комплексное число нельзя представить в следующей форме

Комплексное число нельзя представить в следующей форме

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и комплексное число нельзя представить в следующей форме называются комплексно сопряженными.

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора комплексное число нельзя представить в следующей форме , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число комплексное число нельзя представить в следующей форме можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол комплексное число нельзя представить в следующей форме ( k =0;1;1;2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа комплексное число нельзя представить в следующей форме в тригонометрической и показательной формах.

комплексное число нельзя представить в следующей форме

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби комплексное число нельзя представить в следующей форме на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

комплексное число нельзя представить в следующей форме

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Комплексное число нельзя представить в следующей форме

VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и комплексное число нельзя представить в следующей форме называются комплексно сопряженными.

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора комплексное число нельзя представить в следующей форме , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число комплексное число нельзя представить в следующей форме можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол комплексное число нельзя представить в следующей форме ( k =0;1;1;2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа комплексное число нельзя представить в следующей форме в тригонометрической и показательной формах.

комплексное число нельзя представить в следующей форме

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби комплексное число нельзя представить в следующей форме на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

комплексное число нельзя представить в следующей форме

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №38. Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие мнимой единицы;

2) определение комплексного числа;

3) действия с комплексными числами и действия над ними.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Два комплексных числа z = a + bi и комплексное число нельзя представить в следующей форме= a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z,

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i называется комплексное число z, определяемое равенством:

Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.

Два комплексных числа z = a + bi и комплексное число нельзя представить в следующей форме= a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 =z1.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2i называется комплексное число z, определяемое равенством:

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2⋅ 5 – 3⋅ (- 7)) + (2⋅ (- 7) + 3⋅ 5)i =

= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2⋅ 5 + 2⋅ (- 7i) + 3i⋅ 5 + 3i⋅ (- 7i) =

= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, тогда комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

i 8 = i 6 i 2 = 1 и т. д.

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

i 36 = (i 4 ) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4⋅ 4+1 = (i 4 ) 4 ⋅ i = 1 · i = i.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3⋅ 4 2 ⋅ 2i + 3⋅ 4⋅ (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Стоит отметить. что с помощью комплексных чисел можно решать квадратные уравнения, у которых отрицательный дискриминант.

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

Пример 7. Решите уравнения:

а) x 2 – 6x + 13 = 0; б) 9x 2 + 12x + 29 = 0.

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D = b 2 – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то
D = (– 6) 2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

комплексное число нельзя представить в следующей форме

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,
D = b 2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,

Находим корни уравнения:

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: единичный выбор

Вычислите сумму (2 + 3i)+ (5 – 7i).

Можем сделать вывод, что верный ответ

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Источник

Комплексные числа

комплексное число нельзя представить в следующей формеАлгебраическая форма записи комплексных чисел
комплексное число нельзя представить в следующей формеСложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
комплексное число нельзя представить в следующей формеКомплексно сопряженные числа
комплексное число нельзя представить в следующей формеМодуль комплексного числа
комплексное число нельзя представить в следующей формеДеление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
комплексное число нельзя представить в следующей формеИзображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
комплексное число нельзя представить в следующей формеАргумент комплексного числа
комплексное число нельзя представить в следующей формеТригонометрическая форма записи комплексного числа
комплексное число нельзя представить в следующей формеФормула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
комплексное число нельзя представить в следующей формеУмножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
комплексное число нельзя представить в следующей формеИзвлечение корня натуральной степени из комплексного числа

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

комплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей форме
комплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей форме
комплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей форме
комплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей форме
комплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей форме

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

комплексное число нельзя представить в следующей форме

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:

комплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей форме
комплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей форме
комплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей форме
комплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей форме

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

комплексное число нельзя представить в следующей форме

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Тогда оказывается справедливым равенство:

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме(3)
комплексное число нельзя представить в следующей форме(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение
числа z
Знаки x и yГлавное значение аргументаАргументПримеры
Положительная
вещественная
полуось
комплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей форме
Положительная
мнимая
полуось
комплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей форме
Второй
квадрант
комплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей формекомплексное число нельзя представить в следующей форме
Отрицательная
вещественная
полуось
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
0
Аргументφ = 2kπ
Примерыкомплексное число нельзя представить в следующей форме
Главное
значение
аргументакомплексное число нельзя представить в следующей формеАргументкомплексное число нельзя представить в следующей формеПримерыкомплексное число нельзя представить в следующей формеГлавное
значение
аргументакомплексное число нельзя представить в следующей формеАргументкомплексное число нельзя представить в следующей формеПримерыкомплексное число нельзя представить в следующей формеГлавное
значение
аргументакомплексное число нельзя представить в следующей формеАргументкомплексное число нельзя представить в следующей формеПримерыкомплексное число нельзя представить в следующей форме

x zТретий
квадрантЗнаки x и y

x zОтрицательная
мнимая
полуосьЗнаки x и y

y zЧетвёртый
квадрантЗнаки x и y

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел комплексное число нельзя представить в следующей формеи комплексное число нельзя представить в следующей формезаписанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть комплексное число нельзя представить в следующей форме— произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

следствием которых являются равенства

комплексное число нельзя представить в следующей форме(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

комплексное число нельзя представить в следующей форме(10)

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

то по формуле (10) получаем:

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

комплексное число нельзя представить в следующей форме

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *