комплексные числа в разных формах

Комплексные числа в разных формах

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и комплексные числа в разных формах называются комплексно сопряженными.

комплексные числа в разных формах

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора комплексные числа в разных формах , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число комплексные числа в разных формах можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол комплексные числа в разных формах ( k =0;1;1;2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа комплексные числа в разных формах в тригонометрической и показательной формах.

комплексные числа в разных формах

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

комплексные числа в разных формах

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби комплексные числа в разных формах на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

комплексные числа в разных формах

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

комплексные числа в разных формах

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

комплексные числа в разных формах

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

комплексные числа в разных формах

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

комплексные числа в разных формах

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Комплексные числа в разных формах

VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и комплексные числа в разных формах называются комплексно сопряженными.

комплексные числа в разных формах

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора комплексные числа в разных формах , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число комплексные числа в разных формах можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол комплексные числа в разных формах ( k =0;1;1;2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа комплексные числа в разных формах в тригонометрической и показательной формах.

комплексные числа в разных формах

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

комплексные числа в разных формах

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби комплексные числа в разных формах на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

комплексные числа в разных формах

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

комплексные числа в разных формах

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

комплексные числа в разных формах

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

комплексные числа в разных формах

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

комплексные числа в разных формах

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Введение в комлексные числа

Выяснив, что многие знакомые программисты не помнят комплексные числа или помнят их очень плохо, я решил сделать небольшую шпаргалку по формулам.

комплексные числа в разных формах

А школьники могут что-то новое узнать 😉
// Всех кого заинтересовал прошу под кат.

Итак, комплексные числа эта такие числа, которые можно записать как

комплексные числа в разных формах

Где x, y вещественные числа(т.е привычные всем числа), а i — число, для которого
выполняется равенство

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

x называется действительной частью, y — мнимой.

Это алгебраическая форма записи комплексного числа.

Существует также тригонометрическая форма записи комплексного числа z:

комплексные числа в разных формах

С введением, пожалуй, все.

Переходим к самому интересному — операциям над комплексными числами!
Для начала рассмотрим сложение.

У нас есть два таких комплексных числа:

комплексные числа в разных формах

Как же их сложить?
Очень просто: сложить действительную и мнимую части.
Получим число:

комплексные числа в разных формах

Все просто, не так ли?
Вычитание выполняется аналогично сложению.
Нужно просто вычесть из действительной части 1 числа действительную часть 2 числа,
а потом проделать тоже с мнимой частью.
Получим число

комплексные числа в разных формах

Умножение выполняется вот так:

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

Напомню, x это действительная часть, y — мнимая.
Деление выполняется вот так:

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

Кстати, поддержка комплексных чисел есть в стандартной библиотеке Python:

Вместо i используется j.
Кстати, это потому что Python принял конвенцию инженеров-электриков, у которых
буква i обозначает электрический ток.
Задавайте свой вопросы, если они есть, в комментариях.
Надеюсь, вы узнали для себя что-то новое.

UPD: В комментариях просили рассказать о практическом применении.
Так вот комплексные числа нашли широкое практическое применение в авиации
(подъемная сила крыла) и в электричестве.
Как видете, очень нужная вещь 😉

Источник

Комплексные числа

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

Аналогично выполним вычитание чисел:

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Источник

Комплексные числа

комплексные числа в разных формахАлгебраическая форма записи комплексных чисел
комплексные числа в разных формахСложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
комплексные числа в разных формахКомплексно сопряженные числа
комплексные числа в разных формахМодуль комплексного числа
комплексные числа в разных формахДеление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
комплексные числа в разных формахИзображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
комплексные числа в разных формахАргумент комплексного числа
комплексные числа в разных формахТригонометрическая форма записи комплексного числа
комплексные числа в разных формахФормула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
комплексные числа в разных формахУмножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
комплексные числа в разных формахИзвлечение корня натуральной степени из комплексного числа

комплексные числа в разных формах

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

комплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формах
комплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формах
комплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формах
комплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формах
комплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формах

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

комплексные числа в разных формах

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

комплексные числа в разных формах

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:

комплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формах
комплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формах
комплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формах
комплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формах

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

комплексные числа в разных формах

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

комплексные числа в разных формах

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

комплексные числа в разных формах

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

комплексные числа в разных формах

Тогда оказывается справедливым равенство:

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах(3)
комплексные числа в разных формах(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение
числа z
Знаки x и yГлавное значение аргументаАргументПримеры
Положительная
вещественная
полуось
комплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формах
Положительная
мнимая
полуось
комплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формах
Второй
квадрант
комплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формахкомплексные числа в разных формах
Отрицательная
вещественная
полуось
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
0
Аргументφ = 2kπ
Примерыкомплексные числа в разных формах
Главное
значение
аргументакомплексные числа в разных формахАргументкомплексные числа в разных формахПримерыкомплексные числа в разных формахГлавное
значение
аргументакомплексные числа в разных формахАргументкомплексные числа в разных формахПримерыкомплексные числа в разных формахГлавное
значение
аргументакомплексные числа в разных формахАргументкомплексные числа в разных формахПримерыкомплексные числа в разных формах

x zТретий
квадрантЗнаки x и y

x zОтрицательная
мнимая
полуосьЗнаки x и y

y zЧетвёртый
квадрантЗнаки x и y

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

комплексные числа в разных формах

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел комплексные числа в разных формахи комплексные числа в разных формахзаписанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

комплексные числа в разных формах

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть комплексные числа в разных формах— произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

следствием которых являются равенства

комплексные числа в разных формах(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

комплексные числа в разных формах(10)

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

то по формуле (10) получаем:

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

комплексные числа в разных формах

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *