При решении задач важно понятие высоты — перпендикуляра, опущенного из любой вершины на обратную сторону. Грань, на которую опускается высота, считается основанием. Свойства параллелепипеда:

Кирпич — отличный пример прямоугольного параллелепипеда (ПП). Также его форму имеют девятиэтажные панельные дома, шифоньеры, шкафы-купе, контейнеры для хранения продуктов и прочие предметы быта.

Диагонали поверхности пересекаются и этой центральной точкой делятся на несколько частей. Они равны d2=a2+b2+c2

Грани параллелепипеда спереди и сзади равнозначны, также как верхняя и нижняя стороны, но не равны, поскольку не противоположные, а смежные.

Формулы и анализ

Для ПП верно мнение, что его объем равен величине тройного произведения векторов трех сторон, исходящих из единой вершины. Формулы для ПП:

Расшифровка обозначений: V — объем фигуры, S — площадь поверхности, a — длина, b — ширина, c — высота.

Особым случаем параллелепипеда, в котором все стороны квадраты, является куб. Если любую из сторон обозначить буквой a, то для поверхности и объема используются формулы: S=6*a*2, V=3*а. В них V — объем фигуры, a — длина грани.

Последняя разновидность параллелепипеда — прямой тип. Его основанием будет параллелограмм, а основанием ПП — прямоугольник. Формулы, используемые в математике и геометрии: Sб=Ро*h, Sп=Sб+2Sо, V=Sо*h.

Для нахождения ответов недостаточно знать только свойства геометрической фигуры. Могут пригодиться формулы для вычисления S и V.

Диагональ ПП равна сложению квадратов его измерений: d2 = a2 + b2 + c2. Эта формула получается из теоремы Пифагора.

∆BAD — прямоугольный, поэтому BD2 = AB2 + AD2 = b2 + c2.

∆BDD1 является прямоугольным, значит, BD12 = BD2 + DD12. Нужно подставить значение: d2 = a2 + b2 + c2.

Стандартная формула: V= Sосн*h. Расшифровка обозначений: V — объем параллелепипеда, Sосн — площадь основания, h — высота.

S находится так же, как показатель параллелограмма или прямоугольника. При решении тестов и экзаменационных задач легче вычислять показатели призмы, в основе которой находится прямой угол. Также может пригодиться формула расчета стороны параллелепипеда Sбок = P*h, где:

Объем фигуры равен величине смешанного произведения нескольких векторов, выпущенных из единой точки.

Практическое применение

Для вычисления объема, высоты и прочих характеристик фигуры нужно знать теоретические основы и формулы. Решение задач входит в программу сдачи ЕГЭ и билеты при поступлении в вуз.

Доказательство теорем

Теоретически S боковой поверхности ПП равна S б. п. = 2 (a+b)c. S полной поверхности равна Sполн. поверхности ПП=2 (ab+ac+bc).

Объем ПП равен произведению трех его боковых частей, выходящих из единой вершины (три измерения ПП): abc.

Доказательство: так как у ПП боковые ребра перпендикулярны основанию, то они являются и его высотами — h=AA1=c. Если в основании лежит прямоугольник, то Sосн=AB ⋅ AD=ab. Диагональ d ПП можно найти по формуле d2=a2+b2+c2, где a, b, c — измерения ПП.

Если в основании расположен прямоугольник, то △ ABD прямоугольный, значит, по теореме Пифагора BD2=AB2+AD2=a2+b2. Если все боковые грани перпендикулярны основной линии, то BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥ BD.

Когда △ BB1D прямоугольный, то по теореме Пифагора B1D=BB12+BD2.

Решение задач

Задача 1: известны ПП: 3, 4, 12 см, необходимо найти длину главной диагонали фигуры.

Поиск ответа на вопрос начинается с выстраивания схематического изображения, на котором означаются величины. Используется формула B1D2 = AB2 + AD2 + AA12. После вычислений получается выражение b2=169, b=13.

Задача 2: ребра ПП, выходящие из общей точки, равны 3 и 4, общая S — 94. Нужно найти третье ребро, выходящее из той же вершины.

Ребра обозначаются а1 и а2, а неизвестное — а3. Площадь поверхности выражается S = 2 (a1a2 + a1a3 + a2a3).

Далее получаем a3 (a1 + a2) = S/2 — a1a2. Неизвестное ребро: a3 = S/2 — a1a2/a1 + a2 = 47−12/7 = 5.

Задача 3: два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из общей точки, составляют 72 и 18, диагональ равна 78. Нужно определить объем фигуры.

Для решения требуется найти диагональ по формуле вычисления квадратного корня из суммы (a2 + b2 + c2), где a, b, c — ребра фигуры. 78 — корень из суммы 722 + 182 + c2. Решение:

Ответ: объем составляет 576.

Задача 4: ребро наклонного параллелепипеда составляет 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см является сечением фигуры, параллельным ребру. Нужно определить площадь боковой поверхности призмы.

KL и AD не являются равными, как пара ML и DC. Боковая S фигуры эквивалентна S сечения, умноженной на AA1, так как ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см².

Задача 5: ABCDA1B1C1D1 = 3, 4 см, боковое ребро — 12 см. Нужно определить диагональ ПП.

В основании лежит прямоугольник со сторонами АВ 3 см и AD 4 см. Боковое ребро составляет 3 см. BB1 является высотой ПП и равняется 12 см. Диагональ B1D2 = AB2 + BB1 2 += 9+16+144 = 169. B1D= 13 см.

Задача 6: основанием ПП служит квадрат, одна из вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижней части. Нужно найти высоту фигуры, если диагональ основания равна 8 см, а боковое ребро — 5 см.

Одна из вершин основания (F) равнозначно удалена от всех вершин нижнего основания параллелепипеда. Вместе с диагональю нижней части (AC) она образует равнобедренный ∆AFC. AF = AC по условию. AF является ребром фигуры.

В равнобедренном ∆AFC стороны одинаковы: AF=FC=5 см, AC=8 см. Высота ∆AFC будет являться высотой параллелепипеда.

Высота треугольника делит его основание пополам. По теореме Пифагора она равна:

Высота фигуры составляет 3 см.

Установленные теоремы, доказательства, а также выведенные формулы помогают вычислить различные значения для фигуры.

Источник

Определения параллелепипеда. Основные свойства и формулы

Параллелепипед – это геометрическая фигура, все 6 граней которой представляют собой параллелограммы.

В зависимости от вида этих параллелограммов различают следующие виды параллелепипеда:

Прямым параллелепипедом называют четырехугольную призму, ребра которой составляют с плоскостью основания угол 90 °.

Прямоугольным параллелепипедом называют четырехугольную призму, все грани которой являются прямоугольниками. Куб есть разновидность четырехугольной призмы, у которой все грани и ребра равны между собой.

Свойства параллелепипеда

Особенности фигуры предопределяют ее свойства. К ним относят 4 следующих утверждений:

Запомнить все приведенные свойства просто, они легки для понимания и выводятся логически исходя из вида и особенностей геометрического тела. Однако, незамысловатые утверждения могут быть невероятно полезны при решении типовых заданий ЕГЭ и позволят сэкономить время необходимое для прохождения теста.

Формулы параллелепипеда

Для поиска ответов на поставленную задачу недостаточно знать только свойства фигуры. Также могут понадобиться и некоторые формулы для нахождения площади и объема геометрического тела.

Площадь оснований находится также как и соответствующий показатель параллелограмма или прямоугольника. Выбирать основание параллелограмма можно самостоятельно. Как правило, при решении задач проще работать с призмой, в основании которой лежит прямоугольник.

Формула нахождения боковой поверхности параллелепипеда, также может понадобиться в тестовых заданиях.

Примеры решения типовых заданий ЕГЭ

Задание 1.

Дано: прямоугольный параллелепипед с измерениями 3, 4 и 12 см.
Необходимо найти длину одной из главных диагоналей фигуры.
Решение: Любое решение геометрической задачи должно начинаться с построения правильного и четкого чертежа, на котором будет обозначено «дано» и искомая величина. На рисунке ниже приведен пример правильного оформления условий задания.

Рассмотрев сделанный рисунок и вспомнив все свойства геометрического тела, приходим к единственно верному способу решения. Применив 4 свойство параллелепипеда, получим следующее выражение:

После несложных вычислений получим выражение b2=169, следовательно, b=13. Ответ задания найден, на его поиск и чертеж необходимо потратить не более 5 минут.

Задание 2.

Дано: наклонный параллелепипед с боковым ребром 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см, являющийся сечением фигуры параллельным указанному ребру.
Необходимо найти площадь боковой поверхности четырехугольной призмы.
Решение: Сначала необходимо зарисовать дано.

Для решения данного задания необходимо применить смекалку. Из рисунка видно, что стороны KL и AD – неравны, как и пара ML и DC. Однако, периметры данных параллелограммов очевидно равны.

Следовательно, боковая площадь фигуры будет равна площади сечения помноженной на ребро AA1, так как по условию ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см2.

Источник

Параллелепипед

Смотреть что такое «Параллелепипед» в других словарях:

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — греч., от parallelos., параллельный, и epidon, поверхность. Четырехсторонняя призма, у которой противоположные стороны параллельны между собой. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней.… … Словарь иностранных слов русского языка

Параллелепипед — Параллелепипед. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД (от греческого parallelos параллельный и epipedon плоскость), призма, основание которой параллелограмм. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

параллелепипед — призма, ромбоэдр, шестигранник Словарь русских синонимов. параллелепипед сущ., кол во синонимов: 4 • многогранник (38) • … Словарь синонимов

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — (от греч. parallelos параллельный и epipedon плоскость) призма, основанием которой служит параллелограмм … Большой Энциклопедический словарь

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД, параллелепипеда, муж. (от греч. parallelos параллельный и epipedon поверхность) (мат.). Шестигранник, у которого противоположные грани равны и параллельны. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД, а, муж. В математике: призма, основанием к рой служит параллелограмм. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Параллелепипед — шестигранник, каждая пара противоположных гранейкоторого суть параллелограммы равной величины и параллельные междусобой … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

параллелепипед — а, м. parallélépipède m. <гр. parallelos + epidepon плоскость. геом. Шестигранник, сторонами которого являются параллелограммы. Крысин 1998. Цвет его <сапфира> лазуревой, сложение листоватое; представляет шести или многоугольную призьму … Исторический словарь галлицизмов русского языка

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — призма, основанием которой является (см.) … Большая политехническая энциклопедия

Параллелепипед — (от греч. παράλλος параллельный и греч. επιπεδον плоскость) призма, основанием которо … Википедия

Источник

Параллелепипед

Параллелепипед — тело строгих геометрических форм, противоположные грани которого находятся в параллельных плоскостях. Все плоскости, или грани, включая основание, параллелограммы. Научно определение параллелепипеда — призма, основанием которой служит параллелограмм. Часто ученики затрудняются ответить, чем отличается параллелограмм от параллелепипеда. Отличие в том, что параллелограмм — фигура плоская, двухмерная, а параллелепипед — объемное геометрическое тело, протяженное в трех измерениях, имеющее ширину, высоту и длину. Как выглядит параллелепипед, посмотрите на рисунке:

Виды параллелепипеда

Параллелепипед — многогранник. Его ограничивают шесть плоскостей, два основания, и четыре боковые грани. Линии, по которым соединяются грани, называются ребрами, а точки, в которых сходятся три ребра — вершинами. У фигуры 8 вершин.

Если грани имеют общее ребро, то их называют смежными, а те, у которых такого ребра нет — противоположными. Это же касается и вершин, если они не лежат на одной грани, то их тоже называют противоположными. Высота, ширина и длина прямоугольного параллелепипеда называются измерениями, они выходят из одной вершины. Если фигура не прямоугольная, то измерения и ребра не совпадают.

При построении параллелепипеда на рисунке можно провести ряд дополнительных линий, которые помогают при вычислении объема, площади поверхности, неизвестных длин и других параметров. Если линии проходят через противоположные вершины, то их называют диагоналями. У параллелепипеда их насчитывается четыре.

В геометрии выделяют несколько типов параллелепипедов, которые отличаются некоторыми свойствами:

Свойства параллелепипеда

Для всех типов параллелепипедов можно выделить общие свойства, характеризующие фигуру. Таких свойств немного, запомнить их не сложно:

Твердо запомнив эти свойства несложно решить большинство задач школьной геометрии.

Основные формулы параллелепипеда

Кроме свойств этой фигуры нужно запомнить ряд несложных формул. Конечно, в процессе решения задачи можно вывести эти выражения самостоятельно. Но часто на это нет времени, лучше воспользоваться готовыми шаблонами.

Формула площади боковой поверхности прямого параллелепипеда — одна из самых простых. S_б=Р_о∙h. В этой формуле только три величины, но одна из них составная:

H – высота параллелепипеда;

Р – периметр, АВ+ВС+АD+ CD.

Воспользоваться такой формулой можно только в том случае, если известны длины сторон основы и высота.

Площадь полной поверхности параллелепипеда определяется по формуле S_п=S_б+2S_о.

Как найти площадь боковой поверхности мы знаем из предыдущего пункта, а площадь S_о рассчитывается в зависимости от вида четырехугольника, лежащего в основании.

Объем прямого параллелепипеда тоже найти несложно, для этого достаточно умножить площадь основания на высоту. Объём V=S_о∙h

Формулы для прямоугольного параллелепипеда тоже не отличаются сложностью:

S_б=2c(a+b) в этой формуле а и b – стороны основания, с – высота, равна длине бокового ребра.

Площадь полной поверхности равна S_п=2(ab+bc+ac);

Объем V=abc, то есть, произведение всех трех измерений.

Когда же приходится вычислять площади и объем произвольного параллелепипеда, то показанные формулы не всегда срабатывают. Необходимо использовать законы векторной геометрии. При вычислении объема параллелепипеда через длину диагонали, необходимо использовать проекции на разные оси. Видимая простота формул — это только основа для сложной работы, требующей пространственного воображения и смекалки.

Треугольная призма все формулы и примеры задач

Как найти площадь трапеции

Как найти площадь прямоугольника 3 класс

Формулы по математике для ЕГЭ и ОГЭ

Шар и сфера, объем шара, площадь сферы, формулы

Источник

Параллелепипед

Параллелепи́пед (др.-греч. παραλληλ-επίπεδον [1] от др.-греч. παρ-άλληλος — «параллельный» и др.-греч. ἐπί-πεδον — «плоскость») — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.

Содержание

Типы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства

Основные формулы

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности S_б=Р_о*h, где Р_о — периметр основания, h — высота

Площадь полной поверхности S_п=S_б+2S_о, где S_о — площадь основания

Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности S_б=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности S_п=2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Площадь поверхности:
Объём: , где — ребро куба.

Произвольный параллелепипед

В математическом анализе

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом понимают множество точек вида

Источник

Значение слова «параллелепипед»

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

ПАРАЛЛЕЛЕПИ’ПЕД, а, м. [от греч. parallelos — параллельный и epipedon — поверхность] (мат.). Шестигранник, у к-рого противоположные грани равны и параллельны.

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

параллелепи́пед

1. геометр. призма, основанием которой служит параллелограмм; то есть многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм ◆ У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

Фразеологизмы и устойчивые сочетания

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.

Насколько понятно значение слова зажиленный (прилагательное):

Ассоциации к слову «параллелепипед&raquo

Синонимы к слову «параллелепипед&raquo

Предложения со словом «параллелепипед&raquo

Цитаты из русской классики со словом «параллелепипед»

Сочетаемость слова «параллелепипед&raquo

Каким бывает «параллелепипед»

Понятия со словом «параллелепипед»

Отправить комментарий

Дополнительно

Предложения со словом «параллелепипед&raquo

Я перенёс на них взгляд. Сокровище молодого человека имело форму параллелепипеда, а у девушки – квадрата.

Это лёгкое сооружение в форме прямоугольного параллелепипеда, очень напоминающее морской контейнер.

Всполохи молний озарили помещение, в котором оказались люди, зал с тремя чёрными параллелепипедами, похожими на гробы, такими же чёрными потолком и стенами.

Синонимы к слову «параллелепипед&raquo

Ассоциации к слову «параллелепипед&raquo

Сочетаемость слова «параллелепипед&raquo

Каким бывает «параллелепипед»

Морфология

Правописание

Карта слов и выражений русского языка

Онлайн-тезаурус с возможностью поиска ассоциаций, синонимов, контекстных связей и примеров предложений к словам и выражениям русского языка.

Справочная информация по склонению имён существительных и прилагательных, спряжению глаголов, а также морфемному строению слов.

Сайт оснащён мощной системой поиска с поддержкой русской морфологии.

Источник

Математика. 5 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками.

Грань – плоская поверхность предмета, составляющая угол с другой такой же поверхностью.

Основания параллелепипеда – это его верхняя и нижняя грани.

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 класс. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мир, в котором мы живём, состоит из огромного количества разных по форме, цвету и размеру предметов. Изучая их свойства, люди открывают что-то новое. Например, математики в окружающем пространстве обращают внимание на геометрические тела: цилиндры, кубы и так далее.

Сегодня мы рассмотрим прямоугольный параллелепипед – многогранник, название которого с древнегреческого переводится как «идущие рядом плоскости».

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью прямоугольниками, то есть шестью гранями. Грань, на которую поставлен параллелепипед, и ей противоположную называют нижним и верхним основаниями.

Остальные четыре грани называют боковыми гранями.

Стороны граней параллелепипеда называют рёбрами. Их двенадцать.

Концы рёбер называют вершинами. Их в параллелепипеде восемь.

Каждая вершина является общим концом трёх рёбер.

Длины двух рёбер основания, выходящих из одной вершины, называют длиной и шириной прямоугольного параллелепипеда.

Длину бокового ребра называют высотой.

Таким образом, длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, называют длиной, шириной, высотой. Иначе длину, ширину и высоту называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны между собой, называется кубом. Каждая грань куба – квадрат.

Рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда и куба.

У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны.

Все грани куба равны между собой.

Построим прямоугольник заданной длины а и высоты h.

Для этого от каждой вершины отложим отрезок, равный половине ширины b под углом 45 градусов. И соединим концы отрезков, причём невидимые грани – пунктирной линией.

Изготовить параллелепипед можно несколькими способами. Например, с помощью развёртки. Для этого на бумаге вычерчивается макет, который выглядит как приведённый шаблон. Обратите внимание, что на картинке даны припуски для того, чтобы можно было склеить параллелепипед.

Другой способ изготовления параллелепипеда – модульная сборка. Она требует ряда последовательных действий.

1) Вырежьте из бумаги шесть одинаковых квадратов.

2) Согните их к середине, как показано на картинке.

3) Согните верхние и нижние края заготовки, как показано на рисунке.

4) Верхний уголок опустите вниз, а нижний – загните наверх. После этого получится квадрат.

5) Сделайте шесть таких заготовок и соедините их в один параллелепипед. Для этого каждый острый уголок вставьте в кармашек соседней части кубика.

№ 1. Какова площадь верхней грани параллелепипеда?

Решение: площадь верхней грани параллелепипеда соответствует площади прямоугольника. Верхняя грань параллелепипеда имеет длину 15см и ширину 3см. Значит, далее по формуле вычисляем площадь:

S = а ·b = 15 см · 3 см = 45 см 2

Ответ: 45 см 2

№ 2. На рисунке изображен куб, состоящий из нескольких маленьких кубиков. Сколько маленьких кубиков ушло на построение данного куба?

Решение: для решения задачи нужно посмотреть, сколько маленьких кубиков расположено на одной грани куба. Их 9 штук. Всего на рисунке изображено три грани. Таким образом, чтобы найти общее количество маленьких кубиков, следует умножить количество кубиков, умещающихся на одной грани, на количество граней: 9 · 3= 27 штук.

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №7. Тетраэдр и параллелепипед

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Глоссарий по теме

Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Сечением поверхности геометрических тел называется – плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Учебник Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.

Открытый электронный ресурс:

Решу ЕГЭ. Открытый образовательный портал. https://ege.sdamgia.ru

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В дельнейшем несколько уроков нашего курса будет посвящены многогранникам- поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников. Но до более подробного изучения многогранников мы познакомимся с двумя из них- тетраэдром и параллелепипедом. Нам данные тела дадут возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей.

Давайте вспомним, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. Многоугольник мы рассматривали либо как замкнутую линию без самопересечений, либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму.

Мы будем использовать второе толкование многоугольника при рассмотрении поверхностей и тел в пространстве. При таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру и ответим на несколько вопросов.

Итак, поверхность данной фигуры состоит из четырёх треугольников DАВ, DВС, DАС и АВС.

Мы с вами выяснили из элементов состоит наша фигура тетраэдр. Теперь сформулируем определение.

Определение. Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Говорят, что рёбра АD и ВС, АВ и CD, и т.д.- противоположные.

Изображается тетраэдр обычно так (рис. 1).

Рисунок 1 – изображение тетраэдра.

Математика, в частности геометрия, является мощнейшим инструментом в познании мира. Различные геометрические формы находят свое практическое приспособление в различных областях знания: архитектуре, скульптуре, живописи. И тетраэдр тому доказательство. Так же мы можем наблюдать тетраэдр в повседневной жизни (рис. 2).

Форма пакета молока

Прежде чем начать изучать параллелепипед вспомним определение параллелограмма и его свойства.

Определение. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 3).

Рисунок 3 – параллелограмм

1. Противоположные стороны параллелограмма равны:

2. Противоположные углы параллелограмма равны:

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:

треугольники ABC и CDA равны.

6. Накрест лежащие углы при диагонали равны:

А теперь перейдем к параллелепипеду.

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A₁B₁C₁D₁, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA_1, BB_1, CC₁ и DD₁ параллельны.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру (рис. 4).

Рисунок 4 – параллелепипед и его диагонали

АВСDA₁B₁C₁D₁: поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A₁B₁C₁D₁, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.

Определение. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда:
A₁C, D₁B, AC₁, DB₁.

Параллелепипед – слово греческого происхождения, параллел – идущий рядом, епипед – плоскость.

Определение.Параллелепипед- этошестигранник с параллельными и равными противоположными гранями.

Следует отметить, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед – поверхности, составленные из плоских поверхностей (соответственно треугольников и параллелограммов).

Способы изображения параллелепипеда

Параллелепипед, в основании которого лежит ромб

Параллелепипед, в основании которого лежит квадрат

Параллелепипед,в основании которого лежит прямоугольник или параллелограмм

Параллелепипед, у которого все грани — равные квадраты

Можно сделать вывод, что параллелепипеды делятся на (рис. 5)

Рисунок 5 – виды параллелепипедов

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁грани ВВ₁С₁С и AA₁D₁D параллельны (рис. 6), потому что две пересекающиеся прямые ВВ₁ и В₁С₁ одной грани параллельны двум пересекающимся прямым АА₁ и A₁D₁ другой; эти грани и равны, так как В₁С₁ = A₁D₁, В₁В= А₁А (как противоположные стороны параллелограммов) и ∟ ВВ₁С₁= ∟АA₁D₁.

Рисунок 6 – чертеж к доказательству свойства 1

Возьмём какие-нибудь две диагонали, например АС₁ и ВD₁, и проведём вспомогательные прямые АD₁ и ВС₁ (рис. 7).

Так как рёбра АВ и D₁С₁ соответственно равны и параллельны ребру DС, то они равны и параллельны между собой; вследствие этого фигура АD₁С₁В есть параллелограмм, в котором прямые С₁А и ВD₁ —диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.

Возьмём теперь одну из этих диагоналей, например АС₁, с третьей диагональю, положим, с В₁D. Совершенно так же мы можем доказать, что они делятся в точке пересечения пополам. Следовательно, диагонали B₁D и АС₁ и диагонали АС₁ и BD₁(которые мы раньше брали) пересекаются в одной и той же точке, именно в середине диагонали
АС₁. Наконец, взяв эту же диагональ АС₁ с четвёртой диагональю А₁С, мы также докажем, что они делятся пополам. Значит, точка пересечения и этой пары диагоналей лежит в середине диагонали АС₁. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся этой точкой пополам.

Рисунок 7 – чертеж к доказательству свойства 2

Задачи на построение сечений.

Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:

Фигуры, которые получаются в результате сечения:

Один из методов построения сечений, который мы рассмотрим- метод следа.

Рассмотрим метод следов, применяемый при построении сечений многогранников, а именно при построении сечения куба плоскостью.

Что такое метод следов? При построении сечений многогранников в качестве вспомогательной прямой часто используется след секущей плоскости (в плоскости грани, удобной для рассмотрения). Такой метод построения сечений называется методом следа.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (рис. 8).

Рисунок 8 –чертеж к задаче №1

Основные правила построения сечений методом следа:

То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС. Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Рисунок 9 – чертеж к задаче №2

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN (рис. 10). Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К. Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС (рис. 11). В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.

Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р₁ и Р₂. Соединяем Р₁ и М и на продолжении получаем точку М₁. Соединяем точку Р₂ и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.

Рисунок 10 – чертеж к примеру 1 (первый случай)

Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС (рис. 12). Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р₁Р₂, тогда прямая Р₁Р₂ параллельна данной прямой MN.

Рисунок 11 – чертеж к примеру 1 (второй случай)

Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.

Плоскость SBC и плоскость, проходящая через прямую MN параллельно ребру SB, пересекаются по прямой, проходящей через точку N (рис. 13).
По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.
В плоскость SBC через т. N проходит NQ||SB.
Плоскость SAB и плоскость MNQ пересекаются по прямой, проходящей через т. M (прямая MP). По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.

следовательно, PM||NQ.Утверждение доказано.

Источник

Характеристики параллелепипеда, типы, площадь, объем

параллелепипед представляет собой геометрическое тело, образованное шестью гранями, основной характеристикой которого является то, что все их грани являются параллелограммами, а также их противоположные грани параллельны друг другу. Это обычный многогранник в нашей повседневной жизни, так как мы можем найти его в обувных коробках, в форме кирпича, в форме микроволновой печи и т. Д..

Будучи многогранником, параллелепипед заключает в себе конечный объем и все его грани плоские. Он входит в группу призм, которые представляют собой те многогранники, в которых все их вершины содержатся в двух параллельных плоскостях..

Элементы параллелепипеда

Карас

Они являются каждой из областей, образованных параллелограммами, которые ограничивают параллелепипед. Параллелепипед имеет шесть граней, где каждая грань имеет четыре смежные грани и одну противоположную. Кроме того, каждая сторона параллельна своей противоположной.

ость

Они общая сторона двух лиц. Всего параллелепипед имеет двенадцать ребер.

вершина

Это общая точка трех граней, примыкающих друг к другу два к двум. Параллелепипед имеет восемь вершин.

диагональный

Учитывая две противоположные стороны параллелепипеда, мы можем нарисовать отрезок прямой, который идет от вершины одной грани к противоположной вершине другой.

Этот отрезок известен как диагональ параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали.

центр

Это точка, в которой все диагонали пересекаются.

Характеристики параллелепипеда

Как мы уже упоминали, это геометрическое тело имеет двенадцать ребер, шесть граней и восемь вершин.

В параллелепипеде вы можете идентифицировать три набора, образованные четырьмя ребрами, которые параллельны друг другу. Кроме того, края этих наборов также имеют свойство иметь одинаковую длину.

Другое свойство, которым обладают параллелепипеды, состоит в том, что они являются выпуклыми, то есть, если мы возьмем любую пару точек, принадлежащих внутренней части параллелепипеда, отрезок, определяемый указанной парой точек, также будет находиться внутри параллелепипеда..

Кроме того, параллелепипеды, являющиеся выпуклыми многогранниками, соответствуют теореме Эйлера для многогранников, которая дает нам взаимосвязь между числом граней, числом ребер и числом вершин. Это соотношение задается в форме следующего уравнения:

Эта особенность известна как характеристика Эйлера.

тип

Мы можем классифицировать параллелепипеды по их граням по следующим типам:

кубоид

Это параллелепипеды, лица которых образованы шестью прямоугольниками. Каждый прямоугольник перпендикулярен тем, что имеет общий край. Они наиболее распространены в нашей повседневной жизни, так как это обычный способ обувных коробок и кирпичей..

Куб или правильный шестигранник

Это частный случай предыдущего, где каждая из граней является квадратом.

Куб также является частью геометрических тел, называемых платоновыми телами. Платоническое тело представляет собой выпуклый многогранник, так что его грани и внутренние углы равны друг другу.

romboedro

Это параллелепипед с бриллиантами на лице. Эти алмазы все равны между собой, так как они имеют общие края.

Romboiedro

Диагональный расчет

Напомним, что ортоэдр имеет характеристику, состоящую в том, что каждая сторона перпендикулярна сторонам, имеющим общий край. Из этого факта мы можем сделать вывод, что каждое ребро перпендикулярно тем, которые имеют общую вершину.

Чтобы вычислить длину диагонали ортоэдра, действуем следующим образом:

1. Мы рассчитаем диагональ одной из граней, которую мы положим в качестве основы. Для этого мы используем теорему Пифагора. Назовите эту диагональ_б.

2. Потом с д_б мы можем сформировать новый прямоугольный треугольник, такой, что гипотенуза указанного треугольника является искомой диагональю D.

3. Мы снова используем теорему Пифагора и получаем, что длина указанной диагонали равна:

Напомним, что два свободных вектора A и B добавляются путем помещения хвоста вектора B с острием вектора A.

Вектор (A + B) является тем, который начинается в хвосте A и заканчивается в конце B.

Рассмотрим параллелепипед, по которому мы хотим вычислить диагональ.

Отождествляем ребра с удобно ориентированными векторами.

Затем мы добавим эти векторы, и результирующий вектор будет диагональю параллелепипеда.

область

Площадь параллелепипеда задается суммой каждой из областей их граней..

Если мы определим одну из сторон в качестве базы,

Где_L равна сумме площадей всех сторон, прилегающих к основанию, называемых боковой зоной и А_В это базовая зона.

В зависимости от типа параллелепипеда, с которым мы работаем, мы можем переписать указанную формулу.

Площадь ортоэдра

Дается по формуле

A = 2 (ab + bc + ca).

Пример 1

Учитывая следующий ортоэдр, со сторонами a = 6 см, b = 8 см и c = 10 см, вычислите площадь параллелепипеда и длину его диагонали.

Используя формулу для площади ортоэдра, мы должны

Обратите внимание, что, поскольку это ортоэдр, длина любой из его четырех диагоналей одинакова.

Используя теорему Пифагора для пространства, мы должны

D = (6 2 + 8 2 + 10 2 ) 1/2 = (36 + 64 + 100) 1/2 = (200) 1/2

Площадь куба

Поскольку каждое ребро имеет одинаковую длину, мы имеем a = b и a = c. Подставляя в предыдущую формулу, мы имеем

А = 2 (аа + аа + аа) = 2 (3а 2 ) = 6а 2

Пример 2

Коробка игровой приставки имеет форму куба. Если мы хотим обернуть эту коробку подарочной бумагой, сколько бумаги мы бы потратили, зная, что длина краев куба составляет 45 см??

Используя формулу площади куба, получаем, что

А = 6 (45 см) 2 = 6 (2025 см 2 = 12150 см 2

Площадь ромбоэдра

Поскольку все их лица равны, достаточно рассчитать площадь одного из них и умножить его на шесть.

Мы можем рассчитать площадь алмаза, используя его диагонали по следующей формуле

Из этой формулы следует, что общая площадь ромбоэдра

Пример 3

Грани следующего ромбоэдра образованы ромбом, диагонали которого D = 7 см и d = 4 см. Ваша область будет

Площадь ромба

Чтобы вычислить площадь ромба, мы должны вычислить площадь ромбоидов, которые его составляют. Поскольку параллелепипеды соответствуют тому, что противоположные стороны имеют одинаковую площадь, мы можем связать стороны в трех парах.

Таким образом, мы имеем, что ваш район будет

Где б_Я являются основаниями, связанными со сторонами и_Я его относительная высота, соответствующая указанным основаниям.

Пример 4

Рассмотрим следующий параллелепипед,

где сторона A и сторона A ‘(противоположная сторона) имеют основание b = 10 и высоту h = 6. Обозначенная область будет иметь значение

B и B ‘имеют b = 4 и h = 6, тогда

А С и С ‘имеют b = 10 и h = 5, поэтому

Наконец, площадь ромбоэдра

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Объем параллелепипеда

Формула, которая дает нам объем параллелепипеда, представляет собой произведение площади одной из его граней на высоту, соответствующую упомянутой грани..

В зависимости от типа параллелепипеда указанная формула может быть упрощена.

Таким образом, мы имеем, например, что объем ортоэдра будет

Где a, b и c обозначают длину ребер ортоэдра.

И в частном случае куба

Пример 1

Существует три разных модели коробок печенья, и вы хотите знать, в какой из этих моделей вы можете хранить больше печенья, то есть какая из коробок имеет наибольший объем.

Его объем будет V = 1000 см. 3

Второй имеет ребра b = 17 см, c = 5 см, d = 9 см.

И поэтому его объем составляет V = 765 см. 3

А третий имеет е = 9 см, f = 9 см и g = 13 см.

И его объем составляет V = 1053 см. 3

Поэтому ящик с наибольшим объемом является третьим.

Одной из геометрических интерпретаций, имеющих тройное скалярное произведение, является объем параллелепипеда, ребра которого представляют собой три вектора, которые имеют одну и ту же вершину в качестве начальной точки..

Таким образом, если у нас есть параллелепипед и мы хотим знать его объем, достаточно представить его в системе координат в R 3 сопоставление одной из его вершин с началом координат.

Затем мы представляем ребра, совпадающие в начале координат с векторами, как показано на рисунке..

И таким образом, мы имеем, что объем указанного параллелепипеда определяется как

Или, что эквивалентно, объем является детерминантом матрицы 3 × 3, образованной компонентами краевых векторов.

Пример 2

Представляя следующий параллелепипед в R 3 мы можем видеть, что векторы, которые определяют это следующие

Используя тройное скалярное произведение, мы имеем

Из этого мы заключаем, что V = 60

Теперь рассмотрим следующий параллелепипед в R3, ребра которого определяются векторами

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) и C = (3, 4, 4)

Использование определителей дает нам, что

Таким образом, мы имеем, что объем указанного параллелепипеда составляет 112.

Оба являются эквивалентными способами расчета объема.

Идеальный параллелепипед

Он известен как кирпич Эйлера (или блок Эйлера) для ортоэдра, который выполняет свойство, состоящее в том, что длина его ребер и длина диагоналей каждой из его граней являются целыми числами..

Хотя Эйлер был не первым ученым, изучавшим ортоэдры, которые встречают это свойство, он нашел интересные результаты о них.

Меньший кирпич Эйлера был открыт Полом Холке, а длина его ребер a = 44, b = 117 и c = 240..

Открытая проблема в теории чисел заключается в следующем

Есть ли идеальные ортоэдры?

В настоящее время на этот вопрос не может быть ответа, так как не было возможности доказать, что эти тела не существуют, но ни один не был найден.

До сих пор было показано, что идеальные параллелепипеды существуют. Первый из обнаруженных имеет длину своих ребер значения 103, 106 и 271.

Источник

Урок 29 Бесплатно Прямоугольный параллелепипед

На прошлых занятиях мы рассматривали плоские фигуры.

В реальности же каждый предмет, какой бы он формы не был, занимает некоторую часть пространства.

Даже у самого тонкого листа бумаги имеется толщина.

Если взять стопку таких листов, то объем стопки бумаги будет хорошо заметен.

Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры и их свойства в пространстве, называется стереометрией.

Слово стереометрия происходит от древнегреческого «стериос»- объемный, пространственный и «метрио»- измерять.

Базовыми фигурами в пространстве, как и на плоскости, является точка, прямая и плоскость, из которых образуются объемные геометрические фигуры, тела, пространства.

Геометрическое тело, состоящее из плоских многоугольников, называют многогранником.

Существует огромное множество многогранников: выпуклые, невыпуклые, правильные и т.д.

На данном уроке познакомимся с выпуклым прямоугольным многоугольником, который называется параллелепипед.

Выясним, как прямоугольный параллелепипед выглядит и из каких элементов он состоит.

Рассмотрим его свойства.

Научимся изображать данный многоугольник на плоскости и вычислять площадь его поверхности.

Разберем несколько примеров решения задач.

Прямоугольный параллелепипед

Каждый может себе представить и знает, как выглядят детские кубики.

С кубиками и конструктором из брусочков прямоугольной формы многие знакомы с раннего детства: строили домики, башенки, дороги, затем все это радостно рушили.

Всем известно, как выглядит коробка конфет или долька шоколада. Многие получали подарки в красивой красочной коробке с ярким бантом, читали книги с увлекательными рассказами и сказками.

Если обратим внимание на форму, то заметим, что все изображенные объекты имеют некоторое сходство, они представляют собой прямоугольный параллелепипед.

Прямоугольный параллелепипед-это объемная геометрическая фигура, многогранник, состоящий из шести прямоугольников.

Плоские фигуры, такие как квадрат, прямоугольник, треугольник изобразить на плоскости легко, они являются её частью.

Любую объемную фигуру изобразить на плоскости затруднительно.

Многогранник необходимо изобразить так, чтобы была заметна объемность фигуры.

Пунктирная линия дает возможность понять наблюдателю, как расположен многогранник и определить, откуда необходимо смотреть на него.

Если мы изобразим параллелепипед только сплошной линией, то на рисунке будут изображены различные четырехугольники, соединенные между собой, а объемного представления многоугольника данный рисунок не даст.

Даже если нам известно, что изображен прямоугольный параллелепипед, то все равно непонятно какой стороной расположен многогранник к наблюдателю.

Если невидимые линии на рисунке изобразить пунктирными линиями, то у фигуры сразу будет заметен объем.

Прямоугольный параллелепипед изображают так:

Прямоугольники, из которых состоит прямоугольный параллелепипед, называют гранями, причем противоположные грани его попарно равны.

Верхняя грань равна нижней, правая равна левой, передняя грань равна задней.

Грань, на которой стоит прямоугольный параллелепипед, называют нижним основанием, противоположную грань называют верхним основанием параллелепипеда.

Остальные четыре грани называют боковыми гранями.

Стороны граней называют ребрами параллелепипеда.

Концы ребер, т.е. вершины граней, называют вершинами параллелепипеда.

На рисунке вершины изображены точками.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Для любого выпуклого многогранника, в том числе и для параллелепипеда, справедливо утверждение: Г + В – Р = 2, где

Г— число граней

В— число вершин

Р— число ребер

Данное утверждение говорит о том, что количество вершин и граней многоугольника вместе взятых всегда на два больше количества ребер.

Это правило называют теоремой Эйлера в честь ее создателя математика, механика Леонарда Эйлера.

Проверим справедливость теоремы Эйлера для разных фигур.

Параллелепипед состоит из следующих элементов: 6 граней (Г = 6), 8 вершин (В = 8), 12 ребер (Р = 12).

Г + В – Р = 6 + 8 – 12 = 14 – 12 = 2

Получили верное равенство.

Пирамида- это многогранник, в основании которого лежит многоугольник.

Грани пирамиды- это треугольники, сходящиеся в общую вершину.

Тетраэдр- пирамида, состоящая из 4 граней- равных треугольников (Г = 4), 4 вершин (В = 4) и 6 ребер (Р = 6).

Г + В – Р = 4 + 4 – 6 = 8 – 6 = 2

Получили верное равенство.

Четырехугольная пирамида имеет 5 граней: квадрат в основании и 4 треугольника в качестве боковых граней (Г = 5), 5 вершин (В = 5), 8 ребер (Р = 8).

Г + В – Р = 5 + 5 – 8 = 10 – 8 = 2

Получили верное равенство

Прямоугольный параллелепипед имеет три линейные величины (три измерения): ширину, длину и высоту.

Величину прямоугольного параллелепипеда определяют длинами трех ребер, исходящих из одной вершины.

Если все три величины прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед называют кубом.

Куб по-другому называют правильный гексаэдр (от греческого «hex»- шесть и «hedra»- грань).

Куб выглядит так:

Он имеет все те же элементы, что и прямоугольный параллелепипед.

Все шесть граней куба равны, следовательно, и все 12 ребер между собой равны.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Куб относится к Платоновским телам.

Платоновскими телами называют объемные геометрические тела выпуклой формы, которые состоят из одинаковых по форме и размеру многоугольников, а в каждой вершине такого многогранника сходится одинаковое число ребер.

Всего существует пять Платоновских тел. Такие многогранники известны с древних времен.

В Древней Греции существовали различные философские школы, в которых пытались разъяснить существование и выяснить предназначение геометрических тел правильной формы.

Пифагорейцы считали, что материя состоит из четырех составляющих: огня, воды, воздуха, земли.

Ассоциировали четыре правильных многогранника (тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр) с этими стихиями.

Пятый правильный многогранник (додекаэдр) олицетворял все мироздание, Вселенную, его стали называть «пятая сущность».

Учения Пифагорейцев изложил в своих трудах древнегреческий философ, ученый Платон. В связи с этим правильные многогранники стали называть Платоновскими телами.