Как найти площадь боковой поверхности призмы
Как найти площадь боковой поверхности призмы
Инструменты пользователя
Инструменты сайта
Боковая панель
Стереометрия:
Контакты
Призма
Призма — многогранник, две параллельные грани которого ( основания ) n−угольники, а остальные n граней ( боковые ) — параллелограммы. Очевидно, что все боковые ребра призмы равны, и в основаниях — равные n−угольники с соответственно параллельными сторонами.
Боковыми ребрами называются отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований.
Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований.
Призма называется прямой, если ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. См.Рис.1
Призма называется наклонной, если боковое ребро призмы не перпендикулярно плоскости основания. См.Рис.2
Правильная призма — прямая призма, основания которой являютя правильными многоугольниками.
Площадь боковой поверхности призмы ( Sбок ) — сумма площадей её боковых граней.
Теорема о площади боковой поверхности прямой призмы. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Сечение, образованное плоскостью, перпендикулярной к боковому ребру призмы, называется нормальным (ортогональным) сечением призмы.
Призма называется параллелепипедом, если её основания — параллелограммы.
Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.
Формула площади правильной призмы
1. Общая формула
Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.
Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.
2. Площадь правильной треугольной призмы
Основание: равносторонний треугольник.
| Площадь | Формула |
| основание |  » data-order=» «> |
| боковая поверхность | |
| полная |  » data-order=» «> |
3. Площадь правильной четырехугольной призмы
Основание: квадрат.
| Площадь | Формула |
| основание | |
| боковая поверхность | |
| полная |
Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a 2 . А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a 2 .
4. Площадь правильной шестиугольной призмы
Основание: правильный шестиугольник
| Площадь | Формула |
| основание |  » data-order=» «> |
| боковая поверхность | |
| полная |  » data-order=» «> |
Примеры задач
Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.
Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:
Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:
Как найти площадь боковой поверхности призмы
Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту
На уроке мы познакомимся с понятием площадь поверхности призмы, площадь боковой поверхности призмы, а так же выведем формулы для их отыскания.
Нахождение площади какой-либо поверхности практическая необходимость в различных сферах жизни. Для того чтобы оклеить комнату обоями нам необходимо знать площадь боковой поверхности этой комнаты, т.е. площадь стен.
Чтобы покрасить бак, поверхность которого представляет собой призму, нужно знать площадь полной поверхности этого бака, и только тогда, зная расход краски, мы узнаем сколько нам ее понадобится.
Вообще, площадь поверхности призмы складывается из площадей всех граней призмы.
У n-угольной призмы два основания и n параллелограммов образующих боковую поверхность. Значит, площадь полной поверхности n-угольной призмы складывается из площадей двух оснований и n параллелограммов расположенных в боковых гранях.
Сумма площадей боковых граней называется площадью боковой поверхности. Тогда нахождение площади полной поверхности призмы можно выразить формулой:
площадь полной поверхности равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности.
Sполн. =2Sосн. +Sбок.
Более подробно рассмотрим прямую призму. Вычислить площадь боковой поверхности прямой призмы, складывая площади прямоугольников каждый раз было бы очень длительно и требовало бы большой траты времени, поэтому в математике была выведена формула для отыскания площади боковой поверхности прямой призмы.
Итак, докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.
Для того чтобы иллюстрировать теорему рассмотрим прямую треугольную призму, а точнее её развертку.
Из рисунка видно, что площадь боковой поверхности равна площади прямоугольника, одной стороной которого является боковое ребро, другой сумма ребер основания.
В случае прямой призмы боковое ребро является высотой. Значит, площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту.
Итак, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Что и требовалось доказать.
Объем призмы и другие ее характеристики
Перед вами иллюстрированный гид о призме.
В картинках. С пояснениями к формулам. С примерами.
Определение, виды призм, высота, площадь, объем призмы — все, все, все!
Читайте и делитесь впечатлениями в комментариях!
Призма — коротко о главном
Определение призмы:
Призма – это многогранник, две грани которого (основания) – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани – параллелограммы.
Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.
Виды призм:
Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.
Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.
Объем призмы
Главная формула объема призмы:
\( \displaystyle V=S<<\ >_<основания>>\cdot \text\),
где \( <<\text>_<основания>>\) – площадь основания,
\( H\) – высота.
Необычная формула объема призмы:
\( \text=<<\text >_<\bot >>\cdot l\),
где \( <<\text>_<\bot >>\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) – длина бокового ребра.
Площадь призмы
А теперь чуть подробнее…
Заходите и готовьтесь к ЕГЭ.
Что такое призма
Давай ответим сперва картинками:
Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями.
Остальные грани называются боковыми.
Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.
Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.
Важно знать, что:
Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.
Думаю, теперь мы можем дать более строгое определение призмы.
Определение призмы
Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.
Виды призм
Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.
Другие призмы называются наклонными.
Открыть ответы…
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Высота призмы
Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.
И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.
Объем призмы
Главная формула объема призмы
Необычная формула объема призмы
\( \text
=<<\text >_<\bot >>\cdot l\),
где \( <<\text>_<\bot >>\) — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) — длина бокового ребра.
Площадь призмы
Прямая призма
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.
Свойства прямой призмы:
Правильная призма
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.
То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.
Тебе, скорее всего, может встретиться:
Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.
Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.
Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.
Главная формула объема призмы
Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то \( H\) «превращается» в боковое ребро. И тогда
– то же самое, что
\( \displaystyle V=S<<\ >_<основания>>\cdot боковое\ ребро\)
Необычная формула объёма призмы
Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы:
\( <<\text>_<\bot >>\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) – длина бокового ребра
Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.
Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.
Объем правильной треугольной призмы
Пусть дано, что сторона основания равна \( a\), а боковое ребро равно \( b\).
Вспомним, как находить площадь правильного треугольника:
Подставляем в формулу объёма:
Объем правильной четырёхугольной призмы
Опять дано: сторона основания равна \( a\), боковое ребро равно \( b\).
Ну, площадь квадрата долго искать не надо:
Объем правильной шестиугольной призмы
Открыть ответы…
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Площадь поверхности призмы
Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.
Есть ли общая формула?
Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.
Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
Формулу можно написать для прямой призмы:
\( \displaystyle <<\text \), где \( \displaystyle P\) – периметр основания. Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы. Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз: Алексей Шевчук — ведущий курсов Тут всё понятно,впервые начинаю понимать стереометрию Супер Aper! Рады помочь! Когда читаю теорию этого учебника, такое ощущение, что я разговариваю с другом. Настолько все просто и приятно. Сказать, что я влюбилась в этот материал, ничего не сказать. Спасибо вам! Бася, вы нас растрогали таким комментарием. Спасибо большое! Удачи на экзамене! Некоторые комментарии прошлых лет об этой статье: Илья Дмитрий Regina Настя Женя Анна Жанна Николай Алексей Шевчук Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру. Чтобы были понятны формулы, введем обозначения: В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них. Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. 3. Правильный шестиугольник Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как: Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб. Распишем формулу площади полной поверхности: Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора. Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее: Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз. В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла. Некоторые свойства прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике: Значения тригонометрических функций некоторых углов: Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов: Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: Геометрия, 10 класс Урок № 14. Призма Перечень вопросов, рассматриваемых в теме: Глоссарий по теме Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов. Боковые грани – все грани, кроме оснований. Боковые ребра – общие стороны боковых граней. Основания призмы – равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях. Прямая призма – призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям. Правильная призма – прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех ее граней. Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней. Параллелепипед – призма, все грани которой – параллелограммы. Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед в основании которого лежит прямоугольник. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. Уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с. Открытые электронные ресурсы: Открытый банк заданий ФИПИ http://ege.fipi.ru/ Теоретический материал для самостоятельного изучения Определение призмы. Элементы призмы. Рассмотрим два равных многоугольника А1А2. Аn и В1В2. Вn, расположенных в параллельных плоскостях α и β соответственно так, что отрезки А1В1, А2В2. АnВn, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1). Рисунок 1 – Призма Дадим определение призмы. Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов. При этом равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Общие стороны боковых граней будем называть боковыми ребрами призмы. Отметим, что все боковые ребра призмы равны и параллельны (как противоположные стороны параллелограммов). Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Обратите внимание, что все высоты призмы равны между собой, так как основания расположены на параллельных плоскостях. Также высота призмы может лежать вне призмы (рис. 2). Рисунок 2 – Наклонная призма Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, то призма называется прямой. В противном случае, призма называется наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру. На рисунке 3 приведены примеры прямых призм Рисунок 3 – Виды призм. Прямая призма называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник. В правильной призме все боковые грани – равные прямоугольники. Иногда четырехугольную призму, грани которой параллелограммы называют параллелепипедом. Известный вам правильный параллелепипед – это куб. Площадь полной поверхности призмы. Площадь боковой поверхности призмы. Площадью полной поверхности призмы (Sполн) называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности (Sбок) призмы – сумма площадей ее боковых граней. Таким образом, верно следующее равенство: Sполн= Sбок+2Sосн, то есть площадь полной поверхности есть сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания. Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы? Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны основания призмы, а высоты равны высоте призмы – h. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней, то есть прямоугольников. Площадь каждого прямоугольника есть произведение высоты h и стороны основания. Просуммируем эти площади и вынесем множитель h за скобки. В скобках получим сумму всех сторон основания, то есть периметр основания P. Таким образом Sбок=Pоснh. Пространственная теорема Пифагора Прямой параллелепипед, основание которого – прямоугольник называется прямоугольным. Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, исходящих из одной вершины. Рисунок 4 – Прямоугольный параллелепипед Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и найдем квадрат длины его диагонали А1С. Для этого рассмотрим треугольник А1АС: Ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания (ABC) (т.к. параллелепипед прямой), значит АА1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе АС. Таким образом, ΔА1АС – прямоугольный. По теореме Пифагора получаем: А1С 2 =АА1 2 +АС 2 (1). Так как в основании прямоугольник, то ВС=АD. Что и требовалось доказать Доказанная теорема является аналогом теоремы Пифагора (для прямоугольного треугольника), поэтому ее иногда называют пространственной теоремой Пифагора. Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля Найдите для каждой картинки пару 1) 4) 6) Все изображения можно разделить на две группы: призмы и многоугольники. Вспомним, что основанием призмы является многоугольник. Теперь необходимо посчитать количество вершин многоугольников в основаниях призм и сопоставить их с нужным изображением. Таким образом, получаем следующий ответ: 1 и 3, 2 и 4, 5 и 6. Какие из перечисленных объектов могут быть элементами призмы? 1) параллельные плоскости Вспомним сначала, какие элементы есть у призмы. Это ребра, грани, вершины, основания, высота, диагональ. Ребра, высота и диагональ призмы представляют собой отрезок. Грани и основания – это многоугольники, то есть части плоскостей. Вершины – точки. Таким образом, подходят варианты 2, 3,4. Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы. Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников. Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней. Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h). Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя. Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы. Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы. Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная. У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.) Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой. Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной. Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы. Объем призмы = площадь основания х высота Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту. Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности. Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Свойства призмы : Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники. В этом примере: Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы. V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120. Задача 2. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы. Решение: Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h. Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k 2 = S12 2 = 4S1. Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы. Таким образом, искомый объём равен 20. Формулы по математике для ЕГЭ и ОГЭ Шар и сфера, объем шара, площадь сферы, формулы Призма – это многогранник, в основаниях которого два равных многоугольника, а боковые грани представляют собой параллелограммы. Площадь боковой поверхности призмы также как и прямоугольного параллелепипеда состоит из прямоугольников, если призма прямая, сторонами которых являются сторона многоугольника в основании и высота, а их количество зависит от количества сторон в многоугольнике. Поэтому площадь боковой поверхности призмы вычисляется умножением периметра основания на высоту: Sб.п.=Ph=nah Если в основании призмы лежит правильный треугольник, то в формуле соответственно вместо n мы напишем 3 : Sб.п.=3ah Если в основании призмы лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат, то формула будет выглядеть так: Sб.п.=4ah Формула для прямоугольника: Sб.п.=2(a+b)h Формула для пятиугольника: Sб.п.=5ah Формула для шестиугольника: Sб.п.=6ah Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно традиционно добавить к площади боковой два основания: Для правильного треугольника в основании: Для прямоугольника в основании: Sп.п.=2ab+2bc+2ac Для пятиугольника в основании: Для шестиугольника в основании: Геометрия, 10 класс Урок № 14. Призма Перечень вопросов, рассматриваемых в теме: Глоссарий по теме Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов. Боковые грани – все грани, кроме оснований. Боковые ребра – общие стороны боковых граней. Основания призмы – равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях. Прямая призма – призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям. Правильная призма – прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех ее граней. Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней. Параллелепипед – призма, все грани которой – параллелограммы. Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед в основании которого лежит прямоугольник. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. Уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с. Открытые электронные ресурсы: Открытый банк заданий ФИПИ http://ege.fipi.ru/ Теоретический материал для самостоятельного изучения Определение призмы. Элементы призмы. Рассмотрим два равных многоугольника А1А2. Аn и В1В2. Вn, расположенных в параллельных плоскостях α и β соответственно так, что отрезки А1В1, А2В2. АnВn, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1). Рисунок 1 – Призма Дадим определение призмы. Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов. При этом равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Общие стороны боковых граней будем называть боковыми ребрами призмы. Отметим, что все боковые ребра призмы равны и параллельны (как противоположные стороны параллелограммов). Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Обратите внимание, что все высоты призмы равны между собой, так как основания расположены на параллельных плоскостях. Также высота призмы может лежать вне призмы (рис. 2). Рисунок 2 – Наклонная призма Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, то призма называется прямой. В противном случае, призма называется наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру. На рисунке 3 приведены примеры прямых призм Рисунок 3 – Виды призм. Прямая призма называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник. В правильной призме все боковые грани – равные прямоугольники. Иногда четырехугольную призму, грани которой параллелограммы называют параллелепипедом. Известный вам правильный параллелепипед – это куб. Площадь полной поверхности призмы. Площадь боковой поверхности призмы. Площадью полной поверхности призмы (Sполн) называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности (Sбок) призмы – сумма площадей ее боковых граней. Таким образом, верно следующее равенство: Sполн= Sбок+2Sосн, то есть площадь полной поверхности есть сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания. Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы? Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны основания призмы, а высоты равны высоте призмы – h. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней, то есть прямоугольников. Площадь каждого прямоугольника есть произведение высоты h и стороны основания. Просуммируем эти площади и вынесем множитель h за скобки. В скобках получим сумму всех сторон основания, то есть периметр основания P. Таким образом Sбок=Pоснh. Пространственная теорема Пифагора Прямой параллелепипед, основание которого – прямоугольник называется прямоугольным. Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, исходящих из одной вершины. Рисунок 4 – Прямоугольный параллелепипед Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и найдем квадрат длины его диагонали А1С. Для этого рассмотрим треугольник А1АС: Ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания (ABC) (т.к. параллелепипед прямой), значит АА1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе АС. Таким образом, ΔА1АС – прямоугольный. По теореме Пифагора получаем: А1С 2 =АА1 2 +АС 2 (1). Так как в основании прямоугольник, то ВС=АD. Что и требовалось доказать Доказанная теорема является аналогом теоремы Пифагора (для прямоугольного треугольника), поэтому ее иногда называют пространственной теоремой Пифагора. Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля Найдите для каждой картинки пару 1) 4) 6) Все изображения можно разделить на две группы: призмы и многоугольники. Вспомним, что основанием призмы является многоугольник. Теперь необходимо посчитать количество вершин многоугольников в основаниях призм и сопоставить их с нужным изображением. Таким образом, получаем следующий ответ: 1 и 3, 2 и 4, 5 и 6. Какие из перечисленных объектов могут быть элементами призмы? 1) параллельные плоскости Вспомним сначала, какие элементы есть у призмы. Это ребра, грани, вершины, основания, высота, диагональ. Ребра, высота и диагональ призмы представляют собой отрезок. Грани и основания – это многоугольники, то есть части плоскостей. Вершины – точки. Таким образом, подходят варианты 2, 3,4. Слышали такое выражение «смотреть сквозь призму чего-либо»? Оно значит ситуацию, в которой мы воспринимаем что-либо под влиянием каких-то убеждений или представлений. Замысловато, конечно… Возможно, потому что и сама призма — непростое понятие. Давайте разберемся с ней с точки зрения математики. Многие из нас пользуются стикерами. Для записи своих дел, для закладок, для пометок при ведении конспектов. Даже если мы ими не пользуемся, то наверняка видели их в магазинах или у родственников и друзей. Один такой стикер можно принять за плоскость. Теперь вспомним, как выглядит упаковка с ними. Много-много стикеров накладываются друг на друга и получается небольшая объемная фигура, сверху и снизу которой лежат два абсолютно одинаковых листа. При этом сразу заметим, что нижний и верхний стикеры будут параллельны друг другу. На самом деле, упаковка со стикерами является не чем иным, как призмой! Призма — это многогранник, в котором две грани являются равными многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях, а все остальные — параллелограммами. Упаковка стикеров является объемной фигурой, в основаниях которой лежат равные прямоугольники. А боковые стороны упаковки являются параллелограммом. Таким образом, упаковка стикеров полностью соответствует определению призмы. Определение может показаться немного запутанным, но в нем нет ничего страшного. Разберемся, поближе взглянув на составные призмы. Представим себе обычную коробку. Ее дно и крышка равны между собой и лежат в параллельных плоскостях. Это и есть равные многоугольники. Также их называют основаниями призмы. Посмотрим на стенки коробки. Они являются параллелограммами, просто с прямыми углами. Подробнее про параллелограммы можно прочитать в статье «Параллелограмм». Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы. Возьмем линейку и измерим расстояние между основаниями призмы. Для этого из любой точки одного основания проведем перпендикуляр к другому. Подробнее про расстояния между плоскостями можно узнать в статьях «Углы в пространстве» и «Расстояния между фигурами». Может возникнуть вопрос, что мы сейчас нашли? Мы нашли высоту призмы. Высота призмы — перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на другое основание призмы. В задачах намного удобнее опускать перпендикуляр не из произвольной точки, а из вершины призмы. Рассмотрим элементы призмы. Ребро — это линия пересечения двух плоскостей. Представим, что вместо картонных стенок в нашей коробке ткань, которую нам нужно натянуть на каркас так, чтобы коробка не изменилась. В этом случае все прямые этого каркаса и будут ребрами. Ребра бывают двух видов: Отличить их также легко: ребра основания являются стороной многоугольника, который в нем лежит, в то время как боковые ребра не принадлежат основаниям. У боковых ребер есть одно очень важное свойство: они равны между собой и параллельны. Диагональ призмы — отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. Например, мы можем взять клетку попугая и от угла до угла сделать ему жердочку, чтобы птичке было весело жить. Эта жердочка и будет диагональю призмы. Вернемся к рассуждениям о том, чем упаковка стикеров похожа на призму. Например, куб и параллелепипед будут отличаться. А если в основании призмы будет лежать треугольник или шестиугольник? Или двадцатиугольник? Разделим призмы на несколько видов. Мы рассмотрим две классификации. В первом случае будем рассматривать призмы по фигурам, которые лежат в основании. В многоугольнике может быть множество сторон, а значит, и в основании призмы может быть треугольник, четырехугольник, шестиугольник, десятиугольник и так далее. В зависимости от фигуры в основании призмы могут называться по-разному. Вот три основных, которые чаще всего встречаются при решении заданий: Аналогичным образом можно дать название любой призме, например, десятиугольная призма или стоугольная призма. В определении призмы сказано, что в боковых гранях лежат параллелограммы. До этого мы чертили только прямоугольники, но в боковых гранях могут лежать не только они. С этим связана вторая классификация призм. По этому признаку призмы делятся всего на два вида: Разберемся в них чуть подробнее. Прямая призма — призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям. В этом случае боковые ребра и ребра оснований действительно образовывают прямоугольник. Наклонная призма — призма, боковые ребра которой находятся под углом к основаниям. Где мы можем найти прямые и наклонные призмы? Оказывается, в архитектуре. Обычный жилой дом типовой застройки будет прямой призмой. А вот примером наклонной призмы может служить комплекс зданий “Ворота Европы” в Мадриде. Чуть подробнее остановимся на прямых призмах. Они встречаются достаточно часто и обладают несколькими важными свойствами. Посмотрите на свою комнату. Если по плану квартиры она будет многоугольником, то вы как бы сидите в призме. Теперь ответим на вопрос: как найти высоту комнаты? Простой ответ: померить по стене. А если посмотреть на угол, то можно заметить, что ребро призмы совпадает с высотой. Таким образом, мы получаем первое свойство прямых призм. Свойство 1. Высота прямой призмы совпадает с её боковым ребром. Посмотрим на стены комнаты, на их форму. Они все являются прямоугольниками, верно? Свойство 2. Все боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Многие комнаты и помещения, особенно в типовой застройке, обладают формой призмы. Сидя в комнате, в классе, в столовой, даже в автобусе — мы как бы находимся внутри большой призмы. Если мы в основании прямой призмы разместим правильный многоугольник, у нас получится правильная призма. Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Например, в правильной треугольной призме будет лежать равносторонний треугольник, а в правильной шестиугольной призме — правильный шестиугольник. Еще одной разновидностью прямоугольной призмы является параллелепипед. Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой являются параллелограммами. Параллелепипеды встречаются повсюду: коробки, мебель, комнаты, здания, склады, магазины. Поэтому изучить их не составит труда. Свойство параллелепипеда, видимое невооруженным глазом: противоположные грани параллелепипеда равны. Как пример, вспомним ту же комнату: потолок и пол равны, так же как и стены, находящиеся напротив друг друга. Нельзя не упомянуть про одно очень важное свойство параллелепипеда: Какие бывают параллелепипеды? Параллелепипеды также бывают прямыми и наклонными. В этих случаях все определения такие же, как и для всех остальных призм. Рассмотрим несколько интересных свойств прямого параллелепипеда. 1 свойство. Боковые ребра прямого параллелепипеда перпендикулярны основаниям. 2 свойство. Высота прямоугольного параллелепипеда равна длине его бокового ребра. 3 свойство. Боковые грани, которые лежат напротив друг друга, равны между собой и являются прямоугольниками. Прямые параллелепипеды можно разделить еще на два вида: Рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда. 1 свойство. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. 2 свойство. Все углы в прямоугольном параллелепипеде, образованные двумя гранями, равны 90°. 3 свойство. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин его ширины, длины и высоты. Таким образом, мы получаем важную формулу для параллелепипеда. Пример 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Два ребра, выходящие из одной его вершины, равны \(\sqrt<35>\) и \(\sqrt<46>\). Диагональ параллелепипеда равна 15. Найдите третье ребро параллелепипеда. Решение. Пусть третье ребро параллелепипеда равняется х. Получаем уравнение: \(15^2 = (\sqrt<35>)^2 + (\sqrt<46>)^2 + x^2\) Ответ: 12. У прямоугольного параллелепипеда существует еще несколько видов. Прямоугольные параллелепипеды делятся на: Таким образом, мы рассмотрели все виды параллелепипеда. Однако ни одна задача не может быть решена без формул. Поэтому необходимо рассмотреть несколько основных формул, которые могут встретиться не только в задачах, но и в жизни. Немного вспомним моделирование, а именно развертку кубика. Мы знаем, что из листа бумаги без труда можно сложить кубик, если правильно его вычертить. Задумали вы вечером сыграть с семьей или друзьями в настольную игру. Но вот незадача: игральные кости опять куда-то запропастились. Не беда.Достаточно вычертить на листе бумаги несколько квадратов, вырезать получившуюся фигуру, согнуть по ребрам и склеить между собой с помощью клея. В итоге получатся кубики для игры. На рисунке оранжевым показаны основания, а желтым боковые грани нашего будущего кубика. А теперь представим, что нам нужно найти площадь боковой поверхности. Как это сделать? Нужно найти площади желтых квадратиков и сложить их. Площадь боковой поверхности призмы — сумма площадей всех боковых ее граней. Единой формулы тут нет, поскольку призмы могут очень сильно отличаться друг от друга. В произвольных призмах придется считать площадь каждой боковой грани, а уже после их складывать. Но есть один фокус! Правда, он работает только для прямой призмы. Если по условию дана прямая призма, то можно воспользоваться формулой В этой формуле Р — периметр основания, h — высота призмы, которая совпадает с высотой боковой грани. Пример 1. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равняется 2, а высота 10. Решение. Шаг 1. Поскольку правильная призма по определению прямая, мы можем воспользоваться формулой S = Ph. Шаг 2. В основании правильной призмы лежит правильный шестиугольник, следовательно, периметр основания будет равен 6 * 2 = 12. Шаг 3. Осталось найти только площадь боковой поверхности. Подставляем данные в формулу и получаем: S = 12 * 10 = 120. Ответ: 120. Пример 2. Дана прямая треугольная призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5. Высота призмы равна 13. Найдите площадь ее боковой поверхности. Решение. Шаг 1. Поскольку призма прямая, можно воспользоваться формулой S = Ph. Шаг 2. Найдем периметр основания. Для этого необходимо найти гипотенузу треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора: \(\sqrt <12^2 + 5^2>= \sqrt <144 + 25>= \sqrt <169>= 13\). Шаг 3. Найдем периметр основания: P = 12 + 5 + 13 = 30. Шаг 4. Осталось найти только площадь боковой поверхности. Подставляем данные в формулу и получаем: S = 30 * 13 = 390. Ответ: 390. Мы научились находить площадь боковой поверхности. А как найти всю площадь призмы? Вспомним нашу развертку с кубиком. Чтобы найти всю площадь кубика, нужно найти площадь всех квадратов, из которых он состоит. То есть и площадь боковой поверхности, и площадь оснований. Площадь полной поверхности призмы — сумма площадей всех граней. Следовательно, нам нужно сложить площади всех боковых граней и дважды площадь основания. Получаем следующую формулу. Пример 3. Дана прямая призма, в основании которой лежит ромб с диагоналями 12 и 16. Боковое ребро призмы равно 25. Найдите площадь поверхности призмы. Решение. Шаг 1. Найдем площадь основания. Площадь ромба можно найти по формуле \(\frac<1> <2>* D_1 * D_2\). Следовательно, площадь ромба равна \(\frac<1> <2>* 12 * 16 = 96\). Шаг 2. Заметим, что диагонали ромба образуют четыре равных прямоугольных треугольника. Следовательно, чтобы найти сторону ромба, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. По теореме Пифагора сторона ромба будет равна \(\sqrt <6^2 + 8^2>= \sqrt <36 + 64>= \sqrt <100>= 10\). Шаг 3. Периметр ромба будет равен 4 * 10 = 40. Тогда площадь боковой поверхности равна 40 * 25 = 1000. Шаг 4. Площадь полной поверхности будет равняться 1000 + 2 * 96 = 1000 + 192 = 1192. Ответ: 1192 Пример 4. Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы равняется 1980. Сторона основания равна 5. Найдите боковое ребро этой призмы. Решение. Шаг 1. Воспользуемся формулой S = Sбок + 2Sосн. Площадь основания будет равняться площади квадрата, то есть 5 * 5 = 25. Шаг 2. Подставим известные величины в формулу: Шаг 3. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр равен 5 * 4 = 20. Тогда получаем уравнение: Шаг 4. Поскольку по условию дана правильная призма, то высота совпадает с боковым ребром. Следовательно, боковое ребро равняется 96,5. Ответ: 96,5. Теперь рассмотрим, как найти объем призмы. Допустим, мы налили в прямоугольный аквариум немного воды. Как определить, сколько воды мы налили? Для этого достаточно воспользоваться формулой объема призмы. Эта формула общая, однако для каждой призмы она может принять свой вид в зависимости от того, какую формулу нужно использовать для поиска площади основания или высоты. Например, чтобы найти объем воды в аквариуме, необходимо длину умножить на ширину и на высоту, а значит формула принимает вид V = abh. Для этого достаточно перемножить ширину, длину аквариума и высоту воды. Тем самым мы найдем объем призмы, форму которой принимает вода в аквариуме. Пример 5. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 12 и 15. Боковое ребро призмы равно 4. Найдите объем этой призмы. Решение. Шаг 1. Для начала найдем площадь основания. В этом случае мы можем воспользоваться формулой \(\frac<1><2>ab\). Площадь равна \(\frac<1> <2>* 12 * 15 = 90\). Шаг 2. Воспользуемся формулой объема призмы и подставим известные величины: Ответ: 360. Пример 6. Дан сосуд, в основании которого лежит правильный треугольник. В этот сосуд налили 3000 см 3 воды. Высота жидкости оказалась равной 10 см. После этого в сосуд опустили шарик и высота изменилась с 10 см на 14 см. Найдите объем шарика. Решение. Немного вспомним физику, а именно тот факт, что объем вытесненной жидкости равен объему тела. Значит, чтобы найти объем шарика, необходимо найти насколько изменился объем воды. Шаг 1. Найдем площадь основания сосуда. Для этого немного преобразуем формулу объема: Шаг 2. А теперь найдем объем после того, как в воду погрузили шарик. Он будет равен 300 * 14 = 4200. Шаг 3. Объем вытесненной жидкости равен 4200 — 3000 = 1200. Ответ: 1200. Мы рассмотрели основные формулы, которые применяются для решения задач. Стоит заметить, что они универсальны, и в каждой задаче их рационально преобразовывать под ситуацию. Задание 1. Задание 2. Задание 3. Задание 4. Задание 5. Ответы: 1. — 4 2. — 1 3. — 2 4. — 4 5. — 3 Содержание: Ранее вы уже знакомились с призмой, т. е. многогранником, две грани которого — равные Равные грани-многоугольники призмы лежат в параллельных плоскостях и называются основаниями призмы, а остальные грани-параллелограммы — боковыми гранями. Ребра боковых граней, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называют диагональю призмы (рис. 1). Плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение призмы диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 2 показаны два диагональных сечения призмы. Призмы разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Призма, изображенная на рисунке 1, — шестиугольная, а на рисунке 2, — девятиугольная. Отличают прямые и наклонные призмы в зависимости от того, перпендикулярны или не перпендикулярны боковые ребра призмы ее основаниям. Обычно при изображении прямой призмы ее боковые ребра проводят вертикально. Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной призмой. В прямой призме все боковые грани — прямоугольники, а в правильной — равные прямоугольники. Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания призмы к плоскости другого основания, называется высотой призмы. На рисунке 3 показаны две высоты Боковые грани составляют боковую поверхность призмы, а боковые грани вместе с основаниями — полную поверхность призмы. Теорема 1. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра: Доказательство: Пусть имеется При переходе (1) мы учли, что все боковые ребра призмы равны друг другу, при переходе (2) — то, что сумма Следствие 1. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания и высоты. Действительно, перпендикулярное сечение прямой призмы равно ее основанию, а боковое ребро является высотой. Частным видом призмы является параллелепипед, т. е. призма, основанием которой является параллелограмм. Параллелепипед, как и призма, может быть прямым или наклонным. Прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом. Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны друг другу, называется кубом. У параллелепипеда все грани — параллелограммы, из которых у прямого параллелепипеда прямоугольниками являются боковые грани, а у прямоугольного параллелепипеда — все грани. 12 ребер параллелепипеда разделяются на три четверки равных ребер (рис. 5), его 6 граней — на три пары равных граней (рис. 6), а 4 диагонали пересекаются в одной точке, являющейся центром симметрии параллелепипеда (рис. 7). Прямой параллелепипед еще имеет ось симметрии (рис. 8) и плоскость симметрии (рис. 9). Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 10) и три плоскости симметрии (рис. 11). Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (рис. 12), и все его диагонали равны друг другу. Важной характеристикой плоской фигуры является ее площадь. Подобной характеристикой тела является его объем. Будем считать, что изучаемые нами тела имеют объем. За единицу объема принимают объем куба с ребром 1. На практике пользуются разными единицами объема: как метрическими — кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр, кубический километр, так и неметрическими — галлон, барель, бушель, кварта. Для объема тела выполняются его основные свойства: При этом равными фигурами называют фигуры, которые преобразуются друг в друга определенным движением. Например, равными являются две шестиугольные правильные призмы, у которых соответственно равны стороны оснований и высоты (рис. 13), или два цилиндра с соответственно равными радиусами оснований и образующими (рис. 14). Тело, изображенное на рисунке 15, можно разделить на цилиндр и конус, и его объем равен сумме объемов этих цилиндра и конуса. Два тела с равными объемами называют равновеликими телами. Равные тела являются равновеликими, но не наоборот. Вы знаете, что объем Учитывая, что в формуле Теорема 2. Объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты: Доказательство: Пусть имеется произвольный параллелепипед У параллелепипеда Наконец, применив еще раз такое преобразование к граням Множитель Теорема 3. Объем призмы равен произведению площади ее основания и высоты: Доказательство: Рассмотрим сначала треугольную призму Объем параллелепипеда Отсюда следует, что объем призмы Учитывая, что сумма в скобках выражает площадь S основания данной призмы, получим: Следствие 2. Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания и бокового ребра. С призмой вы уже знакомы. Несмотря на это, мы напомним определение призмы и её свойства. Если основания прямой призмы являются правильными многоугольниками, то её называют правильной (рис. 24). Боковые грани правильной призмы это равные между собой прямоугольники. Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки одного основания к другому, называют его перпендикуляром (рис. 23.b). Сечение призмы, проходящее через соответствующие диагонали его оснований, называют диагональным сечением (рис. 24.а) и их число равно числу диагоналей одного из оснований. Перпендикулярным сечением призмы называют сечение перпендикулярное всем его боковым рёбрам (рис. 25). так как В каждом диагональном сечении призмы можно провести две диагонали. Следовательно, n-угольная призма имеет Пример: В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами соответственно равны 7 см, 15 см и 20 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром. Решение: Известно, что расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую. Тогда длины сторон перпендикулярного сечения ABC (рис. 26). Наибольшая грань призмы проходит через наибольшую сторону АС= 20 см этого сечения. Расстояние от рёбра призмы В2В1 до плоскости грани Тогда по формуле Герона получаем: С другой стороны, Отсюда Ответ: 4,2 см. Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называют параллелепипедом (рис. 27). Параллелепипеды также как и призмы могут быть прямыми (рис. 27.а) и наклонными (рис. 27.b). Грани параллелепипеда, не имеющие общую вершину, называют противоположными гранями. Прямой параллелепипед, основания которого являются прямоугольники, называют прямоугольным параллелепипедом (рис. 29). Очевидно, что все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 30) и три плоскости симметрии (рис. 31). Длины трех рёбер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда называют его измерениями. Свойство: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали d равен сумме квадратов его измерений: а, b и с (рис.32): Прямоугольный параллелепипед, все измерения которого равны, называют кубом. Очевидно, что все грани куба являются равными квадратами. Куб имеет один центр симметрии, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии. Выше были перечислены свойства призмы. Некоторые из них были показаны в 10 классе. Доказательства остальных свойств проще, поэтому их доказательства вы можете провести самостоятельно. На рисунке 33 проведены высоты НН1 DD1 призмы АВСDЕ—А1В1С1D1Е1. Очевидно, что высоты правильной призмы будут равны её боковому рёбру. Боковая поверхность призмы (точнее, площадь боковой поверхности)равна сумме боковых поверхностей ее граней, а полная поверхнасть равна сумме боковой поверхности и площадей двух ее оснований. Теорема. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту: Доказательство. Пусть высота данной прямой призмы равна Тогда Теорема. Боковая поверхность произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призмы на ее боковое ребро: Доказательство. Пусть периметр перпендикулярного сечения призмы равен Р (рис. 35). Сечение делит призму на две части (рис. 36.а). Совершим параллельный перенос одной из этих частей так, чтобы основания нашей призмы совпали. В результате мы получим новую прямую призму (рис. 36.b). Очевидно, что, боковая поверхность этой призмы равна боковой поверхности данной. Её основанием является перпендикулярное сечение, а боковое ребро равно Тогда по доказанной выше теореме: Одним из свойств, характеризующих геометрические тела в пространстве, является понятие объема. Каждый предмет (тело) занимает некоторую часть пространства. Например, кирпич по сравнению со спичечным коробком занимает большую часть пространства. Для сравнения этих частей между собой вводится понятие объёма. Объёмы тел измеряют различными способами или вычисляют. Например, объёмы маленьких предметов можно измерить с помощью сосудов (мензурки) с мелкими делениями (шкалами) (рис. 46). А объём ведра можно измерить с помощью сосуда, имеющего единичный объём, наполнив его водой (рис. 47). Но таким способом мы не можем измерить объёмы всех тел. В таких случаях объём вычисляют различными способами. Ниже рассмотрим их без доказательств. Теорема. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерeний (рис.48): Следствие. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (рис. 49): Теорема. Объём произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (рис. 50): Это свойство вытекает из вышеупомянутого следствия. На рисунке 50 показано как данный параллелепипед преобразовать в прямоугольный параллелепипед. Воспользовавшись этим самостоятельно обоснуйте свойство. Теорема. Объём прямой призмы равен произведению площади его основания на высоту (рис. 51): Если объём данной призмы, площадь её основания и высота V, S и h, то объём полученного прямоугольного параллелепипеда, площадь его основания и высота будут соответственно равны 2V, 2S и h. Следовательно Объём данной призмы равен сумме объёмов составляющих её треугольных призм: или Теорема. Объём произвольной призмы равен произведению площади его основания на высоту: По рисунку 5.3 докажите эту теорему самостоятельно, сначала для треугольной призмы (рис. 5.3.а), затем для любой призмы (рис. 5.3.b). Стороны основания прямого параллелепипеда равны а и b, а угол между ними 30°. Найдите его объём, если площадь его боковой поверхности равна S. Решение: Обозначим высоту параллелепипеда h(рис. 54). Тогда по условию задачи: При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC. Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.>_<боков.>>=\textОткрыть ответы…
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Добавить комментарий Отменить ответ
5 комментариев
26 ноября 2017
Огромное вам спасибо за созданный сайт, он очень удобен и информативен. Мне сложно представить какое количество времени было потрачено на «переработку» материала в понятном и доступном виде.Теперь есть источник чистых знаний, без лишней «воды», который не только помогает узнать новое, но и систематизировать информацию в голове. Жаль, что я не нашел сайт раньше. Вы лучшие!
21 февраля 2018
Сайт отличный!Все подробно описано. Никогда не понимал эту тему, но благодаря создателям этого сайта я наконец понял эту тему. Спасибо вам за ваши труды. Очень вам благодарен.
29 марта 2018
Аааааааа,это просто лучшее. Никогда не разбиралась в геометрии…Готовясь к зачету искала все сайты на эту тему. Нашла вас. Ввы все объяснили просто и доступно. Спасибо большое!
21 мая 2018
Красивый сайт, ничего глаза не режет, смотреть и читать приятно.
27 февраля 2019
можете указать свои инициалы? мне это для проекта надо)
29 апреля 2019
Преподнесено очень понятным языком, с наглядными картинками, спасибо) Хотелось бы хоть пример одной задачи и решение чтобы было открыто бесплатно, чтобы понять на сколько хорошо поясняете, но я думаю все ок.
27 апреля 2020
Спасибо! Я — учитель и мне очень понравилось!
04 июня 2020
Все очень доступно и понятно. Только вот не написано в статье про диагональ призмы. А так все просто супер, подготовился к сессии по данному материалу 🙂
05 июня 2020
Николай, спасибо. Диагонали в разных призмах разные, а в треугольной её и вовсе нет, поэтому длина диагонали — частный случай, а не какая-то полезная формула. Стоит рассмотрения разве что диагональ прямоугольного параллелепипеда — она вычисляется по теореме Пифагора и равна корню из суммы квадратов рёбер.Призма
Призма
Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:
В основании лежит треугольник.
В основании лежит четырехугольник
1. Прямоугольник
2. Ромб
3. Трапеция
Рассмотрим площади правильных многоугольников:
Подобие треугольников
Прямоугольный треугольник и его свойства:
Теорема Пифагора
$α$ $30$ $45$ $60$ $sinα$ $<1>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<√3>/<2>$ $cosα$ $<√3>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<1>/<2>$ $tgα$ $<√3>/<3>$ $1$ $√3$ $ctgα$ $√3$ $1$ $<√3>/<3>$ Теорема синусов
Теорема косинусов
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
2) 
3) 
5) 
Треугольная призма все формулы и примеры задач
Определение
Элементы треугольной призмы
Виды треугольных призм
Прямая треугольная призма
Наклонная треугольная призма
Основные формулы для расчета треугольной призмы
Объем треугольной призмы
Площадь боковой поверхности призмы
Площадь полной поверхности призмы
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.Пример призмы
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.Задачи на расчет треугольной призмы
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:
Площадь призмы
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
2) 3) 5) Призма
На этой странице вы узнаете
Определение призмы
Чем упаковка стикеров похожа на призму? Строение призмы
Виды призм
Как можно попасть в призму в реальной жизни? Определение параллелепипеда
Прямой параллелепипед
d 2 = a 2 + b 2 + c 2
225 = 35 + 46 + x 2
x 2 = 144
x = 12
Формулы для призмы
Как сложить игральные кости из листа бумаги? Как найти объем воды в аквариуме?
\(S = \frac
Тогда:
\(S = \frac<3000> <10>= 300\)Фактчек
Проверь себя
Что такое диагональ призмы?
Что такое прямая призма?
Как найти высоту прямой призмы?
Какая фигура лежит в основании прямоугольного параллелепипеда?
Как найти площадь полной поверхности призмы?
Что такое призма
и 
призмы 
. У прямой призмы ее высота равна боковому ребру.
-угольная призма 
. Пересечем ее плоскостью 
, перпендикулярной боковому ребру. Получим перпендикулярное сечение 
, стороны которого перпендикулярны сторонам параллелограммов, составляющим боковую поверхность призмы. Поэтому для боковой поверхности 
получим:
выражает периметр 
перпендикулярного сечения призмы, а множитель 
— длину 
бокового ребра.
прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений 
, 
, 
(рис. 16): 
.
произведение 
выражает площадь 
основания прямоугольного параллелепипеда, а число 
— его высоту 
, получим, что объем 
прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты: 
.
(рис. 17). Через ребро 
проведем плоскость, перпендикулярную ребру 
, она отсечет от параллелепипеда треугольную призму 
(рис. 18). После параллельного сдвига этой призмы в направлении отрезка 
получим призму 
. Параллелепипед 
равновелик с данным параллелепипедом 
. Выполненное преобразование параллелепипеда также сохраняет объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту.
его боковые грани 
и 
перпендикулярны плоскости основания. К граням 
и 
, которые не перпендикулярны плоскости основания, применим такое же преобразование, в результате которого получим прямой параллелепипед 
(рис. 19), в котором сохраняются объем, площадь основания и высота.
и 
прямого параллелепипеда 
, получим прямоугольный параллелепипед 
(рис. 20), сохранив объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту.
есть площадь основания параллелепипеда 
, а множитель 
выражает его высоту, так как 
есть перпендикуляр, возведенный из точки 
основания 
к другому основанию 
. Значит, объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты.
(рис. 21). Дополним ее до параллелепипеда 
(рис. 22). Точка 
пересечения диагоналей диагонального сечения 
этого параллелепипеда является его центром симметрии. Это означает, что достроенная призма 
симметрична данной призме 
относительно центра , а потому эти призмы равны друг другу. Значит, объем параллелепипеда 
равен удвоенному объему данной призмы.
равен произведению площади его основания 
и высоты. Но площадь его основания 
равна удвоенной площади основания 
данной призмы, а высота параллелепипеда равна высоте призмы.
равен площади ее основания 
и высоты. Теперь рассмотрим произвольную призму 
(рис. 23).
Призма и её сечения
число диагоналси выпуклого n-угольника, то число диагональных сeчeний n-угольной призмы также равно .
диагоналей.
равно высоте BD треугольника ABC.
,
.
.
или 
см.Параллелепипед и куб
.Площади боковой и полной поверхности призмы
, а периметр основания 
(рис. 34). Известно, что каждая грань прямой призмы является прямоугольником. Основания прямоугольников равны соответствующим сторонам основания призмы, а высоты равны высоте призмы.
.
Объем призмы
Объём параллелепипеда
.
.
.
Нахождение объёма призмы
.
или 
Пример:
