законы кирхгофа в матричной форме

Законы Кирхгофа в матричной форме

Законы Кирхгофа в матричной форме

Для записи законов Кирхгофа в матричной форме необходимо составить топологические матрицы схемы.

Например, для схемы и графа по рис. 1.14 с У= 4 узлами и В = 6 ветвями для первых трех узлов

законы кирхгофа в матричной форме

что соответствует первым трем уравнениям ( 1.21а).

— это первый закон Кирхгофа в матричной форме. Для схемы и графа по рис. 1.14

законы кирхгофа в матричной форме

и после выполнения умножения матриц получаем первые три уравнения (1.21а).

Под матрицей соединений иногда понимают матрицу А, записанную для всех узлов схемы.

Например, для графа рис. 1.14, д при показанных трех главных сечениях

законы кирхгофа в матричной форме

Дополнительно по теме

В матричной форме первый закон Кирхгофа можно записать и с матрицей сечений

После умножения матрицы Q на матрицу-столбец токов I получаются первое и третье (с обратным знаком) уравнения (1.21а) и уравнение (1.216), т. е. независимая система уравнений по первому закону Кирхгофа.

Матрица В, составленная для главных контуров, приводит непосредственно к независимой системе уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для графа рис. 1.14, д с контурами, состоящими из ветвей 2-4-3 (а), 5-6-4 (б) и 1-6-3 (в) матрица главных контуров при их обходе по направлению движения часовой стрелки

законы кирхгофа в матричной форме

Умножив матрицу В на матрицу-столбец напряжений ветвей, получим матричное уравнение по второму закону Кирхгофа в формулировке (1.20а)

так как каждая строка матрицы В определяет, какие ветви входят в соответствующий контур и с какими знаками должны быть записаны напряжения ветвей.

Для схемы по рис. 1.14, а и ее графа по рис. 1.14, в после умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей

законы кирхгофа в матричной форме

получим систему трех независимых уравнений вида (1.20а):

законы кирхгофа в матричной форме

Эта система с учетом равенства законы кирхгофа в матричной формеи соотношений (1.22а) совпадает с ранее полученной системой (1.23), (1.246), (1.24а), т. е. с системой вида (1.206).

Для любой планарной схемы, т. е. схемы, которую можно изобразить на листе без пересекающихся ветвей и проводов, в качестве независимых контуров можно выбирать элементарные контуры-ячейки. Например, для схемы рис. 1.14, а это ячейки I, II, III. Если выбрать направление обхода каждой ячейки по направлению движения стрелки часов, то

законы кирхгофа в матричной форме

После умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей U получим другую независимую систему уравнений по второму закону Кирхгофа в форме (1.20 а):

законы кирхгофа в матричной форме

которая после подстановки соотношений (1.22а) приводится к виду (1.206).

Если схема цепи кроме источников ЭДС, как на рис. 1.14, а (и далее рис. 1.20-1.22), содержит и источники тока, то для записи матричных уравнений (1.27) можно рекомендовать преобразование источников тока в источники ЭДС (см. рис. 1.23) или введение понятия обобщенной ветви (см. рис. 1.25).

Смотри ещё по теме Электрические цепи постоянного тока

Основные законы и методы расчета электрических цепей постоянного тока

Основные свойства электрических цепей постоянного тока

Источник

Законы кирхгофа в матричной форме

Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.

законы кирхгофа в матричной форме

Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Подставив (2) в (1), получим:

законы кирхгофа в матричной форме.(3)

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства

законы кирхгофа в матричной форме

где Z – диагональная квадратная (размерностью матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если обе части равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В и учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому

законы кирхгофа в матричной форме ,(5)
законы кирхгофа в матричной форме ,(6)

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j –го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j –й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

законы кирхгофа в матричной форме (9)

Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

В развернутой форме (12) можно записать, как:

законы кирхгофа в матричной форме,(13)

законы кирхгофа в матричной форме

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла ( m =4) и шесть обобщенных ветвей ( n =6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

законы кирхгофа в матричной форме

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

Bзаконы кирхгофа в матричной форме

Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Zзаконы кирхгофа в матричной форме

Матрица контурных сопротивлений

Zk=BZB T законы кирхгофа в матричной форме

законы кирхгофа в матричной форме

Матрицы ЭДС и токов источников

законы кирхгофа в матричной формезаконы кирхгофа в матричной форме
законы кирхгофа в матричной форме законы кирхгофа в матричной форме

Тогда матрица контурных ЭДС

законы кирхгофа в матричной формезаконы кирхгофа в матричной форме

Матрица контурных токов

Таким образом, окончательно получаем:

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

Выражение (16) перепишем, как:

Тогда получаем матричное уравнение вида:

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

законы кирхгофа в матричной форме(22)

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

законы кирхгофа в матричной форме(23)

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

законы кирхгофа в матричной форме

законы кирхгофа в матричной форме

А законы кирхгофа в матричной форме

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Yзаконы кирхгофа в матричной форме

Матрица узловых проводимостей

законы кирхгофа в матричной формезаконы кирхгофа в матричной форме

Матрицы токов и ЭДС источников

законы кирхгофа в матричной формезаконы кирхгофа в матричной форме
законы кирхгофа в матричной формезаконы кирхгофа в матричной форме

Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

законы кирхгофа в матричной формезаконы кирхгофа в матричной форме

Таким образом, окончательно получаем:

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.

Контрольные вопросы и задачи

законы кирхгофа в матричной форме

Источник

Трансформаторные подстанции высочайшего качества

с нами приходит энергия

develop@websor.ru

Законы Кирхгофа в матричной форме

законы кирхгофа в матричной форме

В матричной форме первый закон Кирхгофа можно записать и с матрицей сечений

законы кирхгофа в матричной форме

Умножив матрицу В на матрицу-столбец напряжений ветвей, получим матричное уравнение по второму закону Кирхгофа в формулировке (1.20а)

так как каждая строка матрицы В определяет, какие ветви входят в соответствующий контур и с какими знаками должны быть записаны напряжения ветвей.
Для схемы по рис. 1.14, а и ее графа по рис. 1.14, в после умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей

законы кирхгофа в матричной форме

получим систему трех независимых уравнений вида (1.20а):

законы кирхгофа в матричной форме

После умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей U получим другую независимую систему уравнений по второму закону Кирхгофа в форме (1.20 а):

законы кирхгофа в матричной форме

которая после подстановки соотношений (1.22а) приводится к виду (1.206).
Если схема цепи кроме источников ЭДС, как на рис. 1.14, а (и далее рис. 1.20-1.22), содержит и источники тока, то для записи матричных уравнений (1.27) можно рекомендовать преобразование источников тока в источники ЭДС (см. рис. 1.23) или введение понятия обобщенной ветви (см. рис. 1.25).

Источник

1.6. Первый закон Кирхгофа в матричной форме

Для получения формальной записи первого закона Кирхгофа воспользуемся матрицей инценденций (соединений). Составим эту матрицу.

законы кирхгофа в матричной форме

Сформулируем правила заполнения этой матрицы. В месте пересечения строки и столбца ставится +1, если ветвь принадлежит узлу, и ток входит в узел. Если ток выходит из узла, то ставится –1. Если ветвь не принадлежит узлу, то ставится 0.

Как следует из законов Кирхгофа, четвертая строка матрицы А новой информации не несет, поэтому ее можно исключить.

В результате получим редуцированную матрицу А r (с вычеркнутой строкой):

Введем матрицу-столбец токов ветвей (разрядность равна количеству ветвей):

законы кирхгофа в матричной форме

Если ввести нуль-матрицу размером, равным числу узлов без одного:законы кирхгофа в матричной форме,

то первый закон Кирхгофа может быть записан в матричной форме:

законы кирхгофа в матричной форме,

или в раскрытом виде:

законы кирхгофа в матричной форме.

После выполнения действий с матрицами (1.4) получим уравнения, которые соответствуют классическому представлению первого закона Кирхгофа:

законы кирхгофа в матричной форме

Откуда видно, что формула (1.4) составлена правильно.

Источник

Матрица Кирхгофа

Содержание

Пример матрицы Кирхгофа [ править ]

Некоторые свойства [ править ]

[math] \det K = \begin k_ <1, 1>& k_ <1, 2>& \cdots & k_ <1, |V|>\\ k_ <2, 1>& k_ <2, 2>& \cdots & k_ <2, |V|>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_ <|V|, 1>& k_ <|V|, 2>& \cdots & k_ <|V|, |V|>\end [/math]

Прибавим к первой строке все остальные строки (это не изменит значение определителя):

[math]\begin k_ <1, 1>+ k_ <2, 1>+ \cdots + k_ <|V|, 1>& k_ <1, 2>+ k_ <2, 2>+ \cdots + k_ <|V|, 2>& \cdots & k_ <1, |V|>+ k_ <2, |V|>+ \cdots + k_ <|V|, |V|>\\ k_ <2, 1>& k_ <2, 2>& \cdots & k_ <2, |V|>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_ <|V|, 1>& k_ <|V|, 2>& \cdots & k_ <|V|, |V|>\end [/math]

[math]\det K = \begin 0 & 0 & \cdots & 0 \\ k_ <2, 1>& k_ <2, 2>& \cdots & k_ <2, |V|>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_ <|V|, 1>& k_ <|V|, 2>& \cdots & k_ <|V|, |V|>\end = 0 [/math][math]\triangleleft[/math]

Прибавим к первой строке все остальные строки (это не изменит значение определителя):

[math]\begin k_ <1, 1>+ k_ <2, 1>+ \cdots + k_ <|V|, 1>— \lambda & k_ <1, 2>+ k_ <2, 2>+ \cdots + k_ <|V|, 2>— \lambda & \cdots & k_ <1, |V|>+ k_ <2, |V|>+ \cdots + k_ <|V|, |V|>— \lambda \\ k_ <2, 1>& k_ <2, 2>— \lambda & \cdots & k_ <2, |V|>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_ <|V|, 1>& k_ <|V|, 2>& \cdots & k_ <|V|, |V|>— \lambda \end [/math]

[math]- \lambda \begin 1 & 1 & \cdots & 1 \\ k_ <2, 1>& k_ <2, 2>— \lambda & \cdots & k_ <2, |V|>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_ <|V|, 1>& k_ <|V|, 2>& \cdots & k_ <|V|, |V|>— \lambda \end= 0. [/math]

Следовательно, [math]0[/math] является собственным значением.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Утверждение: