к н афанасьев построение архитектурной формы древнерусскими зодчими

К н афанасьев построение архитектурной формы древнерусскими зодчими

Электронная научная библиотека

по истории древнерусской архитектуры

Архитектурная математика древнерусских зодчих

Постройки древнерусских зодчих до сих пор восхищают продуманной соразмерностью, удивительной гармонией своих частей, строгой логикой архитектурного замысла.

Однако у нас нет никакой уверенности в том, что и древнерусские зодчие шли в своих расчетах тем же путем, отправляясь от теоретически безукоризненных положений великого греческого геометра. Наоборот, свидетельства средневековых математиков говорят о применении их современниками приближенных, практически удобных, но теоретически не обоснованных расчетов.

К сожалению, эти «методы, применяемые рабочими» (в архитектуре и ремесле) остались нам неизвестны.

Тайна расчетов и рецептов была характерна для всех средневековых мастеров; даже передавая наследие учителей и свой опыт ученикам, они старались зашифровать свои советы, скрывая, например, под именем «желтой ящерицы» золото. Вероятно, и математические расчеты, осужденные Абуль-Вафой, составляли также секрет зодчих.

1) К. Н. Афанасьев. Про пропорцiнальнiсть пам’ятниюв древньоруськoi apxiтектури XI—XII ст. Архiтектурнi пам’ятники, Киiв, 1950. К. Н. Афанасьев. Построение архитектурной формы древнерусскими зодчими. Автореферат докторской диссертации. М., 1954.

2) М. Е. Ващенко-Захарченко. История математики. Т. 1, Киев, 1883.

Рис. 1. Изображение мудрого кентавра («Китовраса») с серебряного браслета XII в. из Калинина

Историки архитектуры никогда не обращали внимания на интереснейшие сведения о расчетной работе зодчего, содержащиеся в славянском «Сказании о Соломоне и Китоврасе», являющемся сказочной переработкой повествований о построении соломонова храма (XII в.).

Царю Соломону для начертания плана задуманного им храма понадобился мудрый кентавр — Китоврас.

2) Там же, стр. 8 и 9. При закладке фундаментов в их основание были положены мощи тех святых, изображения которых предполагалось потом поместить на стенах церкви над этими местами. Это означает, что у зодчих был разработан заранее весь замысел здания, включая даже размещение живописных сюжетов.

3) Б. А. Рыбаков. Прикладное искусство и скульптура. История культуры древней Руси. Т. II, M.-Л., 1951, стр. 432, рис. 215, 1.

Самым важным в этом эпизоде является то, что Китоврас, зная заранее, что он призван царем для изготовления плана будущего храма, явился к нему с деревянными мерилами, эталонами каких-то мер: «Он же (Китоврас) умеря прут 4 локоть и вшед пред царя, поклонися и поверже пруты пред царем молча. »

Рис. 2. «Петр». Предполагаемое изображение зодчего Петра. Рисунок на стене. Антоньев монастырь в Новгороде. Нач. XII в.

Здесь для нас особенно интересно то, что главными инструментами архитектора, необходимыми ему для создания «очертания», являются деревянные мерила (описанные во множественном числе) по 4 локтя в каждом. Обращение к древнерусской метрологии показывает полную достоверность сообщений «Сказания»: во-первых, в древней Руси применялось одновременно несколько видов саженей, а во-вторых, каждая сажень подразделялась именно на 4 локтя; такое деление просуществовало до XVI в.

Очевидно, волшебный архитектор Китоврас был наделен автором сказания реальными принадлежностями русского зодчего в виде изготовленных из дерева саженей, подразделенных на 4 локтя.

Эти два упоминания в литературе XII—XIII вв. о начальной стадии постройки зданий — в Патерике и в «Сказании о Соломоне и Китоврасе» — одинаково говорят о значении установленных мер, их портативных эталонов и самого процесса размеривания «очертания» храма на выровненной «долине».

Все это заставляет нас с особым вниманием отнестись к вопросу о древнерусских мерах длины и их применению в архитектуре; это поможет раскрыть методы работы древних архитекторов. Некоторых зодчих мы знаем по именам, сохраненным летописями.

Единственное изображение, которое предположительно связывают с русским архитектором Петром, известным по летописи, обнаружено в башне Антоньева монастыря в Новгороде (рис. 2).

Основные выводы таковы:

1. В древней Руси с XI по XVII в. существовало семь видов саженей и локтей, бытовавших одновременно.

Наблюдения над русской метрологией показали, что очень мелких и дробных делений в древней Руси не применяли, а использовали многообразие мер, применяя, скажем, «локти» и «пяди» разных систем.

Древнерусские меры длины могут быть сведены в следующую таблицу:

2. Известен ряд случаев, когда одно и то же лицо производило измерение одного и того же объекта одновременно разными видами саженей.

Так, при ремонте Софийского собора в Новгороде в XVII в. измерения велись двумя видами саженей: «А внутри главы кругом где окна — 12 сажен (по 152 см ), а от Спасова образа ото лбу до моста церковного — 15 сажен мерных (по 176 см )»,

1) Б. А. Рыбаков. Русские системы мер длины XI—XV вв. СЭ, 1949, № 1.

2) Другие примеры см. в указ. статье Б. А. Рыбакова. «Русские системы мер. », стр. 72, 74, 78.

3. Непонятное для нас одновременное пользование разными мерами длины объясняется заложенными в этих мерах при их создании строгими геометрическими соотношениями (рис. 3).

Рис. 3. Графическое изображение русских саженей и их долей по принципу «вавилона» (из статьи Б. А. Рыбакова, 1949)

Геометрическая сопряженность древнерусских саженей особенно ясна в наименовании «прямой» и «косой» сажени. Оказалось, что прямая сажень есть сторона квадрата, а косая — его диагональ (216 = 152,7). Такое же соотношение существует между «мерной» и «великой» (косой) саженями: 249,4 = 176,4.

«Сажень без чети» оказалась искусственно созданной мерой, являв-

Рис. 4. Кирпич IX в. со знаком «вавилона» (Саркел)

4. Графическим выражением этих двух систем мер длины (одной, основанной на «простой» сажени, и другой, основанной на «мерной» сажени) являются хорошо известные по древним изображениям «вавилоны», представляющие собой систему вписанных квадратов. Наименование «вавилоны» взято из русских источников XVII в. (см. рис. 3).

В последние годы в Новгороде и Пскове были найдены игральные доски XII—XIII вв., которые можно сопоставить с древнерусской игрой «тавлЪей» (от латинского tabula) (рис. 5).

Рис. 5. «Тавлея». Игральные доски. а — Новгород XIII в.; б — Псков XII в.

1) Проверка выдвинутых мною принципов геометрической соподчиненности мер и одновременного употребления разных мер при постройке одного здания, произведенная В. Л. Ворониной на примере архитектуры Средней Азии, показала их правильность. В. Л. Воронина. К вопросу о древней метрологии Средней Азии. КСИИМК, XXXIX, 1951, стр. 66.

2) Б. А. Рыбаков. Русские системы мер. стр. 89 и 91, рис. 4, фиг. 11.

Новые находки загадочных чертежей — «вавилонов» — на Таманском городище (древней Тмутаракани) и Старо-Рязанском городище, относящиеся к IX—XII вв., позволяют значительно углубить анализ этих чертежей и установить их тесную связь с процессом архитектурного расчета.

На территории Тмутаракани в центральной части города за время работ Таманской экспедиции (1952—1955) нами было найдено пять «вавилонов». Все они связаны с определенными зданиями.

1. В фундаментах шестигранного здания хазарского периода (IX — начало X в.), построенных из камня и кирпича закавказского типа, найден обломок глиняной плиты, на которую в сыром виде нанесли чертеж, состоящий из вписанных прямоугольников (рис. 6).

2-3. В фундаментах небольшого крестообразного в плане храма середины X в., расположенного на той же центральной городской площади, найден кусок черепицы X в., на котором с обеих сторон нацарапаны «вавилоны»; на одной — три вписанных квадрата, а на другой — три вписанных прямоугольника (рис. 7 и 8).

5. В этой же каменотесной мастерской найдено горло амфоры XI в. со схематическим изображением трех вписанных квадратов (рис. 10). Единственное значение, которое мог иметь этот знак в XI в., это служить тамгой артели строителей храма; как знак собственности строителей или каменотесов он и попал на сосуд для вина.

Как видим, все тмутараканские находки связаны с определенными архитектурными сооружениями, и, что особенно важно отметить, все они

стратиграфически залегают на уровне фундаментов, на уровне строительной «долины».

Из перечисленных семи новых находок особенно важны для нас, во-первых, таманская черепица X в. с двумя чертежами и, во-вторых, старорязанская плита. Тмутараканская черепица показала, что могут быть «вавилоны» двух видов — квадратные и прямоугольные. Начерчены они, небрежно и служить непосредственно «рабочими чертежами», разумеется, не могли. Однако, несмотря на неточности выполнения, здесь легко угадываются те геометрические фигуры, которые древний тмутараканец стремился воспроизвести на глаз. Наложение точного чертежа, выполненного циркулем и угольником на эти рисунки, убеждает в существовании определенных закономерностей. Не подлежит сомнению, что один из рисунков на черепице изображает систему трех вписанных квадратов; середины сторон всех трех квадратов соответственно соединены четырьмя линиями, перпендикулярными этим сторонам («лестницы зиккурата»).

Второй рисунок, сделанный более тщательно, представляет собой три вписанных прямоугольника, размеры сторон которых находятся в зависимости от размеров первой фигуры: длинная сторона большого (внешнего) прямоугольника равна стороне большого квадрата, а его короткая, боковая сторона равна стороне среднего квадрата (или, что одно и то же, половине диагонали большого квадрата). Два внутренних прямоугольника второй фигуры дают следующие закономерности: длинная сторона каждого из них равна короткой стороне следующего по величине (большего) прямоугольника, середины сторон также соединены линиями. Геометрически построить такую фигуру, как три вписанных прямоугольника с отношением длинных сторон к коротким как а: (a/2)*можно только при помощи вспомогательного чертежа в виде трех вписанных квадратов.

По счастью, этот вспомогательный чертеж был сделан на этом же самом куске черепицы.

«Вавилоны» тмутараканской церкви середины X в. мы должны рассматривать как два сопряженных между собой чертежа: три вписанных квадрата были вспомогательным чертежом (выполненным более небрежно), необходимым для построения второго чертежа, состоящего из прямоугольников.

Каким же целям должен был служить этот сложный чертеж, ради чего создавалась такая геометрическая композиция?

1) Ст. Станчев, В. Иванова (и др.). Надписът на чъргубиля Мостич. София, 1955, стр. 5, 15, 40 (рис. 16), 61. «Чъргубиль» — крупный придворный чин при болгарских царях Симеоне и Петре. Имя этого вельможи В. И. Иванова связывает со словом «мост» (стр. 61). Наличие на его надгробии символа зодческой мудрости не может ли быть истолковано как указание на должность придворного архитектора?

2) Приношу благодарность А. Л. Монгайту, предоставившему мне для публикации рисунок этой плитки. Упоминание о ней см. А. Л. Монгайт. Старая Рязань. МИА, № 49, 1955, стр. 82.

3) Г. Ф. Корзухина-Воронина. Рязань в сложении архитектурных форм XII—XIII вв. Сб. «Бюро по делам аспирантов», ГАИМК, вып. I, Л., 1929, стр. 77.

Рис. 13. Прямоугольный «вавилон». Соотношение сторон

Ответить на эти вопросы можно лишь, ознакомившись с математическими свойствами этого чертежа. Оказывается, что стороны прямоугольников и расстояния между узловыми точками чертежа (углами и пересечениями линий) таят в себе множество различных соотношений, которые известны в архитектуре и прикладной геометрии средневековья.

Обозначим все точки нашей фигуры буквами русского алфавита (рис. 13) и перечислим соотношения линий. В основе фигуры лежат шесть пар прямых линий (сторон прямоугольников), разделенных пополам, и две пары пересекающих их линий, которые разделяются на две неравные части каждая. Если же учитывать не только изображенные на чертеже линии, но и те, которые могут быть проведены от точки к точке, то количество линий возрастет до 42.

Все линии «вавилона» можно подразделить на три группы.

1. Часть линий является долями длинных сторон ВД — АЖ внешнего прямоугольника:

ВГ = ГД = ВД/2 =АЗ = ЗЖ = АЖ/2= ЛИ=НП = УХ = СЧ;

БТ = ЦЕ =ВД/2=ВГ/2 и т. д.

2. Другие линии представляют собой фракции диагонали квадрата, сторона которого равна ВД или АЖ:

АВ=ДЖ=ЛН=ИП=(ВД)/2=(АЖ)/2;

СУ=ХЧ=АВ/2=ДЖ/2=(ВД)/4=(АЖ)/4;

ГФ=ШЖ=АВ/4=ДЖ/4=СУ/2=ХЦ/2=(ХФ)/2=(БТ)/2=(УХ)/4=(ВД)/8 и т.д.

3. Третья группа самых коротких линий тоже представляет сочетание сторон и диагоналей квадрата; эти линии получены как разность между длинными и короткими сторонами прямоугольников.

БК=ОЕ; ГМ=РЗ=КТ=ЦО=(БК)/2=ОЕ)/2;

ФМ=ШР=БК/2=ЩУ/2=(ГМ)/2 и т.д.

Если для простоты обозначить длинную сторону через А, то при помощи этой величины мы сможем выразить все линии «вавилона». Одни из них будут представлять последовательное деление на 2: А; А/2; А/4, другие

Линии «вавилона» образуют несколько пропорциональных рядов. Вот, например, один из них: МФ/МГ = МГ/БК = ГФ/БТ = УС/УХ = АВ/БД.

Среди линий «вавилона» нетрудно подыскать свыше десятка отношений, очень близких к «золотому сечению»: м/М = М/(м + М). Приближенность решений определяется только при математическом анализе, но практически она неуловима. Наиболее точным является отношение: ВК/АЛ = АЛ/(ВК + АЛ) = АЛ/БД. Здесь суммой двух отрезков является длинная сторона прямоугольника А.

Погрешность равна 0,003 этой стороны; при практических построениях она была мало заметна.

Современный Абуль-Вафе тмутараканский график из трех вписанных прямоугольников позволяет с очень большой степенью точности (хотя и не всегда теоретически верно) почти моментально решать все подобные задачи, включая и «квадратуру круга».

Рассмотрим несколько примеров, взяв за основу квадрат, сторона которого равна длинной стороне внешнего прямоугольника «вавилона» (А).

1. Удвоение квадрата (рис. 14):

Сторона удвоенного квадрата равна удвоенной боковой стороне «вавилона» (т. е. 2 АВ или 2 ДЖ).

2. Построение двух равных квадратов, сумма площадей которых равна площади основного квадрата:

Сторона каждого малого квадрата равна АВ или ДЖ.

3. Построение трех квадратов на тех же условиях:
Удвоенная линия БЛ (или три других, ей соответствующих — БИ, БН, БП) является стороной искомого квадрата.

4. Построение равностороннего треугольника, равновеликого квадрату:
сторона треугольника равна удвоенной линии АЧ. Высота его будет равна удвоенной линии ТН.

5. Построение правильного шестиугольника, равновеликого квадрату:
Стороной шестиугольника будет больший отрезок стороны квадрата, разделенной в «золотом сечении», т. е. линия АЛ.

6. Построение квадрата, равновеликого кругу («квадратура круга»):

1) Древние египтяне очень хитро решили эту задачу, вычислив ее арифметически и подобрав соответствующие меры длины. Египетский локоть в 46 см — это сторона квадрата, а царский локоть в 52 см — диаметр круга 46/52 = /2 = 0,886. Г . Н. Беляев. О древних и нынешних русских мерах протяжения и веса. Seminarium Kondakovianum. Т. I, Прага, 1927, стр. 258.

Рис. 14. Решение задач на построение при помощи «вавилона»: удвоение квадрата; деление квадрата на два; деление квадрата на три; построение треугольника, равновеликого квадрату; построение шестиугольника, равновеликого квадрату; приближенное решение квадратуры круга.

Примем диаметр окружности равным большой стороне «вавилона». Сторона искомого квадрата будет равна сумме боковой стороны «вавилона» и линии ГФ (поперечной линии, соединяющей длинные стороны всех трех прямоугольников). Погрешность здесь будет очень невелика и практически почти неощутима — 0,0023 диаметра; ошибки в задачах 3 и 5 тоже очень малы и не превышают 0,005-0,003. Наименее точно решение задачи 4 (ошибка равна 0,08). Задачи 1, 2 решаются точно.

Как видим, для средневековых практиков, осужденных Абуль-Вафой, все подобные задачи решались поразительно просто — располагая «вавилоном» в определенную меру (например, с большой стороной в «локоть»), мастера и архитекторы должны были только знать, который из 42 размеров этого графика нужно взять в качестве стороны искомой фигуры.

Зная свойства «вавилона», можно было быстро, не производя ни расчетов, ни геометрических построений, сразу же разделить локоть в отношении «золотого сечения», найти фигуры, равновеликие квадратному локтю, дать несколько пропорциональных рядов, дать графическое изображение ряда иррациональных величин: а, a, a, a, a.

Неудивительно, что этот математически универсальный замечательный график мог стать еще в глубокой вавилонской древности символом зодческой мудрости, «хытрости храмоздательской».

Перечисленными выше примерами далеко не исчерпываются расчетные возможности прямоугольного «вавилона».

Обращение к древнерусским мерам длины открывает нам еще одну область применения нашего графика.

Все виды древнерусских саженей займут положение основных геометрических линий этой фигуры (рис. 15):

Великая сажень ( 249,46 см ) — диагональ квадрата

«Сажень без чети» ( 197,21 см ) — диагональ половины квадрата

Мерная сажень ( 176,4 см ) — сторона квадрата

Косая сажень ( 216,04 см ) — диагональ «вавилона»

Прямая сажень ( 152,76 см ) — диагональ короткой половины «вавилона»

«Трубная сажень» ( 187,08 см ) — диагональ длинной половины «вавилона»

Половина великой сажени ( 124,73 см ) — короткая сторона «вавилона».

Только так называемая «морская сажень» не занимает здесь основного положения и может быть приурочена к линии АН ( 184 см ).

Все стороны внутренних прямоугольников «вавилона» являются здесь фракциями двух саженей — мерной и великой.

Пересекающие линии «вавилона» («лестницы зиккурата») также оказываются выраженными в мерах длины: Линии БТ и ЦЕ равны локтю ( 44,1 см ), равны 1/4 мерной сажени. Линии ГФ и ШЗ равны 1/2 локтя «смоленского» ( 31,18 см ), равны 1/8 великой сажени. 1)

1) Б. А. Рыбаков. Русские системы мер. стр. 74.

Рис. 15. Единая геометрическая система древнерусских мер длины

Таким образом, для построения такого «вавилона» нужно иметь только два «прута по четыре локтя», из которых один равен стороне квадрата, а другой — его диагонали.

Если мы построим квадрат, сторона которого равна половине мерной сажени, то диагональ его будет равна половине великой сажени. Отложим диагональ на продолжении двух сторон квадрата, соединим точки и получим прямоугольник со сторонами А и А.

Диагональ его будет равна А = прямой сажени.

Продолжив построение по этому «принципу диагоналей» новых прямоугольников, мы получим последовательно (рис. 16):

A = 152,76 — прямая сажень

A = 176,4 — мерная сажень

A = 197,21 — «сажень без чети»

А= 216,04 — косая сажень

А = 249,46 — великая сажень

Следовательно, основной принцип архитектурных пропорций древней Руси был заложен в самой системе мер длины. Мы не можем счи-

1) В. Н. Владимиров. Пропорции в египетской архитектуре. Всеобщая история архитектуры. Т. I, M., 1944, стр. 81, 83, рис. 2.

Рис. 16. Геометрические взаимоотношения древнерусских мер

тать их исключительно русскими, так как большинство этих мер, легко воспроизводимых человеком (размах рук, поднятие руки и т. п.), было распространено и у других народов.

Звеном, связывающим символические изображения «вавилонов» с конкретной архитектурной действительностью, является драгоценная находка в Старой Рязани.

На глиняной плите размером 25,9*18 см аккуратно и точно нанесены три прямоугольника разных размеров. Один внутри другого, но так, что одна из боковых сторон каждого из них опирается на одну общую для всех прямую линию.

Вся фигура имеет вид как бы трех букв П, написанных одна в другой и опирающихся на общую черту; над верхним П начерчена небольшая дужка. Следует особо отметить, что человек, исполнявший этот чертеж, был очень тщателен и стремился нанести линии с максимальной точностью, соблюдая их параллельность и правильность прямых углов.

Рис. 17. Расчетный чертеж XII в. Старая Рязань. а — «вавилон»; б — отобранные из него линии

Анализ рязанского чертежа убеждает в том, что здесь перед нами отобранные для каких-то целей линии «вавилона» (рис. 17).

Устойчивость формата 25*18 см и в то же время несовпадение его с древнерусскими мерами заставляет нас поискать основу его за пределами локтей и пядей.

Поиски направляют нас к уже известному нам «вавилону» со стороной в мерную сажень. Как выяснено выше, все древнерусские меры укладываются в этот график. Оказалось, что в него укладывается и интересующий нас распространенный в XII в. формат кирпича: длинная сторона кирпича равна большему отрезку поперечной линии БТ (линии БК), а короткая сторона кирпича равна меньшему отрезку этой линии (линии КТ) (см. рис. 13).

1) В той самой Успенской церкви, где найден чертеж, основным размером кирпича является 26*18,5*5; 25*18*4,5 см. (См. А. Л. Монгайт. ук. соч., стр. 79). То же самое мы встречаем и в двойнике этой церкви, вернее, образце ее — в Успенской церкви Елецкого монастыря в Чернигове.

метрическом соотношении с основной русской мерой — мерной саженью 1) (рис. 17).

Степень точности рязанского чертежа ясна из следующей таблицы, где фактические размеры сопоставлены с размерами «вавилона», вычисленными алгебраически с точностью до трех знаков.

Источник