комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Комплексные числа

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видАлгебраическая форма записи комплексных чисел
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видСложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видКомплексно сопряженные числа
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видМодуль комплексного числа
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видДеление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видИзображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видАргумент комплексного числа
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видТригонометрическая форма записи комплексного числа
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видФормула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видУмножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видИзвлечение корня натуральной степени из комплексного числа

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Тогда оказывается справедливым равенство:

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид(3)
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение
числа z
Знаки x и yГлавное значение аргументаАргументПримеры
Положительная
вещественная
полуось
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид
Положительная
мнимая
полуось
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид
Второй
квадрант
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид
Отрицательная
вещественная
полуось
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
0
Аргументφ = 2kπ
Примерыкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид
Главное
значение
аргументакомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видАргументкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видПримерыкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видГлавное
значение
аргументакомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видАргументкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видПримерыкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видГлавное
значение
аргументакомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видАргументкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видПримерыкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

x zТретий
квадрантЗнаки x и y

x zОтрицательная
мнимая
полуосьЗнаки x и y

y zЧетвёртый
квадрантЗнаки x и y

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет види комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видзаписанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид— произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

следствием которых являются равенства

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид(10)

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

то по формуле (10) получаем:

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Источник

Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексными числами называются выражения вида

где a и b− вещественные числа, i− некоторый символ, удовлетворяющий следующему равенству: i 2 =−1.

Комплексное число можно представить как упорядоченная пара вещественных чисел.

Определение 1. Комплексными числами называются упорядоченные пары вещественных чисел, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отожествления некоторых пар с вещестенными числами подчиняются следующим правилам:

1. Пары (a,b) и (c,d) считаются равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты:

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

2. Суммой пар (a, b) и (c, d) называется пара (a+c, b+d), т.е.

3. Произведение пар (a, b) и (c, d) называется пара (ac−bd, ad+bc), т.е.

4. Пара (a, 0) отождествляется с вещественным числом a, т.е. (a, 0)=a.

Правило 4 определения 1 представляет связь между вещественными и комплексными числами. Точнее указывает на то, что множество вещественных чисел является частью комплексных чисел.

Сопоставим правило 4 с 1. Пусть вещественные числа a и c равны, тогда по правилу 4 этим числам соответствуют комплексные числа (a, 0) и (c, 0). Поскольку a=c, имеем (a, 0)=(c, 0), т.е. выполнено правило 1.

Сопоставим правило 4 с 2. Сумма пар (a, 0) и (c, 0) согласно правилу 2 равна (a, 0)+(c, 0)=(a+c, 0), которая, согласно правилу 4 отождествляется с суммой вещественных чисел a и c.

Сопоставим правило 4 с 3. Согласно правилу 3 произведение пар (a, 0) и (c, 0) равно (a, 0)(c, 0)=(ac−0·0, a0+0c)=(ac, 0), которая, согласно правилу 4 отождествляется с произведением вещественных чисел a и c.

Из правил 3 и 4 вытекает следующая формула

Проверим теперь, что привычные свойства вещественных чисел сохраняются при переходе к комплексным числам, т.е. комплексные числа образуют поле.

1.(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b). (коммутативность сложения). Действительно, левая часть равна (a+с,b+d), правая часть равна (с+a,d+b). Из коммутативности сложения вещественных чисел следует, что левая и правая части равны.

2. ((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a,b)+((c,d)+(e,f)) (ассоциативность сложения). Действительно, из ассоциативности сложения вещественных чисел следует, что левая и правая части равны (a+c+e, b+d+f).

3. (a,b)+(0, 0)=(a,b). Следовательно пара (0, 0) (отожествляемая с вещественным числом 0) соответствует нулю при сложении пар.

4. (a,b)+ (−a,−b)=(0, 0). Т.е. для кажддой пары (a,b) существует противоположная пара (−a,−b).

5. (a,b)(c,d)=(c,d)(a,b)(коммутативность множения). Действительно, левая часть равна (ac−bd, ad+bc), правая часть равна (ca−db, da+cb). Следовательно они равны.

Проверм свойство 6. Левая часть уравнения равна

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Правая часть уравнения равна

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Следовательно левая и правая части равны.

Из коммутативности умножения следует справедливость свойства 6′.

7. комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид(ассоциативность умножения).

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Правая часть равна

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Левая и правая части равны. Следовательно свойство 7 выполняется.

8. комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид.

Свойство 8 определяет пару (1, 0), которая отожествляется с вещественным числом 1.

Итак из свойств 1−8 следует, что комплексные числа составляют коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Умножив сопряженные пары

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид
комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

является обратной парой (и обозначается через (a, b) −1 ), т.е. выполняется следующее равенство

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Представим следующее свойство.

9. Для любой пары (a,b) отличной от нуля, существует обратная (a, b) −1 :

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Итак, свойства 1−9 показывают что комплексные числа образуют поле.

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Представим, теперь, комплексное число в алгебаической форме записи. Комплексное число (a,b) можно представить так:

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Из правила 3 определения 1 следует:

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Таким образом алгебраическая форма комплексного числа имеет вид:

Первая компонента комплексного числа называется вещественной частью комплексного числа α и обозначается Reα, а вторая компонента называется мнимой частью и обозначается Imα. Отметим, что как вещественная часть (a), так и мнимая часть (b) комплексного числа вещественные числа.

Говоря о комплексных числах надо помнить, что вещественные числа являются частным случаем комплексных, которые имеют нулевую вторую компоненту. К примеру a вещественное число, которое соответствует комплексному числу α=a+0i.

Вычитание и деление комплексных чисел

Вычитание и деление определяются как обратные к действиям сложения и умножения.

Утверждение 1. Пусть α и β − комплексные числа. Тогда существует одно и только одно комплексное число γ=(−α)+β так, что α+γ=β.

Доказательство. Возьмем комплексное число γ=(−α)+β и подставим в уравнение α+γ=β. Имеем α+γ=α+(−α)+β=β. Так что γ=(−α)+β удовлетворяет требованию утверждения.

Обратно. Пусть α+γ=β. Добавим в обе части уравнения число −α. Тогда

Таким образом всякое число, отличное от (−α)+β не удовлетворяет требованию утверждения.

Число (−α)+β является разностью чисел β и α и обозначается β−α.

Утверждение 2. Пусть α и β − комплексные числа и α≠0. Тогда существует одно и только одно комплексное число γ=α −1 β так, что αγ=β.

Доказательство. При γ=α −1 β, имеем

Число =α −1 β является частным от деления β на α. Частное обычно записывается так: комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид. Как известно значение дроби не меняется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число. Поэтому можно записать:

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Вычислять частное от деления комплексных чисел удобно умножая числитель и знаменатель на комплексное сопряженное с знаменателем:

где комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видвещественное число.

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет видкомплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид.

Для сложения вычитания умножения и деления комплексных чисел, пользуйтесь онлайн калькулятором комплексных чисел.

Геометрическое представление комплексных чисел

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Число, противоположное числу α=a+bi будет точкой комплексной плоскости, симметричной с точкой α относительно начала координат (−α=−a−bi).

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Сложение и вычитание комплексных чисел можно представить на комплексной плоскости в виде сложения и вычитания радиус векторов соответствующих точек. Сложение векторов α и β выполняется по правилу параллелограма (рис.2).

комплексное число 2 i z e в алгебраической форме имеет вид

Вычитание векторов α и β эквивалентна сложению векторов α и −β, поэтому сначала строится противоположная к вектору β, далее слагаются векторы α и −β (рис.3).

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *