закон кирхгофа и ома в символической форме

Закон Ома и Кирхгофа в символической форме

По I закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю, т.е. закон кирхгофа и ома в символической форме.

В соответствии с теоремой о сумме I закон Кирхгофа в символической или комплексной форме записывается в виде закон кирхгофа и ома в символической форме

По II закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю, т.е.

закон кирхгофа и ома в символической формеили закон кирхгофа и ома в символической формеили закон кирхгофа и ома в символической форме.

Но в соответствии с теоремами символического метода II закон Кирхгофа в символической или комплексной форме записи имеет следующий вид:

закон кирхгофа и ома в символической формеили закон кирхгофа и ома в символической форме. (3.33)

Рассмотрим закон Ома в символической форме записи для элементов цепи гармонического тока (рис. 3.15).

закон кирхгофа и ома в символической форме закон кирхгофа и ома в символической форме закон кирхгофа и ома в символической форме
Если закон кирхгофа и ома в символической форме, закон кирхгофа и ома в символической форме(по теореме о линейном преобразо­вании), то закон кирхгофа и ома в символической форме. Это закон Ома в символи­ческой форме. закон кирхгофа и ома в символической форме закон кирхгофа и ома в символической форме закон кирхгофа и ома в символической форме(по теореме о производной) Закон Ома: закон кирхгофа и ома в символической форме. закон кирхгофа и ома в символической форме закон кирхгофа и ома в символической форме(по теореме об инте­грале) Закон Ома: закон кирхгофа и ома в символической форме.

На рис. 3.16 приведены векторные диаграммы напряжений и токов соответственно для сопротивления, индуктивности и емкости.

закон кирхгофа и ома в символической форме закон кирхгофа и ома в символической форме закон кирхгофа и ома в символической форме

Дата добавления: 2015-04-16 ; просмотров: 98 ; Нарушение авторских прав

Источник

Закон Ома и законы Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Законы Ома и Кирхгофа в символической и операторной формах.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма мгновенных токов, притекающих к узлу равна нулю.

закон кирхгофа и ома в символической форме

Заметим, что первый закон Кирхгофа можно сформулировать и так: сумма мгновенных токов, притекающих к узлу, равна сумме токов, вытекающих из этого узла. В более общей форме: алгебраическая сумма токов, притекающих к произвольному сечению, равна нулю.

Пример. Записать первый закон Кирхгофа для следующего узла (рис. 1.14.2).

Решение. закон кирхгофа и ома в символической форме.

Второй закон Кирхгофа для мгновенных величин. Алгебраическая сумма мгновенных падений напряжений в контуре равна алгебраической сумме мгновенных ЭДС в этом контуре.

закон кирхгофа и ома в символической форме

где n – количество пассивных элементов в контуре;

m – количество источников ЭДС в контуре.

При наличии индуктивности или ёмкости в цепи переменного тока необходимо учитывать их реактивное сопротивление.
В таком случае запись Закона Ома будет иметь вид:

С учётом сдвига фаз φ, созданного реактивными элементами, для синусоидального переменного тока обычно записывают Закон Ома в комплексной форме:

закон кирхгофа и ома в символической форме

Для последовательно соединенных элементов формула импеданса имеет следующее значение:

закон кирхгофа и ома в символической форме

При последовательном соединении токи через элементы равны, общее приложенное напряжение будет векторной суммой напряжений на R и C элементах и формула импеданса последовательной цепи будет иметь вид:

закон кирхгофа и ома в символической форме

При параллельном соединении напряжения на R и C элементах равны, общий ток будет векторной суммой токов каждого элемента, а фомула импеданса будет следующей:

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме

Операторная запись законов Кирхгофа

закон кирхгофа и ома в символической форме

При ненулевых начальных условиях II закон Кирхгофа можно записать

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме

Величина, обратная комплексному сопротивлению, – комплексная проводимость:

закон кирхгофа и ома в символической форме

Законы киргофа в символической форме:

Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

закон кирхгофа и ома в символической форме

Подставив вместо ik в (2.63) Íkejωt и вынеся ejωt за знак суммы, получим ejωtΣÍk=0. Так как ejωt не равно нулю при любом t, то:

закон кирхгофа и ома в символической форме

Уравнение (2.63,а) представляет собой первый закон Кирхгофа в символической форме записи.

Пусть замкнутый контур содержит n ветвей и каждая k- ветвь в общем случае включает в себя источник ЭДС ek, резистор Rk, индуктивную катушку Lk и конденсатор Ck, по которым протекает ток ik.

Тогда по второму закону Кирхгофа:

закон кирхгофа и ома в символической форме

Но каждое слагаемое левой части можно заменить на ÍkZk, а каждое слагаемое правой части – на Ék. Поэтому уравнение примет вид:

закон кирхгофа и ома в символической форме

Уравнение (2.65) представляет собой второй закон Кирхгофа в символической форме записи.

Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов с помощью вращающихся векторов и комплексных чисел. Формулы Эйлера для комплексных чисел. Сложение, вычитание, умножение, деление синусоидальных функций времени. Векторная диаграмма.

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

закон кирхгофа и ома в символической формеКаждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной закон кирхгофа и ома в символической форме

тригонометрической закон кирхгофа и ома в символической формеили

алгебраической закон кирхгофа и ома в символической формеформах.

Например, ЭДС закон кирхгофа и ома в символической форме, изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме.

Фазовый угол закон кирхгофа и ома в символической формеопределяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

закон кирхгофа и ома в символической форме.

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

закон кирхгофа и ома в символической форме,(4)

закон кирхгофа и ома в символической форме

Рис.2.7. Векторное изображение синусоидальных ЭДС

закон кирхгофа и ома в символической форме

Рис.2.8. Векторное изображение синусоидальных значений напряжения и тока, имеющих угол сдвига фаз

На рис. 2.9 и 2.10 показано сложение и вычитание векторов на векторных диаграммах. Здесь сложение двух синусоид закон кирхгофа и ома в символической формеи закон кирхгофа и ома в символической форме, представленных синусоидой закон кирхгофа и ома в символической форме, выполнено в виде сложения вращающихся векторов на декартовой плоскости закон кирхгофа и ома в символической форме. Аналогично выполняется вычитание векторов ЭДС закон кирхгофа и ома в символической форме.

Изображение синусоидальных величин на комплексной плоскости осуществляется комплексными числами.

закон кирхгофа и ома в символической форме

Данная формула связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями:

закон кирхгофа и ома в символической форме

Перевод комплексных чисел из одной формы в другую можно производить по следующим формулам:

закон кирхгофа и ома в символической форме; закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме ; закон кирхгофа и ома в символической форме

При сложении и вычитании комплексных чисел удобно пользоваться алгебраической формой записи:

закон кирхгофа и ома в символической форме

При умножении, делении, возведении в степень удобно пользоваться показательной формой

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме

Если комплексное число закон кирхгофа и ома в символической форме, то комплексное число закон кирхгофа и ома в символической форменазывается сопряженным комплексным числом.

Синусоидальное ЭДС можно представить комплексным числом:

Источник

1.4. Законы Ома и Кирхгофа

1.4. Законы Ома и Кирхгофа

Закон Ома для всей цепи выражает соотношение между электродвижущей силой (ЭДС), сопротивлением и током. Согласно этому закону ток в замкнутой цепи равен ЭДС источника деленной на сопротивление всей цепи:

закон кирхгофа и ома в символической форме, (1.19)

где I – ток, протекающий по цепи;

E – ЭДС, генератора, подключенного к электрической цепи;

Rг – сопротивление генератора;

Rц – сопротивление цепи.

Закон Ома для участка цепи. Ток на участке цепи прямо пропорционален напряжению между началом и концом участка и обратно пропорционален сопротивлению участка. Аналитически закон выражается в следующем виде:

закон кирхгофа и ома в символической форме, (1.20)

где I – ток, протекающий на участке цепи;

R – сопротивление участка цепи;

U – напряжение на участке цепи.

Обобщенный закон Ома. Сила тока в контуре цепи прямо пропорциональна алгебраической сумме ЭДС всех источников цепи и обратно пропорциональна арифметической сумме всех активных сопротивлений цепи.

закон кирхгофа и ома в символической форме, (1.21)

где m и n – количество источников и резисторов в контуре цепи.

При алгебраическом суммировании со знаком “плюс” берутся те ЭДС, направление которых совпадает с направлением тока, а со знаком “минус”– те ЭДС, направление которых не совпадает с направлением тока.

Первый закон Кирхгофа. Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвленные. На рис. 1.10 представлена простейшая разветвленная цепь.

закон кирхгофа и ома в символической форме

Рис. 1.10 Схема разветвленной цепи.

Разветвленной называется такая электрическая цепь, в которой ток от какого-либо источника может идти по различным путям и, в которой, следовательно, имеются точки, где сходятся два и более проводников. Эти точки называютузлами. Токи, текущие к узлу считаются имеющими один знак, а от узла – другой.

Учитывая это правило для схемы, изображенной на рис. 1.11,а можно записать

закон кирхгофа и ома в символической формеили

закон кирхгофа и ома в символической форме.

Для цепи, имеющей n ветвей, сходящихся в одном узле, имеем:

закон кирхгофа и ома в символической форме, (1.22)

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле, равна

закон кирхгофа и ома в символической форме

Рис. 1.11 Схема поясняющая законы Кирхгофа.

Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между ЭДС, токами и сопротивлениями в любом замкнутом контуре, который можно выделить в рассматриваемой цепи.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС, действующих в любом контуре разветвленной электрической цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура

закон кирхгофа и ома в символической форме, (1.23)

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 1.11,б. Обозначим стрелкой направление обхода контура. При составлении уравнений будем брать со знаком “плюс” те ЭДС и падения напряжений, направления которых совпадают с направлением обхода контура и со знаком “минус” те, которые направлены против обхода. Для цепи, изображенной на рис. 1.11,б второй закон Кирхгофа запишется в следующем виде:

закон кирхгофа и ома в символической форме.

Источник

Законы Ома и Кирхгофа в символической форме

В символической форме можно представить не только отдель­ные синусоидальные функции времени, но и уравнения, содержа­щие такие функций. Рассмотрим последовательную цепь с R, L, С. Мгновенные значения напряжения и тока для такой цепи связаны, на основании второго закона Кирхгофа, уравнением:

закон кирхгофа и ома в символической форме4.7

Пусть мгновенное значение тока в цепи определяется выраже­нием

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме

Полученным выражением соответствуют комплексные функции времени:

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме закон кирхгофа и ома в символической формезакон кирхгофа и ома в символической форме

Напряжение на зажимах цепи является также синусоидальной функцией времени закон кирхгофа и ома в символической форме, которой соответ­ствует комплексная функция

закон кирхгофа и ома в символической форме

В соответствии с равенствам 4.5 мгновенные значения напряже­ний уравнения 4.7 представляют собой мнимые части соответствую­щих комплексных функций, взятые без множителя j:

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме+ закон кирхгофа и ома в символической форме+ закон кирхгофа и ома в символической форме

В данном случае при равенстве мнимых частей будут равны и действительные части комплексов напряжений, а следовательно равны и комплексные числа

закон кирхгофа и ома в символической форме4.8

Разделим левую и правую части уравнения 4.8 на оператор вра­щения закон кирхгофа и ома в символической формеи на закон кирхгофа и ома в символической форме, получим:

закон кирхгофа и ома в символической форме4.9

Сравнивая уравнения 4.7 и 4.9, можно сделать выводы:

а) для перехода от интегро-дифференциального уравнения к изображению в комплексной форме необходимо все мгновенные значения напряжений и токов заменить их комплексами; диффе­ренцирование оригинала заменить умножением изображения на закон кирхгофа и ома в символической форме, а интегрирование оригинала—делением изображения на закон кирхгофа и ома в символической форме

б) интетро-дифференциальному (или тригонометрическому) уравнению для мгновенных значений соответствует алгебраическое уравнение для изображений.

Таким образом, применение символического метода приводит к алгебраизации интегро-дифференциальных и тригонометрических уравнений, что позволяет применять для расчета цепей синусои­дального тока все соотношения и законы цепей постоянного тока.

закон кирхгофа и ома в символической форме4.10

Полученное выражение представляет закон Ома в символиче­ской форме.

Величина, стоящая в знаменателе, называется комплексом пол­ного сопротивления Z.

Комплекс полного сопротивления (или комплексное сопротивле­ние) представляет собой комплексное число, действительная часть которого равна активному, а мнимая часть—реактивному сопро­тивлениям цепи.

закон кирхгофа и ома в символической форме4.12

Модуль комплекса полного сопротивления равен полному сопро­тивлению цепи

закон кирхгофа и ома в символической форме4.13

В выражении для комплекса полного сопротивления цепи

закон кирхгофа и ома в символической форме

знак плюс перед мнимой частью ставится при индуктивном характере сопротивления ( закон кирхгофа и ома в символической форме> 0 ) и знак минус—при емкостном характере сопротивления ( закон кирхгофа и ома в символической форме0), а знак плюс—при емкост­ном характере ( закон кирхгофа и ома в символической форме

При изображении синусоидальных электрических величин в ком­плексной (символической) форме законы Кирхгофа имеют такой же вид, как и для цепей постоянного тока. Например, по первому закону Кирхгофа’ алгебраическая сумма комплексов токов, сходя­щихся в узле А (рис. 104), равна нулю, т.е. закон кирхгофа и ома в символической форме= 0 или в общем виде

закон кирхгофа и ома в символической форме4.17

закон кирхгофа и ома в символической форме

По второму закону Кирхгофа для замкнутого контура электри­ческой цепи алгебраическая сумма комплексов э.д.с. действующих в контуре, равна алгебраической сумме комплексов падений, на­пряжений на отдельных участках этого контура. Так, для контура abed по второму закону Кирхгофа уравнение имеет вид:

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической формеили закон кирхгофа и ома в символической форме, где закон кирхгофа и ома в символической формезакон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме

В общем виде уравнение по второму закону Кирхгофа записы­вается следующим образом:

закон кирхгофа и ома в символической формеили закон кирхгофа и ома в символической форме

Пример 31. Определить ток в цепи если, активное сопротивление R = 80om,индуктивность L=90

мгн и конденсатор С = 35,5мкф, соединенные последовательно, включены в сеть с напряжением 220в и частотой 50гц.

Решение: Индуктивное сопротивление

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме

Комплекс полного сопротивления цепи

закон кирхгофа и ома в символической форме

Комплекс тока в цепи по закону Ома

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме(характер цепи—емкостный).

Решение. Индуктивное сопротивление

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме

Комплекс полного сопротивления цепи

закон кирхгофа и ома в символической форме

закон кирхгофа и ома в символической форме

Полная комплексная проводимость катушки

закон кирхгофа и ома в символической форме

Комплексная проводимость конденсатора

закон кирхгофа и ома в символической форме

Полная комплексная проводимость всей цепи:

закон кирхгофа и ома в символической форме

Ток в цепи (комплекс тока)

закон кирхгофа и ома в символической форме

Характер сопротивления цепи активно-индуктивный, так как

закон кирхгофа и ома в символической форме

Дата добавления: 2016-04-06 ; просмотров: 2811 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *