Как извлечь кубический корень

Простые и не очень способы того, как вычислить кубический корень

Сколько гневных слов произнесено в его адрес? Порой кажется, что кубический корень невероятно сильно отличается от квадратного. На самом деле разница не настолько велика. Особенно, если понять, что они только частные случаи общего корня n-ой степени.

Зато с его извлечением могут возникнуть проблемы. Но чаще всего они связаны с громоздкостью вычислений.

Что нужно знать о корне произвольной степени?

Во-первых, определение этого понятия. Корнем n-ой степени из некоторого «а» называется такое число, которое при возведении в степень n дает исходное «а».

Причем бывают четные и нечетные степени у корней. Если n — четное, то подкоренное выражение может быть только нулем или положительным числом. В противном случае вещественного ответа не будет.

Когда же степень нечетная, то существует решение при любом значении «а». Оно вполне может быть и отрицательным.

Во-вторых, функцию корня всегда можно записать, как степень, показателем которой является дробь. Иногда это бывает очень удобным.

Например, «а» в степени 1/n как раз и будет корнем n-ой степени из «а». В этом случае основание степени всегда больше нуля.

Аналогично «а» в степени n/m будет представлено, как корень m-ой степени из «а n ».

В-третьих, для них справедливы все действия со степенями.

В чем сходства и различия квадратного и кубического корней?

Они похожи, как родные братья, только степень у них разная. И принцип их вычисления одинаков, различие только в том, сколько раз должно число на себя умножиться, чтобы получить подкоренное выражение.

А о существенном отличии было сказано чуть выше. Но повториться не будет лишним. Квадратный извлекается только из неотрицательного числа. В то время, как вычислить кубический корень из отрицательной величины не составит труда.

Извлечение кубического корня на калькуляторе

Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?

На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.

А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».

Извлечение кубического корня вручную

Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.

Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?

В противном случае нужно будет считать столбиком. Алгоритм не самый простой. Но если немного попрактиковаться, то действия легко запомнятся. И вычислить кубический корень больше не будет проблемой.

Наглядный пример вычисления кубического корня

Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.

Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.

Источник

Как в уме извлечь кубический корень?

Как в уме извлечь кубический корень из числа, если достоверно известно что в ответе будет целое число в диапазоне от 1 до 100.

Грустный Роджер дал Вам алгоритм извлечения кубического корня из любого числа, не обратив внимания, что Вы предлагали извлекать кубический корень из точного куба двузначного числа.

Тогда значительно проще. Сначала, как предлагает Грустный Роджер, делите число на 1000, и смотрите, какое число при возведении в куб дает число, не превышающее этой целой части. Это будут десятки искомого числа. А единицы еще проще. Вот посмотрите примеры. Слева двузначное число, справа его куб. Как видите, если число заканчивается на 1, 4, 5, 6, 9 то и его ТОЧНЫЙ куб заканчивается на ту же цифру. А 2 и 8 и 3 и 7 меняются местами. Надеюсь понятно.

Для начала извлечь его хотя бы «с точностью до 10». То есть разделить число на 1000, если оно большое, и прикинуть, к кубу какого простенького числа (от 1 до 10) ближе всего результат. Ну или между кубами каких двух чисел. Уж кубы от 1 до 9 сосчитать в уме не штука (ваще-то можно и помнить).

Ну а дальше просто воспользоваться приближённой формулой (а+х)³ ≈ а³ + 3а²х. То есть надо сосчитать разность между кубом «простого числа» и исходным числом, поделить её на 3, на квадрат найденного «простого» основания и прибавить к найденному простому числу.

А теперь проверяем: 49,79³ ≈ 123432. Вполне достаточная точность.

Источник

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Как вычислить корень кубический из числа

Этот легкий и необычный способ позволяет вычислить корень кубический из числа, если ответ — целое число.

Чтобы извлечь корень кубический из числа, число, стоящее под знаком корня, необходимо представить в виде суммы нечетных слагаемых. Количество таких слагаемых равно кубическому корню из этого числа (если ответ является целым числом). Нечетные числа, используемые при вычислении корня кубического из меньших чисел, в следующие разложения не входят.

Рассмотрим, как вычислить корень кубический из числа, на конкретных примерах:

Необычные способы вычисления существуют и для корня квадратного, и для корней более высоких степеней. Как извлечь квадратный корень из числа, мы уже рассматривали. О корнях других степеней поговорим позже.

Источник

Извлечение кубического корня в уме

Мы продолжаем (см. [1]) знакомить читателей с приемами, позволяющими проводить в уме достаточно сложные вычисления.

Для этого прежде всего нужно выучить кубы чисел от 1 до 10:

При изучении этой таблицы обнаруживается, что все цифры, на которые оканчиваются кубы, различны, причем во всех случаях, за исключением 2 и 3, а также 7 и 8, последняя цифра куба совпадает с числом, возводимым в куб. В исключительных же случаях (для чисел 2, 3, 7 и 8) последняя цифра куба равна разности между 10 и числом, возводимым в куб.

Эти обстоятельства и используются для быстрого извлечения кубического корня. Пусть зритель получил, например, 250?047. Последняя цифра этого числа 7, из чего немедленно следует, что последней цифрой кубического корня должна быть 3. Первую цифру кубического корня находим следующим образом. Зачеркнем последние три цифры куба (независимо от количества его цифр) и рассмотрим цифры, стоящие впереди,?— в нашем случае это 250. Число 250 располагается в таблице кубов между кубами шестерки и семерки. Меньшая из этих цифр?— в нашем случае 6?— и будет первой цифрой кубического корня. Поэтому правильным ответом будет 63.

Чтобы лучше уяснить суть дела, приведем еще один пример. Пусть названо число 19?683. Его последняя цифра 3 указывает, что последней цифрой кубического корня будет 7. Зачеркивая последние три цифры, получаем число 19, которое лежит между кубом двойки и кубом тройки. Меньшим из этих чисел будет 2, поэтому искомым кубическим корнем будет 27.

Применяя описанные правила нахождения цифр кубического корня, можно быстро определить, что, например,

В заключение заметим, что, как, очевидно, вы уже поняли, описанная методика применима только к случаям, когда искомый корень — целое число или, иначе, когда заданное число есть, как говорят, “точный куб”.

Задание для самостоятельной работы

Определите (в уме!) значения кубического корня из следующих чисел:

343, 512, 4096, 8000, 15?625, 39?304, 132?651, 551?368.

Постарайтесь получить решения, не смотря на приведенную в статье таблицу, а выучив ее.

1. Возведение двузначных чисел в квадрат. / “В мир информатики” № 50 (“Информатика” № 3/2005).

7 Наверняка аналогичными приемами пользовался Роман Семенович Арраго, которому посвящена статья в данном выпуске.

Источник

Методика извлечения кубических корней

Основной задачей работы над собой и развития своих возможностей, как в любой религии, так и в любом учении, является умение организовать свой ум, свое мышление. Самое главное, чем больше разнообразных приемов и способов мы применяем при обучении, тем нам потом легче организовать свой ум и выводить его на различные уровни сознания, различные уровни работы нашего мозга. Одной из методик для достижения этого и является данная работа. При извлечении кубических корней нам приходиться проводить несколько процедур, одновременно удерживая в памяти промежуточные результаты: «разделять» извлекаемое число, находить ближайшее наименьшее и сравнивать. То есть мышление работает в отличном тренировочном режиме.

Прежде, чем научиться извлекать корни, надо запомнить насколько ключевых цифр. (См. Таблицу 1.)

Обратим внимание, что цифры 1, 4, 5, 6, 9, в своем кубе заканчиваются на эту же цифру.

Теперь на практическом примере научимся извлекать кубический корень. Например нам дано число:

Рассмотрим тысячи этого числа- 21. Какой куб из приведенного выше списка наиболее близкий, но меньше 21? Это число 8. Извлекаем из 8 куб и мы находим первое число /десятки/ 2.

Теперь рассмотрим оставшиеся цифры: 952. Обращаем свое внимание на последнюю цифру 2. В таблице 1 ищем куб какого числа заканчивается на 2 Это число 512, а кубический корень из этого числа будет 8. Это и будет второе искомое нами число единиц.

Следовательно искомое число 28.

Для закрепления полученного результата извлечем еще несколько кубических корней.

185193 274625 571787 804357

357911 46656 3375 85184

Ответы по строчкам:

Для примера приведем кубы всех двузначных чисел (Таблица 2):

Источник

Кубический корень (извлечение без калькулятора)

Кубический корень. Как извлечь квадратный корень из большого числа без калькулятора мы уже разобрали. В этой статье рассмотрим как извлечь кубический корень (корень третьей степени). Оговорюсь, что речь идёт о натуральных числах. Как вы думаете, сколько времени нужно, чтобы устно вычислить такие корни как:

Совсем немного, а если потренируетесь два-три раза минут по 20, то любой такой корень вы сможете извлечь за 5 секунд устно.

*Нужно отметить, что речь идёт о таких числах стоящих под корнем, которые являются результатом возведения в куб натуральных чисел от 0 до 100.

Так вот, число а, которое мы будем находить – это натуральное число от 0 до 100. Посмотрите на таблицу кубов этих чисел (результаты возведения в третью степень):

Вы без труда сможете извлечь кубический корень из любого числа в этой таблице. Что нужно знать?

1. Это кубы чисел кратных десяти:

Я бы даже сказал, что это «красивые» числа, запоминаются они легко. Выучить несложно.

2. Это свойство чисел при произведении.

Его суть заключается в том, что при возведении в третью степень какого-либо определённого числа, результат будет иметь особенность. Какую?

Например, возведём в куб 1, 11, 21, 31, 41 и т.д. Можно посмотреть по таблице.

1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …

То есть, при возведении в куб числа с единицей на конце в результате у нас всегда получится число с единицей в конце.

При возведении в куб числа с двойкой на конце в результате всегда получится число с восьмёркой в конце.

Покажем соответствие в табличке для всех чисел:

Знания представленных двух моментов вполне достаточно.

Извлечь кубический корень из 21952.

Данное число находится в пределах от 8000 до 27000. Это означает, что результат корня лежит в пределах от 20 до 30. Число 29952 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 28.

Извлечь кубический корень из 54852.

Данное число находится в пределах от 27000 до 64000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 30 до 40. Число 54852 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 38.

Извлечь кубический корень из 571787.

Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 571787 заканчивается на 7. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с тройкой в конце. Таким образом, результат корня равен 83.

Извлечь кубический корень из 614125.

Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 614125 заканчивается на 5. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с пятёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 85.

Думаю, что вы теперь без труда сможете извлечь кубический корень из числа 681472.

Конечно, чтобы извлекать такие корни устно, нужна небольшая практика. Но восстановив две указанные таблички на бумаге, вы без труда в течение минуты, в любом случае, такой корень извлечь сможете.

После того, как нашли результат обязательно сделайте проверку (возведите его с третью степень). *Умножение столбиком никто не отменял 😉

На самом ЕГЭ задач с такими «страшненькими» корнями нет. Например, в Задаче 27125 требуется извлечь кубический корень из 1728. Думаю, что это теперь для вас не проблема.

Если вы знаете какие-то интересные приёмы вычислений без калькулятора, присылайте, со временем опубликую. На этом всё. Успеха Вам!

Источник

Корни и степени

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Источник

Извлечение корней: методы, способы, решения

Из этой статьи вы узнаете:

Что такое «извлечение корня»

Для начала введем определение «извлечение корня».

Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

В каких случаях извлекается корень?

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).

Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.

Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.

И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.

Таблица квадратов

Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т.д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.

Таблица кубов

Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.

Разложим 144 на простые множители:

Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2 4 × 3 2 = 2 4 × 3 2 = 2 2 × 3 = 12

Извлечение корней из дробных чисел

Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.

Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:

Рассмотрим пример извлечения корня из десятичной дроби, поскольку извлечь корень из обыкновенной дроби можно с помощью таблицы.

Извлечение корня из отрицательных чисел

Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.

Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:

Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:

Вычисляем корни в числителе и знаменателе:

Краткая запись решения:

Поразрядное нахождение значения корня

В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.

Итак, мы изучили несколько наиболее распространенных способов нахождения значения корня, воспользоваться которыми можно в любой ситуации.

Источник

Таблица квадратных и кубических корней

Извлечение корней при помощи таблицы

Квадратные корни

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — неотрицательное число t, квадрат которого равен числу а. Математически это отношение выражено в уравнении:

Существуют способы вычислить корень неотрицательного числа вручную. Например, можно разложить число на квадратные множители и найти корни из них. Однако такое решение работает не для всех чисел, у большинства корень не будет натуральным числом. Для точного вычисления пользуются калькулятором или таблицей корней.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

С ее помощью можно найти корень любого числа от 0 до 99. В строках таблицы указываются десятки, в столбцах — единицы. Графа таблицы, где пересекаются нужные значения, и будет искомым числом.

Кубические корни

Кубический корень из числа a — число t, которое при возведении в куб (третью степень) равно a. Математически это отношение выражено в уравнении:

В отличие от квадратного корня, в решении корней кубических ответ всегда один. Если исходное число положительное, то и корень будет положительным. Если кубический корень извлечен из отрицательного числа, то и он сам будет отрицательным.

Для нахождения кубических корней тоже есть таблицы. Они бывают разных масштабов, но чаще всего используют стандартную для чисел от 0 до 99. В ней также десятки расположены в строках, а единицы — в столбцах.

Помимо таблиц корней второй и третьей степени существуют таблицы для более высоких степеней, но обычно при вычислениях ими не пользуются.

В обеих таблицах не приведены абсолютно точные значения — все они округлены до пятого знака после запятой. Поэтому, если необходимы значения более высокой степени точности, следует воспользоваться калькулятором или другим вычислительным устройством.

Особенности использования для квадратных и кубических корней

Таблицы квадратных и кубических корней используются по одному принципу. Однако, так как одна степень — четная, а другая нет, существуют различия в том, как решать выражения с этими корнями.

Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренное число не может быть отрицательным. Это ввели для того, чтобы сделать понятие корня однозначным. Однако есть более широкое понятие алгебраического квадратного корня.

Алгебраический квадратный корень — корень второй степени, для которого не требуется извлечение из положительного числа и положительное значение самого корня.

При работе с таблицей стоит учитывать, какой именно квадратный корень нужно найти — арифметический или алгебраический.

В первом случае достаточно взять значение из таблицы корней без дополнительных действий.

В задаче с алгебраическим корнем ответ зависит от того, какое число стоит под корнем. Если подкоренное число больше нуля, то корня будет два — положительный и отрицательный. Если возведенное в степень число отрицательно, то задача не имеет решения. Вторая степень является четной, поэтому нет такого числа, которое в квадрате дало бы отрицательное значение.

\(\sqrt<47>=\pm\;6.85565\)
Число 47 больше нуля, поэтому корня два: 6.85565 и –6.85565

–35 — число отрицательное, поэтому ответа нет.

Кубический корень — степень нечетная, поэтому подкоренное значение может быть и отрицательным, и положительным. Такое же значение будет иметь и ответ. То есть к результату из таблицы нужно лишь добавить минус, если искомый корень возведен в число меньше нуля.

Примеры с описанием

Поиск квадратных корней

Требуется найти \(\sqrt<84>.\)

В числе 84 количество десятков — 8, поэтому по таблице квадратов ищем строку, обозначенную слева цифрой 8. Нужное количеств единиц — 4, значит, нужен столбец с цифрой 4 наверху. Находим ячейку, где эти столбец и строка пересекаются. Там находится число 9.16515, оно и будет искомым ответом. Если требуется, его можно округлить до сотых (9.17) или десятых (9,2).

Нужно решить уравнение \(x=\sqrt<17>. \)

В таких случаях квадратный корень обычно принимается за алгебраический, поэтому смотрим на подкоренное число. Оно положительное, поэтому ответа будет два. Находим по таблице строку с количеством десятков, равным 1, и столбец, где число единиц — 7. В их пересечении находится ячейка с числом 4.12311. Для арифметического корня этого было бы достаточно, для алгебраического мы приводим два ответа: x=4.12311 и x=–4.12311. При необходимости округляем до сотых (4.12, –4.123) или десятых (4.1, –4.1). Оба этих числа при возведении в квадрат будут равны 17.

Дано выражение \(x=\sqrt<-23>.\)

Ищем по таблице ячейку, в которой пересекутся строка со значением 2 и столбец со значением 3. В ней указано число 4.79583. Однако обращаем внимание, что подкоренное число меньше нуля, поэтому найденный результат ответом не будет. В решении указываем:
\(\sqrt[<>]<-23>\neq4.79583\\\sqrt<-23>\neq-4.79583\)

Поиск кубических корней

Нужно решить уравнение \(x=\sqrt[3]<55>\)

В таблице кубических корней ищем строку с десятками, равными 5, и столбец, где значение единиц — 5. Они пересекаются в ячейке с числом 3.80295. Так как подкоренное число положительное, то и ответ будет с таким же знаком. Искомое значение x — 3.80295 (или 3.8).

Требуется найти переменную в выражении \(x=\sqrt[3]<-48>\)

Находим по таблице графу, где пересекаются строка с обозначением 4 и столбец с цифрой 8. В ней располагается число 3.63424. Смотрим на число, которое был возведено в куб, — оно отрицательное. Значит, и ответ будет с минусом. Таким образом, x=–3.63424.

Источник

Как вычислить быстро кубический корень.

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Как вычислить быстро кубический корень.

Ковандина Е.М. преподаватель математики ГБПОУ «УМТ»

Задачи: Сформулировать алгоритм отгадывания корня из куба двузначного числа, корня из куба трехзначного числа. Показать их применения на примерах. Углубить свои знания по математике.

Один из известных математических фокусов – отгадывание кубического корня из данного числа, представляющего собой куб двухзначного числа. Этот фокус имитирует «молниеносный счет». Ниже описаны способы отгадывания корней из кубов.

Отгадывание корня из куба двузначного числа. Сначала необходимо запомнить следующие равенства.

Отгадывание корня из куба трехзначного числа.

Для извлечения кубического корня свыше 1 млн. нужно знать кубы чисел от 11 до 20.

Пример 3. Вычислить

Пример 4. Вычислить

Кордемский Б.А., Ахадов А.А..Удивительный мир чисел. Математические головоломки и задачи для любознательных, М.Просвещение, 1986.

Источник

Корень кубический из числа – 3

Кубический корень

Кубический корень. Как извлечь квадратный корень из большого числа без калькулятора мы уже разобрали. В этой статье рассмотрим как извлечь кубический корень (корень третьей степени). Оговорюсь, что речь идёт о натуральных числах. Как вы думаете, сколько времени нужно, чтобы устно вычислить такие корни как:

Совсем немного, а если потренируетесь два-три раза минут по 20, то любой такой корень вы сможете извлечь за 5 секунд устно.

*Нужно отметить, что речь идёт о таких числах стоящих под корнем, которые являются результатом возведения в куб натуральных чисел от 0 до 100.

Так вот, число а, которое мы будем находить – это натуральное число от 0 до 100. Посмотрите на таблицу кубов этих чисел (результаты возведения в третью степень):

Вы без труда сможете извлечь кубический корень из любого числа в этой таблице. Что нужно знать?

1. Это кубы чисел кратных десяти:

Я бы даже сказал, что это «красивые» числа, запоминаются они легко. Выучить несложно.

2. Это свойство чисел при произведении.

Его суть заключается в том, что при возведении в третью степень какого-либо определённого числа, результат будет иметь особенность. Какую?

Например, возведём в куб 1, 11, 21, 31, 41 и т.д. Можно посмотреть по таблице.

1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …

То есть, при возведении в куб числа с единицей на конце в результате у нас всегда получится число с единицей в конце.

При возведении в куб числа с двойкой на конце в результате всегда получится число с восьмёркой в конце.

Покажем соответствие в табличке для всех чисел:

Знания представленных двух моментов вполне достаточно.

Извлечь кубический корень из 21952.

Данное число находится в пределах от 8000 до 27000. Это означает, что результат корня лежит в пределах от 20 до 30. Число 29952 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 28.

Извлечь кубический корень из 54852.

Данное число находится в пределах от 27000 до 64000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 30 до 40. Число 54852 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 38.

Извлечь кубический корень из 571787.

Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 571787 заканчивается на 7. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с тройкой в конце. Таким образом, результат корня равен 83.

Извлечь кубический корень из 614125.

Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 614125 заканчивается на 5. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с пятёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 85.

Думаю, что вы теперь без труда сможете извлечь кубический корень из числа 681472.

Конечно, чтобы извлекать такие корни устно, нужна небольшая практика. Но восстановив две указанные таблички на бумаге, вы без труда в течение минуты, в любом случае, такой корень извлечь сможете.

После того, как нашли результат обязательно сделайте проверку (возведите его с третью степень). *Умножение столбиком никто не отменял 😉

На самом ЕГЭ задач с такими «страшненькими» корнями нет. Например, в Задаче 27125 требуется извлечь кубический корень из 1728. Думаю, что это теперь для вас не проблема.

Если вы знаете какие-то интересные приёмы вычислений без калькулятора, присылайте, со временем опубликую. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Кубический корень. Извлечение кубического корня

Кубический корень из a, обозначающийся как 3 √a или как a 1/3 — решение уравнения x 3 = a (обычно подразумеваются вещественные решения).

Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел.

Онлайн калькулятор для расчета кубического корня для положительных и отрицательных чисел.

Алгоритм извлечения кубического корня

Перед началом необходимо разделить число на тройки (целую часть — справа налево, дробную — слева направо). Когда Вы достигли десятичной запятой, в конце результата необходимо поставить десятичную запятую.

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Простые и не очень способы того, как вычислить кубический корень :: SYL.ru

Сколько гневных слов произнесено в его адрес? Порой кажется, что кубический корень невероятно сильно отличается от квадратного. На самом деле разница не настолько велика. Особенно, если понять, что они только частные случаи общего корня n-ой степени.

Зато с его извлечением могут возникнуть проблемы. Но чаще всего они связаны с громоздкостью вычислений.

Что нужно знать о корне произвольной степени?

Во-первых, определение этого понятия. Корнем n-ой степени из некоторого «а» называется такое число, которое при возведении в степень n дает исходное «а».

Причем бывают четные и нечетные степени у корней. Если n — четное, то подкоренное выражение может быть только нулем или положительным числом. В противном случае вещественного ответа не будет.

Когда же степень нечетная, то существует решение при любом значении «а». Оно вполне может быть и отрицательным.

Во-вторых, функцию корня всегда можно записать, как степень, показателем которой является дробь. Иногда это бывает очень удобным.

Например, «а» в степени 1/n как раз и будет корнем n-ой степени из «а». В этом случае основание степени всегда больше нуля.

Аналогично «а» в степени n/m будет представлено, как корень m-ой степени из «а n ».

В-третьих, для них справедливы все действия со степенями.

В чем сходства и различия квадратного и кубического корней?

Они похожи, как родные братья, только степень у них разная. И принцип их вычисления одинаков, различие только в том, сколько раз должно число на себя умножиться, чтобы получить подкоренное выражение.

А о существенном отличии было сказано чуть выше. Но повториться не будет лишним. Квадратный извлекается только из неотрицательного числа. В то время, как вычислить кубический корень из отрицательной величины не составит труда.

Извлечение кубического корня на калькуляторе

Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?

На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.

А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».

Извлечение кубического корня вручную

Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.

Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?

В противном случае нужно будет считать столбиком. Алгоритм не самый простой. Но если немного попрактиковаться, то действия легко запомнятся. И вычислить кубический корень больше не будет проблемой.

Наглядный пример вычисления кубического корня

Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.

Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.

Его можно использовать тогда, когда ответом является целое число. Тогда кубический корень извлекается разложением подкоренного выражения на нечетные слагаемые. Причем таких слагаемых должно быть минимально возможное число.

К примеру, 8 представляется суммой 3 и 5. А 64 = 13 + 15 + 17 + 19.

Ответом будет число, которое равно количеству слагаемых. Так корень кубический из 8 будет равен двум, а из 64 — четырем.

Если под корнем стоит 1000, то его разложением на слагаемые будет 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. Всего 10 слагаемых. Это и есть ответ.

Извлечение кубического корня в столбик

Я уже писала здесь, как можно извлекать в столбик квадратный корень. Однако практически такой же алгоритм, напоминающий деление столбиком (или арабский способ деления) работает и для извлечения корней более высоких степеней. Рассмотрим, как извлекать кубический корень с произвольной точностью, определяя на каждом шаге по одной цифре этого корня. Как и для квадратных корней, буду описывать алгоритм пошагово, и каждый шаг будет сопровождаться примером.

1. Разобьем цифры исходного числа на группы по три цифры в каждой. При этом разбиение начинаем от десятичной запятой, двигаясь влево и вправо.

2. Извлечем кубический корень из первой слева группы цифр. Разумеется, точно корень может не извлекаться, поэтому возьмем наибольшее число, куб которого меньше числа, образованного данной группой цифр.

3. Возводим найденное число в куб и вычитаем из первой слева группы цифр, к разности приписываем справа следующие три цифры (т.е. цифры следующей группы).

Пример. В нашем случае получаем:

4. Теперь нужно подобрать следующую цифру корня. Для этого квадрат числа, образованного уже имеющимися цифрами, умножаем на и выбираем цифру, при умножении на которую получится число, меньшее, чем число, образованное всеми цифрами разности, кроме двух последних, но достаточно близкое к нему. Однако следует иметь в виду, что если при очередном вычитании получилось отрицательное число, нужно последнюю вычисленную цифру уменьшить на единицу.

Пример. У нас получится
.

6. Из полученной на шаге 3 разности вычитаем число, полученное на шаге 5.

7. Переходим к шагу 4.

Продолжаем данную последовательность шагов алгоритма до тех пор, пока корень не вычислен с требуемой точностью.

Теперь приведу запись, которая при этом получается (разумеется, при реальных вычислениях все скорее всего будет не столь красиво и аккуратно ).

Для тех же, кому интересно извлечение корней высших степеней, даю ссылку (правда, материал на английском): http://en.wikipedia.org/wiki/Shifting_nth-root_algorithm.

Кубический корень из числа

Практически каждый человек мечтает совершенствоваться, идти к чему-то более серьёзному и сложному. Все делают это по-своему. Одни ищут работу, на которой, со временем займут руководящие места, другие жаждут просто заработать побольше денег. Всегда считалось, что чем умнее человек, тем больших успехов он добьётся. Но есть и те, которые совершенствуют свой ум и оттачивают искусство вычисления. Кубический корень (его вычисление) – один из распространенных способов “привести мозги в порядок”.

Издревле считалось, что тренировка ума — это путь к обретению мудрости. Древние греки, которые достигли огромных высот в математике, говорили, что ”каждый человек рожден мудрецом, но не каждый его может отыскать внутри себя”. В последнее время стало очень популярно развивать умение проводить сложные, а иногда и громоздские вычисления в уме. Кубический корень, вычислить который не так просто, если число достаточно большое – один из способов. Существует несколько распространенных вариантов, как извлечь кубический корень из числа. Рассмотрим парочку.

Способ номер 1

Иногда можно встретить афиши, гласящие, что один человек проводит в уме сложнейшие вычисления, в том числе и вычисления кубического корня. Какое-то время, было непонятно, как это делается, но вот алгоритм вычисления известен, и каждый может блеснуть своими умениями.

Извлечение кубического корня проводится путем “отсечения от числа”. Сначала нужно запомнить одну простую закономерность: последние цифры и результат возведения в куб, для некоторых чисел, а именно 1, 4, 5, 6 и 9 одинаковы. Давайте рассмотрим конкретный пример. Предположим, нам нужно извлечь кубический корень из числа 85 184. Рассмотрим самую большую группу в данном числе – тысячи, это 85. Какое число, в кубе даст наиболее близкое значение к 85 но при этом не превзойдет его? Это число 4. Теперь рассмотрим оставшиеся числа 184. Заметьте, что оно заканчивается на 4. Единственное однозначное число, которое дает при возведении в 3-ю степень 4-ку в конце многозначного числа, это число 4. Выходит, что ответом на вопрос является число 44. Умножаем его на самого себя 2 раза (44x44x44) и получаем 85184.

Способ номер 2

Кубический корень можно извлечь и с помощью разложения числа в ряд Тейлора. Однако этот вариант намного сложнее, чем предыдущий. Нам понадобится чёткое знание формулы разложения, и все операции нужно будет вычислять уже не в уме, а на бумаге. Так как кубический корень — это возведение числа в степень 1/3, то проведем вычисления с возведением числа 5. Разложив это число в ряд Тейлора, получим ответ, с мизерной погрешностью. Однако вычислений пришлось проводить немало. Поэтому такой способ не самый выгодный с точки зрения экономии времени. Ведь если число очень большое, то потребуется приложить много усилий для решения

Есть конечно ещё один способ, калькулятор. На инженерных калькуляторах есть возможность одним нажатием кнопки извлечь корень кубический из числа. Как уже было сказано выше, способов извлечения кубического корня из числа очень много. И все время находятся энтузиасты, которые пробуют все новые и новые варианты. Сейчас, при желании, можно найти таблицы со значением кубических корней всех чисел. Вы можете сами, забавы ради или для «разминки мозгов», составить свою таблицу. Конечно, это дело не одного дня, однако подобное времяпрепровождение можно превратить в интересное и достаточно редкое хобби. Ведь счет, неважно какой, — это очень хорошая тренировка для ума. Самое главное — это не то, как и что вы считаете, а то делаете ли вы это вообще. Все люди уникальны, существуют уникумы, которые в уме производят все сложнейшие вычисления. Дар этот у них от природы. Все же остальные могут развивать в себе эти способности. Старайтесь, и быть может вы следующим, кто придумает очередной способ того, как вычислить кубический корень из числа.

Кубический корень из числа

Практически каждый человек мечтает совершенствоваться, идти к чему-то более серьёзному и сложному. Все делают это по-своему. Одни ищут работу, на которой, со временем займут руководящие места, другие жаждут просто заработать побольше денег. Всегда считалось, что чем умнее человек, тем больших успехов он добьётся. Но есть и те, которые совершенствуют свой ум и оттачивают искусство вычисления. Кубический корень (его вычисление) – один из распространенных способов “привести мозги в порядок”.

Издревле считалось, что тренировка ума — это путь к обретению мудрости. Древние греки, которые достигли огромных высот в математике, говорили, что ”каждый человек рожден мудрецом, но не каждый его может отыскать внутри себя”. В последнее время стало очень популярно развивать умение проводить сложные, а иногда и громоздские вычисления в уме. Кубический корень, вычислить который не так просто, если число достаточно большое – один из способов. Существует несколько распространенных вариантов, как извлечь кубический корень из числа. Рассмотрим парочку.

Иногда можно встретить афиши, гласящие, что один человек проводит в уме сложнейшие вычисления, в том числе и вычисления кубического корня. Какое-то время, было непонятно, как это делается, но вот алгоритм вычисления известен, и каждый может блеснуть своими умениями.

Извлечение кубического корня проводится путем “отсечения от числа”. Сначала нужно запомнить одну простую закономерность: последние цифры и результат возведения в куб, для некоторых чисел, а именно 1, 4, 5, 6 и 9 одинаковы. Давайте рассмотрим конкретный пример. Предположим, нам нужно извлечь кубический корень из числа 85 184. Рассмотрим самую большую группу в данном числе – тысячи, это 85. Какое число, в кубе даст наиболее близкое значение к 85 но при этом не превзойдет его? Это число 4. Теперь рассмотрим оставшиеся числа 184. Заметьте, что оно заканчивается на 4. Единственное однозначное число, которое дает при возведении в 3-ю степень 4-ку в конце многозначного числа, это число 4. Выходит, что ответом на вопрос является число 44. Умножаем его на самого себя 2 раза (44x44x44) и получаем 85184.

Способ номер 2

Кубический корень можно извлечь и с помощью разложения числа в ряд Тейлора. Однако этот вариант намного сложнее, чем предыдущий. Нам понадобится чёткое знание формулы разложения, и все операции нужно будет вычислять уже не в уме, а на бумаге. Так как кубический корень — это возведение числа в степень 1/3, то проведем вычисления с возведением числа 5. Разложив это число в ряд Тейлора, получим ответ, с мизерной погрешностью. Однако вычислений пришлось проводить немало. Поэтому такой способ не самый выгодный с точки зрения экономии времени. Ведь если число очень большое, то потребуется приложить много усилий для решения

Есть конечно ещё один способ, калькулятор. На инженерных калькуляторах есть возможность одним нажатием кнопки извлечь корень кубический из числа. Как уже было сказано выше, способов извлечения кубического корня из числа очень много. И все время находятся энтузиасты, которые пробуют все новые и новые варианты. Сейчас, при желании, можно найти таблицы со значением кубических корней всех чисел. Вы можете сами, забавы ради или для «разминки мозгов», составить свою таблицу. Конечно, это дело не одного дня, однако подобное времяпрепровождение можно превратить в интересное и достаточно редкое хобби. Ведь счет, неважно какой, — это очень хорошая тренировка для ума. Самое главное — это не то, как и что вы считаете, а то делаете ли вы это вообще. Все люди уникальны, существуют уникумы, которые в уме производят все сложнейшие вычисления. Дар этот у них от природы. Все же остальные могут развивать в себе эти способности. Старайтесь, и быть может вы следующим, кто придумает очередной способ того, как вычислить кубический корень из числа.

Источник

Как извлечь кубический корень в Python

Кубическим корнем числа называют такое значение, которое при возведении в куб дает исходное число. Другими словами, кубический корень — это значение, при троекратном умножении на которое мы можем получить число под корнем.

Кубический корень обозначается символом «3√». В случае с квадратным корнем мы использовали только символ ‘√’ без указания степени, который также называется радикалом.

Например, кубический корень из 125, обозначаемый как 3√125, равен 5, так как при умножении 5 на само себя три раза получается 5 x 5 x 5 = 125 = 5^3.

Кубический корень в Python

Чтобы вычислить кубический корень в Python, используйте простое математическое выражение x ** (1. / 3.), результатом которого является кубический корень из x в виде значения с плавающей точкой. Для проверки, корректно ли произведена операция извлечения корня, округлите полученный результат до ближайшего целого числа и возведите его в третью степень, после сравните, равен ли результат x.

Источник

Извлечение корней: способы, примеры, решения.

Эта статья продолжает тему корень из числа. Здесь мы разберемся с извлечением корня. Сначала определим, что называют извлечением корня, и установим, когда корень извлекается. Дальше изучим принципы, на которых основано нахождение значения корня, после чего на примерах рассмотрим основные способы извлечения корней из натуральных чисел, а затем и из дробных чисел.

Навигация по странице.

Что означает «извлечение корня»?

Введем понятие извлечения корня.

Извлечением корня называется нахождение значения корня.

Заметим, что выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» одинаково употребимы.

Когда корень извлекается?

Способы и примеры извлечения корней

Пришло время разобрать способы извлечения корней. Они базируются на свойствах корней, в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.

Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.

Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т.п. Ознакомиться…

Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители. Перейти к изучению этого способа…

Отдельно стоит остановиться на извлечении корня из отрицательного числа, что возможно для корней с нечетными показателями.

Дальше мы разберем извлечение корня из дробного числа, в частности, из обыкновенной дроби, десятичной дроби и смешанного числа. Перейти к этому разделу…

Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня. Изучить…

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.

В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?

Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.

Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем: после разложения числа на простые множители его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.

Разберемся с этим при решении примеров.

Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144 на простые множители. Разберем этот способ решения.

Разложим 144 на простые множители:

.

Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.

Вычислите значение корня .

.

Является ли значение корня целым числом?

Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.

Извлечение корней из дробных чисел

Разберем пример извлечения корня из дроби.

.

Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.

.

Извлечение корня из отрицательного числа

Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a и нечетного показателя корня 2·n−1 справедливо . Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.

Рассмотрим решение примера.

Найдите значение корня .

Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: . Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: . Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: . Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: .

Приведем краткую запись решения: .

.

Порязрядное нахождение значения корня

На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.

Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.

Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

Определим его значение.

На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: .

В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.

Источник

Кубический корень

Содержание

Свойства

Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический может быть извлечён и из отрицательных чисел:

Общее правило — из отрицательных чисел корни нечётной степени (в том числе и кубический) извлекаются, корни чётной степени — нет. Данное утверждение справедливо только для диапазона вещественных чисел.

Кубический корень из комплексного числа (из любого числа) имеет ровно три значения (частный случай свойства корня n-ой степени):

Здесь под понимается арифметический корень из положительного числа

Два комплексных значения кубического корня получаются из вещественных по формуле:

Эти значения необходимо знать для решения кубических уравнений по формуле Кардано.

Интересные факты

Кубический корень не может быть извлечён с помощью циркуля и линейки. Именно поэтому неразрешимы сводимые к извлечению кубического корня классические задачи: удвоение куба, трисекция угла, а также построение правильного семиугольника.

При постоянной плотности вещества размеры двух подобных тел относятся друг к другу как кубические корни их масс. Так, если один арбуз весит вдвое больше, чем другой, то его диаметр (а также окружность) будет всего лишь чуть больше, чем на четверть (на 26%) больше, чем у первого; и на глаз будет казаться, что разница в весе не столь существенна. Поэтому при отсутствии весов (продажа на глазок) обычно более выгодно покупать бо́льший плод.

См. также

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Кубический корень» в других словарях:

кубический корень — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN third root … Справочник технического переводчика

КУБИЧЕСКИЙ — (от слова куб). 1) имеющий вид куба. 2) мера, имеющая форму куба, т. е. правильного шестигранника. 3) корень, всякая величина, которая, будучи помножена три раза сама на себя, дает данную величину. Словарь иностранных слов, вошедших в состав… … Словарь иностранных слов русского языка

КОРЕНЬ КУБИЧЕСКИЙ — (обозначение 3Ц), число, которое необходимо дважды умножить на само себя для получения заданного числа. Например, кубический корень из 64 равняется 4, поскольку 4x4x4 = 64. В этом случае записывают: 3Ц64 = 4. В терминах алгебры кубический корень… … Научно-технический энциклопедический словарь

кубический — КУБИЧЕСКИЙ, КУБИЧНЫЙ ая, ое. cubique adj. <, лат. cubicus. 1. Имеющий форму куба. шестигранника. Сл. 18. Большая голова кубической фигуры. С. Меран 20. Горница имела совершенно кубический вид. ТВЭО 50 14. 2. Связанный с объемом, измерением… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

КОРЕНЬ — КОРЕНЬ, корня, мн. корни, корней, м. 1. Вросшая в землю часть растения, через к рую оно всасывает соки из почвы. Бурей выворотило деревья с корнями. Дуб глубоко пустил корни в землю. || Древесина или вещество этой части растения. Лакричный корень … Толковый словарь Ушакова

КУБИЧЕСКИЙ — КУБИЧЕСКИЙ, кубическая, кубическое. 1. прил. к куб1 в 1 и 4 знач. (мат.). Кубическая форма. Кубическая степень. Извлечь кубический корень. 2. Выраженный в мерах, за единицу объема которых принят куб. Кубическая система мер. Кубический метр.… … Толковый словарь Ушакова

КОРЕНЬ ЧИСЛА — (root of number) Число х, чье значение в степени r равно у. Если у=хr, то х – корень r – степени от у. Например, в уравнении у=х2, х является квадратным корнем из у, и записывается следующим образом: x=√ y=y1/2; если z=x3, то х – кубический… … Экономический словарь

Корень (значения) — Корень: В Викисловаре есть статья «корень» Корень (в ботанике) вегетативный осевой подземный орган растения, обладающий сп … Википедия

корень — сущ., м., употр. сравн. часто Морфология: (нет) чего? корня, чему? корню, (вижу) что? корень, чем? корнем, о чём? о корне и на корню; мн. что? корни, (нет) чего? корней, чему? корням, (вижу) что? корни, чем? корнями, о чём? о корнях 1. Корень это … Толковый словарь Дмитриева

Кубический закон взаимности — Характер кубического вычета – теоретико числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле. Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его… … Википедия

Источник

Извлечение корня в Excel с помощью формулы и функции

Среди базовых математических вычислений помимо сложения, вычитания, умножения и деления можно выделить возведение в степень и обратное действие – извлечение корня. Давайте посмотрим, каким образом можно выполнить последнее действие в Эксель разными способами.

Метод 1: использование функции КОРЕНЬ

Множество операций в программе реализуется с помощью специальных функций, и извлечение корня – не исключение. В данном случае нам нужен оператор КОРЕНЬ, формула которого выглядит так:

=КОРЕНЬ(число)

Для выполнения расчета достаточно написать данную формулу в любой свободной ячейке (или в строке формул, предварительно выбрав нужную ячейку). Слово “число”, соответственно, меняем на числовое значение, корень которого нужно найти.

Когда все готово, щелкаем клавишу Enter и получаем требуемый результат.

Вместо числа можно, также, указать адрес ячейки, содержащей число.

Указать координаты ячейки можно как вручную, прописав их с помощью клавиш на клавиатуре, так и просто щелкнув по ней, когда курсор находится в положенном месте в формуле.

Вставка формулы через Мастер функций

Воспользоваться формулой для извлечения корня можно через окно вставки функций. Вот, как это делается:

Вставка функции через вкладку “Формулы

Метод 2: нахождение корня путем возведения в степень

Описанный выше метод позволяет с легкостью извлекать квадратный корень из числа, однако, для кубического уже не подходит. Но и эта задача в Excel реализуема. Для этого числовое значение нужно возвести в дробную степень, где в числителе будет стоять “1”, а в знаменателе – цифра, означающая степень корня (n).

В общем виде, формула выглядит так:

=(Число)^(1/n)

Безусловным преимуществом такого способа является то, что мы можем извлечь корень любой степени, заменив букву “n” в знаменателе дроби на требуемую цифру.

Для начала давайте рассмотрим формулу для извлечения квадратного корня. Она выглядит следующим образом: =(Число)^(1/2).

Соответственно, для расчета кубического корня будет использоваться выражение ниже:

=(Число)^(1/3)

Допустим, нам нужно извлечь кубический корень из числа 27. В этом случае нужно записать в ячейке такую формулу: =27^(1/3).

Нажав Enter, получаем результат вычислений.

Аналогично работе с функцией КОРЕНЬ, вместо конкретного числа можно указать ссылку на ячейку.

Заключение

Таким образом, в Excel можно без особых усилий извлечь корень из любого числа, и сделать это можно разными способами. К тому же, возможности программы позволяют выполнять расчеты для извлечения не только квадратного, но и кубического корня. В редких случаях требуется найти корень n-степени, но и эта задача достаточно просто выполняется в программе.

Источник

Кубический корень (извлечение без калькулятора). Простые и не очень способы того, как вычислить кубический корень

Если под рукой есть калькулятор, извлечь кубический корень из любого числа не составит никаких проблем. Но если калькулятора нет или вы просто хотите произвести впечатление на окружающих, извлеките кубический корень вручную. Большинству людей описываемый здесь процесс покажется довольно сложным, но с практикой извлекать кубические корни станет намного легче. Перед тем как приступить к чтению данной статьи, вспомните основные математические операции и вычисления с числами в кубе.

Извлечение кубического корня на простом примере

Запишите задачу. Извлечение кубического корня вручную похоже на деление в столбик, но с некоторыми нюансами. Сначала запишите задачу в определенной форме.

Запомните результаты возведения в куб целых чисел. Они будут использованы в вычислениях.

Найдите первую цифру ответа. Выберите куб целого числа, который ближе всего, но меньше первой группы из трех цифр.

Найдите следующую цифру ответа. К первому остатку припишите вторую группу из трех цифр, а слева от полученного числа проведите вертикальную черту. С помощью полученного числа вы найдете вторую цифру ответа. В нашем примере к первому остатку (2) нужно приписать вторую группу из трех цифр (000), чтобы получить число 2000.

Найдите первое слагаемое (из трех). В первом пустом пространстве запишите результат умножения числа 300 на квадрат первой цифры ответа (она записана над знаком корня). В нашем примере первой цифрой ответа является 2, поэтому 300*(2^2) = 300*4 = 1200. Напишите 1200 в первом пустом пространстве. Первым слагаемым является число 1200 (плюс еще два числа, которые нужно найти).

Найдите вторую цифру ответа. Выясните, на какое число нужно умножить 1200, чтобы результат был близок, но не превышал 2000. Таким числом может быть только 1, так как 2*1200 = 2400, что больше 2000. Напишите 1 (вторая цифра ответа) после 2 и десятичной запятой над знаком корня.

Найдите второе и третье слагаемые (из трех). Множитель состоит из трех чисел (слагаемых), первое из которых вы уже нашли (1200). Теперь нужно найти оставшиеся два слагаемых.

Умножьте и вычтите. Умножьте последнюю цифру ответа (в нашем примере это 1) на найденный множитель (1261): 1*1261 = 1261. Запишите это число под 2000 и вычтите его из 2000. Вы получите 739 (это второй остаток).

Подумайте, является ли полученный ответ достаточно точным. Делайте это каждый раз, после того как завершите очередное вычитание. После первого вычитания ответ был равен 2, что не является точным результатом. После второго вычитания ответ равен 2,1.

Найдите второй множитель. Чтобы попрактиковаться в вычислениях и получить более точный результат, повторите действия, которые описаны выше.

Умножьте последнюю цифру ответа на второй множитель. После того как вы нашли второй множитель и третью цифру ответа, действуйте следующим образом:

Запишите ответ. Результат, записанный над знаком корня, является ответом с точностью до двух цифр после запятой. В нашем примере кубический корень из 10 равен 2,15. Проверьте ответ, возведя его в куб: 2,15^3 = 9,94, что приблизительно равно 10. Если вам нужна большая точность, продолжите вычисления (как описано выше).

Извлечение кубического корня методом оценок

Используйте кубы чисел, чтобы определить верхний и нижний пределы. Если нужно извлечь кубический корень практически из любого числа, найдите кубы (некоторых чисел), которые близки к данному числу.

Оцените второе число. Первое число вы нашли благодаря знанию кубов целых чисел. Теперь целое число превратите в десятичную дробь, приписав к нему (после десятичной запятой) некоторую цифру от 0 до 9. Необходимо найти десятичную дробь, куб которой будет близок, но меньше исходного числа.

Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Если же куб полученного числа намного меньше исходного числа, оценивайте большие числа до тех пор, пока куб одного из них не превысит исходное число.

Оцените следующее число, чтобы повысить точность ответа. К каждому числу, которое вы оценили последним, приписывайте цифру от 0 до 9 до тех пор, пока не получите точный ответ. В каждом оценочном раунде нужно найти верхний и нижний пределы, между которыми находится исходное число.

Если нужно, оцените другое число. Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Короче говоря, нужно найти такие два числа, кубы которых чуть больше и чуть меньше исходного числа.

Выполняйте описанный процесс до тех пор, пока не получите ответ, точность которого вас устроит. Оцените следующее число, сравните его с исходным, затем, если нужно, оцените другое число и так далее. Обратите внимание, что каждая дополнительная цифра после десятичной запятой повышает точность ответа.

Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.

Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т.п.

Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители.

Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня.

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.

В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?

Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.

Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем : после его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.

Разберемся с этим при решении примеров.

Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144 на простые множители. Разберем этот способ решения.

Разложим 144 на простые множители:

Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.

Является ли значение корня целым числом?

Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.

Извлечение корней из дробных чисел

Разберем пример извлечения корня из дроби.

Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.

.

Извлечение корня из отрицательного числа

Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a и нечетного показателя корня 2·n−1 справедливо . Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел : чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.

Рассмотрим решение примера.

Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: . Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: . Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: . Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: .

Приведем краткую запись решения: .

.

Порязрядное нахождение значения корня

На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.

Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.

Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

Определим его значение.

На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: .

В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.

Математическое обозначение

Квадратный корень

Квадратным радикалом числа x называется такое число z, которое при умножении на самого себя превращается в x. Например, если мы умножим 2 на 2, то получим 4. Двойка в этом случае и есть квадратный корень из четырех. Умножим 5 на 5, получим 25 и вот мы уже знаем значение выражения sqrt(25). Мы можем умножить и – 12 на −12 и получить 144, а радикалом 144 будет как 12, так и −12. Очевидно, что квадратные корни могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Своеобразный дуализм таких корней важен для решения квадратных уравнений, поэтому при поиске ответов в таких задачах требуется указывать оба корня. При решении алгебраических выражений используются арифметические квадратные корни, то есть только их положительные значения.

Числа, квадратные корни которых являются целыми, называются идеальными квадратами. Существует целая последовательность таких чисел, начало которой выглядит как:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Квадратные корни других чисел представляют собой иррациональные числа. К примеру, sqrt(3) = 1,73205080757… и так далее. Это число бесконечно и не периодично, что вызывает некоторые затруднения при вычислении таких радикалов.

Школьный курс математики утверждает, что нельзя извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Как мы узнаем в вузовском курсе матанализа, делать это можно и нужно – для этого и нужны комплексные числа. Однако наша программа рассчитана для извлечения действительных значений корней, поэтому она не вычисляет радикалы четной степени из отрицательных чисел.

Кубический корень

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Для остальных чисел кубические корни являются иррациональными числами. В отличие от квадратных радикалов, кубические корни, как и любые нечетные корни, можно извлекать из отрицательных чисел. Все дело в произведении чисел меньше нуля. Минус на минус дает плюс – известное со школьной скамьи правило. А минус на плюс – дает минус. Если перемножать отрицательные числа нечетное количество раз, то результат будет также отрицательным, следовательно, извлечь нечетный радикал из отрицательного числа нам ничего не мешает.

Однако программа калькулятора работает иначе. По сути, извлечение корня – это возведение в обратную степень. Квадратный корень рассматривается как возведение в степень 1/2, а кубический – 1/3. Формулу возведения в степень 1/3 можно переиначить и выразить как 2/6. Результат один и тот же, но извлекать такой корень из отрицательного числа нельзя. Таким образом, наш калькулятор вычисляет арифметические корни только из положительных чисел.

Корень n-ной степени

Столь витиеватый способ вычисления радикалов позволяет определять корни любой степени из любого выражения. Вы можете извлечь корень пятой степени из куба числа или радикал 19 степени из числа в 12 степени. Все это элегантно реализовано в виде возведения в степени 3/5 или 12/19 соответственно.

Рассмотрим пример

Диагональ квадрата

Иррациональность диагонали квадрата была известна еще древним греками. Они столкнулись с проблемой вычисления диагонали плоского квадрата, так как ее длина всегда пропорциональна корню из двух. Формула для определения длины диагонали выводится из и в конечном итоге принимает вид:

Давайте определим квадратный радикал из двух при помощи нашего калькулятора. Введем в ячейку «Число(x)» значение 2, а в «Степень(n)» также 2. В итоге получим выражение sqrt(2) = 1,4142. Таким образом, для грубой оценки диагонали квадрата достаточно умножить его сторону на 1,4142.

Заключение

Поиск радикала – стандартная арифметическая операция, без которой не обходятся научные или конструкторские вычисления. Конечно, нам нет нужды определять корни для решения бытовых задач, но наш онлайн-калькулятор определенно пригодится школьникам или студентам для проверки домашних заданий по алгебре или математическому анализу.

Чтобы вычислить корень третьей степени с помощью компьютера, запустите программу «калькулятор Windows». Порядок действий при вычислении корня третьей степени полностью аналогичен описанному выше. Единственное отличие – в дизайне кнопки возведения в степень. На виртуальной клавиатуре калькулятора она обозначена как «x^y».

Если корень третьей степени приходится вычислять постоянно, то немного усовершенствуйте описанный выше метод. В качестве числа, из которого требуется извлечь корень, укажите не само число, а клетку таблицы. После этого, просто каждый раз вводите в эту клетку исходное число – в клетке с формулой будет появляться его кубический корень.

Заключение. В данной работе были рассмотрены различные методы вычисления значений кубического корня. Выяснилось, что значения кубического корня можно находить с помощью метода итераций, также можно аппроксимировать кубический корень, возводить число в степень 1/3, искать значения корня третьей степени с помощью Microsoft Office Ecxel, задавая формулы в ячейках.

Корни второй и третьей степени употребляются особенно часто и поэтому имеют специальные названия. Квадратный корень: В этом случае показатель степени обычно опускается, а термин «корень» без указания степени чаще всего подразумевает квадратный корень. Практическое вычисление корней Алгоритм нахождения корня n-ной степени. Квадратные и кубические корни обычно предусмотрены во всех калькуляторах.

Операцию нахождения корня третьей степени обычно называют извлечением «кубического» корня, а заключается она в нахождении такого вещественного числа, возведение которого в куб даст значение равное подкоренному числу. Операция извлечения арифметического корня любой степени n эквивалентна операции возведения в степень 1/n. Для практического вычисления кубического корня можно использовать несколько способов.

Размещенный на нашем сайте. Извлечение корня из числа часто используется в различных расчетах, а наш калькулятор — это отличный инструмент для подобных математических вычислений.

Онлайн калькулятор с корнями позволит быстро и просто сделать любые расчеты, содержащие извлечение корня. Корень третьей степени посчитает также легко, как и квадратный корень из числа, корень из отрицательного числа, корень из комплексного числа, корень из числа пи и т.д.

Вычисление корня из числа возможно вручную. Если есть возможность вычислить целый корень числа, то просто находим значение подкоренного выражения по таблице корней. В остальных случаях приближенное вычисление корней сводится к разложению подкоренного выражения на произведение более простых множителей, которые являются степенями и их можно убрать за знак корня, максимально упрощая выражение под корнем.

Но не стоит использовать такое решение корня. И вот, почему. Во-первых, придется потратить массу времени на подобные расчеты. Числа в корне, а точнее сказать, выражения могут быть достаточно сложными, а степень не обязательно квадратичной или кубической. Во-вторых, не всегда устраивает точность таких вычислений. И, в-третьих, есть онлайн калькулятор корней, который сделает за вас любое извлечение корня в считанные секунды.

Извлечь корень из числа — значит найти такое число, которое при его возведении в степень n будет равно значению подкоренного выражения, где n — это степень корня, а само число — основание корня. Корень 2 степени называют простым либо квадратным, а корень третьей степени — кубическим, опуская в обоих случаях указание степени.

Извлечение квадратного корня

Нажатие этой кнопки вставит в строке ввода запись извлечения из квадратного корня: sqrt(x), вам нужно только внести подкоренное выражение и закрыть скобку.

Пример решения квадратных корней в калькуляторе:

Если под корнем отрицательное число, а степень корня четная, то ответ будет представлен в виде комплексного числа с мнимой единицей i.

Квадратный корень из отрицательного числа:

Корень третьей степени

Используйте эту клавишу, когда нужно извлечь кубический корень. Она вставляет в строке ввода запись sqrt3(x).

Корень 3 степени:

Корень степени n

Естественно, онлайн калькулятор корней позволяет извлекать не только квадратный и кубический корень из числа, но также корень степени n. Нажатие этой кнопки выведет запись вида sqrt(x x,y).

Корень 4 степени:

Точный корень n степени из числа можно извлечь только, если само число является точным значением степени n. В противном же случае расчет получится приблизительным, хотя и очень близким к идеалу, так как точность вычислений онлайн калькулятора достигает 14 знаков после запятой.

Корень 5 степени с приблизительным результатом:

Корень из дроби

Вычислить корень калькулятор может из различных чисел и выражений. Нахождение корня дроби сводится к отдельному извлечению корня из числителя и знаменателя.

Квадратный корень из дроби:

Корень из корня

В случаях когда корень выражения находится под корнем, по свойству корней их можно заменить одним корнем, степень которого будет равняться произведению степеней обоих. Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней. В приведенном на рисунке примере выражение корень третьей степени корня второй степени можно заменить одним корнем 6-ой степени. Указывайте выражение так, как вам удобно. Калькулятор в любом случае все рассчитает верно.

Пример, как извлечь корень из корня:

Степень в корне

Корень степени калькулятор позволяет рассчитать в одно действие, без предварительного сокращения показателей корня и степени.

Квадратный корень из степени:

Все функции нашего бесплатного калькулятора собраны в одном разделе.

Решение корней в онлайн калькуляторе was last modified: Март 3rd, 2016 by Admin

Понравилось?

Нажмите на кнопку, если статья Вам понравилась, это поможет нам развивать проект. Спасибо!

Источник

Операция кубического корня не распределительный с добавление или же вычитание.

Содержание

Формальное определение

Кубические корни числа Икс числа у которые удовлетворяют уравнению

Характеристики

Действительные числа

Для любого реального числа Икс, есть один настоящий номер у такой, что у 3 = Икс. В функция куба увеличивается, поэтому не дает одинакового результата для двух разных входных данных, плюс охватывает все действительные числа. Другими словами, это взаимно однозначное соответствие. Затем мы можем определить обратную функцию, которая также будет взаимно однозначной. Для действительных чисел мы можем определить уникальный кубический корень из всех действительных чисел. Если используется это определение, кубический корень отрицательного числа является отрицательным числом.

Если Икс и у разрешено быть сложный, то есть три решения (если Икс не равно нулю) и поэтому Икс имеет три кубических корня. Действительное число имеет один действительный кубический корень и еще два кубических корня, которые образуют комплексно сопряженный пара. Например, кубические корни 1 находятся:

Последние два из этих корней приводят к связи между всеми корнями любого действительного или комплексного числа. Если число представляет собой один кубический корень определенного действительного или комплексного числа, два других кубических корня можно найти, умножив этот кубический корень на один или другой из двух комплексных кубических корней из 1.

Сложные числа

Для комплексных чисел главный корень куба обычно определяется как корень куба, который имеет наибольшее значение. реальная часть, или, что то же самое, кубический корень, аргумент имеет меньше всего абсолютная величина. Это связано с главной ценностью натуральный логарифм по формуле

Если мы напишем Икс в качестве

куда р неотрицательное действительное число и θ лежит в диапазоне

то главный комплексный кубический корень равен

Эту трудность также можно решить, рассматривая кубический корень как многозначная функция: если мы напишем исходное комплексное число Икс в трех эквивалентных формах, а именно

Тогда главные комплексные кубические корни этих трех форм соответственно

Невозможность построения циркуля и линейки

Кубические корни возникают при нахождении угла, размер которого составляет одну треть от величины данного угла (трисекция угла ) и в задаче нахождения ребра куба, объем которого вдвое больше куба с заданным ребром (удвоение куба ). В 1837 г. Пьер Ванцель доказал, что ни то, ни другое нельзя сделать с компас и линейка.

Численные методы

Метод Ньютона является итерационный метод который можно использовать для вычисления кубического корня. Серьезно плавающая точка чисел, этот метод сводится к следующему итерационному алгоритму для получения последовательно лучших приближений кубического корня из а:

Метод просто усредняет три фактора, выбранных таким образом, что

на каждой итерации.

Метод Галлея улучшает это с помощью алгоритма, который сходится быстрее с каждым шагом, хотя и требует больше операций умножения:

В любом методе плохое начальное приближение Икс₀ может дать очень низкую производительность алгоритма, и придумывание хорошего начального приближения является своего рода черным искусством. Некоторые реализации манипулируют битами экспоненты числа с плавающей запятой; т.е. они приходят к начальному приближению путем деления показателя степени на 3.

Появление в решениях уравнений третьей и четвертой степени

Кубические уравнения, которые полиномиальные уравнения третьей степени (что означает, что наибольшая степень неизвестного равна 3) всегда может быть решена для их трех решений в терминах кубических корней и квадратных корней (хотя более простые выражения только в терминах квадратных корней существуют для всех трех решений, если хотя бы один из них Рациональное число ). Если два решения являются комплексными числами, то все три выражения решений включают вещественный кубический корень действительного числа, а если все три решения являются действительными числами, они могут быть выражены через комплексный кубический корень комплексного числа.

Уравнения четвертой степени также может быть решена в терминах кубических корней и квадратных корней.

История

Источник

Извлечение корней: методы, способы, решения

Время чтения: 26 минут

Благодаря прочтению этой статьи вы научитесь:

А также пополните свой мозг новыми знаниями, что всегда хорошо и полезно! Приятным бонусом для вас будут задания для отработки материала с ответами, которые вы сможете найти в конце этой статьи. Что значит понятие: «Извлечение корня из числа»?

Извлечение корня из числа — это нахождение значения корня, т.е. действие, обратное возведению в степень.

Числа b и a равны, ведь при извлечении корня n-ной степени одного из чисел, мы, соответственно, находим и второе.

При помощи разложения функции в ряд можно показать, что сумма всех натуральных чисел равна:

1/12[18]

Когда следует извлекать корень? Если вы видите, что a можно представить в виде n-ной степени какого-либо числа b, то корень a можно извлечь.

Квадратный корень из числа — это неизвестное число, которое дает это же число при возведении его в квадрат.

Пример извлечения корня:

√25=5×5 — из этого становится ясно, что квадратный корень числа равен 5.

В обратной ситуации, когда нельзя представить корень n-ной степени из числа a, в виде n-ной степени числа b, корень не извлекается или находится лишь приближенное значение этого корня.

Для этого используют различные виды решений, начиная с калькулятора, заканчивая формулами. Калькулятор хоть и посчитает все вместо нас, но не всегда мы можем его применить. Поэтому важно знать другие варианты нахождения приближенного значения корня.

Способы извлечения корня

Для того, чтобы найти значение корня, существуют такие способы извлечения корня, как:

Они основываются на свойствах корней. Далее рассмотрим таблицы, которые могут помочь в процессе извлечения корней.

Квадраты натуральных чисел

Основной является таблица квадратов натуральных чисел:

Она, пожалуй, самая распространенная среди школьников. Если в какой-то важный момент она вам необходима, но у вас отсутствует к ней доступ, можно воспользоваться несколькими хитростями:

Квадратные корни

Вторая таблица — это таблица квадратных корней:

Числа в кубе

И, конечно же, третья — таблица кубов, при помощи которой осуществляется извлечение кубического корня.

Эти числа возводятся в третью степень.

Название «Куб» приобрелось из-за того, что такая операция проводится для нахождения объема куба. Т.е., для этого нужно возвести длину ребра куба в третью степень.

Такие таблицы достаточно просты в использовании. Слева — десятки, а справа — единицы. С их помощью можно быстро и легко извлечь корень числа от 0 до 99. Это был один из методов извлечения корней, как мне кажется, самый простой после вычислительного средства — калькулятора, но, зачастую, мы не всегда можем им воспользоваться, как говорилось ранее. Так давайте же перейдем к другим интересным и сложным на первый взгляд вариантам решения.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Двигаясь от наиболее удобного и быстрого способа к более сложному, давайте разберемся во втором из них — разложение подкоренного числа на простые множители.

Этот метод состоит в том, чтобы представить какое-либо число в виде степени с нужным нам показателем, из чего мы можем получить значение этого корня.

Пример 1:

Возьмём число 196. Для извлечения его квадратного корня, разложим это число на простые множители: √196=2×2×7×7=2²×7²

Теперь делаем следующие действия: 2×7=14.

Объяснение:

Множители находятся так: 196 делим на 2, а полученное число 98 мы тоже делим на 2. Делим до тех пор, пока деление станет невозможным. Так, число 49 нельзя поделить пополам, поэтому мы действуем методом подбора. Находим такое число, которое делится. В данном случае — это 7. Два числа, что у нас получились (2 и 7), мы умножаем друг на друга, но уже без степени и получаем число 14, что есть извлечённый корень из числа 196.

Пример 2:

Для того, чтобы лучше понять, как раскладывать на множители, приведем ещё одно число и перейдем к действиям. Деление 441 на 2 невозможно, поэтому подбираем число. Оно делится на 3 два раза. Опять выходит число 49, которое мы делим 2 раза на 7. Из этого следует: √441=3×3×7×7=3²×7²

3×7=21. Значит, ответ: √441=21.

Объяснение:

3 мы умножили на 7, так как это два числа, имеющих 2 степень. Будь у одного из них 4 степень, например: 3⁴×7² — нужно было бы сделать так: 3×3×7. Проще сказать, что мы сокращаем степени ⁴ и ².

Подкоренные числа, разложенные на простые множители, могут иметь лишь чётную степень.

Извлечение корней из дробных чисел

Перед тем, как начать вычисления, убедитесь, что дробное число представлено в виде обыкновенной дроби.

Перейдем к свойству корня из частного:

Далее нужно воспользоваться правилом извлечения корня из дроби, которое гласит: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.

Пример 1:

Давайте возьмем любую десятичную дробь и на её примере посмотрим, как нужно извлекать корень.

Так, например, найдем кубический корень из 373,248.

Первый ход — это представление десятичной дроби в виде обыкновенной:

³√373248/³√1000. После этого найдем кубический корень в числе и знаменателе:

Эти действия происходят как с квадратными корнями, но здесь уже мы считаем числа 2 и 3 не по двойке, а тройке, т.е. 2⁹=2×2×2, а 3⁶=3×3. Или же сокращаем ⁹ и ⁶.

Проверим таким образом: из 9 вычитаем тройки до тех пор, пока не придем к 0: 9-3-3-3 – это значит, что двоек у нас будет именно 3. Так и с 3⁶. Если от 6 отнять 3 два раза, то будет 0. Выходит, что троек у нас именно две.

Извлечение отрицательного корня

Существуют вещественные числа, из которых невозможно извлечь корень, т.е. решения нет. А вот из комплексных чисел можно извлекать корень. Для начала узнаем, что это за числа.

Вещественные (действительные) числа— это рациональные и иррациональные числа, которые можно записать в форме конечной или бесконечной десятичной дроби.

Комплексные числа — это выражение, в котором есть:

Итак, чтобы извлечь корень из отрицательного числа, нужно помнить, что если знаменатель является нечётным, то число под знаком корня может оказаться отрицательным.

Далее, чтобы провести эту операцию с отрицательным числом, перейдем к следующим действиям:

Пример 1:

1. Преобразуем выражение ⁵√-12 640/32 так, чтобы вместо отрицательного числа под корнем оказалось положительное:

2. Избавимся от смешанного числа, заменив его обыкновенной дробью:

3. С помощью правила извлечения корней из обыкновенной дроби, начнем извлекать:

4. Теперь нужно вычислить корни в числителе и знаменателе:

Источник