Объём конуса выражается такой же формулой, что и объём пирамиды: V = 1 /3 Sh,
где V — объём конуса, S — площадь основания конуса, h — его высота.
Окончательно V = 1 /3 πR 2 h, где R — радиус основания конуса.
Получение формулы объёма конуса можно пояснить таким рассуждением:
Пусть дан конус (рис). Впишем в него правильную пирамиду, т. е. построим внутри конуса такую пирамиду, вершина которой совпадает с вершиной конуса, а основанием служит правильный многоугольник, вписанный в основание конуса.
Объём этой пирамиды выразится формулой: V’ = 1 /3 S’h, где V — объём пирамиды,
S’ — площадь её основания, h — высота пирамиды.
Если при этом за основание пирамиды взять многоугольник с очень большим числом сторон, то площадь основания пирамиды будет весьма мало отличаться от площади круга, а объём пирамиды — весьма мало отличаться от объёма конуса. Если, пренебречь этими различиями в размерах, то объём конуса выразится следующей формулой:
V = 1 /3 Sh, где V — объём конуса, S — площадь основания конуса, h — высота конуса.
Примечание. В формуле V = 1 /3 Sh поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах средней школы доказывается, что равенство
V = 1 /3 Sh точное, а не приближённое.
Объем произвольного конуса
Теорема. Объем произвольного конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т.е.
где Q — площадь основания, а Н — высота конуса.
Рассмотрим конус с вершиной S и основанием Ф (рис.).
Пусть площадь основания Ф равна Q, а высота конуса равна Н. Тогда существуют последовательности многоугольников Фn и Ф’n с площадями Qn и Q’n таких, что
Очевидно, что пирамида с вершиной S и основанием Ф’n будет вписанной в данный конус, а пирамида с вершиной S и основанием Фn — описанной около конуса.
Объемы этих пирамид соответственно равны
то формула (1) доказана.
Следствие.Объем конуса, основанием которого является эллипс с полуосями а и b, вычисляется по формуле
В частности, объем конуса, основанием которого является круг радиуса R, вычисляется по формуле
V = 1 /3 π R 2 H (3)
где Н — высота конуса.
Как известно, площадь эллипса с полуосями а и b равна π ab, и поэтому формула (2) получается из (1) при Q = π ab. Если а = b = R, то получается формула (3).
Объем прямого кругового конуса
Теорема 1. Объем прямого кругового конуса с высотой Н и радиусом основания R вычисляется по формуле
Данный конус можно рассматривать как тело, полученное вращением треугольника с вершинами в точках О(0; 0),В(Н; 0), А(Н; R) вокруг оси Ох (рис.).
Треугольник ОАВ является криволинейной трапецией, соответствующей функции
у = R /Hх, х ∈ [0; H]. Поэтому, используя известную формулу, получаем
Следствие.Объем прямого кругового конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т. е.
где Q — площадь основания, а H — высота конуса.
Теорема 2. Объем усеченного конуса с радиусами оснований r и R и высотой H вычисляется по формуле
Усеченный конус можно получить вращением вокруг оси Ох трапеции О ABC (рис.).
Прямая АВ проходит через точки (0; r) и (H; R), поэтому она имеет уравнение
Для вычисления интеграла сделаем замену
Очевидно, когда х изменяется в пределах от 0 до H, переменная и изменяется от r до R, и поэтому
C помощью нашего Онлайн-калькулятора для расчета объема конуса Вы можете быстро и точно рассчитать объем конуса. Для того, чтобы вычислить объем конуса, сначала выберите формулу, по которой Вы собираетесь произвести расчет. Объем конуса (в зависимости от исходных данных) можно вычислить двумя способами: 1. через высоту и радиус основания; 2. через высоту и площадь основания. Затем введите значения исходных данных для расчета (значение высоты конуса, значение радиуса основания конуса (или значение площади основания конуса) и нажмите кнопку «Рассчитать». Также Вы можете указать точность полученного результата, т.е. количество знаков после запятой, до которого будет округлен рассчитанный объем конуса.
Конус – это геометрическое тело, которое образуется при вращение прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Такой конус также еще называется – прямой круговой конус.
Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называют также конусом вращения.
Связанные определения для конуса
Образующая конуса. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
Образующая поверхность конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса.
Коническая поверхность. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
Высота конуса (H). Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
Прямой конус. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
Прямой круговой конус. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
Эллиптическим конус. Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
Усечённый конус. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.
Объем прямого углового конуса
Первый способ вычисления объема конуса
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту
Второй способ вычисления объема конуса
Объем конуса равен одной трети произведения числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.
\[ \LARGE V = \frac <3>\pi r^2 \]
Калькулятор объема конуса
Объем усеченного конуса
Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом.
Первый способ вычисления объема усеченного конуса
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
\[ \LARGE V = \frac<1> <3>\left( H\cdot S_2 + h \cdot s_1 \right) \]
Второй способ вычисления объема усеченного конуса
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
\[ \LARGE V = \frac<1> <3>\pi h \left( R^2 + R \cdot r + r^2 \right) \]
Используя этот онлайн калькулятор для вычисления объема конуса, вы сможете очень просто и быстро найти объем конуса, зная значения его высоты и радиуса основания или высоты и площади основания.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления объема конуса, вы получите детальное решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный материал.
Найти объем конуса
Выберите известные величины:
Введите данные:
R
=
h
=
Ввод данных в калькулятор для вычисления объема конуса
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
N.B. В онлайн калькуляте можно использовать величины в однаквых единицах измерения!
Если у вас возниели трудности с преобразованием единиц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины, конвертером единиц площади и конвертером единиц объема.
Дополнительные возможности калькулятора для вычисления объема конуса
Как выглядит формула нахождения объёма конуса? Объяснение формулы
Содержание:
Конус – геометрическое тело, образуемое вследствие вращения равнобедренного треугольника вокруг катета. Объём конуса – это пространство, которое занимает тело, или количество вещества, способное поместиться в нём. Зависит от его высоты и радиуса круга, лежащего в основании – нижней поверхности.
Теоретическая выкладка
Существуют следующие виды конусов:
Формула объёма конуса
В общем случае формула объема конуса имеет вид:
Здесь:
В зависимости от известных данных, для решения задач придётся пользоваться теоремой Пифагора, формулой вычисления площади круга. Для определения объёма усечённого конуса, необходимо знать радиусы (диаметры или площади) оснований. Подробнее о процессе вычисления читайте в материале по ссылке.
Задача
Воспользуемся классической формулой нахождения объема конуса:
Нам известна высота или длина оси, вокруг которой вращался прямоугольный треугольник, и радиус нижней поверхности. Площадь равна:
Подставляем выражение в формулу, получаем:
Определить площадь правильного конуса с образующей 12 см и высотой 9 см.
Высота, из условий задачи, равна 9 см. Гипотенуза l = 12 см. Найдём радиус нижней плоскости из формулы Пифагора:
Геометрия как наука сформировалась в Древнем Египте и достигла высокого уровня развития. Известный философ Платон основал Академию, где пристальное внимание уделялось систематизации имеющихся знаний. Конус как одна из геометрических фигур впервые упоминается в известном трактате Евклида «Начала». Евклид был знаком с трудами Платона. Сейчас мало кто знает, что слово «конус» в переводе с греческого языка обозначает «сосновая шишка». Греческий математик Евклид, живший в Александрии, по праву считается основоположником геометрической алгебры. Древние греки не только стали преемниками знаний египтян, но и значительно расширили теорию.
История определения конуса
Геометрия как наука появилась из практических требований строительства и наблюдений за природой. Постепенно опытные знания обобщались, а свойства одних тел доказывались через другие. Древние греки ввели понятие аксиом и доказательств. Аксиомой называется утверждение, полученное практическим путем и не требующее доказательств.
В своей книге Евклид привел определение конуса как фигуры, которая получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Также ему принадлежит основная теорема, определяющая объем конуса. А доказал эту теорему древнегреческий математик Евдокс Книдский.
Другой математик древней Греции, Аполлоний Пергский, который был учеником Евклида, развил и изложил теорию конических поверхностей в своих книгах. Ему принадлежит определение конической поверхности и секущей к ней. Школьники наших дней изучают Евклидову геометрию, сохранившую основные теоремы и определения с древних времен.
Основные определения
Прямой круговой конус образован вращением прямоугольного треугольника вокруг одного катета. Как видно, понятие конуса не изменилось со времен Евклида.
Гипотенуза AS прямоугольного треугольника AOS при вращении вокруг катета OS образует боковую поверхность конуса, поэтому называется образующей. Катет OS треугольника превращается одновременно в высоту конуса и его ось. Точка S становится вершиной конуса. Катет AO, описав круг (основание), превратился в радиус конуса.
Если сверху провести плоскость через вершину и ось конуса, то можно увидеть, что полученное осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в котором ось является высотой треугольника.
Также часто требуется рассчитать площадь боковой поверхности тела вращения. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания и образующей конуса.
где C — длина окружности основания, l — длина образующей конуса, R — радиус основания.
Формула расчета объема конуса
Для расчета объема конуса используется следующая формула:
где S является площадью основания конуса. Так как основание — круг, его площадь рассчитывается так:
где V — объем конуса;
n — число, равное 3,14;
R — радиус основания, соответствующий отрезку AO на рисунке 1;
H — высота, равная отрезку OS.
Усеченный конус, объем
Имеется прямой круговой конус. Если плоскостью, перпендикулярной высоте, отсечь верхнюю часть, то получится усеченный конус. Два его основания имеют форму круга с радиусами R1 и R2.
Если прямой конус образуется вращением прямоугольного треугольника, то усеченный конус — вращением прямоугольной трапеции вокруг прямой стороны.
Объем усеченного конуса рассчитывается по следующей формуле:
Конус и его сечение плоскостью
Перу древнегреческого математика Аполлония Пергского принадлежит теоретический труд «Конические сечения». Благодаря его работам в геометрии появились определения кривых: параболы, эллипса, гиперболы. Рассмотрим, причем здесь конус.
Возьмем прямой круговой конус. Если плоскость пересекает его перпендикулярно оси, то в разрезе образуется круг. Когда секущая пересекает конус под углом к оси, то в разрезе получается эллипс.
Секущая плоскость, перпендикулярная основанию и параллельная оси конуса, образует на поверхности гиперболу. Плоскость, разрезающая конус под углом к основанию и параллельная касательной к конусу, создает на поверхности кривую, которую назвали параболой.
Решение задачи
Даже простая задача о том, как изготовить ведро определенного объема, требует знаний. Например, необходимо рассчитать размеры ведра, чтобы оно имело объем 10 литров.
Развертка конуса имеет вид, схематически приведенный на рисунке 3.
Чтобы узнать площадь поверхности ведра, которая вычисляется по следующей формуле:
необходимо вычислить образующую. Ее находим из величины объема V=n*(R1 2 +R2 2 +R1*R2)*H/3.
Усеченный конус образуется вращением прямоугольной трапеции, в которой боковая сторона является образующей конуса.
Теперь у нас имеются все данные, чтобы построить чертеж ведра.
Почему пожарные ведра имеют форму конуса?
Кто задумывался, почему пожарные ведра имеют, казалось бы, странную коническую форму? А это не просто так. Оказывается, коническое ведро при тушении пожара имеет много преимуществ перед обычным, имеющим форму усеченного конуса.
Во-первых, как оказывается, пожарное ведро быстрее наполняется водой и при переноске она не расплескивается. Конус, объем которого больше обычного ведра, за один раз позволяет перенести больше воды.
Во-вторых, воду из него можно выплеснуть на большее расстояние, чем из обычного ведра.
В-третьих, если коническое ведро сорвется с рук и упадет в огонь, то вся вода выливается на очаг возгорания.
Все перечисленные факторы позволяют сэкономить время — главный фактор при тушении пожара.
Практическое применение
У школьников часто возникает вопрос о том, зачем учить, как рассчитывать объем разных геометрических тел, в том числе конуса.
А инженеры-конструкторы постоянно сталкиваются с необходимостью рассчитать объем конических частей деталей механизмов. Это наконечники сверл, части токарных и фрезерных станков. Форма конуса позволят сверлам легко входить в материал, не требуя первоначальной наметки специальным инструментом.
Объем конуса имеет куча песка или земли, высыпанная на землю. При необходимости, проведя несложные измерения, можно рассчитать ее объем. У некоторых вызовет затруднение вопрос о том, как узнать радиус и высоту кучи песка. Вооружившись рулеткой, измеряем окружность холмика C. По формуле R=C/2n узнаем радиус. Перекинув веревку (рулетку) через вершину, находим длину образующей. А вычислить высоту по теореме Пифагора и объем не составит труда. Конечно, такой расчет приблизителен, но позволяет определить, не обманули вас, привезя тонну песка вместо куба.
Некоторые здания имеют форму усеченного конуса. Например, Останкинская телебашня приближается к форме конуса. Ее можно представить состоящей из двух конусов, поставленных друг на друга. Купола старинных замков и соборов представляют собой конус, объем которого древние зодчие рассчитывали с удивительной точностью.
Если внимательно присмотреться к окружающим предметам, то многие из них являются конусами:
Как видно из приведенных примеров, умение рассчитать объем конуса, площадь его поверхности необходимо в профессиональной и повседневной жизни. Надеемся, что статья придет вам на помощь.
Конус – это тело, образованное совокупностью всех лучей, исходящих из точки пространства и пересекающих плоскость.
Точка, из которой лучи исходят, получила название вершины конуса. В случае, когда основанием конуса является многоугольник, он превращается в пирамиду.
Рассмотрим некоторые важные понятия.
Образующей конуса называется отрезок, который соединяет любую точку границы основания конуса, с его вершиной. Высотой конуса является перпендикуляр, который опущен из вершины к основанию тела.
Конус бывает нескольких типов:
Прямой, если его основание – одна из таких фигур, как эллипс или круг. Обязательным условием является проецирование вершины конуса в центр основания.
Косой – у него центр фигуры, которая находится в основании, не совпадает с проекцией вершины на это самое основание.
Круговой – отталкиваясь от названия, понятно, что в его основании лежит круг.
Усеченный – область конуса, лежащая между основанием и сечением плоскости, которая параллельна основанию и пересекает данный конус.
Связанные определения для конуса
Образующая конуса. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
Образующая поверхность конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса.
Коническая поверхность. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
Высота конуса (H). Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
Угол раствора конуса. Угол раствора конуса – угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
Прямой конус. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
Косой (наклонный) конус. Косой (наклонный) конус – конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
Круговой конус. Круговой конус – конус, основание которого является кругом.
Прямой круговой конус. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
Эллиптическим конус. Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
Усечённый конус. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.
Формула образующей конуса
Образующую конуса можно найти, зная ее высоту H и радиус R:
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Объем конуса»
Сегодня на уроке мы вспомним, какие фигуры мы назвали конусом, усечённым конусом, выведем формулы для вычисления объёма конуса и усечённого конуса.
Конус – это один из видов тел вращения. Рассмотрим произвольную плоскость , окружность с центром , лежащую в плоскости и прямую , перпендикулярную к плоскости этой окружности. Через точку и каждую точку окружности проведём прямую.
Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности.
Точка называется вершиной, а прямая называется осью конической поверхности.
Мы давали такое определение. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей , называется конусом.
Вспомним элементы конуса.
Основанием конуса называется круг, границей которого служит окружность .
Вершиной конуса называется вершина конической поверхности.
Образующими конуса называются отрезки образующих конической поверхности, заключённые между его вершиной и основанием. Отметим, что все образующие конуса равны друг другу.
Боковой поверхностью конуса называется фигура, образованная всеми образующими конуса.
Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов на .
На экране изображён конус, полученный вращением прямоугольного треугольника вокруг катета . В этом случае основание конуса образуется вращением катета , а боковая поверхность конуса – вращением гипотенузы .
Теперь давайте сформулируем и докажем теорему.
Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Доказательство. Рассмотрим конус с объёмом , радиусом основания , высотой и вершиной в точке .
Проведём ось так, чтобы она проходила черев высоту конуса. Любое сечение конуса плоскостью перпендикулярной к оси является кругом с центром в точке пересечения этой плоскости с осью . Например, с центром в точке . Обозначим радиус этого круга за , а площадь сечения обозначим за , где икс – абсцисса точки .
Поскольку ось проходит через высоту конуса, то, значит, что ось перпендикулярна плоскости основания, тогда плоскость сечения параллельна плоскости основания, значит, можно записать, что . Из параллельности этих отрезков следует равенство углов , , отсюда следует подобие треугольников .
Из подобия можно записать равенство отношений . Отрезок , – высота конуса, значит , тогда можно записать, что отношение .
Отсюда нетрудно выразить . Площадь сечения равна . Подставим вместо его выражение через радиус основания конуса, получим, что .
Для вычисления объёма воспользуемся основной формулой для вычисления объёмов тел.
Пределы интегрирования от до , получим, что объём равен .
Что и требовалось доказать.
Следствием этой теоремы будет формула для вычисления объёма усеченного конуса. Но прежде чем сформулировать следствие, давайте вспомним, какую фигуру мы назвали усечённым конусом.
Усечённым конусом называется часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, перпендикулярной оси конуса.
Назовём элементы усечённого конуса.
Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса.
Высотойусечённого конуса называется отрезок (или его длина), соединяющий центры его оснований.
Прямая называется его осью.
Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, расположенные между основаниями, называются образующими усечённого конуса.
Все образующие усечённого конуса равны друг другу.
Усечённый конус может быть получен вращением на прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.
Теперь сформулируем следствие.
Объём усечённого конуса, высота которой равна , а площадь оснований равны и , вычисляется по формуле:
Решим несколько задач.
Задача: заполнить таблицу недостающими данными.
Решение: в первой строке нам известны радиус основания конуса и высота конуса, для того, чтобы найти объём конуса, воспользуемся только что доказанной формулой .
Занесём получившееся значение в ячейку.
Во второй строке нам даны объем конуса и радиус его основания, для того чтобы найти высоту конуса, выразим из формулы объёма высоту и получим . Занесём получившееся значение в ячейку.
В третьей строке нам даны: объём конуса и его высота нам необходимо найти радиус основания конуса. Подставим эти значения в известную нам формулу, выразим из неё высоту конуса и получим .
Задача: высота конуса равна . На расстоянии от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найти объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен .
Решение: так как плоскость пересекает конус на расстоянии от вершины, значит, высота меньшего конуса равна 2 см.
Тогда зная объём меньшего конуса нетрудно найти радиус основания меньшего конуса .
Большой конус и маленький конус подобны, поэтому можно записать равенства отношений .
Отсюда нетрудно найти, что радиус основания большого конуса равен .
Тогда, подставив найденные значения в формулу для вычисления объёма, получим, что объём конуса равен .
Задача: радиусы оснований усечённого конуса равны и , а образующая конуса равна . Найти объём усечённого конуса.
В осевом сечении будет равнобедренная трапеция, основаниями которой будут диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами будут образующие усечённого конуса.
Опустим высоты трапеции, эти высоты будут равны высоте конуса. Поскольку трапеция равнобедренная, значит, высоты разбивают трапецию на два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник.
Нетрудно найти, что высота трапеции, а значит и усеченного конуса будет равна:
Вычислим площади оснований усечённого конуса.
Подставим найденные значения в формулу для вычисления объёма усеченного конуса и получим, что объём усечённого конуса равен .
Сегодня на уроке мы вспомнили, какие фигуры называются конусом и усечённым конусом, вывели формулы для вычисления объёмов конуса и усечённого конуса. Решили насколько задач.
Конус – это тело вращения, где в роли вращающейся фигуры выступает прямоугольный треугольник. Данный треугольник для получения конуса должен вращаться вокруг одного из своих катетов, который является не только осью вращения, но и высотой конуса. Второй же катет становится радиусом полученной в результате вращения окружности-основания конуса, а гипотенуза будет апофемой (высотой опущенной под прямым углом к линии окружности, а не центру). Технически взаимосвязь конуса с цилиндром идентична взаимосвязи пирамиды с кубом (параллелепипедом), единственное, что вывод формулы проходит через отношения интегралов их сферических углов, но тем не менее, он точно также как и пирамида занимает одну треть цилиндра, в который он может быть вписан.
Поэтому его объем равен произведению площади основания на высоту, деленному на три, или произведению числом π на квадрат радиуса и высоту, деленному на три.
Конус представляет собой тело, полученное объединением всех лучей, которые исходят из одной точки (вершины конуса) и проходят непосредственно через плоскую поверхность. Круглый конус получается путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. По этой причине круглый конус получил название конуса вращения.
Данный треугольник для получения конуса должен вращаться вокруг одного из своих катетов, который является не только осью вращения, но и высотой конуса. Второй же катет становится радиусом полученной в результате вращения окружности-основания конуса, а гипотенуза будет апофемой (высотой опущенной под прямым углом к линии окружности, а не центру).
Технически взаимосвязь конуса с цилиндром идентична взаимосвязи пирамиды с кубом (параллелепипедом), единственное, что вывод формулы проходит через отношения интегралов их сферических углов, но тем не менее, он точно также как и пирамида занимает одну треть цилиндра, в который он может быть вписан.
Поэтому его объем равен произведению площади основания на высоту, деленному на три, или произведению числом π на квадрат радиуса и высоту, деленному на три.
Формулы объема и площади поверхности. Цилиндр, конус и шар
Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.
Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Смотрите также: Формулы объема и площади поверхности многогранников. Кроме формул, в решении задач по стереометрии нужны также элементарная логика и пространственное воображение. Есть и свои небольшие секреты.
Например, такой важный факт:
Вот такая задача. Как и остальные на нашем сайте, она взята из банка заданий ФИПИ.
Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.
Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.
2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду? Всё просто — рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.
Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться!. Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».
А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике. Мы тоже расскажем о ней.
Поскольку объем конуса равен произведению высоты на треть площади основания конуса, то, зная объем и высоту, легко найти площадь круга в основании, а затем радиус и диаметр конуса. S_(осн.)=3V/h r=√(S_(осн.)/π)=√(3V/πh) d=2r=2√(3V/πh)
Чтобы найти образующую конуса через объем и высоту, необходимо построить прямоугольный треугольник с образующей в виде гипотенузы и радиусом и высотой как катетами треугольника. Тогда образующая будет равна квадратному корню из суммы квадратов высоты и радиуса по теореме Пифагора, а угол между основанием и образующей можно будет найти через тангенс отношения высоты к радиусу. (рис.40.1) l=√(h^2+r^2 )=√(h^2+3V/πh) tanβ=h/r=h/√(3V/πh)=h√(πh/3V)
Угол раствора конуса можно найти, зная угол между образующей и основанием, и соединив их в равнобедренном треугольнике, где боковой стороной будет образующая, а основанием треугольника – диаметр конуса. (рис.40.2) α=180°-2β
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению радиуса на образующую и число π, а площадь полной поверхности представляет собой сумму площади боковой поверхности и площади основания, которую можно найти через объем. S_(б.п.)=πrl=π√(3V/πh (h^2+3V/πh) ) S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=π√(3V/πh (h^2+3V/πh) )+3V/h
Радиусы вписанной и описанной около конуса сфер можно найти из отношений, связывающих не только высоту конуса, которая известна, но и образующую, а также радиус основания конуса. (рис.40.3,40.4) r_1=hr/(l+r)=(h√(3V/πh))/(√(h^2+3V/πh)+√(3V/πh))=(h√3V)/(√(πh^3+3V)+√3V) R=(h^2+3V/πh)/2h
Здравствуйте! Как найти объем конуса? Нужны формулы и желательно пример расчета. Спасибо!
Рассмотрим конус с радиусом основания radius и высотой visota. Объем конуса вычисляется через его высоту и радиус основания. Формула объема конуса выглядит так:
Можно также записать формулу объема конуса через его диаметр:
Это основные формулы, которые используются для вычисления объема конуса. Рассмотрим задачу на вычисление объема конуса.
Задача. Радиус основания конуса равен 3 см, а его образующая равна 5 см. Найти объем конуса.
Решение. Запишем формулу для вычисления объема конуса через радиус основания:
Для использования этой формулы из условия известен размер радиуса, а высота неизвестна. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется высотой, радиусом и образующей конуса. Используем теорему Пифагора и получим из данного треугольника следующее:
Выразим из формулы высоту:
Подставим известные величины в формулу и получим: (см). Вычисленное значение высоты подставим в формулу объема: (куб. см).
Рассчитать объем конуса по радиусу или площади основания.
Рассчитать объем прямого кругового конуса вы можете по высоте и радиусу основания, по высоте и площади основания.
Калькулятор расчета объема конуса*:
* прямого кругового конуса.
Формула расчета объема конуса*:
Формула расчета объема прямого кругового конуса по высоте и радиусу основания:
V – объем прямого кругового конуса,
π – число пи, π ≈ 3,1415926535,
r – радиус основания конуса,
h – высота конуса.
Формула расчета объема прямого кругового конуса по высоте и площади основания:
V – объем прямого кругового конуса,
S – площадь основания конуса,
h – высота конуса.
* прямого кругового конуса.
Конус:
Вершина конуса – это точка, из которой исходят лучи.
В месте пересечения лучей с плоской поверхностью образуется основание конуса.
Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.
Любой отрезок луча, выходящего из вершины конуса и соединяющий вершину конуса с границей основания конуса, называется образующей конуса.
Совокупность всех образующих конуса называется боковой поверхностью конуса либо конической поверхностью.
Высотаконуса – это отрезок, выходящий из вершины конуса и перпендикулярный основанию конуса.
* Обычно под конусом понимается прямой круговой конус.
Виды конусов:
Различают прямой и косой (наклонный) конус.
Прямой конус – это конус, в котором ось конуса (т.е. прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса) перпендикулярна плоскости основания конуса. В прямом конусе ось конуса и высота конуса совпадают, а все образующие равны между собой.
Наклонный конус – это конус, в котором ось конуса не перпендикулярна плоскости основания конуса.
В зависимости от формы основания конуса различают:
– круговой конус – конус, основанием которого является круг;
– эллиптический конус – конус, основанием которого является эллипс;
– гиперболическийконус – конус, основанием которого является гипербола;
– параболическийконус – конус, основанием которого является парабола.
Гиперболический и параболический конус имеют бесконечный объем.
Прямой круговой конус – это конус, который получается путем вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси на 360 ° либо путем вращения равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180 °.
Усечённый конус или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.
Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.
Он включает в себя: – экономику Второй индустриализации России, – теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России, – организационный механизм осуществления Второй индустриализации России, – справочник прорывных технологий.
Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!
Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.
О Второй индустриализации
Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.
Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.
Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.
Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.
Все формулы конуса – КОНУС формулы объема, площади поверхности
Формулы объема, площади поверхности, объем конуса, объем цилиндра, объем шара
Тела вращения, изучаемые в школе, — это цилиндр, конус и шар.
Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.
Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Смотрите также: Формулы объема и площади поверхности многогранников. Кроме формул, в решении задач по стереометрии нужны также элементарная логика и пространственное воображение. Есть и свои небольшие секреты.
Например, такой важный факт:
Если все линейные размеры объемного тела увеличить в 2 раза, то площадь его поверхности увеличится в 4 раза, а объем — в 8 раз.
Вот такая задача. Как и остальные на нашем сайте, она взята из банка заданий ФИПИ.
Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.
Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.
2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду? Всё просто — рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.
Говорят, что хороший чертеж — это уже половина решения. Читайте о том, как строить чертежи в задачах по стереометрии.
Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться!. Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».
А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче С2 (16). Мы тоже расскажем о ней.
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
Конус как геометрическая фигура
Конус (с греческого «konos») – сосновая шишка. Конус знаком людям с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом (287-212 гг. до н. э.), в этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед говорит, что это открытие принадлежит древнегреческому философу Демокриту (470-380 гг. до н.э.), который с помощью данного принципа получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.
Конус (круговой конус) – тело, которое состоит из круга – основание конуса, точки, не принадлежащей плоскости этого круга, – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса и точки окружности основания. Отрезки, которые соединяют вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Конус называется прямым, если прямая, которая соединяет вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.
Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.
Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым конусом.
Объём конуса равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:
где R – радиус основания, l – длина образующей.
Площадь полной поверхности конуса находится по формуле:
где R – радиус основания, l – длина образующей.
Объём кругового конуса равен
где R – радиус основания, Н – высота конуса
Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:
где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, l – длина образующей.
Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:
Sкон = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,
где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, l – длина образующей.
Объём усечённого конуса можно найти следующим образом:
V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2 ),
где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, Н – высота конуса.
Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Стереометрия
Конусы
Рассмотрим произвольную плоскость α, точку S, не лежащую на плоскости α, и перпендикуляр SO, опущенный из точки S на плоскость α (точка O – основание перпендикуляра). Рассмотрим также произвольный круг с центром в точке O, лежащий на плоскости α.
Определение 1. Конусом называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точку S с точками указанного круга с центром в точке O, лежащего на плоскости α (рис. 1).
Точку S называют вершиной конуса.
Отрезок SO называют осью конуса.
Расстояние от точки S до плоскостиРасстояние от точки S до плоскости α (длину отрезка SO) называют высотой конуса.
Круг с центром в точке O, лежащий на плоскости α, называют основанием конуса, радиус этого круга называют радиусом основания конуса, а саму плоскость α называют плоскостью основания конуса.
Отрезки, соединяющие точку S с точками окружности называют образующими конуса.
Совокупность всех образующих конуса составляет боковую поверхность конуса (коническую поверхность).
Полная поверхность конуса состоит из основания конуса и его боковой поверхности.
Замечание 1. Отрезок SO часто называют высотой конуса.
Замечание 2. Все образующие конуса имеют одинаковую длину. У конуса с высотой h и радиусом основания r длина образующих равна
Усеченные конусы
Рассмотрим конус с вершиной S, осью SO, радиусом основания r и высотой h. Плоскость β, параллельная параллельная плоскости основания конуса и расположенная на расстоянии h1 от вершины расстоянии h1 от вершины S, пересекает конус по кругу радиуса r1 с центром в точке O1 (рис. 2).
Из подобия прямоугольных треугольников SOA и SO1A1 можно выразить радиус r1 через известные величины r, h и h1:
Таким образом, плоскость β делит конус на две части: конус с осью SO1 и радиусом основания r1, а также вторую часть, называемую усеченным конусом (рис. 3).
Усеченный конус ограничен двумя основаниями: кругом с центром в точке O радиуса r на плоскости α и кругом с центром в точке O1 радиуса r1 на плоскости β, а также боковой поверхностью усеченного конуса, которая представляет собой часть боковой поверхности исходного конуса, заключенную между плоскостями α и β. Полная поверхность усеченного конуса состоит из двух оснований усеченного конуса и его боковой поверхности. Часть каждой образующей исходного конуса, которая заключена между плоскостями α и β, называют образующей усеченного конуса. Например, на рисунке 3 одной из образующих усеченного конуса является отрезок AA1.
Высотой усеченного конуса называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований усеченного конуса. У усеченного конуса, изображенного на рисунке 2, высота равна h – h1.
Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса
Введем следующие обозначения
Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности конуса, а также формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченного конуса.
Фигура
Рисунок
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Конус
где r – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса, h – высота конуса.
где h – высота усеченного конуса, r – радиус нижнего основания усеченного конуса, r1 – радиус верхнего основания усеченного конуса,
l – длина образующей усеченного конуса.
Конус
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:
где r – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса, h – высота конуса.
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:
где h – высота усеченного конуса, r – радиус нижнего основания усеченного конуса, r1 – радиус верхнего основания усеченного конуса,
l – длина образующей усеченного конуса.
Замечание 3. Формула для вычисления объема конуса
может быть получена из формулы объема правильной n – угольной пирамиды
при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.
Замечание 4. Формула для вычисления объема усеченного конуса
может быть получена из формулы объема правильной усеченной n – угольной пирамиды
при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
Запись по телефону (495) 509-28-10
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
все формулы конуса
Вы искали все формулы конуса? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как найти образующую конуса, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «все формулы конуса».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как все формулы конуса,как найти образующую конуса,как найти образующую конуса формула,конус все формулы,конус формула,конус формулы,конус формулы все,образующая конуса формула,радиус конуса,радиус основания конуса формула,уравнение конуса,формула конуса,формула образующая конуса,формула образующей конуса,формула радиус основания конуса,формулы для конуса,формулы конуса,формулы конуса все. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и все формулы конуса. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, как найти образующую конуса формула).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же все формулы конуса Онлайн?
Решить задачу все формулы конуса вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.
Конус. Формули, ознаки та властивості
Елементи конуса
Означення. Вершина конуса — це точка (K), з якої виходять промені.
Означення. Основа конуса — це площина, що утворена внаслідок перетину плоскої поверхні та всіх променів, що виходять з вершини конуса. У конуса можуть бути такі основи, як круг, еліпс, гіпербола та парабола.
Означення. Твірною конуса (L) називається будь-який відрізок, які сполучає вершину конуса з межею основи конуса. Твірна є відрізком променя, що виходить з вершини конуса.
Формула. Довжина твірної (L) прямого кругового конуса через радіус R та висоту H (через теорему Піфагора):
Означення. Напрямна конуса — це крива, яка описує контур основи конуса.
Означення. Бічна поверхня конуса — це сукупність усіх твірних конуса. Тобто, поверхня, яка утворюється рухом твірної по напрямній конуса.
Означення. Поверхня конуса складається з бічної поверхні та основи конуса.
Означення.Висота конуса (H) — це відрізок, який виходить з вершини конуса та перпендикулярний до його основи.
Означення. Вісь конуса (a) — це пряма, яка проходить через вершину конуса та центр основи конуса.
Означення. Конусність (С) конуса — це відношення діаметра основи конуса до його висоти. У випадку зрізаного конуса — це відношення різниці діамерів поперечних перерізів D та d зрізаного конуса до відстані між ними:
C =
D
та C =
D — d
H
d
де C — конусність, D — діаметр основи, d — діаметр меншої основи та h — відстань між основами.
Конусність характеризує гостроту конуса, тобто, кут нахилу твірної до основи конуса. Чим більша конусність, тим гостріший кут нахилу. Кут конуса α буде:
де R — радіус основи, а H — висота конуса. Означення. Осьовий переріз конуса — це переріз конуса площиною, яка проходить через вісь конуса. Такий переріз утворює рівнобедрений трикутник, у якого сторони утворені твірними, а основа трикутника — це діаметр основи конуса. Означення. Дотична площина до конуса — це площина, яка проходить через твірну конуса і перепендикулярна до осьового перерізу конуса.
Означення. Конус, що спирається на круг, еліпс, гіперболу чи параболу називається відповідно круговим, еліптичним, гіперболічним чи параболічним конусом (останні два мають нескінченний об’єм).
Основні властивості кругового конуса
1. Всі твірні прямого кругового конуса рівні між собою.
2. При обертанні прямокутного трикутника навколо свого катета на 360° утворюється прямий коловий конус.
3. При обертанні рівнобедреного трикутника навколо своєї вісі на 180° утворюється прямий коловий конус.
4. В місці перетину конуса площиною, яка паралельна основі конуса, утворюється коло. (див. Зрізаний конус)
5. Якщо при перетині площина не паралельна основі конуса і не перетинається з основою, то в місці перетину утвориться еліпс (мал. 3).
6. Якщо площина перерізу проходить через основу, то в місці перетину утвориться парабола (мал. 4).
7. Якщо площина перерізу проходить через вершину, то в місці перетину утвориться рівнобедрений трикутник (див. Осьовий переріз).
8. Центр ваги будь-якого конуса знаходиться на одній четвертій висоти від центра основи.
Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!
Объём конуса. Калькулятор объёма конуса онлайн
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту
Конус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.
Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называют также конусом вращения.
Связанные определения для конуса
Образующая конуса. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
Образующая поверхность конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса.
Коническая поверхность. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
Высота конуса (H). Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
Угол раствора конуса. Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
Прямой конус. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
Косой (наклонный) конус. Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
Круговой конус. Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
Прямой круговой конус. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
Эллиптическим конус. Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
Усечённый конус. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.
Объем прямого углового конуса
Конус — это геометрическое тело, которое образовано вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов.
Первый способ вычисления объема конуса
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту
где: V — объем конуса S — площадь основания конуса H — высота конуса
Второй способ вычисления объема конуса
Объем конуса равен одной трети произведения числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.
\[ \LARGE V = \frac <3>\pi r^2 \]
где: V — объем конуса H — высота конуса π — число пи (3.1415) r — радиус конуса
Калькулятор объема конуса
Количество знаков после запятой в результате вычислений
Объем усеченного конуса
Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом.
Первый способ вычисления объема усеченного конуса
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
\[ \LARGE V = \frac<1> <3>\left( H\cdot S_2 + h \cdot s_1 \right) \]
где: V — объем конуса h — расстояния от плоскости верхнего основания до вершины H — расстояния от плоскости нижнего основания до вершины S1 — площадь верхнего (ближнего к вершине) основания S2 — площадь нижнего основания
Второй способ вычисления объема усеченного конуса
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
\[ \LARGE V = \frac<1> <3>\pi h \left( R^2 + R \cdot r + r^2 \right) \]
где: V — объем конуса h — высота конуса R — радиус нижнего основания r — радиус верхнего основания
Калькулятор объема усечённого конуса
Радиус нижнего основания усечённого конуса R:
Радиус верхнего основания усечённого конуса r:
Высота усечённого конуса h:
Количество знаков после запятой в результате вычислений
В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Не можешь написать работу сам?
Доверь её нашим специалистам
от 100 р.стоимость заказа
Поделитесь с другими:
Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
Все о Конусе
Муниципальное обще образовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №54 с углубленным изучение предметов социально-гуманитарного цикла центрального района города Новосибирска
S- вершина конуса, круг с центром О – основание конуса
Отрезок SA=L образующая.
Отрезок OA=R – радиус основания.
Отрезок BC=2R – диаметр основания.
Треугольник SBC-осевое сечение
Угол BSC – угол при вершине осевого сечения
Угол SBO – угол наклона образующей к плоскости основания
II Сечение конуса
1. Секущая плоскость проходит через ось конуса (осевое сечение – равнобедренный треугольник рис. 1) 2. Секущая плоскость проходит перпендикулярно к оси конуса
— круг с центром О1 (рис. 2)
3.Сечение проходящее через верщину конуса – равнобедренный
треугольник (рис. 3)
4.Параболическое и гиперболическое сечения. (рис. 4 )
В конус всегда можно вписать шар. Его центр на оси конуса
и совпадает с центром окружности, вписанно в треугольник,
являющийся осевым сечением конуса.
Rш= Rк * tg a/2 = H*Rк/Rк+L
Около конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на
оси конуса и совпадает с центром окружности, описаной около
треугольника, являющегося осевым сечением конуса.
Rш = Rк / sinb ; R²ш= (H-Rш) ² + Rк²
Rш =L/2H ; (2Rш — Hк)Hк = Rк²
III Площадь поверхности конуса
2. Площадь полной поверхности конуса есть сумма площадей боковой поверхности и основания
IV Объем конуса
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
или x/h=R1/R =>R1=XR/h. Так как S(x)= πR², то S(x)= πR²/h²* ²
Применяя основную формулу вычисления обьемов тел при а=0 и b=h получаем
V Усеченный конус.
Усеченный конус – часть конуса, заключенная между основанием и паралельным основанию сечением конуса.
Около усеченного конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на прямой О1О2
О – центр описанного шара R — радиус описанного шара, равный радиусу окружносит описанной около ΔACD
В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда образующая равна сумме радиусов оснований L=R+r => существует вписанный шар.
VI Площадь поверхности усеченного конуса
1. Пусть Р – вершина конуса, из которого получен усеченный конус, АА1-одна из образующих
Усеченного конуса О и О1 – центры оснований. Используя формулу Sбок для конуса получаем
S бок = πr*PA-πr1*PA1=πr(PA1+AA1)- πr1PA1, отсюда, учитывая, что AA1=L, находим
Sбок =πrL +π (r — r1)PA1
Выразим РА1 через L1, r и r1. Прямоугольные треугольники РО1А1 и РОА подобны, так как имеют общий острый угол Р и поэтому PA1/PA=r/r1 или PA1/PA1+L=r/R1. Получаем PA1=Lr1/R-r1. S=πrL + (π(r-r1)Lr1)/r-r1=πrL+πr1L=πL(r+r1)
2. Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площадей боковой поверхности усеченного конуса и оснований
Sполн = S1+S2+Sбок=πL(r+r1)+ πR²+πr²
VII Обьем усеченного конуса
Обьем усеченного конуса V, высота которого равна h, а площади оснований S и S1 вычисляется по формуле
скачать за 50 руб
после оплаты нажмите на кнопку «Вернуться на сайт» — документ будет скачан автоматически Скачанный документ будет содержать только материал уже воспроизведенный на сайте.
Конус – это геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. У каждого конуса есть основание и боковая поверхность.
Любой конус характеризуется высотой h (осевой линией), радиусом r и образующей l (см. рисунок). Именно эти характеристики используются в формулах конуса при вычислении объема, площади поверхности и площади боковой поверхности.
Высота конуса (осевая линия) – это перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к основанию.
Радиус конуса – это радиус его основания.
Образующая конуса – это отрезок, который соединяет вершину конуса с любой точкой, лежащей на линии окружности основания.
Формула образующей конуса
Образующую конуса можно найти, зная ее высоту H и радиус R:
Формула площади боковой поверхности конуса
Площадь боковой поверхности конуса можно получить, зная его радиус R и образующую L:
Формула площади основания конуса
Площадь основания конуса можно вычислить по его радиусу R:
Формула площади конуса
Площадь поверхности конуса можно получить, сложив площадь боковой поверхности и площадь основания конуса:
S = Sбок.пов + Sосн = πRL + πR 2
Формула объема конуса
Объем конуса можно вычислить, зная его высоту H и площадь основания:
V = 1/3 ⋅ Sосн ⋅ H = 1/3πR 2 H
Поделитесь статьей с одноклассниками «КОНУС формулы объема, площади поверхности».
Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.
Формула объема призмы:
Объем параллелепипеда
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Формула объема параллелепипеда:
Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда:
Объем пирамиды
Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.
Формула объема пирамиды:
Объем правильного тетраэдра
Формула объема правильного тетраэдра:
Объем цилиндра
Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.
Формулы объема цилиндра:
Объем конуса
Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.
Формулы объема конуса:
Объем шара
Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе помноженного на число пи.
Формула объема шара:
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool. Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Объём части конуса. Для вас очередная статья с конусами – тип заданий, которые ранее присутствовали в открытом банке задач и вполне могут быть в составе ЕГЭ по математике. *На момент написания статьи эти задания из открытого банка удалены, но их всегда могут вернуть вновь.
Если сказать простым языком – рассматриваемое тело построено («стоит») на секторе круга, то есть нам необходимо найти объём некоторого «сектора конуса». Посмотрите для наглядности, это рисунки из задач:
Как вы догадались – процесс решения прост!
Главное определить центральный угол сектора круга, на котором построена («стоит») часть конуса.
Формула объёма конуса:
Пока рассмотрим общий подход к решению. Посмотрите на эскизы, мысленно представьте, что это вид конуса сверху:
Если «отрежем» часть конуса соответствующую центральному углу в 180 0 (то есть, пополам по оси), то объём части конуса будет равен половине объёма полного конуса (рис.1):
При этом объём оставшейся части будет равен ¾ от объёма полного конуса:
25793. Найдите объем V части конуса, изображённой на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Объём конуса равен:
Объем части конуса равен:
n – центральный угол, которому соответствует часть конуса
Таким образом, искомый объём равен:
Результат разделим на Пи и запишем ответ.
27203. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Таким образом, искомый объём будет равен:
Результат разделим на Пи и запишем ответ.
27204. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Таким образом, искомый объём будет равен:
Результат разделим на Пи и запишем ответ.
27205. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Таким образом, искомый объём будет равен:
Результат разделим на Пи и запишем ответ.
27202. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке.
Площадь основания Sосн = 
= 
Выберите известные величины:
Здесь:
, окружность 
с центром 
, лежащую в плоскости 
, перпендикулярную к плоскости 
и каждую точку окружности проведём прямую.
.
вокруг катета 
. В этом случае основание конуса образуется вращением катета 
, а боковая поверхность конуса – вращением гипотенузы 
.
, радиусом основания 
, высотой 
и вершиной в точке 
так, чтобы она проходила черев высоту конуса. Любое сечение конуса плоскостью перпендикулярной к оси 
. Обозначим радиус этого круга за 
, а площадь сечения обозначим за 
, где икс – абсцисса точки 
. Из параллельности этих отрезков следует равенство углов 
, 
, отсюда следует подобие треугольников 
.
. Отрезок 
, 
– высота конуса, значит 
, тогда можно записать, что отношение 
.
. Площадь сечения равна 
. Подставим вместо 
.
до 
.
называется его осью.
и 
, вычисляется по формуле:
.
. Занесём получившееся значение в ячейку.
.
. На расстоянии 
от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найти объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 
.
.
.
.
.
и 
, а образующая конуса равна 
. Найти объём усечённого конуса.
.
,
,
,
,
(см). 
(куб. см).
куб. см.
Тела вращения, изучаемые в школе, — это цилиндр, конус и шар.
Означення. Осьовий переріз конуса — це переріз конуса площиною, яка проходить через вісь конуса. Такий переріз утворює рівнобедрений трикутник, у якого сторони утворені твірними, а основа трикутника — це діаметр основи конуса. 
Означення. Дотична площина до конуса — це площина, яка проходить через твірну конуса і перепендикулярна до осьового перерізу конуса.
