На этой странице представлен онлайн-калькулятор для быстрого и точного нахождения длины окружности через диаметр, радиус или площадь окружности. У вас есть возможность получить не только верный ответ для необходимой вам задачи на нахождение длины окружности, но также и наглядные решения примера данных задач. Эти возможности очень полезны для того, чтобы убедиться в правильности своего решения или быстро найти какие-либо ошибки.
Длина окружности через радиус
Формула нахождения длины окружности через радиус выглядит следующим образом:
$L = 2 \cdot π \cdot r$, где
А сейчас прорешаем пример задачи на нахождение длины окружности через известный ее радиус, чтобы убедиться в правильности своего решениz и в правильности ответа данного калькулятора.
Найти: длину окружности L.
Решение: Используем формулу длины окружности через радиус:
Этот калькулятор определяет длину окружности и площадь круга по известным радиусу или диаметру окружности.
Для расчета введите одну из величин: радиус, диметр, площадь или длину окружности и нажмите на кнопку Рассчитать для расчета остальных величин.
Определения и формулы
В геометрии окружностью называется совокупность точек на плоскости, которые находятся на одном расстоянии от точки, называемой центром окружности. Иными словами, окружность — это геометрическое место точек, находящихся в одной плоскости и равноудаленных от точки, называемой центром. Расстояние между любой точкой окружности до центра этой окружности называется радиусом. Мы привыкли видеть окружность в форме круглой линии или круга. Однако так окружность выглядит только в евклидовой геометрии. В некоторых метрических пространствах, например, в чебышевском или манхэттенском пространстве окружности выглядят скорее квадратными.
Диаметр круга — это наибольший отрезок, соединяющий две точки на окружности. Или, точнее, это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу. Любой диаметр разделяет окружность, а точнее, круг, на две равные половины.
Говоря точным языком, окружность — это линия или замкнутая кривая, которая окружает часть плоскости, называемую кругом.
Длина окружности
Длина C окружности — это длина замкнутой плоской кривой, ограничивающей круг, то есть это расстояние, равное длине границы круга. Она измеряется в единицах длины. Если разделить длину любой окружности на ее диаметр D, получится число 3.14159265359… Это число — одна из самых важных констант в математике, которое обозначается греческой буквой пи ( π ):
где R — радиус окружности. Если решить это уравнение для длины окружности, мы получим формулу, которая всем нам знакома с детства:
Математическая константа π широко используется в многих формулах в математике, технике, архитектуре и строительстве. Несмотря на то, что число π известно с древних времен, греческой буквой пи его стали обозначать совсем недавно — с середины XVIII века. π — иррациональное и трансцендентное число. Это означает, что его нельзя точно представить в виде простой дроби и оно не является корнем любого многочлена с рациональными коэффициентами. Есть много чисел, которые являются иррациональными, но не являются трансцендентными. Например, √2 — иррациональное, но не трансцендентное число, так как оно является корнем уравнения x² — 2 = 0. Интересно отметить, что поскольку точное значение π определить невозможно, значит невозможно найти и точное значение длины окружности или площади любого круга.
Площадь круга
Поскольку TranslatorsCafe.com — сайт для переводчиков, в том числе с английского языка, вначале отметим, что в английском языке площадь круга не совсем корректно называется area of a circle, что буквально означает «площадь окружности», то есть площадь кривой линии (окружность — это кривая!), а, как известно, у линии не может быть площади. Но ничего, так уж сложилось и англоговорящие люди привыкли к этой неточности.
Итак, площадь A круга, то есть части плоскости, лежащей внутри окружности радиуса R, равна произведению числа π на квадрат радиуса:
Во многих других языках, в том числе и в русском, такой путаницы в терминах «круг» и «окружность» нет. Впрочем, она есть в других терминах. Площадь круга можно также описать как число единичных квадратов, которые покрывают круг, лежащий внутри окружности.
Окружности в архитектуре
Окружность — весьма совершенная форма, потому что каждая точка окружности находится на одном и том же расстоянии от ее центра. Как и другие совершенные формы, окружность часто используют архитекторы. Круг и окружность широко применяются в архитектуре, и это при том, что круглые здания строить труднее, чем здания прямоугольной формы. Поэтому для постройки круглых зданий всегда была нужна особая мотивация. Возможно, что самая серьезная мотивация была религиозной. Окружности и сферы можно найти практически в любой культуре, религии или системе верований в качестве магических знаков или символов. Многие культовые здания и сооружения являются окружностями в плане — например, буддийские ступы в форме полусферы или Стоунхендж.
Архитекторы считают окружность и сферу самыми совершенными из всех геометрических форм. Покрытия зданий в форме верхней части сферы, то есть купола, широко применяются в архитектуре и бывают различных форм и размеров. Они могут быть полусферическими или заостренной на вершине формы, или с конусным верхом, который можно увидеть в исламской архитектуре. Они могут иметь совершенную сферическую форму, как римские и византийские купола или могут плавно заостряться на вершине, и тогда купол становится похожим на луковицу, как в православных храмах или в архитектурных стилях Великих Моголов.
Окружность в технике
Невозможно представить себе технику без колес и других деталей в форме окружности. Некоторые из них (например, шасси самолетов и колеса автомобилей) хорошо видны. Другие спрятаны в компьютерах, стиральных и посудомоечных машинах, холодильниках, турбинах и другом оборудовании.
Окружности в сельском хозяйстве
Пролетая над пустынями, в которых ничего не растет, мы часто видим зеленые круги. Это поля, которые имеют такую форму из-за того, что фермеры используют системы кругового орошения с центральной осью, вокруг которой вращается оросительное устройство.
Вас могут заинтересовать и другие калькуляторы из группы «Математика»:
Математика
На этих страницах размещены конвертеры единиц измерения, позволяющие быстро и точно перевести значения из одних единиц в другие, а также из одной системы единиц в другую. Конвертеры пригодятся инженерам, переводчикам и всем, кто работает с разными единицами измерения.
Мы работаем над обеспечением точности конвертеров и калькуляторов TranslatorsCafe.com, однако мы не можем гарантировать, что они не содержат ошибок и неточностей. Вся информация предоставляется «как есть», без каких-либо гарантий. Условия.
Если вы заметили неточность в расчётах или ошибку в тексте, или вам необходим другой конвертер для перевода из одной единицы измерения в другую, которого нет на нашем сайте — напишите нам!
Если диаметр колеса больше или меньше стандартного, то показания спидометра не будут отражать реальную скорость автомобиля. Так, например, если диаметр шины меньше стандартного, то спидометр будет показывать скорость больше, чем она есть на самом деле. И на оборот.
Влияние размера шин на клиренс
Чем больше диаметр шины, тем больше клиренс. При этом если, например, вы поменяли колесо с диаметром 60 см, на колесо с диаметром 64 см, то клиренс вырос на 2 см.
Длина окружности: формулы поиска по радиусу, равному половине диаметра
Окружность состоит из множества точек, которые находятся на равном расстоянии от центра. Это плоская геометрическая фигура, и найти ее длину не составит труда. С окружностью и кругом человек сталкивается ежедневно независимо от того, в какой сфере он работает. Многие овощи и фрукты, устройства и механизмы, посуда и мебель имеют круглую форму. Кругом называют то множество точек, которое находится в границах окружности. Поэтому длина фигуры равна периметру круга.
Характеристики фигуры
Кроме того, что описание понятия окружности достаточно простое, её характеристики также несложные для понимания. С их помощью можно вычислить её длину. Внутренняя часть окружности состоит из множества точек, среди которых две — А и В — можно увидеть под прямым углом. Этот отрезок называют диаметром, он состоит из двух радиусов.
В пределах окружности имеются точки Х такие, что не изменяется и не равняется единице отношение АХ/ВХ. В окружности это условие обязательно соблюдается, в ином случае эта фигура не имеет форму круга. На каждую точку, из которых состоит фигура, распространяется правило: сумма квадратов расстояний от этих точек до двух других всегда превышает половину длины отрезка между ними.
Основные термины окружности
Для того чтобы уметь находить длину фигуры, необходимо знать основные термины, касающиеся её. Основные параметры фигуры — это диаметр, радиус и хорда. Радиусом называют отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на её кривой. Величина хорды равна расстоянию между двумя точками на кривой фигуры. Диаметр — расстояние между точками, проходящее через центр фигуры.
Основные формулы для вычислений
Параметры используются в формулах вычислений величин окружности:
Это интересно: что такое горизонтально, что означает слово горизонталь?
Диаметр в формулах вычисления
В экономике и математике нередко появляется необходимость поиска длины окружности. Но и в повседневной жизни можно столкнуться с этой надобностью, к примеру, во время постройки забора вокруг бассейна круглой формы. Как рассчитать длину окружности по диаметру? В этом случае используют формулу C = π*D, где С — это искомая величина, D — диаметр.
Например, ширина бассейна равна 30 метрам, а столбики забора планируют поставить на расстоянии десяти метров от него. В этом случае формула расчёта диаметра: 30+10*2 = 50 метров. Искомая величина (в этом примере — длина забора): 3,14*50 = 157 метров. Если столбики забора будут стоять на расстоянии трёх метров друг от друга, то всего их понадобится 52.
Расчёты по радиусу
Как вычислить длину окружности по известному радиусу? Для этого используется формула C = 2*π*r, где С — длина, r — радиус. Радиус в круге меньше диаметра в два раза, и это правило может пригодиться в повседневной жизни. К примеру, в случае приготовления пирога в раздвижной форме.
Для того чтобы кулинарное изделие не испачкалось, необходимо использовать декоративную обёртку. А как вырезать бумажный круг подходящего размера?
Те, кто немного знаком с математикой, понимают, что в этом случае нужно умножить число π на удвоенный радиус используемой формы. Например, диаметр формы равен 20 сантиметрам, соответственно, её радиус составляет 10 сантиметров. По этим параметрам находится необходимый размер круга: 2*10*3, 14 = 62,8 сантиметра.
Подручные способы вычисления
Если найти длину окружности по формуле нет возможности, то стоит воспользоваться подручными методами расчёта этой величины:
Круглые предметы в истории человеческой жизни
Первое изделие круглой формы, которое изобрёл человек — это колесо. Первые конструкции представляли собой небольшие округлые бревна, насаженные на оси. Затем появились колёса, сделанные из деревянных спиц и обода. Постепенно в изделие добавляли металлические детали для уменьшения износа. Именно для того, чтобы узнать длину металлических полос для обивки колёса, учёные прошлых веков искали формулу расчёта этой величины.
Форму колеса имеет гончарный круг, большинство деталей в сложных механизмах, конструкциях водяных мельниц и прялок. Нередко встречаются круглые предметы в строительстве — рамки круглых окон в романском архитектурном стиле, иллюминаторы в суднах. Архитекторы, инженеры, учёные, механики и проектировщики ежедневно в сфере своей профессиональной деятельности сталкиваются с надобностью расчёта размеров окружности.
Урок 25 Бесплатно Длина окружности и площадь круга
На этом уроке мы рассмотрим одни из самых древнейших геометрических фигур: окружность и круг.
Определим, какими элементами характеризуются круг и окружность, в чем сходство и различие этих фигур.
Узнаем, как рассчитать длину окружности и площадь круга.
Окружность и круг
Мы часто встречаем такие понятия, как окружность и круг.
Давайте попробуем разобраться, что называют окружностью, а что кругом.
Центр окружности— это точка, которая находится на одинаковом расстоянии (равноудаленная) от любой точки окружности, ее обозначают обычно заглавной буквой О.
Свои имена окружность и круг приобрели не сразу.
В древние времена специальных названий для этих фигур не существовало. Люди пытались описать различные геометрические формы, сравнивая объекты. Например, говоря про что-то круглое, говорили: «такой, как солнце» или «такой, как орех» и т.п.
Только в Древней Греции окружность и круг приобрели себе свои названия.
Круг всегда привлекал к себе внимание как самая простая фигура из кривых, но самая загадочная.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Древние греки считали круг и окружность символом бесконечности и совершенства. Поражало то, что в каждой своей точке окружность устроена одинаково, представляя собой бесконечную линию, которая движется сама по себе.
У древних славян еще за долго до христианства круг был символом солнца.
Символика круга в различных религиях сопоставляется с целостностью, вечностью и бесконечной мудростью.
У буддистов круг символизирует единство внутреннего и внешнего мира.
В христианстве круг служит эталоном божественного и духовного совершенства.
В живой и неживой природе круги и окружности встречаются как на макроуровнях, так и на микроуровнях. Например, движение электронов вокруг атомного ядра; вращение планет вокруг солнца; распространение волн на воде от упавшего груза; образование солнечного и лунного гало; срез дерева; зрачок глаза у человека и многое другое.
Рассмотрим подробней элементы, характерные для окружности.
Радиус окружности— это отрезок, соединяющий центр окружности и любую другую точку, расположенную на линии окружности.
С латинского радиус (radius)- луч, спица колеса. Радиус не сразу приобрел себе такое название.
Слово радиус впервые встречается в 1569 году у французского ученого П. Рамуса, а общепризнанным становится к концу XVII века.
Радиус обозначается маленькой латинской буквой (r) или заглавной (R).
В окружности можно провести столько же радиусов, сколько точек имеет линия окружности; все эти радиусы равны.
Обычно диаметр обозначают латинской маленькой буквой d или заглавной D.
По величине диаметр равен двум радиусам, лежащим на одной прямой.
d = 2r
Следовательно, радиус- это половина диаметра.
r = d: 2
Пример 1
Радиус окружности равен 6 см.
Чему равен диаметр окружности?
r = 6 см
Решение:
d = 2r
d = 2r= 2*6 = 12 (см) диаметр окружности
Ответ: d= 12 см
Пример 2
Диаметр окружности равен 12 см.
Чему равен радиус окружности?
d = 12 см
Решение:
r = d : 2
r = 12 : 2 = 6 (см) радиус окружности
Ответ: r = 6 см
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Образовались две дуги: \(\mathbf<\cup AB\ и\ \cup BA>\)
Отрезок, который соединяет любые две точки на окружности (отрезок секущей), называется хордой.
На рисунке отрезок MN является хордой.
Если хорда проходит через центр окружности, то она является самой большой хордой для этой окружности. По своей сути она является диаметром для данной окружности и делит окружность на две равные дуги.
По мере удаления хорды от центра размеры ее уменьшаются, а дуги делятся на большую и малую.
АВ— самая большая хорда окружности- диаметр окружности.
CD, N1M1,NM, FE— хорды окружности.
Хорды окружности, удаленные на равные расстояния от центра, равны.
Хорды NM и N1M1 равны.
Если две хорды пересекаются в точке, то их отрезки пропорциональны.
Важно отметить, что все рассмотренные элементы окружности одинаковы и для круга.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Длина окружности и площадь круга
Давайте выясним, что такое длина окружности и как ее определить.
Представьте, что окружность обернута нитью.
Если разрезать эту нить в некоторой точке и размотать ее, то длина нитки будет равна длине окружности.
Обычно длина окружности обозначается заглавной буквой С
Длина окружности (С) зависит от длины ее диаметра (d)
Обратите внимание на рисунок.
Вы можете заметить, что чем больше диаметр, тем больше длина окружности.
Из этого следует, что длина окружности прямо пропорционально зависит от диаметра окружности.
А значит, для любых окружностей отношение длины окружности (С) к длине диаметра (d) является числом постоянным.
Это число (коэффициент пропорциональности) обозначают греческой буквой \(\mathbf<\pi>\), читается «пи».
С— это длина окружности
d— диаметр окружности
запишем отношение \(\mathbf\)
отсюда следует, что длина окружности равна
Так как диаметр окружности вдвое больше радиуса d = 2r, получим еще одну формулу для вычисления длины окружности
Число \(\mathbf<\pi>\)- это иррациональное число, т.е. число, которое представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
История числа \(\mathbf< \pi>\) насчитывает около 4 тысячелетий.
Одно из первых доказательств древнего существования этого числа \(\mathbf< \pi>\) заключено в папирусе Ахмеса, в одном из старейших задачников (1650 год до н.э.), найденного в Древнем Египте.
В папирусе дано достаточно точное, особенного для того времени, значение числа, равного 3,1605.
Точнее число \(\mathbf< \pi>\) рассчитал древнегреческий математик Архимед. Он приближенно представил значение константы в виде обыкновенной дроби \(\mathbf<\frac <22><7>>\)
Архимеду удалось найти точное приближение числа \(\mathbf< \pi>\) (т.е. узкий числовой промежуток к которому принадлежит число \(\mathbf< \pi>\)).
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Решения задач по теме «Длина окружности и площадь круга»
Рассмотрим примеры решения задач
Задача 1
Найдите длину окружности, если ее радиус равен 4 см.
Число \(\mathbf<<\pi>>\) округлите до сотых.
r = 4 см
Решение:
Подставив в формулу известные значения радиуса и постоянной \(\mathbf<\pi>\), получим:
Ответ: \(\mathbf\)(см)
Задача 2
Длина окружности надувного бассейна 15,7м.
Найдите диаметр этого бассейна.
Число \(\mathbf<\pi>\) округлите до сотых.
C= 15,7 м
Решение:
Подставив в формулу известные значения длины окружности и постоянной \(\mathbf<\pi>\), получим:
Ответ: \(\mathbf\) (м)
Задача 3
Диаметр окружности равен 6 см.
Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.
Значение числа \(\mathbf<\pi>\) округлить до сотых.
d= 6cм
Решение:
\(\mathbf<4><\cdot>3,14<\cdot>6^2 = \frac <3,14<\cdot>36> <4>> = 3,14<\cdot>9=28,26\) (cм 2 ) площадь круга
Ответ: \(\mathbf\) (см 2 )
Задача 4
Вычислите площадь полукруга, если радиус круга равен 5 см.
Значение \(\mathbf<\pi >\) округлить до целых.
r= 5cм
Решение:
Площадь круга найдем по формуле:
Площадь полукруга будет равна половине площади всего круга.
Следовательно, формула для расчета площади полукруга получится вида:
Подставим в формулу известные значения радиуса круга и постоянной \(\mathbf<\pi>\), получим:
\(\mathbf <2>=37,5>\) (cм 2 ) площадь полукруга
Ответ: \(\mathbf\) (см 2 )
Задача 5
Найдите площадь круга, если известна длина окружности С.
Длина окружности С
Решение:
Длина окружности выражается формулой:
Выразим неизвестный радиус окружности через длину окружности:
Площадь круга определяем по формуле:
Подставим, полученные выражения для радиуса окружности, в формулу площади круга, получим:
Сократим полученную дробь:
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Кроме вычислительных задач, существуют задачи на построение окружности и круга.
Окружность и круг можно начертить с помощью чертежного инструмента, который называется циркуль.
В переводе с латинского языка circulus означает «окружность», «круг».
Циркуль использовали еще с древности, много тысяч лет назад, об этом свидетельствуют найденные на раскопках находки, изображения.
Циркуль представляет собой две одинаковые по длине «ножки». На конце одной из них игла, а на второй- грифель.
Есть циркуль, у которого вместо «ножки» с грифелем помещается карандаш.
Рассмотрим, как построить окружность (круг) на бумаге с помощью циркуля и линейки.
Если задан радиус окружности (круга), то в нулевую отметку на линейке ставим иголку циркуля, другая «ножка» циркуля с грифелем в точку на линейке, равной по значению заданному радиусу.
Не отрывая грифеля второй «ножки» циркуля от бумаги проводим окружность с заданным радиусом.
Если в задаче задан диаметр, то, прежде чем совершать замер по линейке, необходимо диаметр разделить пополам.
Таким образом, устанавливаем раствор циркуля по линейке на расстояние d:2 = r и чертим окружность по выше изложенной схеме.
Данный способ построения окружности (круга) может быть применен и на бумаге, если под рукой не оказалось циркуля.
В качестве колышка берется кнопка, к ней привязывается нить определенной длинны (длина нити равна значению заданного радиуса), ко второму концу привязывается карандаш
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Как рассчитать длину окружности по формулам через диаметр, равный двум радиусам
Окружность — это множество точек, которое располагается на одинаковом расстоянии от ее центра, представленного точкой.
Для любой точки L, лежащей на окружности, действует равенство OL=R. (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).
Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой.
Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D). Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R
Длина окружности вычисляется по формуле: C=2pi R
Площадь круга: S=pi R^
Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD. Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.
Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.
Длину дуги можно найти по формуле:
Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.
В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N, то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N, равны между собой.
ANcdot NB = CN cdot ND
Касательная к окружности
Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.
Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.
Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.
AC cdot BC = EC cdot DC
Углы в окружности
Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.
angle COD = cup CD = alpha ^
Вписанная окружность
Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.
В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.
Описанная окружность
Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.
Теорема Птолемея
Окружность
Диаметр: наибольшее расстояние от одной границы окружности до другой. Диаметр равен двум радиусам. $d = 2cdot r$
Формулы
Центральный угол
Если вы знаете длину дуги (в дюймах, ярдах, футах, сантиметрах, метрах …) вы можете найти значение её соответствующего центрального угла ($ heta$) по формуле:
Вписанный угол
Вписанный угол это угол с вершиной на окружности и со сторонами, которые содержат хорды окружности. На рисунке, угол APB это вписанный угол.
Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается.
Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.
Иногда секущие пересекаются за пределами окружности. Когда это случается, величина образующихся углов равна половине разности дуг, на которые они опираются.
$angle ABC =frac<1><2>(x — y)$
На рисунке дуга AB=80° и дуги CD=30°. $angle ABC = frac<1><2>(80 — 30) = frac<1> <2>cdot 50 = 25^circ$
Хорды
Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Справочник по математике
Геометрия (Планиметрия)
Окружность и круг
Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.
Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.
Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Формулы для площади круга и его частей
Формулы для длины окружности и её дуг
Площадь круга
Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).
Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.
Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна
Длина окружности
Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна 2π.
Длина дуги
Площадь сектора
Площадь сегмента
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Как посчитать длину круга зная диаметр. Как рассчитать длину окружности, если не указан диаметр и радиус круга
Окружность встречается в повседневной жизни не реже, чем прямоугольник. А у многих людей задача о том, как рассчитать длину окружности, вызывает затруднение. И все потому, что у нее нет углов. При их наличии все стало бы намного проще.
Что такое окружность и где она встречается?
Эта плоская фигура представляет собой некоторое количество точек, которые расположены на одинаковом удалении от еще одной, которая является центром. Это расстояние называется радиусом.
В повседневной жизни нечасто приходится вычислять длину окружности, кроме людей, которые являются инженерами и конструкторами. Они создают проекты механизмов, в которых используются, например, шестеренки, иллюминаторы и колеса. Архитекторы создают дома, имеющие круглые или арочные окна.
В каждом из этих и других случаях требуется своя точность. Причем высчитать длину окружности совершенно точно оказывается невозможно. Связано это с бесконечностью основного числа, имеющегося в формуле. «Пи» до сих пор уточняется. И используется чаще всего округленное значение. Степень точности выбирается такой, чтобы дать максимально верный ответ.
Обозначения величин и формулы
Теперь легко ответить на вопрос о том, как рассчитать длину окружности по радиусу, для этого потребуется такая формула:
Поскольку радиус и диаметр связаны друг с другом, то есть и другая формула для расчетов. Так как радиус в два раза меньше, то выражение немного видоизменится. И формула того, как рассчитать длину окружности, зная диаметр, будет следующей:
Как быть, если нужно вычислить периметр круга?
Просто вспомнить, что круг включает в себя все точки внутри окружности. А значит, его периметр совпадает с ее длиной. И после того, как рассчитать длину окружности, поставить знак равенства с периметром круга.
Кстати, и обозначения у них такие же. Это касается радиуса и диаметра, а периметром является латинская буква P.
Примеры заданий
Условие. Узнать длину окружности, радиус которой равен 5 см.
Решение. Здесь несложно понять, как рассчитать длину окружности. Нужно только воспользоваться первой формулой. Поскольку радиус известен, то потребуется только подставить значения и сосчитать. 2 умноженное на радиус, равный 5 см, даст 10. Осталось еще умножить его на значение π. 3,14 * 10 = 31,4 (см).
Условие. Имеется колесо, длина окружности которого известна и равна 1256 мм. Необходимо вычислить его радиус.
Решение. В этом задании потребуется воспользоваться той же формулой. Но только известную длину нужно будет разделить на произведение 2 и π. Получается, что произведение даст результат: 6,28. После деления остается число: 200. Это искомая величина.
Условие. Вычислить диаметр, если известна длина окружности, которая равна 56,52 см.
Решение. Аналогично предыдущей задаче потребуется разделить известную длину на значение π, округленное до сотых. В результате такого действия получается число 18. Результат получен.
Условие. Стрелки часов имеют длину 3 и 5 см. Нужно вычислить длины окружностей, которые описывают их концы.
Решение. Поскольку стрелки совпадают с радиусами окружностей, то потребуется первая формула. Ею нужно воспользоваться два раза.
Для первой длины произведение будет состоять из множителей: 2; 3,14 и 3. Итогом будет число 18,84 см.
Для второго ответа нужно перемножить 2, π и 5. Произведение даст число: 31,4 см.
Ответ: l 1 = 18,84 см, l 2 = 31,4 см.
Условие. Белка бегает в колесе диаметром 2 м. Какое расстояние она пробегает за один полный оборот колеса?
Решение. Это расстояние равно длине окружности. Поэтому нужно воспользоваться подходящей формулой. А именно перемножить значение π и 2 м. Подсчеты дают результат: 6,28 м.
Ответ: Белка пробегает 6,28 м.
И в чем ее отличие от круга. Возьмите ручку или цвета и нарисуйте на листке бумаги обычный круг. Закрасьте всю середину полученной фигуры синим карандашом. Красный контур, обозначающий границы фигуры, — это окружность. А вот синее содержимое внутри нее — и есть круг.
Размеры круга и окружности определяются диаметром. На красной линии, обозначающей окружность, отметьте две точки таким образом, чтобы они оказались зеркальным отражением друг друга. Соедините их линией. Отрезок обязательно пройдет через точку в центре окружности. Этот отрезок, соединяющий противоположные части окружности, и называется в геометрии диаметром.
Отрезок, который тянется не через центр окружности, но смыкается с ней противоположными концами, называется хордой. Следовательно, хорда, пролегающая через точку центра окружности, и является ее диаметром.
Обозначается диаметр латинской буквой D. Находить диаметр окружности можно по таким значениям, как площадь, длина и радиус круга.
Расстояние от центральной точки до точки, отложенной на окружности, называется радиусом и обозначается буквой R. Знание величины радиуса помогает вычислить диаметр окружности одним несложным действием:
К примеру, радиус — 7 см. Умножаем 7 см на 2 и получаем величину, равную 14 см. Ответ: D заданной фигуры равен 14 см.
Иногда приходится определять диаметр окружности лишь по ее длине. Здесь необходимо применить специальную формулу, помогающую определить Формула L = 2 Пи * R, где 2 — это неизменная величина (константа), а Пи = 3,14. А так как известно, что R = D * 2, то формулу можно представить и другим способом
Данное выражение применимо и как формула диаметра окружности. Подставив известные в задаче величины, решаем уравнение с одним неизвестным. Допустим, длина равна 7 м. Следовательно:
S — в данном случае Допустим, в задаче она равна 30 кв. м. Получаем:
Нередко находить диаметр окружности приходится и в быту. К примеру, при определении что равносильно его диаметру. Для этого необходимо обмотать палец потенциального обладателя кольца ниткой. Отметить точки соприкосновения двух концов. Измерить линейкой длину от точки до точки.
Полученное значение умножаем на 3,14, следуя формуле определения диаметра при известной длине. Так что, утверждение о том, что познания в геометрии и алгебре в жизни не пригодятся, не всегда соответствует действительности.
А это является серьезным поводом для того, чтобы более ответственно относиться к школьным предметам.
Очень часто при решении школьных заданий по или физике возникает вопрос — как найти длину окружности, зная диаметр? На самом деле никаких сложностей в решении этой проблемы нет, нужно только чётко представлять себе, какие формулы , понятия и определения требуются для этого.
Длина окружности
Длина окружности. Число Пи Площадь круга Площадь сферы. Объём шара
Возьмем циркуль. Установим ножку циркуля с иглой в точку «O», а ножку циркуля с карандашом будем вращать вокруг этой точки. Таким образом, мы получим замкнутую линию. Такую замкнутую линию называют — окружность.
Рассмотрим более подробно окружность. Разберёмся, что называют центром, радиусом и диаметром окружности.
Число π и длина окружности
Прежде чем разобраться, как считается длина окружности, необходимо выяснить, что такое число π (читается как «Пи»), которое так часто упоминают на уроках.
В далекие времена математики Древней Греции внимательно изучали окружность и пришли к выводу, что длина окружности и её диаметр взаимосвязаны.
Отношение длины окружности к её диаметру является одинаковым для всех окружностей и обозначается греческой буквой π («Пи»). π ≈ 3,14…
Число «Пи» относится к числам, точное значение которых записать невозможно ни с помощью обыкновенных дробей, ни с помощью десятичных дробей. Нам для наших вычислений достаточно использовать значение π, округленное до разряда сотых π ≈ 3,14…
Теперь, зная, что такое число π, мы можем записать формулу длины окружности.
Как найти длину окружности
Чтобы закрепить полученные знания, решим задачу на окружности.
Виленкин 6 класс. Номер 831
Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см. Число π округлите до сотых.
Воспользуемся формулой длины окружности:
C = 2πR ≈ 2 · 3,14 · 24 ≈ 150,72 см
Определите диаметр окружности, если её длина равна 56,52 дм. (π ≈ 3,14).
Выразим из формулы длины окружности диаметр.
C = πD D = С / π D = 56,52 / 3,14 = 18 дм
На рисунке ниже отметим на окружности две точки «A» и «B». Эти точки делят окружность на две части, каждую из которых называют дугой. Это синяя дуга «AB» и черная дуга «AB». Точки «A» и «B» называют концами дуг.
Соединим точки «A» и «B» отрезком. Полученный отрезок называют хордой.
Важно!
Точки «A» и «B» делят окружность на две дуги. Поэтому важно понимать, какую дугу вы имеете в виду, когда пишите дуга «AB».
Для того чтобы избежать путаницы, часто вводят дополнительную точку на нужной дуге и обращаются к ней по трем точкам.
Расчет радиуса формула. Как найти длину окружности: через диаметр и радиус
Именно на этой теме они узнают про загадочное число Пи – это лудольфово число, как оно называлось раньше. Число Пи иррационально, так как его представление в виде десятичной дроби бесконечно. На практике используется его усеченный вариант из трех цифр: 3.14.
Эта константа выражает отношение длины любой окружности к ее диаметру. Шестиклассники решают задачи, выводя по одной данности и числа «Пи» остальные характеристики окружности и круга.
В тетрадях и на классной доске они в масштабе вычерчивают абстрактные сферы и производят мало что говорящие вычисления.
А на практике
На практике такая задача может возникнуть в ситуации, когда, например, возникает необходимость проложить трассу определенной протяженности для проведения каких-либо состязаний со стартом и финишем в одном месте.
Высчитав радиус, вы сможете на плане выбрать прохождение этой трассы, с циркулем в руке рассматривая варианты с учетом географических особенностей региона.
Перемещая ножку циркуля – равноудаленного центра от будущей трассы, можно уже на этом этапе предусмотреть, где на участках будут подъемы, где спуски, учитывая естественные перепады рельефа. Также сразу можно определиться и с участками, где лучше разместить трибуны для болельщиков.
Радиус из окружности
Итак, предположим, что вам для проведения соревнований по автокроссу необходима круговая трасса длиной 10 000 м. Вот нужная формула для определения радиуса (R) окружности при известной её длине (C): R=C/2п (п – число, равное 3.14).Подставив имеющиеся значения, вы легко получаете результат:
R = 10 000:3.14 = 3 184. 71 (м) или 3 км 184 м и 71 см.
От радиуса к площади
Зная радиус окружности, легко можно определить площадь, которая будет изъята из ландшафта. Формула площади круга (S): S=пR2При R = 3 184. 71 м она составит: S = 3.14 х 3 184. 71 х 3 184. 71 = 31 847 063 (кв. м) или почти 32 квадратных километров.
Множество предметов в окружающем мире имеют круглую форму. Это колеса, круглые оконные проемы, трубы, различная посуда и многое другое. Подсчитать, чему равна длина окружности, можно, зная ее диаметр или радиус.
Существует несколько определений этой геометрической фигуры.
Обратите внимание! Есть и другие определения. Круг – это область внутри окружности. Периметр круга и есть ее длина. По разным определениям круг может включать или не включать саму кривую, являющуюся его границей.
Формулы
Обычно для нахождения нужной величины достаточно использовать π до второго знака, то есть 3,14, это обеспечит нужную точность.
На калькуляторах, в частности инженерных, может быть кнопка, которая автоматически вводит значение числа π.
Для нахождения через диаметр существует следующая формула:
Если L уже известно, можно легко узнать радиус или диаметр. Для этого L нужно поделить на 2π или на π соответственно.
Если уже дана круга, нужно понимать, как найти длину окружности по этим данным. Площадь круга равняется S = πR2. Отсюда находим радиус: R = √(S/π). Тогда
Число пи
Без числа π решить рассматриваемую задачу не получится. Число π впервые и было найдено как отношение длины окружности к ее диаметру. Это сделали еще древние вавилоняне, египтяне и индийцы. Нашли они его довольно точно – их результаты отличались от известного сейчас значения π не больше, чем на 1%. Постоянную приближали такими дробями как 25/8, 256/81, 339/108.
Далее значение этой постоянной считали не только с позиции геометрии, но и с точки зрения математического анализа через суммы рядов. Обозначение этой константы греческой буквой π впервые использовал Уильям Джонс в 1706 году, а популярно оно стало после работ Эйлера.
Сейчас известно, что эта постоянная представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь, она иррациональна, то есть ее нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. С помощью вычислений на суперкомпьютерах в 2011 году узнали 10-триллионный знак константы.
Это интересно! Для запоминания нескольких первых знаков числа π были придуманы различные мнемонические правила. Некоторые позволяют хранить в памяти большое число цифр, например, одно французское стихотворение поможет запомнить пи до 126 знака.
Если вам необходима длина окружности, онлайн-калькулятор поможет в этом. Таких калькуляторов существует множество, в них нужно только ввести радиус или диаметр.
У некоторых из них есть обе эти опции, другие вычисляют результат только через R. Некоторые калькуляторы могут рассчитать искомую величину с разной точностью, нужно указать число знаков после запятой.
Также с помощью онлайн-калькуляторов можно посчитать площадь круга.
Такие калькуляторы легко найти любым поисковиком. Также существуют мобильные приложения, которые помогут решить задачу, как найти длину окружности.
Длина окружности
Окружностью называется ряд равноудалённых точек от одной точки, которая, в свою очередь, является центром этой окружности. Окружность имеет также свой радиус, равный расстоянию этих точек от центра.
Отношение длины, какой либо окружности к её диаметру, для всех окружностей одинаково. Это отношение есть число, являющееся математической константой, которое обозначается греческой буквой π.
Определение длины окружности
Вычислить длину окружности, имеющей радиус 10 сантиметров.
Формула для вычисления дины окружности имеет вид:
Окружность представляет собой геометрическую фигуру, являющуюся совокупностью всех точек на плоскости, удаленных от заданной точки, которая называется ее центром, на некоторое расстояние, не равное нулю и именуемое радиусом.
Определять ее длину с различной степенью точности ученые умели уже в глубокой древности: историки науки считают, что первая формула для вычисления длины окружности была составлена примерно в 1900 году до нашей эры в древнем Вавилоне.
С такими геометрическими фигурами, как окружности, мы сталкиваемся ежедневно и повсеместно. Именно ее форму имеет внешняя поверхность колес, которыми оснащаются различные транспортные средства.
Эта деталь, несмотря на свою внешнюю простоту и незатейливость, считаются одним из величайших изобретений человечества, причем интересно, что аборигены Австралии и американские индейцы вплоть до прихода европейцев совершенно не имели понятия о том, что это такое.
По всей вероятности, самые первые колеса представляли собой отрезки бревен, которые насаживались на ось. Постепенно конструкция колеса совершенствовалась, их конструкция становилась все более и более сложной, а для их изготовления требовалось использовать массу различных инструментов.
Сначала появились колеса, состоящие из деревянного обода и спиц, а затем, для того, чтобы уменьшить износ их внешней поверхности, ее стали обивать металлическими полосами.
Для того чтобы определить длины этих элементов, и требуется использовать формулу расчета длины окружности (хотя на практике, вероятнее всего, мастера это делали «на глаз» или просто опоясывая колесо полосой и отрезая требуемый ее участок).
Следует заметить, что колесо используется отнюдь не только в транспортных средствах. Например, его форму имеет гончарный круг, а также элементы шестеренок зубчатых передач, широко применяемых в технике.
Издавна колеса использовались в конструкциях водяных мельниц (самые древние из известных ученым сооружений такого рода строились в Месопотамии), а также прялок, применявшихся для изготовления нитей из шерсти животных и растительных волокон.
Окружности нередко можно встретить и в строительстве. Их форму имеют достаточно широко распространенные круглые окна, очень характерные для романского архитектурного стиля.
Изготовление этих конструкций – дело весьма непростое и требует высокого мастерства, а также наличия специального инструмента.
Одной из разновидностей круглых окон являются иллюминаторы, устанавливаемые в морских и воздушных судах.
Таким образом, решать задачу определения длины окружности часто приходится инженерам-конструкторам, разрабатывающим различные машины, механизмы и агрегаты, а также архитекторам и проектировщикам.
Поскольку число π, необходимое для этого, является бесконечным, то с абсолютной точностью определить этот параметр не представляется возможным, и поэтому при вычислениях учитывается та ее степень, которая в том или ином конкретном случае является необходимой и достаточной.
Сегмент круга
Сегмент круга
Формулы вычисления параметров сегмента
Длина хорды: Высота сегмента: Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:
Знаков после запятой: 2
Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:
Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:
Знаков после запятой: 2
далее используется формула [1] для получения площади.
15 вычислений по сегменту круга в одной программе
Последний калькулятор включает в себя все оставшиеся вычисления параметров кругового сегмента:
Выберите два известных аргумента и калькулятор выдаст вам все оставшиеся.
Знаков после запятой: 2
Длина окружности и площадь круга
Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.
Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:
C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см)
Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.
Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.
Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π
следовательно радиус будет равен:
Задачи на площадь круга
Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.
Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:
S ≈ 3,14 · 22 = 3,14 · 4 = 12,56 (см2)
Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.
Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м2.
Число π
Длину окружности предметов, окружающих нас, можно измерить с помощью сантиметровой ленты или верёвки (нитки), длину которой потом можно померить отдельно.
Но в некоторых случаях померить длину окружности трудно или практически невозможно, например, внутреннюю окружность бутылки или просто длину окружности начерченной на бумаге.
В таких случаях можно вычислить длину окружности, если известна длина её диаметра или радиуса.
Чтобы понять, как это можно сделать, возьмём несколько круглых предметов, у которых можно измерить и длину окружности и диаметр. Вычислим отношение длины к диаметру, в итоге получим следующий ряд чисел:
Ведро
Таз
Бочка
Тарелка
Стакан
Окружность
91 см
157 см
220 см
78,5 см
23,9 см
Диаметр
29 см
50 см
70 см
25 см
7,6 см
Отношение (с точн. до 0,01)
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
Из этого можно сделать вывод, что отношение длины окружности к её диаметру это постоянная величина для каждой отдельной окружности и для всех окружностей в целом. Это отношение и обозначается буквой π.
Используя эти знания, можно по радиусу или диаметру окружности находить её длину. Например, для вычисления длины окружности с радиусом 3 см нужно умножить радиус на 2 (так мы получим диаметр), а полученный диаметр умножить на π. В итоге, с помощью числа π мы узнали, что длина окружности с радиусом 3 см равна 18,84 см.
Длина окружности: формулы поиска по радиусу, равному половине диаметра
Окружность состоит из множества точек, которые находятся на равном расстоянии от центра. Это плоская геометрическая фигура, и найти ее длину не составит труда. С окружностью и кругом человек сталкивается ежедневно независимо от того, в какой сфере он работает. Многие овощи и фрукты, устройства и механизмы, посуда и мебель имеют круглую форму. Кругом называют то множество точек, которое находится в границах окружности. Поэтому длина фигуры равна периметру круга.
Характеристики фигуры
Кроме того, что описание понятия окружности достаточно простое, её характеристики также несложные для понимания. С их помощью можно вычислить её длину. Внутренняя часть окружности состоит из множества точек, среди которых две — А и В — можно увидеть под прямым углом. Этот отрезок называют диаметром, он состоит из двух радиусов.
Это интересно: как переводить градусы в радианы?
В пределах окружности имеются точки Х такие, что не изменяется и не равняется единице отношение АХ/ВХ. В окружности это условие обязательно соблюдается, в ином случае эта фигура не имеет форму круга. На каждую точку, из которых состоит фигура, распространяется правило: сумма квадратов расстояний от этих точек до двух других всегда превышает половину длины отрезка между ними.
Основные термины окружности
Для того чтобы уметь находить длину фигуры, необходимо знать основные термины, касающиеся её. Основные параметры фигуры — это диаметр, радиус и хорда. Радиусом называют отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на её кривой. Величина хорды равна расстоянию между двумя точками на кривой фигуры. Диаметр — расстояние между точками, проходящее через центр фигуры.
Это интересно: какой четырёхугольник называется квадратом?
Основные формулы для вычислений
Параметры используются в формулах вычислений величин окружности:
Это интересно: что такое горизонтально, что означает слово горизонталь?
Диаметр в формулах вычисления
В экономике и математике нередко появляется необходимость поиска длины окружности. Но и в повседневной жизни можно столкнуться с этой надобностью, к примеру, во время постройки забора вокруг бассейна круглой формы. Как рассчитать длину окружности по диаметру? В этом случае используют формулу C = π*D, где С — это искомая величина, D — диаметр.
Например, ширина бассейна равна 30 метрам, а столбики забора планируют поставить на расстоянии десяти метров от него. В этом случае формула расчёта диаметра: 30+10*2 = 50 метров. Искомая величина (в этом примере — длина забора): 3,14*50 = 157 метров. Если столбики забора будут стоять на расстоянии трёх метров друг от друга, то всего их понадобится 52.
Расчёты по радиусу
Как вычислить длину окружности по известному радиусу? Для этого используется формула C = 2*π*r, где С — длина, r — радиус. Радиус в круге меньше диаметра в два раза, и это правило может пригодиться в повседневной жизни. К примеру, в случае приготовления пирога в раздвижной форме.
Для того чтобы кулинарное изделие не испачкалось, необходимо использовать декоративную обёртку. А как вырезать бумажный круг подходящего размера?
Те, кто немного знаком с математикой, понимают, что в этом случае нужно умножить число π на удвоенный радиус используемой формы. Например, диаметр формы равен 20 сантиметрам, соответственно, её радиус составляет 10 сантиметров. По этим параметрам находится необходимый размер круга: 2*10*3, 14 = 62,8 сантиметра.
Это интересно: формулировка и доказательство признаков параллелограмма.
Подручные способы вычисления
Если найти длину окружности по формуле нет возможности, то стоит воспользоваться подручными методами расчёта этой величины:
Круглые предметы в истории человеческой жизни
Первое изделие круглой формы, которое изобрёл человек — это колесо. Первые конструкции представляли собой небольшие округлые бревна, насаженные на оси. Затем появились колёса, сделанные из деревянных спиц и обода. Постепенно в изделие добавляли металлические детали для уменьшения износа. Именно для того, чтобы узнать длину металлических полос для обивки колёса, учёные прошлых веков искали формулу расчёта этой величины.
Форму колеса имеет гончарный круг, большинство деталей в сложных механизмах, конструкциях водяных мельниц и прялок. Нередко встречаются круглые предметы в строительстве — рамки круглых окон в романском архитектурном стиле, иллюминаторы в суднах. Архитекторы, инженеры, учёные, механики и проектировщики ежедневно в сфере своей профессиональной деятельности сталкиваются с надобностью расчёта размеров окружности.
Как найти длину окружности: через диаметр и радиус. Терминология, основные формулы и характеристика фигуры
Описания фигуры
Кроме достаточно простого описательного определения существуют еще три математических характеристики окружности, которые уже сами по себе содержат ответ на вопрос, как найти длину окружности:
Терминология
Не у всех в школе был хороший учитель математики. Поэтому ответ на вопрос, как найти длину окружности, осложняется еще и тем, что не все знают основные геометрические понятия. Радиус – отрезок, который соединяет центр фигуры с точкой на кривой. Особым случаем в тригонометрии является единичная окружность. Хорда – отрезок, который соединяет две точки кривой. Например, под это определение подпадает уже рассмотренный AB. Диаметр – это хорда, проходящая через центр. Число π равно длине единичной полуокружности.
Основные формулы
Из определений непосредственно следуют геометрические формулы, которые позволяют рассчитать основные характеристики окружности:
Как найти длину окружности по диаметру
Для простоты объяснения обозначим буквами необходимые для расчета характеристики фигуры. Пусть C – это искомая длина, D – ее диаметр, а число π приблизительно равно 3,14. Если у нас есть всего одна известная величина, то задачу можно считать решенной. Зачем это нужно в жизни? Предположим мы решили обнести круглый бассейн забором. Как вычислить необходимое количество столбиков? И тут на помощь приходит умение, как вычислить длину окружности. Формула выглядит следующим образом: C = π D. В нашем примере диаметр определяется на основе радиуса бассейна и необходимого расстояния до забора. Например, предположим, что наш домашний искусственный водоем составляет 20 метров в ширину, а столбики мы собираемся ставить на десятиметровом расстоянии от него. Диаметр получившейся окружности равен 20 + 10*2 = 40 м. Длина – 3,14*40 = 125,6 метров. Нам понадобятся 25 столбиков, если промежуток между ними будет около 5 м.
Длина через радиус
Как всегда, начнем с присвоения характеристикам окружности букв. На самом деле они являются универсальными, поэтому математикам из разных стран вовсе не обязательно знать язык друг друга. Предположим, что C – это длина окружности, r – ее радиус, а π приблизительно равно 3,14. Формула выглядит в этом случае следующим образом: C = 2*π*r. Очевидно, что это абсолютно правильное равенство. Как мы уже разобрались диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу, поэтому эта формула так и выглядит. В жизни этот способ тоже может часто пригодиться. Например, мы печем торт в специальной раздвижной форме. Чтобы он не испачкался, нам нужна декоративная обертка. Но как вырезать круг нужного размера. Здесь на помощь и приходит математика. Те, кто знают, как узнать длину окружности, сразу скажут, что нужно умножить число π на удвоенный радиус формы. Если ее радиус равен 25 см, то длина будет составлять 157 сантиметров.
Примеры задач
Мы уже рассмотрели несколько практических случаев полученных знаний о том, как узнать длину окружности. Но зачастую нас заботят не они, а реальные математические задачи, которые содержатся в учебнике. Ведь за них учитель выставляет баллы! Поэтому давайте рассмотрим задачу повышенной сложности. Предположим, что длина окружности составляет 26 см. Как найти радиус такой фигуры?
Решение примера
Для начала запишем, что нам дано: C = 26 см, π = 3,14. Также вспомним формулу: C = 2* π*R. Из нее можно извлечь радиус окружности. Таким образом, R= C/2/π. Теперь приступим к непосредственному расчету. Сначала делим длину на два. Получаем 13. Теперь нужно разделить на значение числа π: 13/3,14 = 4,14 см. Важно не забыть записать ответ правильно, то есть с единицами измерения, иначе теряется весь практический смысл подобных задач. К тому же за подобную невнимательность можно получить оценку на один балл ниже. И как бы досадно ни было, придется мириться с таким положением вещей.
Не так страшен зверь, как его малюют
Вот мы и разобрались с такой непростой на первый взгляд задачей. Как оказалось, нужно просто понимать значение терминов и запомнить несколько легких формул. Математика – это не так страшно, нужно только приложить немного усилий. Так что геометрия ждет вас!
Сегмент — плоская фигура, заключённая между дугой и её хордой. Как частный случай, круговой сегмент: часть круга, ограниченная дугой окружности и её хордой или секущей.
Для начала расчёта выберите известные параметры, по которым будут произведены расчёты, за тем введите их и нажмите кнопку «Рассчитать».
Если Вам необходим узнать по каким формулам ведется расчет для фигуры, а так же задать единицы измерения или сохранить расчет в PDF, то воспользуйтесь сайтом calc-online24.ru
Программа предназначена для вычисления высоты сегмента круга (окружности) при известных радиусе и хорде.
Сегментом можно назвать часть круга, лежащую между хордой данной окружности и дугой этой же окружности.
Формула для вычисления высоты сегмента круга (окружности) при известных радиусе и хорде имеет следующий вид:
Чтобы найти высоту сегмента круга (окружности), введите значения радиуса и хорды, и нажмите кнопку «ВЫЧИСЛИТЬ». Программа определит высоту сегмента круга h.
Исходные данные и результат вычислений можно копировать в буфер обмена для дальнейшего использования в других программах.
Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента – по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке: L — длина дуги сегмента c — хорда R — радиус a — угол сегмента h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента: [1] Длина дуги:
Сегмент
Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:
Параметры сегмента по хорде и высоте
Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:
Далее, зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле:
Остальные параметры сегмента вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи.
Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:
Теоретический вес 1 метра круга Мкр определяется по формуле: Mкр = L * ρу, где L — длина круга; ρу — теоретическая масса 1 м круга, вычисленная по его номинальным размерам:
При плотности стали ρ = 7850 кг/м³: ρу = 0,0061654 * d2, (кг/м), где d — диаметр круга в мм.
Популярные размеры стальных кругов, прутка, катанки в России
Таблицы веса круглого проката из разных марок стали и других металлов и сплавов по достпуным ГОСТ и ТУ
Наименование и размеры проката
Диаметр сечения проката d, мм
Вес 1 метра
Метров в тонне
Плотность, кг/м³
Стандарт
Круг 3
3
0.0560 кг.
17857.1 м.
7850
ГОСТ 7417-75
Круг 4
4
0.0990 кг.
10101 м.
7850
ГОСТ 7417-75
Круг 5
5
0.1540 кг.
6493.5 м.
7850
ГОСТ 2590-06
Круг 6
6
0.2220 кг.
4504.5 м.
7850
ГОСТ 2590-06
Круг 6
6
0.2220 кг.
4504.5 м.
7850
ГОСТ 7417-75
Круг 6.5
6.5
0.2600 кг.
3846.2 м.
7850
ГОСТ 7417-75
Круг 8
8
0.3950 кг.
2531.6 м.
7850
ГОСТ 2590-06
Круг 10
10
0.6160 кг.
1623.4 м.
7850
ГОСТ 7417-75
Круг 12
12
0.8880 кг.
1126.1 м.
7850
ГОСТ 2590-06
Круг 14
14
1.2080 кг.
827.8 м.
7850
ГОСТ 2590-06
Круг 16
16
1.5780 кг.
633.7 м.
7850
ГОСТ 2590-06
Круг 18
18
1.9980 кг.
500.5 м.
7850
ГОСТ 2590-06
Круг 20
20
2.4660 кг.
405.5 м.
7850
ГОСТ 2590-06
Круг 25
25
3.8500 кг.
259.7 м.
7850
ГОСТ 7417-75
Круг 30
30
5.5490 кг.
180.2 м.
7850
ГОСТ 2590-06
Круг 32
32
6.3100 кг.
158.5 м.
7850
ГОСТ 7417-75
Круг 40
40
9.8600 кг.
101.4 м.
7850
ГОСТ 1133-71
Круг 45
45
12.4800 кг.
80.1 м.
7850
ГОСТ 1133-71
Круг 50
50
15.4100 кг.
64.9 м.
7850
ГОСТ 7417-75
Круг 60
60
22.1900 кг.
45.1 м.
7850
ГОСТ 1133-71
Круг 70
70
30.2100 кг.
33.1 м.
7850
ГОСТ 2590-06
Круг 80
80
39.4580 кг.
25.3 м.
7850
ГОСТ 2590-06
Круг 90
90
49.9400 кг.
20 м.
7850
ГОСТ 2590-06
Круг 100
100
61.6500 кг.
16.2 м.
7850
ГОСТ 1133-71
Круг 120
120
88.7800 кг.
11.3 м.
7850
ГОСТ 1133-71
Стандарты ГОСТ и ТУ доступные в расчетах калькулятора и таблицах веса:
Дополнительная информация
Наиболее распространенные сортаменты круглого проката Ø 16, 18 и 20 по ГОСТ 2590-06 имеют следующий вес: 1.578, 1.998, 2.466 кг соответственно.
Вычисление радиуса: как найти длину окружности зная диаметр
Очень часто при решении школьных заданий по математике или физике возникает вопрос — как найти длину окружности, зная диаметр? На самом деле никаких сложностей в решении этой проблемы нет, нужно только чётко представлять себе, какие формулы, понятия и определения требуются для этого.
Основные понятия и определения
Площадь круга — это вся территория, заключённая внутри окружности. Она измеряется в квадратных единицах и обозначается латинской буквой s.
Пользуясь нашими определениями, приходим к выводу, что диаметр круга равен его самой большой хорде.
[warning]Внимание! Из определения, что такое радиус круга можно узнать, что такое диаметр круга. Это два радиуса отложенные в противоположных направлениях![/warning]
Нахождение длины окружности и её площади
Если нам дан радиус окружности, то диаметр окружности описывает формула d = 2*r. Таким образом, для ответа на вопрос, как найти диаметр круга, зная его радиус, достаточно последний умножить на два.
Формула длины окружности, выраженная через её радиус, имеет вид l = 2*П*r.
[warning]Внимание! Латинской буквой П (Пи) обозначается отношение длины окружности к её диаметру, и это есть непериодическая десятичная дробь. В школьной математике она считается заранее известной табличной величиной, равной 3,14![/warning]
Теперь перепишем предыдущую формулу, чтобы найти длину окружности через её диаметр, помня, в чём состоит его разница по отношению к радиусу. Получится: l = 2*П*r = 2*r*П = П*d.
Из курса математики известно, что формула, описывающая площадь окружности, имеет вид: s = П*r^2.
Теперь перепишем предыдущую формулу, чтобы найти площадь окружности через её диаметр. Получим,
s = П*r^2 = П*d^2/4.
Одним из самых сложных заданий в данной теме является определение площади круга через длину окружности и наоборот. Воспользуемся тем, что s = П*r^2 и l = 2*П*r. Отсюда получим r = l/(2*П). Подставим полученное выражение для радиуса в формулу для площади, получится: s = l^2/(4П). Абсолютно аналогичным способом определяется и длина окружности через площадь круга.
Определение длины радиуса и диаметра
[stop]Важно! Прежде всего узнаем, как измерить диаметр. Это очень просто — проводим любой радиус, продлеваем его в противоположную сторону до пересечения с дугой. Циркулем отмеряем полученное расстояние и с помощью любого метрического инструмента узнаем искомое![/stop]
Ответим на вопрос, как узнать диаметр окружности, зная её длину. Для этого выразим его из формулы l = П*d. Получим d = l/П.
Мы уже знаем как из длины окружности можно найти её диаметр, точно также найдём и радиус.
l = 2*П*r, отсюда r = l/2*П. Вообще, чтобы узнать радиус, его нужно выражать через диаметр и наоборот.
Пусть теперь требуется определить диаметр, зная площадь окружности. Используем то, что s = П*d^2/4. Выразим отсюда d. Получится d^2 = 4*s/П. Для определения самого диаметра потребуется извлечь корень квадратный из правой части. Получится d = 2*sqrt(s/П).
Решение типовых заданий
Это интересно! Что такое биссектриса треугольника: свойства, связанные с отношением сторон
Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс
Заключение
Исходя из приведённых выше рассуждений, можно прийти к выводу, что никаких сложностей в задачах, связанных с нахождением всевозможных характеристик окружности, нет. Достаточно хорошо выучить понятия и формулы, а также уметь производить арифметические действия, причём все выражения выводятся друг из друга.
Расчёт объёма, диаметра и веса труб: как избежать ошибок
Окружность состоит из множества точек, которые находятся на равном расстоянии от центра. Это плоская геометрическая фигура, и найти ее длину не составит труда. С окружностью и кругом человек сталкивается ежедневно независимо от того, в какой сфере он работает. Многие овощи и фрукты, устройства и механизмы, посуда и мебель имеют круглую форму. Кругом называют то множество точек, которое находится в границах окружности. Поэтому длина фигуры равна периметру круга. …
Характеристики фигуры
Кроме того, что описание понятия окружности достаточно простое, её характеристики также несложные для понимания. С их помощью можно вычислить её длину. Внутренняя часть окружности состоит из множества точек, среди которых две — А и В — можно увидеть под прямым углом. Этот отрезок называют диаметром, он состоит из двух радиусов.
Это интересно: как переводить градусы в радианы?
В пределах окружности имеются точки Х такие, что не изменяется и не равняется единице отношение АХ/ВХ. В окружности это условие обязательно соблюдается, в ином случае эта фигура не имеет форму круга. На каждую точку, из которых состоит фигура, распространяется правило: сумма квадратов расстояний от этих точек до двух других всегда превышает половину длины отрезка между ними.
Основные термины окружности
Для того чтобы уметь находить длину фигуры, необходимо знать основные термины, касающиеся её. Основные параметры фигуры — это диаметр, радиус и хорда. Радиусом называют отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на её кривой. Величина хорды равна расстоянию между двумя точками на кривой фигуры. Диаметр — расстояние между точками, проходящее через центр фигуры.
Это интересно: какой четырёхугольник называется квадратом?
Как определить полезный объём трубы
Срок службы системы отопления зависит от того, правильно ли рассчитан полезный объём трубы. Мельчайшие погрешности в вычислениях создают в сети избыточное давление, которое приводит к преждевременному износу коммуникаций, а при неоправданно низком давлении отопление не будет нормально функционировать.
Отправной точкой для расчёта полезного объёма трубы становится определение её внутреннего диаметра. Вычтите из значения наружного диаметра отрезка удвоенную толщину стенок – и вы узнаете, каков внутренний диаметр трубопровода. Учтите, что большинство производителей по умолчанию указывают в технической документации и накладных значение наружного диаметра труб.
Зная внутренний диаметр проката, найти радиус проще простого – разделите величину наружного диаметра на два, а затем рассчитайте площадь сечения трубы по формуле, знакомой со школьных лет: S = π*r2, где S – площадь сечения трубы; π = 3,14; r – радиус изделия. Все расчётные параметры сводят к общим метрическим единицам измерений; в нашем случае сантиметры и дюймы необходимо перевести в метры. Полезный объём трубы рассчитывается по другой формуле: V = S*L, где V – полезный объём трубы; S – площадь сечения; L – протяжённость сети на участках трубопровода с одинаковым диаметром.
Расчёт параметров теплообменника «труба в трубе»
Теплообменный аппарат «труба в трубе» сконструирован из нескольких звеньев, которые располагают друг над другом и соединяют специальными креплениями. Каждое звено состоит из двух труб, вставленных одна в другую. Корпус внешней трубы последовательно соединяется с соседними элементами, а внутренние трубы соединяются друг с другом съёмными калачами.
Теплообмен осуществляется в результате прямого или опосредованного контакта двух сред. Нагреваемая среда циркулирует во внутренней трубе, а греющий пар – по каналу, который образуют стенки внутренней и внешней труб. Небольшое сечение внутренней трубы поддерживает высокую скорость теплоносителя. Конструкция «труба в трубе» обладает тремя важными преимуществами:
Для расчёта параметров теплообменника составляют уравнение теплового баланса, в которое закладывают множество переменных:
В ходе монтажа решающее значение приобретают такие показатели, как площадь и геометрические характеристики теплообменника и основных узлов, экономическая эффективность системы, потери напора и параметры теплоизоляции.
Если вам трудно разобраться во всех тонкостях вычислений, поручите эту задачу профессионалам: многие инженерные компании оказывают услуги проектирования теплообменников и отопительных систем с последующим техническим сопровождением проектов. В идеале проектирование, монтажные работы и сервисное обслуживание сетей отопления должна выполнять одна и та же организация, хорошо знакомая со спецификой проекта.
Основные формулы для вычислений
Параметры используются в формулах вычислений величин окружности:
Это интересно: что такое горизонтально, что означает слово горизонталь?
Диаметр в формулах вычисления
В экономике и математике нередко появляется необходимость поиска длины окружности. Но и в повседневной жизни можно столкнуться с этой надобностью, к примеру, во время постройки забора вокруг бассейна круглой формы. Как рассчитать длину окружности по диаметру? В этом случае используют формулу C = π*D, где С — это искомая величина, D — диаметр.
Например, ширина бассейна равна 30 метрам, а столбики забора планируют поставить на расстоянии десяти метров от него. В этом случае формула расчёта диаметра: 30+10*2 = 50 метров. Искомая величина (в этом примере — длина забора): 3,14*50 = 157 метров. Если столбики забора будут стоять на расстоянии трёх метров друг от друга, то всего их понадобится 52.
Расчёты по радиусу
Как вычислить длину окружности по известному радиусу? Для этого используется формула C = 2*π*r, где С — длина, r — радиус. Радиус в круге меньше диаметра в два раза, и это правило может пригодиться в повседневной жизни. К примеру, в случае приготовления пирога в раздвижной форме. Для того чтобы кулинарное изделие не испачкалось, необходимо использовать декоративную обёртку. А как вырезать бумажный круг подходящего размера?
Те, кто немного знаком с математикой, понимают, что в этом случае нужно умножить число π на удвоенный радиус используемой формы. Например, диаметр формы равен 20 сантиметрам, соответственно, её радиус составляет 10 сантиметров. По этим параметрам находится необходимый размер круга: 2*10*3, 14 = 62,8 сантиметра.
Это интересно: формулировка и доказательство признаков параллелограмма.
Подручные способы вычисления
Если найти длину окружности по формуле нет возможности, то стоит воспользоваться подручными методами расчёта этой величины:
Длина окружности
Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π
Таким образом, длину окружности (C
) можно вычислить, умножив константу π на диаметр ( D ), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так: C
— длина окружности, π — константа, D — диаметр окружности, R — радиус окружности.
Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.
Круглые предметы в истории человеческой жизни
Первое изделие круглой формы, которое изобрёл человек — это колесо. Первые конструкции представляли собой небольшие округлые бревна, насаженные на оси. Затем появились колёса, сделанные из деревянных спиц и обода. Постепенно в изделие добавляли металлические детали для уменьшения износа. Именно для того, чтобы узнать длину металлических полос для обивки колёса, учёные прошлых веков искали формулу расчёта этой величины. Форму колеса имеет гончарный круг, большинство деталей в сложных механизмах, конструкциях водяных мельниц и прялок. Нередко встречаются круглые предметы в строительстве — рамки круглых окон в романском архитектурном стиле, иллюминаторы в суднах. Архитекторы, инженеры, учёные, механики и проектировщики ежедневно в сфере своей профессиональной деятельности сталкиваются с надобностью расчёта размеров окружности.
Как рассчитать длину окружности, если не указан диаметр и радиус круга
Перед нами стоит вопрос: «Как рассчитать длину окружности?»
Одной линейкой здесь не обойтись, необходимо знать специальные формулы. Единственное, что от нас потребуется — это определить диаметр или радиус круга. В некоторых задачах эти величины обозначены. Но что делать, если у нас нет ничего, кроме рисунка? Не беда. Диаметр и радиус можно вычислить с помощью обычной линейки. Теперь приступим к самому основному.
Формулы, которые должен знать каждый
Еще в Древнем Вавилоне, почти 4 000 лет назад, учёные выявили удивительное соотношение: если длину окружности разделить на ее диаметр, то получается одно и то же число, которое равно примерно 3,14. Это значение назвали числом «Пи», именно с этой буквы в древнегреческом языке начиналось слово «периметр» и «окружность». На основании того открытия, которое совершили древние ученые, можно рассчитать длину любой окружности:
Где P означает длину (периметр) окружности,
d – диаметр, П — число «Пи».
Длина окружности круга может также быть посчитана через ее радиус (r), который равен половине длины диаметра. Вот и вторая формула, которую нужно запомнить:
Как узнать диаметр окружности?
Диаметр окружности представляет собой хорду, которая проходит через центр фигуры. При этом она соединяет две наиболее удалённые точки в круге. Исходя из этого, можно самостоятельно прочертить диаметр (радиус) и измерить его длину с помощью линейки.
Способ 1: вписываем прямоугольный треугольник в круг
Рассчитать длину окружности будет несложно, если мы найдем ее диаметр. Необходимо начертить в круге прямоугольный треугольник, где гипотенуза будет равна диаметру окружности. Для этого необходимо иметь под рукой линейку и угольник, иначе ничего не получится.
Способ 2: вписываем любой треугольник
На стороне круга отмечаем три любые точки, соединяем их – получаем треугольник. Важно, чтобы центр окружности лежал в области треугольника, это можно сделать на глаз. Проводим к каждой стороне треугольника медианы, точка их пересечения совпадёт с центром окружности. А когда нам известен центр, можно с помощью линейки легко провести диаметр.
Способ 3: как рассчитать длину окружности подручными средствами
Данный способ очень похож на первый, но может применяться при отсутствии угольника или в тех случаях, когда нет возможности чертить на фигуре, например на тарелке. Необходимо взять лист бумаги с прямыми углами. Прикладываем лист к кругу так, чтобы одна вершина его угла соприкасалась с краем круга. Далее отмечаем точками места, где стороны бумаги пересекаются с линией окружности. Соединяем эти точки с помощью карандаша и линейки. Если под рукой ничего нет, просто согните бумагу. Эта линия и будет равна длине диаметра.
Пример задачи
Перед нами задача: как рассчитать длину окружности, если не даны никакие цифровые значения, кроме самого круга. Запоминаем алгоритм:
Как определить длину окружности зная диаметр. Как рассчитать длину окружности, если не указан диаметр и радиус круга
Формулы, которые должен знать каждый
Еще в почти 4 000 лет назад, учёные выявили удивительное соотношение: если длину окружности разделить на ее диаметр, то получается одно и то же число, которое равно примерно 3,14. Это значение назвали именно с этой буквы в древнегреческом языке начиналось слово «периметр» и «окружность». На основании того открытия, которое совершили древние ученые, можно рассчитать длину любой окружности:
Где P означает длину (периметр) окружности,
Длина окружности круга может также быть посчитана через ее радиус (r), который равен половине длины диаметра. Вот и вторая формула, которую нужно запомнить:
Как узнать диаметр окружности?
Представляет собой хорду, которая проходит через центр фигуры. При этом она соединяет две наиболее удалённые точки в круге. Исходя из этого, можно самостоятельно прочертить диаметр (радиус) и измерить его длину с помощью линейки.
Способ 1: вписываем прямоугольный треугольник в круг
Рассчитать длину окружности будет несложно, если мы найдем ее диаметр. Необходимо начертить в круге где гипотенуза будет равна диаметру окружности. Для этого необходимо иметь под рукой линейку и угольник, иначе ничего не получится.
Способ 2: вписываем любой треугольник
Данный способ очень похож на первый, но может применяться при отсутствии угольника или в тех случаях, когда нет возможности чертить на фигуре, например на тарелке. Необходимо взять лист бумаги с прямыми углами. Прикладываем лист к кругу так, чтобы одна вершина его угла соприкасалась с краем круга. Далее отмечаем точками места, где стороны бумаги пересекаются с линией окружности. Соединяем эти точки с помощью карандаша и линейки. Если под рукой ничего нет, просто согните бумагу. Эта линия и будет равна длине диаметра.
Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.
Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R
Площадь круга : S=\pi R^
Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.
Длину дуги можно найти по формуле:
Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Касательная к окружности
Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.
Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.
Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.
Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.
Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Углы в окружности
Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^
Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.
Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^
Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.
Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ <\circ>.
\angle ADB + \angle AKB = 180^
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.
Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.
Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.
Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.
В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.
Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.
Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:
p — полупериметр многоугольника,
r — радиус вписанной окружности.
Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:
Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.
В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
Описанная окружность
В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.
Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^ < \circ>.
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^
Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.
Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:
S — площадь треугольника.
Теорема Птолемея
Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.
Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
Окружность встречается в повседневной жизни не реже, чем прямоугольник. А у многих людей задача о том, как рассчитать длину окружности, вызывает затруднение. И все потому, что у нее нет углов. При их наличии все стало бы намного проще.
Что такое окружность и где она встречается?
Эта плоская фигура представляет собой некоторое количество точек, которые расположены на одинаковом удалении от еще одной, которая является центром. Это расстояние называется радиусом.
В повседневной жизни нечасто приходится вычислять длину окружности, кроме людей, которые являются инженерами и конструкторами. Они создают проекты механизмов, в которых используются, например, шестеренки, иллюминаторы и колеса. Архитекторы создают дома, имеющие круглые или арочные окна.
В каждом из этих и других случаях требуется своя точность. Причем высчитать длину окружности совершенно точно оказывается невозможно. Связано это с бесконечностью основного числа, имеющегося в формуле. «Пи» до сих пор уточняется. И используется чаще всего округленное значение. Степень точности выбирается такой, чтобы дать максимально верный ответ.
Обозначения величин и формулы
Теперь легко ответить на вопрос о том, как рассчитать длину окружности по радиусу, для этого потребуется такая формула:
Поскольку радиус и диаметр связаны друг с другом, то есть и другая формула для расчетов. Так как радиус в два раза меньше, то выражение немного видоизменится. И формула того, как рассчитать длину окружности, зная диаметр, будет следующей:
Как быть, если нужно вычислить периметр круга?
Просто вспомнить, что круг включает в себя все точки внутри окружности. А значит, его периметр совпадает с ее длиной. И после того, как рассчитать длину окружности, поставить знак равенства с периметром круга.
Кстати, и обозначения у них такие же. Это касается радиуса и диаметра, а периметром является латинская буква P.
Примеры заданий
Условие. Узнать длину окружности, радиус которой равен 5 см.
Решение. Здесь несложно понять, как рассчитать длину окружности. Нужно только воспользоваться первой формулой. Поскольку радиус известен, то потребуется только подставить значения и сосчитать. 2 умноженное на радиус, равный 5 см, даст 10. Осталось еще умножить его на значение π. 3,14 * 10 = 31,4 (см).
Ответ: l = 31,4 см.
Условие. Имеется колесо, длина окружности которого известна и равна 1256 мм. Необходимо вычислить его радиус.
Решение. В этом задании потребуется воспользоваться той же формулой. Но только известную длину нужно будет разделить на произведение 2 и π. Получается, что произведение даст результат: 6,28. После деления остается число: 200. Это искомая величина.
Ответ: r = 200 мм.
Условие. Вычислить диаметр, если известна длина окружности, которая равна 56,52 см.
Решение. Аналогично предыдущей задаче потребуется разделить известную длину на значение π, округленное до сотых. В результате такого действия получается число 18. Результат получен.
Условие. Стрелки часов имеют длину 3 и 5 см. Нужно вычислить длины окружностей, которые описывают их концы.
Решение. Поскольку стрелки совпадают с радиусами окружностей, то потребуется первая формула. Ею нужно воспользоваться два раза.
Для первой длины произведение будет состоять из множителей: 2; 3,14 и 3. Итогом будет число 18,84 см.
Для второго ответа нужно перемножить 2, π и 5. Произведение даст число: 31,4 см.
Ответ: l 1 = 18,84 см, l 2 = 31,4 см.
Условие. Белка бегает в колесе диаметром 2 м. Какое расстояние она пробегает за один полный оборот колеса?
Решение. Это расстояние равно длине окружности. Поэтому нужно воспользоваться подходящей формулой. А именно перемножить значение π и 2 м. Подсчеты дают результат: 6,28 м.
Ответ: Белка пробегает 6,28 м.
Вспомните, что впервые математически вычислил это соотношение Архимед. Он правильные 96-тиугольники внутри окружности и вокруг нее. Периметр вписанного многоугольника принял за минимально возможную длину окружности, периметр описанной фигуры – за максимальный размер. По Архимеду соотношение длины окружности и диаметра равно 3,1419. Значительно позже это число «удлинил» до восьми знаков китайский математик Цзу Чунчжи. Его вычисления 900 лет оставались наиболее точными. Только в XVIII веке было посчитано сто знаков после запятой. А с 1706 года эта бесконечная десятичная дробь благодаря Уильяму Джонсу приобрела имя. Он обозначил ее первой буквой греческих слов периметр (периферия). Сегодня компьютер легко вычисляет знаков числа Пи: 3,141592653589793238462643…
Для расчетов число Пи сократите до 3,14. Получится, что для любой окружности ее длина, деленная на диаметр равна этому числу: L:d=3,14.
Выразите из этого утверждения формулу для нахождения диаметра. Получится, чтобы найти диаметр окружности надо длину окружности поделить на число Пи. Это выглядит так: d = L:3,14. Это универсальный способ найти диаметр, когда у окружности известна ее длина.
Итак, известна длина окружности, допустим, 15,7 см, разделите эту цифру на 3,14. Диаметр будет равен 5 см. Запишите это так: d = 15,7: 3,14 = 5 см.
Запомните первые восемь цифр числа Пи с помощью стихотворения: Нужно только постараться, И запомнить всё как есть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть.
Совет 4: Как найти отношение длины окружности к длине диаметра
А вы знаете, что четырнадцатого марта уже более двадцати лет отмечается День «Пи»? Это неофициальный праздник математиков, посвященный этому интересному числу, с которым в настоящее время связано множество формул, математических и физических аксиом. Придумал этот праздник американец Ларри Шоу, который обратил внимание, что в этот день (3.14 в системе записи дат в США) родился знаменитый ученый Эйнштейн.
Если многоугольник, около которого нужно описать окружность, начерчен на бумаге, для нахождения центр а круга достаточно линейки, карандаша и транспортира либо угольника. Измерьте длину любой из сторон фигуры, определите ее середину и поставьте в этом месте чертежа вспомогательную точку. С помощью угольника или транспортира проведите внутри многоугольника перпендикулярный этой стороне отрезок до пересечения с противоположной стороной.
Определение диаметра может пригодиться не только для решения геометрических задач, но и помочь на практике. Например, зная диаметр горлышка банки, вы точно не ошибетесь в выборе крышки для нее. То же утверждение справедливо и для более габаритных окружностей.
Итак, введите обозначения величин. Пусть d – диаметр колодца, L – длина окружности, п – число Пи, значение которого приблизительно равно 3,14, R – радиус окружности. Длина окружности (L) известна. Предположим, что она равна 628 сантиметрам.
Далее для нахождения диаметра (d) воспользуйтесь формулой длины окружности: L=2пR, где R – неизвестная величина, L=628 см, а п=3,14. Теперь воспользуйтесь правилом нахождения неизвестного множителя: «Чтобы найти множитель, нужно произведение разделить на известный множитель». Получается: R=L/2п. Подставьте значения к формуле: R=628/2×3,14. Получается: R=628/6,28, R=100 см.
После того как радиус окружности найден (R=100 см), воспользуйтесь следующей формулой: диаметр окружности (d) равен двум радиусам окружности (2R). Получается: d=2R.
Теперь, чтобы найти диаметр, подставьте в формулу d=2R значения и вычислите результат. Так как радиус (R) известен, получается: d=2×100, d=200 см.
Длина окружности и диаметр являются взаимосвязанными геометрическими величинами. Это означает, что первую из них можно перевести во вторую без каких-либо дополнительных данных. Математической константой, через которую они связаны между собой, является число π.
Для измерения диаметра предпочтительно использовать линейку, изготовленную из как можно более тонкого листового материала, либо портновский метр. При наличии только толстой линейки измерьте диаметр окружности при помощи циркуля, а затем, не изменяя его раствора, перенесите его на миллиметровую бумагу.
При увеличении числа сторон периметр вписанного многоугольника будет все больше приближаться к L. Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). Зависимость между длиной окружности L и ее диаметром D постоянна. Отношение L/D=n*Sin (π/n) при стремлении числа сторон вписанного многоугольника к бесконечности стремится к числу π, постоянной величине, называемой «число пи» и выраженной бесконечной десятичной дробью. Для расчетов без применения вычислительной техники принимается значение π=3,14. Длина окружности и ее диаметр связаны формулой: L= πD. Для вычисления диаметра
Измерение окружности
Длина окружности
Так, на сегодняшний день в научном сообществе в качестве официальной величины окружности планеты Земля по экватору, то есть наиболее длинной параллели, принято приводить цифру, составляющую 40075,70 километра. При этом аналогичный параметр, измеренный по самому длинному меридиану, то есть длина окружности, проходящей через земные полюсы, составляет 40008,55 километра.
Таким образом, разница между длинами окружностей составляет 67,15 километра, и экватор является самой длинной окружностью нашей планеты. Кроме того, различие означает, что один градус географического меридиана несколько короче, чем один градус географической параллели.
Основные понятия и определения
Пользуясь нашими определениями, приходим к выводу, что диаметр круга равен его самой большой хорде.
Внимание! Из определения, что такое радиус круга можно узнать, что такое диаметр круга. Это два радиуса отложенные в противоположных направлениях!
Нахождение длины окружности и её площади
Внимание! Латинской буквой П (Пи) обозначается отношение длины окружности к её диаметру, и это есть непериодическая десятичная дробь. В школьной математике она считается заранее известной табличной величиной, равной 3,14!
Теперь перепишем предыдущую формулу, чтобы найти длину окружности через её диаметр, помня, в чём состоит его разница по отношению к радиусу. Получится: l = 2*П*r = 2*r*П = П*d.
Из курса математики известно, что формула, описывающая площадь окружности, имеет вид: s = П*r^2.
Теперь перепишем предыдущую формулу, чтобы найти площадь окружности через её диаметр. Получим,
Определение длины радиуса и диаметра
Важно! Прежде всего узнаем, как измерить диаметр. Это очень просто — проводим любой радиус, продлеваем его в противоположную сторону до пересечения с дугой. Циркулем отмеряем полученное расстояние и с помощью любого метрического инструмента узнаем искомое!
Ответим на вопрос, как узнать диаметр окружности, зная её длину. Для этого выразим его из формулы l = П*d. Получим d = l/П.
Мы уже знаем как из длины окружности можно найти её диаметр, точно также найдём и радиус.
l = 2*П*r, отсюда r = l/2*П. Вообще, чтобы узнать радиус, его нужно выражать через диаметр и наоборот.
Окружность состоит из множества точек, которые находятся на равном расстоянии от центра. Это плоская геометрическая фигура, и найти ее длину не составит труда. С окружностью и кругом человек сталкивается ежедневно независимо от того, в какой сфере он работает. Многие овощи и фрукты, устройства и механизмы, посуда и мебель имеют круглую форму. Кругом называют то множество точек, которое находится в границах окружности. Поэтому длина фигуры равна периметру круга.
Как вычислить длину окружности по известному радиусу? Для этого используется формула C = 2*π*r, где С — длина, r — радиус. Радиус в круге меньше диаметра в два раза, и это правило может пригодиться в повседневной жизни. К примеру, в случае приготовления пирога в раздвижной форме.
Первое изделие круглой формы, которое изобрёл человек — это колесо. Первые конструкции представляли собой небольшие округлые бревна, насаженные на оси. Затем появились колёса, сделанные из деревянных спиц и обода. Постепенно в изделие добавляли металлические детали для уменьшения износа. Именно для того, чтобы узнать длину металлических полос для обивки колёса, учёные прошлых веков искали формулу расчёта этой величины.
Важно!
Сегмент круга
Окружность состоит из множества точек, которые находятся на равном расстоянии от центра. Это плоская геометрическая фигура, и найти ее длину не составит труда. С окружностью и кругом человек сталкивается ежедневно независимо от того, в какой сфере он работает. Многие овощи и фрукты, устройства и механизмы, посуда и мебель имеют круглую форму. Кругом называют то множество точек, которое находится в границах окружности. Поэтому длина фигуры равна периметру круга.
Как вычислить длину окружности по известному радиусу? Для этого используется формула C = 2*π*r, где С — длина, r — радиус. Радиус в круге меньше диаметра в два раза, и это правило может пригодиться в повседневной жизни. К примеру, в случае приготовления пирога в раздвижной форме.
Первое изделие круглой формы, которое изобрёл человек — это колесо. Первые конструкции представляли собой небольшие округлые бревна, насаженные на оси. Затем появились колёса, сделанные из деревянных спиц и обода. Постепенно в изделие добавляли металлические детали для уменьшения износа. Именно для того, чтобы узнать длину металлических полос для обивки колёса, учёные прошлых веков искали формулу расчёта этой величины.
Сегмент круга
.png "okruzhnost opisannaya okolo chetyrehugolnika (1)")
Ответим на вопрос, как узнать диаметр окружности, зная её длину. Для этого выразим его из формулы l = П*d. Получим d = l/П.