исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра

Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась 🙂

Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную. Линейной формой исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестрапеременных называют однородный многочлен 1-й степени:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, где:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля), а исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– переменные, которые могут принимать произвольные значения.

* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа.

С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений, и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.

Например: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– линейная форма двух переменных

Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестрапеременных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраимеет следующий вид:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– в этом слагаемом находится произведение исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраи исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра(квадрат);
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– здесь произведение исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра;
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– и здесь произведение исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.

Далее будем полагать, что хотя бы одна из констант не равна нулю, и вот, пожалуйста, «неполный» пример: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, в котором:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестранам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.

И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.

Далее ситуация начинает усугубляться:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

и усугублять мы её дальше не будем, т.к. формы с бОльшим количеством переменных встречаются довольно редко.

Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!

Квадратичная форма содержит исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраслагаемых с квадратами переменных и исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраслагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний). Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).

Матричная запись квадратичной формы

Как на счёт матриц? 🙂 Знаю, знаю, соскучились. В практических задачах широко распространенная матричная запись квадратичных форм. Объяснения опять начну с формы линейной, например, от трёх переменных: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра. Её можно записать, как произведение двух матриц:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

И действительно, выполняя матричное умножение, получаем матрицу «один на один»: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, единственный элемент которой можно эквивалентно записать вне матрицы: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.

Легко понять, что линейная форма «эн» переменных записывается в виде:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Квадратичная форма представима в виде произведения уже трёх матриц:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, где:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– столбец переменных;

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– его транспонированная строка;

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраматрица квадратичной формы.

Это так называемая симметрическая матрица, на главной диагонали которой расположены коэффициенты исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестрапри квадратах неизвестных, а симметрично относительно неё – «смешанные» коэффициенты, причём, строго на «своих местах» (например, исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– в 1-й строке, 3-м столбце и 1-м столбце, 3-й строке).

Определитель исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраназывают дискриминантом квадратичной формы, а ранг матрицы исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестрарангом квадратичной формы.

Если перемножить три матрицы исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, то получится в точности длинная «простыня» из предыдущего параграфа, но разворачивать её мы, конечно, не будем, а посмотрим, как это происходит в элементарном случае исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра. Согласно общей формуле, матричная запись данной формы имеет следующий вид:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

И в самом деле:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
далее:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, в чём и требовалось убедиться.

Как вариант, сначала можно было перемножить правые матрицы, и затем первую матрицу умножить на полученный результат.

Вам понравилось так же, как и мне? Ну тогда пример для самостоятельного решения =)

Записать квадратичную форму в матричном виде и выполнить проверку. Определить дискриминант и ранг формы.

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

…что-то смущает? 😉 Краткое решение и ответ в конце урока! Статьи об определителе и ранге матрицы – в помощь.

После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных:

Записать матрицу квадратичной формы, найти её ранг и дискриминант

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем ориентироваться на сами члены:

– слагаемое исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестрадважды содержит 1-ю переменную, поэтому исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра;

– из аналогичных соображений определяем исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраи сразу записываем результаты на главную диагональ симметрической матрицы: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.

Так как в слагаемое исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестравходят 1-я и 2-я переменная, то исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра(не забываем поделить на 2) и данный коэффициент занимает свои законные места: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.

Поскольку в форме отсутствует член с произведением исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра(а точнее, присутствует с нулевым множителем: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра), то исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, и на холст отправляются два нуля: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.

И, наконец, из слагаемого исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраопределяем исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, после чего картина завершена:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– матрица квадратичной формы. Вот так-то оно бывает – мы не только не испугались «страшных обозначений» исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, но и заставили их работать на себя!

По условию не требовалось записывать матричное уравнение, однако науки ради:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Желающие могут перемножить три матрицы, в результате чего должна получиться исходная квадратичная форма.

Теперь определим ранг формы. Он равен рангу матрицы исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра. Так как в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, например, исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, то ранг не меньше единицы. Теперь вычислим минор исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, значит, ранг не меньше двух. И осталось проверить минор 3-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Здесь я ко второму столбцу прибавлю третий и раскрою определитель по 3-й строке:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, значит, исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Если не очень понятно, что к чему, обязательно изучите статью о ранге матрицы – это довольно замысловатая задачка, и перед нами оказался лишь простой случай, когда угловые миноры не равны нулю.

Дискриминант квадратичной формы получен автоматом.

Ответ: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, ранг равен трём, дискриминант исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Следующее задание для самостоятельного решения:

Восстановить квадратичную форму по её матрице
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

При этом не нужно вспоминать никаких формул! Решение почти устное:

– сначала смотрим на главную диагональ и записываем слагаемые с квадратами переменных;

– затем анализируем симметричные элементы 1-й строки (или 1-го столбца), и записываем все слагаемые, в которые входит 1-я переменная (не забывая удвоить коэффициенты);

– далее смотрим на оставшиеся симметричные элементы 2-й строки (справа от диагонали) либо 2-го столбца (ниже диагонали) и записываем соответствующие парные произведения (с удвоенными коэффициентами!).

– и, наконец, анализируем правую нижнюю пару симметричных чисел.

Подробное решение и ответ в конце урока.

Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра

До сих пор мы рассматривали «внешнее устройство» форм и пришло время изучить их функциональное назначение. Да, по существу, они работают, как функции. Вернёмся к простенькой линейной форме исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.

Как отмечалось в начале урока, переменные исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестрамогут принимать произвольные действительные значения (мы ограничились ими), и каждой такой паре соответствует определённое значение исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, например:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, и так далее.

Говоря языком науки, перед нами скалярная функция векторного аргумента, в которой каждому вектору исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраставится в соответствие определённое число исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра. Обращаю ваше внимание, что сейчас идёт речь не о геометрическом векторе, а о векторе в его алгебраическом понимании.

В зависимости от значений исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестрарассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра).

Такая форма называется знакопеременной. И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной.

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– всегда, если только исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраодновременно не равны нулю.

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– для любого вектора исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, кроме нулевого исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.

И вообще, если для любого ненулевого вектора исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, то квадратичную форму называют положительно определённой; если же исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– то отрицательно определённой.

Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, при которых она меньше нуля?

На этот счёт существует теорема: если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны*, то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.

* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны

Запишем матрицу вышеприведённой формы:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраи из уравнения исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестранайдём её собственные значения:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Решаем старое доброе квадратное уравнение:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, значит, форма исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраопределена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраона больше нуля.

Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.

Как быть? Существует более простой путь!

Критерий Сильвестра

Нет, не Сильвестра Сталлоне 🙂 Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестракоторые «разрастаются» из её левого верхнего угла:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
и последний из них в точности равен определителю матрицы.

Теперь, собственно, критерий:

1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.

2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, если исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– чётное или исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, если исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– нечётное.

Если в 1-й или 2-й последовательности есть нулевые миноры, то это два особых случая, которые я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры. При любой другой комбинации плюсов-минусов (и опционально нулей) форма знакопеременна.

Проанализируем угловые миноры матрицы исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра:

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, и это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно (отпал пункт 2).

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Вывод: все угловые миноры больше нуля, значит, форма исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраопределена положительно.

Есть разница с методом собственных чисел? 😉

Запишем матрицу формы исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраиз Примера 1:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

первый её угловой минор исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, а второй исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.

Возьмём форму исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраи её матрицу из Примера 2:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, следовательно, форма точно не отрицательна.

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными).

Вывод: форма знакопеременна.

Разминочные примеры для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность

а) исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

б) исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно.

Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, то форма определена неотрицательно, если исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– то неположительно. У этих форм существуют ненулевые векторы исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, при которых исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.

Здесь можно привести такой «баян»:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Выделяя полный квадрат, сразу видим неотрицательность формы: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.

«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
и ещё более тривиальный пример:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– здесь форма равна нулю при любом векторе исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, где исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– произвольное число.

Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?

Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестрасуществуют два главных минора 1-го порядка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),

и один главный минор 2-го порядка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.

У матрицы «три на три» исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраглавных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.
Сверяемся в конце урока и продолжаем.

Критерий Шварценеггера:

1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).

* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.

2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраопределена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошлО чередование);

– главный минор исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра-го порядка неположителен, если исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– нечётное либо неотрицателен, если исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– чётное.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.

Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Составим матрицу исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраформы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен, и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы).

Главные миноры 1-го порядка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– положительны,
главный минор 2-го порядка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– не отрицателен.

Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна.

Запишем матрицу исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраформы исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– не отрицателен.

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.

Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем.

Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Вычислим угловые миноры:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
третий определитель я раскрою по 3-й строке:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Кстати, в силу симметрии, по 3-му столбцу он раскрывается точно так же.

Дальнейшее решение удобно разбить на 2 пункта:

1) Выясним, существуют ли значения «альфа», при которых форма определена положительно или неотрицательно. Согласно критерию Сильвестра, условию положительности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

В соответствии с поставленной задачей, сначала разберёмся со 2-м неравенством:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
умножим обе его части на исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, сменив у неравенства знак:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, что противоречит первому неравенству системы.

Таким образом, система несовместна, а значит, форма не может быть положительно определённой ни при каких «альфа», из чего логически и автоматически следует, что она не может быть и неотрицательной.

2) Проведём исследование на отрицательность / неположительнось. По Сильвестру, условию отрицательности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Второе неравенство уже решено: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, и оно не противоречит первому. И третье неравенство тоже «вписалось в рамки»: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.
Таким образом, имеем совместную систему:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
из которой следует, что форма определена отрицательно при исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра. Например, если исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– то при любом ненулевом векторе исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраданная форма будет строго отрицательна.

Осталось исследовать «пограничный» случай. Если исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, то:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
Последнее значение не удовлетворяет 2-му пункту критерия Сильвестра, однако оно равно нулю, что позволяет предположить неположительнось формы. Запишем матрицу исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраформы и проверим критерий Шварценеггера. Главные миноры первого порядка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– отлично, все миноры неположительны, поэтому проверка продолжается.

Рассчитываем миноры 2-го порядка. Если хотя бы один из них окажется отрицательным, то форма будет знакопеременной:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
Нет, все миноры неотрицательны, и минор 3-го порядка уже рассчитан:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), имеет место неположительнось формы, иными словами, исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, причём, нулю она равна и при некоторых ненулевых значениях исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.

Ответ: при исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраформа определена отрицательно, при исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестранеположительно, в остальных случаях форма знакопеременна.

И творческое задание для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

И в заключение статьи хочу выразить благодарность Сергею Хохлову, некогда ст. преподавателю МПГУ – за важные замечания и интересные дополнительные примеры, а также Арнольду Шварценеггеру, который сыграл в непривычном для себя амплуа и помог мне ярче объяснить материал 🙂

Как сказал актёр, I’ll be back, и я жду вас на следующем уроке – о каноническом виде квадратичной формы.

Пример 1. Решение: сначала приведём подобные слагаемые:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
Квадратичная форма двух переменных имеет вид исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, в данном случае: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра. Запишем форму в матричном виде:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Проверка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
что и требовалось проверить.

Вычислим дискриминант формы:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
Поскольку исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, то ранг формы равен двум.

Ответ: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, ранг формы равен двум.

Пример 3. Решение: симметрическая матрица 4*4 определяет квадратичную форму 4 переменных. Коэффициенты главной диагонали исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, следовательно:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Симметричные коэффициенты 1-й строки: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, таким образом:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Оставшиеся симметричные элементы 2-й строки: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра, и:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

И, наконец, исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Ответ: исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Пример 4. Решение:

а) запишем матрицу формы:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
и вычислим её угловые миноры:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Таким образом, по критерию Сильвестра, форма определена отрицательно.

б) запишем матрицу формы:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
и вычислим её угловые миноры:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра

Вывод: форма знакопеременна.

Задание на понимание: у данной матрицы четыре главных минора 1-го порядка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра,
шесть главных миноров 2-го порядка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
четыре главных минора 3-го порядка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
и один главный минор 4-го порядка, равный определителю матрицы.

Пример 5*. Решение: запишем матрицу формы исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраи вычислим её угловые миноры:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
Таким образом, форма не удовлетворяет критерию Сильвестра, однако, может оказаться неотрицательной (т.к. исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестраи остальные миноры нулевые). Для этого все главные миноры должны быть неотрицательны. Главные миноры 1-го порядка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра.
Вычислим главные миноры 2-го порядка:
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра
исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра– среди главных миноров встретился отрицательный, следовательно, форма не удовлетворяет критерию неотрицательности.

Ответ: форма знакопеременна.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

исследовать квадратичную форму на знакоопределенность по критерию сильвестра Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *