Как найти нок двух чисел

29.08.202229.08.2022 admin 0 Комментариев

Как найти нок двух чисел

Наименьшее общее кратное двух, трех и более чисел

Данный калькулятор предназначен для нахождения наименьшего общего кратного двух, трех и более чисел онлайн.
Кратное числа n – это число, которое делится на данное число n без остатка. Число может иметь бесконечное число кратных.
Несколько чисел могут иметь одинаковые кратные, которые будут называться общими кратными чисел.

Среди общих кратных выделяют наименьшее из них. Наименьшее общее кратное (сокращенно НОК) двух, трех и более чисел – наименьшее число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел. Нахождение наименьшего общего кратного полезно, например, при сложении и вычитании дробей, когда необходимо найти общий знаменатель дробей.

Для тех пользователей, кого интересует вопрос, как находить наименьшее общее кратное двух, трех и более чисел самостоятельно, представим последовательность решения данной задачи двумя способами. Первый способ хорошо применим для небольших чисел. Он заключается в выписывании кратных для всех чисел до тех пор, пока не найдется одинаковое, наименьшее из них. Второй способ сложнее и состоит из нескольких этапов, но при этом он применим для больших чисел. Во-первых, необходимо разложить числа на простые множители. Во-вторых, составляется произведение из всех найденных простых множителей. В-третьих, необходимо исключить общие множители, которые присутствуют в разложении чисел. В-четвертых, перемножив оставшиеся простые множители, получаем наименьшее общее кратное.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, проще всего использовать данный калькулятор, так как самостоятельные расчеты займут слишком много времени и усилий, особенно это касается большого количества больших чисел. Просто введите числа в соответствующие ячейки калькулятора и нажмите кнопку «Вычислить».

Источник

Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, примеры и свойства.

В этой статье всесторонне рассмотрено наименьшее общее кратное (НОК) данных чисел. Сначала дано определение общих кратных, на основании которого дано определение наименьшего общего кратного. После этого введены обозначения НОК, и приведены примеры. Дальше рассмотрена теорема, устанавливающая связь НОК и НОД данных чисел. В заключение показано, как нахождение наименьшего общего кратного трех и большего количества чисел сводится к последовательному вычислению НОК двух чисел.

Навигация по странице.

Общие кратные – определение, примеры

Если знать, что такое кратные числа, то определение общих кратных воспримется очень естественно. Мы будем говорить лишь об общих кратных таких целых чисел, которые отличны от нуля.

Общие кратные данных целых чисел – это такие целые числа, кратные всех данных чисел. Другими словами, общим кратным данных целых чисел называется любое целое число, которое делится на каждое из данных чисел.

Определение общих кратных относится как к двум целым числам, так и к трем, и к большему количеству целых чисел. То есть, мы можем говорить об общих кратных двух, трех, четырех и так далее целых чисел.

Приведем примеры общих кратных.

Отдельно отметим, что число нуль является общим кратным любого множества ненулевых целых чисел.

Нужно еще обговорить два нюанса, которые мы сформулируем в виде вопросов и дадим на них ответы.

В заключение этого пункта скажем, что можно ограничиться рассмотрением общих кратных лишь целых положительных (то есть, натуральных) чисел. Это не ограничит общности, и связано с тем, что множество кратных данного числа и множество кратных числа, противоположного данному, совпадают (что следует из свойств делимости).

Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры

Среди всех кратных данных чисел особый интерес и особую практическую значимость представляет наименьшее общее кратное (понятие наименьшего числа из данного множества чисел мы ввели, когда изучали сравнение целых чисел). Дадим определение наименьшего общего кратного.

Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.

Следует отметить, что в предыдущих примерах далеко не очевидно, что указанные числа являются наименьшими общими кратными соответствующих чисел. Этим мы хотим сказать, что в общем случае не удается сразу сказать, чему равен НОК данных чисел, и приходится провести вычисление наименьшего общего кратного.

Связь между НОК и НОД

Наименьшее общее кратное двух чисел непосредственно связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Эта связь между НОД и НОК определяется следующей теоремой.

Доказанная связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем двух данных чисел позволяет найти НОК через НОД.

Также нужно записать два важных следствия из рассмотренной теоремы.

Общие кратные двух чисел совпадают с кратными их наименьшего общего кратного.

Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

Нахождение наименьшего общего кратного трех и большего количества чисел можно свести к последовательному нахождению НОК двух чисел. Как это делается, указано в следующей теореме.

Источник

Онлайн калькулятор. Вычисление НОД и НОК двух чисел

Этот онлайн калькулятор поможет вам понять, как найти НОД и НОК двух чисел. Калькулятор вычисления НОД и НОК двух чисел очень просто и быстро вычислит наибольшее общее кратное и наименьший общий делитель двух чисел.

Найти НОД и НОК двух чисел

Наименьшее общее кратное (НОК)

Наибольший общий делитель (НОД)

Ввод данных в калькулятор вычисление НОД и НОК двух чисел

В онлайн калькулятор можно вводить только целые числа.

Дополнительные возможности вычисление НОД и НОК двух чисел

Теория о наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК).

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Нахождение НОД и НОК чисел

Онлайн-калькулятор «Нахождение НОД и НОК чисел«. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку «Вычислить» и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.

Первое число

Второе число

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6

Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144

Это следует знать! Как определить, что число делится на 3 без остатка? Очень просто – на 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например: число 795 делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 9 + 5 = 21 делится на 3.
21 : 3 = 7

Источник

Как найти наименьшее общее кратное чисел

Содержание статьи

Нахождение наименьшего общего кратного: основные понятия

Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина «кратное».

Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.

Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.

Как найти наименьшее общее кратное чисел

Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.

Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.

Например, кратные числа 4 можно записать так:

Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:

Если числа большие, или нужно найти наименьшее общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.

Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.

В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.

Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.

В разложении меньшего числа следует подчеркнуть множители, которые отсутствуют в разложении первого самого большого числа, а затем их добавить к нему. В представленном примере не хватает двойки.

Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.

НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Так, произведение простых множителей большего числа и множителей второго числа, которые не вошли в разложение большего, будет наименьшим общим кратным.

Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.

В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.

Так, в разложение большего числа на множители не вошли только две двойки из разложения шестнадцати (одна есть в разложении двадцати четырех).

Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.

НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Существуют частные случаи определения наименьшего общего кратного. Так, если одно из чисел можно поделить без остатка на другое, то большее из этих чисел и будет наименьшим общим кратным.

Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.

Если необходимо найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел, не имеющих одинаковых делителей, то их НОК будет равняться их произведению.

Источник

Наименьшее общее кратное (НОК). Как найти НОК двух и более чисел + калькулятор ⏳

К примеру, узнаем наименьшее общее кратное чисел 6 и 9.

Как найти наименьшее общее кратное (НОК:

Пример 1. Найдем НОК(6;9).

6 = 2 · 3
9 = 3 · 3

НОК(6;9) = 2 · 3 · 3 = 18

Пример 2. Найдите НОК(а;b), если а = 3 · 5 · 11, b = 3 · 5 · 2

Наши числа уже разложены на простые множители, осталось лишь выписать те, которые участвуют в нахождении НОК.

а = 3 · 5 · 11
b = 3 · 5 · 2

НОК(а;b) = 3 · 5 · 11 · 2 = 330

Пример 3. Найдите НОК(3;13).

НОК(3;13) = 3 · 13 = 39

Пример 4. Найдите НОК(44;25).

44 = 2·2·11
25 = 5·5

НОК(44, 25) = 2·2·11 · 5·5 = 44 · 25 = 1100

Из примера 3 и 4 следует, что НОК простых и взаимно простых чисел можно найти, перемножив эти числа.

Пример 5. Найдите НОК(108;144).

144 = 2·2·2·2·3·3
108 = 2·2·3·3· 3

НОК(108;144) = 2·2·2·2·3·3 · 3 = 432

Нахождение НОК трех, четырех и более чисел

Алгоритм точно такой же, как и при нахождении НОК двух чисел.

Найдите НОК(240; 144; 480)

480 = 2·2·2·2·2·3·5
240 = 2·2·2·2·3·5
144 = 2·2·2·2·3· 3

НОК(240; 144; 480) = 2·2·2·2·2·3·5 · 3 = 1440

Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84, 6, 48, 7, 143.

Сначала разложим данные числа на простые множители:

84 = 2 · 2 · 3 · 7
6 = 2 · 3
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
7 (7 – простое число, оно совпадает со своим разложением на простые множители)
143 = 11 · 13

НОК(84, 6, 48, 7, 143) = 2·2·2·2·3·7·11·13 = 48 048.

Задачи на нахождение НОК

Мальчик хочет купить несколько пачек мороженного по 8 рублей, но у него только 5 рублевые монеты, а у продавца нет сдачи. Какое наименьшее число пачек мороженного он сможет купить?

1 способ. Нахождение НОК подбором:

Эта сумма должна делиться и на 8 рублей, и на 5 рублей без остатка.
1) Выпишем числа кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40
2) Выпишем числа кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40
Выбираем наименьшее общее кратное.
Нашли, эта сумма = 40 рублей.
Теперь надо узнать сколько пачек можно купить на эту сумму:
40:8=5
Ответ: мальчик может купить 5 пачек мороженного.

2 способ (общепринятый). Нахождение НОК в общем случае:

Эта сумма должна делиться и на 8 рублей, и на 5 рублей без остатка.

1) Выполним разложение 8 и 5 на простые множители.

8 | 2 5 | 5
4 | 2 1 |
2 | 2
1

НОК(8,5) = 8 * 5 = 40

2) Поскольку у нас нет одинаковых множителей, то для нахождения наименьшего общего кратного мы перемножаем эти числа между собой. Нашли НОК, т.е. эта сумма = 40 рублей. Теперь узнаем количество пачек мороженного

Не забываем размерность и пишем ответ

Ответ: мальчик может купить 5 пачек мороженного.

Вдоль дороги от города (пункт А) до деревни (пункт В) были поставлены столбы через каждые 50 м. Их заменили другими, поставив на расстоянии 60 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который стоит на месте старого.

60 = 2·2·3·5
50 = 2·5·5

НОК(50;60) = 2·2·3·5·5 = 300 (м)

Ответ: 300 м от пункта А до ближайшего столба, который стоит на месте старого.

12 = 2·2·3
18 = 2·3· 3
21 = 3· 7

НОК(12;18;21) = 2·2·3 · 3 · 7 = 252 (сут.)

Ответ: через 252 суток они снова вместе уйдут в плавание.

В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход?

1) НОК (15,20 и 12) = 60 (суток) – время встречи.
2) 60 : 15 = 4 (рейса) – 1 теплоход.
3) 60 : 20 = 3 (рейса) – 2 теплоход.
4) 60 : 12 = 5 (рейсов) – 3 теплоход.
Ответ: 60 суток, 4 рейса, 3 рейса, 5 рейсов.

Маша для Медведя купила в магазине яйца. По дороге в лес она сообразила, что число яиц делится на 2,3,5,10 и 15. Сколько яиц купила Маша?

НОК (2;3;5;10;15) = 30 (яиц)
Ответ: Маша купила 30 яиц.

Требуется изготовить ящик с квадратным дном для укладки коробок размером 16 ͯ 20 см. Какова должна быть наименьшая длина стороны квадратного дна, чтобы уместить коробки в ящик вплотную?

Вдоль дороги от пункта К стоят столбы электролинии через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Сколько столбов было и сколько будут стоять?

1) НОК (45 и 60) = 180.
2) 180 : 45 = 4 – было столбов.
3) 180: 60 = 3 – стало столбов.
Ответ: 4 столба, 3 столба.

Сколько солдат маршируют на плацу, если они будут маршировать строем по 12 человек в шеренге и перестраиваться в колонну по 18 человек в шеренге?

1) НОК (12 и 18) = 36 (человек) – маршируют.
Ответ: 36 человек.

Бегун Коля знает, что через каждые 400 м от старта стоит наблюдатель, а через каждые 700 м от старта можно попить воды. На каком минимальном расстоянии от старта можно попить воды и задать вопрос наблюдателю?

НОК(400;700) = 2800 (м)
Ответ: 2800 м.

Длина шага Бори 50 см, а его отца – 70 см. Боря утверждает, что первый раз, сделав целое количество шагов, они с папой окажутся на одинаковом расстоянии от начала пути через 3 метра, а папа не соглашается. Кто прав в этом споре?

НОК(50;70)= 350 см, а не 3 метра
Ответ: прав папа.

Заведующая хозяйством Раиса Максимовна дала поручение учителю труда Ильдару Олеговичу закупить доски, которые можно распилить на равные части и по 30 см, и по 40 см. Какой длины и сколько потребуется досок, если нужно 16 кусочков по 30 см и 12 кусочков по 40 см.

1) НОК(30; 40) = 120 (см)
2) 16:(120:30) = 4 (д.)
3) 12:(120:40) = 4 (д.)
Ответ: всего 8 досок по 120 см.

Родители Артема – люди очень интересных профессий. Мама – стюардесса, а папа – машинист скорого поезда. Мама бывает дома один раз в четыре дня, а папа – один раз в семь дней. Так получилось, что оба они 1 января 2015 года уходят в рейс. Когда Артем увидит своих родителей дома вместе?

НОК(4;7) = 28
Ответ: семья будет дома вместе 28 января.

Калькулятор определения НОД и НОК

Если что-либо осталось для вас непонятным, задавайте вопросы в комментариях.

Источник

Как найти число зная нок. Нахождение нок и нод правило

Приступим к изучению наименьшего общего кратного двух и более чисел. В разделе мы дадим определение термина, рассмотрим теорему, которая устанавливает связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем, приведем примеры решения задач.

Общие кратные – определение, примеры

В данной теме нас будет интересовать только общие кратные целых чисел, отличных от нуля.

Общее кратное целых чисел – это такое целое число, которое кратно всем данным числам. Фактически, это любое целое число, которое можно разделить на любое из данных чисел.

Определение общих кратных чисел относится к двум, трем и большему количеству целых чисел.

0 является общим кратным для любого множества целых чисел, отличных от нуля.

Для всех ли чисел можно найти НОК?

Общее кратное можно найти для любых целых чисел.

Сколько всего общих кратных могут иметь данные целые числа?

Группа целых чисел может иметь большое количество общих кратных. Фактически, их число бесконечно.

Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры

Вспомним понятие наименьшего числа из данного множества чисел, которое мы рассматривали в разделе «Сравнение целых чисел». С учетом этого понятия сформулируем определение наименьшего общего кратного, которое имеет среди всех общих кратных наибольшее практическое значение.

Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.

Не для всех групп данных чисел наименьшее общее кратное очевидно. Часто его приходится вычислять.

Связь между НОК и НОД

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель связаны между собой. Взаимосвязь между понятиями устанавливает теорема.

Установление связи между НОК и НОД позволяет находить наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель двух и более данных чисел.

Теорема имеет два важных следствия:

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо последовательно найти НОК двух чисел.

Доказать верность второй теоремы нам поможет первое следствие из первой теоремы, рассмотренной в данной теме. Рассуждения строятся по следующему алгоритму:

Так мы доказали теорему.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.

Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и Ь называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа (т.е. объединяем множители).
Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина «кратное».

Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.

Как найти наименьшее общее кратное чисел

Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.

Например, кратные числа 4 можно записать так:

Если числа большие, найти общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.

Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.

В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.

Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.

Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.

НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.

В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.

Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.

НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.

Например, НОК (10, 11) = 110.

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел. Обозначают НОД(a, b).

Рассмотрим нахождения НОД на примере двух натуральных чисел 18 и 60:

Разложим числа на простые множители:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Вычеркнуть из первого числа, множители которых нету во втором и третьем числе, получим:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

Нахождение НОД с помощью алгоритма Евклида

Алгоритм Евклида

Пример Найти наибольший общий делитель чисел 7920 и 594

Наименьшее общее кратное

Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …

Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

Как найти НОК

НОК можно найти и записать двумя способами.

Первый способ нахождения НОК

Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

Второй способ нахождения НОК

Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

24 = 2 · 2 · 2 · 3

НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

Особые случаи нахождения НОК

Например, НОК (60, 15) = 60
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.

Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа.

Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

Кратко наибольший общий делитель чисел « a » и « b » записывают так :

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

Как найти наибольший общий делитель

Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

Первый способ записи НОД

НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12

Второй способ записи НОД

На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.

Навигация по странице.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.

Наибольший общий делитель

Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b a и b делятся без остатка.

Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа, например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.

Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9, причем этот делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.

12: 1 = 12
(12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

12: 2 = 6
(12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

12: 3 = 4
(12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

12: 4 = 3
(12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

12: 5 = 2 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

12: 6 = 2
(12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

12: 7 = 1 (5 в остатке)
(12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

12: 8 = 1 (4 в остатке)
(12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

12: 9 = 1 (3 в остатке)
(12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

12: 10 = 1 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

12: 11 = 1 (1 в остатке)
(12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

12: 12 = 1
(12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9

9: 1 = 9
(9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

9: 2 = 4 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

9: 3 = 3
(9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

9: 4 = 2 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)

9: 5 = 1 (4 в остатке)
(9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)

9: 6 = 1 (3 в остатке)
(9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

9: 7 = 1 (2 в остатке)
(9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

9: 8 = 1 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

9: 9 = 1
(9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

Выписав делители, можно сразу определить, какой является наибольшим и общим.

Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

Значит НОД (12 и 9) = 3

Второй способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.

Сначала разложим оба числа на простые множители:

Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.

Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:

Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.

Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.

Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:

Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:

Значит НОД (24 и 18) = 6

Третий способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

Например, найдём НОД для чисел 28 и 16 этим способом. В первую очередь, раскладываем эти числа на простые множители:

Получили два разложения: и

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семерка. Её и вычеркнем из первого разложения:

Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

Раскладываем на множители число 100

Раскладываем на множители число 40

Получили два разложения:

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

НОД (100 и 40) = 20.

Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

Раскладываем на множители число 72

Раскладываем на множители число 128

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

НОД (72 и 128) = 8

Нахождение НОД для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

Например, найдём НОД для чисел 18, 24 и 36

Разложим на множители число 18

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

Получили три разложения:

Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все три числа:

Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

НОД (18, 24 и 36) = 6

Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих множителей этих чисел.

Разложим на множители число 12

Разложим на множители число 42

Получили четыре разложения:

Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все четыре числа:

Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:

Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, при этом оно должно быть максимально маленьким.

Из определения понятно, что НОК это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Этот НОК требуется найти.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться двумя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9. Итак, начнём. Кратные будем выделять красным цветом:

Теперь находим кратные для числа 12. Для этого, поочерёдно умножаем 12 на все числа 1 до 12.

Как найти НОК (наименьшее общее кратное)

Данный способ удобен, когда оба числа небольшие и их несложно умножать на последовательность целых чисел. Однако, бывают случаи, когда нужно найти НОК для двузначных или трехзначных чисел, а также, когда исходных чисел три или даже больше.

Шаг 2. В простых множителях числа 12 осталось только число 3. Но оно присутствует в простых множителях числа 24. Вычеркиваем число 3 из обоих рядов, при этом для числа 16 никаких действий не предполагается.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Как видим, при разложении числа 12 мы «вычеркнули» все числа. Значит нахождение НОК завершено. Осталось только вычислить его значение.
Для числа 12 берем оставшиеся множители у числа 16 (ближайшего по возрастанию)
12 * 2 * 2 = 48
Это и есть НОК

Как видим, в данном случае, нахождение НОК было несколько сложнее, но когда нужно его найти для трех и более чисел, данный способ позволяет сделать это быстрее. Впрочем, оба способа нахождения НОК являются правильными.

Источник

Нахождение НОД и НОК чисел

Первое число

Второе число

Источник

Наименьшее общее кратное (НОК) — алгоритмы и примеры определения

trong>В школьную программу по математике входит понятие наименьшее общее кратное.Каждый ученик должен понимать и уметь находить эту величину. Это поможет проводить действия с дробями, знаменатели у которых отличаются. Вычислить этот показатель можно несколькими способами на бумаге или с помощью онлайн-калькуляторов.

Базовые понятия

Для вычисления НОК (наименьшее общее кратное) необходимо разобраться с терминами и определениями. Если любое натуральное число делится на Х без остатка, это число считается кратным Х. Например, 14, 49, 63 кратны 7.

Любое число в математике может иметь бесконечное множество кратных. А вот количество делителей для него самого ограничено. У простых чисел их всего 2 — это единица и само простое число.

НОК может быть общим сразу для нескольких величин. Если какая-то из них делится без остатка сразу на 2 числа, она называется общим кратным этой пары. Например, 10 кратно одновременно 2 и 5, то есть его можно разделить нацело на 2 и на 5. Однако для 2 и 5 кратным может быть не только 10, но и другие величины — 20, 50, 100 и так далее. С математической точки зрения, важно определить меньшую из этих величин.

Наименьшее общее кратное или НОК для величин А и В — это самое маленькое число, которое одновременно делится на А и на В. То есть оно кратно сразу А и В.

Вместо переменных можно подставлять любые числа и искать для них этот показатель.

Методы нахождения

Чтобы найти НОК 2 чисел, в математике используются три способа. Каждый из них может быть применен для проведения вычислений. Если все операции совершены правильно, в результате получится один и тот же ответ при всех методах.

Первый способ

При этом способе применяется метод простого подбора. Для многих учеников он самый простой. Порядок вычисления будет такой:

Пример: необходимо найти НОК для 6 и 8. Сначала составляется ряд кратных 6. Он будет выглядеть так: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 и так далее. Для числа 8 ряд кратных будет иметь вид: 8, 16, 24, 32, 40. 48, 56, 64, 72, 80 и так далее. Если изучить оба ряда, можно обнаружить 2 одинаковых числа — 24 и 48. Меньшим из них является 24. Это и есть НОК для 6 и 8. Для проверки делят 24 на эти величины. В обоих случаях получаются целые величины без остатка.

Второй вариант

Для вычисления вторым способом нужно разложить на простые множители обе величины. Простым множителем в математике принято называть число, которое делится без остатка только на 1 и на себя.

Следующий шаг — выписываются все множители из первого ряда. Затем добавляются те цифры, которых не было в первом ряду, но были во втором. Получится цепочка из нескольких простых чисел. Их необходимо перемножить между собой, в результате чего получится НОК.

Пример: требуется найти НОК для 8 и 12. Для начала нужно разложить на простые множители 8. Получится 2, 2 и 2. Дальше раскладывается аналогичным образом число 12. Получается 2, 2 и 3. Выписываются множители из первого разложенного ряда 2х2х2. Далее добавляются цифры из второго ряда, которых нет в первом — 2х2х2х3.

После перемножения этих величин получается 24. Это и будет НОК для 12 и 8, поскольку оно делится нацело на оба числа. Фактически все действие сводится к разложению на простые множители двух величин одновременно.

Третий алгоритм

Существует еще один метод нахождения НОК. Решать примеры с его помощью можно только для двух чисел. Необходимо заранее знать наибольший общий делитель — НОД. Так принято называть самое большое число, на которое 2 какие-либо переменные делятся без остатка. Вместо переменных можно ввести конкретные данные. НОД возможно вычислить не только для 2, но и для большего количества величин. В математике это понятие принято записывать кратко НОД (х, у).

Пример: требуется рассчитать НОД для 90 и 117. При разложении на простые множители 90 получается ряд 2,3,3,5. Ту же операцию проводят с числом 117 — получается 3,3,13. Для вычисления НОД умножают общие для двух рядов множители — 3х3=9. Значит, НОД (90,117) = 9.

Часто получается, что наибольший общий делитель равняется одному из чисел. Так бывает, если на него можно разделить все остальные. Например, для 10, 20 и 30 наибольшим делителем будет 10.

Если в задаче необходимо найти одновременно НОД и НОК, применяют третий способ вычисления. Алгоритм работы следующий:

Пример: требуется найти НОД и НОК для чисел 115 и 175. Вначале вычисляется НОД. В этом случае он будет равняться 5. Затем 25 и 40 перемножают, получается 20125.

Полученный результат делят на 5, в итоге НОК 15 и 40 равно 4025.

Чтобы проверить достоверность результата, можно вычислить НОК первым или вторым методами.

Например, нужно найти НОК (25, 40).

Наибольшим делителем для них будет 5. Тогда (25х40):5 = 200.

Проверка вторым способом:

Такой же результат будет получен и при решении вторым методом.

Особые случаи

Не во всех случаях вычисление проводится стандартными способами. Существуют пары чисел с особыми свойствами, для которых найти НОК можно без громоздких вычислений.

К таким случаям относятся следующие:

Большинство учащихся быстро усваивают, как найти НОК двух чисел.

Однако некоторых вводят в растерянность ситуации, когда требуется вычислить НОК или НОД для трех или более исходных. В этом случае необходимо последовательно находить кратное для каждой пары из имеющегося ряда.

Для этих случаев в математике есть особая теорема. Если имеется числовой ряд с формулой А1, А2, А3… Ах, то НОК для всех показателей вычисляется последовательно. Вначале НОК (А1, А2), затем для А2, А3 и так далее.

Однако такой путь может оказаться довольно трудоемким.

Чтобы сэкономить время, можно воспользоваться другим методом поиска:

Применение онлайн-калькулятора

Современные технологии позволяют не рассчитывать нужные данные на бумаге. Любой пользователь может найти в интернете НОД и НОК калькулятор, работающий в онлайн-режиме. Такой онлайн-сервис особенно удобен, если нужно найти делитель и кратное для 3 и более чисел.

Чтобы получить нужные расчеты, достаточно ввести в окошки калькулятора исходные данные и выбрать НОД или НОК. Поскольку между этими понятиями существует тесная связь, обычно они вычисляются вместе. Внизу находится кнопка «найти», которую нужно нажать. Через 2−3 секунды внизу появится ответ. Кроме того, некоторые сервисы выдают не только конечные результаты, но и пошаговый порядок расчетов. Здесь же можно найти онлайн-тесты на заданную тему.

Таким образом, учащийся может понять алгоритм действий и усвоить правило при вычислении НОК онлайн. Это всегда проще сделать на практическом примере.

Источник

Наименьшее общее кратное (НОК), калькулятор

Общие кратные

Онлайн калькулятор НОК

Данный калькулятор позволяет найти, рассчитать наименьшие общие кратные чисел до ста.
В первое поле с исходным значением XX введите число, НОК которого требуется вычислить, затем введите значение во второе поле XX далее нажмите на кнопку Вычислить для того что бы калькулятор произвел расчет.

Пример

a = 72, b = 60

Общие кратные чисел 72 и 60 : 360, 720.

Схема нахождения НОК (a, b)

1. Разложить a и b на простые множители.

2. Подчеркнуть общие множители двух разложений.

Пример

a = 18 = 2 • 3 • 3;

b = 78 = 2 • 3 • 13;

НОК (18, 78) = 18 • 13 = 234.

2. Выписать все простые множители, встречающиеся в этих разложениях.

4. Перемножить полученные в п.3 множители.

Пример

a = 6 = 2 • 3;

Все простые множители: 2, 3, 5

НОК (6, 12, 25, 27) = 2 2 • 3 3 • 5 2 = 2700

Наглядная таблица кратных 3, 7, 3 и 7

Два и более чисел могут иметь общие кратные. Например, наименьшее общее кратное (НОК) 3 и 7 равно 21, т. е. произведению этих двух чисел, НОК 5 и 6 равно 30.

Наглядно кратные 3,7, а так же и 3 и 7 представлены в виде таблице ниже, также при необходимости можно сохранить ее себе на компьютер в виде картинки, чтобы иметь к ней доступ без подключения к интернету.

Источник

Математика. 5 класс

Наименьшее общее кратное (НОК)

Порядок нахождения НОК

Необходимо запомнить

Признак делимости на 3: если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3.

Признак делимости на 2: если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

Признак делимости на 5: если число оканчивается одной из цифр 0 или 5, то оно делится на 5.

Разложение на простые множители:

Число, которое раскладываем на простые множители

Делитель (простое число)

Первое правило нахождения НОК:

Второе правило нахождения НОК:

НОК любых двух простых чисел или двух соседних натуральных чисел будет равен произведению этих чисел.

Если одно из двух чисел нацело делится на другое, то НОК этих чисел равен большему из них.

Решение задачи при помощи НОК

Некоторые задачи можно решить при помощи НОК проще, чем каким-либо другим способом. Например, рассмотрим такую задачу. Девочка решила купить несколько плиток шоколада по 38 руб., но у неё только пятирублёвые монеты, а в магазине нет сдачи. Какое наименьшее количество плиток шоколада она сможет купить?

Решение. Чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК (5; 38).

Источник

Наименьшее общее кратное (НОК)

Рассмотрим решение следующей задачи. Шаг мальчика составляет 75 см, а шаг девочки 60 см. Необходимо найти наименьшее расстояние, на котором они оба сделают по целому числу шагов.

Решение. Весь путь который пройдут ребята, должен делиться без остатка на 60 и на 70, так как они должны сделать каждый целое число шагов. Другими словами, в ответе должно быть число, кратное как 75 так и 60.

Сначала будем выписывать все кратные числа, для числа 75. Получаем:

Теперь выпишем числа, которые будут кратны 60. Получаем:

Теперь находим числа которые есть в обоих рядах.

Самое наименьшее из них, это число 300. Оно в данном случае будет называться наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Возвращаясь к условию задачи, наименьшее расстояние, на котором ребята сделают целое число шагов будет 300 см. Мальчик пройдет этот путь за 4 шага, а девочке потребуется сделать 5 шагов.

Определение наименьшего общего кратного

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, не обязательно выписывть подряд все кратные для этих чисел.

Можно воспользоваться следующим методом.

Как найти наименьшее общее кратное

Сначала необходимо разложить данные числа на простые множители.

Теперь выпишем все множители которые есть в разложении первого числа (2,2,3,5) и добавим к нему все недостающие множители из разложения второго числа (5).

Получим в итоге ряд простых чисел: 2,2,3,5,5. Произведение этих чисел и будет наименьшим общим сомножителем для данных чисел. 2*2*3*5*5 = 300.

Общая схема нахождения наименьшего общего кратного

Данный способ универсален. С его помощью можно найти наименьшее общее кратное любого количества натуральных чисел.

Источник

Нахождение наиМЕНЬШЕГО общего кратного (НОК) и наиБОЛЬШЕГО общего делителя (НОД) натуральных чисел. Примерно 6-класс (11-12 лет)

Определение НОК: Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и в называют наименьшее натуральное число c, которное кратно и a, и b. Т.е. c это наименьшее натуральное число, для которого и а, и б являются делителями.

Нахождение наиМЕНЬШЕГО общего кратного (НОК) и наиБОЛЬШЕГО общего делителя НОД натуральных чисел. 6-класс (11-12 лет)

Памятка: Существуют два подхода к определению натуральных чисел

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются. Ноль некоторые авторы включают в множество натуральных чисел, другие — нет. Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N

Определение как найти НОК в общем случае: Чтобы найти НОК (Наименьшее общее кратное) нескольких натуральных чисел надо:
1) Разложить их на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)
2) Выписать множители, входящие в разложение одного из них.
3) Добавить к ним недостающие множители из разложений других чисел.
4) Перемножить множители, получившиеся в п.3).

Задача 1 (на НОК): Коля Пузатов раньше съедал булочек на 60 рублей в день. Когда у него совсем не оставалось денег, он шел к любимой мамуле и получал определенную сумму авансом на булочки. Потом Коля Пузатов подрос и стал съедать булочек на 75 рублей в день. Получив ту же сумму от мамы он обнаружил, что сдачи у него опять совсем не остается. Какую наименьшую сумму давала ему мама на булочки авансом?

Пример 1.1. решения задачи на нахождение НОК. Нахождение НОК подбором.
Решение: Эта сумма дожна делиться и на 60 рублей, и на 75 рублей без остатка.
1) Выпишем числа кратные 60: 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480
2) Выпишем числа кратные 75: 75, 150, 225, 300 Выбираем наименьшее общее кратное. Опа-на! Нашли, эта сумма = 300. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Мама дает по 300 рублей.

Пример 1.2. решения задачи на нахождение НОК. Нахождение НОК в общем случае.
Решение: Эта сумма дожна делиться и на 60 рублей, и на 75 рублей без остатка.
1)Выполним разложение 75 и 60 на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)

Определение НОД: Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а и в называют наибольшее натуральное число c, на которое и a, и b делятся без остатка. Т.е. c это нибольшее натуральное число, для которого и а и б являются кратными.

Памятка: Существуют два подхода к определению натуральных чисел

Определение как найти НОД в общем случае: Чтобы найти НОД (Наибольший общий делитель) нескольких натуральных чисел надо:
1) Разложить их на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)
2) Выписать множители, входящие в разложение одного из них.
3) Вычеркнуть те, которые не входят в разложение остальных чисел.
4) Перемножить множители, получившиеся в п.3).

Задача 2 на (НОК): К новому году Коля Пузатов купил в городе 48 хомяков и 36 кофейников. Фекла Дормидонтова, как самая честная девочка класса, получила задание разделить это имущество на наибольшее возможное число подарочных наборов для учителей. Какое число наборов получилось? Какой состав наборов?

Пример 2.1. решения задачи на нахождение НОД. Нахождение НОД подбором.
Решение: Каждое из чисел и 48, и 36 должно делиться на число подарков.
1) Выпишем делители 48: 48, 24, 16, 12, 8, 6, 3, 2, 1
2) Выпишем делители 36: 36, 18, 12, 9, 6, 3, 2, 1 Выбираем наибольший общий делитель. Оп-ля-ля! Нашли, это число наборов 12 штук.
3) Поделим 48 на 12 получим 4, поделим 36 на 12, получим 3. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Получится 12 наборов по 4 хомяка и 3 кофейника в каждом наборе.

Пример 2.2. решения задачи на НОД. Нахождение НОД в общем случае.
Решение: Каждое из чисел и 48, и 36 должно делиться на число подарков.
1)Выполним разложение 48 и 36 на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)

Источник

Наименьшее общее кратное

Вы будете перенаправлены на Автор24

Общие кратные

Целые числа, которые кратны двум числам, являются общими кратными этих чисел.

Проще говоря, любое целое число, которое делится на каждое из данных чисел, является общим кратным данных целых чисел.

Можно находить общее кратное двух и большего количества целых чисел.

Нуль является общим кратным любого количества ненулевых целых чисел.

Согласно свойствам делимости, если некоторое число является общим кратным нескольких чисел, то и противоположное по знаку число также будет общим кратным заданных чисел. Это видно из рассмотренного примера.

Для заданных целых чисел всегда можно найти их общее кратное.

Готовые работы на аналогичную тему

Любой набор целых чисел имеет бесконечное множество общих кратных.

На практике ограничиваются нахождением общих кратных только целых положительных (натуральных) чисел, т.к. множества кратных данного числа и ему противоположного совпадают.

Определение наименьшего общего кратного

Наиболее часто из всех кратных заданных чисел используют наименьшее общее кратное (НОК).

Наименьшее положительное общее кратное заданных целых чисел является наименьшим общим кратным этих чисел.

Нахождение НОК через НОД

Т.к. существует связь между НОК и НОД, с ее помощью можно вычислить НОК двух целых положительных чисел:

Воспользуемся формулой для нахождения НОК через НОД:

Таким образом, можно сформулировать правило:

Если одно целое число делится на другое целое число, то оно будет являться НОК этих чисел.

Нахождение НОК через разложение чисел на простые множители

Правило нахождения НОК через разложение чисел на простые множители следует из формулы для нахождения НОК через НОД:

Для нахождения НОК заданных чисел необходимо записать произведение всех их простых множителей, затем исключить из этого произведения все общие простые множители, которые присутствуют в разложениях заданных чисел. Полученное произведение будет представлять НОК заданных чисел.

$48=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$

$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$

$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=240$

Нужны еще материалы по теме статьи?

Воспользуйся новым поиском!

Найди больше статей и в один клик создай свой список литературы по ГОСТу

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 08.06.2022

Источник

Наименьшее общее кратное чисел: правило как найти и пример задачи с применение НОК

Перед изучением дробей в школьной программе 5 класса по математике изучают тему наименьшего общего кратного, или сокращенно НОК. В рамках наших статей мы даем не только определение и правила нахождения подобных вещей, но и обязательно на практических примерах показываем где это можно применить.

Итак, давайте начнем с понятия. Что такое НОК? Наименьшее общее кратное чисел X и Y равно наименьшему целому числу, на которое делится без остатка эти самые X и Y.

Найдите наименьшее общее кратное чисел перед операцией сложения или вычитания дробей

Материал вычисления НОК в курсе школьной программы 5 класса не просто так дается перед изучением дробей. Дело в том, что таких операциях с дробями как сложение или вычитание необходимо каждое дробное число привести в общему знаменателю.

Для простоты усвоения материала начнем определять НОК для пары целых натуральных чисел в пределах таблицы умножения. К примеру, есть два числа 6 и 16. Если действовать методом подбора, то можно легко найти наименьшее число, на которое делятся 6 и 16. Это число будет равняться 48. Однако, такой метод подбора касается только простых чисел. А что если необходимо найти НОК для чисел за рамками таблицы умножения. Оказывается в таких случаях есть методика нахождения.

Правило нахождения НОК

Правило нахождения наименьшего общего кратного ряда чисел можно представить в виде следующего алгоритма:

В качестве примера вычисления НОК по данному правилу возьмем два числа 14 и 16.

16 = 2 x 2 x 4 = 2 2 x 4
20 = 2 x 2 x 5 = 2 2 x 5

НОК = 2 2 x 4 x 5 = 80

Ну и традиционно перейдем к практическому применению нахождения НОК.

Задача с применением НОК

Из Автовокзала в Севастополе одновременно отходят два автобуса по разным маршрутам. Первой автобус Мерседес путь в Краснодар и обратно проедет за 16 часов, а второй автобус Икарус в Анапу и обратно проедет маршрут за 20 часов. Время на остановки в пунктах отправления и прибытия одинаковое и уже включено в условные 16 и 20 часов. Условия их следование непрерывное.

Решение. Выезжая из Севастополя два автобуса следуют по разным маршрутам и вернуться в точку отправления в разное время. Когда автобус Икарус вернется из Анапы, автобус Мерседес уже второй раз выйдет из Севастополя и будет снова в пути. Эти автобусы с какой-то периодичностью во времени встретятся снова в Севастополе. И для того, чтобы узнать через какой время они встретятся необходимо найти наименьшее общее кратное. Воспользовавшись правилом вычисления НОК, приведенным выше, мы получаем время их встречи через 80 часов.

Вот мы снова убедились, что подобное правило имеет право на практическое применение в жизни. Если у вас есть свои практические задачи на нахождения НОК, то вы их можете оставить в комментариях и мы их включим обязательно в публикацию.

Источник

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

В этом уроке мы поговорим о том как вычислять НОД и НОК. Дело в том, что элементарные арифметические вычисления должен уметь делать любой программист, так как алгоритм вычисления можно встретить во многих программах. Тем более вы их уже должны знать, если вы учились в школе 5 классе.

Наибольший общий делитель. НОД.

Для нахождения общего делителя вам нужно знать следующее:

Запомните: наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел – это наибольшее целое число, на которое делятся оба исходных числа без остатка. Однако одно из исходных чисел должно быть большее нуля.
Запомните: если у вас одно из двух чисел ноль, то НОД будет, то число что больше ноля.
Запомните: существует понятие взаимно-простых чисел, у которого нет общих делителей, кроме единицы. К примеру число 5 и 4, НОД этих чисел будет равен 1, так как если 5 разделить на 4 вы не получите целое число без остатка, следовательно НОД=1

Все остальные числа, у которых НОД больше 1, вычисляются по принципу бинарного алгоритма или с помощью алгоритма Евклида. В этой статье мы подробно разберем алгоритм Евклида, который еще называют взаимным вычитанием, поскольку НОД получается при последовательном вычитании меньшего из большего. Используем алгоритм Евклида в нашем примере НОД(12, 30). По алгоритму Евклида нам надо вычесть из большее меньшее, то есть из 30-12-12=6 В числе 30 у нас может поместиться число 12 только два раза, число 12 называют кратным, и остатком останется число 6. Теперь нам надо из числа 30 отнять кратное числа 6, которое у нас получилось, 30-6-6-6-6-6=5 НОД числа 12 и 30 будет равен 6. Так как нам надо найти именно наибольший делитель в нашем случаи 6 больше 5, следовательно НОД(12,30)=6. Как видите ничего сложного, теперь давайте составим блок схему.

Блок-схема «Алгоритм Евклида»

Наименьшее общее кратное(НОК).

В целом ничего сложного, главное не запутаться, сейчас мы нарисуем блок схему наименьшего общего кратного (НОК).

Блок схема Наименьшего общего кратного (НОК)

рис 3.

Алгоритм работы программы описан вначале, статьи о НОК.

Но как же быть если нам надо к примеру найти НОД трех и более натуральных чисел, или найти НОК трех или более натуральных чисел. Тут ничего сложного инструкцию по нахождению НОД из 3 чисел и НОК смотрим ниже.

Разберем по подробнее работу программы блок схемы из рис. 4.

Пока писал статью, написал программу НОК и НОД вычисления, которую можете скачать с сайта. Работа программы очень простая, достаточно в текстовое поле вписать цифры через пробел или запятую, нажать на кнопку вычислить или Enter и программа выведет результат. Программа написана на языке java. Может запускаться со всех систем.

Источник

Алгоритм нахождения НОД и НОК натуральных чисел

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

3) найти произведение оставшихся множителей.

Пример. Найдем НОД (48;36). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 48 и 36 на простые множители.

2. Из множителей, входящих в разложение числа 48 вычеркнем те, которые не входят в разложение числа 36.

Остаются множители 2, 2 и 3.

3. Перемножим оставшиеся множители и получим 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

НОД (48;36) = 2 · 2 · 3 = 12.

Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

4) найти произведение получившихся множителей.

Пример. Найдем НОК (75;60). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители.

2. Выпишем множители, входящие в разложение числа 75: 3, 5, 5.

3. Добавим к ним недостающие множители из разложения числа 60, т.е. 2, 2.

4. Найдем произведение получившихся множителей

Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

3) найти произведение оставшихся множителей.

Пример. Найдем НОД (48;36). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 48 и 36 на простые множители.

2. Из множителей, входящих в разложение числа 48 вычеркнем те, которые не входят в разложение числа 36.

Остаются множители 2, 2 и 3.

3. Перемножим оставшиеся множители и получим 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

НОД (48;36) = 2 · 2 · 3 = 12.

Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

4) найти произведение получившихся множителей.

Пример. Найдем НОК (75;60). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители.

2. Выпишем множители, входящие в разложение числа 75: 3, 5, 5.

3. Добавим к ним недостающие множители из разложения числа 60, т.е. 2, 2.

4. Найдем произведение получившихся множителей

Курс повышения квалификации

Профессиональные компетенции педагога в рамках Федерального закона «Об образовании в Российской Федерации» №273-ФЗ от 29.12.2012

Курс повышения квалификации

Современные педтехнологии в деятельности учителя

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

«Домашнее обучение. Лайфхаки для родителей»

Учебные задания в аспекте функциональной грамотности школьников в новом учебном году

Открытая сессия для педагогов и родителей

Акция до 31 августа

«Начало учебного года современного учителя»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Стань разработчиком и получи гарантированную стажировку уже на втором курсе!

Поступление на базе 11 классов

Дистанционные курсы для педагогов

Видеолекции для
профессионалов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 899 052 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Математика», Зубарева И.И., Мордкович А.Г.

Глава 3. Делимость натуральных чисел

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Настоящий материал опубликован пользователем Анисимова Марина Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 490 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Стань разработчиком и получи гарантированную стажировку уже на втором курсе!

Поступление на базе 11 классов

«Особенности возрастного подхода к социализации воспитанников и обучающихся в условиях современной информационной среды»

«Арт-терапия, песочная терапия, метафорические карты как методы профилактики эмоционального выгорания»

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Наименьшее общее кратное НОК.

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

— число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

— число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).

НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.

— Коммутативность:

— Ассоциативность:

— Связь с наибольшим общим делителем gcd(a,b):

— В частности, если и — взаимно-простые числа, то:

— при

— Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n. Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n).

— Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.

Так, функция Чебышёва . А также:

— .

Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n).

— , что следует из закона распределения простых чисел.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

НОК(a, b) можно вычислить несколькими способами:

1. Если известен наибольший общий делитель, можно использовать его связь с НОК:

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

где p₁. p_k — различные простые числа, а d₁. d_k и e₁. e_k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).

Тогда НОК (a,b) вычисляется по формуле:

Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b, причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:

— разложить числа на простые множители;

— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;

— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300. ), которому кратны все заданные числа.

Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

Правило. Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

Еще один вариант:

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

2) записать степени всех простых множителей:

3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;

4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5) перемножить эти степени.

Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:

Источник

Алгоритмы вычисления НОД и НОК

Алгоритмы вычисления наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД) описаны в одной теме, т.к. для эффективного вычисления НОК нужно вычислить НОД.

1 Алгоритм расчета наибольшего общего делителя

В школе нас учили искать НОД разложением на простые множители, однако такая задача крайне тяжело решается на компьютере, зато мы можем заставить его перебрать все числа от min(a, b) до единицы и проверить условие делимости, однако и это не самый эффективный способ.

Люди, интересующиеся алгоритмами, сразу вспомнять алгоритм Евклида, однако, на мой взгляд, нет смысла зубрить алгоритмы — наиболее ценно их понимание и способность разработать нечто аналогичное. Для этого я предлагаю пытаться визуализировать задачу.

Целое число — это количество чего-либо неделимого. На следующей картинке два числа показаны в виде прямоугольников, под значением числа можно понимать количество «блоков в прямоугольнике». Показано схематично (я не пытался рисовать точно).

В физической интерпретации — замените блоки на кирпичи. НОД — размер кузова грузовика, такой что им можно перевезти все кирпичи, наполняя каждый раз кузов доверху.

Эффективный алгоритм расчета НОД строится на следующих наблюдениях (постарайтесь их «почувствовать»):

Из второго пункта следует идея следующего алгоритма поиска НОД: Отнимать от большего меньшее, пока числа не станут равны. Полученное число и является наибольшим общим делителем. Такой алгоритм будет работать значительно быстрее чем полный перебор, но и его можно улучшить — посмотрим визуализацию (исходное состояние показано выше):

Действие	Иллюстрация
Вычитаем из большего меньшее.
Новое исходное состояние (можно повторить предыдущий шаг)
Вычитаем из большего меньшее.
Новое исходное состояние. На этот раз можно многократно вычитать число A из числа B (отношение порядка между ними не изменится).

В какой-то момент числа окажутся равны и мы получим результат. Этот момент обязательно настанет — в крайнем случае когда оба числа станут равны единице (потому что это ей кратны любые целые числа).

Из последней иллюстрации видно, что многократное вычитание можно заменить на получение остатка от деления (об этом же говорит третье «наблюдение»). Тогда алгоритм можно записать на псевдокоде следующим образом:

Тут mod — операция получения остатка от деления.

2 Алгоритм расчета наименьшего общего кратного

Наименьшее общее кратное двух целых чисел A и B есть наименьшее натуральное число, которое делится на A и B без остатка.

Источник

Наименьшее общее кратное

Наиме́ньшее о́бщее кра́тное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка. Обозначается одним из следующих способов:

Пример: НОК(16, 20) = 80.

Наименьшее общее кратное для нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

Одно из наиболее частых применений НОК — приведение дробей к общему знаменателю.

Содержание

Свойства

Нахождение НОК

НОК(a, b) можно вычислить несколькими способами.

1. Если известен наибольший общий делитель, можно использовать его связь с НОК:

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

где — различные простые числа, а и — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОК(a,b) вычисляется по формуле:

См. также

Литература

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Наименьшее общее кратное» в других словарях:

НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ — наименьшее из целых положительных чисел, делящихся без остатка на каждое из данных целых чисел. Напр., наименьшее общее кратное 2, 3 и 4 есть 12 … Большой Энциклопедический словарь

наименьшее общее кратное — HOK — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации Синонимы HOK EN least common multipleLCM … Справочник технического переводчика

наименьшее общее кратное — наименьшее из целых положительных чисел, делящихся без остатка на каждое из данных целых чисел. Например, наименьшее общее кратное 2, 3 и 4 есть 12. * * * НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ, наименьшее из целых положительных чисел … Энциклопедический словарь

наименьшее общее кратное (НОК) — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN least common multipleLCM … Справочник технического переводчика

НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ — наименьшее из целых положит. чисел, делящихся без остатка на каждое из данных целых чисел. Напр., Н. о. к. 2, 3 и 4 есть 12 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Наименьшее общее кратное — двух или нескольких натуральных чисел наименьшее, делящееся на каждое из них, положительное число. Например, Н. о. к. чисел 2 и 3 есть 6, чисел 6, 8, 9, 15 и 20 есть 360. Н. о. к. пользуются при сложении и вычитании дробей: наименьшим… … Большая советская энциклопедия

КРАТНОЕ — число, делящееся на данное целое число без остатка, напр. 12 кратно 3. Общее кратное нескольких целых чисел число, делящееся на каждое из них в отдельности, напр. 180 общее кратное чисел 30, 18, 2. При арифметических действиях особое значение… … Большой Энциклопедический словарь

кратное — ого; ср. Целое число, делящееся на данное без остатка. Шесть к. чисел два и три. Наименьшее общее к. нескольких чисел. * * * кратное число, делящееся на данное целое число без остатка, например 12 кратно 3. Общее кратное нескольких целых чисел … … Энциклопедический словарь

Источник

Что такое НОД

Наибольшим общим делителем (НОД) двух чисел называется наибольшее число, на которое будут делится оба числа без остатка.

Обозначение: НОД(А; В).

Это простой пример. А как быть с большими числами, для которых надо отыскать НОД?

ПРИМЕР. Найдем НОД чисел 81 и 45.

В тех случаях, когда у двух чисел нет одинаковых простых множителей, единственным натуральным числом, на которое нацело будут делиться такие числа будет 1. НОД таких чисел = 1. Например: НОД (7;15) = 1.

Что такое НОК

Число А называют кратным числу В, если А делится на В без остатка (нацело). Например, 10 делится нацело на 5, поэтому, 10 кратно 5; 11 не делится нацело на 5, поэтому, 11 не кратно 5.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух натуральных чисел называется наименьшее число, кратное этим двум числам.

Обозначение: НОК(А; В).

Правило отыскания НОК:

ПРИМЕР. Найдем НОК чисел 81 и 45.

405 является наименьшим кратным для чисел 81 и 45: 405/81 = 5; 405/45 = 9.

Если у двух чисел нет одинаковых простых множителей, то НОК для таких чисел будет равен произведению этих чисел.

Если вам понравился сайт, будем благодарны за его популяризацию 🙂 Расскажите о нас друзьям на форуме, в блоге, сообществе. Это наша кнопочка:

Код кнопки:
Политика конфиденциальности Об авторе

Источник

Мерзляк 6 класс — § 6. Наименьшее общее кратное

Вопросы к параграфу

1. Какое число называют наименьшим общим кратным двух чисел?

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это число, которое делится нацело на каждое из этих двух чисел и, при этом, является наименьшим из всех чисел, удовлетворяющих данному условию.

2. Как можно найти НОК двух натуральных чисел, используя их разложения на простые множители?

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) надо:

Полученное число и будет НОК двух данных чисел.

Например найдём наименьшее общее кратное для чисел 45 и 24, используя данное правило:

1. Разложим оба числа на простые множители и представить его в виде произведения степеней.

2. Выбрать степени, основания которых встречаются только в одном из разложений заданных чисел на простые множители.

3. Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степень с наибольшим показателем.

4. Перемножить выбранные степени.

Значит наименьшее общее кратное чисел 45 и 24 равно 360.

Ответ: НОК (45, 24) = 360.

3. Чему равно наименьшее общее кратное двух чисел, одно из которых является делителем другого?

Если из двух чисел одно является делителем другого, то наименьшее общее кратное (НОК) равно большему числу.

4. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению.

Решаем устно

1. Назовите какое-либо трёхзначное число, которое:

1) делится нацело на 3, но не делится нацело на 9

111, 273 и т.д. — сумма чисел такого числа должна делиться на 3, но не должна делиться на 9.

2) делится нацело на 9 и на 2

180, 324, 162 — это должно быть чётное число, сумма цифр которого делится нацело на 9.

3) делится нацело на 9 и на 5

450, 315 — это должно быть число, оканчивающееся на 0 или на 5, при этом сумма его цифр должна делиться на 9.

4) делится нацело на 3 и на 4

600, 228, 516 — это должно быть число оканчивающееся на 00 или на двузначное число, которое делится на 4, при этом сумма чисел этого числа должна делиться на 3.

5) делится нацело на 9, а при делении на 10 даёт остаток 7.

927, 657 — это должно быть число, сумма чисел которого делиться нацело на 9, а само число оканчивается на цифру 7.

2. Назовите три общих кратных чисел:

1) 2 и 3

Кратными и числа 2, и числа 3, являются числа: 6, 12, 18 и т.д.

2) 4 и 6

3) 5 и 10

Кратными и числа 5, и числа 10, являются числа: 10, 20, 30 и т.д.

3. Используя цифры 0, 2, 3 и 4, составьте наименьшее и наибольшее четырёхзначные числа, кратные 5. Можно ли утверждать, что полученные числа кратны 15?

4. В парке посадили каштаны и дубы, причём на каждый каштан приходилось три дуба. Сколько всего деревьев посадили в парке, если дубов посадили 24?

1) 24 : 3 = 8 (шт) — каштанов посадили в парке.

2) 24 + 8 = 32 (шт) — деревьев посадили в парке.

Ответ: 32 дерева.

Упражнения

163. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

164. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

165. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и b:

1) и

НОД (a, b) =

НОК (a, b) =

2) и

НОД (a, b) =

НОК (a, b) =

166. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и b:

1) и

НОД (a, b) =

НОК (a, b) =

2) и

НОД (a, b) =

НОК (a, b) =

167. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

168. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

169. Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей:

1) и

Знаменатель первой дроби равен 12, а второй — 15. Значит надо найти НОК (12, 15):

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 60.

2) и

Знаменатель первой дроби равен 100, а второй — 125. Значит надо найти НОК (100, 125):

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 600.

170. Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей:

1) и

Знаменатель первой дроби равен 9, а второй — 6. Значит надо найти НОК (9, 6):

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 18.

2) и

Знаменатель первой дроби равен 20, а второй — 25. Значит надо найти НОК (20, 25):

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 100.

171. Найдите наименьшее общее кратное:

1) первых пяти натуральных чисел

Первые пять натуральных чисел — это 1, 2, 3, 4, 5. Разложим их на простые множители:

НОК (1, 2, 3, 4, 5) = 2² • 3 • 5 = 4 • 15 = 60

2) первых пяти нечётных чисел

Первые пять нечётных чисел — это 1, 3, 5, 7, 9. Разложим их на простые множители:

НОК (1, 3, 5, 7, 9) = 3² • 5 • 7 = 9 • 35 = 315

3) первых пяти простых чисел

Первые пять простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11. Мы знаем, что единственным простым множителем простого числа является само это число. Значит:

НОК (2, 3, 5, 7, 11) = 2 • 3 • 5 • 7 • 11= 2 310

172. Найдите наименьшее общее кратное:

1) первых пяти чётных чисел

Первые пять чётных чисел — это 2, 4, 6, 8, 10. Разложим их на простые множители:

НОК (2, 4, 6, 8, 10) = 2³ • 3 • 5 = 8 • 15 = 120

2) первых четырёх составных чисел

Первые четыре составные числа — это 4, 6, 8, 9. Разложим их на простые множители:

НОК (4, 6, 8, 9) = 2³ • 3² = 8 • 9 = 72

173. Длина шага Чебурашки равна 15 см, а крокодила Гены — 50 см. Какое наименьшее одинаковое расстояние должен пройти каждый из них, чтобы они оба сделали по целому числу шагов?

Для того, чтобы найти нужное расстояние, надо найти число, которое делится и на 15, и на 50 — НОК (15, 50). Разложим эти числа на простые множители:

НОК (15, 50) = 2 • 3 • 5² = 6 •25 = 150.

Значит Чебурашке и крокодилу Гене надо пройти 150 см.

174. С одного места в одном направлении но велотреку одновременно стартовали два велосипедиста. Один из них делает круг за 1 мин, а другой — за 45 с. Через какое наименьшее количество минут после начала движения они вновь окажутся н месте старта? Сколько кругов по велотреку при этом сделает каждый из них?

1 минута = 60 секунд

Значит они вновь окажутся вместе через 180 секунд.

Найдём, сколько кругов по велотреку сделает каждый из велосипедистов:

Ответ: они встретятся через 180 секунд, первый велосипедист сделает 3 круга, а второй — 4 круга.

175. Дима п Петя отправились в поход из одного пункта в одном направлении. Петя делал остановку для отдыха через каждые 2 400 м, а Дима — через каждые 2 800 м. На каком наименьшем расстоянии от пункта отправления места их остановок совпадут?

Значит места их остановок совпадут через 16 800 м от пункта отправления.

Ответ: через 16 800 м.

176. В ящике лежит меньше 80 мандаринов. Известно, что их можно разделить поровну менаду двумя, тремя или пятью детьми, но нельзя разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько мандаринов лежит в ящике?

1) Найдём наименьшее общее кратное для чисел 2, 3 и 5.

Мы знаем, что все эти числа простые. Значит:

НОК (2, 3, 5) = 2 • 3 • 5 = 6 • 5 = 30.

3) Так как кратными числам 2, 3 и 5 будут все числа, кратные 30, то в ящике могло бы также лежать и 60 мандаринов (60

Значит у данной задачи может быть единственный ответ: в ящике лежит 30 мандаринов.

Ответ: 30 мандаринов.

177. Саша ходит в бассейн один раз в три дня. Коля — раз в четыре дня, Петя — раз в пять дней. Мальчики встретились в бассейне во вторник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся в следующий раз?

1) Найдём наименьшее общее кратное для чисел 3, 4 и 5, а для этого разложим их на простые множители:

НОК (2, 4, 5) = 3 • 2² • 5= 15 • 4 = 60.

2) Каждая неделя содержит в себе 7 дней. Найдём, сколько целых недель и ещё дней пройдёт до новой встречи мальчиков:

Значит до новой встречи пройдёт ровно 8 недель и ещё 4 дня.

3) Ровно 7 недель после вторника закончатся в понедельник, а ещё 4 дня — это:

Значит новая встреча мальчиков произойдёт в пятницу.

Ответ: мальчики встретятся через 60 дней, встреча произойдёт в пятницу.

178. Готовя подарки к Новому году, члены родительского комитета 6 класса увидели, что имеющиеся конфеты можно разложить поровну по 15 штук или по 20 штук в один подарок. Сколько было конфет, если известно, что их было больше 600 и меньше 700?

1) Найдём наименьшее общее кратное для чисел 15 и 20.

Значит минимально возможное количество конфет — 60 шт.

2) Мы знаем, что конфет было больше 600 и меньше 700. Число 60 не входит в этот диапазон. Значит надо найти число, которое будет кратно 60 и будет удовлетворять данному условию. Перечислим числа, кратные 60:

Из всех чисел только одно число больше 600 и меньше 700. Это число 660.

Ответ: было 660 конфет.

Упражнения для повторения

179. Если к данному числу прибавить 2, то полученное число будет кратно 5. Чему равен остаток от деления данного числа на 5?

Для того, чтобы число было кратно 5, надо чтобы оно оканчивалось на цифру 0 или на цифру 5.

Значит данное число должно оканчиваться либо на 3, либо на 8. Например:

Если число данное число оканчивается на 3, то при делении его на 5 остаток будет равен 3. Например:

Если число оканчивается на 8, то при делении его на 5 остаток также будет равен 3:

Значит, какое бы заданное число, удовлетворяющее условию, мы не делили на 5, в остатке всегда будет получиться число 3.

180. Белый аист пролетел 48 км со скоростью 40 км/ч. Сколько взмахов крыльями сделал при этом аист, если каждую секунду он делает два взмаха?

1) 48 : 40 = 1,2 (часа) — потребуется аисту для того, чтобы пролететь 48 км.

1,2 часа = 1,2 • 3 600 = 4 320 секунды.

3) 4 320 • 2 = 8 640 (шт) — взмахов сделает аист за это время.

Ответ: 8 640 взмахов.

181. Для производства 1 т бумаги необходимо использовать 6,3 м³ древесины или 1 400 кг макулатуры. Учащиеся одной школы собрали 2 100 кг макулатуры. Сколько кубических метров древесины можно сэкономить, использовав для производства бумаги собранную школьниками макулатуру?

1) 2 100 : 1 400 = 1,5 (раза) — собрали макулатуры больше, чем требуется на 1 тонну бумаги.

2) 6,3 • 1,5 = 9,45 (м³) — древесины потребовалось бы для производства такого юе количества бумаги, как из собранной макулатуры.

3) 9,45 — 6,3 = 3,15 (м³) — можно сэкономить.

Ответ: можно сэкономить 3,15 м³ древесины.

182. Останкинская телебашня в Москве является самой высокой в Европе отдельно стоящей конструкцией. Высота Эйфелевой башни (г. Париж, Франция) вместе с антенной равна 324 м, что составляет высоты Останкинской телебашни. Останкинская телебашня состоит из железобетонной основы и металлической части, которая короче железобетонной основы на 230 м. Какова высота железобетонной основы?

1) 324 : 3 • 5 = 108 • 5 = 540 (м) — высота Останкинской телебашни в Москве.

2) Пусть х метром составляет железобетонная основа Останкинской башни. Тогда (х — 230) м — составляет металлическая конструкция. Составим уравнение:

х + (х — 230) = 540
2х — 230 = 540
2х = 770
х = 770 : 2
х = 385 (м) — составляет железобетонная основа Останкинской башни.

Готовимся к изучению новой темы

183. 1) В коробке лежит 14 шаров, из которых 5 — синего цвета. Какую

часть всех шаров составляют синие?

часть всех шаров составляют синие шары.

Ответ: часть.

2) В коробке лежит 14 шаров, из которых составляют шары красного цвета. Сколько красных шаров в коробке?

1) 14 : 7 • 3 = 2 • 3 = 6 (шт) — красные шары в коробке.

3) В коробке лежат шары, 6 из которых белого цвета. Сколько всего шаров в коробке, если белые составляют всех шаров?

1) 6 : 3 • 7 = 2 • 7 = 14 (шт) — всего шаров в коробке.

184. Укажите, какие из дробей :

1) правильные

Правильные дроби — это дроби, у которых числитель меньше знаменателя:

2) неправильные

Неправильные дроби — это дроби, у которых числитель больше или равен знаменателю.

Неправильные дроби преобразуйте в смешанные числа.

, так как 12 : 7 = 1 (ост. 5);

, так как 15 : 13 = 1 (ост. 2);

, так как 374 : 10 = 37 (ост. 4);

, так как 53 : 8 = 6 (ост. 5);

, так как 72 : 71 = 1 (ост. 1).

185. Начертите координатный луч, взяв за единичный такой отрезок, длина которого в 6 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче точки, соответствующие числам:

Задача от мудрой совы

186. На чудо-дереве садовник вырастил 85 бананов и 70 апельсинов. Каждый день он срывает два плода, и сразу на дереве вырастает один новый. Если садовник срывает два одинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если два разных — то банан. Каким окажется последний фрукт на этом дереве?

Мы знаем, что изначально было нечётное количество бананов и чётное количество апельсинов. Рассмотрим разные варианты развития событий:

Сорвал	Выросло	Осталось
1 банан + 1 апельсин	1 банан	бананы — столько же — нечётное число апельсины — на 1 меньше
2 банана	1 апельсин	бананы — на 2 меньше — нечётное число апельсины — на 1 больше
2 апельсина	1 апельсин	бананы — столько же — нечётное число апельсины — на 1 меньше

Мы видим, что сколько бы фруктов не срывал садовник, бананов всегда остаётся нечётное число. Это значит, что последним фруктом (остался только 1) на дереве может быть только банан.

Источник