закон инерции квадратичных форм доказательство

113. Закон инерции квадратичных форм

Квадратичную форму можно привести к каноническому виду различными способами.

Теорема 1. Любую квадратичную форму с действительными переменными невырожденным линейным преобразованием переменных можно привести к нормальному виду.

Доказательство. Приведем сначала квадратичную форму к каноническому виду (2) §3. Можно предположить что в полученной квадратичной форме канонического вида имеется R коэффициентов неравных нулю, среди которых имеется S положительных коэффициентов и T отрицательных коэффициентов. При этом можно неизвестные перенумеровать и форму канонического вида представить в виде:

,

Где 0 £ S £ R £ N И все коэффициенты С1, с2,…, СR положительны. Тогда невырожденное преобразование переменных

Приводит форму F к нормальному виду,

.

Определение 2. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы квадратичной формы.

Теорема 2. При невырожденных линейных преобразованиях переменных ранг квадратичной формы не меняется. Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов в форме канонического вида, т. е. Rang F = S+ T .

Лемма 1. Ранг произведения AB матриц не превосходит ранга каждого из его сомножителей.

Доказательство. Из определения произведения матриц следует, что столбцы матрицы AB являются линейными комбинациями столбцов матрицы A. Тогда столбцы матрицы AB выражаются через базисные столбцы матрицы A. И максимальное число линейно независимых столбцов матрицы AB меньше ранга матрицы A. Отсюда ранг матрицы AB не больше ранга матрицы A.

Из определения произведения матриц следует, что строки матрицы AB являются линейными комбинациями строк матрицы B. Тогда строки матрицы AB выражаются через базисные строки матрицы B. Отсюда ранг матрицы AB не больше ранга матрицы B. 

Лемма 2. Если один из сомножителей A или B квадратная невырожденная матрица, то ранг произведения AB равен рангу другого сомножителя.

Так как форма канонического вида получена из квадратичной формы невырожденным преобразованием переменных, то ранг квадратичной формы равен рангу матрицы квадратичной формы, т. е. равен числу ненулевых коэффициентов в форме канонического вида.

Теорема 3. Число положительных и число отрицательных коэффициентов в форме канонического вида (сигнатура квадратичной формы) не зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство. Допустим, что квадратичная форма F ранга R от N переменных двумя способами приведена к каноническому виду,

, (1)

Где предполагаем, что все коэффициенты СI и DI (I=1,…,N) положительны. Пусть исходные переменные связаны с новыми переменными посредством невырожденных преобразований:

Источник

Закон инерции квадратичных форм доказательство

Теорема 3. Если квадратичная форма преобразована двумя способами к каноническому виду, то число квадратов новых переменных с положительными коэффициентами будет одинаково, так же как число квадратов новых переменных с отрицательными коэффициентами. Иными словами, число положительных и отрицательных коэффициентов не зависит от способа приведения формы к каноническому виду.

Доказательство. Пусть дана форма, приведенная к каноническому виду двумя способами:

Считаем, что все и 0, положительны. Пусть исходные переменные связаны с новыми посредством следующих невырожденных преобразований:

Допустим, что число положительных коэффициентов не одинаково. Будем считать, для определенности, что Положим . Все — являются линейными формами от . Таким образом, написанная совокупность равенств есть система линейных однородных уравнений относительно . Число неизвестных равно , число уравнений равно . Поэтому система имеет нетривиальные решения. Пусть — одно из них. Соответствующие значения для обозначим через Заметим, что . Соответствующие значения для обозначим через . Эти значения не равны одновременно нулю (иначе равнялись бы нулю ), но . Поэтому среди чисел имеются отличные от нуля.

Из представления имеем:

Из другого представления:

Последнее неравенство строгое, ибо среди имеются отличные от нуля. Мы пришли к противоречию, так что предположение о различии числа положительных коэффициентов неверно.

Для установления равенства числа отрицательных коэффициентов достаточно перейти к форме и ее каноническим представлениям

и применить уже доказанное утверждение о равенстве положительных коэффициентов. Теорема доказана полностью.

Заметим еще, что если

то можно дать формулу для числа отрицательных коэффициентов в канонической форме. Именно, оно равно числу перемен знаков в ряду чисел

Действительно, коэффициенты в канонической форме, получающейся при преобразовании с правой унитреугольной матрицей, равны

так что число отрицательных среди них равно указанному выше числу перемен знаков.

Источник

Закон инерции квадратичных форм

Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальные виды одной и той же квадратичной формы.

Определение 63. Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве L_n называется ранг её матрицы в любом базисе этого пространства.

Так как ранг диагональной матрицы равен числу отличных от нуля диагональных элементов, то любой канонический вид данной квадратичной формы содержит одно и тоже число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Это число равно рангу формы. Следовательно, доказано утверждение :

Определение 64. Число квадратов переменных, входящих с коэффициентом (+1) в нормальный вид действительной квадратичной формы, называется положительным индексом инерции этой формы. Число квадратов с коэффициентом (–1) называется отрицательным индексом инерции, разность между числом переменных и рангом квадратичной формы (т.е. n – r) называется её дефектом.

Теорема 67 (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

9.5. Положительно определённые квадратичные формы

Определение 65. Действительная квадратичная форма называется положительно определённой, если для любого вектора а ¹ 0 имеет место j(а) > 0.

Теорема 68. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда её ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.

Доказательство. Þ Пусть j(а) – действительная положительно определённая квадратичная форма. Пусть она приводится к нормальному виду

Ü Ранг и положительный индекс инерции действительной квадратичной формы равны n. Докажите самостоятельно, что форма положительно определённая.

Отметим без доказательства ещё одну теорему о положительно определённых действительных квадратичных формах.

Теорема 69. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны.

Теорема 70. Квадрат длины вектора в любом базисе евклидова пространства задаётся положительно определённой квадратичной формой.

Пример. Какие из следующих квадратичных форм являются положительно определёнными?

Решение. Ответить на вопрос можно двумя способами: привести форму к каноническому виду или вычислить главные миноры матрицы данной формы. Для первой формы используем первый способ, для второй и третьей – второй способ.

1. 4х₁ 2 – х₁х₂ + 3х₂ 2 – х₂х₃ + 6х₂х₄ = (4х₁ 2 – х₁х₂ + ) – + 3х₂ 2 – х₂х₃ + 6х₂х₄ =

= (2х₁– ) 2 + ( х₂ 2 –

= (2х₁– ) 2 + ( – =

= (2х₁– ) 2 + ( – . Отсюда следует, что ранг данной формы равен 3, т.е. меньше числа переменных, поэтому эта форма не является положительно определённой (теорема 68).

2. Составим матрицу второй квадратичной формы и найдём главные её миноры.

А = , М₁ = 0. Уже отсюда следует, что форма не является положительно определённой (теорема 69).

3. Составим матрицу третьей квадратичной формы и найдём главные её миноры.

А = , М₁ = 4 > 0, М₂ = = 5,75 > 0, М₃ = 1,25 > 0,

М₄ = ½А½= 14,25 > 0. Итак, все главные миноры положительны. Следовательно, третья квадратичная форма положительно определённая.

Источник

Закон инерции и знакоопределенность квадратичных форм

Закон инерции вещественных квадратичных форм

Рассмотрим вещественные (действительные) квадратичные формы, коэффициенты которых являются действительными числами, а переменные принимают действительные значения. Любую вещественную форму можно привести к каноническому виду

при помощи линейной невырожденной замены переменных с действительной матрицей (см. теорему 6.1 и п.2 замечаний 6.4). Коэффициенты квадратичной формы являются действительными числами.

то получим нормальный вид квадратичной формы

в котором коэффициенты равны либо единице, либо минус единице (переменные входят с нулевыми коэффициентами).

Теорема 6.3 о законе инерции квадратичных форм. Ранг, положительный и отрицательный индексы, а также сигнатура вещественной квадратичной формы не зависят от действительной невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду.

Из теоремы 6.3 следует, что два канонических вида одной и той же квадратичной формы имеют:

а) одинаковое количество ненулевых слагаемых (которое определяется рангом квадратичной формы);

б) одинаковое количество слагаемых одного знака.

В самом деле, пусть квадратичная форма ранга приведена к нормальному виду (6.19)

Знакоопределенность вещественных квадратичных форм

Пример 6.11. Исследовать знакоопределенность квадратичных форм

Решение. 1) Выделим полный квадрат по переменной

Следовательно, данная форма положительно определенная.

3) Квадратичная форма неопределенная, так как она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, 0,

2. Дискриминант положительно определенной квадратичной формы больше нуля, т.е. 0″ png;base64,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»/>.

4. Для отрицательно (неположительно) определенных квадратичных форм справедливы утверждения аналогичные пунктам 1-3, так как знаки форм и противоположные.

Критерий Сильвестра

Теорема 6.4 (критерий Сильвестра). Для того чтобы вещественная квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны:

В самом деле, рассмотрим первое утверждение теоремы (о положительной определенности). Достаточность условий (6.20) следует из теоремы 6.3 (теоремы Якоби), так как при выполнении этих неравенств квадратичная форма приводится к каноническому виду

Критерий полуопределенности квадратичной формы

Теорема 6.5 (критерий полуопределенности квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма была неотрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были неотрицательны.

Для неположительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы удовлетворяли условиям:

Условия (6.22) означают, что главные миноры четного порядка должны быть неотрицательны, а нечетного порядка — неположительны. Для доказательства теоремы используется критерий Сильвестра.

Пример 6.12. Выяснить знакоопределенность квадратичных форм с матрицами

главные миноры первого порядка: ;

главные миноры второго порядка: ;

Источник

Закон инерции квадратичных форм

Установлено, что число отличных от нуля канонических коэффициентов квадратичной формы равно ее рангу и не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма A(x, x) приводится к каноническому виду. На самом деле не меняется и число положительных и отрицательных коэффициентов.

Теорема 11.3 (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и отрицательных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду.

Пусть квадратичная форма f ранга r от n неизвестных x₁, x₂, …, x_n двумя способами приведена к нормальному виду, то есть

f = + + … + – – … – ,

f = + + … + – – … – . Можно доказать, что k = l.

Определение 11.14. Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится действительная квадратичная форма, называется положительным индексом инерции этой формы; число отрицательных квадратов – отрицательным индексом инерции, а их сумма – индексом инерции квадратичной формы или сигнатурой формы f.

Если p – положительный индекс инерции; q – отрицательный индекс инерции; k = r = p + q – индекс инерции.

Классификация квадратичных форм

Было доказано, что в любом каноническом базисе f = <f₁, f₂, …, f_n> эта квадратичная форма A(x, x) может быть приведена к нормальному виду A(x, x) = + + … + – – … – , где ₁, ₂, …, _n координаты вектора x в базисе <f>.

Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы

Утверждение 11.1. Для того чтобы квадратичная форма A(x, x), заданная в n-мерном векторном пространстве V, была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции p, либо отрицательный индекс инерции q, был равен размерности n пространства V.

При этом если p = n, то форма положительно определена (то есть для любого x ≠ 0 A(x, x) > 0).

Если же q = n, то форма отрицательно определена (то есть для любого x ≠ 0 A(x, x) 0 и A(y, y) 15 этого не требуется.

Источник