записать квадратичную форму в матричном виде

Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра

Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась 🙂

Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную. Линейной формой записать квадратичную форму в матричном видепеременных называют однородный многочлен 1-й степени:

записать квадратичную форму в матричном виде, где:

записать квадратичную форму в матричном виде– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля), а записать квадратичную форму в матричном виде– переменные, которые могут принимать произвольные значения.

* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа.

С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений, и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы записать квадратичную форму в матричном виде.

Например: записать квадратичную форму в матричном виде– линейная форма двух переменных

Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой записать квадратичную форму в матричном видепеременных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных записать квадратичную форму в матричном видеимеет следующий вид:

записать квадратичную форму в матричном виде

Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
записать квадратичную форму в матричном виде– в этом слагаемом находится произведение записать квадратичную форму в матричном видеи записать квадратичную форму в матричном виде(квадрат);
записать квадратичную форму в матричном виде– здесь произведение записать квадратичную форму в матричном виде;
записать квадратичную форму в матричном виде– и здесь произведение записать квадратичную форму в матричном виде.

Далее будем полагать, что хотя бы одна из констант не равна нулю, и вот, пожалуйста, «неполный» пример: записать квадратичную форму в матричном виде, в котором:

записать квадратичную форму в матричном виде– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому: записать квадратичную форму в матричном виде

Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе записать квадратичную форму в матричном виде, но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы записать квадратичную форму в матричном виденам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.

И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:

записать квадратичную форму в матричном виде

…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.

Далее ситуация начинает усугубляться:

записать квадратичную форму в матричном виде

и усугублять мы её дальше не будем, т.к. формы с бОльшим количеством переменных встречаются довольно редко.

Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:

записать квадратичную форму в матричном виде
– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!

Квадратичная форма содержит записать квадратичную форму в матричном видеслагаемых с квадратами переменных и записать квадратичную форму в матричном видеслагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний). Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).

Матричная запись квадратичной формы

Как на счёт матриц? 🙂 Знаю, знаю, соскучились. В практических задачах широко распространенная матричная запись квадратичных форм. Объяснения опять начну с формы линейной, например, от трёх переменных: записать квадратичную форму в матричном виде. Её можно записать, как произведение двух матриц:

записать квадратичную форму в матричном виде

И действительно, выполняя матричное умножение, получаем матрицу «один на один»: записать квадратичную форму в матричном виде, единственный элемент которой можно эквивалентно записать вне матрицы: записать квадратичную форму в матричном виде.

Легко понять, что линейная форма «эн» переменных записывается в виде:
записать квадратичную форму в матричном виде

Квадратичная форма представима в виде произведения уже трёх матриц:

записать квадратичную форму в матричном виде, где:

записать квадратичную форму в матричном виде– столбец переменных;

записать квадратичную форму в матричном виде– его транспонированная строка;

записать квадратичную форму в матричном видематрица квадратичной формы.

Это так называемая симметрическая матрица, на главной диагонали которой расположены коэффициенты записать квадратичную форму в матричном видепри квадратах неизвестных, а симметрично относительно неё – «смешанные» коэффициенты, причём, строго на «своих местах» (например, записать квадратичную форму в матричном виде– в 1-й строке, 3-м столбце и 1-м столбце, 3-й строке).

Определитель записать квадратичную форму в матричном виденазывают дискриминантом квадратичной формы, а ранг матрицы записать квадратичную форму в матричном видерангом квадратичной формы.

Если перемножить три матрицы записать квадратичную форму в матричном виде, то получится в точности длинная «простыня» из предыдущего параграфа, но разворачивать её мы, конечно, не будем, а посмотрим, как это происходит в элементарном случае записать квадратичную форму в матричном виде. Согласно общей формуле, матричная запись данной формы имеет следующий вид:

записать квадратичную форму в матричном виде

И в самом деле:
записать квадратичную форму в матричном виде
далее:
записать квадратичную форму в матричном виде
записать квадратичную форму в матричном виде, в чём и требовалось убедиться.

Как вариант, сначала можно было перемножить правые матрицы, и затем первую матрицу умножить на полученный результат.

Вам понравилось так же, как и мне? Ну тогда пример для самостоятельного решения =)

Записать квадратичную форму в матричном виде и выполнить проверку. Определить дискриминант и ранг формы.

записать квадратичную форму в матричном виде

…что-то смущает? 😉 Краткое решение и ответ в конце урока! Статьи об определителе и ранге матрицы – в помощь.

После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных:

Записать матрицу квадратичной формы, найти её ранг и дискриминант

записать квадратичную форму в матричном виде

Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем ориентироваться на сами члены:

– слагаемое записать квадратичную форму в матричном видедважды содержит 1-ю переменную, поэтому записать квадратичную форму в матричном виде;

– из аналогичных соображений определяем записать квадратичную форму в матричном видеи сразу записываем результаты на главную диагональ симметрической матрицы: записать квадратичную форму в матричном виде.

Так как в слагаемое записать квадратичную форму в матричном видевходят 1-я и 2-я переменная, то записать квадратичную форму в матричном виде(не забываем поделить на 2) и данный коэффициент занимает свои законные места: записать квадратичную форму в матричном виде.

Поскольку в форме отсутствует член с произведением записать квадратичную форму в матричном виде(а точнее, присутствует с нулевым множителем: записать квадратичную форму в матричном виде), то записать квадратичную форму в матричном виде, и на холст отправляются два нуля: записать квадратичную форму в матричном виде.

И, наконец, из слагаемого записать квадратичную форму в матричном видеопределяем записать квадратичную форму в матричном виде, после чего картина завершена:
записать квадратичную форму в матричном виде– матрица квадратичной формы. Вот так-то оно бывает – мы не только не испугались «страшных обозначений» записать квадратичную форму в матричном виде, но и заставили их работать на себя!

По условию не требовалось записывать матричное уравнение, однако науки ради:
записать квадратичную форму в матричном виде

Желающие могут перемножить три матрицы, в результате чего должна получиться исходная квадратичная форма.

Теперь определим ранг формы. Он равен рангу матрицы записать квадратичную форму в матричном виде. Так как в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, например, записать квадратичную форму в матричном виде, то ранг не меньше единицы. Теперь вычислим минор записать квадратичную форму в матричном виде, значит, ранг не меньше двух. И осталось проверить минор 3-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Здесь я ко второму столбцу прибавлю третий и раскрою определитель по 3-й строке:
записать квадратичную форму в матричном виде, значит, записать квадратичную форму в матричном виде

Если не очень понятно, что к чему, обязательно изучите статью о ранге матрицы – это довольно замысловатая задачка, и перед нами оказался лишь простой случай, когда угловые миноры не равны нулю.

Дискриминант квадратичной формы получен автоматом.

Ответ: записать квадратичную форму в матричном виде, ранг равен трём, дискриминант записать квадратичную форму в матричном виде

Следующее задание для самостоятельного решения:

Восстановить квадратичную форму по её матрице
записать квадратичную форму в матричном виде

При этом не нужно вспоминать никаких формул! Решение почти устное:

– сначала смотрим на главную диагональ и записываем слагаемые с квадратами переменных;

– затем анализируем симметричные элементы 1-й строки (или 1-го столбца), и записываем все слагаемые, в которые входит 1-я переменная (не забывая удвоить коэффициенты);

– далее смотрим на оставшиеся симметричные элементы 2-й строки (справа от диагонали) либо 2-го столбца (ниже диагонали) и записываем соответствующие парные произведения (с удвоенными коэффициентами!).

– и, наконец, анализируем правую нижнюю пару симметричных чисел.

Подробное решение и ответ в конце урока.

Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра

До сих пор мы рассматривали «внешнее устройство» форм и пришло время изучить их функциональное назначение. Да, по существу, они работают, как функции. Вернёмся к простенькой линейной форме записать квадратичную форму в матричном виде.

Как отмечалось в начале урока, переменные записать квадратичную форму в матричном видемогут принимать произвольные действительные значения (мы ограничились ими), и каждой такой паре соответствует определённое значение записать квадратичную форму в матричном виде, например:

записать квадратичную форму в матричном виде
записать квадратичную форму в матричном виде, и так далее.

Говоря языком науки, перед нами скалярная функция векторного аргумента, в которой каждому вектору записать квадратичную форму в матричном видеставится в соответствие определённое число записать квадратичную форму в матричном виде. Обращаю ваше внимание, что сейчас идёт речь не о геометрическом векторе, а о векторе в его алгебраическом понимании.

В зависимости от значений записать квадратичную форму в матричном видерассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы записать квадратичную форму в матричном виде– если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений записать квадратичную форму в матричном виде).

Такая форма называется знакопеременной. И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:

записать квадратичную форму в матричном виде

Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной.

записать квадратичную форму в матричном виде– всегда, если только записать квадратичную форму в матричном видеодновременно не равны нулю.

записать квадратичную форму в матричном виде– для любого вектора записать квадратичную форму в матричном виде, кроме нулевого записать квадратичную форму в матричном виде.

И вообще, если для любого ненулевого вектора записать квадратичную форму в матричном виде, записать квадратичную форму в матричном виде, то квадратичную форму называют положительно определённой; если же записать квадратичную форму в матричном виде– то отрицательно определённой.

Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения записать квадратичную форму в матричном виде, при которых она меньше нуля?

На этот счёт существует теорема: если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны*, то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.

* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны

Запишем матрицу вышеприведённой формы:
записать квадратичную форму в матричном видеи из уравнения записать квадратичную форму в матричном виденайдём её собственные значения:

записать квадратичную форму в матричном виде

Решаем старое доброе квадратное уравнение:
записать квадратичную форму в матричном виде
записать квадратичную форму в матричном виде, значит, форма записать квадратичную форму в матричном видеопределена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях записать квадратичную форму в матричном видеона больше нуля.

Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.

Как быть? Существует более простой путь!

Критерий Сильвестра

Нет, не Сильвестра Сталлоне 🙂 Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители записать квадратичную форму в матричном видекоторые «разрастаются» из её левого верхнего угла:
записать квадратичную форму в матричном виде
и последний из них в точности равен определителю матрицы.

Теперь, собственно, критерий:

1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: записать квадратичную форму в матричном виде.

2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: записать квадратичную форму в матричном виде, записать квадратичную форму в матричном виде, если записать квадратичную форму в матричном виде– чётное или записать квадратичную форму в матричном виде, если записать квадратичную форму в матричном виде– нечётное.

Если в 1-й или 2-й последовательности есть нулевые миноры, то это два особых случая, которые я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры. При любой другой комбинации плюсов-минусов (и опционально нулей) форма знакопеременна.

Проанализируем угловые миноры матрицы записать квадратичную форму в матричном виде:

записать квадратичную форму в матричном виде, и это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно (отпал пункт 2).

записать квадратичную форму в матричном виде

Вывод: все угловые миноры больше нуля, значит, форма записать квадратичную форму в матричном видеопределена положительно.

Есть разница с методом собственных чисел? 😉

Запишем матрицу формы записать квадратичную форму в матричном видеиз Примера 1:
записать квадратичную форму в матричном виде

первый её угловой минор записать квадратичную форму в матричном виде, а второй записать квадратичную форму в матричном виде, откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений записать квадратичную форму в матричном виде, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.

Возьмём форму записать квадратичную форму в матричном видеи её матрицу из Примера 2:
записать квадратичную форму в матричном виде

тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
записать квадратичную форму в матричном виде, следовательно, форма точно не отрицательна.

записать квадратичную форму в матричном виде, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными).

Вывод: форма знакопеременна.

Разминочные примеры для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность

а) записать квадратичную форму в матричном виде

б) записать квадратичную форму в матричном виде

В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно.

Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора записать квадратичную форму в матричном виде, то форма определена неотрицательно, если записать квадратичную форму в матричном виде– то неположительно. У этих форм существуют ненулевые векторы записать квадратичную форму в матричном виде, при которых записать квадратичную форму в матричном виде.

Здесь можно привести такой «баян»:
записать квадратичную форму в матричном виде

Выделяя полный квадрат, сразу видим неотрицательность формы: записать квадратичную форму в матричном виде, причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: записать квадратичную форму в матричном виде.

«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:
записать квадратичную форму в матричном виде
и ещё более тривиальный пример:
записать квадратичную форму в матричном виде– здесь форма равна нулю при любом векторе записать квадратичную форму в матричном виде, где записать квадратичную форму в матричном виде– произвольное число.

Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?

Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы записать квадратичную форму в матричном видесуществуют два главных минора 1-го порядка:
записать квадратичную форму в матричном виде(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
записать квадратичную форму в матричном виде(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),

и один главный минор 2-го порядка:
записать квадратичную форму в матричном виде– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.

У матрицы «три на три» записать квадратичную форму в матричном видеглавных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
записать квадратичную форму в матричном виде– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
записать квадратичную форму в матричном виде– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
записать квадратичную форму в матричном виде– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
записать квадратичную форму в матричном виде– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
записать квадратичную форму в матричном виде– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы записать квадратичную форму в матричном виде.
Сверяемся в конце урока и продолжаем.

Критерий Шварценеггера:

1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).

* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.

2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей записать квадратичную форму в матричном видеопределена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошлО чередование);

– главный минор записать квадратичную форму в матричном виде-го порядка неположителен, если записать квадратичную форму в матричном виде– нечётное либо неотрицателен, если записать квадратичную форму в матричном виде– чётное.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.

Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:
записать квадратичную форму в матричном виде

Составим матрицу записать квадратичную форму в матричном видеформы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?
записать квадратичную форму в матричном виде

Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен, и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае записать квадратичную форму в матричном виде2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы).

Главные миноры 1-го порядка:
записать квадратичную форму в матричном виде– положительны,
главный минор 2-го порядка:
записать квадратичную форму в матричном виде– не отрицателен.

Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна.

Запишем матрицу записать квадратичную форму в матричном видеформы записать квадратичную форму в матричном виде, для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
записать квадратичную форму в матричном виде– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
записать квадратичную форму в матричном виде– не отрицателен.

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.

Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
записать квадратичную форму в матричном виде

Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем.

Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:
записать квадратичную форму в матричном виде

Вычислим угловые миноры:
записать квадратичную форму в матричном виде
третий определитель я раскрою по 3-й строке:
записать квадратичную форму в матричном виде

Кстати, в силу симметрии, по 3-му столбцу он раскрывается точно так же.

Дальнейшее решение удобно разбить на 2 пункта:

1) Выясним, существуют ли значения «альфа», при которых форма определена положительно или неотрицательно. Согласно критерию Сильвестра, условию положительности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
записать квадратичную форму в матричном виде

В соответствии с поставленной задачей, сначала разберёмся со 2-м неравенством:
записать квадратичную форму в матричном виде
умножим обе его части на записать квадратичную форму в матричном виде, сменив у неравенства знак:
записать квадратичную форму в матричном виде, что противоречит первому неравенству системы.

Таким образом, система несовместна, а значит, форма не может быть положительно определённой ни при каких «альфа», из чего логически и автоматически следует, что она не может быть и неотрицательной.

2) Проведём исследование на отрицательность / неположительнось. По Сильвестру, условию отрицательности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
записать квадратичную форму в матричном виде

Второе неравенство уже решено: записать квадратичную форму в матричном виде, и оно не противоречит первому. И третье неравенство тоже «вписалось в рамки»: записать квадратичную форму в матричном виде.
Таким образом, имеем совместную систему:
записать квадратичную форму в матричном виде
из которой следует, что форма определена отрицательно при записать квадратичную форму в матричном виде. Например, если записать квадратичную форму в матричном виде:
записать квадратичную форму в матричном виде– то при любом ненулевом векторе записать квадратичную форму в матричном видеданная форма будет строго отрицательна.

Осталось исследовать «пограничный» случай. Если записать квадратичную форму в матричном виде, то:
записать квадратичную форму в матричном виде
Последнее значение не удовлетворяет 2-му пункту критерия Сильвестра, однако оно равно нулю, что позволяет предположить неположительнось формы. Запишем матрицу записать квадратичную форму в матричном видеформы и проверим критерий Шварценеггера. Главные миноры первого порядка:
записать квадратичную форму в матричном виде– отлично, все миноры неположительны, поэтому проверка продолжается.

Рассчитываем миноры 2-го порядка. Если хотя бы один из них окажется отрицательным, то форма будет знакопеременной:
записать квадратичную форму в матричном виде
Нет, все миноры неотрицательны, и минор 3-го порядка уже рассчитан:
записать квадратичную форму в матричном виде

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), имеет место неположительнось формы, иными словами, записать квадратичную форму в матричном виде, причём, нулю она равна и при некоторых ненулевых значениях записать квадратичную форму в матричном виде.

Ответ: при записать квадратичную форму в матричном видеформа определена отрицательно, при записать квадратичную форму в матричном виденеположительно, в остальных случаях форма знакопеременна.

И творческое задание для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
записать квадратичную форму в матричном виде

И в заключение статьи хочу выразить благодарность Сергею Хохлову, некогда ст. преподавателю МПГУ – за важные замечания и интересные дополнительные примеры, а также Арнольду Шварценеггеру, который сыграл в непривычном для себя амплуа и помог мне ярче объяснить материал 🙂

Как сказал актёр, I’ll be back, и я жду вас на следующем уроке – о каноническом виде квадратичной формы.

Пример 1. Решение: сначала приведём подобные слагаемые:
записать квадратичную форму в матричном виде
Квадратичная форма двух переменных имеет вид записать квадратичную форму в матричном виде, в данном случае: записать квадратичную форму в матричном виде. Запишем форму в матричном виде:
записать квадратичную форму в матричном виде

Проверка:
записать квадратичную форму в матричном виде
что и требовалось проверить.

Вычислим дискриминант формы:
записать квадратичную форму в матричном виде
Поскольку записать квадратичную форму в матричном виде, то ранг формы равен двум.

Ответ: записать квадратичную форму в матричном виде, записать квадратичную форму в матричном виде, ранг формы равен двум.

Пример 3. Решение: симметрическая матрица 4*4 определяет квадратичную форму 4 переменных. Коэффициенты главной диагонали записать квадратичную форму в матричном виде, следовательно:
записать квадратичную форму в матричном виде

Симметричные коэффициенты 1-й строки: записать квадратичную форму в матричном виде, таким образом:
записать квадратичную форму в матричном виде

Оставшиеся симметричные элементы 2-й строки: записать квадратичную форму в матричном виде, и:
записать квадратичную форму в матричном виде

И, наконец, записать квадратичную форму в матричном виде

Ответ: записать квадратичную форму в матричном виде

Пример 4. Решение:

а) запишем матрицу формы:
записать квадратичную форму в матричном виде
и вычислим её угловые миноры:
записать квадратичную форму в матричном виде

Таким образом, по критерию Сильвестра, форма определена отрицательно.

б) запишем матрицу формы:
записать квадратичную форму в матричном виде
и вычислим её угловые миноры:
записать квадратичную форму в матричном виде

Вывод: форма знакопеременна.

Задание на понимание: у данной матрицы четыре главных минора 1-го порядка:
записать квадратичную форму в матричном виде,
шесть главных миноров 2-го порядка:
записать квадратичную форму в матричном виде
четыре главных минора 3-го порядка:
записать квадратичную форму в матричном виде
и один главный минор 4-го порядка, равный определителю матрицы.

Пример 5*. Решение: запишем матрицу формы записать квадратичную форму в матричном видеи вычислим её угловые миноры:
записать квадратичную форму в матричном виде
Таким образом, форма не удовлетворяет критерию Сильвестра, однако, может оказаться неотрицательной (т.к. записать квадратичную форму в матричном видеи остальные миноры нулевые). Для этого все главные миноры должны быть неотрицательны. Главные миноры 1-го порядка:
записать квадратичную форму в матричном виде.
Вычислим главные миноры 2-го порядка:
записать квадратичную форму в матричном виде
записать квадратичную форму в матричном виде– среди главных миноров встретился отрицательный, следовательно, форма не удовлетворяет критерию неотрицательности.

Ответ: форма знакопеременна.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

записать квадратичную форму в матричном виде «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *