Что такое медиана треугольника

Медиана — это золотое сечение треугольника

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА.

У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам.

И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник.

Медиана — это.

Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка.

Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС.

Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА.

Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр.

Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок:

Есть в треугольнике обычном
Отрезок очень непростой
Соединяет он обычно с серединой стороны любой
И каждый должен знать отлично,
Зовется медианой он.

Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно.

И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три!

И выглядят они вот так.

На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM.

Пересечение медиан треугольника

Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия.

Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть.

Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины.

Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом:

Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов.

Медиана равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть.

Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой.

Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам.

И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине.

Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади.

Медиана прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами.

Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника.

Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник.

Вместо заключения

А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений.

Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины.

Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса».

И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей.

Вот и все, что мы хотели рассказать о МЕДИАНЕ. До новых встреч на страницах нашего блога.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (1)

Теперь остаётся подумать над тем, как применить это знание о медиане на практике. Если придумаю, вдруг Нобелевскую премию дадут?

Источник

Медиана треугольника

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 341.

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 341.

Медиана треугольника, так же, как и высота, служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы – это, как штрих-код на товаре, наша задача – просто уметь его считать.

Определение

Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.

Свойства медиан

Задачи

Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:

Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.

Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:

Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это a, но может быть любая другая.

$$m=\sqrt<<1\over2>*(49+81-64)>=\sqrt<33>$$ – оставим результат в виде корня.

Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.

Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит, в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.

Источник

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы m_a, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Примеры задач

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Источник

Свойства медианы треугольника

Сегодня мы рассмотрим часть треугольника, которая не раз поможет тебе при решении многих задач, — медиану.

Эта приятная, лёгкая и полезная теория!

Медиана треугольника — коротко о главном

Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медиана делит площадь треугольника пополам

Но \( \displaystyle AM=CM\), значит, \( \displaystyle <_<\triangle ABM

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.

Но \( \displaystyle AM=CM\), значит, \( \displaystyle <_<\triangle ABM

Длина медианы: \( \displaystyle <^<2>>=\frac <1>

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.

Определение медианы треугольника

Это очень просто! Возьми треугольник.

Отметь на какой-нибудь его стороне середину \( \displaystyle M\).

И соедини с противоположной вершиной!

Получившийся отрезок \( \displaystyle BM\) и есть медиана.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медиана в прямоугольном треугольнике

Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!

Почему. При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник \( \displaystyle ABC\) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ \( \displaystyle BD\):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Но одна из диагоналей – \( \displaystyle AC\) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы \( \displaystyle \Delta ABC\).

Она называлась у нас \( \displaystyle M\).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана \( \displaystyle BM\). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим \( \displaystyle BM=MA=MC\)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Задача №1:

В \( \displaystyle \Delta ABC\) стороны \( \displaystyle AC=5\); \( \displaystyle BC=12\). Из вершины \( \displaystyle C\) проведена медиана \( \displaystyle CN\).

Найти \( \displaystyle AB\), если \( \displaystyle AB=2CN\).

Сразу вспоминаем, это если \( \displaystyle CN=\frac<2>\), то \( \displaystyle \angle ACB=90<>^\circ \)!

Ура! Можно применить теорему Пифагора!

Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( 2:1\), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы \( \displaystyle AM\), \( \displaystyle BN\) и \( \displaystyle CK\) пересекаются в одной точке.

Задача №2:

Решение:

\( \displaystyle \angle B=90<>^\circ \) – треугольник прямоугольный!

(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).

Найдём \( \displaystyle AC\) по теореме Пифагора:

Открыть ответы…

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Теорема о медиане и площади треугольника

Медиана делит площадь треугольника пополам

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника. \( S=\frac<1><2>a

И применим эту формулу аж два раза!

Посмотри, медиана \( \displaystyle BM\) разделила \( \displaystyle \triangle ABC\) на два треугольника: \( \displaystyle \triangle ABM\) и \( \displaystyle \triangle BMC\).

Но! Высота-то у них одна и та же – \( \displaystyle BH\)!

Только в \( \displaystyle \triangle ABM\) эта высота \( \displaystyle BH\) опускается на сторону \( \displaystyle AM\), а в \( \displaystyle \triangle BMC\) – на продолжение стороны \( \displaystyle CM\).

Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу

1) B \( \displaystyle \triangle ABM\):

«\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle AM\) «\( \displaystyle h\)» – это \( \displaystyle BH\)

\( \displaystyle \Rightarrow <_<\triangle ABM>>=\frac <1> 2) B \( \displaystyle \triangle BMC\): «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle CM\) «\( \displaystyle h\)» – это опять \( \displaystyle BH\) \( \displaystyle \Rightarrow <_<\triangle BMC>>=\frac <1> Запишем ещё раз: Открыть ответы… Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз: Теорема о трех медианах треугольника Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины. Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил? 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. 2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины. Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее. Доказательство теоремы о трех медианах треугольника Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой \( \displaystyle E\). Соединим точки \( \displaystyle N\) и \( \displaystyle K\). Что получилось? Конечно, \( \displaystyle NK\) – средняя линяя \( \displaystyle \triangle ABC\). Ты помнишь, что это значит? А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину \( \displaystyle AE\) – поставим точку \( \displaystyle F\), отметим середину \( \displaystyle EC\) — поставим точку \( \displaystyle G\). Теперь \( \displaystyle FG\) – средняя линия \( \displaystyle \triangle AEC\). То есть: Что из этого следует? Посмотри теперь на четырехугольник \( \displaystyle NKGF\). У какого четырехугольника противоположные стороны (\( \displaystyle NK\) и \( \displaystyle FG\)) параллельны и равны? Конечно же, только у параллелограмма! Значит, \( \displaystyle NKGF\) – параллелограмм. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам. Снова смотрим на рисунок. Открыть ответы… Мы постоянно улучшаем этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов) Формула длины медианы треугольника Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем. Итак, \( \displaystyle <^<2>>=\frac <1> Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно. Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения. Как с этим справиться? Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать. ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия Большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники. Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных. Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными. В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии. ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников! Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы. В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение. Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем. Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач. Источник Медиана (геометрия) Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок. Содержание Свойства Формулы Мнемоническое правило Медиана — это обезьяна, лазает по сторонам, делит их напополам. См. также Ссылки Полезное Смотреть что такое «Медиана (геометрия)» в других словарях: Медиана треугольника — У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана. Треугольник и его медианы. Медиана треугольника (лат. … Википедия Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия Клейн, Феликс — Феликс Клейн Дата рождения: 25 апреля 1849(1849 04 25 … Википедия Клейн Ф. — Феликс Клейн Дата рождения: 25 апреля, 1849 Место рождения: Дюссельдорф, Германия Дата смерти: 22 июня, 1925 Место смерти: Гёттинген Гражданство … Википедия Клейн Феликс — Феликс Клейн Дата рождения: 25 апреля, 1849 Место рождения: Дюссельдорф, Германия Дата смерти: 22 июня, 1925 Место смерти: Гёттинген Гражданство … Википедия Феликс Клейн — Дата рождения: 25 апреля, 1849 Место рождения: Дюссельдорф, Германия Дата смерти: 22 июня, 1925 Место смерти: Гёттинген Гражданство … Википедия Эрлангенская программа — Феликс Клейн Эрлангенская программа выступление 23 летнего немецкого математика Феликса Клейна в Эрлангенском университете (октябр … Википедия Математическая статистика — Математическая статистика наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на … Википедия Прямоугольный треугольник — Прямоугольный треугольник это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов). Соотношения между сторонами и … Википедия Теорема Аполлония — Зелёное + Голубое = Красное В планиметрии теорема Аполлония является формулой, выражающей длину медианы треугольника через … Википедия Источник Элементы треугольника. Медиана Определение Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны Свойства 2. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника) 3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников 4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы 5. Длина медианы треугольника вычисляется по формуле: , где где — медиана к стороне ; — стороны треугольника 6. Длина стороны треугольника через медианы вычисляется по формуле: , где – медианы к соответствующим сторонам треугольника, — стороны треугольника. Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя: Источник Медиана треугольника Что называется медианой треугольника? Определение. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Как построить медиану треугольника? 1) С помощью линейки найти и отметить середину стороны треугольника. 2) Соединить полученную точку с вершиной, лежащей напротив этой стороны. Рисунок медианы треугольника: Как построить медиану треугольника с помощью циркуля и линейки без шкалы, мы рассмотрим позже, в теме «Построить треугольник». Сколько медиан имеет треугольник? Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три. Значит, треугольник имеет три медианы. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке: Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному, считая от вершины: Об этом свойстве медиан треугольника, а также о том, как найти длину медианы через длины сторон треугольника, более подробно мы поговорим позже и рассмотрим, как свойства медианы использовать при решении задач. Кроме того, отдельно будут рассмотрены медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе и медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, поскольку каждая из них обладает своими свойствами, которые надо знать и уметь применять. Источник Всё о медиане Медиана — это золотое сечение треугольника Поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА. У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам. И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник. Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка. Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС. Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА. Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок: Есть в треугольнике обычном Отрезок очень непростой Соединяет он обычно с серединой стороны любой И каждый должен знать отлично, Зовется медианой он. Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно. И выглядят они вот так. На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM. Пересечение медиан треугольника Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия. Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть. Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины. Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом: Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов. Медиана равностороннего треугольника Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть. Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой. И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине. Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади. Медиана прямоугольного треугольника Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами. Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника. Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник. А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений. Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины. Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса». И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей. Источник Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане Определения Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Теорема В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4). Теорема В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Верны и другие утверждения: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Теорема Доказательство Для других медиан треугольника \(ABC\) требуемое свойство доказывается аналогично. Теорема Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны). Доказательство Теорема В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла. Доказательство Теорема Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам: Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса. Доказательство Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть \[\dfrac>> = \dfrac = \dfrac\] Теорема Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе. Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон. Доказательство Источник Медиана треугольника Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок. Содержание Свойства Формулы Если две медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые они опущены, в 5 раз больше квадрата третьей стороны. Мнемоническое правило Медиана-обезьяна, у которой зоркий глаз, прыгнет точно в середину стороны против вершины, где находится сейчас. Примечания См. также Ссылки Полезное Смотреть что такое «Медиана треугольника» в других словарях: Медиана (значения) — Медиана: Медиана треугольника в планиметрии, отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны в статистике медианой называется значение совокупности, делящее ранжированный ряд данных пополам Медиана (статистика) … … Википедия Медиана — Медиана: Медиана треугольника в планиметрии, отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны Медиана (статистика) квантиль 0.5 Медиана (трасса) средняя линия трассы, проведённая между правым и левым … Википедия Медиана (геометрия) — Треугольник и его медианы. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок. Содержание 1 Свойства 2 Формулы … Википедия МЕДИАНА — линия, соединяющая вершину треугольника с серединой его основания. Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке. Попов М., 1907. медиана (лат. mediana средняя) 1) геол. отрезок, соединяющий вершину треугольника с… … Словарь иностранных слов русского языка Медиана (в геометрии) — Медиана (от латинского mediana средняя) в геометрии, отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, которую иногда называют «центром тяжести» треугольника, так … Большая советская энциклопедия МЕДИАНА — треугольника прямая (или ее отрезок внутри треугольника), соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, к рая называется центром тяжести треугольника, центроидом, или… … Математическая энциклопедия МЕДИАНА — (от лат. mediana средняя) отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны … Большой Энциклопедический словарь МЕДИАНА — МЕДИАНА, медианы, жен. (лат. mediana, букв. средняя). 1. Прямая линия, проведенная от вершины треугольника к середине противолежащей стороны (мат.). 2. В статистике для ряда многих данных величина, обладающая тем свойством, что число данных,… … Толковый словарь Ушакова МЕДИАНА — МЕДИАНА, ы, жен. В математике: отрезок прямой линии, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова МЕДИАНА (отрезок) — МЕДИАНА (от лат. mediana средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны … Энциклопедический словарь Источник Треугольник. Медиана треугольника. Медиана треугольника – отрезок, который объединяет любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для обозначения медиана общепринята буква т, к ней добавляется название той стороны, к середине которой она прочерчена: ma, mb, mc. В любом треугольнике имеется возможность указать три медианы. Если чертить их точно, то в каждом треугольнике медианы перекрещиваются в одном единственной месте. Характерные особенности медианы. Медиана разделяет треугольник на два треугольника с равной площадью. Медианы треугольника перекрещиваются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2:1, начиная от вершины. Эту точку обозначают как центр тяжести треугольника. Весь треугольник можно разделить его медианами на шесть одинаковых треугольников. Источник Геометрия. 7 класс Конспект урока Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника Перечень рассматриваемых вопросов: Биссектриса угла – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Теоретический материал для самостоятельного изучения. Вы уже знакомы с такими понятиями как треугольник, угол, биссектриса угла. Разберем, как построить биссектрису треугольника, а также узнаем, что такое медиана и высота треугольника. Начнём с понятия биссектриса угла треугольника. Это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. AF – биссектриса ∠A треугольника ABC. В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке. Введём понятие медианы треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. BM – медиана треугольника ABC. В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. Введём понятие высоты треугольника. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. AH – высота треугольника ABC. В любом треугольнике высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. Итак, сегодня мы узнали, какие отрезки называются медианой, биссектрисой, высотой треугольника, и научились их изображать с помощью чертёжных инструментов. Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие «медиана треугольника». На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AD – медиана ∆ABC продолжена за сторону BC, так что AD = DE. Докажем, что треугольники ABD и CED равны. По условию в треугольниках ABD и CED: сторона AD равна стороне DE. Т. к. АD – медиана ∆ABC, то, по определению медианы, BD = DC. ∠ADB = ∠CDE (по свойству вертикальных углов). Следовательно, ∆ABD = ∆CED (по первому признаку равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны). Что и требовалось доказать. Разбор решения заданий тренировочного модуля. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BM, которые пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника ABO, если ∠BAC = 50°, ∠ABC = 80°, а сумма углов треугольника ABO равна 180°. 1.Нарисуем рисунок по условию задачи. 2.По условию AD и BM – биссектрисы ∆ABC. ∠BAC = 50°, ∠BAC = 2∠BAO =50° → ∠BAO = 25° ∠ABC = 80°, ∠ABC= 2∠ABO = 80°→∠ABO = 40° 3.Т. к. сумма углов треугольника ABO равна 180°, то ∠ABO + ∠BAO + ∠AOB = 180°. 5.∠AOB = 180° – (25° + 40°) = 115°. Ответ: ∠BAO = 25°, ∠ABO = 40°, ∠AOB = 115°. В треугольнике COD: ∠O = 90°. Найдите ∠МОВ, если ОА – биссектриса угла ∠СОM, при этом ∠COА = 20°, а ВО– биссектриса ∠МОD. 1.По условию ∠СОD = 90°. Кроме того, ОА – биссектриса угла ∠СОM → ∠МОА = ∠СОА = 20°. 2.ВО – биссектриса ∠МОD→∠ВОD = ∠МОВ. 3. ∠СОD = ∠МОА + ∠СОА + ∠ВОD + ∠МОВ = 20° + 20° + 2∠МОВ = 40° + 2∠МОВ = 90°. Источник Формула медианы Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок. Содержание Свойства Формулы Мнемоническое правило Медиана — это обезьяна, лазает по сторонам, делит их напополам. См. также Ссылки Полезное Смотреть что такое «Формула медианы» в других словарях: Медиана треугольника — У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана. Треугольник и его медианы. Медиана треугольника (лат. … Википедия Медиана (геометрия) — Треугольник и его медианы. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок. Содержание 1 Свойства 2 Формулы … Википедия Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия Теорема Лейбница (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Лейбница. Теорема или формула Лейбница утверждение о медианах: Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Для произвольной точки O плоскости имеет… … Википедия Ящик с усами — Не следует путать с японскими свечами. График 1. Результаты эксперимента Майкельсона Морли … Википедия АЛГЕБРА ЛОГИКИ — система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… … Философская энциклопедия Пренатальный скрининг — У этого термина существуют и другие значения, см. Скрининг. Пренатальный скрининг комплекс медицинских исследований (лабораторных, ультразвуковых), направленный на выявление группы риска по развитию пороков плода во время беременности.… … Википедия Лейбниц, Готфрид Вильгельм — Готфрид Вильгельм Лейбниц Gottfried Wilhelm Leibniz … Википедия Математическое ожидание — (Population mean) Математическое ожидание – это распределение вероятностей случайной величины Математическое ожидание, определение, математическое ожидание дискретной и непрерывной случайных величин, выборочное, условное матожидание, расчет,… … Энциклопедия инвестора Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 … Википедия Источник Определение и свойства медианы равностороннего треугольника В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы равностороннего треугольника, а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала. Определение медианы Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны. Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны (AB = BC = AC). Свойства медианы равностороннего треугольника Свойство 1 Любая медиана в равностороннем треугольнике одновременно является и высотой, и серединным перпендикуляром, и биссектрисой угла, из которого проведена. Свойство 2 Все три медианы в равностороннем треугольнике равны между собой. Т.е. AF = BD = CE. Свойство 3 Медианы в равностороннем треугольнике пресекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1. Свойство 4 Любая медиана равностороннего треугольника делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника. Т.е. S1 = S2. Свойство 5 Равносторонний треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих прямоугольных треугольников. Т.е. S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6. Свойство 6 Точка пересечения медиан в равностороннем треугольнике является центром описанной вокруг и вписанной окружностей. Свойство 7 Длину медианы равностороннего треугольника можно вычислить по формуле: a – сторона треугольника. Примеры задач Задача 1 Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если известно, что его сторона равна 6 см. Решение Для нахождения требуемого значения применим формулу выше: Задача 2 Самая большая сторона одного из треугольников, образованных в результате пересечения трех медиан в равностороннем треугольнике, равняется 8 см. Найдите длину стороны данного треугольника. Решение Нарисуем чертеж согласно условиям задачи. Из Свойства 5 мы знаем, что в результате пересечения всех медиан образуются 6 прямоугольных треугольников. BF равняется половине стороны BC (т.к. медиана делит сторону треугольника пополам), следовательно, BC ≈ 13,86 см. Источник Треугольники общего вида Треугольники общего вида. Основные свойства треугольников: Свойства медиан: 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны. 2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины. 3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности. Свойства высот: 1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке. 2. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены. 3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам: Прямоугольный треугольник и его свойства: В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла. Некоторые свойства прямоугольного треугольника: 1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов. 2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.) 3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R) 4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике: Значения тригонометрических функций некоторых углов: $α$ $30$ $45$ $60$ $sinα$ $<1>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<√3>/<2>$ $cosα$ $<√3>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<1>/<2>$ $tgα$ $<√3>/<3>$ $1$ $√3$ $ctgα$ $√3$ $1$ $<√3>/<3>$ Тригонометрические тождества: 1. Основное тригонометрическое тождество: 2. Связь между тангенсом и косинусом одного и того же угла: 3. Связь между котангенсом и синусом одного и того же угла: Подобие треугольников Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз. Признаки подобия треугольников: Теорема синусов Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов: Воспользуемся теоремой синусов: Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности Теорема косинусов Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: Источник Медиана треугольника, формулы и примеры Медиана треугольника, так же, как и высота служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы – это, как штрих-код на товаре, наша задача просто уметь его считать. Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки. Равновеликими называют треугольники, площади которых равны. Рис. 1. Три медианы образуют 6 равновеликих треугольника. Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач: Рис. 2. Рисунок к задаче. Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти. Рис. 3. Рисунок к задаче. Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника: Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это b, но может быть любая другая. $$m=sqrt<<1over2>*(49+81-64)>=sqrt<33>$$ – оставим результат в виде корня. Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6. Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь. Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника. Средняя оценка: 4.7. Всего получено оценок: 91. Медиана треугольника Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения Слово «медиана» переводится как «равноделящая сторону». Чтобы построить медиану, надо середину стороны треугольника соединить отрезком с противолежащей вершиной треугольника. Полученный отрезок и есть медиана треугольника. Медиана треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника. На рисунке красным цветом обозначена медиана CK. При этом она делит сторону AB треугольника пополам, AK = KB. Свойства медианы треугольника Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, расположенной в плоскости треугольника и являющейся его центром тяжести. Для определения этой точки достаточно построить две медианы треугольника, и точка их пересечения будет принадлежать третьей медиане этого треугольника. Средняя линия треугольника Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек. Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна. Площадь треугольника | Описание курса | Как найти длину медианы треугольника Свойства медианы треугольника Медиана треугольника — это сегмент, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Свойства медианов треугольника Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера (то есть на треугольники с одинаковой площадью). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. В равнобедренном треугольнике ( mathrm ) со стороной ( A B=5 mathrm <см>) медиана была ( B L=4 mathrm <см>). Найдите область треугольника ( mathrm ). Медианы ( mathrm ) и ( BL ) пересекаются в точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины, т.е. Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ Медианы треугольника Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. На Рис.1 АМ — медиана треугольника АВС (соединяет вершину А с серединой стороны ВС точкой М, т.е. ВМ = МС). Любой треугольник имеет три медианы. На Рис.2, АМ, ВК, СD — медианы треугольника АВС. Медиана АМ соединяет вершину А с серединой стороны ВС — точкой М (ВМ = МС), медиана ВК соединяет вершину В с серединой стороны АС — точкой К (ВК = КС), медиана СD соединяет вершину С с серединой стороны АВ — точкой D (АD = DB). Замечательное свойство медиан треугольника: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. На Рис.2 медианы АВС пересекаются в точке О. При этом, точка О делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, т.е. АО : ОМ = ВО : ОК = СО : DO = 2 : 1. Поделись с друзьями в социальных сетях: Советуем посмотреть: Правило встречается в следующих упражнениях: Медиана — это золотое сечение треугольника Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА. У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам. И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник. Медиана — это.. Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка. Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС. Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА. Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр. Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок: Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно. И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три! И выглядят они вот так. На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM. Пересечение медиан треугольника Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия. Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть. Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины. Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом: Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов. Медиана равностороннего треугольника Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть. Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой. Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам. И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине. Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади. Медиана прямоугольного треугольника Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами. Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника. Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник. Вместо заключения А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений. Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины. Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса». И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей. Треугольник Рис. 1. Треугольник (общий случай) Для разных типов треугольников поиск длин параметров треугольника может происходить по-разному. Для физических задач использование конкретной формулы диктуется конкретными данными задачи. Рис. 2. Треугольник (биссектриса) Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от сторон этого угла. Т.е. биссектриса — это линия, которая делит угол треугольника пополам (рис. 2). Известно, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для нахождения биссектрисы угла через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями: Медиана треугольника — отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке: данная точка делит медианы в соотношении 2 к 1, считая от вершины (рис. 3). Рис. 3. Треугольник (медиана) Для нахождения медианы треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями: Рис. 4. Треугольник (высота) Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение (рис. 4). Для нахождения высоты треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями: Важно: то, какую формулу выбрать для решения конкретной задачи, зависит от того, что легче найти, исходя из дано. Источник Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия. теория по математике 📈 планиметрия Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков. Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами. Виды треугольников по углам Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные. Виды треугольников по сторонам Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний. Разносторонний Равнобедренный Равносторонний Треугольник называется разносторонним, если у него длины всех сторон разные. На рисунке показан такого вида треугольник АВС. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. На рисунке показан равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС. Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны. На рисунке показан такой треугольник, у него АВ=ВС=АС. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника Медиана Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD. По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника. Биссектриса Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам. В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD1, EE1 и CC1. По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника. Высота Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне. На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН1, ВН2 и СН3. По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника. Средняя линия Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK. Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см. Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы. Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны. Составим отношение сторон: Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны. Составим отношение сторон: Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30 pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС. Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4. pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84 0 :2=42 0 pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить Источник Медиана треугольника Определение и формулы медианы треугольника Для медианов треугольника справедливы следующие утверждения: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. Медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью Весь треугольник делится на его медианы на шесть треугольников равного размера. В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, представляет собой высоту и биссектрису. Формула для вычисления медианы Примеры решения проблем На рисунке 1 показан треугольник \(\ \mathrm \), в котором вырисовывается медиана \(\ \mathrm \). Мы используем теорему косинуса и находим сторону \(\ \mathrm \): \(\ B C^<2>=A B^<2>+A C^<2>-2 A B \cdot A C \cdot \cos A=16+9-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac<1><2>=13 \) Затем мы используем формулу для вычисления медианы \(\ \mathrm \): В треугольнике \(\ \mathrm \) стороны \(\ A B=5 \) см, \(\ A C=6 \) см и медиане \(\ \mathrm=4 \) см. Найдите область треугольника \(\ \mathrm \). \(\ A L=L C=\frac<1> <2>A C=3 \mathrm \) Рассмотрим треугольник \(\ \mathrm \) и найдите его область, используя формулу Херона: Медиана \(\ \mathrm \) делит треугольник \(\ \mathrm \) на два треугольника равного размера, т. е. \(\ S_=S_ \) см2, откуда следует, что Источник Свойства медианы, с примерами В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1). Свойства медианы в прямоугольном треугольнике Доказательства свойств Первое свойство Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины. Доказательство: Что и требовалось доказать. Второе свойство Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Доказательство: Что и требовалось доказать. Третье свойство Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности. Доказательство: Что и требовалось доказать. Медиана 17.11.2013 38 260 0 В статистических исследованиях довольно широко применяются средние величины. Их нахождение позволяет выявить типичное значение признака исследуемой совокупности. Например, типичный уровень доходов покупателей или возраст большинства клиентов компании. При этом вычисление, к примеру, среднего арифметического не всегда уместно. Представим такую ситуацию: мы опросили 10 человек на предмет их уровня доходов. У 9-х доходы оказались примерно одинаковыми и составили 10 тыс. руб. Что касается 10-ого опрошенного, то оказалось, что его доход равняется 410 тыс. руб. в месяц. Если мы вычислим простое среднее арифметическое, то типичный доход будет равняться 50 тыс. руб.! Но это явно не так. В таких ситуациях более объективную и правдоподобную картину дает вычисление моды или медианы, которые относятся к структурным средним показателям. Что такое медиана Медиана (Me) – значение признака в исследуемом ряду величин, которое делит этот ряд на две равные части. То есть половина (50%) всех значений в исследуемом ряду будет меньше медианы, а другая половина – больше ее. Поэтому медиану еще называют 50-й перцентиль или квантиль 0,5. Формула для расчета медианы Если значений немного, то медиану можно определить «на глазок». Для этого достаточно расположить все значения в порядке возрастания и найти середину. Обратите внимание! Если число случаев четное и в центре ряда находятся два разных числа, то медианой будет среднее между ними (даже если такого значения нет в самом ряду исследуемых случаев). Например, в ряду 1 2 3 4 5 6, медианой будет 3,5. Для нахождения медианы в более сложных случаях (по интервальным рядам) используется специальная формула: Пример нахождения медианы Был проведен опрос среди покупателей с целью выяснить их типичный возраст. По результатам опроса было установлено, что: 25 покупателей имеют возраст до 20 лет; 32 покупателя – 20-40 лет; 18 покупателей – 40-60 лет; 15 покупателей – свыше 60 лет. Найдем медиану. Сначала находим медианный интервал. Для этого вычисляем сумму частот: 25 + 32 + 18 + 15 = 90. Половина этой суммы – 45. Это соответствует возрастной группе 20-40 лет (т.к. полученная полусумма частот – 45, и накопленная частота 1-й группы меньше ее, а 3-ей – больше). Тогда нижняя граница медианного интервала – 20 (лет), а величина медианного интервала – 20 (40 лет за вычетом 20). Сумма частот интервалов предшествующих медианному интервалу – 25. Число значений в медианном интервале – 32 (количество покупателей в возрасте 20-40 лет). Медиана — 32,5, следовательно средний возраст покупателя – 33 года. Область применения медианы При вычислении типичного признака неоднородных рядов, имеющих «выбросы» — значения во много раз отличающиеся от других значений ряда. Особенности медианы © Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на источник: Галяутдинов Р.Р. Среднее или всё же медиана? Cреднее арифметическое значение (далее по тексту — среднее), пожалуй, наиболее популярный статистический параметр. Этим понятием пользуются повсеместно — начиная от поговорки «средняя температура по больнице» и кончая серьезными научными трудами. Однако, как ни странно, среднее значение — коварное понятие, часто вводящее в заблуждение, вместо того чтобы придавать четкость изложению и вносить ясность. Если говорить о научной работе, то статистический анализ данных применяется почти во всех прикладных науках, даже и в гуманитарных (например, психологии). Среднее значение вычисляется для признаков, измеряемых в так называемых непрерывных шкалах. Такими признаками являются, например, концентрации веществ в сыворотке крови, рост, вес, возраст. Среднее арифметическое можно легко вычислить, и этому учат еще в средней школе. Однако (в соответствии с положениями математической статистики) среднее значение является адекватной мерой центральной тенденции в выборке только в случае нормального (гауссова) распределения признака (рис. 1). Рис. 1. Нормальное (гауссово) распределение признака в выборке. Среднее (М) и медиана (Ме) совпадают В случае же отклонения распределения от нормального закона среднее значение использовать некорректно, так как оно является слишком чувствительным параметром к так называемым «выбросам» — нехарактерным для изучаемой выборки,слишком большим или слишком малым значением (рис. 2). В этом случае для характеристики центральной тенденции в выборке должен применяться другой параметр — медиана. Медиана — это значение признака, справа и слева от которого находится равное число наблюдений (по 50%). Этот параметр (в отличие от среднего значения) устойчив к «выбросам». Заметим также,что медиана может использоваться и в случае нормального распределения — в этом случае медиана совпадает со средним значением. Рис. 2. Распределение признака в выборке, отличное от нормального. Среднее (м) и медиана (МЕ) не совпадают Для того, чтобы узнать, является ли распределение признака в выборке нормальным (гауссовым) или нет, т.е. для того, чтобы узнать, какой из параметров следует применять (среднее значение или медиану), существуют специальные статистические тесты. Приведем пример. Скорость оседания эритроцитов в группе пациентов, недавно перенесших пневмонию, — 3, 5, 5, 7, 11, 12, 16, 16, 21, 42, 58. Среднее значение для этой выборки равно 17,8, медиана — 12. Распределение (по тесту Шапиро—Уилка) нормальным не является (рис. 3), поэтому использовать надо медиану. Рис. 3. Пример Как ни странно, но в некоторых областях экономики сторонний наблюдатель не может заметить хоть какого-то следа корректного применения математической статистики. Так, нам постоянно говорят о средней зарплате (например, в НИИ), и эти числа обычно удивляют не только рядовых сотрудников, но и руководителей подразделений (ныне называемых «менеджерами среднего звена»). Мы удивляемся, что средняя зарплата в Москве — 40 тыс. руб., но, конечно, понимаем, что нас «усреднили» с олигархами. Вот пример из жизни научных работников: зарплаты сотрудников лаборатории (тыс. руб.) — 3, 5, 5, 7, 11, 12, 16, 16, 21, 42, 58. Среднее значение — 17,8, медиана — 12. Согласитесь, что это разные числа! Конечно, нельзя исключить, что замалчивание свойств среднего — лукавство, так как руководству всегда выгоднее представить ситуацию с зарплатой сотрудников лучше, чем она есть на самом деле. Не пора ли научному сообществу призвать наших руководителей прекратить некорректное использование математической статистики? Ольга Реброва, докт. мед. наук, вице-президент МОО «Общество специалистов доказательной медицины» Медиана треугольника Медиана треугольника, так же, как и высота служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы – это, как штрих-код на товаре, наша задача просто уметь его считать. Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки. Равновеликими называют треугольники, площади которых равны. Рис. 1. Три медианы образуют 6 равновеликих треугольника. Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач: Рис. 2. Рисунок к задаче. Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти. Рис. 3. Рисунок к задаче. Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника: Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это b, но может быть любая другая. $$m=sqrt<<1over2>*(49+81-64)>=sqrt<33>$$ – оставим результат в виде корня. Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6. Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь. Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника. Средняя оценка: 4.7. Всего получено оценок: 91. Медиана как статистическая характеристика Медианой для конечного упорядоченного ряда чисел, имеющего нечетное число элементов, называется число, записанное в середине данного ряда. Пусть дан ряд 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Тогда медиана данного ряда равна 7. Перед тем, как ввести второе определение, вспомним, что такое средне арифметическое двух чисел. Медианой для конечного упорядоченного ряда чисел, имеющего четное число элементов, называется среднее арифметическое двух чисел, записанных в середине данного ряда. Попробуй обратиться за помощью к преподавателям Пусть дан ряд 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Тогда медиана данного ряда равна Пусть дан ряд 3, 7, 5, 4, 11, 6, 10, 9. Вначале упорядочим данный ряд, получим: [3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11] Вычисляем по определению 3 медиану: Для понятия медианы можно выделить два следующих свойства: Примеры решения задач Найти среднее арифметическое следующих рядов чисел. Ответ: а) 12,9. б) 43. Найти среднее арифметическое и медианы следующих числовых рядов: Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет четное число элементов, то мы сразу можем применить третье определение, получим, что медиана равна: Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет нечетное число элементов, то мы сразу можем применить первое определение, получим, что медиана равна 46. Найти медиану следующих рядов чисел. [3, 3, 3, 6, 7, 8, 13, 17, 24, 45] Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет четное число элементов, то мы сразу можем применить третье определение, получим, что медиана равна: [10, 13, 25, 34, 43, 46, 65, 67, 89] Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет нечетное число элементов, то мы сразу можем применить первое определение, получим, что медиана равна 43. Ответ: а) 6,5. б) 43. Свойства медианы треугольника Медиана треугольника — это сегмент, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Свойства медианов треугольника Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера (то есть на треугольники с одинаковой площадью). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. В равнобедренном треугольнике ( mathrm ) со стороной ( A B=5 mathrm <см>) медиана была ( B L=4 mathrm <см>). Найдите область треугольника ( mathrm ). Медианы ( mathrm ) и ( BL ) пересекаются в точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины, т.е. Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ Медиана — это золотое сечение треугольника Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА. У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам. И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник. Медиана — это.. Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка. Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС. Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА. Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр. Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок: Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно. И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три! И выглядят они вот так. На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM. Пересечение медиан треугольника Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия. Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть. Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины. Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом: Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов. Медиана равностороннего треугольника Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть. Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой. Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам. И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине. Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади. Медиана прямоугольного треугольника Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами. Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника. Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник. Вместо заключения А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений. Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины. Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса». И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей. Медиана в статистике Центральную тенденцию данных можно рассматривать не только, как значение с нулевым суммарным отклонением (среднее арифметическое) или максимальную частоту (мода), но и как некоторую отметку (значение в совокупности), делящую ранжированные данные (отсортированные по возрастанию или убыванию) на две равные части. Половина исходных данных меньше этой отметки, а половина – больше. Это и есть медиана. Итак, медиана в статистике – это уровень показателя, который делит набор данных на две равные половины. Значения в одной половине меньше, а в другой больше медианы. В качестве примера обратимся к набору нормально распределенных случайных чисел. Очевидно, что при симметричном распределении середина, делящая совокупность пополам, будет находиться в самом центре – там же, где средняя арифметическая (и мода). Это, так сказать, идеальная ситуация, когда мода, медиана и средняя арифметическая совпадают и все их свойства приходятся на одну точку – максимальная частота, деление пополам, нулевая сумма отклонений – все в одном месте. Однако, жизнь не так симметрична, как нормальное распределение. Допустим, мы имеем дело с техническими замерами отклонений от ожидаемой величины чего-нибудь (содержания элементов, расстояния, уровня, массы и т.д. и т.п.). Если все ОК, то отклонения, скорее всего, будут распределены по закону, близкому к нормальному, примерно, как на рисунке выше. Но если в процессе присутствует важный и неконтролируемый фактор, то могут появиться аномальные значения, которые в значительной мере повлияют на среднюю арифметическую, но при этом почти не затронут медиану. Медиана выборки – это альтернатива средней арифметической, т.к. она устойчива к аномальным отклонениям (выбросам). Математическим свойством медианы является то, что сумма абсолютных (по модулю) отклонений от медианного значения дает минимально возможное значение, если сравнивать с отклонениями от любой другой величины. Даже меньше, чем от средней арифметической, о как! Данный факт находит свое применение, например, при решении транспортных задач, когда нужно рассчитать место строительства объектов около дороги таким образом, чтобы суммарная длина рейсов до него из разных мест была минимальной (остановки, заправки, склады и т.д. и т.п.). Формула медианы Формула медианы в статистике для дискретных данных чем-то напоминает формулу моды. А именно тем, что формулы как таковой нет. Медианное значение выбирают из имеющихся данных и только, если это невозможно, проводят несложный расчет. Первым делом данные ранжируют (сортируют по убыванию). Далее есть два варианта. Если количество значений нечетно, то медиана будет соответствовать центральному значению ряда, номер которого можно определить по формуле: Это первый вариант, когда в данных есть одно центральное значение. Второй вариант наступает тогда, когда количество данных четно, то есть вместо одного есть два центральных значения. Выход прост: берется средняя арифметическая из двух центральных значений: В интервальных данных выбрать конкретное значение не представляется возможным. Медиану рассчитывают по определенному правилу. Для начала (после ранжирования данных) находят медианный интервал. Это такой интервал, через который проходит искомое медианное значение. Определяется с помощью накопленной доли ранжированных интервалов. Где накопленная доля впервые перевалила через 50% всех значений, там и медианный интервал. Не знаю, кто придумал формулу медианы, но исходили явно из того предположения, что распределение данных внутри медианного интервала равномерное (т.е. 30% ширины интервала – это 30% значений, 80% ширины – 80% значений и т.д.). Отсюда, зная количество значений от начала медианного интервала до 50% всех значений совокупности (разница между половиной количества всех значений и накопленной частотой предмедианного интервала), можно найти, какую долю они занимают во всем медианном интервале. Вот эта доля аккурат переносится на ширину медианного интервала, указывая на конкретное значение, именуемое впоследствии медианой. Обратимся к наглядной схеме. Немного громоздко получилось, но теперь, надеюсь, все наглядно и понятно. Чтобы при расчете каждый раз не рисовать такой график, можно воспользоваться готовой формулой. Формула медианы имеет следующий вид: S(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала; Требуется найти медианную цену, то есть ту цену, дешевле и дороже которой по половине количества товаров. Для начала произведем вспомогательные расчеты накопленной частоты, накопленной доли, общего количества товаров. По последней колонке «Накопленная доля» определяем медианный интервал – 300-400 руб (накопленная доля впервые более 50%). Ширина интервала – 100 руб. Теперь остается подставить данные в приведенную выше формулу и рассчитать медиану. То есть у одной половины товаров цена ниже, чем 350 руб., у другой половины – выше. Все просто. Средняя арифметическая, рассчитанная по этим же данным, равна 355 руб. Отличие не значительное, но оно есть. Расчет медианы в Excel Медиану для числовых данных легко найти, используя функцию Excel, которая так и называется — МЕДИАНА. Другое дело интервальные данные. Соответствующей функции в Excel нет. Поэтому нужно задействовать приведенную выше формулу. Что поделаешь? Но это не очень трагично, так как расчет медианы по интервальным данным – редкий случай. Можно и на калькуляторе разок посчитать. Напоследок предлагаю задачку. Имеется набор данных. 15, 5, 20, 5, 10. Каково среднее значение? Четыре варианта: Поделиться в социальных сетях: Медианы треугольника Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. На Рис.1 АМ — медиана треугольника АВС (соединяет вершину А с серединой стороны ВС точкой М, т.е. ВМ = МС). Любой треугольник имеет три медианы. На Рис.2, АМ, ВК, СD — медианы треугольника АВС. Медиана АМ соединяет вершину А с серединой стороны ВС — точкой М (ВМ = МС), медиана ВК соединяет вершину В с серединой стороны АС — точкой К (ВК = КС), медиана СD соединяет вершину С с серединой стороны АВ — точкой D (АD = DB). Замечательное свойство медиан треугольника: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. На Рис.2 медианы АВС пересекаются в точке О. При этом, точка О делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, т.е. АО : ОМ = ВО : ОК = СО : DO = 2 : 1. Поделись с друзьями в социальных сетях: Советуем посмотреть: Правило встречается в следующих упражнениях: Медиана треугольника Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения Слово «медиана» переводится как «равноделящая сторону». Чтобы построить медиану, надо середину стороны треугольника соединить отрезком с противолежащей вершиной треугольника. Полученный отрезок и есть медиана треугольника. Медиана треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника. На рисунке красным цветом обозначена медиана CK. При этом она делит сторону AB треугольника пополам, AK = KB. Свойства медианы треугольника Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, расположенной в плоскости треугольника и являющейся его центром тяжести. Для определения этой точки достаточно построить две медианы треугольника, и точка их пересечения будет принадлежать третьей медиане этого треугольника. Средняя линия треугольника Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек. Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна. Площадь треугольника | Описание курса | Как найти длину медианы треугольника Источник ← Что такое медвежья услуга Что такое медиаплан → Вам также понравится какую форму приходного кассового ордера можно использовать 29.04.202305.05.2023 admin 0 Как сделать лизун мыло видео 22.04.202322.04.2023 admin 0 карточка предприятия это образец 30.04.202305.05.2023 admin 0 Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.