закон кирхгофа и ома в символической форме
Закон Ома и Кирхгофа в символической форме
По I закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю, т.е. .
В соответствии с теоремой о сумме I закон Кирхгофа в символической или комплексной форме записывается в виде
По II закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю, т.е.
или
или
.
Но в соответствии с теоремами символического метода II закон Кирхгофа в символической или комплексной форме записи имеет следующий вид:
или
. (3.33)
Рассмотрим закон Ома в символической форме записи для элементов цепи гармонического тока (рис. 3.15).
| | |
Если | | |
На рис. 3.16 приведены векторные диаграммы напряжений и токов соответственно для сопротивления, индуктивности и емкости.
| | |
Дата добавления: 2015-04-16 ; просмотров: 98 ; Нарушение авторских прав
Закон Ома и законы Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Законы Ома и Кирхгофа в символической и операторной формах.
Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма мгновенных токов, притекающих к узлу равна нулю.
Заметим, что первый закон Кирхгофа можно сформулировать и так: сумма мгновенных токов, притекающих к узлу, равна сумме токов, вытекающих из этого узла. В более общей форме: алгебраическая сумма токов, притекающих к произвольному сечению, равна нулю.
Пример. Записать первый закон Кирхгофа для следующего узла (рис. 1.14.2).
Решение. .
Второй закон Кирхгофа для мгновенных величин. Алгебраическая сумма мгновенных падений напряжений в контуре равна алгебраической сумме мгновенных ЭДС в этом контуре.
где n – количество пассивных элементов в контуре;
m – количество источников ЭДС в контуре.
При наличии индуктивности или ёмкости в цепи переменного тока необходимо учитывать их реактивное сопротивление.
В таком случае запись Закона Ома будет иметь вид:
С учётом сдвига фаз φ, созданного реактивными элементами, для синусоидального переменного тока обычно записывают Закон Ома в комплексной форме:
Для последовательно соединенных элементов формула импеданса имеет следующее значение:
При последовательном соединении токи через элементы равны, общее приложенное напряжение будет векторной суммой напряжений на R и C элементах и формула импеданса последовательной цепи будет иметь вид:
При параллельном соединении напряжения на R и C элементах равны, общий ток будет векторной суммой токов каждого элемента, а фомула импеданса будет следующей:
Операторная запись законов Кирхгофа
При ненулевых начальных условиях II закон Кирхгофа можно записать
Величина, обратная комплексному сопротивлению, – комплексная проводимость:
Законы киргофа в символической форме:
Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:
Подставив вместо ik в (2.63) Íkejωt и вынеся ejωt за знак суммы, получим ejωtΣÍk=0. Так как ejωt не равно нулю при любом t, то:
Уравнение (2.63,а) представляет собой первый закон Кирхгофа в символической форме записи.
Пусть замкнутый контур содержит n ветвей и каждая k- ветвь в общем случае включает в себя источник ЭДС ek, резистор Rk, индуктивную катушку Lk и конденсатор Ck, по которым протекает ток ik.
Тогда по второму закону Кирхгофа:
Но каждое слагаемое левой части можно заменить на ÍkZk, а каждое слагаемое правой части – на Ék. Поэтому уравнение примет вид:
Уравнение (2.65) представляет собой второй закон Кирхгофа в символической форме записи.
Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов с помощью вращающихся векторов и комплексных чисел. Формулы Эйлера для комплексных чисел. Сложение, вычитание, умножение, деление синусоидальных функций времени. Векторная диаграмма.
Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.
Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :
показательной
тригонометрической или
алгебраической — формах.
Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число
.
Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как
.
В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:
| (4) |
Рис.2.7. Векторное изображение синусоидальных ЭДС
Рис.2.8. Векторное изображение синусоидальных значений напряжения и тока, имеющих угол сдвига фаз
На рис. 2.9 и 2.10 показано сложение и вычитание векторов на векторных диаграммах. Здесь сложение двух синусоид и
, представленных синусоидой
, выполнено в виде сложения вращающихся векторов на декартовой плоскости
. Аналогично выполняется вычитание векторов ЭДС
.
Изображение синусоидальных величин на комплексной плоскости осуществляется комплексными числами.
Данная формула связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями:
Перевод комплексных чисел из одной формы в другую можно производить по следующим формулам:
;
;
При сложении и вычитании комплексных чисел удобно пользоваться алгебраической формой записи:
При умножении, делении, возведении в степень удобно пользоваться показательной формой
Если комплексное число , то комплексное число
называется сопряженным комплексным числом.
Синусоидальное ЭДС можно представить комплексным числом:
1.4. Законы Ома и Кирхгофа
1.4. Законы Ома и Кирхгофа
Закон Ома для всей цепи выражает соотношение между электродвижущей силой (ЭДС), сопротивлением и током. Согласно этому закону ток в замкнутой цепи равен ЭДС источника деленной на сопротивление всей цепи:
, (1.19)
где I – ток, протекающий по цепи;
E – ЭДС, генератора, подключенного к электрической цепи;
Rг – сопротивление генератора;
Rц – сопротивление цепи.
Закон Ома для участка цепи. Ток на участке цепи прямо пропорционален напряжению между началом и концом участка и обратно пропорционален сопротивлению участка. Аналитически закон выражается в следующем виде:
, (1.20)
где I – ток, протекающий на участке цепи;
R – сопротивление участка цепи;
U – напряжение на участке цепи.
Обобщенный закон Ома. Сила тока в контуре цепи прямо пропорциональна алгебраической сумме ЭДС всех источников цепи и обратно пропорциональна арифметической сумме всех активных сопротивлений цепи.
, (1.21)
где m и n – количество источников и резисторов в контуре цепи.
При алгебраическом суммировании со знаком “плюс” берутся те ЭДС, направление которых совпадает с направлением тока, а со знаком “минус”– те ЭДС, направление которых не совпадает с направлением тока.
Первый закон Кирхгофа. Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвленные. На рис. 1.10 представлена простейшая разветвленная цепь.
Рис. 1.10 Схема разветвленной цепи.
Разветвленной называется такая электрическая цепь, в которой ток от какого-либо источника может идти по различным путям и, в которой, следовательно, имеются точки, где сходятся два и более проводников. Эти точки называютузлами. Токи, текущие к узлу считаются имеющими один знак, а от узла – другой.
Учитывая это правило для схемы, изображенной на рис. 1.11,а можно записать
или
.
Для цепи, имеющей n ветвей, сходящихся в одном узле, имеем:
, (1.22)
т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле, равна
Рис. 1.11 Схема поясняющая законы Кирхгофа.
Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.
Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между ЭДС, токами и сопротивлениями в любом замкнутом контуре, который можно выделить в рассматриваемой цепи.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС, действующих в любом контуре разветвленной электрической цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура
, (1.23)
Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 1.11,б. Обозначим стрелкой направление обхода контура. При составлении уравнений будем брать со знаком “плюс” те ЭДС и падения напряжений, направления которых совпадают с направлением обхода контура и со знаком “минус” те, которые направлены против обхода. Для цепи, изображенной на рис. 1.11,б второй закон Кирхгофа запишется в следующем виде:
.
Законы Ома и Кирхгофа в символической форме
В символической форме можно представить не только отдельные синусоидальные функции времени, но и уравнения, содержащие такие функций. Рассмотрим последовательную цепь с R, L, С. Мгновенные значения напряжения и тока для такой цепи связаны, на основании второго закона Кирхгофа, уравнением:
4.7
Пусть мгновенное значение тока в цепи определяется выражением
Полученным выражением соответствуют комплексные функции времени:
Напряжение на зажимах цепи является также синусоидальной функцией времени , которой соответствует комплексная функция
В соответствии с равенствам 4.5 мгновенные значения напряжений уравнения 4.7 представляют собой мнимые части соответствующих комплексных функций, взятые без множителя j:
+
+
В данном случае при равенстве мнимых частей будут равны и действительные части комплексов напряжений, а следовательно равны и комплексные числа
4.8
Разделим левую и правую части уравнения 4.8 на оператор вращения и на
, получим:
4.9
Сравнивая уравнения 4.7 и 4.9, можно сделать выводы:
а) для перехода от интегро-дифференциального уравнения к изображению в комплексной форме необходимо все мгновенные значения напряжений и токов заменить их комплексами; дифференцирование оригинала заменить умножением изображения на , а интегрирование оригинала—делением изображения на
б) интетро-дифференциальному (или тригонометрическому) уравнению для мгновенных значений соответствует алгебраическое уравнение для изображений.
Таким образом, применение символического метода приводит к алгебраизации интегро-дифференциальных и тригонометрических уравнений, что позволяет применять для расчета цепей синусоидального тока все соотношения и законы цепей постоянного тока.
4.10
Полученное выражение представляет закон Ома в символической форме.
Величина, стоящая в знаменателе, называется комплексом полного сопротивления Z.
Комплекс полного сопротивления (или комплексное сопротивление) представляет собой комплексное число, действительная часть которого равна активному, а мнимая часть—реактивному сопротивлениям цепи.
4.12
Модуль комплекса полного сопротивления равен полному сопротивлению цепи
4.13
В выражении для комплекса полного сопротивления цепи
знак плюс перед мнимой частью ставится при индуктивном характере сопротивления ( > 0 ) и знак минус—при емкостном характере сопротивления (
0), а знак плюс—при емкостном характере (
При изображении синусоидальных электрических величин в комплексной (символической) форме законы Кирхгофа имеют такой же вид, как и для цепей постоянного тока. Например, по первому закону Кирхгофа’ алгебраическая сумма комплексов токов, сходящихся в узле А (рис. 104), равна нулю, т.е. = 0 или в общем виде
4.17
По второму закону Кирхгофа для замкнутого контура электрической цепи алгебраическая сумма комплексов э.д.с. действующих в контуре, равна алгебраической сумме комплексов падений, напряжений на отдельных участках этого контура. Так, для контура abed по второму закону Кирхгофа уравнение имеет вид:
или
, где
В общем виде уравнение по второму закону Кирхгофа записывается следующим образом:
или
Пример 31. Определить ток в цепи если, активное сопротивление R = 80om,индуктивность L=90
мгн и конденсатор С = 35,5мкф, соединенные последовательно, включены в сеть с напряжением 220в и частотой 50гц.
Решение: Индуктивное сопротивление
Комплекс полного сопротивления цепи
Комплекс тока в цепи по закону Ома
(характер цепи—емкостный).
Решение. Индуктивное сопротивление
Комплекс полного сопротивления цепи
Полная комплексная проводимость катушки
Комплексная проводимость конденсатора
Полная комплексная проводимость всей цепи:
Ток в цепи (комплекс тока)
Характер сопротивления цепи активно-индуктивный, так как
Дата добавления: 2016-04-06 ; просмотров: 2811 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ