Геометрия что изучает

Геометрия

Содержание

Классификация

Общепринятую в наши дни классификацию различных разделов геометрии предложил Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе» (1872). Согласно Клейну, каждый раздел изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются (инвариантны) при действии некоторой группы преобразований, специфичной для каждого раздела. В соответствии с этой классификацией, в классической геометрии можно выделить следующие основные разделы.

Современная геометрия включает в себя следующие дополнительные разделы.

По используемым методам выделяют также такие инструментальные подразделы.

История

Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. При этом античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают составленные около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Этот труд более двух тысячелетий считался образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений — аксиом.

Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием.

Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Примерно одновременно с этим Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями.

Ф. Клейн в «Эрлангенской программе» систематизировал все виды однородных геометрий; согласно ему геометрия изучает все те свойства фигур, которые инвариантны относительно преобразований из некоторой группы. При этом каждая группа задаёт свою геометрию. Так, изометрии (движения) задаёт евклидову геометрию, группа аффинных преобразований — аффинную геометрию.

Источник

Геометрия

Полезное

Смотреть что такое «Геометрия» в других словарях:

ГЕОМЕТРИЯ — (греч. geometria, от ge земля, и metron мера). Часть математики, имеющая предметом свойства и измерения линий, поверхностей и объемов тел. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГЕОМЕТРИЯ греч. geometria,… … Словарь иностранных слов русского языка

ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ, раздел математики, предметом изучения которого являются пространственные отношения и формы. Для большинства людей геометрия ассоциируется только с ГЕОМЕТРИЕЙ ЕВКЛИДА, предметом которой являются плоскости и жесткие геометрические фигуры … Научно-технический энциклопедический словарь

ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ, геометрии, мн. нет, жен. (от греч. ge земля и metreo измеряю). Отдел математики, в котором изучаются пространственные формы, их измерение и взаимное расположение. Элементарная геометрия. Аналитическая геометрия (пользующаяся методами… … Толковый словарь Ушакова

ГЕОМЕТРИЯ — (от гео. и. метрия), часть математики, изучающая пространственные формы (например, фигуры и тела), их отношения (например, взаимное расположение) и их обобщения. Зарождение геометрии относится ко 2 му тысячелетию до нашей эры, в… … Современная энциклопедия

ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ, и, жен. Раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы. | прил. геометрический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

геометрия — сущ., кол во синонимов: 9 • астероид (579) • линиолонгиметрия (2) • линиометрия (2) … Словарь синонимов

геометрия — – правильная форма авто. EdwART. Словарь автомобильного жаргона, 2009 … Автомобильный словарь

геометрия — конфигурация геометрическая форма — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы конфигурациягеометрическая форма EN geometry … Справочник технического переводчика

Источник

Геометрия это наука

Курс повышения квалификации

Методика работы с информационными ресурсами глобальных и национальных сетевых поисковых сервисов библиотек и информационно-библиотечных центров в условиях реализации ФГОС

Курс повышения квалификации

Актуальные вопросы трудового законодательства и охраны труда в образовательной организации

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

«Мнемоники для запоминания терминов, стихотворений, иностранных слов»

Учебные задания в аспекте функциональной грамотности школьников в новом учебном году

Открытая сессия для педагогов и родителей

Описание презентации по отдельным слайдам:

Введение
Геометрия – наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение фигур.
Слово геометрия – греческое, оно означает “землемерие” (гео – земля, метрео – измеряю).
Геометрия состоит из двух разделов: планиметрии и стереометрии.
Планиметрия – средневековый термин, первая часть которого – «плани» – происходит от латинского слова «плоскость», а вторая –»метрия» – от греческого «мерить», т.е. буквально планиметрия означает «плоскомерие». В планиметрии изучаются плоские фигуры, т.е. расположенные в одной плоскости.

Стереометрия – греческое слово, составленное из «стерео» – тело и «метрео» – измеряю. Таким образом, стереометрия – это «теломерие». В стереометрии изучаются неплоские фигуры, т.е. не лежащие в одной плоскости. Чаще их называют пространственными.

Евклид
Евклид – древнегреческий ученый, живший около 300 г. до нашей эры.
В его тринадцати книгах «Начала» впервые было представлено аксиоматическое построение геометрии. На протяжении около двух тысячелетий этот труд остается основой изучения систематического курса геометрии.
Царь Птолемей спросил у Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии, чем его «Начала». Евклид на это ответил: «В геометрии нет царского пути».

Вопрос 1
Как переводится греческое слово «геометрия»?
Ответ: Землемерие.

Вопрос 2
Что изучает геометрия?
Ответ: Геометрия изучает формы, размеры и взаимное расположение фигур.

Вопрос 3
Из каких двух основных разделов состоит геометрия?
Ответ: Планиметрия и стереометрия.

Вопрос 4
Что означает слово «планиметрия»?
Ответ: «Плоскомерие».

Вопрос 5
Что означает слово «стереометрия»?
Ответ: «Теломерие».

Вопрос 6
Где зародилась геометрия?
Ответ: В Древней Греции.

Вопрос 7
Когда существовала Древняя Греция?
Ответ: VII в. до н. эры – III в. н. эры.

Вопрос 8
Когда жил Пифагор?
Ответ: 580 – 500 гг. до н. эры.

Вопрос 10
Какую форму, по мнению пифагорейцев, имели атомы:
а) огня; б) земли; в) воздуха; г) воды?
Ответ: а) Тетраэдра; б) куба; в) октаэдра; г) икосаэдра?

Вопрос 11
Какую форму, по мнению пифагорейцев, имела вся Вселенная?
Ответ: Додекаэдра.

Вопрос 12
Как звали ученого, впервые давшего аксиоматическое построение геометрии?
Ответ: Евклид.

Вопрос 13
Когда жил Евклид?
Ответ: Около 300 г. до нашей эры.

Вопрос 14
Как назывались книги Евклида, в которых давалось аксиоматическое построение геометрии?
Ответ: Начала.

Упражнение 1
Сколько граней (Г) имеет:
Ответ: Г = 4.
Ответ: Г = 6.
Ответ: Г = 8.
Ответ: Г = 20.
а) тетраэдр?
б) куб?
в) октаэдр?
г) икосаэдр?
д) додекаэдр?
Ответ: Г = 12.

Упражнение 2
Сколько вершин (В) имеет:
Ответ: В = 8.
Ответ: В = 6.
Ответ: В = 12.
Ответ: В = 20.
Ответ: В = 4.
а) тетраэдр?
б) куб?
в) октаэдр?
г) икосаэдр?
д) додекаэдр?

Упражнение 3
Сколько ребер (Р) имеет:
Ответ: Р = 12.
Ответ: Р = 12.
Ответ: Р = 30.
Ответ: Р = 30.
Ответ: Р = 6.
а) тетраэдр?
б) куб?
в) октаэдр?
г) икосаэдр?
д) додекаэдр?

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 3 000 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Акция до 31 августа

«Начало учебного года современного учителя»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Источник

Основы геометрии

Идеальные объекты

Геометрия — раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Математика занимается объектами и делает о них некие заключения, которые называют теоремами. Эти треугольники похожи, и о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Базовые геометрические объекты

Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.

Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.

Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.

Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.

Прямая — это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать.

Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.

Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b, c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).

Два варианта расположения точек относительно прямой:

Точки лежат на данной прямой. Или еще говорят, что прямая проходит через эти точки — на рисунке выше такими точками являются А и В. При решении задач для краткости используют запись A ∈ a (читается так: точка А принадлежит прямой a или точка А лежит на прямой a), аналогично будет и для точки В (B ∈ b).

Точки не лежат на данной прямой. Говорят так: прямая не проходит через эти точки — на рисунке такими точками являются С и D. При решении задач для краткости используют запись C ∉ a (читается так: точка С не принадлежит прямой a или точка С не лежит на прямой a), аналогично будет и для точки D (D ∉ a).

Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:

Прямые пересекаются, то есть имеют одну общую точку.

Для записи пересекающихся прямых используют специальный знак — ∩, то есть a∩b (читают: прямая a пересекает прямую b). Чтобы обозначить точку пересечения прямых, пишут a∩b = O (читается: прямая a пересекается с прямой b в точке O).

Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — , то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n). В дальнейшем для обозначения не пересекающихся прямых мы будем использовать знак параллельности ||.

Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.

На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:

Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.

Назовем получившиеся лучи:

Луч ОА, точка О — начало луча ОА; конца у луча ОА нет.

Луч ОВ, точка О — начало луча ОВ; конца у луча ОВ нет.

Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.

Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости

Комбинации простейших объектов

Поговорим про комбинации простейших объектов. Например, две прямые, которые мы уже разглядели — либо пересекаются на плоскости, либо нет (тогда они параллельны).

Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа — количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби, возведение в степень.

Точно так же мы изучали множества, а после — отношения между множествами, функции.

Две прямые образуют углы. По сути, угол — это отношение между прямыми. Если один из них нулевой, то прямые параллельны. Если нет — прямые пересекаются.

Максимальный угол – это полный оборот, он составляет 360 градусов.

Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Углы измеряются в градусах. Углов бесконечно много, так как от 0° до 360° угол может принимать бесконечное множество значений.

Есть разные виды углов, выделим самые часто встречающиеся:

Если градусная мера угла меньше 90° — угол острый.

Если градусная мера угла равна 90° — угол прямой.

Если градусная мера угла больше 90°, но меньше 180° — угол тупой.

Если градусная мера угла равна 180° — угол развернутый.

Общая точка, из которой исходят лучи, называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.

Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Свойство вертикальных углов звучит так: вертикальные углы равны.

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.

Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит угол на две равные части.

А теперь посмотрим на взаимное расположение трех прямых.

Первый случай: все три прямые параллельны.

Второй случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.

Третий случай: если провести три прямые на плоскости случайным образом, велика вероятность образования треугольника. Поэтому этой фигуре мы уделяем так много времени в школе на уроках геометрии.

Треугольник

Треугольник образуют три прямые. Но на треугольник также можно посмотреть, как на фигуру, которая состоит из трех отрезков.

Из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников.

Треугольник можно использовать для измерения расстояний. А еще треугольник можно рассматривать в отношениях с окружностью, которая тоже является элементарной конструкцией. Читайте про вписанные и описанные углы.

Треугольник можно легко вычислить, то есть найти его площадь по трем элементам:

две стороны и угол между ними;

два угла и сторону;

Приходи на наши онлайн уроки по математике с лучшими препадавателями! Для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства треугольников

Раз треугольник можно задать тремя элементами, значит их можно классифицировать. Если два треугольника похожи, значит у них есть общие свойства.

Треугольник можно составить совсем не из любых трех отрезков: они должны удовлетворять важному свойству — неравенству треугольника.

Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.

Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.

Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.

Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.

Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны. Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.

От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов🙃

Четырехугольники

Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.

Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.

Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:

Окружность

Окружность — это еще один объект, который полезно изучить. Ее легко описать, она задается одним параметром — радиусом. А еще часто встречается в физике и в обычной жизни. Например, когда капля падает в воду, от нее остаются следы — маленткие окружности.

Практическая сторона геометрии

Название «геометрия» переводится с греческого, как «гео» — земля и «метрео» — мерить. Изначально геометрию использовали для разметки земли и других работ с землей. Но, оказалось, что сфера ее влияния безгранична.

Чтобы понять, зачем нам нужны знания по геометрии, просто оглянитесь вокруг: геометрия окружает нас в предметах разных форм. Взять хотя бы круг: его используют в искусстве, строительстве, технике. То же самое и с другими фигурами: чтобы сконструировать автомобиль или айфон, сшить одежду или построить дом — не обойтись без геометрии.

А еще геометрия помогает научиться рассуждать логически, искать связи и противоречия — полезный навык в диджитал-мире, когда информация окружает нас повсюду.

Вот, в каких профессиях пригодится геометрия: архитектор, айтишник, дизайнер, инженер, конструктор, строитель, smm-менеджер, декоратор, летчик, водитель, художник, проектировщик, астроном, спортсмен, музыкант и другие.

Почему изучать геометрию просто: мы видим объемный мир каждый день и регулярно прикасаемся к предметам, строим планы, размышляем и считаем в уме. В геометрии все знания подкреплены научными теориями — это помогает взаимодействовать с пространством по-другому, более осознанно.

Почему изучать геометрию сложно: некоторые правила придется учить наизусть.

Чтобы понять геометрию, двигайтесь от простого к сложному. Многие теоремы могут показаться очевидными. Но эта видимость может быть верной только для одного рисунка. Невозможно нарисовать все ситуации, ведь их их бесконечное множество. Именно поэтому важно доказать истину, чтобы никогда не сомневаться в ней.

Источник

ГЕОМЕТРИЯ

ГЕОМЕТРИЯ, раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются фигуры на плоскости; в стереометрии изучаются пространственные фигуры.

ИСТОРИЯ

Египет.

Если не учитывать весьма скромный вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте до 1700 до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянами стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство.

Основным источником наших знаний о древнеегипетской геометрии является относящийся примерно к 1700 до н.э. папирус Ринда, названный по имени владельца, египтолога Ринда (этот папирус также называется папирусом Ахмеса) и хранящийся ныне в Лондоне в Британском музее. Папирус Ринда свидетельствует о том, что древних египтян интересовали главным образом практические аспекты геометрии и что при накоплении геометрических фактов египтяне почти всецело руководствовались интуицией, экспериментом и приближенными представлениями.

Греция.

Около 600 до н.э. ионийские греки, совершившие путешествие в Египет, привезли на родину первые сведения о геометрии. Самым известным путешественником в Египет был Фалес (ок. 640 – ок. 546 до н.э.). Он был преуспевающим купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике. Фалес первым начал доказывать истинность геометрических соотношений, последовательно выводя их логически из некоторого набора общепринятых утверждений, называемых аксиомами или постулатами. Этот метод дедуктивного рассуждения, которому предстояло стать доминирующим в геометрии и фактически – во всей математике, сохраняет свое фундаментальное значение и в наши дни.

Одним из наиболее знаменитых учеников Фалеса был Пифагор (ок. 570 – ок. 500 до н.э.). Он много путешествовал, а потом поселился в Кротоне, в Италии, где основал общество, занимавшееся изучением арифметики, музыки, геометрии и астрономии. Пифагор и его последователи доказали много новых теорем о треугольниках, окружностях, пропорциях и некоторых трехмерных телах. Пифагор доказал также знаменитую теорему, носящую ныне его имя, согласно которой площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Пифагор умер в изгнании, но его влияние на греческих математиков ощущалось на протяжении многих веков. После его кончины в Элее (город в Италии) новыми центрами развивающейся геометрии становились по очереди Афины и Александрия. Архит Тарентский (ок. 428 – ок. 365 до н.э.) и Гиппий Элидский (р. ок. 425 до н.э.) затратили много усилий на решение трех задач, игравших важную роль в древнегреческой математике: это задачи о трисекции угла, о построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга (задача о квадратуре круга), и о построении куба, имеющего вдвое больший объем, чем данный куб (задача об удвоении куба). Хотя ныне известно, что с помощью циркуля и линейки (единственных орудий геометрических построений, известных древнегреческим математикам) эти задачи решить нельзя, тем не менее попытки это сделать не были напрасны. Они стимулировали изучение конических сечений и способствовали совершенствованию математических методов.

Александрия.

Афинская школа числила в своих рядах таких великих людей, как Платон и Аристотель. После смерти Аристотеля центр научной мысли переместился в Александрию (Египет), где в начале 3 в. до н.э. был основан знаменитый Александрийский Мусейон – один из главных научных центров античного мира. Живший в Александрии математик Евклид (3 в. до н.э.), биографические сведения о котором крайне скудны, собрал в 13 книгах своего сочинения значительную часть математических знаний того времени. Семь книг из 13 были посвящены геометрии, предмет которой был им тщательно и систематически изложен, различные утверждения и теоремы расположены в определенном порядке и перенумерованы. Была включена также теория пространственных тел, ограниченных плоскими поверхностями. Называлось это великое сочинение Начала, и последующие издания, точно придерживающиеся оригинала, стали основой обучения геометрии вплоть до нашего времени. Величайшим математиком античности был грек Архимед (ок. 287–212 до н.э.). Кроме множества других полученных им научных результатов и открытий, Архимед расширил ту часть Начал Евклида, в которой рассматривались пространственные тела, включив в их число сферу, цилиндр и конус. Другими великими александрийскими геометрами были Аполлоний Пергский (3 в. до н.э.; конические сечения), Птолемей (2 в. н.э.; астрономия) и Папп (3 в. н.э.; плоские кривые высших порядков). В 641 н.э. арабы разграбили Александрию и разрушили Мусейон и его библиотеку. Впрочем, греческая математика вступила в период застоя еще в начале 4 в. н.э, после кончины Паппа. См. также ДРЕВНЯЯ ГРЕЦИЯ.

Средневековье.

После падения Александрии большинство работ древнегреческих математиков были рассеяны или утрачены. Некоторые из них, в том числе Начала Евклида, были переведены и изучались арабами и индийцами. И хотя эти народы породили нескольких великих математиков, среди которых наиболее известны индийские математики Ариабхата (ок. 476 – ок. 550) и Бхаскара II (ок. 1114–1185), все же их самой большой заслугой следует считать сохранение геометрии в период Средневековья.

После падения Римской империи в 5 в. наука в Европе долгое время находилась почти в полном забвении. В 12 и 13 вв. Начала были переведены с греческого и арабского на латынь и современные европейские языки, а геометрия вошла в программу монастырских школ. Первый из этих переводов был выполнен Аделардом Батским в 1120.

Новое время.

За последние 300 лет доказательная геометрия была существенно расширена, а по своим методам и степени общности результатов она стала заметно отличаться от элементарной геометрии (т.е. геометрии, изложенной в Началах). Французский математик Ж.Дезарг (1593–1662) в связи с развитием учения о перспективе занялся исследованием свойств геометрических фигур в зависимости от их проекций. Тем самым он заложил основу проективной геометрии, которая изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при различных проекциях. В 19 в. это направление получило существенное развитие. Проективная геометрия, конические сечения и новая геометрия треугольников и окружностей составили содержание современной т.н. чистой геометрии.

Тесно связанная с проективной, начертательная геометрия была введена французским математиком Г.Монжем (1746–1818). Эта новая область геометрии была связана с представлением изображений геометрических фигур на плоскости и определением геометрическими средствами расстояний, углов и линий пересечения. Начертательная геометрия представляет собой основу технического черчения.

В 1637 Р.Декарт (1596–1650), французский философ и математик, опубликовал свою Геометрию – первый труд по аналитической геометрии, позволивший применить в геометрии мощные алгебраические методы. Геометрические задачи всех видов теперь могли решаться в рамках единого подхода; кроме того, благодаря новым методам стала возможной постановка и решение новых задач, о которых древние не могли даже помыслить, но которые ныне находятся в самом центре математики и математической физики.

Со времен первого появления Начал математики тщетно пытались доказать пятый постулат Евклида: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, ей параллельную. В 19 в. было доказано, что можно построить непротиворечивую геометрию, используя все аксиомы и постулаты Евклида и отрицание постулата о параллельных, а это означало, что искомого доказательства пятого постулата не существует. Любая такая непротиворечивая геометрия получила название неевклидовой геометрии. Около 1830 Я.Бойяи (1802–1860) и Н.И.Лобачевский (1792–1856) независимо друг от друга построили геометрию, использовавшую постулат, согласно которому через точку, лежащую вне прямой, можно провести много прямых, ей параллельных. В 1854 Б.Риман (1826–1866) сформулировал постулат, согласно которому через точку вне прямой невозможно провести ни одной параллельной, что дало начало т.н. римановой геометрии. Неевклидова математика расширилась и стала включать в себя тригонометрию, аналитическую и дифференциальную геометрии, охватив не только планиметрию, но и стереометрию, а также геометрию пространств размерности больше трех (геометрию гиперпространств). Евклидова и обе неевклидовы геометрии одинаково хорошо служат для описания той ограниченной области пространства, в которой мы живем, хотя геометрия Евклида проще по форме. В то же время при переходе к римановой геометрии некоторые современные физические теории существенно упрощаются. См. также МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ПЛАНИМЕТРИЯ

Аксиомы и постулаты.

Существует набор исходных посылок, называемых аксиомами и постулатами, на которых базируется вся структура геометрии.

Аксиомы.

Аксиомы – это утверждения, принимаемые за истинные без доказательств. Аксиомы обычно подразделяются на две группы: общие, относящиеся ко всей математике, и геометрические.

К числу общих аксиом относятся следующие.

1. Равные одному и тому же равны между собой.
2. Если к равным прибавляются равные, то суммы будут равны.
3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. Если равные умножить на равные, то произведения будут равны.
5. Если равные разделить на равные, то частные будут равны. Деление на нуль запрещается.
6. Одинаковые степени равных, а также корни одинаковой степени из равных равны.
7. Целое больше любой своей части.
8. Целое равно сумме своих частей.

К числу геометрических аксиом относятся следующие.

1. Через любые две данные точки можно провести только одну прямую.
2. Геометрическую фигуру можно перемещать в пространстве, не изменяя ни ее размеров, ни ее формы.
3. Геометрические фигуры, которые совпадают после наложения, конгруэнтны (т.е. равны).
4. Прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками.

Постулаты.

Следующие постулаты касаются построений и принимаются за истинные без доказательств.

1. Через любые две данные точки можно провести прямую.
2. Прямая может быть продолжена бесконечно или же ограничена в любой своей точке.
3. Окружность может быть описана вокруг любой данной точки как центра и с любым радиусом.
4. Все прямые углы равны.
5. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую, ей параллельную.

Некоторые геометрические фигуры, построения и заключения.

Многие термины, используемые для описания фигур в геометрии, настолько фундаментальны, что определить их не представляется возможным. Все попытки сделать это приводили лишь к замене одних терминов другими, столь же неопределимыми, или к простому описанию некоторых свойств фигур. Например, термин «точка» не поддается определению.

Линии.

Термин «линия» (или «кривая» в широком смысле слова) не имеет определения, хотя мысленно линию можно представить как след движущейся точки. Бесчисленные попытки определить прямую линию (рис. 1,а) не имели успеха. Многие из этих попыток апеллировали к физическому эксперименту, например, «прямая – это туго натянутая линия». Чаще других приводится описание прямой, предложенное Архимедом: «Прямая – это кратчайшее расстояние между двумя точками». Это «определение», однако, лишь заменяет неопределяемое понятие прямизны столь же неопределяемым понятием расстояния. Предполагается, что прямая бесконечна, т.е. ее можно неограниченно продолжить в обе стороны. Часть прямой называется отрезком. Ломаная (рис. 1,б) состоит из прямолинейных отрезков. Кривой (рис. 1,в) называется линия, никакая часть которой не является прямой.

Как показано на рис. 1,г, 1,д и 1,е, прямые могут быть параллельными, перпендикулярными и наклонными. Параллельные прямые – это прямые, расстояние между которыми всюду одинаково. На рис. 1,г показано, как построить прямую, параллельную данной прямой L и отстоящую от нее на заданное расстояние. Берется окружность, радиус которой равен данному расстоянию. Проводятся две дуги с центрами в двух различных точках прямой L. Прямая, касательная к обеим дугам, и есть та прямая, которую требовалось построить.

На рис. 1,д показано, как построить прямую, проходящую через точку Р и перпендикулярную прямой L. Порядок, в котором делаются засечки дугами, указаны номерами [первыми следует провести (в любой последовательности) либо дугу 1, либо дугу 1ў]. Для проведения дуг 2 и 2ў циркуль устанавливается в точки пересечения прямой L дугами 1 и 1ў соответственно, радиусы остаются те же самые. Прямая, проходящая через точку Р и точку пересечения дуг 2 и 2ў, есть искомый перпендикуляр. Перпендикуляр – это кратчайшая линия, которую можно провести от точки до прямой, на которую он опущен, и расстояние от точки до прямой по определению равно длине перпендикуляра, опущенного из нее на прямую.

Углом называется фигура, образованная двумя полупрямыми, исходящими из одной точки. Эта точка называется вершиной угла, а полупрямые – сторонами угла. Если стороны угла перпендикулярны друг другу, то образуемый ими угол называется прямым (рис. 2,а). Углы меньше прямого называются острыми (рис. 2,б), а углы больше прямого – тупыми (рис. 2,в). Развернутым называется угол, обе стороны которого лежат на одной прямой (рис. 2,г); такой угол равен двум прямым углам. Биссектрисой угла называется прямая, проходящая через его вершину и делящая угол пополам. Углы можно измерять количественно, если определить единицу измерения угла (угол в один градус) как 1/180 развернутого угла. Таким образом, прямой угол содержит 90°, а угол на рис. 2,д содержит больше 180°, но меньше 360°.

На рис. 2,е, 2,ж, 2,з и 2,и показано, как соотносятся между собой углы некоторых фигур. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого (рис. 2,е). Вертикальные углы равны. Дополнительные углы в сумме составляют 90° (рис. 2,ж), а смежные углы в сумме дают 180° (рис. 2,з). Если прямая пересекает две параллельные прямые, как на рис. 2,и, то углы E, B, C и H равны, и углы F, A, D и G также равны между собой. Углы между параллельными (углы А, В, С, D на рисунке) называются внутренними, а углы, лежащие вне параллельных – внешними. Тот факт, что параллельные образуют с пересекающей их прямой равные углы, используется при вычерчивании параллельных прямых (рис. 2,м).

На рис. 2,к показано, как с помощью циркуля и линейки разделить пополам данный угол: прямая VA – биссектриса угла. На рис. 2,л показано, как удвоить данный угол.

Традиционно в элементарной геометрии выполнялись лишь геометрические построения, которые можно осуществить, используя только циркуль и линейку без делений. Общего подхода к таким построениям не существует, и успех почти целиком зависит от настойчивости и изобретательности. Так, например, может показаться, что задача о разделении угла на три равные части, т.н. трисекция угла, достаточно легка, поскольку сходная с ней задача деления угла пополам решается довольно просто. Однако на протяжении веков все усилия как любителей, так и профессионалов осуществить трисекцию угла неизменно оканчивались неудачей. Правда, эту задачу удалось решить, используя некоторые плоские кривые высших порядков, например, конхоиду и квадратриссу, а Архимед показал, как можно было бы решить задачу о трисекции угла с помощью линейки с двумя отметинами (рис. 2,н). В предложенном им решении задачи на ребре линейки откладывается расстояние МР, равное радиусу ON. Линейка кладется так, чтобы ее край проходил через точку N, тогда точка М попадает на продолжение прямой OL, а точка P – на окружность. Задача о трисекции угла эквивалентна поиску геометрического построения, позволяющего находить корни уравнения x 3 – 2 = 0. В 1837 вопрос о трисекции был окончательно решен французским математиком П.Ванцелем, давшим строгое доказательство невозможности точной трисекции угла в общем случае с помощью циркуля и линейки.

Треугольники.

Треугольником называется плоская фигура, ограниченная тремя прямыми. У треугольника могут быть три неравные стороны (разносторонний треугольник), две равные стороны (равнобедренный треугольник) или три равные стороны (равносторонний треугольник) (рис. 3,а, 3,б, 3,в). В равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных сторон (углы a и b на рис. 3,б), равны; в равностороннем треугольнике все углы равны.

Длина перпендикуляра h, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное длин отрезков, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу:

Углы внутри треугольника называются внутренними; углы, которые образуются, если стороны треугольника продлить за их вершины, называются внешними (рис. 3,е). Сумма внутренних углов треугольника равна развернутому углу. Любой внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не имеющих с ним общей вершины (РD = РA + РB).

Отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Например, на рис. 3,ж отрезок АО составляет 2/3 от длины отрезка АС. Точка пересечения медиан является также центром тяжести треугольника (треугольник, вырезанный из однородного по толщине и плотности материала и подвешенный в этой точке, будет находиться в равновесии). Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из одной из его вершин на противоположную сторону (или ее продолжение). Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (рис. 3,з); биссектрисы всех углов треугольника также пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности (рис. 3,и) и равноудалена от всех сторон треугольника.

Прямая, пересекающая треугольник и параллельная одной из его сторон, делит две другие стороны на пропорциональные отрезки. На рис. 3,к a/b = e/c = f/d. Биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные длинам сторон, образующих угол. На рис. 3,л, если РA = РB, то c/a = d/b.

Два треугольника (любые фигуры) называются равными (или конгруэнтными), если они переводятся друг в друга преобразованиями движения. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками. Можно доказать три признака равенства треугольников: два треугольника равны, если 1) две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника; 2) сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ним углам другого треугольника; и 3) три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника. Если треугольники можно перевести друг в друга преобразованием движения, не выводящим их из плоскости, в которой оба они лежат, то они называются собственно конгруэнтными; если же один из треугольников необходимо перевернуть, то треугольники называются несобственно конгруэнтными.

Преобразование одной фигуры в другую называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Две фигуры подобны, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

Если два треугольника подобны (рис. 3,м), то их углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Пропорциональным делителем, изображенным на рис. 3,н, пользуются для того, чтобы увеличить или уменьшить чертеж в требуемое число раз.

Площадь любого треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную в ней высоту:

Если треугольник равносторонний, то его площадь равна , где а – длина стороны. Если а, b, c – длины сторон треугольника, то его площадь определяется по формуле

вывод которой приписывают Герону (s – полупериметр).

Четырехугольники.

Четырехугольником является всякая плоская фигура, ограниченная четырьмя прямыми (рис. 4). Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны имеют равную длину. Ромб (рис. 4,г) – это параллелограмм, все стороны которого равны, а прямоугольник (рис. 4,д) – это параллелограмм, у которого все углы прямые. Диагонали параллелограмма (рис. 4,ж) в точке пересечения делятся пополам; в прямоугольнике диагонали равны. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – непараллельны. Параллельные стороны называются основаниями. Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее оснований: A = h [(b + d)/2]. Площадь параллелограмма A = bh. Один из методов определения площади четырехугольника состоит в разбиении фигуры на два треугольника с помощью диагонали и в вычислении суммы площадей образовавшихся треугольников.

Интересным приложением свойств параллелограмма служит шарнирный пантограф (рис. 4,з), используемый для перечерчивания чертежей и других графических изображений в большем или меньшем масштабе. Пантограф представляет собой шарнирный механизм, имеющий форму параллелограмма, закрепленный в вершине А, со звеном DC, продленным до точки Р. Прямая РА пересекает звено СВ в точке Р ў. Звено СВ всегда параллельно звену DA, следовательно, треугольники PDA и PCP ў подобны. Поэтому CP ў = DAЧPC/PD, а эта величина постоянна, поэтому точка Р ў звена СВ также лежит на прямой, соединяющей точки Р и А. Из двух рассмотренных выше подобных треугольников следует, что отношение РА/Р ўА также постоянно. Следовательно, в любом положении пантографа перемещение точки Р ў пропорционально перемещению точки Р. Если точка Р движется по контуру какой-либо фигуры, то точка Р ў, в которой находится острие карандаша, повторяет без искажений этот контур в уменьшенном масштабе. Отношение масштабов оригинала и копии равно РА/Р ўА = PD/CD.

Многоугольники.

Многоугольником называется плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой называются сторонами. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Выпуклый многоугольник называется правильным, если все стороны и углы его равны. Расстояние от центра правильного многоугольника до какой-либо его стороны равно радиусу вписанной в него окружности (обозначен на рис. 5,а буквой а). Площадь правильного многоугольника равна произведению половины радиуса на периметр:

В табл. 1 приведены названия и формулы для площадей некоторых правильных многоугольников (s означает длину стороны).

Таблица 1. НАЗВАНИЯ И ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Число сторон

Название многоугольника

Площадь правильного многоугольника

Источник

Зачем нужна геометрия? А что такое геометрия?

Содержание

Что такое геометрия? Что она изучает? Зачем нужна эта геометрия? Одно всегда неизменно: новый предмет — куча новых вопросов. Так ответим же вам на все старым преданием. Оно гласит, что на входе в академию Платона располагалась им собственноручно сделанная надпись, входящему сообщающая:

«Пусть не входит сюда тот, кто не знает геометрии».

И, знаете, с Платоном сложно не согласиться. Вопрос, зачем нужна геометрия, отпадает сам по себе, стоит только посмотреть по сторонам. Оглянитесь: абсолютно каждый окружающий нас предмет имеет форму, объем, площадь и периметр поверхности. Будь то компьютерная мышь или коробка из под обуви.

Да, мир вокруг состоит из предметов. Геометрия же — это наука, изучающая их свойства и закономерности между ними. А чтобы лучше понимать этот предметный мир, в котором мы живем, без геометрии никак.

Поэтому позвольте пригласить вас в увлекательное путешествие познания мира. Мы предлагаем вам приобрести нечто вроде входного билета в «академию Платона». И заодно получить фундаментальное представление о пространстве и формах вокруг.

Итого, что изучает геометрия?

Геометрия — это раздел математики, который изучает пространственные формы и законы их измерения.

Покупаем? А сколько покупаем? Или ищем дешевле?

Вот вам и «зачем нужна геометрия». Во-первых, знания геометрии помогли бы вам оценить площадь пола в ванной. С помощью мерного инструмента вы бы замерили длину и ширину пола в метрах. Если их умножить — будет площадь в квадратных метрах.

Во-вторых, с помощью математики вы бы рассчитали, сколько площадей плиток «поместится» на площади пола. Вкупе, опираясь на аспекты того, что изучает геометрия, можно за несколько минут дать ответы на все три вопроса выше.

Продуктивное партнерство!

Надеемся, вы почувствовали это. Геометрия рассказывает про фигуры, а математика помогает их выразить количественно. Они всегда работают в паре.

Что изучает геометрия: о геометрических фигурах

Вообще, каждый предмет, прямо сейчас находящийся в зоне вашей видимости, можно разложить на элементарные геометрические фигуры. Обратите внимание. Экран компьютера или смартфона — прямоугольник. Банка с лимонадом — цилиндр. Очертания автомобиля — трапеция. Высоковольтная вышка — треугольник. Наручные часы — круг. И так далее.

«Все вокруг — геометрия», — писал как-то выдающийся французский архитектор Ле Корбюзье. Поэтому, выражаясь с налетом древнегреческого пафоса, можно в свою очередь шутливо заметить: «Так что изучает геометрия? Геометрия изучает все!»

Разделы геометрии

Кстати, о древнегреческом. В переводе с языка слово «геометрия» дословно означает «измерение земли» (‘γη’ + ‘μετρον’ — «земля» + «измерение»). Древнегреческая этимология термина — историческая дань тому, что как формальная логическая наука геометрия зародилась именно там, на родине Платона, Аристотеля, Пифагора и Архимеда.

Это интересно: все по природе

Греки греками, но как показывают исследования в биологии, геометрия настолько интуитивна, что ей «владеют» даже животные. К примеру, пчелки. Можно сказать, что в голове этого маленького чуда природы находится настоящий геометрический процессор!

Он умеет считывать прямые, отрезки и лучи объектов вокруг — деревьев, поляризованного света, дорог, — чтобы указывать насекомому, в какую сторону лучше полететь. Или наши далекие-далекие предки. Ниже вы можете наблюдать один из знаменательнейших памятников палеолита — наскальную живопись в пещере Ласко, на юго-западе Франции.

Для справки, этим рисункам больше пятнадцати тысяч лет. Судя по композиции, обитатели пещеры имели для своего времени очень глубокое представление о пространстве и геометрических формах. Что сказать, геометрия поистине рождена природой. Спасибо грекам, что формально ее описали.

Рамки геометрии необъятны, от свойств привычного треугольника до изучения экстремальных черных дыр и многомерных пространств. Школьный курс предмета ограничен планиметрией, что изучается с 7 по 9 класс, и стереометрией, которая вводится в программу в старшой школе.

Планиметрия

Планиметрия — раздел геометрии, изучающий фигуры, расположенные в двухмерном пространстве.

Представьте, что пол — это плоскость и на предметы вы смотрите как бы сверху. У них нет объема. Основными понятиями планиметрии являются прямая и точка, из которых состоит каждая фигура. К примеру, треугольник.

Стереометрия

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры, расположенные в трехмерном пространстве.

Пространство, в котором мы живем, не двухмерно — оно трехмерно. Поэтому стереометрия больше приближена к реальности, ведь она учитывает объем. Однако, как видите, фигуры стереометрии легко раскладываются на планиметрические.

Посмотрите на пирамиду — стереометрическую сестру треугольника. Ее основание является прямоугольником, а грани — треугольниками. Поэтому к изучению стереометрии приступают только после основательного курса планиметрии.

В добрый путь!

Далее вы приступаете к изучению планиметрии, ее постулатов и законов. Не гарантируем, что вас ждет простой путь. Однако обещаем, что путь этот будет интересен, полон необычных вещей и восхитительных открытый. Желаем всяческих успехов, друзья.

Источник

Значение слова «геометрия»

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.

Классификация геометрии, предложенная Клейном в «Эрлангенской программе» в 1872 году и содержащая в своей основе инвариантность геометрических объектов относительно различных групп преобразований, сохраняется до сих пор.

ГЕОМЕ’ТРИЯ, и, мн. нет, ж. [от греч. gē — земля и metreō — измеряю]. Отдел математики, в к-ром изучаются пространственные формы, их измерение и взаимное расположение. Элементарная г. Аналитическая г. (пользующаяся методами алгебры и анализа). Начертательная г. (занимающаяся решением геометрических задач в пространстве при помощи проектирования на плоскость).

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

геоме́трия

1. раздел математики, изучающий отношения и закономерности, характерные для пространственных объектов

2. перен. разг. размеры, пространственные характеристики чего-либо

Источник

ГЕОМЕТРИЯ

— часть математики, первоначальным предметом к-рой являются пространственные отношения и формы тел. Г. изучает пространственные отношения и формы, отвлекаясь от прочих свойств реальных предметов (плотность, вес, цвет и т. д.). В последующем развитии предметом Г. становятся также идругие отношения и формы действительности, сходные с пространственными. В современном общем смысле Г. объемлет любые отношения и формы, к-рые возникают при рассмотрении однородных объектов, явлений, событий вне их конкретного содержания и к-рые оказываются сходными с обычными пространственными отношениями и формами. Напр., рассматривают расстояния между функциями, отвлекаясь от того, каковы специальные свойства этих функций и какие реальные процессы эти функции описывают (см., напр., Метрическое пространство, Функциональный анализ).

Совершенно новый подход к решению геометрнч. вопросов был предложен в 1-й пол. 17 в. Р. Декартом (R. Descartes). Им был создан метод координат, позволивший привлечь в Г. методы алгебры, а в последующем и анализа. Начиная с этого момента Г. бурно развивается. Появляется аналитическая геометрия, в к-рой методами алгебры исследуются кривые и поверхности, задаваемые алгебраич. уравнениями. Применение в 18 в. Л. Эйлером (L. Euler) и Г. Монжем (G. Monge) методов математич. анализа в Г. заложило основы классической дифференциальной геометрии. Ее ведущие разделы: теория кривых и теория поверхностей- интенсивно развивались и обобщались в работах К. Гаусса (С. Gauss) и др. геометров. В результате взаимодействия Г. с алгеброй и анализом в дальнейшем возникли специальные исчисления, удобные для использования в Г. и др. разделах математики ( векторное исчисление, тензорное исчисление, метод дифференциальных форм).

Разделы Г., не опирающиеся на методы алгебры и анализа и оперирующие непосредственно с геометрич. образами, получили назв. синтетической геометрии.

Одним из стимулов развити-я и систематизации Г. явилась ее связь с теорией групп. Ф. Клейн (F. Klein) в эрлангенской программе(1872) так определил содержание Г.: дано многообразие и в нем группа преобразований. Требуется развить теорию инвариантов этой группы. Напр., теория инвариантов ортогональной группы определяет евклидову Г. В такую классификацию хорошо укладываются также аффинная геометрия, конформная геометрия, проективная геометрия. Но риманова Г. не может быть определена таким образом. В связи с этим Э. Картан (Е. Cartan) ввел пространства, в к-рых соответствующая группа преобразований действует только локально, в бесконечно малой окрестности; таковы римановы пространства и пространства с различной связностью. Групповой подход с точки зрения непрерывных групп преобразований был предложен С. Ли (S. Lie).

Параллельно в конце 19 в. развивался логич. анализ основ Г. Выяснение непротиворечивости, минимальности и полноты систем аксиом Г. суммировано Д. Гильбертом (D. Hilbert) в книге «Основания геометрии» (1899) (см. Основания геометрии).

Современное понимание пространства как непрерывной совокупности однородных объектов (явлений, состояний, фигур, функций) обусловлено глубокой взаимосвязью Г. с другими областями математики. Наиболее отчетливо эта связь проявилась в развитии Г. в 20 в., когда Г. стала широко разветвленной, а ее границы в связи с усилением единства математики стали менее четкими. Теперь пространство в математике понимается как множество, снабженное нек-рой структурой, т. е. нек-рыми отношениями между его элементами или подмножествами.

Развитие Г., ее приложения, развитие геометрич. восприятия абстрактных объектов в различных областях математики и естествознания свидетельствуют о важности Г. как одного из самых глубоких и плодотворных по идеям и методам средств познания действительности.

Лит.: [1] Александров А. Д., Геометрия, БСЭ, 3 изд., т. 6; [2] Математика, ее содержание, методы и значение, М., 1956, т. 1, с. 5-69, 180-245; т. 2, с. 97-144; [3] Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; [4] Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; [5] Клейн Ф., Лекции о развитии математики в 19 столетии, пер. с нем., М.- Л., 1937; [6] Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; [7] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.- Л., 1948; [8] Об основаниях геометрии, М., 1956; [9] Ефимов Н. В., Высшая геометрия. 5 изд., М., 1971; [10] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.-Л., 1939.

См. также лит. при статьях об отдельных геометрических дисциплинах. Э. Г. Позняк.

Источник

Геометрия

Что такое геометрия?

План урока:

Знакомство с геометрией

Вот и настал момент прощания с математикой, сопровождающей нас на протяжении долгих шести лет школьной жизни. Но огорчаться не нужно, на смену привычной математике приходят занимательные и интересные разделы этой науки – алгебра и геометрия.

Давайте разберемся, что же такое геометрия, для чего она нужна, где её используют?

В дословном переводе с греческого, геометрия означает землемерие:

Более точное определение утверждает, что наука об отношениях плоскостей, пространств и изучении форм называется геометрией.

Геометрия содержит ряд основных понятий, необходимых для дальнейшего изучения и применения на практике геометрических знаний. Давайте познакомимся с ними поближе.

Основные понятия геометрии

Понятие точки

Фигура, которую невозможно измерить, а для вычислений используется только место её расположения, называется точкой. Такие фигуры обозначают цифрами и буквами латиницы. Если точек много, то обозначения должны быть разными.

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

Читается: точка A, точка B, точка C

Понятие линии

Линия представляет собой массу точек. Линии принято обозначать строчными буквами латиницы.

Часто в геометрии используются прямые линии. Давайте подробнее с ними познакомимся.

По определению, бесконечная линия, не имеющая ограничений, называется прямой. Обозначается маленькими и большими (выбирая 2 любые точки) буквами латиницы.

Читается: прямая а, прямая AD

Любые две точки на прямой ограничивают геометрическую фигуру – отрезок. Эти точки называются началом и концом отрезка. Фигура обозначается большими буквами латиницы.

Например:

Читается: отрезок КВ, отрезок АС

Наличие точек дает возможность измерить длину. Длиной отрезка принято считать расстояние между точками, обозначающими начало и конец.

Расстояние между точками А, В равняется 7 сантиметрам. Считается, что отрезок АВ по длине соответствует 7 сантиметрам.

Записывается следующим образом: АВ=7см

Понятие луча

Рассматривая понятие луч, делаем вывод, что любая точка, лежащая на прямой, делит её на лучи. Сама точка называется началом лучей. Обозначаются большими буквами латиницы.

Читается: точка В разделяет прямую а на два луча

Чтобы определить нужный луч, на прямую необходимо нанести дополнительные точки.

Читается: точка А делит прямую с на два луча: луч А, луч АВ

Необходимо учитывать, что при записи обозначения луча на первом месте должна находиться буква, обозначающая начало луча.

Понятие угла

Геометрическая фигура, состоящая из точки и выходящих из неё двух лучей, называется углом. Лучи называют сторонами угла, а точку – вершиной угла.

Обозначается угол специальным знаком∠, также заглавными буквами латиницы, прописными греческими, цифрами.

Записывается и читается: ∠ВАС (название вершины угла, обязательно записывается в середине) – угол ВАС, ∠β – угол бета

Для определения меры углов используется единица измерения – градус. Полный оборот луча вокруг своего начала составляет 360˚, значит, 1 градус равен 1/360. Для обозначения градуса существует специальный символ ˚.

Сравнение отрезков и углов

В этом разделе, как и во всех разделах математики, существует понятие сравнения. Две фигуры с идентичными размерами и формой называются равными. Самым простым методом нахождения равенства геометрических фигур является способ наложения. Рассмотрим этот метод сравнения поподробнее.

Правило определения равенства геометрических фигур методом совмещения имеет следующую формулировку: геометрические фигуры, полностью совмещенные наложением друг на друга, считаются равными.

Для сравнения отрезков методом совмещения, необходимо начало отрезка наложить на начало другого отрезка, если при этом совпадут и концы, то тогда отрезки считаются равными.

На рисунке видно, что начало отрезка АВ совпадает с началом отрезка СМ, при этом совпадают и концы отрезков. Такие отрезки считаются равными АВ=СМ.

В случае, когда концы отрезков не совпадают, считается, что один отрезок больше другого.

При наложении отрезка СР на отрезок ВК совпадают только начала отрезков. В таком случае отрезок ВК больше, чем отрезок СР.

Записывается в таком виде: ВК>СР или СР ∠1 или∠1 ∠1

Виды углов

С углами, отрезками и методом сравнения без использования вычислений мы познакомились. Теперь давайте узнаем, какие бывают виды углов в зависимости от градусной меры.

Когда углы дополняют один другого, то они могут быть смежными углами и вертикальными углами.

Смежные углы – углы, у которых есть общая сторона, а из оставшихся сторон получается прямая линия.

Углы ∠ АСР и ∠РСВ являются смежными, так как сторона СР одна на двоих, а из сторон АС, СВ получается прямая линия. Сумма смежных углов равна 180 ˚.

Если стороны углов продолжают друг друга, составляя при этом прямые линии,то эти углы вертикальные.

Лучи углов 1 и 2 составляют прямые, поэтому они являются вертикальными, как и углы 3, 4.

Помните! Всегда вертикальные углы равны между собой: ∠1=∠2, ∠3=∠4.

Зная, что такое угол, из каких фигур он состоит,сделаем предположение, что из вершины угла можно провести большое количество лучей, но только один луч обладает интересным свойством – делит угол на два одинаковых угла и называется биссектрисой.

Делаем вывод, что биссектриса – луч, выходящий из вершины угла и делящий его ровно пополам. Основным свойством такого луча является равноудаленность от сторон угла всех точек, лежащих на нем.

Рассмотрим развернутый угол АСВ. Из вершины С проведем луч СМ, делящий его на два одинаковых угла – это и будет биссектриса. Каждая точка, лежащая на биссектрисе, находится на равном расстоянии от сторон угла.

Перпендикулярные и параллельные прямые

И наконец, узнаем про перпендикулярные и параллельные прямые.

Важно помнить, что прямые либо пересекаются в одной общей точке, либо не пересекаются вообще.

Когда прямые при пересечении образуют угол 90˚ их называют перпендикулярными прямыми.

Если прямые никогда не пересекаются на плоскости, то их называют параллельными.

Прямые а, b – параллельны. Записывается: а||b

Источник

Что такое геометрия? Наука геометрия

Геометрия является важной частью математики, которую начинают изучать в школах с 7 класса в качестве отдельного предмета. Что такое геометрия? Что она изучает? Какие полезные выводы можно из нее извлечь? Все эти вопросы подробно рассматриваются в статье.

Понятие о геометрии

Вам будет интересно: Гудериан Гейнц: биография, личная жизнь, семья, карьера

В ходе своего развития геометрия обзавелась набором понятий, которыми она оперирует с целью решения различных задач. К таким понятиям относятся точка, прямая, плоскость, поверхность, отрезок, окружность, кривая, угол и другие. Основой этой науки являются аксиомы, то есть концепции, связывающие геометрические понятия в рамках утверждений, которые принимаются в качестве истинных. На основании аксиом строятся и доказываются теоремы.

Когда появилась эта наука

Вам будет интересно: «Временный» или «временной»: как правильно? Разница между словами

Что такое геометрия с точки зрения истории? Здесь следует сказать, что она является очень древним учением. Так, ее использовали древние вавилоняне при определении периметров и площадей простых фигур (прямоугольников, трапеций и др.). Развита она была и в Древнем Египте. Достаточно вспомнить знаменитые пирамиды, строительство которых было бы невозможно без знания свойств объемных фигур, а также без умения ориентироваться на местности. Отметим, что знаменитое число «пи» (его приблизительное значение), без которого невозможно определить параметры круга, было известно египетским жрецам.

Разрозненные знания о свойствах плоских и объемных тел были собраны в единую науку только во времена Античной Греции благодаря деятельности ее философов. Самым важным трудом, на котором основываются современные геометрические учения, являются «Элементы» Евклида, которые были им составлены приблизительно в 300 году до нашей эры. Около 2000 лет этот трактат являлся основой для каждого ученого, который занимался исследованием пространственных свойств тел.

В XVIII веке французский математик и философ Рене Декарт заложил основы так называемой аналитической науки геометрии, которая описывала с помощью численных функций любой пространственный элемент (прямую, плоскость и так далее). С этого времени начинают появляться многие ветви в геометрии, причиной существования которых является пятый постулат в «Элементах» Евклида.

Евклидова геометрия

Что такое геометрия Евклида? Это достаточно стройное учение о пространственных свойствах идеальных объектов (точек, прямых, плоскостей и т.д.), которое основывается на 5 постулатах или аксиомах, изложенных в труде под названием «Элементы». Аксиомы приведены ниже:

Евклидова геометрия составляет основу любого современного школьного курса по этой науке. Более того, именно ею человечество пользуется в ходе своей жизнедеятельности при конструировании зданий и сооружений и при составлении топографических карт. Здесь важно отметить, что набор постулатов в «Элементах» не является полным. Он был расширен немецким математиком Давидом Гильбертом в начале XX века.

Виды евклидовой геометрии

Мы разобрались, что такое геометрия. Рассмотрим, какие ее виды бывают. В рамках классического учения принято выделять два вида этой математической науки:

Неевклидовы геометрии

Что такое геометрия в ее широком понимании? Помимо привычной нам науки о пространственных свойствах тел, существуют также неевклидовы геометрии, в которых пятый постулат в «Элементах» нарушается. К ним относятся эллиптическая и гиперболическая геометрии, которые были созданы в XIX веке немецким математиком Георгом Риманом и русским ученым Николаем Лобачевским.

Изначально полагали, что неевклидовы геометрии имеют узкую область применения (например, в астрономии при изучении небесной сферы), а само физическое пространство является евклидовым. Ошибочность последнего утверждения показал Альберт Эйнштейн в начале XX века, разработав свою теорию относительности, в которой он обобщил понятия пространства и времени.

Геометрия в школе

Как было сказано выше, изучение в школе геометрии начинается с 7 класса. При этом школьникам демонстрируют основы планиметрии. Геометрия 9 класса уже включает изучение трехмерных тел, то есть стереометрию.

Главная задача школьного курса состоит в том, чтобы развить у школьников абстрактное мышление и воображение, а также научить их мыслить логически.

Многие исследования показали, что при изучении этой науки у школьников наблюдаются проблемы с абстрактным мышлением. Когда формулируется для них геометрическая задача, они часто не понимают ее суть. У старшеклассников к проблеме с воображением добавляются трудности понимания математических формул для определения объема и площади поверхности разверстки пространственных фигур. Часто старшеклассники при изучении геометрии 9 класса не знают, какой формулой следует воспользоваться в конкретном случае.

Школьные учебники

Существует большое количество учебных пособий для обучения школьников этой науке. Одни из них дают только базовые знания, например, учебники Л. С. Атанасяна или А. В. Погорелова. Другие преследуют цель углубленного изучения науки. Здесь можно выделить учебник А. Д. Александрова или полный курс геометрии Бевза Г. П.

Поскольку в последние годы для сдачи всех экзаменов в школе введен единый стандарт ЕГЭ, стали необходимы учебники и решебники, которые позволяют ученику быстро самостоятельно разобраться с необходимой темой. Хорошим примером таких пособий можно назвать геометрию Ершовой А. П., Голобородько В. В.

Любой из названных выше учебников имеет как положительные, так и отрицательные отзывы со стороны учителей, поэтому преподавание в школе геометрии часто осуществляется с использованием нескольких учебников.

Источник

ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР

ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР. Геометрия – раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми представлениями об элементарной геометрии, а также о законах арифметики и алгебры.

Начала Евклида начинаются с определений и аксиом, затем идут пять постулатов, из которых первые четыре утверждают: между любыми двумя точками можно провести прямую; любую прямую можно продолжить бесконечно; из всякого центра любым радиусом можно описать окружность; все прямые углы равны между собой. Ретроспективно постичь эти идеи не так уж трудно. Однако осознать их в качестве свойств нашего понятия пространства и абстрагировать таким образом, чтобы их можно было организовать в непротиворечивую систему, непросто; это явилось в свое время одним из величайших достижений человечества. Изложение Евклида было не лишено недостатков, о которых у нас пойдет речь ниже, но дерзость, с которой он осуществил свой замысел, не может не восхищать. В частности, столкнувшись с проблемой определения природы геометрического места точек плоскости р, находящихся на заданном расстоянии d от прямой l, лежащей в плоскости р, Евклид принял формальное предположение – пятый постулат (постулат о параллельных). Согласно этому постулату, если точка Р, принадлежащая плоскости р, не лежит на прямой l, лежащей в плоскости р, то существует только одна прямая l ў в р, проходящая через точку Р, такая, что каждая точка прямой l ў находится на одном и том же расстоянии d от прямой l; говорят, что l ў «параллельна» l (рис. 2). Пятый постулат расходится с наблюдениями внешнего мира: обычно нам кажется, что параллельные прямые (например, железнодорожные рельсы) сходятся на горизонте. К этому вопросу мы в дальнейшем еще вернемся.

Начала Евклида состояли из 13 книг, в которых систематически изложены математические знания его времени относительно пространственных понятий, включая геометрическое представление рациональных чисел.

Среди тех, кто жил и творил после Евклида, выделяется прежде всего Архимед (ок. 287–212 до н.э.), чьи взгляды на мир были гораздо шире. Для него непременным атрибутом внешнего мира является движение и все, что с ним связано. Архимед заложил основы механики как науки, а также предвосхитил методы интегрального исчисления, которые впоследствии вошли в т.н. математический анализ. Именно Архимеду принадлежит заслуга осознания весьма любопытного факта, составляющего неотъемлемую часть нашего понимания пространства. Мы предполагаем, что можем достичь любой точки на прямой, сделав достаточное число шагов одной и той же длины. Это кажущееся очевидным допущение, ныне известное как аксиома Архимеда, играет важную роль в основаниях геометрии. Ранее в этой связи философ Зенон в 5 в. до н.э. поднял ряд трудных вопросов об истолковании понятий «точка» и «прямая», ставших головной болью философов и математиков вплоть до 19 в. Одна из знаменитых «апорий» (парадоксов) Зенона заключалась в том, что бегун, прежде чем добежать до конца дистанции, должен добежать до ее середины, а до этого – до середины половины дистанции и т.д., т.е. должен побывать в бесконечно многих точках, а сделать это за конечное время невозможно. Таким образом, бегун никогда не добежит до конца дистанции!

Аполлонию Пергскому, великому современнику Архимеда, мы обязаны созданием теории кривых, которые получаются при сечении конуса плоскостью. Ныне трудно оценить искусство, которое было необходимо для изучения всех фокальных и центральных свойств «конических сечений» с помощью построений циркулем и линейкой. Нам остается только констатировать, что с переходом к современным методам исследований осталось открыть лишь очень немногие свойства сечений (см. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ).

С именем последнего из греческих геометров Паппа Александрийского (ок. 250 – ок. 300) связана одна знаменитая теорема, утверждающая, что если точки А, В, С лежат на прямой l, а точки Аў, Вў, С ў – на прямой lў, то точки пересечения L, M и N прямых АВ ў и А ўВ, прямых АСў и АўC и прямых ВС ў и ВўС соответственно лежат на одной прямой (рис. 3). Это свойство точек и прямых не зависит от длины и расстояний; доказав свою теорему, Папп перебросил мост между греческой эпохой и начавшейся в 17 в. новой эрой великих математических открытий (см. также ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ).

Аналитическая геометрия.

В Средние века Средиземноморская цивилизация постепенно распространилась на север и на запад, но серьезный интерес к математике так и не возродился вплоть до 17 в. Знаменитая Александрийская библиотека пострадала от пожара в 47 до н.э., поэтому о развитии греческой математики до нас дошли только отрывочные сведения. И хотя, несомненно, очень многое оказалось утраченным, не все было так уж плохо, поскольку греческому подходу свойственны определенные внутренние ограничения, на преодоление которых потребовалось бы время. В частности, именно в период между античностью и 17 в. арабы, опираясь на идеи математиков Древнего Вавилона и Индии, развили алгебраическую символику, которая, будучи соединенной с греческой геометрией в трудах П.Ферма (1601–1665) и Р.Декарта (1596–1650) позволила вдохнуть в геометрию новую жизнь.

По-видимому, сама идея описания положения точки на плоскости путем соотнесения ее с двумя прямоугольными координатными осями была довольно старой, но мысль о том, что любую точку Р плоскости можно обозначить ее прямоугольными или «декартовыми» координатами (х₁, х₂) и интерпретировать уравнение f (x₁,x₂) = 0 как уравнение, задающее плоскую кривую, несомненно, была революционной. Аналогично, в пространстве мы можем обозначить любую точку тремя координатами (x₁,x₂,x₃), уравнением f (x₁,x₂,x₃) = 0 задать поверхность, а системой уравнений

– линию пересечения двух поверхностей в пространстве.

В «аналитической» геометрии число координат называется «размерностью» пространства. Наряду с евклидовой геометрией, возникшей в качестве модели внешнего мира, можно рассматривать и абстрактную, не имеющую прямого к нему отношения геометрию пространства n измерений, где n – любое целое положительное число. В таком n-мерном пространстве точка определяется n координатами (x₁,x₂,x₃. x_n) и уравнение f (x₁,x₂,x₃. x_n) = 0 задает некоторое (n – 1)-мерное геометрическое место точек. Обобщая, можно сказать, что система из r уравнений, где r Ј n, задает (n – r)-мерное геометрическое место точек. Если оси координат взаимно перпендикулярны, то расстояние между двумя точками P (x₁,x₂,x₃. x_n) и Q (y₁,y₂,y₃. y_n) определяется обобщенным соотношением Пифагора

Из других обобщений теоремы Пифагора выводятся тригонометрические функции.

Теперь мы располагаем всем необходимым, чтобы ввести понятие вектора AB как направленного отрезка с началом в точке А и концом в точке В (см. также ВЕКТОР). Аналогично случаю треугольника, местонахождение вектора в пространстве неважно: вектор можно смещать при условии, что его величина и направление остаются неизменными. Величина вектора AB обозначается символом |АВ| и равна расстоянию между точками А и В. Если точки А и В имеют координаты (a₁,a₂,a₃) и (b₁,b₂,b₃), и мы запишем, что

Направление вектора AB определяется углами, которые он образует с осями координат. Обозначим эти углы a1, a2, a3. Тогда (рис. 4)

Это т.н. «направляющие косинусы» прямой АВ.

Выясним теперь, как выглядит уравнение плоскости p, проходящей через данную точку Q (y₁,y₂,y₃) и перпендикулярной вектору с координатами l₁, l₂, l₃. Из требования, чтобы точка P (x₁,x₂,x₃) лежала в плоскости p, следует, что отрезок PQ перпендикулярен этому вектору, поэтому геометрическое место таких точек задается линейным уравнением

Обратно, любое линейное относительно х₁, х₂, х₃ уравнение определяет некоторую плоскость.

Из формулы для расстояния между точками мы получаем уравнение сферы радиуса r с центром в точке Q вида

Общее уравнение второго порядка относительно х₁, х₂, х₃ задает поверхности второго порядка, или т.н. квадрики (если только оно не «факторизуется», т.е. не вырождается в произведение двух линейных множителей, задающих две плоскости). Квадрики бывают семи типов: цилиндр, конус, эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной гиперболоид, эллиптический параболоид и гиперболический параболоид. С помощью подходящего выбора координатных плоскостей уравнения центральных квадрик (эллипсоидов и гиперболоидов) можно привести к нормальному виду:

где а₁, а₂, а₃ – длины «главных полуосей»; эти поверхности симметричны относительно начала координат, которое служит центром квадрик. Хотя параболоиды не имеют центров симметрии, за нормальные формы их уравнений можно принять следующие:

(эллиптический параболоид),

(гиперболический параболоид).

Некоторые из этих поверхностей являются «линейчатыми». Это означает, что через каждую точку такой поверхности можно провести по крайней мере две прямые, целиком лежащие на этой поверхности; в результате получим два семейства прямых, любое из которых образует всю поверхность. Эти прямые называют образующими.

Если мы ограничимся рассмотрением какой-нибудь одной плоскости, например, положив для этого в уравнении квадратичной поверхности x₃ = 0, то получим уравнения конических сечений – кривых, по которым эти поверхности пересекают плоскость x₃ = 0. Это – эллипс (частным случаем которого является окружность), гипербола и парабола (см. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ; КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ).

Исследование геометрических мест точек, заданных уравнениями, порядок которых больше двух, значительно сложнее. В 1704 И.Ньютон (1643–1727) классифицировал кубические кривые, и с тех пор кривые и поверхности третьего и четвертого порядков стали предметом интенсивного изучения. Хотя методы Декарта существенно упростили идеи греческой геометрии, они же породили много новых трудностей. Некоторые из этих трудностей были преодолены с помощью средств, которыми располагал математический анализ 19 в. Справиться с другими удалось лишь позднее, когда была создана т.н. алгебраическая геометрия (см. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ).

Интересно отметить, что аналитическая геометрия Ферма и Декарта появилась как раз в то время, когда И.Кеплер (1571–1630), исходя из многочисленных астрономических наблюдений, сделал вывод о том, что планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Это подготовило почву для открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Природа даже тогда, когда речь шла о местоположениях далеких планет, соответствовала описанию человеком его представлений о пространстве! Нужно ли удивляться, что для Ньютона «абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным». Для великого современника Ньютона Г. фон Лейбница (1646–1716) пространство было совокупностью всех возможных отношений расстояния. В следующем разделе мы будем понимать слово «пространство» в более ограниченном смысле.

Проективная геометрия.

Наступление 17 в. ознаменовалось настоящим взрывом научной активности. В развитии математики началась новая эра; наряду с Декартом Ж.Дезарг (1593–1662) и Б.Паскаль (1623–1662) попытались по-новому и критически взглянуть на старую евклидову геометрию, чтобы понять, все ли ее результаты представимы в терминах одних лишь точек и прямых.

К возникшей в результате такого критического пересмотра проективной геометрии можно подойти, вводя новую систему аксиом, но гораздо поучительнее рассмотреть наши предыдущие исходные допущения и попытаться понять, как их надлежит изменить. Если следовать зрительным восприятиям, то первое, что сразу подпадает под подозрение, – это постулат о параллельных прямых. Нам кажется, что такие прямые все-таки пересекаются в бесконечности. Предположим, что это действительно так, и дополним евклидову плоскость одной «идеальной точкой» или «бесконечно удаленной точкой», общей для любого множества параллельных прямых. Тогда утверждение о том, что прямые l и m параллельны, перейдет в утверждение о том, что прямые l и m пересекаются в бесконечности. Необходимо доказать, что все такие идеальные точки ведут себя так, как если бы они принадлежали «идеальной прямой», которая обладает всеми свойствами, которыми по предположению обладают обычные прямые. Доказательство этого утверждения основывается на знаменитой теореме Дезарга: если соответствующие вершины двух треугольников можно соединить тремя прямыми, пересекающимися в одной точке, то соответствующие стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой, и обратно.

Обосновав присоединение идеальных элементов к евклидовой плоскости, мы можем теперь сказать, что любые две прямые имеют точку пересечения, и в этом заключается основное отличие проективной геометрии. Аналогичным образом мы можем присоединить к трехмерному евклидову пространству «бесконечно удаленную плоскость» и построить проективное пространство любой размерности. Заметим, что теперь мы можем полностью отказаться от понятия «расстояние».

точка = прямая, проходящая через Р,

прямая = плоскость, проходящая через Р,

то можно проверить, что все аксиомы проективной геометрии выполняются, а потому «пучок» прямых и плоскостей, проходящих через точку Р, образует проективную геометрию плоскости.

Вклад Паскаля в геометрию заключается в том, что он показал проективную природу известных со времен Аполлония свойств конических сечений, которые позднее были переведены Декартом на алгебраический язык. Эта работа была завершена Ф. де Лаиром (1640–1718), и, хотя дальнейшее развитие проективной геометрии прервалось и затем продолжилось лишь в 19 в., начало критическому анализу понятия длины было положено. См. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Непрерывность.

Понятие касательной к кривой восходит по крайней мере к Архимеду, но только после того, как Ферма и Ньютон осознали его значение для дифференциального исчисления, это понятие обрело удобную для приложений явную форму. Однако прошло немало лет, прежде чем О.Коши (1789–1857) придал строгость огромному числу теорем, разложениям в степенные ряды, решениям дифференциальных уравнений и т.п., что позволило математическому анализу занять в математике место, сравнимое с геометрией. Понятие числа точек на прямой ничему не соответствует в нашем опыте визуального восприятия пространства, и именно это привело Зенона Элейского к упомянутым выше комментариям. Есть два способа интерпретации понятия непрерывности в терминах интуитивных представлений об окружающем нас мире: 1) через скрупулезный анализ отношений между точками и прямыми и 2) в терминах движения, т.е. средствами математического анализа (см. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ).

Конечная геометрия.

Хотя целые числа возникают не обязательно в связи с точками прямой, тем не менее естественно рассматривать их как числа, представляющие кратные некоторого единичного отрезка. Это позволяет придать рациональным числам геометрическую интерпретацию, известную еще древним грекам. Однако такой подход к числу недостаточно тонок и сталкивается с трудностями, на которые и указал Зенон; наша концепция пространства включает в себя понятие числа, но для определения чисел понятие пространства не подходит.

Возвращаясь к аксиомам проективной геометрии, заметим, что они не содержат понятия длины и не имеют следствием бесконечность числа точек на прямой. То, что число точек на прямой может быть конечным, подтверждается следующим примером. Предположим, что под точками мы понимаем 15 символов (ab), (ac), (ad), (ae), (af), (bc), (bd), (be), (bf), (cd), (ce), (cf), (de), (df), (ef), где (ij) = (ji). Существуют 35 прямых, каждая из которых содержит три и только три из этих точек. Такие прямые можно разбить на два типа:

1) прямая типа I содержит три точки вида (аb), (bc), (ca); таких прямых 20;

2) прямая типа II содержит три точки вида (ab), (cd), (ef); таких прямых 15.

Любая тройка точек, не принадлежащих ни к одному из этих двух типов, определяет некоторую плоскость; существуют 15 плоскостей, каждая из которых содержит семь точек и семь прямых. На прилагаемом рис. 5 показаны расположения точек и прямых на одной из этих плоскостей. (Заметим, что окружность представляет в конечной геометрии прямую.) Нетрудно проверить, что все аксиомы проективной геометрии выполняются, из чего мы заключаем, что они непротиворечивы, но такая геометрия не очень соответствует нашему представлению о пространстве. Чтобы перебросить мост между привычным понятием пространства и построенной нами геометрией, необходимо исследовать возможную связь между точками на прямой и числами арифметики.

Первым, кто предложил средства, позволяющие геометрически определять операции сложения и умножения, был немецкий математик К.Штаудт (1798–1867), но именно Д.Гильберт (1862–1943) продемонстрировал, что законы арифметики в их геометрической интерпретации зависят от двух теорем – Дезарга и Паппа. В случае конечной геометрии из теоремы Дезарга следует теорема Паппа, а потому если она верна, то верна и теорема Паппа. В этом случае и сложение, и умножение ассоциативны, коммутативны и дистрибутивны, и координаты, которые можно поставить в соответствие точкам на прямой, могут образовать конечное «поле». Если число точек на прямой бесконечно (например, если точки на прямой, за исключением бесконечно удаленной точки, могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с рациональными числами), то «сложение» точек на прямой ассоциативно и коммутативно при условии, что выполняется теорема Дезарга. Если размерность n > 2, то это заведомо так. Однако из семи аксиом проективной геометрии теорема Паппа не следует; это означает, что умножение, будучи ассоциативным, необязательно коммутативно. При n = 2 теорема Дезарга может не выполняться, и «алгебра» точек на прямой еще более усложняется. Возможные недезарговы плоскости исследуются с 1902, но многое еще остается неизвестным.

Если потребовать, чтобы для каждого действительного числа нашлась соответствующая ему точка на прямой, то мы получим т.н. «непрерывную» геометрию. Это требование выполняется введением дополнительного предположения, которое в свою очередь можно использовать для доказательства теоремы Паппа. Такая аксиома непрерывности описывает тот аспект нашего понятия пространства, который был Лейбницем охарактеризован как «лабиринт континуума». Тем не менее роль алгебры в геометрии стала очевидна, и в дальнейшем обе эти ветви математики стали нерасторжимы.

Дифференциальная геометрия.

Определив касательную к плоской кривой в точке (y₁,y₂) с помощью «углового коэффициента» m = dy₂/dy₁, мы можем записать ее уравнение в виде

Записанное с помощью дифференциалов, это уравнение принимает вид

и его непосредственное обобщение приводит к уравнениям касательной к неплоской кривой в точке (y₁,y₂,y₃):

В то время как понятие углового коэффициента не допускает обобщения, понятие направляющего числа легко обобщается, и в качестве направляющих чисел рассматриваемой прямой можно принять дифференциалы. Уравнение соприкасающейся плоскости (плоскости касательных) к неплоской кривой задается определителем

Все эти уравнения имеют явный вид, если рассматриваемое геометрическое место точек задано аналитически, например, параметрически формулами y₁ = y₁ (t), y₂ = y₂ (t), y₃ = y₃ (t).

Дифференциальная геометрия стала самостоятельным разделом математики после того, как Б.Риман (1826–1866) заметил, что теорема Пифагора допускает дальнейшее обобщение, и предложил определять меру длины как

При n = 3 и g_ij = 1 (если i = j) и g_ij = 0 (если i № j) мы получаем евклидову геометрию в декартовых (прямоугольных) координатах; другие возможные выборы величин g_ij приводят к множеству новых геометрических систем, в частности, к геометрии специальной и общей теорий относительности. В конце 19 в. для разработки этих идей был изобретен тензорный анализ, который оказался одним из наиболее подходящих языков для современной физики.

Таким образом, методы математического анализа привели нас к идеям, весьма отличным от тех, которые были известны древним грекам. В частности, огромное значение получило понятие «геодезической» – линии, целиком лежащей на поверхности и являющейся кратчайшим путем между двумя точками. Если уравнение некоторой поверхности записать в параметрическом виде: x₁ = x₁ (u,v), x₂ = x₂ (u,v), x₃ = x₃ (u,v), то геометрические места точек u = const, v = const называются «параметрическими кривыми» этой поверхности, а параметры (u,v) задают на этой поверхности «криволинейные координаты». На поверхности Земли мы определяем свое местонахождение, указывая «широту» и «долготу»; из этих двух систем параметрических кривых линии долготы являются большими кругами и, следовательно, геодезическими. В случае декартовой геометрии параметрическими кривыми служат прямые, параллельные осям координат, и все такие прямые – геодезические. См. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Неевклидова геометрия.

Смелое допущение Евклида о параллельных прямых, содержавшееся в его знаменитом пятом постулате, почти две тысячи лет было для математиков источником смутного беспокойства, но серьезные попытки доказать его на основе иных допущений были предприняты только в 18 в. И хотя они оказались безуспешными, математикам все же удалось показать, что постулат о параллельных Евклида эквивалентен требованию равенства суммы углов треугольника двум прямым углам, или, что то же, p радианам. Поэтому скорее психологическим, чем математическим прорывом стало осознание существования двух других возможных вариантов: 1) сумма углов треугольника всегда больше p; в этом случае параллельных прямых не существует, и любые две прямые пересекаются; 2) сумма углов треугольника всегда меньше p; в этом случае для любой точки Р, не лежащей на данной прямой l, существуют две прямые l ў и l ўў, проходящие через Р и параллельные данной прямой l, и любая прямая, лежащая внутри угла, заключенного между l ў и l ўў, не пересекается с l. Непротиворечивость второго варианта была осознана К.Гауссом (1777–1855), но впервые опубликована независимо друг от друга Я.Бойяи (1802–1860) и Н.И.Лобачевским (1792–1856) в 30-х годах 19 в. Риман был первым, кто понял, что первый вариант реализуется в сферической геометрии, развитой для нужд астрономии и мореплавания.

Было бы ошибкой думать, будто математика на протяжении столетий не претерпела никаких изменений. Постижение тонких идей происходит медленно, и когда мы оглядываемся назад, в прошлое, наши величайшие достижения нередко представляются очень простыми. А.Кэли (1821–1895) и Ф.Клейн (1849–1925) прояснили связь между двумя упомянутыми вариантами, разработав в аналитической форме то, что ими было названо «эллиптической» и «гиперболической» геометриями. Евклидова геометрия является предельным случаем каждой из них, и это верно в отношении любой из аналитических формул таких геометрий. Большие круги (геодезические) на сфере, являющейся поверхностью постоянной положительной кривизны, играют роль прямых и порождают эллиптическую геометрию; аналогичным образом, на поверхности постоянной отрицательной кривизны геодезические порождают гиперболическую геометрию. Можно построить и другие наглядные и поучительные модели эллиптической и гиперболической геометрий, но важно сознавать, что все эти модели содержатся в более общем подходе Римана.

Трудно переоценить философское значение этих идей. Человек словно снял темные очки и увидел свое представление о пространстве «при дневном свете», что открыло новые, более интересные и захватывающие возможности, чем он мог себе вообразить. То, что Гаусс предпринял попытку измерить сумму углов треугольника, образованного тремя горными вершинами в Германии, было естественным следствием его понимания того, что постулат Евклида о параллельных явился результатом выбора из ряда возможностей, хотя выбора, несомненно, наилучшего для наших повседневных нужд. И хотя Гауссу не удалось обнаружить никаких отклонений от p, выходящих за пределы допустимой экспериментальной ошибки, это отнюдь не положило конец попыткам предпринять аналогичные крупномасштабные измерения с помощью гигантских телескопов и электронных устройств (см. НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ).

В последние десятилетия наши представления о пространстве сильно изменились под воздействием повсеместного принятия в физике концепции «пространства-времени». Связывание воедино двух фундаментальных понятий вынуждает нас перенести все внимание с «положения» на «событие». Выбирая из многообразия римановых метрик некоторую, в чем-то более предпочтительную, мы может более удовлетворительным образом скоординировать результаты современной физики. См. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ.

Понятие группы.

Расцвет геометрических идей в 19 в. убедительно свидетельствовал о необычайной жизненности математических исследований в целом. Но, возможно, самым важным событием в развитии математического мышления в 19 в. стала постепенная кристаллизация понятия «группы» в алгебре и осознание его значения для геометрии.

Древние греки вполне могли бы натолкнуться на эту идею, будь они более настойчивы в поиске внутреннего смысла симметрии. К проблеме симметрии можно подходить двояко. Если геометрическая фигура остается инвариантной относительно вращения или, более общо, относительно какого-нибудь «преобразования», то можно выписать некоторую систему уравнений, выражающих эти преобразования аналитически. Но возможен и другой подход: мы можем представить себе, что геометрическая фигура остается неизменной, а меняется избранный нами способ ее описания относительно системы координат. По существу речь идет о двух возможных способах интерпретации одного и того же преобразования, но иногда одна интерпретация бывает предпочтительнее другой. Если мы имеем в виду все возможные линейные преобразования, которые оставляют фигуру инвариантной, то говорим, что эти преобразования образуют «группу», которую абстрактно можно определить следующим образом. Если обозначить эти преобразования Т₁, Т₂ и т.д., а совокупность всех таких преобразований – G, то для любых двух преобразований T_i и T_j из G должны выполняться следующие условия:

III. В G существует некоторое преобразование Т₀, называемое тождественным преобразованием или единицей, такое, что T_iT₀ = T₀T_i = T_i;

Число g преобразований Т, содержащихся в G, называется «порядком» группы G. Существует 6 симметрий треугольника, они представлены на рис. 6. Нетрудно проверить, что если ограничиться только вращениями, то для тетраэдра g = 12, для куба и октаэдра g = 24, а для икосаэдра и додекаэдра g = 60. Если же кроме вращений допустить отражения и отражения с вращениями, то число g возрастет вдвое. То, что у куба и октаэдра должна быть одна и та же группа вращений, неудивительно, т.к. вершины одного многогранника служат центрами граней другого. Аналогичное утверждение справедливо относительно икосаэдра и додекаэдра. Эти фигура «двойственны» друг другу, тогда как тетраэдр «самодвойствен».

Все преобразования, о которых шла речь, линейны; они переводят точку в точку, прямую – в прямую и плоскость – в плоскость. Такие «коллинеации» имеют особое значение для описания нашего представления о пространстве, основанного на точках и прямых. Клейн первым понял, что множество всех линейных преобразований, оставляющих метрику инвариантной, позволяет адекватно описывать рассматриваемую геометрию, и это привело Клейна к классификации геометрий по их группам коллинеаций. В проективной геометрии метрика отсутствует, поэтому соответствующая ей группа называется «полной линейной группой». В евклидовой геометрии любое вращение оставляет инвариантной сумму квадратов координат, и соответствующая коллинеация называется «ортогональной»; т.к. комбинация двух ортогональных преобразований есть снова ортогональное преобразование, все ортогональные преобразования образуют «ортогональную группу». Параллельные переносы также оставляют метрику инвариантной, поэтому группа «перемещений фигуры как твердого тела» содержит ортогональную группу в качестве своей нормальной подгруппы. Такой подход к изучению геометрии был предложен Клейном в его Эрлангенской программе (1872), которая явилась большим шагом вперед, поскольку предлагала единую точку зрения на ранее существовавшие различные геометрии.

Понятие группы получило дальнейшее развитие. До сих пор мы предполагали, что каждое преобразование линейно, но это ограничение несущественно, коль скоро каждое преобразование имеет обратное, которое однозначно определено. Исследование таких «бирациональных» преобразований в общем виде началось с работ Л.Кремоны (1830–1903). В 1870 было доказано, что любое бирациональное преобразование может быть порождено составными квадратичными преобразованиями. Важно подчеркнуть существование некоторых особых точек или геометрических мест, для которых взаимно однозначное соответствие нарушается; именно это обстоятельство порождает специфические проблемы алгебраической геометрии, над решением которых билось немало математиков. См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ.

Топология.

Общая теория групп преобразований была построена С.Ли (1842–1899), который почти в одиночку возделал огромную территорию математики, оказавшую впоследствии воздействие почти на все ее разделы. Что же касается влияния Ли на геометрию, то оно сказалось прежде всего на расширении самого смысла термина «геометрия», в результате чего граница между геометрией и анализом оказалась размытой. Та часть «ничейной земли», в которой алгебраический характер преобразования предается забвению, получила название «топологии». Топология имеет дело с взаимно однозначными и непрерывными преобразованиями, называемыми «гомеоморфизмами». Изучение топологических пространств позволило открыть множество красивейших теорем. С 1895, когда А.Пуанкаре впервые в явном виде рассмотрел гомеоморфные преобразования топологических пространств, и по сей день топология находится в состоянии интенсивного беспрецедентного развития.

Поясним суть ее проблем на одном примере. Возьмем некоторую поверхность и будем ее рассматривать как резиновую пленку, которую можно сжимать и растягивать, но не рвать. Тогда никакие из разрешенных операций не могут преобразовать сферу в тор (бублик); число дыр в поверхности называется ее «родом» и является «топологическим инвариантом». Аналогичный инвариант существует и для односторонних поверхностей, таких как лист Мёбиуса (см. также ТОПОЛОГИЯ).

Существует масса примеров, когда к топологии обращаются в поисках новых, стимулирующих идей и подходов, чувствуя, что иначе «не пробиться», как, например, в теории контурного интегрирования Коши. Наше представление о пространстве – это наиболее изученная модель, позволяющая лучше всего понять те абстракции, которые и составляют суть математики в целом. Именно такая интерпретация слова «геометрия» позволила уяснить истинное значение этой науки и причину, по которой люди занимаются ее изучением на протяжении вот уже 2500 лет.

Источник