комплексные числа формы представления комплексных чисел

Комплексные числа формы представления комплексных чисел

VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и комплексные числа формы представления комплексных чисел называются комплексно сопряженными.

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора комплексные числа формы представления комплексных чисел , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число комплексные числа формы представления комплексных чисел можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол комплексные числа формы представления комплексных чисел ( k =0;1;1;2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа комплексные числа формы представления комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах.

комплексные числа формы представления комплексных чисел

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби комплексные числа формы представления комплексных чисел на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

комплексные числа формы представления комплексных чисел

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Комплексные числа

комплексные числа формы представления комплексных чиселАлгебраическая форма записи комплексных чисел
комплексные числа формы представления комплексных чиселСложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
комплексные числа формы представления комплексных чиселКомплексно сопряженные числа
комплексные числа формы представления комплексных чиселМодуль комплексного числа
комплексные числа формы представления комплексных чиселДеление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
комплексные числа формы представления комплексных чиселИзображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
комплексные числа формы представления комплексных чиселАргумент комплексного числа
комплексные числа формы представления комплексных чиселТригонометрическая форма записи комплексного числа
комплексные числа формы представления комплексных чиселФормула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
комплексные числа формы представления комплексных чиселУмножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
комплексные числа формы представления комплексных чиселИзвлечение корня натуральной степени из комплексного числа

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

комплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чисел
комплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чисел
комплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чисел
комплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чисел
комплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чисел

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

комплексные числа формы представления комплексных чисел

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:

комплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чисел
комплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чисел
комплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чисел
комплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чисел

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

комплексные числа формы представления комплексных чисел

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Тогда оказывается справедливым равенство:

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел(3)
комплексные числа формы представления комплексных чисел(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение
числа z
Знаки x и yГлавное значение аргументаАргументПримеры
Положительная
вещественная
полуось
комплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чисел
Положительная
мнимая
полуось
комплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чисел
Второй
квадрант
комплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чиселкомплексные числа формы представления комплексных чисел
Отрицательная
вещественная
полуось
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
0
Аргументφ = 2kπ
Примерыкомплексные числа формы представления комплексных чисел
Главное
значение
аргументакомплексные числа формы представления комплексных чиселАргументкомплексные числа формы представления комплексных чиселПримерыкомплексные числа формы представления комплексных чиселГлавное
значение
аргументакомплексные числа формы представления комплексных чиселАргументкомплексные числа формы представления комплексных чиселПримерыкомплексные числа формы представления комплексных чиселГлавное
значение
аргументакомплексные числа формы представления комплексных чиселАргументкомплексные числа формы представления комплексных чиселПримерыкомплексные числа формы представления комплексных чисел

x zТретий
квадрантЗнаки x и y

x zОтрицательная
мнимая
полуосьЗнаки x и y

y zЧетвёртый
квадрантЗнаки x и y

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел комплексные числа формы представления комплексных чисели комплексные числа формы представления комплексных чиселзаписанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть комплексные числа формы представления комплексных чисел— произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

следствием которых являются равенства

комплексные числа формы представления комплексных чисел(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

комплексные числа формы представления комплексных чисел(10)

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

то по формуле (10) получаем:

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Источник

Комплексные числа формы представления комплексных чисел

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и комплексные числа формы представления комплексных чисел называются комплексно сопряженными.

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора комплексные числа формы представления комплексных чисел , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число комплексные числа формы представления комплексных чисел можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол комплексные числа формы представления комплексных чисел ( k =0;1;1;2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа комплексные числа формы представления комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах.

комплексные числа формы представления комплексных чисел

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби комплексные числа формы представления комплексных чисел на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

комплексные числа формы представления комплексных чисел

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

комплексные числа формы представления комплексных чисел

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *