закон кирхгофа и ома в символической форме

20.03.202303.04.2023 admin 0 Комментариев

Закон Ома и Кирхгофа в символической форме

По I закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю, т.е. .

В соответствии с теоремой о сумме I закон Кирхгофа в символической или комплексной форме записывается в виде

По II закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю, т.е.

или или .

Но в соответствии с теоремами символического метода II закон Кирхгофа в символической или комплексной форме записи имеет следующий вид:

или . (3.33)

Рассмотрим закон Ома в символической форме записи для элементов цепи гармонического тока (рис. 3.15).


Если , (по теореме о линейном преобразовании), то . Это закон Ома в символической форме.	(по теореме о производной) Закон Ома: .	(по теореме об интеграле) Закон Ома: .

На рис. 3.16 приведены векторные диаграммы напряжений и токов соответственно для сопротивления, индуктивности и емкости.

закон кирхгофа и ома в символической форме

Дата добавления: 2015-04-16 ; просмотров: 98 ; Нарушение авторских прав

Источник

Закон Ома и законы Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Законы Ома и Кирхгофа в символической и операторной формах.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма мгновенных токов, притекающих к узлу равна нулю.

Заметим, что первый закон Кирхгофа можно сформулировать и так: сумма мгновенных токов, притекающих к узлу, равна сумме токов, вытекающих из этого узла. В более общей форме: алгебраическая сумма токов, притекающих к произвольному сечению, равна нулю.

Пример. Записать первый закон Кирхгофа для следующего узла (рис. 1.14.2).

Решение. .

Второй закон Кирхгофа для мгновенных величин. Алгебраическая сумма мгновенных падений напряжений в контуре равна алгебраической сумме мгновенных ЭДС в этом контуре.

где n – количество пассивных элементов в контуре;

m – количество источников ЭДС в контуре.

При наличии индуктивности или ёмкости в цепи переменного тока необходимо учитывать их реактивное сопротивление.
В таком случае запись Закона Ома будет иметь вид:

С учётом сдвига фаз φ, созданного реактивными элементами, для синусоидального переменного тока обычно записывают Закон Ома в комплексной форме:

Для последовательно соединенных элементов формула импеданса имеет следующее значение:

При последовательном соединении токи через элементы равны, общее приложенное напряжение будет векторной суммой напряжений на R и C элементах и формула импеданса последовательной цепи будет иметь вид:

При параллельном соединении напряжения на R и C элементах равны, общий ток будет векторной суммой токов каждого элемента, а фомула импеданса будет следующей:

Операторная запись законов Кирхгофа

При ненулевых начальных условиях II закон Кирхгофа можно записать

Величина, обратная комплексному сопротивлению, – комплексная проводимость:

Законы киргофа в символической форме:

Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

Подставив вместо i_k в (2.63) Í_ke_jωt и вынеся e_jωt за знак суммы, получим e_jωtΣÍ_k=0. Так как e_jωt не равно нулю при любом t, то:

Уравнение (2.63,а) представляет собой первый закон Кирхгофа в символической форме записи.

Пусть замкнутый контур содержит n ветвей и каждая k- ветвь в общем случае включает в себя источник ЭДС e_k, резистор R_k, индуктивную катушку L_k и конденсатор C_k, по которым протекает ток i_k.

Тогда по второму закону Кирхгофа:

Но каждое слагаемое левой части можно заменить на Í_kZ_k, а каждое слагаемое правой части – на É_k. Поэтому уравнение примет вид:

Уравнение (2.65) представляет собой второй закон Кирхгофа в символической форме записи.

Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов с помощью вращающихся векторов и комплексных чисел. Формулы Эйлера для комплексных чисел. Сложение, вычитание, умножение, деление синусоидальных функций времени. Векторная диаграмма.

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной

тригонометрической или

алгебраической — формах.

Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

(4)

Рис.2.7. Векторное изображение синусоидальных ЭДС

Рис.2.8. Векторное изображение синусоидальных значений напряжения и тока, имеющих угол сдвига фаз

На рис. 2.9 и 2.10 показано сложение и вычитание векторов на векторных диаграммах. Здесь сложение двух синусоид и , представленных синусоидой , выполнено в виде сложения вращающихся векторов на декартовой плоскости . Аналогично выполняется вычитание векторов ЭДС .

Изображение синусоидальных величин на комплексной плоскости осуществляется комплексными числами.

Данная формула связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями:

Перевод комплексных чисел из одной формы в другую можно производить по следующим формулам:

;

При сложении и вычитании комплексных чисел удобно пользоваться алгебраической формой записи:

При умножении, делении, возведении в степень удобно пользоваться показательной формой

Если комплексное число , то комплексное число называется сопряженным комплексным числом.

Синусоидальное ЭДС можно представить комплексным числом:

Источник

1.4. Законы Ома и Кирхгофа

Закон Ома для всей цепи выражает соотношение между электродвижущей силой (ЭДС), сопротивлением и током. Согласно этому закону ток в замкнутой цепи равен ЭДС источника деленной на сопротивление всей цепи:

, (1.19)

где I – ток, протекающий по цепи;

E – ЭДС, генератора, подключенного к электрической цепи;

Rг – сопротивление генератора;

Rц – сопротивление цепи.

Закон Ома для участка цепи. Ток на участке цепи прямо пропорционален напряжению между началом и концом участка и обратно пропорционален сопротивлению участка. Аналитически закон выражается в следующем виде:

, (1.20)

где I – ток, протекающий на участке цепи;

R – сопротивление участка цепи;

U – напряжение на участке цепи.

Обобщенный закон Ома. Сила тока в контуре цепи прямо пропорциональна алгебраической сумме ЭДС всех источников цепи и обратно пропорциональна арифметической сумме всех активных сопротивлений цепи.

, (1.21)

где m и n – количество источников и резисторов в контуре цепи.

При алгебраическом суммировании со знаком “плюс” берутся те ЭДС, направление которых совпадает с направлением тока, а со знаком “минус”– те ЭДС, направление которых не совпадает с направлением тока.

Первый закон Кирхгофа. Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвленные. На рис. 1.10 представлена простейшая разветвленная цепь.

Рис. 1.10 Схема разветвленной цепи.

Разветвленной называется такая электрическая цепь, в которой ток от какого-либо источника может идти по различным путям и, в которой, следовательно, имеются точки, где сходятся два и более проводников. Эти точки называютузлами. Токи, текущие к узлу считаются имеющими один знак, а от узла – другой.

Учитывая это правило для схемы, изображенной на рис. 1.11,а можно записать

или

Для цепи, имеющей n ветвей, сходящихся в одном узле, имеем:

, (1.22)

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле, равна

Рис. 1.11 Схема поясняющая законы Кирхгофа.

Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между ЭДС, токами и сопротивлениями в любом замкнутом контуре, который можно выделить в рассматриваемой цепи.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС, действующих в любом контуре разветвленной электрической цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура

, (1.23)

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 1.11,б. Обозначим стрелкой направление обхода контура. При составлении уравнений будем брать со знаком “плюс” те ЭДС и падения напряжений, направления которых совпадают с направлением обхода контура и со знаком “минус” те, которые направлены против обхода. Для цепи, изображенной на рис. 1.11,б второй закон Кирхгофа запишется в следующем виде:

Источник

Законы Ома и Кирхгофа в символической форме

В символической форме можно представить не только отдельные синусоидальные функции времени, но и уравнения, содержащие такие функций. Рассмотрим последовательную цепь с R, L, С. Мгновенные значения напряжения и тока для такой цепи связаны, на основании второго закона Кирхгофа, уравнением:

4.7

Пусть мгновенное значение тока в цепи определяется выражением

Полученным выражением соответствуют комплексные функции времени:

Напряжение на зажимах цепи является также синусоидальной функцией времени , которой соответствует комплексная функция

В соответствии с равенствам 4.5 мгновенные значения напряжений уравнения 4.7 представляют собой мнимые части соответствующих комплексных функций, взятые без множителя j:

+ +

В данном случае при равенстве мнимых частей будут равны и действительные части комплексов напряжений, а следовательно равны и комплексные числа

4.8

Разделим левую и правую части уравнения 4.8 на оператор вращения и на , получим:

4.9

Сравнивая уравнения 4.7 и 4.9, можно сделать выводы:

а) для перехода от интегро-дифференциального уравнения к изображению в комплексной форме необходимо все мгновенные значения напряжений и токов заменить их комплексами; дифференцирование оригинала заменить умножением изображения на , а интегрирование оригинала—делением изображения на

б) интетро-дифференциальному (или тригонометрическому) уравнению для мгновенных значений соответствует алгебраическое уравнение для изображений.

Таким образом, применение символического метода приводит к алгебраизации интегро-дифференциальных и тригонометрических уравнений, что позволяет применять для расчета цепей синусоидального тока все соотношения и законы цепей постоянного тока.

4.10

Полученное выражение представляет закон Ома в символической форме.

Величина, стоящая в знаменателе, называется комплексом полного сопротивления Z.

Комплекс полного сопротивления (или комплексное сопротивление) представляет собой комплексное число, действительная часть которого равна активному, а мнимая часть—реактивному сопротивлениям цепи.

4.12

Модуль комплекса полного сопротивления равен полному сопротивлению цепи

4.13

В выражении для комплекса полного сопротивления цепи

знак плюс перед мнимой частью ставится при индуктивном характере сопротивления ( > 0 ) и знак минус—при емкостном характере сопротивления ( 0), а знак плюс—при емкостном характере (

При изображении синусоидальных электрических величин в комплексной (символической) форме законы Кирхгофа имеют такой же вид, как и для цепей постоянного тока. Например, по первому закону Кирхгофа’ алгебраическая сумма комплексов токов, сходящихся в узле А (рис. 104), равна нулю, т.е. = 0 или в общем виде

4.17

По второму закону Кирхгофа для замкнутого контура электрической цепи алгебраическая сумма комплексов э.д.с. действующих в контуре, равна алгебраической сумме комплексов падений, напряжений на отдельных участках этого контура. Так, для контура abed по второму закону Кирхгофа уравнение имеет вид: