инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
Свойства первого дифференциала функции.
На мой взгляд, основным необходимым навыком для успешного вычисления неопределенных интегралов является умение вносить функцию под знак дифференциала или извлекать таковую из-под знака дифференциала, основанное на свойствах его инвариантности и линейности.
Свойство инвариантности первого дифференциала функции.
Точнее, свойство инвариантности его формы или формулы.
Такая формулировка вопроса часто встречается в экзаменационных билетах по математическому анализу в зимнюю сессию. Как правило, этот вопрос студенты относят к нежелательным: формализованным и непонятным. А зря. В самом деле, это свойство очень простое, полезное и весьма востребованное в процессе вычисления неопределённых интегралов. Оно является следствием правила дифференцирования сложной функции:
Таким образом, мы получили формулы одного и того же вида для дифференциала функции f (φ(x)) от независимой переменной x и для дифференциала функции f(u) от промежуточного аргумента u, представляющего собой дифференцируемую функцию от x.
Это и есть свойство инвариантности формы (формулы) первого дифференциала.
Пример,
пусть y(x) = sin (π − √x _ )
Свойство инвариантности, утверждающее, что это один и тот же дифференциал, позволяет записать следующиую цепочку равенств
Чтобы внести функцию под знак дифференциала, надо построить такую же цепочку в обратную сторону. Для этого уже потребуется определять не производные, а первообразные функций, стоящих перед знаком дифференциала. Например,
Функция косинус внесена под знак дифференциала. Для этого мы сначала убедились в идентичности переменных под знаками функции и дифференциала (здесь явной заменой переменных, что необязательно), а затем просто вспомнили, что первообразной косинуса является синус.
Дробь с квадратным корнем внесена под знак дифференциала. Здесь числитель и знаменатель дроби зависели от разных переменных, поэтому мы вынуждены были сначала выделить сомножитель, соответствующий производной корня второй степени, а затем записать его первообразную, т.е. сам корень, под знаком дифференциала.
Чем лучше вы ориентируетесь в производных и первообразных основных элементарных функций, тем легче будет увидеть следующий шаг. Полагаю, что и таблицу производных, и таблицу первообразных вы уже изучали, но теперь удобнее свести их в одну. Поэтому рекомендую повторить Единую таблицу производных и первообразных.
Свойства линейности первого дифференциала функции.
( f (x) ± C ) ‘ = f ‘ (x) ± 0 = f ‘ (x)
( C·f (x) ) ‘ = C·f ‘ (x) .
О последней из них часто забывают и, пользуясь полной формулой дифференцирования дроби, делают совершенно необязательные ошибки из серии «на невнимательность». Поэтому напоминаю еще раз, постоянный множитель можно выносить за знак производной. Ориентируйтесь следующие примеры.
Поскольку дифференциал функции определяется через её производную, при вычислении дифференциала срабатывают те же свойства и правила.
Следствием этого свойства является возможность дописывать под знаком дифференциала любое постоянное слагаемое. Например,
Чтобы использовать это свойство при вычислении неопределенных интегралов, бывает удобно умножить и разделить на одно и то же число функцию, которую нужно внести под знак дифференциала. Например,
Дополнительные примеры и упражнения.
Пример 1.
Сначала расставили скобки, чтобы разобраться в сложных функциях, и выделили выражение с независимой переменной.
Первообразной синуса, является функция минус косинус того же аргумента. Вносим косинус логарифма под дифференциал. Получившееся выражение содержит только функцию cos ln x как под знаком дифференциала, так и вне его.
Здесь удалось внести под знак дифференциала всё выражение. К сожалению, это не всегда просто и даже не всегда возможно. Поэтому и интегрирование сложнее дифференцирования. Чаще всего мы можем внести под знак дифференциала только часть подынтегрального выражения, но и это существенно упрощает задачу.
Вынести функции из-под знака дифференциала
Внести функции под знак дифференциала
dx ______ √1 − x 2 _____ = d ( _______ )
√3x + 7 _____ dx = d ( 3 _______ 2 √3x + 7 _____ )
В первом выражении потеряны коэффициент и знак первообразной синуса.
Во втором, вероятно, была неправильно выделена производная арктангенса. В знаменателе этой функции должна стоять единица(!) плюс квадрат переменной.
В третьем случае вместо первообразной внесена под знак дифференциала производная, что является грубой ошибкой.
Ниже правильные решения подробно. Как уже упоминалось, замену переменных можно делать явно, как в первых двух случаях, или устно, как в последнем.
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.
14. Дифференциал функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. Приближенные вычисления.
Пусть функция u = u(x) дифференцируема в точке x0, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u0 = u(x0), тогда сложная функция y = f(u(x)) дифференцируема в точке x0, причем
df(u(x)) = f ‘(u0)u ‘(x0)dx.Так как u ‘(x0)dx = du, то df(u(x)) = f ‘(u0)du
Последняя формула показывает, что дифференциал функции записывается формулой одного и того же вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции.
Это свойство первого дифференциала называют инвариантностью (неизменностью)
Следует обратить внимание на то, что инвариантна (неизменна) именно лишь форма дифференциала, так как в содержании формулы дифференциала фкнкции есть существенное отличие от содержания формулы дифференциала от независимой переменной
Заметим, что дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают
Инвариантность формы первого дифференциала
Дифференциал функции в точке
имеет вид:
где — дифференциал тождественного отображения
:
Пусть теперь Тогда
, и согласно цепному правилу:
Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
15. Геометрические приложения производной функции нескольких переменных.
16. Производные и дифференциалы сложных функций.
17. Производные высших порядков явно заданной функции
Производная у’=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.
Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у»
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'» (или ƒ'»(х)). Итак, у'»=(y»)’
Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (уν или у(5)— производная пятого порядка).
18.Дифференциалы высших порядков
Рассмотрим дифференцируемую функцию независимой переменной y = f(x). Дифференциал этой функции dy = f'(x)dx зависит от х и dx = Dх. Приращение dx от х не зависит, так как приращения в данной точке х можно выбирать независимо от этой точки. Рассматривая dy = f'(x)dx только как функцию от х (то есть считая dx постоянным), можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала данной функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается символом d2у или d2 f(x). Таким образом, по определению d2у = d(dу). Вычислим второй дифференциал функции y = f(x).
Дифференцируемость функции многих переменных
Частные производные.
Пусть функция
$$
f(x) = f(x_<1>, \ldots, x_
$$
определена в окрестности точки \(x^ <0>= (x_<1>^<0>, \ldots, x_
$$
\varphi (x_<1>) = f(x_<1>,x_<2>^<0>, \ldots, x_
$$
Функция \(\varphi (x_<1>)\) может иметь производную в точке \(x_<1>^<0>\). По определению такая производная называется частной производной \(\frac<\partial f><\partial x_<1>>(x^<0>)\).
Аналогично определяются частные производные (первого порядка)
$$
\frac<\partial f><\partial x_>(x_<1>^<0>, \ldots, x_
$$
Функция двух переменных может иметь в точке \(x^<0>, y^<0>\) две частные производные первого порядка
$$
\frac<\partial f><\partial x>(x^<0>, y^<0>),\quad \frac<\partial f><\partial y>(x^<0>, y^<0>).\nonumber
$$
Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, то техника вычисления частных производных такая же, как техника вычисления производных функции одной переменной.
Дифференцируемость функции многих переменных в точке.
Дадим определение дифференцируемости функции в точке.
Функция \(f(x) = f(x_<1>, \ldots, x_
$$
f(x) — f(x^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack
$$
Функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\) в том и только том случае, когда в некоторой окрестности точки \(x^<0>\) функция \(f(x)\) может быть представлена в следующем виде:
$$
f(x) = f(x^<0>) + \sum_^
$$
где функции \(f_(x)\) непрерывны в точке \(x^<0>\).
\(\circ\) Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\). Тогда выполнено условие (1). Заметим, что равенство \(\psi(x) = o(\rho(x, x^<0>))\) при \(x \longrightarrow x^<0>\) означает, что \(\psi(x) = \varepsilon(x)\rho(x, x^<0>)\), где \(\displaystyle\lim_<\substack
Доопределим функции \(\varepsilon_(x)\) в точке \(x^<0>\) по непрерывности, полагая \(\displaystyle\lim_<\substack
Показать, что функция
$$
f(x, y) = \sqrt [3]
$$
дифференцируема в точке \((0,0)\).
\(\vartriangle\) Покажем, что существует число \(C > 0\) такое, что для любых \(x \in \boldsymbol
$$
|\sqrt [3]
$$
Если \(y = 0\), то неравенство \eqref
Показать, что функция
$$
f(x, y) = \sqrt [3]
$$
недифференцируема в точке (0,0).
\(\triangle\) Первый способ. Пусть функция дифференцируема в точке \((0,0)\), тогда, согласно определению, существуют числа \(A\) и \(B\) такие, что
$$
f(x, y) — f(0, 0) = Ax + By + o(\rho),\quad \rho = \sqrt
$$
где \(f(x, y) = \sqrt [3]
Пусть \(x = y > 0\), тогда
$$
\sqrt [3] <2>x = 2x + o(x)\nonumber
$$
или \((\sqrt [3] <2>— 2) x = o(x)\) при \(x \rightarrow 0\), что противоречит определению символа \(o(x)\). Следовательно, функция \(\sqrt [3]
Второй способ. Если функция \(f(x, y)\) дифференцируема в точке \((0,0)\), то ее можно в некоторой окрестности этой точки, согласно теореме 1, представить в следующем виде:
$$
\sqrt [3]
$$
где функции \(\varphi (x, y)\) и \(\psi (x, y)\) непрерывны в точке \((0,0)\).
Пусть \(k\) — произвольное число. Положим в \eqref
$$
\sqrt[3]<1 + k^<3>>=\varphi(x,kx)+k\psi(x,kx).\nonumber
$$
Переходя к пределу при \(x \rightarrow 0\) и пользуясь непрерывностью функций \(\varphi (x, y)\) и \(\psi (x, y)\) в точке \((0,0)\), получаем, что при любом \(k\) выполняется равенство
$$
\sqrt [3] <1 + k^<3>> = \varphi (0, 0) + k \psi (0, 0) = a + kb.\nonumber
$$
Это неверно, так как функция \(\sqrt [3] <1 + k^<3>>\) не есть линейная функция (ее вторая производная по \(k\) не обращается тождественно в нуль). \(\blacktriangle\)
Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.
Если функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^ <0>\in R^
$$
f(x) — f(x^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack
$$
\(\circ\) Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\). Тогда найдутся такие числа \(A_<1>, \ldots, A_
$$
f(x_<1>, x_<2>^<0>, \ldots, x_
$$
при \(x_ <1>— x_<1>^ <0>= \Delta x_ <1>\longrightarrow 0\).
Аналогично доказывается, что у функции \(f(x)\) в точке \(x^<0>\) существуют и остальные частные производные и что
$$
A_ = \frac<\partial f><\partial x_>(x^<0>),\ i = \overline<2, n>.\nonumber
$$
Подставляя эти выражения в равенство \eqref
Так как функция \(f(x, y) = \sqrt [3]
$$
f(x, y) = \begin
\displaystyle\frac<2xy>
0 & \text<при \(x = y = 0\)>
\end
$$
не имеет предела при \(x, y) \rightarrow (0, 0)\), а поэтому и не является непрерывной в точке \((0,0)\). Тем не менее у этой функции в точке \((0,0)\) существуют обе частные производные:
$$
\frac<\partial f><\partial x>(0,0) = \lim_<\substack
$$
Достаточные условия дифференцируемости функции в точке.
Если все частные производные \(\frac<\partial f><\partial x_>(x),\ i = \overline<1, n>\), определены в окрестности точки \(x^ <0>\in R^
\(\circ\) Рассмотрим случай функции трех переменных. Общий случай рассматривается аналогично. Пусть функции \(\displaystyle \frac<\partial f><\partial x>(x, y, z),\ \frac<\partial f><\partial y>(x, y, z),\ \frac<\partial f><\partial z>(x, y, z)\), определены в некотором шаре \(S_<\varepsilon>(x^<0>, y^<0>, z^<0>)\) и непрерывны в центре шара \((x^<0>, y^<0>, z^<0>)\).
Запишем приращение функции в следующем виде:
$$
f(x, y, z) — f(x^<0>, y^<0>, z^<0>) = f(x, y, z) — f(x^<0>, y, z) +\\+ f(x^<0>, y, z) — f(x^<0>, y^<0>, z) + f(x^<0>, y^<0>, z) — f(x^<0>, y^<0>, z^<0>).\nonumber
$$
Пусть \(x^ <0>0\)>\\
0, & \text<при \(x = y = 0\)>
\end
$$
дифференцируема в точке \((0,0)\), так как
$$
f(x, y) = 0 \cdot x + 0 \cdot y + o(\sqrt
$$
при \((x, y) \rightarrow (0, 0)\).
Но при \(x^ <2>+ y^ <2>> 0\) частная производная
$$
\frac<\partial f><\partial x>(x, y) = 2x \sin \frac<1> <\sqrt
$$
не имеет предела при \((x, y) \rightarrow (0, 0)\) и, следовательно, не является непрерывной функцией в точке \((0,0)\). Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что \(\displaystyle\frac<\partial f (x, 0)><\partial x>\) не имеет предела при \(x \rightarrow 0\).
Дифференцируемость сложной функции.
Пусть функции \(\varphi_ <1>(x), \ldots, \varphi_
\(\circ\) Так как функция \(f(y)\) дифференцируема в точке \(y^<0>\), то в силу теоремы 1 найдутся функции \(f_(y),\ y = \overline<1, m>\), непрерывные в точке \(y^ <0>= (y_<1>^<0>, \ldots, y_
$$
f(y) — f(y^<0>) = \sum_ <\substack
$$
Воспользовавшись тем, что дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке, а также теоремой о непрерывности сложной функции, получаем, что функции
$$
\psi_ (x) = f_(\varphi_ <1>(x), \ldots, \varphi_
$$
непрерывны в точке \(x^<0>\), причем
$$
\psi_ (x^<0>) = f_(\varphi_ <1>(x^<0>), \ldots, \varphi_
$$
Подставив в \eqref
$$
\Phi (x) — \Phi (x^<0>) = \sum_ <\substack
$$
Но функции \(\varphi_ (x^<0>),\ j = \overline<1, m>\), дифференцируемы в точке \(x^<0>\), поэтому найдутся такие непрерывные в точке \(x^<0>\) функции \(\varphi_
$$
\begin
\displaystyle \varphi_
\end
$$
Так как функции \(\psi_
Вторая из формул \eqref
Пусть функция \(f(x, y)\) дифференцируема во всех точках пространства \(R^<2>\). Перейти к полярным координатам и найти выражения для \(\displaystyle\frac<\partial f><\partial r>\) и \(\displaystyle\frac<\partial f><\partial \varphi>\).
Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила дифференцирования.
Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\). Тогда при \(x \rightarrow x^<0>\) ее можно записать в виде \eqref
$$
f(x) = f(x^<0>) + \sum_ <\substack>^<\substack
$$
Положим по определению
$$
dx_ = \Delta x_ = x_ — x_^<0>.\nonumber
$$
Если функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\), то линейную форму относительно приращений независимых переменных
$$
df(x^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack
$$
назовем дифференциалом функции \(f(x)\) в точке \(x^<0>\). Тогда
$$
f(x) = f(x^<0>) + d f(x^<0>) + o(\rho(x, x^<0>)) \ \mbox <при>\ x \rightarrow x^<0>.\nonumber
$$
Иногда выражение \eqref
Если бы \(y_<1>, \ldots, y_
$$
df(y^<0>) = \sum_ <\substack
$$
\(dy_
Инвариантность формы первого дифференциала является весьма удобным его свойством. При записи \(df(y^<0>)\) в виде \eqref
Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема во всех точках некоторого открытого множества \(G \subset R^
$$
df(x) = \sum_ <\substack>^<\substack
$$
Он будет функцией \(2n\) переменных \(x_<1>, \ldots, x_
Докажем, например, что \(d(uv) = u\ dv + v\ du\).
Найти дифференциал функции \(\displaystyle\operatorname
Формула конечных приращений Лагранжа.
Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в выпуклой области \(G \subset R^
$$
f(y) — f(x) = \sum_ <\substack>^<\substack
$$
Формула \eqref
\(\circ\) Пусть точки \(x, y \in G\). Так как область \(G\) выпукла, то отрезок, соединяющий точки \(x\) и \(y\), лежит в области \(G\). Поэтому определена функция одной переменной
$$
\varphi (t) = f(x_ <1>+ t(y_ <1>— x_<1>), \ldots, x_
$$
Очевидно, что \(\varphi (0) = f(x),\ \varphi (1) = f(y)\) и что функция \(\varphi (t)\) дифференцируема на отрезке [0,1]. По правилу нахождения производной сложной функции имеем
$$
\varphi'(t) = \sum_ <\substack>^<\substack
$$
Применим к функции \(\varphi (t)\) формулу конечных приращений Лагранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число \(\theta \in (0, 1)\) такое, что \(\varphi (1) — \varphi (0) = \varphi’ (\theta)\). Используя формулы \eqref
Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала.
Пусть функция \(f(x, y)\) дифференцируема на открытом множестве \(G \subset R^<2>\). Рассмотрим ее график
$$
\operatorname
$$
Пусть точка \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) лежит на \(\operatorname
$$
\Gamma = \
$$
лежит на графике и проходит через точку \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\). Это означает, что
$$
z(t) = f(x(t), y(t));\ (x(t_<0>),\ y(t_<0>),\ z(t_<0>) = (x_<0>, y_<0>, z_<0>),\ t_ <0>\in (\alpha, \beta).\label
$$
Дифференцируя тождество \eqref
$$
dz = \frac<\partial f><\partial x>(x_<0>, y_<0>)dx + \frac<\partial f><\partial y>(x_<0>, y_<0>)dy.\label
$$
Вектор \(d \tau = (dx, dy, dz)\) есть касательный вектор к кривой \(\Gamma\) в точке \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\). Введем вектор
$$
\textbf
$$
Условие \eqref
Плоскость, проходящая через точку \(P\) и ортогональная вектору нормали \(\textbf
$$
Z — f(x_<0>, y_<0>) = \frac<\partial f><\partial x>(x_<0>, y_<0>)(X — x_<0>) + \frac<\partial f><\partial y>(x_<0>, y_<0>)(Y — y_<0>).\label
$$
Прямая, проходящая через точку \(P\) и параллельная вектору \(N\), называется нормалью к \(\operatorname
$$
\frac
$$
Найдем значение аппликаты касательной плоскости, построенной в точке \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \in \operatorname
Таким образом, \(d\ f(x_<0>, y_<0>)\) есть приращение аппликаты касательной плоскости (рис. 26.1).
Рис. 26.1
Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция \(f(x, y, z)\) определена в области \(G \subset R^<3>\), и пусть точка \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \in G\). Рассмотрим луч, проходящий через точку и параллельный направлению
$$
\textbf
$$
где
$$
\cos^ <2>\alpha + \cos^ <2>\beta + \cos^ <2>\gamma = 1.\nonumber
$$
Если функция \(f(x, y, z)\) дифференцируема в точке \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \in G\), то производную по направлению \(\textbf
$$
\frac<\partial f><\partial l>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) = \left.\frac
$$
\(\circ\) Формула \eqref
Если ввести символический вектор (оператор Гамильтона)
$$
\nabla = \textbf\frac<\partial> <\partial x>+ \textbf
$$
и договориться, что векторы, стоящие слева от \(\nabla\), перемножаются с \(\nabla\) по правилам векторной алгебры, а на величины, стоящие справа, \(\nabla\) действует как дифференциальный оператор, то
$$
(\textbf
$$
Тогда формулу \eqref
$$
\frac<\partial f><\partial l>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) = (\textbf
$$