закон био савара лапласа в дифференциальной форме

Закон Био-Савара. Теорема о циркуляции

Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Жан Батист Био и Феликсом Саваром (1820 г.). Они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника. Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции:

Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности.

Индукцию проводника с током можно представить как векторную сумму элементарных индукций создаваемых отдельными участками проводника. На опыте невозможно выделить отдельный участок проводника с током, так как постоянные токи всегда замкнуты. Можно измерить только суммарную индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Закон Био–Савара определяет вклад в магнитную индукцию результирующего магнитного поля, создаваемый малым участком Δl проводника с током I.

Здесь r – расстояние от данного участка Δl до точки наблюдения, α – угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на данном участке, μ₀ – магнитная постоянная. Направление вектора определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при его поступательном перемещении вдоль тока. Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон Био–Савара на примере магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в магнитное поле всех отдельных участков прямолинейного проводника с током, то получится формула для магнитной индукции поля прямого тока:

которая уже приводилась в 1.16.

Иллюстрация закона Био–Савара

Закон Био–Савара позволяет рассчитывать магнитные поля токов различных конфигураций. Нетрудно, например, выполнить расчет магнитного поля в центре кругового витка с током. Этот расчет приводит к формуле

где R – радиус кругового проводника. Для определения направления вектора также можно использовать правило буравчика, только теперь его рукоятку нужно вращать в направлении кругового тока, а поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.

Расчеты магнитного поля часто упрощаются при учете симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае можно пользоваться теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, которая в теории магнитного поля токов играет ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике.

Поясним понятие циркуляции вектора Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление его обхода. На каждом отдельном малом участке Δl этого контура можно определить касательную составляющую вектора в данном месте, то есть определить проекцию вектора на направление касательной к данному участку контура (рис. 1.17.2).

Замкнутый контур (L) с заданным направлением обхода. Изображены токи I₁, I₂ и I₃, создающие магнитное поле

Циркуляцией вектора называют сумму произведений Δl, взятую по всему контуру L:

Некоторые токи, создающие магнитное поле, могут пронизывать выбранный контур L в то время, как другие токи могут находиться в стороне от контура.

Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора магнитного поля постоянных токов по любому контуру L всегда равна произведению магнитной постоянной μ₀ на сумму всех токов, пронизывающих контур:

В качестве примера на рис. 1.17.2 изображены несколько проводников с токами, создающими магнитное поле. Токи I₂ и I₃ пронизывают контур L в противоположных направлениях, им должны быть приписаны разные знаки – положительными считаются токи, которые связаны с выбранным направлением обхода контура правилом правого винта (буравчика). Следовательно, I₃ > 0, а I₂ Опубликовано в разделах: Электродинамика, Магнитное поле

Источник

Закон Био Савара Лапласа

Закон Био Савара Лапласа — Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма полей, создаваемая отдельными участками токов.

.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

.

Закон Био-Савара-Лапласа для некоторых токов:

Магнитное поле прямого тока: .

Магнитное поле кругового тока: .

dB — магнитная индукция;

dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током;

— магнитная постоянная;

μ — относительная магнитная проницаемость (среды);

I — сила тока;

R — расстояние от провода до точки, где мы вычисляем магнитную индукцию;

α — угол между вектором dl и r.

В современной формулировке закон Био — Савара — Лапласа чаще рассматривают как следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля:

где квадратными скобками обозначено векторное произведение, r — положение точек контура γ, dr — вектор элемента контура (ток течет вдоль него); μ₀ — магнитная постоянная; r,r₀ — единичный вектор, направленный от элемента контура к точке наблюдения.

В принципе контур γ может иметь ветвления, представляя собой сколь угодно сложную сеть. В таком случае под выражением, приведенным выше, следует понимать сумму по всем ветвям, слагаемое же для каждой ветви является интегралом приведенного выше вида (контур интегрирования для каждой ветви может быть при этом незамкнутым).

В случае простого контура, ток I одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла. (Это справедливо отдельно и для каждого неразветвленного участка разветвленной цепи).

Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула немного упрощается:

где — вектор, описывающий кривую проводника с током I, r — модуль , — вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника .

Пример решения задачи закона Био Савара Лапласа.

Применим закон Био — Савара — Лапласа для вычисления поля прямого тока, т. е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 1). Все векторы dB в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае «к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии r₀ от провода. Из рис. 1 видно, что

r =R/sinα, dl =rdα/sinα = R dα/ sin 2 α.

Подставим эти значения в формулу магнитной индукции:

dB = (μ₀ μ/4π) I R sinα sin 2 α dα /R 2 sin 2 α = (μ₀ μ/4π) I sinα dα /R.

Угол α для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пределах от 0 до π. Следовательно,

B = ∫ dB = (μ₀μ/4π) I/R∫ sinα dα = (μ₀ μ/4π) 2I/R.

Таким образом, магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током

B = (μ 0 μ/4π) 2I/R,

где R – кратчайшее расстояние от оси проводника.

Аналогичным образом можно найти магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 2). Как следует из рисунка, все элементы кругового тока создают в центре магнитное поле одинакового направления — вдоль нормали витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin α=l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно закону Био-Савара-Лапласа,

dB=(μ₀ μ/4π) I/R 2 dl. Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током равна B = μ 0 μI/2R.

Источник

Закон Био-Савара. Теорема о циркуляции

Принцип суперпозиции: если магнитное поле работает за счет нескольких проводников с током, тогда индукция результативного поля – это совокупность индукций полей, которые создаются каждым проводником по отдельности.

Индукция B → проводника с током представлена, как векторная сумма элементарных индукций ∆ B → вырабатываемых отдельными участками проводника. На практике нельзя отделить один участок проводника с током, поскольку постоянные токи всегда замкнутые. Возможно лишь измерить совокупную индукцию магнитного поля, которое создают все элементы тока. Как найти индукцию магнитного поля?

Закон Био–Савара

В формуле r – это расстояние от заданного участка Δ l до точки наблюдения, α – это угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на заданном участке, μ 0 – это магнитная постоянная.

С помощью этого закона можно определять магнитные поля токов с различными конфигурациями. Запросто рассчитать магнитное поле в центре кругового витка с током. Вычисления приводят к соотношению:

где R – это радиус кругового проводника.

Чтобы определить направление вектора B → тоже используется правило буравчика, только в этом случае рукоятка вращается по направлению кругового тока, а поступательное движение буравчика указывает, куда направлен вектор магнитной индукции.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции

Вычисления магнитного поля зачастую упрощаются с учетом симметрии в конфигурации токов. В этом помогает теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Некоторые токи, при которых магнитное поле создается, пропускают выбранный контур L тем временем, как остальные токи находятся в стороне от контура.

Согласно теореме о циркуляции, циркуляция вектора B → магнитного поля постоянных токов по любому из контуров L все время определяется, как произведение магнитной постоянной μ 0 на сумму всех токов:

∑ ( L ) B l ∆ l = μ 0 ∑ l i.

Теорема о циркуляции в этом примере математически выражается следующей формулой:

Общий вид теоремы о циркуляции можно вывести из принципа суперпозиции и закона Био-Савара.

отсюда можно вывести формулу для модуля магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током, приведенную раньше.

Из данного примера видно, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции B → можно использовать для вычисления магнитных полей, которые создаются симметричным распределением токов, когда можно наугад определить общую структуру поля.

Существует много примеров определения магнитных полей при помощи теоремы о циркуляции.

Предположим, что катушка намотана виток к витку на ненамагниченный тороидальный сердечник. В ней линии магнитной индукции сходятся внутри катушки и выступают концентрическими окружностями. Они имеет такое направление, что, смотря вдоль них, наблюдатель увидел бы ток в витках, циркулирующих по часовой стрелке.

Однако в пределе каждая часть тороидальной катушки при необходимости рассматривается в качестве длинной прямолинейной катушки, которая называется соленоид. Вдали торцов такой катушки модуль магнитной индукции определяется, как соотношение в случае с тороидальной катушкой.

Данное вычисление совпадает с формулой для магнитного поля тонкой тороидальной катушки.

Источник

Закон Био—Савара

Магнитное поле в точке пространства, создаваемое малым отрезком проводника, по которому течет электрический ток, пропорционально силе тока, обратно пропорционально квадрату расстояния от этой точки до проводника и направлено перпендикулярно по отношению и к току, и к направлению на проводник.

Одним из величайших прорывов в естествознании XIX века стала серия открытий, позволивших установить неразрывную связь между двумя, казалось бы, не связанными между собой природными феноменами — электричеством и магнетизмом, — которые на поверку оказались просто двумя сторонами одной медали. Одним из первых фрагментов пазла, который предстояло собрать ученым, стало осознание того, что движущиеся электрические заряды (то есть электрический ток) могут порождать магнитное поле. Это открытие сделал датский ученый Ханс Кристиан Эрстед (см. открытие Эрстеда), а представил его в количественной форме французский ученый Андре-Мари Ампер (см. Закон Ампера). Обобщением этой работы стал закон Био—Савара (его еще называют «закон Био—Савара—Лапласа». — Прим. переводчика), содержащий окончательную формулировку соотношения между электрическими токами и магнитными полями, которые они производят.

Жан Батист Био, яркий и смелый ученый, был профессором физики в Сорбонне и действительным членом французской Академии наук. Сразу после открытия Эрстеда вместе со своим коллегой Феликсом Саваром он принялся за изучение взаимосвязи между электрическим током и магнитными полями.

В отличие от Ампера, изучавшего магнитные поля опосредованно, путем измерения силы взаимодействия между парами проводников с током, Био и Савар предприняли прямые измерения магнитных полей, используя для этого множество легких магнитных стрелок компасов. Смысл их закона проще всего понять, если представить себе, что проводник с током разбит на крошечные отрезки — т. н. элементы тока (такой подход предложил ученым их старший коллега Пьер Симон Лаплас (Pierre-Simon Laplace, 1749–1827), стоявший у истоков дифференциального и интегрального исчисления, который затем и обобщил полученные результаты. — Прим. переводчика). На каждом из этих крошечных отрезков кривизной проводника можно пренебречь — их можно рассматривать как отрезки прямой. Так вот, согласно закону Био—Савара, магнитное поле В на расстоянии r от такого элемента тока пропорционально

где I — сила тока, а L — длина элемента тока.

Я уже упоминал, что закон Био—Савара является наиболее полным формальным обобщением взаимосвязи между электрическим током и магнитным полем. Это значит, что можно взять проводник с током сколь угодно сложной и асимметричной конфигурации и разбить его на элементы тока. Каждый элемент вносит свой вклад в магнитное поле в рассчитываемой точке. Сделав эти расчеты, мы можем затем просуммировать вклад от каждого элемента проводника и найти общее магнитное поле (этот процесс суммирования относится к области высшей математики и выглядит он достаточно сложно). Таким образом, закон Ампера является частным случаем закона Био—Савара для случая линейного проводника.

Я еще не сказал, что закон Био—Савара предсказывает также направление получающегося магнитного поля. Это направление можно определить с помощью так называемого правила правой руки, ставшего настоящим бичом целых поколений студентов физических и технических вузов. Правило гласит: если вытянутый указательный палец правой руки показывает направление электрического тока в элементе тока, а средний палец направлен на точку, в которой вы вычисляете магнитное поле, то выставленный под прямым углом к двум другим пальцам большой палец укажет направление магнитного поля.

Как я уже говорил, полное математическое выражение закона Био—Савара требует довольно сложных вычислений, поскольку оно представляет собой интегральное уравнение. Оно является, по сути, общим решением четвертого уравнения Максвелла.

Источник

Закон Био́—Савара—Лапла́са — физический закон для определения модуля вектора магнитной индукции в любой точке магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током на некотором рассматриваемом участке. Был установлен экспериментально в 1820 году Био и Саваром. Лаплас проанализировал данное выражение и показал, что с его помощью путём интегрирования, в частности, можно вычислить магнитное поле движущегося точечного заряда, если считать движение одной заряженной частицы током.

Содержание

Формулировка

Направление перпендикулярно и , то есть перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора определяется выражением (в системе СИ)

Векторный потенциал даётся интегралом (в системе СИ)

Вывод из уравнений Максвелла

Закон Био — Савара — Лапласа может быть получен из уравнений Максвелла для стационарного поля. При этом производные по времени равны 0, так что уравнения для поля в вакууме примут вид (в системе СГС)

где — плотность тока в пространстве. При этом электрическое и магнитное поля оказываются независимыми. Воспользуемся векторным потенциалом для магнитного поля (в системе СГС):

Калибровочная инвариантность уравнений позволяет наложить на векторный потенциал одно дополнительное условие:

Раскрывая двойной ротор по формуле векторного анализа, получим для векторного потенциала уравнение типа уравнения Пуассона:

Его частное решение даётся интегралом, аналогичным ньютонову потенциалу:

Тогда магнитное поле определяется интегралом (в системе СГС)

аналогичным по форме закону Био — Савара — Лапласа. Это соответствие можно сделать точным, если воспользоваться обобщёнными функциями и записать пространственную плотность тока, соответствующую витку с током в пустом пространстве. Переходя от интегрирования по всему пространству к повторному интегралу вдоль витка и по ортогональным ему плоскостям и учитывая, что

получим закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током.

Вывод из Лоренц-инвариантности

Литература

Полезное

БИО ЗАКОН — БИО ЗАКОН: угол поворота плоскости поляризации линейно поляризованного света пропорционален толщине слоя оптически активного вещества, который проходит световой луч. Установлен Ж. Б. Био в 1815 … Энциклопедический словарь

Закон Ньютона — Рихмана — Закон Ньютона Рихмана эмпирическая закономерность, выражающая тепловой поток между разными телами через температурный напор. Теплоотдача это теплообмен между теплоносителем и твёрдым телом. Теплопередача это теплообмен… … Википедия

Закон Ньютона — Закон Ньютона Рихмана эмпирическая закономерность, выражающая тепловой поток между разными телами через температурный напор. Теплоотдача это процесс теплообмена между теплоносителем и твёрдым телом. Теплопередача это… … Википедия

Био Жан Батист — Био (Biot) Жан Батист (21.4.1774, Париж, ‒ 3.2.1862. там же), французский физик, геодезист и астроном, член Парижской АН (1803). Образование получил в Политехнической школе в Париже. Профессор Коллеж де Франс (1800), Парижского университета… … Большая советская энциклопедия

Био закон — закон, определяющий угол поворота φ плоскости поляризации (См. Плоскость поляризации) линейно поляризованного света, проходящего через слой аморфного вещества с естественной оптической активностью (твёрдое тело, раствор или пары): φ =… … Большая советская энциклопедия

БИО ЗАКОН — БИО ЗАКОН: угол поворота плоскости поляризации линейно поляризованного света пропорционален толщине слоя оптически активного вещества который проходит световой луч. Установлен Ж. Б. Био в 1815 … Большой Энциклопедический словарь

БИО ЗАКОН — определяет угол j вращения плоскости поляризации линейно поляризованного света, проходящего через слой некрист. в ва (жидкости или р ра в неактивном растворителе), обладающего естественной оптич. активностью: j= (a)lс, где l толщина слоя в ва, с… … Физическая энциклопедия

Био — I Био (Biot) Жан Батист (21.4.1774, Париж, 3.2.1862. там же), французский физик, геодезист и астроном, член Парижской АН (1803). Образование получил в Политехнической школе в Париже. Профессор Коллеж де Франс (1800), Парижского… … Большая советская энциклопедия

БИО ЗАКОН — угол поворота плоскости поляризации линейно поляризованного света пропорционален толщине слоя оптически активного в ва, через к рый проходит световой луч. Установлен Ж. Б. Био в 1815 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Био-топливо — Биотопливо это топливо из биологического сырья, получаемое, как правило, в результате переработки стеблей сахарного тростника или семян рапса, кукурузы, сои. Существуют также проекты разной степени проработанности, направленные на получение… … Википедия

Источник