вычислить искомую вероятность события A.

Пример №1

Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

A – на обеих костях выпало одинаковое число очков;

B – сумма числа очков не меньше 11;

C – число очков на первой кости больше, чем на второй;

D – сумма очков четная;

E – сумма числа очков больше трех.

Решение. Число очков, благоприятствующих каждому из названных событий, легко подсчитать, если все возможные исходы опыта перечислить в виде табл. 2.1.1. В каждой клетке таблицы первая цифра указывает число очков на первой кости, вторая –– на второй кости.

классической вероятностью события а называется отношениеклассической вероятностью события а называется отношение

Если кости симметричны и однородны, то все перечисленные исходы опыта равновозможны. Тогда классической вероятностью события а называется отношение(благоприятствуют исходы: 11, 22, 33, 44, 55, 66), классической вероятностью события а называется отношение(благоприятствуют три исхода: 56, 65, 66) Непосредственный подсчет числа благоприятствующих исходов дает классической вероятностью события а называется отношениеклассической вероятностью события а называется отношение.

Ответ. классической вероятностью события а называется отношениеклассической вероятностью события а называется отношение

Пример №2

а) В урне содержится N шаров, из них R красного цвета. Наугад выбрано классической вероятностью события а называется отношениешаров. Какова вероятность того, что классической вероятностью события а называется отношениеиз них окажутся красного цвета? Какова вероятность того, что среди выбранных шаров хотя бы один будет красным?

б) Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых три бракованных, наугад извлекаются три изделия для контроля. Найти вероятности следующих событий:

A – среди выбранных изделий ровно два бракованных;

B – выбраны только бракованные изделия;

С – среди выбранных изделий содержится хотя бы одно бракованное.

Решение. а) Если шары тщательно перемешаны и выбираются наугад, то равновозможен выбор любых классической вероятностью события а называется отношениешаров. Поэтому применимо классическое определение вероятности. Поскольку выбор бесповторный и нас интересует только состав, то выбрать любые классической вероятностью события а называется отношениешаров можно классической вероятностью события а называется отношениеспособами. Сформировать выборку требуемого состава можно, если из R красных шаров выбрать любые классической вероятностью события а называется отношениешаров (это можно сделать классической вероятностью события а называется отношениеспособами) и к ним добавить классической вероятностью события а называется отношениелюбых не красных шаров (это можно сделать классической вероятностью события а называется отношениеспособами).

классической вероятностью события а называется отношение

Пусть классической вероятностью события а называется отношениеозначает наличие в выборке классической вероятностью события а называется отношениекрасных шаров. Выбор хотя бы одного красного шара равносилен появлению хотя бы одного из несовместных событий классической вероятностью события а называется отношениеили классической вероятностью события а называется отношениеили … или классической вероятностью события а называется отношение. Поэтому вероятность выбора хотя бы одного красного шара равна

классической вероятностью события а называется отношение

б) Выбрать любых три изделия из 10 можно классической вероятностью события а называется отношениеспособами. Поэтому имеем классической вероятностью события а называется отношениеравновозможных исходов.

Событию A благоприятствуют те исходы, при которых из семи годных изделий выбирается одно (это можно сделать классической вероятностью события а называется отношениеспособами) и из трех бракованных –– два (это можно сделать классической вероятностью события а называется отношениеспособами). По комбинаторному принципу число благоприятствующих событию A исходов равно классической вероятностью события а называется отношениеПоэтому классической вероятностью события а называется отношениет.е. примерно один шанс из шести. Событию B благоприятствует всего один исход и его вероятность классической вероятностью события а называется отношение

Вероятность события классической вероятностью события а называется отношениепроще вычислить, определив сначала вероятность события классической вероятностью события а называется отношение, которое состоит в том, что выбраны все годные изделия. Выбрать три годных изделия из семи можно классической вероятностью события а называется отношениеспособами. Поэтому классической вероятностью события а называется отношениеи классической вероятностью события а называется отношение

Ответ. классической вероятностью события а называется отношение

классической вероятностью события а называется отношение

Пример №3

При раздаче тщательно перемешанных карт (в колоде 36 карт) игрок получает шесть карт. Какова вероятность того, что игрок получит два туза, два короля и две дамы любой масти?

Решение. Шесть карт данному игроку можно сдать классической вероятностью события а называется отношениеспособами, так как выбор бесповторный и нас интересует только состав выбора. Выбрать два туза, два короля и две дамы можно классической вероятностью события а называется отношениеспособами. Поэтому искомая вероятность равна классической вероятностью события а называется отношение

Ответ. классической вероятностью события а называется отношение.

Пример №4

В течение недели независимо друг от друга происходят четыре события. Найдите вероятности следующих событий:

A – все четыре события произойдут в разные дни недели;

B – все четыре события произойдут в один день;

C – все эти события произойдут в последние три дня недели;

D – хотя бы в один день недели произойдут два или более из этих событий.

Решение. Дни недели можно представить в виде ящиков, а события в виде шариков. Тогда распределение событий по дням недели можно считать раскладкой шариков по ящикам. Так как каждый из четырех шариков можно поместить в любой из семи ящиков, то существует классической вероятностью события а называется отношениеравновозможный способ разложить четыре шарика по семи ящикам. Из них событию A благоприятствуют классической вероятностью события а называется отношениеспособов, так как для каждого последующего шарика остается на один пустой ящик меньше.

Поэтому классической вероятностью события а называется отношение

Событию B благоприятствует всего семь способов. Поэтому классической вероятностью события а называется отношение

Все четыре события могут произойти в последние три дня недели 3 4 способами. Поэтому классической вероятностью события а называется отношение

Событие D противоположно событию A. Поэтому классической вероятностью события а называется отношение

классической вероятностью события а называется отношение

Ответ. классической вероятностью события а называется отношениеклассической вероятностью события а называется отношение

Пример №5

10 книг, из которых четыре имеют красный переплет, наугад ставят на полку. В предположении, что все расстановки книг на полке равновозможны, найти вероятность того, что книги с красными переплетами окажутся стоящими подряд.

10 книг можно на полке расставить классической вероятностью события а называется отношениеспособами. Для подсчета благоприятствующих комбинаций представим сначала, что красные книги связаны в одну пачку и переставляются как единая книга. Тогда переставить эту пачку и остальные шесть книг можно классической вероятностью события а называется отношениеспособами. После того, как эта перестановка совершилась и красные книги оказались стоящими подряд, развяжем пачку и на заданных четырех местах переставим красные книги между собой. Это можно сделать классической вероятностью события а называется отношениеспособами. По комбинаторному принципу всего благоприятствующих способов классической вероятностью события а называется отношениеПоэтому искомая вероятность равна классической вероятностью события а называется отношение

Ответ. классической вероятностью события а называется отношение

Замечание. Пусть классической вероятностью события а называется отношениеодинаковых предметов необходимо распределить между классической вероятностью события а называется отношениелюдьми. Это можно сделать классической вероятностью события а называется отношениеспособами. К такому выводу приводят следующие соображения. Добавим к этим классической вероятностью события а называется отношениепредметам классической вероятностью события а называется отношениечерный шар, поставим предметы и шары в один ряд, и будем их переставлять между собой. Число различимых перестановок будет равно классической вероятностью события а называется отношениетак как именно таким числом способов можно из классической вероятностью события а называется отношениеместа выбрать классической вероятностью события а называется отношениеместо и поставить на эти места черные шары, а на остальные места поставить предметы. Вместе с тем число классической вероятностью события а называется отношениеравно числу способов классической вероятностью события а называется отношениеодинаковых предметов распределить между классической вероятностью события а называется отношениелюдьми: первому достанутся предметы до первого черного шара, второму – от первого до второго черного шара и т.д. Если классической вероятностью события а называется отношение-й и классической вероятностью события а называется отношение-й шары стоят рядом, то классической вероятностью события а называется отношение-му человеку не достанется ничего.

Пример №6

Случайным образом 12 одинаковых шаров размещаются в шести ящиках. Какова вероятность того, что ровно два ящика останутся пустыми?

Решение. Согласно предыдущему замечанию распределить 12 шаров по шести ящикам можно классической вероятностью события а называется отношениеспособами. Имеется классической вероятностью события а называется отношениевариантов выбрать два пустых ящика из шести. В остальных четырех ящиках должно быть хотя бы по одному шару. Для этого размещаем в каждый из них по одному шару, а остальные классической вероятностью события а называется отношениешаров раскладываем произвольным образом в эти же четыре ящика. Это можно сделать классической вероятностью события а называется отношениеспособами. Всего получается классической вероятностью события а называется отношениеC благоприятствующих способов. Вероятность того, что останутся два свободных ящика, равна классической вероятностью события а называется отношение

Ответ. классической вероятностью события а называется отношение

Классическое определение вероятности и решение задач

Пример №7

В ящике лежат два шара: белый и черный. Из ящика наугад вынимают один шар.

классической вероятностью события а называется отношение— вынут белый шар;

классической вероятностью события а называется отношение— вынут черный шар;

классической вероятностью события а называется отношение— вынут красный шар;

классической вероятностью события а называется отношение— вынут шар.

Как известно из предыдущего параграфа, событие классической вероятностью события а называется отношение— невозможное, событие классической вероятностью события а называется отношение— достоверное, а события классической вероятностью события а называется отношениеи классической вероятностью события а называется отношение— случайные.

Эту вероятность получим, если количество белых шаров, то есть 1, разделим на количество всех шаров классической вероятностью события а называется отношение.

Сформулируем классическое определение вероятности:

вероятность случайного события классической вероятностью события а называется отношениеравна отношению количества случаев, способствующих появлению события классической вероятностью события а называется отношение, к количеству всех возможных случаев.

В виде формулы это определение можно записать так:

классической вероятностью события а называется отношение, где классической вероятностью события а называется отношение— количество всех возможных случаев; классической вероятностью события а называется отношение— количество случаев, способствующих появлению события классической вероятностью события а называется отношение.

Иногда вероятность представляют в процентах, тогда классической вероятностью события а называется отношение.

Возвращаясь к примеру 1, можно легко найти вероятности событий классической вероятностью события а называется отношение, классической вероятностью события а называется отношениеи классической вероятностью события а называется отношение: классической вероятностью события а называется отношение.

Таким образом, приходим к важному выводу:

вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0; вероятность случайного события равна любому числу от 0 до 1.

Вероятности событий классической вероятностью события а называется отношение и классической вероятностью события а называется отношениев данном испытании одинаковы, потому что классической вероятностью события а называется отношение. Такие события называют равновероятными.

Равновероятные события — события, вероятность которых одинакова в данном испытании.

Рассмотрим еще примеры.

Пример №8

Из 30 учеников класса 12 имеют по алгебре оценки высокого уровня. Какова вероятность того, что наугад выбранный учащийся этого класса имеет по алгебре оценку высокого уровня?

Решение:

Имеем: классической вероятностью события а называется отношение

Пример №9

Одновременно бросили два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков:

1) равна 6; 2) меньше 5?

Решение:

Составим таблицу суммы очков, которые могут выпасть на двух игральных кубиках, брошенных одновременно. классической вероятностью события а называется отношение— количество всех возможных событий.

классической вероятностью события а называется отношение

1) Имеем 5 случаев, когда сумма очков на обоих кубиках равна 6, поэтому классической вероятностью события а называется отношениеи классической вероятностью события а называется отношение.

2) Имеем 6 случаев, когда сумма очков на обоих кубиках меньше чем 5. Поэтому классической вероятностью события а называется отношениеи классической вероятностью события а называется отношение.

Ответ. 1) классической вероятностью события а называется отношение; 2) классической вероятностью события а называется отношение.

Пример №10

1) равна классической вероятностью события а называется отношение; 2) меньше чем классической вероятностью события а называется отношение?

Решение:

Пусть в коробке классической вероятностью события а называется отношениебелых шаров. Тогда:

классической вероятностью события а называется отношениеи классической вероятностью события а называется отношение. Следовательно, вероятность вытащить белый шар равна классической вероятностью события а называется отношение.

1) По условию- классической вероятностью события а называется отношение, тогда классической вероятностью события а называется отношение; то есть классической вероятностью события а называется отношение.

2) По условию- классической вероятностью события а называется отношение. Чтобы решить неравенство, умножим обе его части на положительное число классической вероятностью события а называется отношение, получим: классической вероятностью события а называется отношение, откуда классической вероятностью события а называется отношение. Следовательно, если вероятность вытащить белый шар меньше, чем классической вероятностью события а называется отношение, то в коробке не более 11 белых шаров.

Ответ. 1) 15; 2) не более 11.

Пример №11

Владелец мобильного телефона забыл две последние цифры своего PIN-кода, но помнит, что они разные. Найти вероятность того, что он разблокирует телефон с первой попытки.

Решение:

Ответ.классической вероятностью события а называется отношение.

Классификация событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события.

Событием называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.

Под испытанием (опытом, экспериментом) в этом определении понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

События принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти. Событие называется случайным, если в результате испытания оно может либо произойти, либо не произойти. Событие называется невозможным, если в результате испытания оно вообще не может произойти.

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление любого другого. В противном случае события называются совместными.

События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием.

Например, два студента пришли сдавать зачет. Обязательно произойдет одно из следующих событий: оба студента сдадут зачет (событие А), только один студент сдаст зачет (событие В), ни один из студентов не сдаст зачет (событие С). События А, В, С являются единственно возможными.

События называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основания считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие.

Например, появление герба или решки при бросании монеты есть события равновозможные. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результате испытания должно произойти одно и только одно из этих событий.

Например, студент отвечает на вопросы экзаменационного билета. Билет содержит два вопроса. Возможны следующие исходы испытания: студент ответит на оба вопроса (событиеклассической вероятностью события а называется отношение), ответит на один вопрос (событие классической вероятностью события а называется отношениене ответит ни на один вопрос (событиеклассической вероятностью события а называется отношение. События классической вероятностью события а называется отношениеобразуют полную группу.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.

Например, событие, состоящее в том, что студент в данный момент находится в аудитории, и событие, состоящее в том, что он находится вне аудитории, являются противоположными.

Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать классической вероятностью события а называется отношение

Классическое и статистическое определение вероятности

Для практической деятельности необходимо уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Рассмотрим классический случай. В урне находится 10 шаров, 8 из них белого цвета, 2 черного. Очевидно, что событие «из урны будет извлечен шар белого цвета» и событие «из урны будет извлечен шар черного цвета» обладают разной степенью возможности их наступления.

Поэтому для сравнения событий нужна определенная количественная мера. Количественной мерой возможности наступления события является вероятность. Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Остановимся на этом подробнее. Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называют элементарными исходами, или случаями. При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн», т.к. любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов.

Исход называется благоприятствующим событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А.

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов, т.е. классической вероятностью события а называется отношениегде Р(А) – вероятность события А; m – число случаев благоприятствующих событию А; n – общее число случаев.

Пример №12

При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение:

классической вероятностью события а называется отношение

Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства:

Как было сказано ранее, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения.

Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события «появление герба» и «появление решки» нельзя считать равновозможными. Поэтому формула для определения вероятности по классической схеме в данном случае неприменима.

Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.

классической вероятностью события а называется отношение

В отличие от математической вероятности Р(А), рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р*(А) является характеристикой опытной, экспериментальной. Иначе говоря, статистической вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота w(A) при неограниченном увеличении числа испытаний, проводимых при одном и том же комплексе условий.

Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т.д.), в среднем бывает примерно 95 удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива, т.е. процент попаданий в большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.

Еще одним недостатком классического определения вероятности (1.1), ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (рис. 1.1). На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания на нее брошенной случайной точки.

классической вероятностью события а называется отношение

где классической вероятностью события а называется отношение— соответственно площади областей g и G.

Область, на которую распространяется понятие геометрической вероятности, может быть одномерной (прямая, отрезок), двумерной (плоская фигура) или трехмерной (некоторое тело в пространстве). Обозначая меру (длину, площадь, объем) области через mes, приходим к следующему определению.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е.

классической вероятностью события а называется отношение

Пример №13

Два студента условились встретиться в определенном месте между 10 и 11 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода между 10 и 11 часами.

Решение:

Решение этого неравенства есть полоса классической вероятностью события а называется отношениекоторая внутри квадрата G представляет заштрихованную область g. По формуле (1.3)

классической вероятностью события а называется отношение

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *