законы кирхгофа в матричной форме
Законы Кирхгофа в матричной форме
Законы Кирхгофа в матричной форме
Для записи законов Кирхгофа в матричной форме необходимо составить топологические матрицы схемы.
Например, для схемы и графа по рис. 1.14 с У= 4 узлами и В = 6 ветвями для первых трех узлов
что соответствует первым трем уравнениям ( 1.21а).
— это первый закон Кирхгофа в матричной форме. Для схемы и графа по рис. 1.14
и после выполнения умножения матриц получаем первые три уравнения (1.21а).
Под матрицей соединений иногда понимают матрицу А, записанную для всех узлов схемы.
Например, для графа рис. 1.14, д при показанных трех главных сечениях
Дополнительно по теме
В матричной форме первый закон Кирхгофа можно записать и с матрицей сечений
После умножения матрицы Q на матрицу-столбец токов I получаются первое и третье (с обратным знаком) уравнения (1.21а) и уравнение (1.216), т. е. независимая система уравнений по первому закону Кирхгофа.
Матрица В, составленная для главных контуров, приводит непосредственно к независимой системе уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для графа рис. 1.14, д с контурами, состоящими из ветвей 2-4-3 (а), 5-6-4 (б) и 1-6-3 (в) матрица главных контуров при их обходе по направлению движения часовой стрелки
Умножив матрицу В на матрицу-столбец напряжений ветвей, получим матричное уравнение по второму закону Кирхгофа в формулировке (1.20а)
так как каждая строка матрицы В определяет, какие ветви входят в соответствующий контур и с какими знаками должны быть записаны напряжения ветвей.
Для схемы по рис. 1.14, а и ее графа по рис. 1.14, в после умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей
получим систему трех независимых уравнений вида (1.20а):
Эта система с учетом равенства 
и соотношений (1.22а) совпадает с ранее полученной системой (1.23), (1.246), (1.24а), т. е. с системой вида (1.206).
Для любой планарной схемы, т. е. схемы, которую можно изобразить на листе без пересекающихся ветвей и проводов, в качестве независимых контуров можно выбирать элементарные контуры-ячейки. Например, для схемы рис. 1.14, а это ячейки I, II, III. Если выбрать направление обхода каждой ячейки по направлению движения стрелки часов, то
После умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей U получим другую независимую систему уравнений по второму закону Кирхгофа в форме (1.20 а):
которая после подстановки соотношений (1.22а) приводится к виду (1.206).
Если схема цепи кроме источников ЭДС, как на рис. 1.14, а (и далее рис. 1.20-1.22), содержит и источники тока, то для записи матричных уравнений (1.27) можно рекомендовать преобразование источников тока в источники ЭДС (см. рис. 1.23) или введение понятия обобщенной ветви (см. рис. 1.25).
Смотри ещё по теме Электрические цепи постоянного тока
Основные законы и методы расчета электрических цепей постоянного тока
Основные свойства электрических цепей постоянного тока
Законы кирхгофа в матричной форме
Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.
Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.
Подставив (2) в (1), получим:
 . | (3) |
Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).
Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства
где Z – диагональная квадратная (размерностью матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.
Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.
Если обе части равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В и учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому
 , | (5) |
 , | (6) |
то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.
Метод контурных токов в матричной форме
В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j –го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j –й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения
С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:
 | (9) |
Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить
то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:
В развернутой форме (12) можно записать, как:
 , | (13) |
то есть получили известный из метода контурных токов результат.
Рассмотрим пример составления контурных уравнений.
Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла ( m =4) и шесть обобщенных ветвей ( n =6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,
Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.
Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:
B
Диагональная матрица сопротивлений ветвей
Z
Матрица контурных сопротивлений
Zk=BZB T 
Матрицы ЭДС и токов источников
 |  |
 |  |
Тогда матрица контурных ЭДС
Матрица контурных токов
Таким образом, окончательно получаем:
Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.
Метод узловых потенциалов в матричной форме
На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:
Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому
Выражение (16) перепишем, как:
Тогда получаем матричное уравнение вида:
Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить
то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:
 | (22) |
В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:
 | (23) |
то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.
Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.
А 
Диагональная матрица проводимостей ветвей:
Y
Матрица узловых проводимостей
Матрицы токов и ЭДС источников
 |  |
 |  |
Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:
Таким образом, окончательно получаем:
Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.
Контрольные вопросы и задачи
Трансформаторные подстанции высочайшего качества
с нами приходит энергия
develop@websor.ru
Законы Кирхгофа в матричной форме
В матричной форме первый закон Кирхгофа можно записать и с матрицей сечений
Умножив матрицу В на матрицу-столбец напряжений ветвей, получим матричное уравнение по второму закону Кирхгофа в формулировке (1.20а)
так как каждая строка матрицы В определяет, какие ветви входят в соответствующий контур и с какими знаками должны быть записаны напряжения ветвей.
Для схемы по рис. 1.14, а и ее графа по рис. 1.14, в после умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей
получим систему трех независимых уравнений вида (1.20а):
После умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей U получим другую независимую систему уравнений по второму закону Кирхгофа в форме (1.20 а):
которая после подстановки соотношений (1.22а) приводится к виду (1.206).
Если схема цепи кроме источников ЭДС, как на рис. 1.14, а (и далее рис. 1.20-1.22), содержит и источники тока, то для записи матричных уравнений (1.27) можно рекомендовать преобразование источников тока в источники ЭДС (см. рис. 1.23) или введение понятия обобщенной ветви (см. рис. 1.25).
1.6. Первый закон Кирхгофа в матричной форме
Для получения формальной записи первого закона Кирхгофа воспользуемся матрицей инценденций (соединений). Составим эту матрицу.
Сформулируем правила заполнения этой матрицы. В месте пересечения строки и столбца ставится +1, если ветвь принадлежит узлу, и ток входит в узел. Если ток выходит из узла, то ставится –1. Если ветвь не принадлежит узлу, то ставится 0.
Как следует из законов Кирхгофа, четвертая строка матрицы А новой информации не несет, поэтому ее можно исключить.
В результате получим редуцированную матрицу А r (с вычеркнутой строкой):
Введем матрицу-столбец токов ветвей (разрядность равна количеству ветвей):
Если ввести нуль-матрицу размером, равным числу узлов без одного:
,
то первый закон Кирхгофа может быть записан в матричной форме:
,
или в раскрытом виде:
.
После выполнения действий с матрицами (1.4) получим уравнения, которые соответствуют классическому представлению первого закона Кирхгофа:
Откуда видно, что формула (1.4) составлена правильно.
Матрица Кирхгофа
Содержание
Пример матрицы Кирхгофа [ править ]
Некоторые свойства [ править ]
[math] \det K = \begin
Прибавим к первой строке все остальные строки (это не изменит значение определителя):
[math]\begin
[math]\det K = \begin Прибавим к первой строке все остальные строки (это не изменит значение определителя): [math]\begin [math]- \lambda \begin Следовательно, [math]0[/math] является собственным значением.[math]\triangleleft[/math] Утверждение: