закон ома для однородного участка электрической цепи в интегральной и дифференциальной формах

Закон Ома в дифференциальной и интегральной форме

Закон Ома для участка цепи утверждает: сила тока I прямо пропорциональна напряжению U на участке цепи и обратно про­порциональна сопротивлению R

.

.

Отсюда , где — удельная проводимость проводника. Таким образом, выражение закона Ома в дифференциальной форме в векторном виде будет

j = γ E.

Плотность тока в проводнике прямо пропорциональна напряженно­сти электрического поля в нем.

Это есть выражение закона Ома в интегральной форме.

Источник

Закон Ома в интегральной и дифференциальной форме

Понятие сопротивление доходчиво

Электрическое сопротивление — это величина, которая определяет способность проводника пропускать электрический ток. Полезно также освежить знания про электрический ток

Представить это проще всего, исходя из строения металлов.

По классической теории металл состоит из кристаллической решетки, а между структурными элементами этой решетки путешествуют свободные электроны.

Внешнее электрическое поле заставляет их перемещаться и образуется электрический ток, т.е. направленное упорядоченное движение частиц.

Решетка металла мешает им двигаться по своему объему. Электроны трутся об её узлы и не могут протиснуться. Вот это явление и образует сопротивление. Это «сила», которая мешает перемещению.

Ситуация аналогично ситечку на раковине. Вода проходит, но медленнее, чем проходила бы без ситечка.

Аналогичная ситуация присутствует во всех материалах, правда род и тип частичек может меняться. Тип строения тоже разный. Но условно можно принять, что всегда структура мешает им двигаться что в дереве, что в металле.

В некоторых телах вообще таких частичек не будет, там сопротивление бесконечное (некоторые виды резин, например).

Ну и из сказанного очевидно, что сопротивление будет зависеть от геометрических параметров проводника (т.е. площадь сечения S, длина l) и типа проводника (который тут описывается понятием удельное сопротивление и является табличной величиной). Ещё оно зависит от температуры (чем выше тем больше для большинства тел), но это мы совсем от самого закона уходим… Для задачек на закон Ома знаний уже вполне достаточно.

Формулировка закона Ома

В результате множества экспериментов Ом вывел зависимость, которая определяет связь между силой тока в проводнике, напряжением и тем самым сопротивлением, которое мы описали выше.

Звучит закон так: Cила тока на участке электрической цепи прямо пропорциональна напряжению на концах участка и обратно пропорциональна его сопротивлению

Напряжение — это «поток», который эти частицы несет. Вот вроде бы всё и увязали.

Если рассматривать цепь, то сопротивление по элементам распределяется согласно их техническим характеристикам и вычисляется согласно закону Ома. Т.е. мы не можем утверждать, что на каждом элементе есть одинаковое сопротивление.

Например, если в цепи с последовательным подключением две лампочки, т омы помним что сила тока во всей цепи при таком соединении одинаковая, а вот напряжение на элементах разное. Замеряем его на точках подключения лампочек, записываем и запихиваем в закон Ома. Вот всё и посчитали :)…

Закон Ома для участка цепи

Когда закон ома записан в такой форме, как мы привели выше, то он называется закон ома для участка цепи.

Почему для участка цепи? Для участка, потому что тут не учитывается сопротивление всей цепи. Можно измерить сопротивление на каждом участке исходя из приведенных характеристик.

Закон Ома для полной цепи

Полной цепью (в отличие от участка цепи, применительно к которому мы излагали всё выше) называется цепь с учетом источника тока.

Именно потому, что если мы представим себе электрическую цепь условно как систему труб для воды, то участок цепи это будет незамкнутый кусок трубы, а полная цепь — зацикленная система.

Из примера может показаться, что участок цепи есть незамкнутая в электрическом смысле цепь. Нет, пример приведен не для этого. И там, и там электрическая цепь замкнута.

Просто нам нужно обозначить, что без учета источника тока и его внутреннего сопротивления (r) цепь не полная, а расчёт не всегда способен учитывать все значимые характеристики.

Ну а внутреннее сопротивление, как вы наверное догадались — это то сопротивление, которым обладает источник тока. Да, току в цепи сложно проходить и через сам источник! Даже сам источник провоцирует энергетические потери. А вот считать его аналогично расчёту для участка цепи нельзя.

Получается, что в закон Ома добавится ещё и внутренне сопротивление. И всё! Ничего страшного.

Формулировка закона Ома для полной цепи немного изменится. Теперь у нас слово напряжение заменится словом ЭДС (электродвижущая сила), а слово сопротивление заменится суммой внешнего сопротивления цепи и внутреннего сопротивления источника тока. Ну и формула будет такая:

Добавилось понятие электродвижущая сила (ЭДС), обозначенная в формуле E прописное. Что это за зверь?

ЭДС — это, по сути дела, и есть напряжение.

Разница в том, что если мы опять сравним напряжение с напором воды в водопроводе, то напряжением будет являться разница напора между двумя произвольными точками в водопроводе, а ЭДС — это напор на насосе, который качает воду.

При использовании термина ЭДС мы вспоминаем, что у источника есть внутреннее сопротивление, как оно есть и у насоса, который препятствует движению воды через самого себя. Если же мы считали бы именно напряжение источника, то мы бы приняли, что система идеальная и источник движению тока сам не препятствует.

Для ЭДС

Перед тем как рассмотреть закон Ома для полной (замкнутой) цепи приведу правило знаков для ЭДС, которое гласит:
Если внутри источника ЭДС ток идет от катода (-) к аноду (+) (направление напряженности поля сторонних сил совпадает с направлением тока в цепи, то ЭДС такого источника считается положительной. В противном случае – ЭДС считается отрицательной.

Практическим применением этого правила является возможность приведения нескольких источников ЭДС в цепи к одному с величиной E=E1+E2+…+En, естественно, с учетом знаков, определяемых по вышеприведенному правилу. Например (рис.3.3) E=E1+E2-E3. При отсутствии встречно включенного источника E3 (на практике так почти никогда не бывает) имеем широко распространенное последовательное включение элементов питания, при котором их напряжения суммируются.

Для переменного тока

Переменный ток отличается от постоянного тем, что он изменяется с определенными временными периодами. Конкретно он изменяет свое значение и направление. Чтобы применить закон Ома здесь нужно учитывать, что сопротивление в цепи с постоянным током может отличатся от сопротивления в цепи с током переменным. И отличается оно в том случае если в цепи применены компоненты с реактивным сопротивлением. Реактивное сопротивление может быть индуктивным (катушки, трансформаторы, дроссели) и емкостными (конденсатор).

Если мы схематически представим, как с течением времени меняются эти два значения, у нас получится синусоида. И напряжение, и сила тока от нуля поднимаются до максимального значения, затем, опускаясь, проходят через нулевое значение и достигают максимального отрицательного значения. После этого снова поднимаются через нуль до максимального значения и так далее. Когда говорится, что сила тока или напряжение имеет отрицательное значение, здесь имеется ввиду, что они движутся в обратном направлении.
Весь процесс происходит с определенной периодичностью. Та точка, где значение напряжения или силы тока из минимального значения поднимаясь к максимальному значению проходит через нуль называется фазой.

Для замкнутой цепи

На самом деле, это только предисловие. Вернемся к реактивному и активному сопротивлению. Отличие активного сопротивления от реактивного в том, что в цепи с активным сопротивлением фаза тока совпадает с фазой напряжения. То есть, и значение силы тока, и значение напряжения достигают максимума в одном направлении одновременно. В таком случае наша формула для расчета напряжения, сопротивления или силы тока не меняется.

Следствия закона Ома.

Если же цепь содержит реактивное сопротивление, фазы тока и напряжения сдвигаются друг от друга на ¼ периода. Это означает, что, когда сила тока достигнет максимального значения, напряжение будет равняться нулю и наоборот. Когда применяется индуктивное сопротивление, фаза напряжения «обгоняет» фазу тока. Когда применяется емкостное сопротивление, фаза тока «обгоняет» фазу напряжения.

Формула для расчета падения напряжения на индуктивном сопротивлении:

Где L – индуктивность реактивного сопротивления, а ω – угловая частота (производная по времени от фазы колебания).

Формула для расчета падения напряжения на емкостном сопротивлении:

С – емкость реактивного сопротивления.

Эти две формулы – частные случаи закона Ома для переменных цепей.

Полный же будет выглядеть следующем образом:

Здесь Z – полное сопротивление переменной цепи известное как импеданс.

Закон Ома в интегральной форме для неоднородного участка цепи

Проинтегрируем получившееся соотношение на конкретном участке цепи постоянного тока между поперечными сечениями S1 и S2:

интегральный закон Ома для участка цепи

Мнемоническая диаграмма для закона Ома

Схема, иллюстрирующая три составляющие закона Ома
Диаграмма, помогающая запомнить закон Ома. Нужно закрыть искомую величину, и два других символа дадут формулу для её вычисления
U — электрическое напряжение;
I — сила тока;
P — электрическая мощность;
R — электрическое сопротивление

В соответствии с этой диаграммой формально может быть записано выражение:

которое всего лишь позволяет вычислить (применительно к известному току, создающему на заданном участке цепи известное напряжение), сопротивление этого участка. Но математически корректное утверждение о том, что сопротивление проводника растёт прямо пропорционально приложенному к нему напряжению и обратно пропорционально пропускаемому через него току, физически ложно.

В специально оговорённых случаях сопротивление может зависеть от этих величин, но по умолчанию оно определяется лишь физическими и геометрическими параметрами проводника:

Трактовка и пределы применимости закона Ома

Закон Ома, в отличие от, например, закона Кулона, является не фундаментальным физическим законом, а лишь эмпирическим соотношением, хорошо описывающим наиболее часто встречаемые на практике типы проводников в приближении небольших частот, плотностей тока и напряжённостей электрического поля, но перестающим соблюдаться в ряде ситуаций.

В классическом приближении закон Ома можно вывести при помощи теории Друде:

Проводники и элементы, для которых соблюдается закон Ома, называются омическими.

Закон Ома может не соблюдаться:

Сфера применения

Закон Ома не является базовым законом в физике, это лишь удобная зависимость одних значений от других, которая подходит почти в любых ситуациях на практике. Поэтому проще будет перечислить ситуации, когда закон может не срабатывать:

Интересно почитать: инструкция как прозвонить транзистор.

Где и когда можно применять закон Ома?

Закон Ома в упомянутой форме справедлив в достаточно широких пределах для металлов. Он выполняется до тех пор, пока металл не начнет плавиться. Менее широкий диапазон применения у растворов (расплавов) электролитов и в сильно ионизированных газах (плазме).

Работая с электрическими схемами, иногда требуется определять падение напряжения на определенном элементе. Если это будет резистор с известной величиной сопротивления (она проставляется на корпусе), а также известен проходящий через него ток, узнать напряжение можно с помощью формулы Ома, не подключая вольтметр.

Источник

Закон Ома для однородного участка цепи в интегральной и дифференциальной формах.

Немецкий физик Г. Ом экспериментально установил, что сила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику (т. е. проводнику, в котором не действуют сторонние силы), пропорциональна напряжению U на концах проводника: I = U/R, где R — электрическое сопротивление проводника. Это уравнение выражает закон Ома для участка цепи (не содержащего источника тока): сила тока в проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротив­лению проводника. Формула позволяет установить единицу сопротивления — ом (Ом): 1 Ом — сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток 1 А. Величина

G = 1/R называется электрической проводимостью проводника. Единица проводимости — сименс (См): 1 См — проводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом.

Сопротивление проводников зависит от его размеров и формы, а также от матери­ала, из которого проводник изготовлен. Для однородного линейного проводника сопротивление R прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:

R = ρl/S, где r — коэффициент пропорциональности, характеризующий материал проводника и называемыйудельным электрическим сопротивлением. Единица удельного элект­рического сопротивления — ом×метр (Ом×м). Наименьшим удельным сопротивлением обладают серебро (1,6×10 –8 Ом×м) и медь (1,7×10 –8 Ом×м). На практике наряду с медными применяются алюминиевые провода.

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Подставив выражение для сопротивления в закон Ома, получим

I/S = U/ρl, где величина, обратная удельному сопротивлению, γ = 1/ρ называетсяудельной электрической проводимостью вещества проводника. Ее едини­ца — сименс на метр (См/м). Учитывая, что U/l = Е — напряженность электрического поля в проводнике, I/S = j — плотность тока, формулу можно записать в виде

j= γE. Так как в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движутся в направле­нии вектора Е, то направления j и Е совпадают.

Последняя формула — закон Ома в дифференциальном форме, связывающий плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля в этой же точке. Это соотношение справедливо и для переменных полей.

Опыт показывает, что в первом приближении изменение удельного сопротивления, а значит и сопротивления, с температурой описывается линейным законом:

где Т — термодинамическая температура.

Впоследствии было обнаружено, что сопротивление многих металлов (например, Al, Pb, Zn и др.) и их сплавов при очень низких температурах T_K (0,14—20 К), называемыхкритическими, характерных для каждого вещества, скачко­образно уменьшается до нуля, т. е. металл становится абсолютным провод­ником. Явление сверхпроводимости объясняется на основе квантовой теории. Практическое использование сверхпроводящих материалов (в об­мотках сверхпроводящих магнитов, в системах памяти ЭВМ и др.) затруднено из-за их низких критических температур. В настоящее время обнаружены и активно исследуют­ся керамические материалы, обладающие сверхпроводимостью при температуре выше 100 К.

Источник

3.2.2. Закон Ома в интегральной и дифференциальной форме

Пусть по проводнику длиной l и сечением S течет ток I. В проводнике создается электрическое поле напряженности E, а ₁ и ₂ – потенциалы на концах проводника. В случае однородного проводника величину ₁ — ₂ = U можно назвать падением напряжения на участке проводника.

Закон Ома: сила тока, текущего по однородному участку проводника, прямо пропорциональна падению напряжения на проводнике:

— закон Ома в интегральной форме

где R – электрическое сопротивление проводника.

Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течет ток 1А.

Сопротивление зависит от геометрических размеров и формы проводников, материала и температуры проводников. Для цилиндрического проводника

Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью.

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью:

Учитывая выше написанные уравнения, а также , получим:

– закон Ома в дифференциальной форме.

3.2.3. Сторонние силы. Закон Ома для цепи, содержащей эдс

Для возникновения и существования электрического тока необходимо:

наличие свободных носителей тока – заряженных частиц, способных перемещаться упорядоченно;

наличие электрического поля, энергия которого должна каким-то образом восполняться.

Соединим проводником два тела с зарядами +q и –q. Кулоновские силы заставляют электроны перемещаться по проводнику. Возникнет ток. Однако тела при этом будут разряжаться, разность потенциалов уменьшится, ток быстро прекратится.

Т.е. если в цепи действуют только силы электростатического поля, то происходит перемещение носителей таким образом, что потенциалы всех точек цепи выравниваются и электростатическое поле исчезает.

Следовательно, поле кулоновских сил не может являться причиной постоянного электрического тока.

Ток в проводнике нейтрализует заряды на его концах. Для поддержания постоянного тока необходимо поддерживать постоянную разность потенциалов, следовательно, разделять заряды. Электрические силы разделять заряды не могут.

Силы, разделяющие заряды, имеют неэлектрическую природу и называются сторонними силами.

Устройство, в котором действуют сторонние силы, называется источником тока.

Сторонние силы заставляют заряды двигаться внутри источника тока против сил поля. Благодаря этому в цепи поддерживается постоянная разность потенциалов.

Перемещая заряды, сторонние силы совершают работу за счет энергии, затраченной в источнике тока. Например, в электрофорной машине разделение зарядов происходит за счет механической работы, в гальваническом элементе – за счет энергии химических реакций и т.д.

Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС).

Обозначим — вектор напряженности поля сторонних сил.

Результирующее поле, действующее на заряды в проводнике, в общем случае

Плотность тока в цепи

.

– закон Ома в дифференциальной форме для цепи, содержащей ЭДС.

Рассмотрим участок AB замкнутой цепи, содержащей ЭДС (рис.3.18). Выделим мысленно малый элемент dl.

Плотность тока на этом участке опишется уравнением . Умножим скалярно обе части этого равенства наи проинтегрируем по участкуAB:

Рассмотрим каждый интеграл в отдельности:

Разность потенциалов численно равна работе кулоновских сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B;

ЭДС, действующая на участке цепи, численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B;

С учетом выше сказанного можно получить:

— закон Ома для участка цепи с ЭДС.

если на данном участке цепи источник тока отсутствует, то получаем закон Ома для однородного участка цепи:

если цепь замкнута (=0), то получим закон Ома для замкнутой цепи:

если цепь разомкнута, то I = 0 и ₁₂ = ₂ — ₁, т.е. ЭДС, действующая в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на ее концах.

В случае короткого замыкания сопротивление внешней цепи R_внеш = 0 и сила тока в этом случае ограничивается только величиной внутреннего сопротивления источника тока.

Падение напряжения на участке AB численно равно работе кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B.

Источник