Как посчитать дисперсию
Как посчитать дисперсию
Как найти дисперсию?
Формула дисперсии случайной величины
Пример нахождения дисперсии
Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти дисперсию по формулам, введеным выше.
Ясно, что для более сложных распределений, где число значений больше и вероятности не одинаковы, картина будет более сложной, прямой зависимости от значений уже не будет (но будет как раз оценка разброса).
Вычисление дисперсии онлайн
Как найти дисперсию онлайн для дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.
Видео. Полезные ссылки
Видеоролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию
Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое дисперсия, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).
Полезные ссылки
А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:
Как посчитать дисперсию случайной величины
Соавтор(ы): Mario Banuelos, PhD. Марио Бануэлос — преподаватель математики в Университете штата Калифорния во Фресно. Имеет более восьми лет преподавательского опыта, специализируется на математической биологии, оптимизации, статистических моделях эволюции генома и науке о данных. Получил степень бакалавра по математике в Университете штата Калифорния во Фресно и PhD по прикладной математике в Калифорнийском университете в Мерседе. Преподавал как на уровне вуза, так и старшей школы.
Количество источников, использованных в этой статье: 8. Вы найдете их список внизу страницы.
Количество просмотров этой статьи: 110 357.
Дисперсия случайной величины является мерой разброса значений этой величины. Малая дисперсия означает, что значения сгруппированы близко друг к другу. Большая дисперсия свидетельствует о сильном разбросе значений. Понятие дисперсии случайной величины применяется в статистике. Например, если сравнить дисперсию значений двух величин (таких как результаты наблюдений за пациентами мужского и женского пола), можно проверить значимость некоторой переменной. [1] X Источник информации Также дисперсия используется при построении статистических моделей, так как малая дисперсия может быть признаком того, что вы чрезмерно подгоняете значения. [2] X Источник информации
Дисперсия и ее оценка
Определение дисперсии случайных величин
Дисперсия – норма, отражающая, с точки зрения теории, ожидаемое отклонение случайной величины от ее математического ожидания.
В математической статистике она определяется в качестве центрального момента второго порядка. Приведем формулу дисперсии:
где М(х) – математическое ожидание, а D(х) – дисперсия.
На основе данной формулы можно вывести другую, которая дает оценку дисперсии:
В первой формуле оценка математического ожидания не смещена, но во второй формуле дисперсия является выборочной. Т.е. эта оценка дает характеристику величине дисперсии данной выборки, не для популяции данных. Обычно для эксперимента необходимо оценить популяционный характер математического ожидания и дисперсию.
Так как вторая формула предполагает сравнение эмпирических знаний не с истинной величиной, а с оценочной, то происходит смещение оценки дисперсии. Способами дифференциального исчисления определено: ожидаемая величина оценки дисперсии по второй формуле описывает соотношение:
Данная формула отражает выборочную дисперсию. Из нее следует, что при наличии 10 выборочных значений случайной величины идет занижение значения. Получается 9/10 дисперсий анализируемой величины для генеральной совокупности. Если увеличить объем в десять раз, то уменьшиться величина смещения до одной сотой, и при этому полученный результат будет отличаться от ожидаемого значения. При помощи третьей формулы можно рассчитать несмещенную оценку дисперсии:
Данная формула называется популяционной дисперсией, или дисперсией генеральной совокупности. Эту формулу используют для расчета генеральной совокупности, третью – для определения вариантов внутри выборки и выход за пределы имеющихся значений, который не предполагается теорией.
Характеристика оценивания стандартного отклонения
Иногда для оценивания важна не сама дисперсия, а оценка стандартного отклонения. Эти две величины связаны однозначным соотношением. Оценивание стандартного отклонения также применяется для выборки и генеральной совокупности, как и дисперсия. Оценка данной величины является предпочтительной, так как она удобна для восприятия из-за своей размерности. Помимо этого, эту величину используют для вычисления стандартной ошибки. Формула выглядит следующим образом:
где SE – стандартная ошибка.
Данная статистика необходима для интервальной оценки исследуемой случайной величины.
Характеристика оценки полумежквартильного интервала
Это еще один способ оценивания вариантов в распределении случайной величины. Ее обозначают Q. Она используется в качестве альтернативы стандартного отклонения, несмотря на то, что они связаны соотношением Q = 0,67σ.
Квартиль – это вариант названия квантиля распределения.
При соответствии медианы с половиной распределения, то квартиль равен четверти. Т.е. первая четверть – это первый квартиль, половина – второй квартиль, три четвертых – третий, общая сумма величины – четвертый квартиль. Формула межквартильного интервала выглядит следующим образом:
Данную оценку используют, например, в сенсорной психофизике при оценивании порога способом констант.
Характеристика ковариации
Иногда необходимо оценить не одну дисперсию, а две (х,у). Такая статистика называется ковариацией. Ее формула выглядит следующим образом:
Она определяет степень связи между двумя переменами. Отличительная особенность ковариации – это ее выражение и в положительных и в отрицательных числах. Так как ковариация зависит от размерности, то оценить степень между переменными невозможно. Поэтому в качестве меры двух переменных используют термин «корреляция». Ее величина может быть определена за счет деления ковариации на произведение стандартных отклонений двух случайных величин, между которыми вычисляют ковариацию.
6. Формула для вычисления дисперсии.
Среднее квадратическое отклонение. Коэффициент вариации
В первой части урока мы рассмотрели размах вариации, среднее линейное отклонение и дисперсию, и продолжение темы в заголовке. Многие из этих показателей фигурируют в теории вероятностей, и если вы зашли с поисковика именно за ними, то сразу ссылка на нужную статью: Дисперсия дискретной случайной величины – там же всё остальное.
Ну а здесь на повестке дня Математическая статистика (организационный урок для «чайников»), и мы продолжаем изучать показатели вариации:
Всё с формулами, примерами решений и техникой рациональных вычислений.
И снова о дисперсии.
На предыдущем занятии мы рассчитывали дисперсию по определению:
– для несгруппированных данных и
– для дискретного либо интервального вариационного ряда.
Если известно, генеральная ли нам дана совокупность или выборочная, то хорошим тоном считается поставить подстрочные индексы: 
либо 
.
Расчёт дисперсии по определению прост и реально используется на практике, но существует ещё более простой и удобный способ вычисления – по формуле, которую несложно вывести из определения:
– дисперсия равна разности средней арифметической квадратов всех вариант статистической совокупности и квадрата средней самих этих вариант.
ОСМЫСЛЕННО повторяем ВСЛУХ и вникаем! … Карл украл у Клары кораллы, а Клара украла у Карла кларнет 🙂
Если что-то не очень понятно, то сейчас всё станет на свои места:
Для несгруппированных вариант 
выборочной совокупности формула детализируется следующим образом: 
и для готового вариационного ряда – так: 
, где 
– кратные (одинаковые) варианты дискретного ряда либо середины интервалов интервального ряда, а 
– соответствующие частоты.
Для генеральной дисперсии 
формулы те же, только с буквами 
вместо 
. Во многих случаях удобно использовать просто значок суммирования 
– без переменной-«счётчика», поскольку в контексте той или иной задачи и так понятно, что суммируется.
И начнём мы со знакомой подопытной задачи:
В результате 10 независимых измерений получены опытные данные, которые представлены в таблице: 
Это данные из Примера 13, и на этот раз нам требуется вычислить дисперсию с помощью формулы. Напоминаю, что там мы её рассчитали по определению и получили результат 
, таким образом, ответ известен заранее, и это всегда круто. Всегда, когда он правильный.
Решение: используем формулу 
.
Для этого нужно найти выборочную среднюю, повторим действие: 
,
вычислить квадраты всех вариант: 
и их сумму: 
Результаты вычислений удобно заносить в таблицу: 
Осталось применить формулу: 
, что и требовалось увидеть.
Ответ: 
Теперь случай сформированного вариационного ряда. В Примере 14 мы потренировались на дискретном ряде, и сейчас очередь интервального:
С целью изучения вкладов в Сбербанке города проведено выборочное исследование, в результате которого получены следующие данные: 
Вычислить выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение, оценить соответствующие показатели генеральной совокупности.
Автор задачи заботливо подсчитал объем выборки 
, но не «закрыл» крайние интервалы. Такая вещь уже встречалась, и решение мы начинаем с этого закрытия. Поскольку длины внутренних интервалов составляют 
д.е., то логично рассмотреть такую же длину и по краям, то бишь, интервалы от 200 до 400 и от 1000 до 1200 денежных единиц.
…Возможно, у вас возник вопрос, а как быть, если даны интервалы разной длины? В этом случае принимаем за «эталон» среднюю длину известных интервалов.
Для расчёта числовых характеристик перейдём к дискретному вариационному ряду, выбрав в качестве вариант 
середины интервалов, которые здесь видны устно: 
В тяжёлых случаях суммируем концы интервалов и делим их пополам, например: 
.
Кроме того, варианты целесообразно уменьшить в 1000 раз, поскольку в ходе дальнейших вычислений будут получаться гигантские числа. С современными вычислительными мощностями, это, конечно, не проблема, но смотреться будет некрасиво.
Сначала вычислим выборочную среднюю. Этот алгоритм уже обкатан: находим произведения 
, их сумму: 
и по соответствующей формуле:
тыс. д.е. или 780 д.е. – средний размер вклада.
Примечание: далее для компактной записи я буду использовать просто значок 
– без переменной-«счётчика».
Теперь дисперсия. Её никто не запрещает рассчитать по определению 
, но заметьте, насколько легче формула 
– для её применения всего-то лишь нужно рассчитать произведения 
и их сумму 
(правый столбец таблицы). Несмотря на то, что многие читатели уже освоили технику вычислений в Экселе, я продолжу записывать ролики – мало ли, кто что запамятовал:
Итак, по формуле вычисления дисперсии, получаем:
тыс. д.е. в квадрате (т.к. по определению, дисперсия – есть величина квадратичная).
И, чтобы вернуться в размерность задачи, из дисперсии следует извлечь квадратный корень:
тыс. д.е. или 240 денежных единиц. Полученный показатель называется
среднее квадратическое отклонение
Или стандартное отклонение. Оно обозначается греческой буквой «сигма», и коль скоро у нас выборочная совокупность, то добавляем соответствующий подстрочный индекс:
– выборочное среднее квадратическое отклонение.
Чем меньше стандартное отклонение (и дисперсия), тем меньше вариация – тем бОльшее количество вариант находится вблизи выборочной средней. Но у нас, как нетрудно «прикинуть на глазок», разброс довольно-таки велик – значительное количество вкладов расположено далековато от 
, и поэтому значение 
получилось немалым.
Следующая часть задачи состоит в том, чтобы корректно оценить генеральную дисперсию 
и генеральное среднее квадратическое отклонение 
.
В 1-й части урока я рассказал о том, что выборочная дисперсия представляет собой смещённую оценку генеральной дисперсии. Это означает, что если мы будем проводить неоднократные выборки из той же генеральной совокупности, то полученные значения 
будут систематически занижено оценивать 
. Обращаю ваше внимание, что это не значит, что 
будет всегда меньше, чем 
.
И поэтому выборочную дисперсию, как намекает условие, нужно поправить:
– исправленная выборочная дисперсия
и, соответственно:
или 240,30 д.е. – исправленное среднее квадратическое отклонение.
и 
– это уже несмещённые оценки генеральной дисперсии 
и генерального стандартного отклонения 
соответственно.
Ввиду большого объёма выборки (более 100 вариант) этой поправкой можно пренебречь, но всё же мы не будем «разбрасываться» 30 «копейками».
Ответ: 
; в качестве оценки соответствующих генеральных показателей принимаем 
и 
.
Рассмотренные выше показатели (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, стандартное отклонение) входят в группу абсолютных показателей вариации, которые обладают рядом неудобств. Так, если в прорешанной задаче не уменьшать варианты в 1000 раз, то дисперсия получится в миллион раз больше! Да-да, не 
, а 
. И возникает естественное желание привести результаты к некому единому стандарту.
Для этого существуют показатели относительные, и самым известным из них является
коэффициент вариации
– это отношение стандартного отклонения к средней, выраженное в процентах: 
И вот теперь совершенно без разницы, в д.е. мы считали: 
или в тысячах д.е.: 
Примечание: на практике часто считают именно через 
, но для оценки коэффициента вариации всей генеральной совокупности, конечно же, корректнее использовать исправленное стандартное отклонение 
.
В статистике существует следующий эмпирический ориентир:
– если показатель вариации составляет примерно 30% и меньше, то статистическая совокупность считается однородной. Это означает, что большинство вариант находится недалеко от средней, и найденное значение 
хорошо характеризует центральную тенденцию совокупности.
– если показатель вариации составляет существенно больше 30%, то совокупность неоднородна, то есть, значительное количество вариант находятся далеко от 
, и выборочная средняя плохо характеризует типичную варианту. В таких случаях целесообразно рассмотреть квартили, децили, а иногда и перцентили, которые делят вариационный ряд на части, и для каждого участка рассчитать свои показатели. Но это уже немного дебри статистики.
Другое преимущество относительных показателей – это возможность сравнивать разнородные статистические совокупности. Например, множество слонов и множество хомячков. Совершенно понятно, что дисперсия веса слонов по отношению к дисперсии веса хомяков будет просто конской, и их сопоставление не имеет смысла. Но вот анализ коэффициентов вариации веса вполне осмыслен, и может статься, что у слонов он составляет 10%, а у хомячков 40% (пример, конечно, условный). Это говорит о сбалансированном питании и размеренной жизни слонов. А вот хомяки там, то носятся с голодухи по полям, то отъедаются и спят в норах, и поэтому среди них есть много худощавых и много упитанных особей 🙂
Кроме коэффициента вариации, существуют и другие относительные показатели, но в реальных студенческих работах они почти не встречаются, и поэтому я не буду их рассматривать в рамках данного курса.
И сейчас, конечно же, задачки для самостоятельного решения:
Пример 17, на отработку терминов и формул:
а) Стандартное отклонение выборочной совокупности равно 5, а средний квадрат её вариант – 250. Найти выборочную среднюю.
б) Определите среднее квадратическое отклонение, если известно, что средняя равна 260, а коэффициент вариации составляет 30%.
и Пример 18, творческий:
Производство стальных труб на предприятии (тонн) в 1-м полугодии составило: 
Определить:
– среднемесячный объем производства;
– среднее квадратическое отклонение;
– коэффициент вариации.
Сделать краткие содержательные выводы. – Да, это тоже типичный пункт статистической задачи!
Обратите внимание, что здесь не понятно, выборочной ли считать эту совокупность или генеральной. И в таких случаях лучше не заниматься домыслами, просто используем обозначения без подстрочных индексов.
Вообще, задачи на экономическую и промышленную тематику – самые популярные в статистике, и в моей коллекции их сотни. Но все они до ужаса однотипны, и поэтому я предлагаю их в терапевтической дозировке 🙂
Выполнить расчёты в Экселе – числа уже там, ну а инструкцию я на этот раз не привёл, поскольку люди вы уже опытные.
Краткое решение и ответ в конце урока, который подошёл к концу.
Следующее занятие не за горами, а уже за кочкой:
Решения и ответы:
Пример 17. Решение:
а) Используем формулу 
. По условию, 
, 
. Таким образом: 
б) Используем формулу 
. По условию, 
, 
. Таким образом: 
Ответ: а) 
, б) 
Пример 18. Решение: вычислим сумму вариант и сумму их квадратов: 
Найдём среднюю:
тонны – среднемесячный объем производства за полугодие.
Дисперсию вычислим по формуле: 
Среднее квадратическое отклонение:
тонн.
Коэффициент вариации: 
Ответ: 
тонны, 
тонн, 
Краткие выводы: за первое полугодие среднемесячный объём производства труб составил 
тонны. Низкие показатели вариации говорят о стабильной ситуации на производстве.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys
Что такое дисперсия в статистике
Статистика, в частности, оперирует рядами данных, характеризующих какой-либо признак, явление. Интересует их изменение.
Вариация представляет собой отличие величин одинакового показателя у разных предметов. Ее изучение позволит понять причины отклонений от нормы, анализировать их и в какой-то мере прогнозировать. Также станет возможным выявить факторы, влияющие на значения, отсеяв случайные.
Характеристики равномерного распределения представлены на картинке:
При значительном объеме статистики, средняя величина очевидно близка к нормальной. Об этом говорят и законы распределения. Отклонения от нее будут являться объективной характеристикой.
Только вот отрицательные значения этих разбросов будут сбивать с толку при расчетах, погашая положительные. А оставлять лишь модули – для математика не корректно. Напрашивается возвести в четную степень, а именно – во вторую.
Решение оказалось не только удобным. Оно открыло бо́льшие возможности в изучении отклонений. А важны именно они, поскольку сама по себе средняя мало что дает.
В качестве одного из важных показателей вариации, вводится понятие «дисперсия» – усредненный квадрат отклонений численных значений каких-либо событий от средней величины.
Никакого наглядного смысла величина не несет. Другое дело, среднее квадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии.
Виды дисперсии дискретной случайной величины
Для анализа данных цифр в таком виде недостаточно. Гораздо больше можно выжать из последовательности, если разбить ее на группы по определенному признаку.
Общая дисперсия
Как можно заметить, вычисленная по приведенному выше определению величина характеризует отклонения в целом. Без учета определяющих вариацию факторов. Вернее, с учетом всех, включая совершенно случайные. Поэтому и называется «общей» и рассчитывается по формулам, указанным ниже.
Простая дисперсия, без разделения на группы:
Или в несколько преобразованном виде:
Взвешенная дисперсия, для вариационного ряда:
где xi – значение из ряда;
fi – частота, количество повторений;
n – число вариантов.
Черта сверху указывает на среднюю величину.
Межгрупповая дисперсия
Характеризует систематическое отклонение, возникающее из-за фактора, по которому производилось выделение признаков в группы. Поэтому также называется «факторной».
Как найти данную дисперсию? По формуле:
где k – количество групп;
nj – элементов в группе с индексом j.
Внутригрупповая дисперсия
Возникает по хаотичной причине, не связанной с причиной сделанной выборки. Неучтенный фактор. Еще обозначается как «остаточная».
Например, рассматривается количество выпущенных деталей за месяц каждым фрезеровщиком цеха.
В качестве критерия отбора в группу выбираем возраст оборудования. Он-то и не будет влиять на производительность внутри подборки: там станки у всех практически одинаковые.
Если вычислить среднюю величину от всех групповых,
то получим характеристику случайного разброса. Иными словами, составляющую вариации, зависящую от чего угодно, кроме фактора отбора.
Взаимосвязь
В соответствии с правилом сложения, общая D[X] включает средние выражения остаточной и факторной. И это логично, поскольку учитывает и случайное изменение в группе, и систематическое в факторной.
Свойства дисперсии
Если последовательность состоит из одинаковых чисел, то D[X] будет нулевой.
Уменьшение всех значений на постоянную величину на дисперсию не влияет. Иначе говоря, рассчитать σ 2 можно по отклонениям от фиксированного числа.
Уменьшение всех цифр в k раз приведет к падению D[X] в k 2 раз. Можно, например, иметь в виду значения в метрах, а результат вычислить в футах. Достаточно учесть один раз то, на что следует умножить.
Показатели вариаций
Кроме размаха (разницы максимального и минимального значений), среднего линейного и дисперсии, изменения описываются коэффициентом вариации:
Оценить масштаб разброса проще по относительной величине. Тем более, что измеряются в одних единицах.
Пример расчета дисперсии
Компания объявила конкурсный отбор для приема сотрудников. В качестве критерия принят стаж работы по специальности. Приведем исходные данные и расчеты.
По альтернативной формуле:
Заключение
Статистика оперирует значительными объемами данных. Вариация, как одно из основных понятий – не исключение. И дисперсия в качестве основной характеристики.
Для упрощения расчетов существует масса онлайн калькуляторов. Имеется упомянутый инструмент в MS Excel.
Расчет дисперсии онлайн
Быстрая навигация по странице:
Понятие дисперсии кратко
Дисперсия – это критерий, позволяющий оценить меру рассеяния конкретных величин исследуемого признака относительно их средней величины (или математического ожидания). В статистике дисперсия является одним из абсолютных показателей вариации. Дисперсия является средним квадратом отклонений индивидуальных величин исследуемого признака от генеральной средней и обозначается как σ 2 (читается как «сигма квадрат»). На применении дисперсии базируется множество методов математической статистики. Существенное прикладное значение имеет правило сложения дисперсий.
Размещено на www.rnz.ru
Интерпретация значения дисперсии следующая: например, если исследуется вариация какого-то признака, и получено значение дисперсии 13.45 млн. руб., то можно сделать следующий вывод: полученное значение дисперсии говорит о том, что средний квадрат отклонений признака относительно его среднего значения составил 13.45 млн. руб.
Формулы расчета дисперсии
Для расчета обычной дисперсии применяется следующая формула:
Формула вычисления простой (невзвешенной) дисперсии
Такая формула генеральной дисперсии в выборке дает смещенную оценку. Поэтому в случае, если требуется определить величину несмещенной дисперсии, то используют следующую формулу:
Формула вычисления несмещенной дисперсии
Для расчета взвешенной дисперсии применяют следующую формулу:
Формула определения взвешенной дисперсии
В том случае, если для определения величины дисперсии используется способ отсчета от условного нуля, то дисперсия по рассчитывается по следующей формуле:
Формула расчета дисперсии по способу от условного нуля
где k – ширина интервала
А – условный нуль, в качестве которого используют середину интервала с наибольшей частотой.
В том случае, если вычисление дисперсии осуществляется по способу моментов, то применяется следующая формула:
Формула расчета дисперсии по способу моментов
Дисперсия может быть вычислена и с использованием средних величин:
Формула расчета дисперсии с использованием средних
Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:
Формула расчета общей дисперсии
Зная любые два вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета третьего вида (закон сложения дисперсий).
Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:
Формула вычисления средней из внутригрупповых дисперсий
Межгрупповая дисперсия вычисляется по формуле:
Формула вычисления межгрупповой дисперсий
Пример расчета дисперсии
Даны следующие значения банковских вкладов в тыс. руб.: 17,1; 28,2; 18,5; 25,1; 13,7; 28; 12,8; 17; 15,3; 13,9.
Определить значение выборочной дисперсии и несмещенную оценку дисперсии.
Составим расчетную таблицу
Расчет выполним по приведенным выше формулам:
Дисперсия σ 2 = 316,928 / 10 = 31,69 тыс. руб.
Несмещенная дисперсия: σ 2 = 316,928 / (10-1) = 35,21 тыс. руб.
Онлайн-калькулятор расчета дисперсии
Представляем небольшой онлайн – калькулятор, используя который Вы можете вычислить значения простой и несмещенной дисперсии. При заполнении приведенной формы калькулятора внимательно соблюдайте размерность полей, что позволит быстро и точно выполнить вычисления. В приведенной форме онлайн калькулятора уже содержатся данные условного примера, чтобы пользователь мог посмотреть, как это работает и посмотреть, как правильно заполнять поля. Для определения значений соответствующих показателей по своим данным просто внесите их в соответствующие поля формы онлайн калькулятора и нажмите кнопку «Выполнить вычисления». При заполнении формы соблюдайте размерность показателей! Дробные числа записываются с точкой, а не запятой!
Максимальное количество значений, для которых может быть рассчитана дисперсия онлайн – составляет 20. Вы их можете добавить, нажимая кнопку «Добавить строку».
Онлайн-калькулятор дисперсии
Задача №22. Виды дисперсии и их расчёт
Имеются данные о распределении семей сотрудников финансовой корпорации по количеству детей:
| Число детей | Число семей сотрудников по подразделениям | ||
|---|---|---|---|
| первое | второе | третье | |
| 0 | 4 | 7 | 5 |
| 1 | 6 | 10 | 13 |
| 2 | 3 | 3 | 3 |
| 3 | 2 | 1 | — |
Вычислить:
а) внутригрупповые дисперсии;
б) среднюю из внутригрупповых дисперсий;
в) межгрупповую дисперсию;
г) общую дисперсию;
Проверьте правильность произведения расчётов с помощью правила сложения дисперсий.
Решение:
Совокупность семей сотрудников финансовой корпорации разбита на три группы по количеству детей.
а) Групповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы. Внутригрупповые дисперсии вычисляются по формуле:
Нахождению внутригрупповой дисперсии предшествует расчёт средней арифметической по каждой группе.
Рассчитаем внутригрупповые дисперсии:
б) Средняя из внутригрупповых дисперсий – это средняя арифметическая взвешенная из дисперсий групповых:
в) Межгрупповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней:
Для её расчета необходимо вычислить общую среднюю:
Определим межгрупповую дисперсию:
Вычислим общую дисперсию обычным способом:
Проверим полученный результат, исчислив общую дисперсию по правилу сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:
Дисперсия дискретной случайной величины.
Среднее квадратическое отклонение
Итак, продолжаем. В предыдущей статье мы выяснили, насколько полезно знать математическое ожидание, однако только этой характеристики ещё не достаточно для исследования случайной величины. Представим двух стрелков, которые стреляют по мишени. Один стреляет метко и попадает близко к центру, а другой… просто развлекается и даже не целится. Но что забавно, его средний результат будет точно таким же, как и у первого стрелка! Эту ситуацию условно иллюстрируют следующие случайные величины:
«Снайперское» математическое ожидание равно 
, однако и у «интересной личности»: 
– оно тоже нулевое!
Таким образом, возникает потребность количественно оценить, насколько далеко рассеяны пули (значения случайной величины) относительно центра мишени (математического ожидания). Ну а рассеяние с латыни переводится не иначе, как дисперсия.
Посмотрим, как определяется эта числовая характеристика на одном из примеров 1-й части урока: 
Там мы нашли неутешительное математическое ожидание 
этой игры, и сейчас нам предстоит вычислить её дисперсию, которая обозначается через 
.
Выясним, насколько далеко «разбросаны» выигрыши/проигрыши относительно среднего значения. Очевидно, что для этого нужно вычислить разности между значениями случайной величины и её математическим ожиданием:
–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5
Теперь вроде бы нужно просуммировать результаты, но этот путь не годится – по той причине, что колебания влево будут взаимоуничтожаться с колебаниями вправо. Так, например, у стрелка-«любителя» (пример выше) разности составят 
, 
и при сложении дадут ноль, поэтому никакой оценки рассеяния его стрельбы мы не получим.
Чтобы обойти эту неприятность можно рассмотреть модули разностей, но по техническим причинам прижился подход, когда их возводят в квадрат. Решение удобнее оформить таблицей: 
И здесь напрашивается вычислить средневзвешенное значение квадратов отклонений. А это ЧТО такое? Это их математическое ожидание, которое и является мерилом рассеяния:
– определение дисперсии. Из определения сразу понятно, что дисперсия не может быть отрицательной – возьмите на заметку для практики!
Вспоминаем, как находить матожидание. Перемножаем квадраты разностей на соответствующие вероятности (продолжение таблицы):
– образно говоря, это «сила тяги»,
и суммируем результаты: 
Не кажется ли вам, что на фоне выигрышей 
результат получился великоватым? Всё верно – мы возводили в квадрат, и чтобы вернуться в размерность нашей игры, нужно извлечь квадратный корень. Данная величина называется средним квадратическим отклонением и обозначается греческой буквой «сигма»: 
Иногда это значение называют стандартным отклонением.
В чём его смысл? Если мы отклонимся от математического ожидания 
влево и вправо на среднее квадратическое отклонение: 
– то на этом интервале будут «сконцентрированы» наиболее вероятные значения случайной величины. Что мы, собственно, и наблюдаем: 
Однако так сложилось, что при анализе рассеяния почти всегда оперируют понятием дисперсии. Давайте разберёмся, что она означает применительно к играм. Если в случае со стрелками речь идёт о «кучности» попаданий относительно центра мишени, то здесь дисперсия характеризует две вещи:
Во-первых, очевидно то, что при увеличении ставок, дисперсия тоже возрастает. Так, например, если мы увеличим 
в 10 раз, то математическое ожидание увеличится в 10 раз, а дисперсия – в 100 раз (коль скоро, это квадратичная величина). Но, заметьте, что сами-то правила игры не изменились! Изменились лишь ставки, грубо говоря, раньше мы ставили 10 рублей, теперь 100.
Второй, более интересный момент состоит в том, что дисперсия характеризует стиль игры. Мысленно зафиксируем игровые ставки на каком-то определённом уровне, и посмотрим, что здесь к чему:
Игра с низкой дисперсией – это осторожная игра. Игрок склонен выбирать самые надёжные схемы, и в ситуации неопределённости не ставит слишком большие деньги. Например, система «красное/чёрное» в рулетке (см. Пример 4 статьи Случайные величины).
Игра с высокой дисперсией. Её часто называют дисперсионной игрой. Это авантюрный или агрессивный стиль игры, где игрок выбирает «адреналиновые» схемы. Вспомним хотя бы «Мартингейл», в котором на кону оказываются суммы, на порядки превосходящие «тихую» игру предыдущего пункта.
То же самое происходит на Форексе, других биржах и так далее – примеров масса.
Причём, во всех случаях не важно – на копейки ли идёт игра или на тысячи долларов. На любом уровне есть свои низко- и высокодисперсионные игроки. Ну а за средний выигрыш, как мы помним, «отвечает» математическое ожидание.
Наверное, вы заметили, что нахождение дисперсии – есть процесс длительный и кропотливый. Но математика щедрА:
Формула для нахождения дисперсии
Данная формула выводится непосредственно из определения дисперсии, и мы незамедлительно пускаем её в оборот. Скопирую сверху табличку с нашей игрой: 
и найденное матожидание 
.
Вычислим дисперсию вторым способом. Сначала найдём математическое ожидание 
– квадрата случайной величины 
. По определению математического ожидания: 
В данном случае: 
Таким образом, по формуле: 
Как говорится, почувствуйте разницу. И на практике, конечно, лучше применять формулу (если иного не требует условие).
Осваиваем технику решения и оформления:
Дискретная случайная величина задана своим законом распределения:
Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Эта задача встречается повсеместно, и, как правило, идёт без содержательного смысла.
Можете представлять себе несколько лампочек с числами, которые загораются в дурдоме с определёнными вероятностями 🙂
Решение: Основные вычисления удобно свести в таблицу. Сначала в верхние две строки записываем исходные данные. Затем рассчитываем произведения 
, затем 
и, наконец, суммы в правом столбце: 
Собственно, почти всё готово. В третьей строке нарисовалось готовенькое математическое ожидание: 
.
Дисперсию вычислим по формуле: 
И, наконец, среднее квадратическое отклонение:
– лично я обычно округляю до 2 знаков после запятой.
Все вычисления можно провести на калькуляторе, а ещё лучше – в Экселе:
вот здесь уже трудно ошибиться 🙂
Ответ: 
Желающие могут ещё более упростить свою жизнь и воспользоваться моим калькулятором (демо), который не только моментально решит данную задачу, но и построит тематические графики (скоро дойдём). Программа доступна за символическую плaтy. Спасибо за поддержку проекта!
Пара заданий для самостоятельного решения:
Вычислить дисперсию случайной величины 
предыдущего примера по определению.
И аналогичный пример:
Дискретная случайная величина задана своим законом распределения:
Найти 
Да, значения случайной величины бывают достаточно большими (пример из реальной работы), и здесь по возможности используйте Эксель. Как, кстати, и в Примере 7 – это быстрее, надёжнее и приятнее.
Решения и ответы внизу страницы.
В заключение 2-й части урока разберём ещё одну типовую задачу, можно даже сказать, небольшой ребус:
Дискретная случайная величина 
может принимать только два значения: 
и 
, причём 
. Известна вероятность 
, математическое ожидание 
и дисперсия 
.
Найти 
.
Решение: начнём с неизвестной вероятности. Так как случайная величина может принять только два значения, то сумма вероятностей соответствующих событий: 
и поскольку 
, то 
.
Осталось найти 
…, легко сказать 🙂 Но да ладно, понеслось. По определению математического ожидания:
– подставляем известные величины:
– и больше из этого уравнения ничего не выжать, разве что можно переписать его в привычном направлении: 
ОК, едем дальше. По формуле вычисления дисперсии:
– подставляем известные данные:
или: 
О дальнейших действиях, думаю, вы догадываетесь. Составим и решим систему: 
Десятичные дроби – это, конечно, полное безобразие; умножаем оба уравнения на 10: 
и делим на 2: 
Вот так-то лучше. Из 1-го уравнения выражаем:
(это более простой путь) – подставляем во 2-е уравнение:
Возводим в квадрат и проводим упрощения: 
Умножаем на 
: 
В результате получено квадратное уравнение, находим его дискриминант:
– отлично!
и у нас получается два решения:
1) если 
, то 
;
2) если 
, то 
.
Условию 
удовлетворяет первая пара значений. С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, запишем закон распределения: 
и выполним проверку, а именно, найдём матожидание: 
и дисперсию:
В результате получены исходные значения, что и требовалось проверить.
Ответ: 
Следует отметить, что это технически трудное задание, и поэтому в нём следует проявлять повышенное внимание. Потренируйтесь самостоятельно:
Случайная величина 
принимает только два значения: 
и 
, причём 
. Найти эти значения, если 
.
Тут вычисления попроще.
Жду вас в третьей, заключительной части урока, где мы познакомимся с многоугольником и функцией распределения. Её лучше изучить как можно скорее!
Решения и ответы:
Пример 7. Решение: вычислим математическое ожидание: 
Вычислим дисперсию по определению:
Заполним расчётную таблицу: 
Таким образом: 
Ответ: 
Пример 8. Решение: случайная величина может принять только 5 значений, поэтому: 
Заполним расчётную таблицу: 
Математическое ожидание: 
.
Дисперсию вычислим по формуле: 
Среднее квадратическое отклонение:
Ответ: 
Пример 10. Решение: т.к. случайная величина 
может принимать только 2 значения, то: 
.
По определению математического ожидания: 
По формуле вычисления дисперсии: 
Составим и решим систему: 
Умножим оба уравнения на 5: 
Из первого уравнения выразим: 
– подставим во второе: 
Решим полученное квадратное уравнение: 
Условию 
удовлетворяет первая пара.
Ответ: 
Проверка: 
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys
Дисперсия свойства, формула вычисления дисперсии дискретной случайной величины, виды, правило и примеры расчетов, онлайн-калькулятор
В различных научных дисциплинах словосочетание «дисперсия это» характеризует мало схожие понятия. С латыни «dispersio» переводится как «рассеяние».
В физике, например, означает связь фазовой скорости волны с частотой. В химии описывает несмешиваемые субстанции. В биологии – многообразие признаков популяции.
В данной статье речь пойдет о математической трактовке. Рассматривается как одно из свойств случайных величин.
Что такое дисперсия в статистике
Статистика, в частности, оперирует рядами данных, характеризующих какой-либо признак, явление. Интересует их изменение.
Вариация представляет собой отличие величин одинакового показателя у разных предметов. Ее изучение позволит понять причины отклонений от нормы, анализировать их и в какой-то мере прогнозировать. Также станет возможным выявить факторы, влияющие на значения, отсеяв случайные.
Характеристики равномерного распределения представлены на картинке:
При значительном объеме статистики, средняя величина очевидно близка к нормальной. Об этом говорят и законы распределения. Отклонения от нее будут являться объективной характеристикой.
Только вот отрицательные значения этих разбросов будут сбивать с толку при расчетах, погашая положительные. А оставлять лишь модули – для математика не корректно. Напрашивается возвести в четную степень, а именно – во вторую.
Решение оказалось не только удобным. Оно открыло бо́льшие возможности в изучении отклонений. А важны именно они, поскольку сама по себе средняя мало что дает.
В качестве одного из важных показателей вариации, вводится понятие «дисперсия» – усредненный квадрат отклонений численных значений каких-либо событий от средней величины.
Кратко записывается D[X] в русскоязычных источниках и Var[X] (от «variance») в английских. В статистических выкладках используется σ2.
Никакого наглядного смысла величина не несет. Другое дело, среднее квадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии.
Виды дисперсии дискретной случайной величины
Для анализа данных цифр в таком виде недостаточно. Гораздо больше можно выжать из последовательности, если разбить ее на группы по определенному признаку.
Общая дисперсия
Как можно заметить, вычисленная по приведенному выше определению величина характеризует отклонения в целом. Без учета определяющих вариацию факторов. Вернее, с учетом всех, включая совершенно случайные. Поэтому и называется «общей» и рассчитывается по формулам, указанным ниже.
Простая дисперсия, без разделения на группы:
Или в несколько преобразованном виде:
Взвешенная дисперсия, для вариационного ряда:
где xi – значение из ряда;
fi – частота, количество повторений;
n – число вариантов.
Черта сверху указывает на среднюю величину.
Межгрупповая дисперсия
Характеризует систематическое отклонение, возникающее из-за фактора, по которому производилось выделение признаков в группы. Поэтому также называется «факторной».
Как найти данную дисперсию? По формуле:
где k – количество групп;
nj – элементов в группе с индексом j.
Внутригрупповая дисперсия
Возникает по хаотичной причине, не связанной с причиной сделанной выборки. Неучтенный фактор. Еще обозначается как «остаточная».
Например, рассматривается количество выпущенных деталей за месяц каждым фрезеровщиком цеха.
В качестве критерия отбора в группу выбираем возраст оборудования. Он-то и не будет влиять на производительность внутри подборки: там станки у всех практически одинаковые.
Если вычислить среднюю величину от всех групповых,
то получим характеристику случайного разброса. Иными словами, составляющую вариации, зависящую от чего угодно, кроме фактора отбора.
Взаимосвязь
В соответствии с правилом сложения, общая D[X] включает средние выражения остаточной и факторной. И это логично, поскольку учитывает и случайное изменение в группе, и систематическое в факторной.
Свойства дисперсии
Если последовательность состоит из одинаковых чисел, то D[X] будет нулевой.
Уменьшение всех значений на постоянную величину на дисперсию не влияет. Иначе говоря, рассчитать σ2 можно по отклонениям от фиксированного числа.
Уменьшение всех цифр в k раз приведет к падению D[X] в k2 раз. Можно, например, иметь в виду значения в метрах, а результат вычислить в футах. Достаточно учесть один раз то, на что следует умножить.
Средний квадрат отклонений от постоянной величины X отличается в большую сторону от того же с использованием среднего значения. Разница составит (Xcр – X)2.
Показатели вариаций
Кроме размаха (разницы максимального и минимального значений), среднего линейного и дисперсии, изменения описываются коэффициентом вариации:
Оценить масштаб разброса проще по относительной величине. Тем более, что измеряются в одних единицах.
Пример расчета дисперсии
Компания объявила конкурсный отбор для приема сотрудников. В качестве критерия принят стаж работы по специальности. Приведем исходные данные и расчеты.
По альтернативной формуле:
Заключение
Статистика оперирует значительными объемами данных. Вариация, как одно из основных понятий – не исключение. И дисперсия в качестве основной характеристики.
Для упрощения расчетов существует масса онлайн калькуляторов. Имеется упомянутый инструмент в MS Excel.
Как посчитать дисперсию
Follow Us:
Send Us Your Feedback / Suggestion
For further assistance, please Contact Us
Обнаружен блокировщик рекламы
Поскольку мы изо всех сил пытались сделать для вас онлайн-расчеты, мы обращаемся к вам с просьбой предоставить нам разрешение, отключив Adblocker для этого домена.
Or
Disable your Adblocker and refresh your web page 😊
ДОБАВИТЬ ЭТОТ КАЛЬКУЛЯТОР НА ВАШ ВЕБ-САЙТ:
Добавьте калькулятор дисперсии на свой веб-сайт, чтобы упростить использование этого калькулятора напрямую. Создайте учетную запись для этого виджета без проблем, поскольку он на 100% бесплатный, простой в использовании и вы можете добавить его на несколько онлайн-платформ.
Загрузите приложение «Калькулятор дисперсии» для мобильного телефона, чтобы вы могли рассчитать свои значения в своих руках.
Онлайн-калькулятор дисперсии поможет вам определить дисперсию, сумму квадратов и коэффициент дисперсии для определенного набора данных. Кроме того, этот калькулятор также отображает среднее значение и стандартное отклонение путем пошагового расчет дисперсии онлайн. Прочтите, чтобы узнать, как найти дисперсию онлайн и стандартное отклонение, используя формулу выборочной дисперсии.
Что такое дисперсия?
Дисперсия группы или набора чисел – это число, которое представляет «разброс» набора. Формально это квадрат отклонения набора от среднего и квадрат стандартного отклонения.
Другими словами, небольшая дисперсия означает, что точки данных имеют тенденцию быть близкими к среднему и очень близко друг к другу. Высокая дисперсия указывает на то, что точки данных далеки от среднего значения и друг от друга. Дисперсия – это среднее значение квадрата расстояния от каждой точки до среднего.
Типы дисперсии:
Вариация выборки: дисперсия выборки не охватывает всю возможную выборку (случайная выборка людей).
Дисперсия населения: дисперсия, которая измеряется для всего населения (например, всех людей).
Однако онлайн-калькулятор стандартного отклонения позволяет определить стандартное отклонение (σ) и другие статистические измерения данного набора данных.
Формулы отклонения:
Формула дисперсии совокупности
дисперсия формула (совокупности):
Дисперсия (обозначается как σ2) выражается как среднеквадратическое отклонение от среднего для всех точек данных. Мы пишем:
Вы можете рассчитать его с помощью калькулятора дисперсии генеральной совокупности, в противном случае есть три шага для оценки дисперсии:
Это дисперсия формула совокупности.
Пример формулы отклонения
Уравнение выборки дисперсии имеет следующий вид:
s2 = ∑ (xi – x̄) 2 / (N – 1)
s2 – оценка дисперсии;
x – выборочное среднее; а также
xi – i-я точка данных среди N общих точек данных.
Как рассчитать дисперсию?
Чтобы найти среднее значение данного набора данных. Подставьте все значения и разделите на размер выборки n.
ni = 1x дюйм x = ∑ i = 1 nx дюйм
Теперь найдите среднюю разницу значений данных, вам нужно вычесть среднее значение данных и возвести результат в квадрат.
(хи – х) ^ 2 (хи – х) ^ 2
Затем вычислите квадратичные разности и сумму квадратов всех квадратичных разностей.
S = ∑ I = 1n (xi – x) ^ 2
Итак, найдите дисперсию, дисперсия формула генеральной совокупности:
Дисперсия = σ ^ 2 = Σ (xi – μ) ^ 2
Уравнение дисперсии набора данных выборки:
Дисперсия = s ^ 2 = Σ (xi – x) ^
Эти формулы запоминать не нужно. Чтобы вам было удобно, наш примерный калькулятор дисперсии выполняет все расчет дисперсии онлайн, связанные с дисперсией, автоматически, используя их.
Тем не менее, Калькулятор диапазона среднего среднего значения режима поможет вам рассчитать средний средний режим и диапазон для введенного набора данных.
Пример расчета
Давайте посчитаем дисперсию оценок пяти студентов на экзамене: 50, 75, 89, 93, 93. Выполните следующие действия:
Чтобы найти среднее значение (x), разделите сумму всех этих значений на количество точек данных:
х = (50 + 75 + 89 + 93 + 93) / 5
Квадрат отклонения от среднего – это квадрат предыдущего шага:
Итак, квадрат отклонения равен:
(50 – 80) 2 = (-30) 2 = 900
В приведенной ниже таблице квадрат отклонения рассчитан на основе среднего значения всех результатов испытаний. Столбец «Среднее отклонение» – это результат минус 30, а столбец «Стандартное отклонение» – это столбец перед квадратом.
Затем используйте квадраты отклонений от среднего:
σ2 = ∑ (xi – x̄) 2 / N
σ2 = (900 + 25 + 81 + 169 + 169) / 5
дисперсия случайной величины онлайн результатов экзамена составила 268,8.
Как работает калькулятор дисперсии?
Онлайн-калькулятор дисперсии совокупности вычисляет дисперсию для заданных наборов данных. Вы можете просмотреть работу, проделанную для расчет дисперсии онлайн из набора данных, следуя этим инструкциям:
Вход:
Выход:
ЧАСТО ЗАДАВАЕМЫЕ ВОПРОСЫ:
В чем разница между стандартным отклонением и дисперсией?
Дисперсия – это квадрат отклонения от среднего, а стандартное отклонение – это квадратный корень из числа. Оба показателя отражают изменчивость распределения, но их единицы разные: стандартное отклонение определяется в той же единице, что и исходное значение (например, минуты или метры).
Значение высокой дисперсии – это плохо или хорошо?
Низкая дисперсия связана с меньшим риском и более низкой доходностью. Акции с высокой дисперсией обычно выгодны для агрессивных инвесторов с меньшим неприятием риска, в то время как акции с низкой дисперсией обычно выгодны для консервативных инвесторов с более низкой толерантностью к риску.
Каков диапазон отклонений?
Диапазон – это разница между высоким и низким значением. Поскольку используются только крайние значения, потому что эти значения будут сильно на него влиять. Чтобы найти диапазон отклонения, возьмите максимальное значение и вычтите минимальное значение.
Заключение:
Воспользуйтесь этим онлайн-калькулятором дисперсии, который работает как с выборкой, так и с наборами данных о генеральной совокупности, используя формулу генеральной и выборочной дисперсии. Это лучший образовательный калькулятор, который расскажет вам, как рассчитать дисперсию заданных наборов данных за доли секунды.
Среднее абсолютное отклонение позволяет решить проблему, заключающуюся в том, что сумма отклонений от среднего равна нулю. Для этого при расчете среднего используется абсолютное значение отклонений.
Второй подход к расчету отклонений состоит в их возведении в квадрат.
Дисперсия и стандартное отклонение, основанные на квадрате отклонений, являются двумя наиболее широко используемыми мерами дисперсии:
Далее обсуждается расчет и использования дисперсии и стандартного отклонения.
Дисперсия генеральной совокупности.
Если нам известен каждый элемент генеральной совокупности, мы можем вычислить дисперсию генеральной совокупности или просто дисперсию (англ. ‘population variance’).
Она обозначается символом \(\sigma^2\)[сигма] и представляет собой среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения.
Формула дисперсии генеральной совокупности.
Зная среднее значение μ, мы можем использовать Формулу 11 для вычисления суммы квадратов отклонений от среднего с учетом всех \(N\) элементов в генеральной совокупности, а затем для определения среднего квадратов отклонений путем деления этой суммы на \(N\).
Независимо от того, является ли отклонение от среднего положительным или отрицательным, возведение в квадрат этой разности дает положительное число.
Таким образом, дисперсия решает проблему отрицательных отклонений от среднего значения, устраняя их посредством операции возведения в квадрат этих отклонений.
Рассмотрим пример.
Прибыль в процентах от выручки для оптовых клубов BJ’s Wholesale Club, Costco и Walmart за 2012 год составляла 0.9%, 1.6% и 3.5% соответственно. Мы рассчитали среднюю прибыль в процентах от выручки как 2.0%.
Следовательно, дисперсия прибыли в процентах от выручки составляет:
Стандартное отклонение генеральной совокупности.
Поскольку дисперсия измеряется в квадратах, нам нужен способ вернуться к исходным единицам. Мы можем решить эту проблему, используя стандартное отклонение, т.е. квадратный корень из дисперсии.
Стандартное отклонение легче интерпретировать, чем дисперсию, поскольку стандартное отклонение выражается в той же единице измерения, что и наблюдения.
Формула стандартного отклонения генеральной совокупности.
Стандартное отклонение генеральной совокупности (или просто стандартное отклонение, а также среднеквадратическое отклонение, от англ. ‘population standard deviation’), определяемое как положительный квадратный корень из дисперсии генеральной совокупности, составляет:
Как дисперсия, так и стандартное отклонение являются примерами параметров распределения. В последующих чтениях мы введем понятие дисперсии и стандартного отклонения как меры риска.
Занимаясь инвестициями, мы часто не знаем среднего значения интересующей совокупности, обычно потому, что мы не можем практически идентифицировать или провести измерения для каждого элемента генеральной совокупности.
Поэтому мы рассчитываем среднее значение по генеральной совокупности и среднее выборки, взятой из совокупности, и вычисляем выборочную дисперсию или стандартное отклонение выборки, используя формулы, немного отличающиеся от Формул 11 и 12.
Мы обсудим эти вычисления далее.
Однако в инвестициях у нас иногда есть определенная группа, которую мы можем считать генеральной совокупностью. Для четко определенных групп наблюдений мы используем Формулы 11 и 12, как в следующем примере.
Пример расчета стандартного отклонения для генеральной совокупности.
В Таблице 20 представлен годовой оборот портфеля из 12 фондов акций США, которые вошли в список Forbes Magazine Honor Roll 2013 года.
Журнал Forbes ежегодно выбирает американские взаимные фонды, отвечающие определенным критериям для своего почетного списка Honor Roll.
Оборачиваемость или оборот портфеля, показатель торговой активности, является меньшим значением из стоимости продаж или покупок за год, деленным на среднюю чистую стоимость активов за год. Количество и состав списка Forbes Honor Roll меняются из года в год.