история развития счета и этапы развития математики
История развития математики
Зародилась математика в древнейшие времена. В те доисторические времена человек активно осваивал окружающий мир, накапливал фактический материала и преумножал жизненный опыт. Долгое время счет у древних людей был вещественным, то есть осуществлялся с помощью палочек, камней, пальцев и прочего. Постепенно к первобытному человеку пришло понимание того, что число можно отделить от его конкретного представителя. Древние люди сумели понять, что два яблока и два камня, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека. Так постепенно сформировалось понятие о натуральных числах, а к концу VII V вв. до н. э. и другие основные постулаты математики.
Бурное развитие математической науки обусловлено потребностями хозяйственной жизни человека. Земледелие, ремесло, обмен, торговля, налоги, обеспечение продовольствием, создание армии, измерение площадей земельных владений, объемов сосудов и многое другое заставляло людей заниматься счетом и вычислением. Со временем накопленные знания были приведены в четкую систему, благодаря чему человек смог вычленить особые понятия, методы и способы решения трудных задач, которые впоследствии легли в основу современной математической науки.
Еще в глубокой древности задолго до наступления нашей эры были сформулированы три основных понятия математики: число, величина и геометрическая фигура. В процессе тщательного счета и упорядочивания убитых на охоте зверей, сделанных горшков в мастерской, собранного урожая, возникло понятие натурального числа, как количественного, так и порядкового. В результате сравнения масс и объемов разнообразных сосудов и предметов человек пришел к пониманию понятия величина. В следствие изучения форм изделий и предметов, зданий и земельных участков и т.д. люди сформировали понятие геометрической фигуры, являющейся частью геометрического (буквально означает — измерение земли) пространства, сформированные абстрактные понятия были введены в арифметические действия над натуральными числами. Спустя некоторое время была установлена связь между натуральными числами и величинами, в результате чего появились дробные числа. Они получались в случае, когда результат измерений не выражался натуральным числом. Постепенно путем наблюдений и простейших логических рассуждений, люди пришли к простым, но гениальным по своей сути формулам для вычисления геометрических величин — длин, площадей, объемов. Из этого следует, что в это время арифметика и геометрия считались частями одного целого.
Цифры – условные знаки для обозначения чисел.
Первые цифры появились у египтян и вавилонян. У ряда народов (древние греки, финикияне, евреи, сирийцы) цифрами служили буквы алфавита, аналогичная система применялась и в России до 16 в. В средние века в Европе пользовались системой римских цифр (I, II, III, IV, V, VI и т. д.), основанной на употреблении особых знаков для десятичных разрядов
I = 1, X = 10, С = 100, М = 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500. Современные цифры (арабские) перенесены в Европу арабами в 13 в. (по-видимому, из Индии) и получили широкое распространение со 2-й пол. 15 в. В узком смысле слова цифрами называются знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Элементарная математика
С VI- XVIII веках до нашей эры длился полный уникальных открытий период в развитии математической науки. К этому времени математика становится самостоятельной наукой, с целым рядом своеобразных понятий и методов. Теперь начинается систематическое и логически последовательное посторенние основ математической науки.
Наиболее ценный вклад в становление математики внесли ученые Древней Греции. Главным достижением математической мысли того времени является становление и развитие понятия о доказательстве. В данный период развития цивилизации ученые стремились к четкому, последовательному и логическому построению своих мыслей. Древние греки строго выстраивали свои мысли и высказывания, в результате чего переход от одного смыслового звена к следующему не допускал места сомнениям, был неоспорим и заставлял всех принимать его без спора. Такой метод логических рассуждений получил название дедуктивного.
Дошедшие до нас тексты древнегреческого ученого Фалеса из Милета, позволяют считать его первым философом, который использовал в математике дедуктивный метод и доказательства. Именно Фалес доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов, один из признаков равенства треугольников, равенство частей, на которые диаметр разбивает круг, и другие геометрические утверждения.
Метод логического доказательства математических утверждений Фалеса был всесторонне развит и усовершенствован учеными пифагорейцами в конце VI в. — середине V в. до н. э. Ученые пифагорейской школы доказали математическое утверждение, известное нам как теорема Пифагора.
Именно пифагорейцы предприняли первую попытку к сведению геометрии и алгебры к арифметике. По их мнению, «все есть число», при этом под словом «число» ученые пифагорейской школы подразумевали лишь натуральные числа. Эта предположение было опровергнуто самими же пифагорейцами. Новое открытие стало поворотным пунктом в развитии математической науки. Открытие заключалось в том, что пифагорейцы доказали несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной. Доказательство, основанное на теореме Пифагора, обнаружило несостоятельность и бессмысленность попыток свести геометрию к натуральным числам. Проанализировав доказательство, были сформированы основные положения Теории чисел (четности и нечетности простых чисел, разложения чисел на простые множители, свойств взаимно простых чисел и т. д.)
Следующим этапом развития элементарной математики явилась попытка греческих ученых обосновать математику, оперируя геометрическими понятиями. С этого момента начинается развитие геометрической алгебры. Геометрический подход к алгебре сохранился и по сей день в некоторых терминах, к примеру, квадрат числа, куб числа, геометрическое среднее, геометрическая прогрессия и т. д.Вклад древнегреческих математиков трудно переоценить. Благодаря их трудам математическая наука продвинулась очень далеко. Именно древние греки классифицировали открыли все виды правильных многогранников, вывели основные формулы для определения объемов тел, изучили кривые линии — эллипс, гиперболу, параболу, спирали.
В становлении математики этого периода главную роль сыграла книга Евклида «Начала». Выдающийся труд представлял собой синтез и систематизацию основных достижений математической науки. Книга Евклида на протяжении многих веков служила главным источником знаний, была уникальным образцом строгого, логически стройного изложения математических доказательств. «Начала» подвели промежуточный итог в развитии математических идей.Элементарная математика Древней Греции не знала отрицательных чисел и нуля, иррациональных чисел и буквенного исчисления. Они появятся лишь в III веке нашей эры в трудах александрийского математика Диофанта.Теперь центр математической науки перемещается на Восток, в Индию и арабские страны, а также в Китай.В конце рассматриваемого периода были введены отрицательные числа и ноль, развита тригонометрия, создана новая область математики — алгебра, как буквенное исчисление. Таким образом, период элементарной математики завершается. Теперь направление математических исследований изменяется в сторону математических величин.
XVII — XVIII века— третий период развития математической науки. Начало века было ознаменовано выдающимися математическими исследованиями Рене Декарта. В своих трудах Декарт исправляет ошибочные представления античных математиков и вновь возвращает числу алгебраическое понимание взамен геометрического. К тому же Декарт показывает новый способ перевода геометрических предложений на алгебраический язык. Это осуществлялось с помощью системы координат, которая впоследствии стала носить имя своего создателя. Благодаря декартовой системе координат эффективность математических исследований становится на порядок выше. Таким образом, появилась аналитическая геометрия. Кроме того, именно Рене Декарту принадлежит заслуга введения нового математического понятия переменной величины.
Выдающимся достижением рассматриваемого периода в становлении математической науки явилось введение нового обобщенного понятия функции. Введенное в конце XVII в. немецким математиком и философом Г. В. Лейбницем, понятие функции воплотило в себе общефилософскую идею о всеобщей взаимосвязи явлений материального мира.
Понятия переменной и функции есть не что иное, как абстракции конкретных переменных величин таких, как координата, скорость, ускорение и тому подобные, и конкретных зависимостей между ними, к примеру, закон свободного падения. Результатом углубленного изучения общих свойств зависимостей между переменными величинами стало создание математического анализа. XVIII век по праву называют веком анализа в математике. Благодаря обмену идеями, происходившему в процессе взаимодействия, была сформирована математическая физика.
В области геометрии и механики конца XVII в. было также сделано немало важных открытий. Выдающийся английский физик и математик Исаак Ньютон создал основу дифференциального и интегрального исчисления. Это открытие Ньютон совершил одновременно с Г.В. Лейбницем. Анализ и механика развивались в тесном взаимодействии, однако впервые эти две области научного знания объединил Эйлер. Теперь механика стала прикладным разделом анализа.
Значительные успехи в этой области были достигнуты в XVIII-XIX столетиях. К этому времени математики научились составлять и решать дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, в которых соединялись многие вопросы математической физики.
На рубеже XVIII — XIXвв в свет выходят многочисленные специализированные математические журналы. Значительно увеличивается количество научно-популярной литературы. В это же время возникает и развивается теория вероятностей.
В современный период развития математической науки, впитавший в себя достижения предыдущих эпох, было сделано много невероятных открытий, опровергнуты ошибочные убеждения, созданы и развиты новые теории.
Одним из самых выдающихся открытий того времени является построение так называемой неевклидовой геометрии. Созданная великим русским математиком Н. И. Лобачевским новая геометрия стала своеобразным символом внутреннего развития математики. Теперь аксиомы рассматривают как гипотезы. К концу XIX века сложился ряд строгих требований к практической работе математиков, который сегодня составляет предмет математической логики.
Не менее важным этапом в развитии математической науки стало углубленное изучение геометрических пространств. Весомый вклад в развитие этой области внес Риман. Интенсивное изучение функциональных пространство позволило создать новый раздел математики — функциональный анализ, в котором геометрические понятия и идеи используются для решения сложных задач математического анализа.
В области механики и математической физики разработана теория обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частичными производными и пр.
Направление алгебраических исследований изменяется в сторону общих алгебраических систем, теории групп, полей, колец. На стыке алгебры и геометрии возникает новая теория непрерывных групп.
Новые методы анализа и алгебры, созданные в начале ХХ века, были использованы при создании и дальнейшем использовании ЭВМ. Таким образом, было найдено практическое применение результатов теоретико-математических исследований, а методы анализа и алгебры легли в основу нового раздела науки — вычислительную математику.
История развития математики
| Главная > Учебные материалы > Математика: История развития математики | ||
 | ||
 | ||
Содержание
1.Вступление.
2.Вавилонское царство (Вавилония).
3.Египет.
4.Греческая математика.
5.Александрийский период.
6.Индия и Арабский Халифат.
7.Средние века. Эпоха возрождения.
8.Аналитическая геометрия.
9.Математический анализ.
10.Современная математика.
11.Математическая строгость.
Вступление
Математика — это наука, изучающая числа, действия над ними, количественные отношения и пространственные формы. Произошло это название от греческого μάθημα или máthëma, что в переводе значит наука.
Счет — это самая древнейшая математическая деятельность. Людям был жизненно необходим счет, так как требовалось вести торговлю, а также следить за поголовьем своего домашнего скота. Учеными было открыто, что одни из самых первобытных человеческих племен вели счет предметов, прибегая к помощи различных частей тела, конечно же, главными из которых были пальцы рук и ног. Со времен каменного века сохранился наскальный рисунок, в котором число 35 было нарисовано в виде 35 палочек-пальцев, которые были выстроены в один ряд. Одними из самых первых достижений в арифметике стали выработка концепции числа, а также появление четырех важнейших действий:
К первым достижениям геометрии относятся понятия, представляющие собой простейшие геометрические фигуры:
Дальше математика начала активно развиваться примерно в III тысячелетии до н. э. и в этом немалую роль сыграли вавилоняне и египтяне.
Вавилонское царство (Вавилония)
Вавилонское царство (Вавилония)Математика в Вавилонии
О вавилонской цивилизации, к счастью, нам известно довольно много. Все это благодаря отлично сохранившимся глиняным табличкам, которые были покрыты так называемыми клинописными текстами, возраст которых датируется примерно от 2000 лет до н. э. вплоть до III века до н. э. Как правило, математика на найденных клинописных табличках в основном затрагивала только моменты, связанные с ведением хозяйства. Также простая арифметика и алгебра применялись при обмене денег, при расчетах за товары, вычислении либо простых, либо сложных процентов, налогов и части урожая, которые обычно уходили в пользу государства, землевладельца или храма. Со временем, когда начали строить каналы, зернохранилища и другие сложные постройки, арифметические и геометрические задачи стали усложняться. Математика также понадобилась и для ведения учета общественных работ, которых в то время было предостаточно.
Крайне важную роль математика сыграла при расчете календаря. Ведь именно по календарю определялись сроки посева и сбора урожая, а также все религиозные праздники. Именно вавилонская астрономия положила начало делению окружности на 360 градусов, а градуса и минуты на шестьдесят частей. Вавилонянам принадлежит одна из первых систем исчисления. Для этого они использовали числа от 1 до 59, основанием которых была 10-ка. Символ, который обозначал единицу, вавилоняне повторяли необходимое количество раз для чисел от 1 до 9. Дальнейшие обозначения, то есть, от 11 до 59, обозначались комбинацией символа числа 10, а также символа единицы. Для чисел, начиная с 60 и больше, была введена позиционная система исчисления, основанием которой стало число 60. Существенным прорывом в вавилонской математике стал позиционный принцип. То есть, один и тот же числовой знак или символ обретал различные значения в зависимости от места его расположения. В качестве примера может послужить значение 6 в нынешней записи числа 606. Однако у вавилонян ноль отсутствовал, именно поэтому и набор символов могут означать следующее: 65 — это 60+5, и 3605 — это 60²+0+5. Возникали неоднозначность и с восприятием дробей, так как одни те же символы могли трактоваться и как число, и как дробь. К примеру, 21: дробь — 21/60 и число — 20/60+1/60². Но данная проблема решалась довольно просто — все зависело от конкретного контекста.
Вавилонянами были составлены специальные таблицы, которые предназначались для выполнения деления, а также таблицы квадратов и квадратных корней. Появились и таблицы кубов, включая кубические корни. Вавилонянам было знакомо и приближение числа. Как следует из клинописных текстов, которые были посвящены алгебраическим и геометрическим задачам, в Вавилонском царстве пользовались квадратичной формулой, чтобы решать квадратные уравнения, некоторые особые типы задач, которые могли включать в себя до десяти неизвестных. Также квадратичные формулы использовались и для решения отдельных разновидностей кубических уравнений, включая уравнения четвертой степени. На найденных глиняных табличках были запечатлены лишь задачи и главные моменты их решений. Для обозначения неизвестных применялась геометрическая терминология, поэтому и методы решений обозначались геометрическими действиями с линиями и площадями. А вот алгебраические задачи формулировались и решались только в словесных обозначениях.
Примерно 700 лет до н. э. математика в Вавилонии достигла уже немалых вершин. Так, вавилоняне использовали ее для исследований движения планет и Луны. Данный факт позволил им предугадывать положение планет, а это стало важнейшим шагом вперед для астрологии и астрономии.
Вавилоняне прекрасно ориентировались в геометрии. Они прекрасно знали о соотношениях, к примеру, о таких, как пропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников, признаки равенства треугольников. Теорема Пифагора им также была известна, и то, что угол, который вписан в полуокружность является прямым. У вавилонян были и правила вычисления, формулы площадей простых плоских фигур, включая правильные многоугольники и объемы простых чисел. А вот число пи в Вавилонском царстве приравнивалось к трем.
Египет
Наше понимание древнеегипетской математики основывается в основном на двух папирусах, которые датируются приблизительно 1700 лет до н. э. Однако те математические сведения, которые содержат эти папирусы, восходят к совсем раннему периоду, примерно 3500 лет до н. э. Египтяне отлично ориентировались на тот момент в математике. Они использовали ее для вычисления массы тел, площадей посевов, объемов зернохранилищ, размеров податей, количества камней, которые предназначались для строительства различных сооружений. В папирусах нашлось и упоминание о задачах с определением количества зерна для приготовления необходимого числа кружек пива и даже более сложных, где для приготовления пива использовались одновременно несколько сортов зерна. В данном случае прибегали к переводным коэффициентам. Но, пожалуй, основное применение математика в Египте нашла в астрономии. При помощи математики производились расчеты, которые были связаны с календарем. Календарь был необходим для определения различных дат религиозных праздников, а также для предсказания ежегодных разливов реки Нил. Однако, несмотря на все эти факты, уровень астрономии в Древнем Египте все же существенно уступал степени ее развития в Вавилонском царстве.
Вся древнеегипетская письменность была основана на иероглифах. Причем, система исчисления, так же, как и астрономия, сильно уступала вавилонской системе. Египтяне использовали только непозиционную десятичную систему, где числа от одного до девяти обозначались при помощи вертикальных палочек соответствующим числом. Что касается последовательных степеней числа десять, то тут уже использовались индивидуальные символы. Последовательно сопоставляя данные символы, можно было написать любое число. Когда появился папирус, появилось и иератическое письмо-скоропись. Именно оно в большей степени поспособствовало возникновению новой числовой системы. Теперь каждое число от одного до девяти, а также первые девять кратных чисел 10, 100 и так далее, обозначались специальным опознавательным символом. Дроби стали записывать, как сумма дробей с числителем, который был равен единице. С подобными дробями производились четыре арифметические операции, однако сама процедура данных вычислений оставалась все же весьма громоздкой.
У египтян геометрия в основном сводилась к вычислениям площадей круга, треугольников, прямоугольников, трапеций и к формулам объемов определенных тел. Стоит также отметить, что, несмотря на все величие египетских пирамид, для их строительства египтяне использовали крайне простую и примитивную математику.
Запись чисел в древнем Египте
(Википедия)
Все задачи, включая их решения, которые были представлены в папирусах, были сформулированы только рецептурно, без всяких объяснений. Египтяне работали только с самыми простейшими видами квадратных уравнений, а также арифметическими и геометрическими прогрессиями. Именно поэтому и все те правила, которые они выводили для себя, были, соответственно, самого простейшего вида. Ни египетская математика, ни вавилонская, не имели общих методов. Весь багаж математических знаний являл собой только скопление эмпирических правил и формул. Несмотря на то, что индейцы майя, проживавшие на территории Центральной Америки, нисколько не оказали своего влияния на развитие математики, их некоторые достижения, которые относятся приблизительно к IV веку, все же заслуживают отдельного внимания. Скорее всего, именно майя, в своей двадцатеричной системе самыми первыми начали использовать определенный символ для обозначения нуля. А вообще у майя были две системы исчисления. Одна подразумевала использование иероглифов, вторая являлась более распространенной, так как была более примитивной. Так, точка обозначала единицу, горизонтальной чертой обозначали число пять, специальный символ — ноль. Остальные позиционные обозначение шли с числа двадцать. Числа писались по вертикали и сверху вниз.
Греческая математика
Как утверждает нам XX век, основателями математики были греки классического периода (VI-IV в. в до н. э.). Все, что было ранее, — это всего лишь набор эмпирических заключений. И в дедуктивном рассуждении последнее утверждение было сделано таким образом, что любая возможность его исключения сводилась к нулю. Греки сильно настаивали именно на дедуктивном доказательстве, и это обстоятельство было экстраординарным шагом. Стоит заметить, что кроме греков, больше ни одна цивилизация не смогла дойти до идеи получения конечных заключений, основываясь только на дедуктивных рассуждениях, которые были сформулированы из аксиом. Именно в греческом обществе классического периода исследователи находят одно из объяснений приверженности методам дедукции. В то время абсолютно все математики, а также философы (как правило, это были одни и те же лица) принадлежали исключительно к высшим слоям общества. Они никогда не утруждали себя практической деятельностью, так как рассматривали это занятие, как крайне непристойное. Математики того времени любили «поразглагольствовать» на тему абстрактных рассуждений о числах, а также о туманных отношениях к решению практических задач. Математику греки разделяли на арифметику (теоретический аспект) и на логистику (вычислительный аспект). И, если арифметика полностью принадлежала математикам-философам, то логистикой могли заниматься свободнорожденные низших классов, а также рабы.
В греческой системе счисления использовался алфавит. Аттическая система, которой пользовались в VI-III в. в. до н. э., для обозначения единицы использовала простую вертикальную черту, а числа 5, 10, 100, 1000, а также 10 000, обозначались начальными буквами из греческих названий. Чуть позже в ионической системе счисления, чтобы обозначить числа, применялись 24 буквы греческого алфавита, включая три архаические. Все кратные числа от 1000 до 9000 обозначались точно так же, как первые девять чисел, то есть от одного до девяти, но для отличия перед каждой буквой греки ставили вертикальную черту. Буквой М (от греч. Мириони — 10 000) обозначались десятки тысяч. После М ставилось то число, на которое и умножалось 10 000. К моменту прихода времени Платона и Аристотеля греческая математика полностью сформировала дедуктивный характер. Дедуктивную математику приписывают Фалесу Милетскому (приблизительно 640-546 гг. до н. э.). Однако он, как и многие греческие математики того времени, а именно — классического периода, также был философом. Говорилось, что Фалес начал использовать метод дедукции, чтобы доказать некоторые задачи в геометрии, но многие ставят это под большой вопрос.
К моменту прихода времени Платона и Аристотеля греческая математика полностью сформировала дедуктивный характер. Дедуктивную математику приписывают Фалесу Милетскому (приблизительно 640-546 гг. до н. э.). Однако он, как и многие греческие математики того времени, а именно — классического периода, также был философом. Говорилось, что Фалес начал использовать метод дедукции, чтобы доказать некоторые задачи в геометрии, но многие ставят это под большой вопрос.
Другой великий грек, чье имя тесно связано с развитием математики, также внес свой вклад в ее развитие. Это, конечно же, был Пифагор (приблизительно 585-500 гг. до н.э.). Он много странствовал, поэтому и познакомился с вавилонской, а также египетской математикой. Пифагор в дальнейшем организовал целое свое движение, популярность которого пришлась на 550-300 гг. до н.э.
Сторонники этого движения называли себя пифагорейцы. Именно они уже создали чистую математику, которая была представлена на основе теории чисел и геометрии. Целые числа обозначались точками либо камешками, с последующей группировкой этих чисел согласно форме возникающей фигуры или «фигурные числа». Чтобы было понятнее, слово «калькуляция», то есть «расчет» или «вычисление», берет свое начало от греческого слова, которое переводится, как «камешек». Такие числа, как 3, 6, 10 и так далее пифагорейцы прозвали треугольными, потому как соответствующее число камешков можно было расположить в виде треугольника. Числа 4, 9, 16 и так далее — квадратные числа, так как число их камней можно было расположить в форме квадрата. Простые геометрические конфигурации для пифагорейцев открывали определенные свойства чисел. В частности, так называемые треугольные числа, последовательно идущие друг за другом, в сумме давали квадратное число.
Греческий алфавит.
Пифагорейцы относились к числам как к чему-то большему, нежели просто обозначению количества. Так, двойка символизировала различие и соотносилась с мнением, которое, как известно, бывает различным у разных людей. Число 4 означало справедливость, так как состоит из двух равных частей, одинаковых множителей — двоек.
Открытия пифагорейцев относительно сумм чисел привели к возникновению теоремы Пифагора. Так, толчком к этому послужило открытие того, что некоторые квадратные числа в сумме давали опять же квадратное число. Например, сумма 9 и 16 равна 25 и так далее. Такие числа, как 3,4 и 5, а также 5, 12, 13 и т. д. называют пифагоровыми. Они находят отражение в геометрии: Если 2 числа из тройки представляют собой длины катетов треугольника, то третье — длина гипотенузы этого треугольника. Именно из этого заключения была выведена теорема Пифагора.
В Древней Греции математика тесно граничила с геометрией. Так, любое квадратное уравнение решалось при помощи геометрических построений. Существовали особые построения для разных арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, при которых для наглядности использовались отрезки.
В результате того, что задачи стали иметь геометрический вид, это привело к ряду важных событий. Одно из них — числа теперь стали рассматривать и отдельно от геометрии, так как делать расчеты с несоизмеримыми отношениями, было возможно только, прибегая к геометрическим методам. Геометрия на тот момент являлась основной практически всей математики. Это длилось вплоть до XVI века. Хотя даже и в XVIII веке, несмотря на то, что уже были хорошо развиты и алгебра, и математический анализ, строгая математика так и продолжала трактоваться, как геометрия, а слово «геометр» имело точно такой же смысл, что и «математик». Благодаря пифагорейцам, получилось создать именно ту математику, которая впоследствии была систематизировано изложена, а также доказана в «Началах» Евклида. Достаточно оснований полагать, что именно пифагорейцы открыли то, что сегодня мы называем теоремами о треугольниках, многоугольниках, параллельных прямых, сферах, окружностях и правильных многогранниках.
Конечно же, самым ярким и выдающимся пифагорейцем считался Платон (приблизительно 427-347 гг. до н. э.). Именно Платон считал, что физический мир можно постичь только посредством математики. Благодаря этому утверждению, ученые и историки посчитали, что именно он открыл аналитический метод доказательства. Данный метод начинается с утверждения, которое необходимо доказать. После доказательств выводятся следствия до того момента, пока не получится какой-либо известный факт. Доказательство получают при помощи уже обратной процедуры. Также принято полагать, что именно последователи Платона открыли метод доказательства, который известен как «доказательство от противного». Еще одно из заметных мест в истории развития математики занимает один из учеников Платона — Аристотель. Он открыл основы науки логики, а также высказал идеи по поводу определения аксиом, возможности геометрических построений и бесконечности.
Одним из самых величайших математиков в Греции классического периода был Евдокс (приблизительно 408-355 гг. до н. э.). По важности достигнутых результатов он уступал только Архимеду. Евдокс ввел такие понятия, как понятие величина для отрезков прямых и углов. Обладая понятием величины, он смог логически доказать и обосновать пифагорейский метод обращения с иррациональными числами. Благодаря достижениям Евдокса, удалось установить все дедуктивное строение математики, взяв за основу формулируемые аксиомы. Также за ним числится и первый шаг по созданию математического анализа, так как именно Евдокс открыл метод вычисления объемов и формулы площадей, которые впоследствии получил название «метод исчерпывания». Метод исчерпывания заключается в построении вписанных, а также описанных плоских фигур или же пространственных тел, заполняющих (исчерпывающих) объем либо площадь фигуры или тела, которое, собственно, и является предметом самого исследования. Евдокс первым доказал астрономическую теорию, обосновывающую наблюдаемое движение планет солнечной системы. Данная теория являлась чисто математической. Она наглядно демонстрировала, каким именно образом комбинации вращающихся сфер, обладающих различными диаметрами, а также осями вращения, могут объяснить кажущиеся нерегулярные движения планет, Солнца и Луны.
Примерно 300 лет до н. э. достижения многих греческих математиков свелись в одно целое. Это сделал Евклид, который является автором математического шедевра «Начала». Он отобрал некоторые аксиомы и впоследствии вывел более 500 теорем, которые охватывали самые важные результаты греческого классического периода. Свое произведение Евклид начал с установления таких терминов, как окружность, прямая и угол. После чего он вывел десять самоочевидных истин — «целое больше любой из частей». Благодаря этим десяти аксиомам, Евклиду удалось вывести все свои теоремы. Для всех математиков того времени сочинение «Начала» являлись образцом строгости. И только в XIX веке удалось установить и доказать, что Евклидовское «Начала» обладает целым рядом недостатков, как, к примеру, неосознанное применение несформулированных в явном виде допущений.
Постулаты Евклида.
(Википедия)
Аполлоний (приблизительно 262-200 года до н. э.) жил в александрийский период. Однако все его основные труды были выдержаны в духе классических традиций. Именно Аполлоний предложил анализ конических сечений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Это стало кульминацией развития всей греческой математики. Впоследствии Аполлоний стал основоположником количественной математической астрономии.
Александрийский период
Александрийский период начался примерно 300 лет до н. э. и ознаменовался изменением характера греческой математики. Александрийская математика была образована путем слияния математики Вавилонии и Египта с классической греческой математикой. Математики александрийского периода стремились больше к решению технических задач, не фокусируясь на философии. К великим александрийским математикам относятся: Архимед, Птолемей, Эратосфен, Гиппарх, Папп и Диофант. Именно они смогли по максимуму на тот момент продемонстрировать всю силу греческого гения относительно теоретического абстрагирования. Они также применяли свои таланты для решений практических проблем, а также для решения чисто количественных задач.
Эратосфен (приблизительно 275-194 года до н. э.) открыл простой способ вычисления длины окружности нашей планеты. Именно ему принадлежит создание календаря, в котором каждый четвертый год больше на один день. За астрономом Аристархом (приблизительно 310-230 года до н. э.) числится сочинение «О размерах и расстояниях Луны и Солнца». Данное сочинение содержит в себе самую первую попытку определения этих самых расстояний и размеров. По характеру изложения данная работа была геометрической.
Архимед (приблизительно 287-212 года до н. э.) — один из самых величайших математиков древности. Он сформулировал большинство теорем о площадях, а также объемах сложных тел и фигур. Он смог их доказать методом исчерпывания. Архимед всегда старался получать только точные решения. Для этого он находил верхние и нижние оценки для иррациональных чисел. К примеру, работая с правильным 96-угольником, Архимед смог безукоризненно доказать, что точное значение числа π расположено между 3 целых 1/7 и 3 целых 10/71. Он также доказал еще несколько теорем, в которых содержались новые результаты по геометрической алгебре. Именно Архимеду принадлежит формулировка задачи о рассечении шара плоскостью таким образом, чтобы в конечном результате объемы сегментов располагались между собой в определенном заданном отношении. Он смог решить данную задачу, найдя пересечение параболы и равнобочной гиперболы. Архимед действительно был и остается самым величайшим математическим физиком и гением древности. Чтобы доказать теоремы механики, он прибегал к геометрическим соображениям. Сочинение «О плавающих телах», написанное Архимедом, заложило на тот момент основы гидростатики. Легенда гласит следующее: Архимед смог открыть закон, который носит его имя. А сам закон звучит так: на тело, которое погружено в воду, действует выталкивающая сила, которая равна массе вытесненной им воды. Его осенило именно в тот момент, когда он спокойно принимал ванну. Не в силах сдержать свои эмоции из-за своего нового открытия, Архимед, полностью обнаженный, буквально вылетел на улицу со знаменитым криком-фразой «Эврика!», что означает «Открыл!».
Закон Архимеда
В то время, когда Архимед был на пике своей славы, математики не ограничивали себя одними только геометрическими построениями при помощи линейки и циркуля. Архимед уже тогда для своих построений прибегал к помощи спирали. Диоклес же (приблизительно II век до н. э.) решал задачи удвоения куба при помощи введенной им кривой, которая впоследствии получила название циссоиды.
Во времена александрийского периода алгебра, а также арифметика анализировались независимо от геометрии. Во времена классического периода греки располагали обоснованной теорией целых чисел. В то время как александрийские греки, обратившись к египетской и вавилонской арифметике и алгебре, в большинстве своих случаев просто утратили наработанные ранее представления о математической строгости. Герон Александрийский (приблизительно I-II вв. до н. э) модифицировал существенную часть геометрической алгебры греков в совершенно нестрогие вычислительные процедуры. Но во время доказательств новых теорем евклидовой геометрии, Герон все также опирался на стандарты логической строгости классического периода.
Одной из самых первых объемистых книг, где арифметика была представлена вне зависимости от геометрии, стала «Введение в арифметику». Ее написал Никомаха (приблизительно 100 н. э.). По значимости ее смело можно сравнить с «Начала» Евклида, которая была посвящена истории геометрии. «Введение в арифметику» на протяжении более чем тысячи лет служила стандартной книгой, так как в ней предельно ясно, четко и всеобъемлюще трактовалось учение о целых числах, таких как, простые, составные, взаимно простые и пропорции. Опираясь на большинство пифагорейских утверждений, «Введение в арифметику» Никомаха постепенно шло дальше. Сам Никомах видел также и более общие отношения, однако приводил их без каких-либо доказательств.
Существенный вклад в алгебру александрийских греков внесли работы Диофанта (приблизительно 250 гг. до н. э.). Пожалуй, самое главное его вложение — это внедрение в алгебру первой символики. Диофант в своих работах не предлагал каких-либо общих методов, так как предпочитал работать только с конкретными положительными рациональными числами, полностью избегая их буквенных обозначений. Именно он стал основоположником так называемого диофантова анализа, который исследовал неопределенные уравнения.
Но одним из самых наивысших достижений александрийских математиков стало создание количественной астрономии. Гиппарх (приблизительно 161-126 гг. до н. э.) изобрел тригонометрию, совершив тем самым настоящий фурор. Его метод заключался в теореме, где утверждалось, что в подобных треугольниках отношение длин любых двух сторон одного из них равно отношению длин двух соответствующих сторон другого треугольника. Также отношение длины катета, лежащего против острого угла A в прямоугольном треугольнике, к длине гипотенузы должно быть одним и тем же для всех прямоугольных треугольников, имеющих один и тот же острый угол A. Данное отношение известно как sin A, то есть синус угла A — теорема синусов. Другие отношения сторон прямоугольного треугольника соответственно получили названия cos A и tg A (косинус угла А и тангенс угла А). Гиппарх смог изобрести метод вычисления подобных отношений, а также составил их таблицы. Имея в своем распоряжении свои таблицы и легко измеримые расстояния на поверхности нашей планеты, он вычислил длину большой окружности Земли, а также расстояние до Луны. Согласно его расчетам, радиус Луны приравнивался одной третьи земного радиуса. Современные данные отношения радиусов Земли и луны таковы — 27/100. Гиппарх уже в то время смог определить продолжительность одного солнечного года, ошибившись всего-навсего на 61/2 минуты. Предполагается также, что именно Гиппарх ввел определение широты и долготы. У египтянина Клавдия Птолемея (умер в 168 н. э.), в его «Альмагесте», греческая тригонометрия, включая все ее приложения в астрономии, достигли пика в своем развитии. В «Альмагесте» содержалась теория движения небесных тел, царившая вплоть до XVI века, где ее и сменила тогда теория Коперника. Птолемей всегда хотел создать самую простейшую математическую модель, при этом он прекрасно осознавал, что вся его теория — это лишь простое удобное математическое описание астрономических явлений, которое опиралось на простые наблюдения. Именно поэтому теория Коперника смогла одержать верх как модель, так как она оказалась куда проще.
Отношение длин сторон в подобных треугольниках.
В 31 году до н. э. римляне полностью завоевали Египет, таким образом вся великая александрийская цивилизация рухнула в одночасье. Цицерон с огромной гордостью доказывал, что римляне, в отличие от греков, вовсе не мечтатели, поэтому используют свои математические познания на практике и при этом извлекают из них реальную пользу. Но, несмотря на такое утверждение, вклад римлян в математику был ничтожен. Римская система счисления брала за основу громоздкие обозначения чисел. Основной особенностью считался аддитивный принцип. Причем, тот же вычитательный принцип, к примеру, обозначение числа 9 в виде IX, пришел только после того, как изобрели наборные литеры в XV веке, тогда же это и вошло в широкое употребление. Римские числа очень долгое время применялись в некоторых европейских школах (до 1600 года), а в бухгалтерии — на сто лет позже.
Индия и Арабский Халифат
После греков за математику активно принялись индийцы. Индийские математики никогда не занимались различными доказательствами, однако именно они ввели ряд оригинальных понятий и высокоэффективных методов. Благодаря им, был введен ноль, причем сразу же, как кардинальное число, так и как символ отсутствия единиц в каком-либо разряде. Махавира (приблизительно 850 гг. н. э.) изобрел ряд операций, связанных с нулем. Так, он установил, что деление любого числа на ноль оставляет число неизмененным. Уже чуть позже Бхаксарой (приблизительно 1114 н. э.) дал правильный ответ деления числа на ноль, причем ему же приписаны и правила действий с иррациональными числами. Именно индийцы ввели в обиход отрицательные числа. Таким образом, они записывали долги. Самое раннее упоминание об отрицательных числах найдено у Брахмагупты (приблизительно 630 гг. н. э.). Примерно в 800 годах н. э. индийская математика вошла в Багдад. Слово «алгебра» произошло от названия книги «АЛЬ-джебр Ва-л-мукабала» («Восполнение и противопоставление»), которая была написана в 830 году н. э., а введено повсеместно математиком Аль-Хорезми. Аль-Хорезми в своих сочинениях воздавал должное достижениям индийской математики. Алгебра Аль-Хорезми основывалась на учениях Брахмагупты, однако в ней явно проглядывалась вавилонское и греческое влияние. Выдающийся арабский математик Ибн Аль-Хайсам (приблизительно 965-1039 гг. н. э.) сумел разработать метод получения алгебраических решений кубических, а также квадратных уравнений. Арабские математики, включая и Омар Хайяма, уже тогда умели решать многие кубические уравнения при помощи геометрических методов, при этом, они использовали конические сечения. В тригонометрию арабскими астрономами были введены понятия тангенса и котангенса. Насирэддин Туси (приблизительно 1201 – 1274 гг. н. э.) в своем «Трактате о полном четырехугольнике» регулярно смог изложить плоскую, а также сферическую геометрии. Именно он рассмотрел тригонометрию, как отдельное понятие от астрономии.
Пожалуй, самым главным вкладом арабов в математику являются их великолепные переводы, а также комментарии к самым выдающимся творениям греков. Европа смогла оценить все эти работы только после того, как арабский Халифат завоевал Северную Африку и Испанию. А уже чуть позднее труды греков полностью перевели на латынь.
Средние века. Эпоха возрождения
Средневековая Европа. Несмотря на все свое величие, Римская цивилизация не смогла оставить ни единого существенного следа в математике, так как она была уж слишком озабочена решением своих практических проблем. А вот цивилизация, которая сложилась в Европе времен раннего Средневековья (приблизительно 400-1100 гг. н. э.) не была столь продуктивной по ряду противоположных причин. Во-первых, вся интеллектуальная жизнь была сконцентрирована только на теологии, во-вторых, — на загробной жизни. Поэтому уровень математических познаний не поднимался выше простой арифметики, а также самых элементарных разделов «Начала» Евклида. Пожалуй, самым главным разделом математики в Средние века оставалась астрология. В то время любого астролога называли математиком. А так как вся медицина на тот момент основывалась преимущественно на астрологических показаниях и противопоказаниях, всем медикам также пришлось срочно стать математиками.
Примерно в 1100 году западноевропейская математика приступила к освоению сохраненных византийскими греками и арабами наследия Древнего мира Востока. Это продлилось около трех веков. А так как арабы практически полностью владели всеми трудами древних греков, Европа смогла заполучить в свое распоряжение просто огромную математическую литературу. Все труды переводились на латынь, что способствовало существенному росту знаний и подъему математических исследований в довольно короткие сроки. Практически все ученые Европы признавали, что свое вдохновение они черпали именно из трудов греков. Одним из самых первых европейских математиков, который заслужил упоминание, стал Леонардо Пизанский или Фибоначчи. Благодаря своему сочинению «Книга абака», изданному в 1202 году, европейцы смогли познакомиться с индо-арабскими цифрами, а также методами вычислений. Из сочинения они узнали и про алгебру. Однако в течение последующих нескольких столетий столь возросшая математическая активность пошла на спад. Весь свод математических исследований и знаний той эпохи отразил Лука Пачоли в 1494 году. В нем было написано, что никаких алгебраических новшеств открыто либо придумано не было, все это уже есть у Леонардо.
Возрождение. Одними из самых выдающихся геометров эпохи Возрождения, как ни странно, стали художники. Именно они развили идею перспективы, требующей геометрии со сходящимися параллельными прямыми. Понятия проекции и сечения ввел в то время художник Леон Баттиста Альберти (1404-1472 гг.). Все прямые лучи света, которые исходят от глаз смотрящего к различным точкам представляемой сцены, образуют проекцию. А сечение получается путем прохождения плоскости через проекцию. Поэтому для того, чтобы картина, которую рисует художник, в конечном результате была максимально реалистичной, она должна следовать законам проекции и быть именно таким сечением. Суждение о проекции и сечении тут же вызывали ряд математических вопросов. К примеру, какие именно общие геометрические свойства у сечения и у исходной сцены? Какими именно обладают свойствами два различных сечения одной проекции, которые были образованы двумя различными плоскостями, пресекающими саму проекцию под разными углами? Благодаря таким вот вопросам и родилась проективная геометрия, а основал ее Ж. Дезарг (1593-1662 гг.). Он создал ее при помощи доказательств, которые основывались на проекции, а также сечении. Он унифицировал подход к разным типам конических сечений, которые выдающийся геометр из Греции — Аполлоний, рассматривал всегда отдельно.
Начало современной математики XVI век в Западной Европе стало выдающимся в достижениях алгебры и арифметики. Математики ввели в обиход десятичные дроби, а также правила арифметических действий с ними. Настоящий фурор совершил Дж. Непер, который в 1614 году изобрел логарифмы. Уже в конце XVII века сложилось четкое понимание логарифмов как показателей степеней с абсолютно любым положительным числом, но только не единицей, в качестве основания. В XVI веке стали активно пользовать иррациональными числами. Б. Паскаль (1623-1662 гг.), а также И. Барроу (1630-1677 гг.), который являлся учителем И. Ньютона (1643-1727 гг.) и преподававший в Кембриджском университете, заявили, что число корень из двух, можно трактовать исключительно как геометрическую величину и более никак. Но в тоже время Р. Декарт (1596-1650 гг.) и Дж. Валлис (1616-1703 гг.) утверждали следующее: иррациональные числа допустимы и без ссылок на геометрию, то есть сами по себе. Однако в XVI веке возобновились споры по поводу законности отрицательных чисел, а также комплексных чисел (Декарт их назвал «мнимыми»), которые возникали при решении квадратных уравнений. Несмотря на доказательную базу, эти числа были под подозрением вплоть до XVIII века, несмотря на то, что Л. Эйлер (1707-1783) прекрасно ими пользовался. Комплексные числа окончательно были признаны только в XIX веке, после того, как математики того времени полностью ознакомились с их геометрическими представлениями.
Проекция и сечение
Достижения в алгебре. В XVI веке итальянские математики С. Даль Ферро (1465-1526 гг.), Н. Тарталья (1499-1577 гг.) и Д. Кардано (1501-1576 гг) смогли найти общие решения уравнений третьей, а также четвертой степени. Чтобы их алгебраические рассуждения были понятными, а записи стали более точными, было принято решение ввести множество известных сегодня символов, таких как: «+», «–», «=», «>», »
График цепной линии.
Уравнение цепной линии (на графике а = 5).
Математический анализ
Такие основатели современной науки, как Ньютон, Коперник, Галилей и Кеплер, подходили к изучению природы так же, как и к математике. Исследуя, таким образом, движение, эти великие математики смогли выработать фундаментальное понятие, как отношение между переменными и функция. К примеру, d = kt², где d — расстояние, которое было пройдено падающим телом, t — это число секунд, которое это самое тело пробыло в свободном падении. Такая задача, как вычисление, а также определение мгновенных скоростей изменения разных величин, интересовала практически всех живущих в XVII веке математиков, в том числе и Барроу, Декарта, Валлиса и Ферма. Они предложили различные идеи и методы, которые были объединены в систематический универсально используемый формальный способ Ньютоном, а также Г. Лейбницем (1646-1716 гг.), которые, кстати, являлись создателями дифференциального исчисления. Но в разработке данного исчисления математики постоянно вели горячие споры, выясняя, кому же все-таки принадлежит главная заслуга, и Ньютон постоянно обвинял Лейбница в чистом плагиате. Спустя время, исследования подтвердили, что Лейбниц не занимался плагиатом, а наоборот, создал независимо от Ньютона математический анализ. Из-за несогласия сторон мириться с ситуацией, обмен знаниями между математиками Англии и континентальной Европы «заморозился» на долги годы. Хочется отметить, что в данной ситуации больше пострадала английская сторона. Математики из Англии так и продолжали анализировать в геометрическом направлении, тогда как математики из континентальной Европы, включая таких гигантов мысли, как И. Бернулли (1667-1748 гг.), Лагранжа и Эйлера, смогли достичь невероятно высоких результатов, следуя аналитическому либо алгебраическому подходу.
Современная математика
Создание интегрального, а также дифференциального исчислений привело в началу «высшей математики». В отличие от понятия предела, методы математического анализа, которые лежали в основе, смотрелись куда более понятными. Долгое время математики, в том числе и Ньютон с Лейбницем, безрезультатно пытались дать точное определение пределу. Но, несмотря на это и на многочисленные сомнения в определении математического анализа, он продолжал находить все более обширное применение. Интегральное, а также дифференциальное исчисления приобрели статус краеугольных камней в математическом анализе, который спустя время вобрал в себя и теорию дифференциальных уравнений, и дифференциальную геометрию, и вариационные исчисления, и многое другое. И только в XIX веке математикам все же удалось заполучить четкое определение предела.
В начале ХIX века математика твердо стояла на двух «китах» — на евклидовой геометрии и на числовой системе. В связи с тем, что большинство числовых систем не могли доказываться без геометрии, евклидовая геометрия стала одной из самых надежных частей всей математики. Однако аксиома о параллельных, рассматривающая признаки параллельности прямых, содержала ратификацию о прямых, которые простирались в бесконечность, но это никак не подтверждалось опытом. Причем версия этой же аксиомы самого Евклида также не утверждала, что какие-нибудь прямые не смогут пересечься. Пожалуй, в ней просто формулируется условие, при котором они могут пересечься в какой-нибудь конечной точке. Веками выдающиеся математики тщательно старались отыскать аксиоме о параллельных адекватную замену. Однако в каждом из предложенных вариантов находилась трещина. Все почести достались Н.И. Лобачевскому (1792-1856 гг.), а также Я. Бойяи (1802-1860 гг.), потому как именно они создали неевклидовую геометрию. Причем каждый из них опубликовал свое оригинальное изложение отдельно, вне зависимости друг от друга. В их изложениях говорится, что через данную точку возможно провести бесконечное число параллельных прямых, тогда как геометрия Б. Римана (1826-1860 гг.) утверждала, что через одну точку вне прямой провести какую-либо параллельную прямую невозможно. В то время о различных физических приложениях, касающихся неевклидовой геометрии, никто из математиков серьезно не задумывался. И только после того, как А. Эйнштейн (1879-1955 гг.) создал свою теорию относительности (1915 г.), научный мир осознал всю реальность неевклидовой геометрии.
Неевклидова геометрия стала на тот момент одним из самых выдающихся свершений XIX века. Она наглядно демонстрировала, что математику ни в коем случае нельзя теперь рассматривать, как свод неприкасаемых единиц. На худой конец математика гарантирует достоверность доказательства, которое будет построено на основе недостоверных аксиом. Однако теперь математики снова получили свободу для исследований любых идей, в которых они видели смысл. Теперь каждый математик в отдельности имел право вводить какие-либо свои понятия, а также устанавливать аксиомы на свое усмотрение, контролируя только то, чтобы происходящие из аксиом теоремы не перечили друг другу. Именно благодаря этой свободе, в конце XIX века и случилось столь грандиозное расширение круга математических исследований.
Математическая строгость
Приблизительно до 1870 года математики считали, что ведут свои работы по предначертаниям древних греков, используя тем самым дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам, обеспечивая, таким образом, своим заключениям хорошую надежность, причем не меньшую, чем ту, которой обладали аксиомы. Кватернионы (алгебра, где отсутствует свойство коммутативности), а также неевклидовая геометрия все же заставили математиков осознать, что принимавшиеся ими за логические и абстрактные непротиворечивые утверждения, на самом деле опирались на эмпирический и прагматический базис. При изучении неевклидовой геометрии происходило также и пониманием того, что в евклидовой геометрии присутствовало огромное количество логических пробелов. Пожалуй, одни из главных пробелов евклидовых «Начал» стало применение допущений, которые не были сформулированы в явном виде. Скорее всего, сам Евклид просто не хотел подвергать сомнению те свойства, которые он приписал своим геометрическим фигурам, однако эти свойства не были введены в его аксиомы. Помимо всего прочего, доказывая подобие двух треугольников, он просто использовал наложение одного треугольника на другой, при этом он все же хотел верить, что во время движения свойства различных геометрических фигур не изменяются. Однако помимо логических пробелов, в евклидовых «Началах» обнаружились также и ошибочные доказательства.
Появление новых алгебр, которые начались с кватернионов, вызвало аналогичные сомнения относительно логической обоснованности арифметики, а также алгебры простой числовой системы. Абсолютно все числа, которые ранее были известны математикам, обладали коммутативностью, то есть, ab=ba. У. Гамильтон (1805-1865 гг.) открыл кватернионы, совершив тем самым настоящий переворот в традиционных представлениях о числах. Кватернионы оказались крайне полезными для решения огромного ряда как геометрических, так и физических задач, хотя для них не выполнялось свойство коммутативности. Кватернионы побудили математиков осознать, что если не считать далекой от совершенства евклидовые «Начала», где все посвящено целым числам, арифметика, а также алгебра, просто не имеют никакой собственной аксиоматической базы. Математики свободно работали как с комплексными, так и с отрицательными числами и при этом осуществляли алгебраические операции, опираясь только на свою успешную деятельность. Теперь, ранее логическая строгость уступила свое место демонстрации практической пользы введения сомнительных процедур и понятий. В 1859 году К. Вейерштрасс (1815-1897 гг.), Г. Кантор (1845-1918 гг.) и Р. Дедекинд (1831-1916 гг.) поняли всю необходимость создания теории иррациональных чисел. В связи с этим они предоставили корректное определение иррациональных чисел, а также установили их свойства, но эти самые свойства так и считали самоочевидными. В конце концов, логическая структура теории комплексных и действительных чисел обрела свой окончательный вид только в трудах Дж. Пеано (1858-1932 гг.) и Дедекинда. Создание базиса числовой системы помогло решить задачи обоснования алгебры.
Задача по усилению строгости формулировок евклидовой геометрии, как известно, не отличалась особой сложностью, поэтому сводилась только к перечислению определяемых терминов, уточнению определений, возмещению пробелов в доказательствах и введению недостающих аксиом. Однако уже в 1899 году Д. Гильберт (1862-1943 гг.) с этой задачей справился. Практически в это же время были заложены начала других геометрий. Математик и логик Гильберт смог сформулировать концепцию формальной аксиоматики. Он предложил весьма оригинальный подход — трактовать неопределенные термины, то есть под ними фактически можно подразумевать абсолютно любые объекты, которые удовлетворяют аксиомам. Последствием этого факта стала существенно возрастающая абстрактность современной математики. Как известно, евклидова, а также неевклидова геометрии описывают физическое пространство. Однако в топологии, которая, по сути, является обобщением геометрии, неопределенный термин «точка» в некоторых случаях может быть полностью свободным от геометрических ассоциаций. Точка для тополога — это либо функция, либо последовательность чисел, собственно, как и что-нибудь иное. Абстрактное пространство — множество подобных «точек».
В XX веке аксиоматический метод Гильберта просочился практически в каждый раздел математики. Но уже совсем скоро стало понятно, что и у него существует ряд ограничений. В 80-х годах XX века Кантор все же старался систематически классифицировать бесконечные множества, к примеру, множество действительных и рациональных чисел и так далее, прибегая к их сравнительной количественной оценке, а также приписывая им так называемые трансфинитные числа. Но, благодаря этому, он смог обнаружить в теории немалое число противоречий. Поэтому к началу XX века у математиков возникло множество проблем с разрешениями этих противоречий, а также с рядом других проблем, как неявное применение так называемой аксиомы выбора.
Евклидово пространство.
Однако все эти проблемы решил К. Гедель (1906-1978 гг.), создав разрушительную теорему неполноты. Теорема утверждает, что абсолютно каждая непротиворечивая формальная система, довольно богатая, чтобы просто содержать теорию чисел, несомненно содержит неразрешимое суждение, то есть утверждение, которое фактически невозможно не доказать, не опровергнуть в рамках поставленной задачи. Начиная с этого момента, всем стало понятно, что абсолютного доказательства в математике просто-напросто не существует. Хотя до сих пор расходятся во мнении, что же такое на самом деле доказательство. Но все же большинство математиков полагают, что все проблемы, связанные с основаниями, являются чисто философскими. Кстати, в действительности так дело и обстоит, так как ни одна теорема не поменяла своего утверждения вследствие возникновения найденных новых логических строгих культур. Это и подтверждает, что основа математики заключается не в логике, а в здравой интуиции. Большой вклад в развитие современной математики внес советский математик Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987). Он был одним из тех, кто внес свой вклад в теорию вероятности. Кроме того, он является автором многих трудов по геометрии, математической логике и других разделов математики. В ходе своей работы он вывел множество теорий, которые в последующем стали основами развития многих отраслей математической науки. Будучи профессором Московского государственного университета, А. Н. Колмогоров стал автором работы по методологии и преподаванию математики. Более того, он стал основателем большой научной школы. Научная деятельность А. Н. Колмогорова оставила много его последователей и учеников, которые продолжили развитие теорий, над которыми работал великий математик.
Математику, которая была известна до XVII века, можно расценить как элементарную. Однако по сравнению с тем, что было позже, данная элементарная математика безгранично мала. Наравне с тем, что появились новые области математики (чистые и прикладные), существенно расширились и старые. Сегодня в мире выходят множество различных математических журналов. Ежегодно публикуется колоссальное число научных статей, и даже самым выдающимся специалистам не под силу ознакомиться со всеми знаниями, которые накоплены на сегодняшний день.