Как посчитать количество возможных комбинаций

Формула числа сочетаний

Определение числа сочетаний

На картинке наглядно проиллюстрировано получение всех возможных сочетаний из 4 различных объектов по 2 (их будет 6, см. калькулятор сочетаний ниже, который даст формулу расчета).

Чаще всего сочетания используются в комбинаторных задачах и задачах на расчет вероятности по формуле классической вероятности (см. теорию и примеры).

Найти сочетания из n по k

Видеоролик о сочетаниях

Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы сочетаний: как использовать Excel для нахождения числа сочетаний, как решать типовые задачи и использовать онлайн-калькулятор.

Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

Полезные ссылки

Решебник по ТВ

Решебник с задачами по комбинаторике и теории вероятностей:

Источник

Комбинаторика

Комбинаторика – раздел математики, занимающийся изучением количества возможных комбинаций определенного типа, которые возможно сделать из некоторого набора элементов. Эти вычисления необходимы для решения различных задач в теории вероятностей и получения распределений случайных величин.

Правила в комбинаторике

Правило суммы: если есть взаимоисключающие друг друга действия A и B, которые можно выполнить способами m и n соответственно, то выполнить любое из этих действий можно m + n способами.

Правило произведения: если есть последовательность действий k, и первое действие его можно выполнить n₁ способом, второе n₂ и далее до n_k, то все действия этой последовательности можно выполнить n₁ · n₂ · n_k способами.

Элементы комбинаторики

Перестановки – конечное множество, в котором указан порядок его элементов. Количество перестановок вычисляется по формуле: P_n = n!

Калькулятор разложения бинома Ньютона с использованием треугольника Паскаля.

Калькулятор числа перестановок позволяет вычислить число возможных сочетаний из заданного количества элементов.

Калькулятор числа размещений вычисляет число возможных размещений из заданного количества объектов n по k.

Калькулятор числа сочетаний позволяет вычислить число возможных сочетаний из заданного количества объектов n по k.

Источник

Число сочетаний

Число сочетаний из n по k элементов очень важное понятие в комбинаторике. Оно показывает сколько существует вариантов выбора k элементов из множества n элементов. При нахождении числа сочетаний используют формулу:

Формула числа сочетаний

Читается обозначение следующим образом — «C из n по k».

В сочетаниях не имеет значение порядок, в котором расставлены элементы множества k. Для быстрого нахождения сочетаний в режиме онлайн используйте наш калькулятор:

Найти число сочетаний онлайн

Рассмотрим понятие сочетаний на примере.

Пример нахождения числа сочетаний

Вспомним известную лотерею «5 из 36» и ответим на вопрос, сколько возможных комбинаций в ней существует. Итак, из множества в 36 элементов мы выбираем множества элементов по 5. Подставив значения в формулу получим результат:

Далее, вспомним, что такое факториал и упростим выражение. Так как 36! = 1 * 2 * 3 * … * 36, а 31! = 1 * 2 * 3 * … * 31, то числитель и знаменатель можно упростить.

Источник

Формулы комбинаторики.

Перестановки. Подсчет числа перестановок.

Представьте себе, что вы избрали профессию, которая, казалось бы, ни каким образом не связана с математикой, например, дизайнер интерьеров. Представьте себе, что заказчик высказал вам просьбу:

Например, сначала оставляем на первом месте бордовый том, рядом с ним может находиться зеленый или оранжевый. Если на втором месте стоит зеленый том, то далее могут стоять либо оранжевый и синий, либо синий и оранжевый. Если на втором месте стоит оранжевый том, то далее могут стоять либо зеленый и синий, либо синий и зеленый. Итого, получается 4 возможных варианта.

На первом месте может стоять любой из 4-ёх томов, значит описанную процедуру надо повторить еще 3 раза. Случай, когда на первом месте стоит синий том, получается такими же рассуждениями.

А следующие два случая отличаются тем, что на оставшихся трёх местах должны находиться бордовый и синий тома, но не рядом. Например, когда на первом месте стоит зеленый том, оранжевый том должен стоять на третьем месте, чтобы разделять бордовый и синий тома, которые могут занимать, соответственно, либо второе и четвертое места, либо четвертое и второе.

В результате у нас получилось всего 12 вариантов расстановки 4-ёх книг на полке с заданным ограничением. Много это или мало? Если потратить по одной минуте на перемещение книг и обсуждение получившегося варианта с заказчиком, то, пожалуй, нормально. 12 минут можно и книжки подвигать, и поговорить. (Попробуйте посчитать, сколько получилось бы перестановок 4-ёх книг без всяких ограничений?)

А теперь представьте себе, что у заказчика книг больше, чем 4. Ну хотя бы 5. Понятно, что и вариантов расстановки будет больше, и реально переставлять их с места на место дольше, и запутаться и начать повторяться легче. Значит бросаться в бой без подготовки уже не стоит. Нужно сначала запланировать варианты на бумаге. Для краткости занумеруем наши цветные тома и будем переставлять на бумаге их номера. Чтобы меньше ошибаться, сначала выпишем все варианты перестановки, а затем вычеркнем те из них, которые подпадают под ограничение. Итак:

У нас 5 книг (или 5 цифр), каждая из которых может стоять на первом месте. Сделаем для каждого из этих 5-ти случаев свою табличку. На втором месте может стоять любая из оставшихся 4-ёх цифр, для каждой из них зарезервируем столбик в табличке.

В каждом столбике помещаем пары строк, в которых на третьем месте стоит одна из оставшихся 3-ёх цифр, а две последние цифры меняются местами. Таким образом мы аккуратно выписываем все варианты перестановок. Подсчитаем их общее число.

5(таблиц)×4(столбика)×3(пары строк)×2(строки)×1(вариант) = 120 (вариантов).

И, наконец, вычеркнем из всех таблиц варианты, содержащие «12» или «21». Таких оказалось по 6 в первой и второй табличках и по 12 в оставшихся 3-ёх, всего 48 вариантов, не удовлетворяющих ограничению. Значит заказчику надо показать 120 − 48 = 72 варианта расположения 5-ти книг. На это уйдет больше часа, даже если тратить на обсуждение каждого варианта только минуту.

Только где вы видели человека, который для перестановки пяти книг станет нанимать дизайнера? Реально такие задачи возникают в библиотеках, где нужно расставить книги для удобства посетителей, в больших книжных магазинах, где нужно расставить книги так, чтобы обеспечить увеличение спроса, и т.п. То есть там, где книг не единицы, и даже не десятки, а сотни и тысячи.

Считать варианты перестановок приходится не только для книг. Это может потребоваться для большого числа любых объектов практически в любой сфере деятельности. Значит, как дизайнерам, так и людям других профессий может понадобиться помощник, а еще лучше инструмент для облегчения подготовительного этапа, анализа возможных результатов и сокращения объема непроизводительного труда. Такие инструменты создавали и создают ученые-математики, а затем отдают их обществу в виде готовых формул. Математики не обошли своим вниманием вопросы, связанные с перестановками, а также с размещениями и сочетаниями разных элементов. Соответствующим формулам уже не один век. Эти формулы очень просты, подрастающей части общества их «вручают» на уроках школьной математики. Поэтому всё, что было написано выше, это по-существу, «изобретение велосипеда», к которому пришлось прибегнуть из-за предположения, что дизайнеру интерьеров никогда не понадобится математика. Что ж, откажемся от этого предположения. Повторим математические понятия, а затем снова вернемся к задаче о книжной полке.

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов заданного множества. Составляя комбинации, мы фактически выбираем из этого множества различные элементы и объединяем их в группы по нашим потребностям, поэтому вместо слова «комбинации», часто используют слово «выборки» элементов.

Формула для числа перестановок.

Перестановками называются такие выборки элементов, которые отличаются только порядком расположения элементов, но не самими элементами.

Если перестановки производятся на множестве из n элементов, их число определяется по формуле
P_n = n·(n−1)·(n−2). 3·2·1 = n!

Таким образом, общее число перестановок 5-ти книг P₅ = 5! = 1·2·3·4·5 = 120, что мы и получили выше. Фактически мы выводили эту формулу для маленького примера. Теперь решим пример побольше.

Задача 1.

На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом 1-й и 2-й тома не стояли рядом?

Решение.

Это очень большое число (после двойки еще 32 цифры). Даже если затратить секунду на каждую перестановку, то потребуются миллиарды лет. Стоит ли выполнять такое требование заказчика, или лучше уметь обоснованно возразить ему и настоять на применении дополнительных ограничений?

Перестановки и теория вероятностей.

Еще чаще необходимость подсчёта числа вариантов возникает в теории вероятностей. Продолжим книжную тему следующей задачей.

Задача 2.

На книжной полке стояло 30 томов. Ребенок уронил книги с полки, а затем расставил их в случайном порядке. Какова вероятность того, что он не поставил 1-й и 2-й тома рядом?

Решение.

Замечаниe: Если непонятно, как сокращаются дроби с факториалами, то вспомните, что факториал это краткая запись произведения. Её всегда можно расписать длинно и зачеркнуть повторяющиеся множители в числителе и в знаменателе.

В ответе получилось число близкое к единице, это означает, что при таком количестве книг случайно поставить два заданных тома рядом сложнее, чем не поставить.

Размещения. Подсчет числа размещений.

Теперь предположим, что у заказчика много книг и невозможно разместить их все на открытых полках. Его просьба состоит в том, что нужно выбрать определенное количество каких-либо книг и разместить их красиво. Красиво получилось или некрасиво это вопрос вкуса заказчика, т.е. он опять хочет посмотреть все варианты и принять решение сам. Наша задача состоит в том, чтобы посчитать количество всех возможных вариантов размещения книг, обоснованно переубедить его и ввести разумные ограничения.

На рисунке представлены только 4 варианта размещения из 60 возможных. Сравните картинки. Обратите внимание, что размещения могут отличаться друг от друга либо только порядком следования элементов, как первые две группы, либо составом элементов, как следующие.

Формула для числа размещений.

Размещениями из n элементов по m (мест) называются такие выборки, которые имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из n по m обозначается A_n m и определяется по формуле
A_n m = n·(n − 1)·(n − 2)·. ·(n − m + 1) = n!/(n − m)!

Ничего удивительного в том, что число размещений из n по n оказалось равным числу перестановок n элементов, ведь мы использовали для составления размещений всё множество элементов, а значит они уже не могут отличаться друг от друга составом элементов, только порядком их расположения, а это и есть перестановки.

Задача 3.

Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии 30-ти книг?

Решение.

Определим общее число размещений из 30 элементов по 15 по формуле
A₃₀ 15 = 30·29·28·. ·(30−15+1) = 30·29·28·. ·16 = 202843204931727360000.
Ответ: 202843204931727360000.

Будете размещать реальные книги? Удачи! Посчитайте, сколько жизней потребуется, чтобы перебрать все варианты.

Задача 4.

Сколькими способами можно расставить 30 книг на двух полках, если на каждой из них помещается только по 15 томов?

Решение.

Способ I.
Представим себе, что первую полку мы заполняем так же, как в предыдущей задаче. Тогда вариантов размещения из 30-ти книг по 15 будет A₃₀ 15 = 30·29·28·. ·(30−15+1) = 30·29·28·. ·16.
И при каждом размещении книг на первой полке мы еще P₁₅ = 15! способами можем расставить книги на второй полке. Ведь для второй полки у нас осталось 15 книг на 15 мест, т.е. возможны только перестановки.
Всего способов будет A₃₀ 15 ·P₁₅, при этом произведение всех чисел от 30 до 16 еще нужно будет умножить на произведение всех чисел от 1 до 15, получится произведение всех натуральных чисел от 1 до 30, т.е. 30!
Способ II.
Теперь представим себе, что у нас была одна длинная полка на 30 мест. Мы расставили на ней все 30 книг, а затем распилили полку на две равные части, чтобы удовлетворить условию задачи. Сколько вариантов расстановки могло быть? Столько, сколько можно сделать перестановок из 30 книг, т.е. P₃₀ = 30!
Ответ: 30!.

Не важно, как вы решаете математическую задачу. Вы её решаете так, как представляете себе свои действия в жизненной ситуации. Важно не отступать от логики в своих рассуждениях, чтобы в любом случае получить верный ответ.

Размещения и теория вероятностей.

Задача 5.

На книжной полке находится собрание сочинений одного автора в 6 томах. Книги одинакового формата расположены в произвольном порядке. Читатель, не глядя, берет 3 книги. Какова вероятность того, что он взял первые три тома?

Решение.

Сочетания. Подсчет числа сочетаний.

Формула для числа сочетаний.

В этой формуле присутствуют два делителя и в качестве знака деления использован символ «/«, который более удобен для веб-страницы. Но деление можно также обозначать двоеточием «:» или горизонтальной чертой «−−−». В последнем случае формула выглядит как обыкновенная дробь, в которой последовательное деление представлено двумя сомножителями в знаменателе . Для тех, кому более понятно представление в виде дроби, все формулы продублированы в начале и в самом конце страницы. Разбирая решения задач сравнивайте мою запись с привычной для себя.
Кроме того, все множители и делители в этой формуле представляют собой произведения последовательных натуральных чисел, поэтому дробь хорошо сокращается, если её расписать подробно. Но подробное сокращение я в задачах пропускаю, его легко проверить самостоятельно.

Понятно, что для одинаковых исходных множеств из n элементов и одинаковых объёмов выборок (по m элементов) число сочетаний должно быть меньше, чем число размещений. Ведь при подсчёте размещений для каждой выбранной группы мы еще учитываем все перестановки выбранных m элементов, а при подсчёте сочетаний перестановки не учитываем: С_n m = A_n m /P_m = n!/(n−m)!/m!

Задача 6.

Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 30-ти книг?

Решение.

Мы решаем эту задачу в контексте работы дизайнера интерьеров, поэтому порядок следования на полке 15-ти выбранных внешне одинаковых книг не имеет значения. Нужно определить общее число сочетаний из 30 элементов по 15 по формуле
С₃₀ 15 = 30!/(30 − 15)!/15! = 155117520.
Ответ: 155117520.

Задача 7.

Сколькими способами можно расставить 30 внешне неразличимых книг на двух полках, если на каждой из них помещается только по 15 томов?

Итак, бывают такие формулировки задач, что ответы могут получаться неоднозначными. Для точного решения нужна дополнительная информация, которую мы обычно получаем из контекста ситуации. Создатели экзаменационных заданий, как правило, не допускают двойного толкования условия задачи, формулируют его несколько длиннее. Однако, если у вас есть сомнения, лучше обратиться с вопросом к преподавателю.

Сочетания и теория вероятностей.

В теории вероятностей задачи на сочетания встречаются чаще всего, потому что группировка без порядка следования важнее именно для неразличимых элементов. Если какие-то элементы существенно различаются между собой, их трудно выбрать случайно, есть ориентиры для неслучайного выбора.

Задача 8.

На книжной полке находится собрание сочинений одного автора в 6 томах. Книги одинаково оформлены и расположены в произвольном порядке. Читатель берет наугад 3 книги. Какова вероятность того, что он взял первые три тома?

Решение.

Сравните эту задачу с задачей 5 (на размещения). В обеих задачах очень похожие условия и совсем одинаковые ответы. По-существу, это просто одна и та же бытовая ситуация и, соответственно, одна и та же задача, которую можно трактовать так или иначе. Главное, чтобы при подсчёте элементарных событий, как благоприятствующих, так и всех возможных, было одно и то же понимание ситуации.

Заключительные замечания.

Мы рассмотрели выборки для множества, в котором элементы не повторяются, так называемые выборки без повторений. Например, перестановки букв в слове «шляпа». Но ведь и слово «берет» нередко встречается. В этом слове от перестановки местами двух букв «е» ничего не изменится, такая перестановка не влияет на общее число всех вариантов. Понятно, что математики тоже не прошли мимо понятия выборки с повторениями и вывели соответствующие формулы для подсчёта числа вариантов. Вы можете найти их в учебниках и справочниках или посмотреть в комментариях к простым задачам здесь.

Для строгого вывода всех формул (который я здесь не приводила) используются два основных правила комбинаторики:

Понятие факториал также распространяется на ноль: 0! = 1, так как считается, что пустое множество можно упорядочить единственным способом.

Заключительная задача.

При решении задач по теории вероятностей с применением методов комбинаторики необходимо тщательно анализировать предлагаемую ситуацию, чтобы правильно выбрать тип выборки. Попробуйте сделать это на примере следующей задачи. Решите её, сравните ответ, а затем нажмите кнопку, чтобы открыть моё решение.

Задача 9.

Из аквариума, в котором 6 сазанов и 4 карпа, сачком выловили 5 рыб. Какова вероятность того, что среди них окажется 2 сазана и 3 карпа?

Решение.

Ответ: 0,238.

Если вы выпускник школы и будете сдавать ЕГЭ, то после изучения этого раздела, вернитесь к заданиям по теме «Вероятность» (10 для базового и 4 для профильного уровней ЕГЭ 2021 по математике), которые можно решать с использованием элементов комбинаторики и без неё (например, на бросание монеты). Какой из возможных способов решения задачи нравится вам больше теперь?

А если вы хотите еще немного потренироваться в решении задач комбинаторики, чтобы научиться быстро определять тип выборки и находить нужные формулы, то перейдите на страницу простые задачи.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

Источник

Как посчитать количество возможных вариантов

Определение числа сочетаний

На картинке наглядно проиллюстрировано получение всех возможных сочетаний из 4 различных объектов по 2 (их будет 6, см. калькулятор сочетаний ниже, который даст формулу расчета).

Найти сочетания из n по k

Видеоролик о сочетаниях

Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы сочетаний: как использовать Excel для нахождения числа сочетаний, как решать типовые задачи и использовать онлайн-калькулятор.

Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

Полезные ссылки

Решебник по ТВ

Решебник с задачами по комбинаторике и теории вероятностей:

Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n_i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n₁*n₂*n₃*. *n_k.

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n₁ элементов, а вторая — из n₂ элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n₂. Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n₂. Так как в первой группе всего n₁ элемент, всего возможных вариантов будет n₁*n₂.

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n₁=6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n₂=7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n₃=4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n₁*n₂*n₃=6*7*4=168.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью.

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A_n m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*. *n (читается: «эн факториал»), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C_n m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P_n и вычисляется по формуле P_n=n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение:эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P₇=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок, которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Подсчет числа перестановок, размещений и сочетаний.

Ниже калькулятор, подсчитывающий число перестановок, размещений и сочетаний. Под ним, как водится, ликбез, если кто подзабыл.

Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

Итак, есть множество из n элементов.

Вариант упорядочивания данного множества называется перестановкой (permutation).
Например, есть множество, состоящее из 3 элементов — А, В, и С. Пример перестановки — СВА. Число всех перестановок из n элементов:

Пример: Для случая А, В, С число всех перестановок 3! = 6. Перестановки: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА

Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением (arrangement).
Пример размещения из 3 по 2: АВ или ВА — это два разных размещения. Число всех размещений из n по m

Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 равно 3!/1! = 6. Размещения: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ

Также бывают размещения с повторениями, как ясно из названия, элементы на определенных позициях могут повторяться.
Число всех размещений из n по m с повторениями:

Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 с повторениями равно 3*3 = 9. Размещения: AA, АВ, АС, ВА, BB, ВС, СА, СВ, CC

Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется сочетанием (combination).
Пример сочетания из 3 по 2: АВ. Число всех сочетаний из n по m

Пример: Для случая А, В, С число всех сочетаний из 3 по 2 равно 3!/(2!*1!) = 3. Сочетания: АВ, АС, СВ

Приведем до кучи формулу соотношения между перестановками, размещениями и сочетаниями:

Источник

Как посчитать количество возможных комбинаций

Follow Us:

Send Us Your Feedback / Suggestion

For further assistance, please Contact Us

Обнаружен блокировщик рекламы

Поскольку мы изо всех сил пытались сделать для вас онлайн-расчеты, мы обращаемся к вам с просьбой предоставить нам разрешение, отключив Adblocker для этого домена.

Or

Disable your Adblocker and refresh your web page 😊

ДОБАВИТЬ ЭТОТ КАЛЬКУЛЯТОР НА ВАШ ВЕБ-САЙТ:

Добавьте калькулятор комбинаций на свой сайт, чтобы упростить использование этого калькулятора напрямую. Создайте учетную запись для этого виджета без проблем, поскольку он на 100% бесплатный, простой в использовании и вы можете добавить его на несколько онлайн-платформ.

Загрузите приложение «Калькулятор комбинаций» для мобильного телефона, чтобы вы могли рассчитать свои значения в своей руке.

Онлайн-калькулятор сочетаний позволяет вам найти количество возможных комбинаций, которые могут быть получены из элементов выборки из большого набора данных. Кроме того, этот комбинаторика калькулятор показывает каждую комбинацию набора данных. По сути, комбинация – это количество способов получить r элементов из n объектов набора данных, где замены не разрешены. Прочтите статью полностью, чтобы точно узнать о ее формуле, ручном расчете, о том, как найти комбинацию с помощью этого калькулятора комбинаций и многом другом.

Кроме того, вы можете попробовать наш онлайн-калькулятор перестановок, который поможет вам найти количество возможных подмножеств, включая подмножество одного и того же элемента в разном порядке.

Что такое формула комбинирования?

Формула для определения количества возможных комбинаций выглядит следующим образом:

n – общее количество в наборе данных

r – это номер, который вы выбираете из этого набора данных & nCr – количество комбинаций

Наш калькулятор NCR использует эту формулу для точных и быстрых вычислений всех элементов набора данных.

Формула сочетания с повторением:

Если нас не волнует повторение, то формула NCR выглядит так:

nCr = (г + п-1)! / р! (п-1)!

Здесь на рисунке показаны четыре типа выбора:

Восклицательный знак (!) Используется для факториала числа. Чтобы найти факториал числа, вы также можете попробовать наш онлайн-калькулятор факториала, который поможет вам вычислить факториал для заданных n чисел.

Как рассчитать комбинации (шаг за шагом):

Расчет комбинаций становится очень простым с этим комбинаторным калькулятором и пониманием следующего ручного примера:

Пример:

Директор выбирает 4 учеников из класса, всего 30 учеников, для соревнований по легкой атлетике. Он хочет определить, сколько комбинаций из 4 учеников можно создать из 30 учеников?

Решение:

Общее количество студентов (n) = 30

Выбранные ученики (r) = 4

30C4 = 30! / 4! (30-4)!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27 * 26! / 4! (26)!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27/4!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27/4 * 3 * 2 * 1

30C4 = 27405 Возможные команды

Вы можете попробовать этот онлайн-калькулятор сочетаний, чтобы проверить все примеры комбинаций для пояснения.

Комбинации и перестановки:

В английском языке мы используем словосочетание, не задумываясь о важности порядка слов или нет. Просто мой обед состоит из бургера, сэндвича с Рубеном и яблочного пирога. Нас не волнует их порядок, они также могут быть в «сэндвиче с Рубеном, яблочном пироге и бургере», но это та же еда. Также,

Замок сейфа – 584. Теперь, если нас не заботит порядок, то он не работает. Например, 845 не подойдет, а 458 не подойдет. Надо точно ввести 5-8-4. Итак, мы пришли к выводу, что:

Когда порядок не имеет значения, это комбинация, а когда порядок имеет значение, это перестановка. Проще говоря, перестановка – это упорядоченная комбинация.

Как использовать онлайн-калькулятор сочетаний:

Онлайн-калькулятор комбинаций чисел требует различных значений для точного расчета, это шаги, которые вы должны выполнить, чтобы получить мгновенные результаты.

Входы:

Выходы:

Как только вы закончите, калькулятор формулы комбинации покажет:

Заметка:

Не беспокойтесь, хотите ли вы получить расчет с комбинацией или повторением, все, что вам нужно, чтобы выбрать соответствующую опцию, калькулятор комбинации покажет вам результат в соответствии с заданными значениями.

Часто задаваемые вопросы (FAQ):

Что означает 10 выбирают 3?

Это означает выбор 3 элементов из 10 общих элементов без как посчитать количество комбинаций. Он генератор комбинаций 120 возможных комбинаций.

Для чего используется комбинация?

Он определяет возможные расположения в коллекции из n элементов. Помогает выбирать предметы в любом порядке. Это условие непонятно при перестановке числа.

Конечное примечание:

К счастью, вы узнали, что комбинации используются для определения возможных расположений в коллекции n элементов. Когда дело доходит до вычисления большого числа, воспользуйтесь бесплатным онлайн-калькулятор сочетаний, который поможет вам найти комбинацию данных элементов.

Источник

Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

Подсчет числа перестановок, размещений и сочетаний.

Ниже калькулятор, подсчитывающий число перестановок, размещений и сочетаний. Под ним, как водится, ликбез, если кто подзабыл.

Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

Итак, есть множество из n элементов.

Пример: Для случая А, В, С число всех перестановок 3! = 6. Перестановки: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА

Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением (arrangement).
Пример размещения из 3 по 2: АВ или ВА — это два разных размещения. Число всех размещений из n по m

Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 равно 3!/1! = 6. Размещения: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ

Также бывают размещения с повторениями, как ясно из названия, элементы на определенных позициях могут повторяться.
Число всех размещений из n по m с повторениями:

Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 с повторениями равно 3*3 = 9. Размещения: AA, АВ, АС, ВА, BB, ВС, СА, СВ, CC

Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется сочетанием (combination).
Пример сочетания из 3 по 2: АВ. Число всех сочетаний из n по m

Пример: Для случая А, В, С число всех сочетаний из 3 по 2 равно 3!/(2!*1!) = 3. Сочетания: АВ, АС, СВ

Приведем до кучи формулу соотношения между перестановками, размещениями и сочетаниями:

Источник

Онлайн калькулятор. Вычисление числа сочетаний из n по k элементов

Онлайн калькулятор, который поможет легко и быстро найти число сочетаний из n по k элементов ( C_n k ).

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления числа сочетаний из n по k элементов, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для вычисления числа сочетаний из n по k элементов

Ввод данных в калькулятор для вычисления числа сочетаний из n по k элементов.

В онлайн калькулятор можно вводить только целые полождительные числа.

Дополнительные возможности калькулятора нахождение числа сочетаний из n по k элементов

Теория: Вычисление числа сочетаний из n по k элементов

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Источник

Тема: расчет количества возможных вариантов (комбинаторика)

A12к (базовый уровень, время – 2 мин)

Тема: расчет количества возможных вариантов (комбинаторика)[1]

Что нужно знать:

· если на каждом шаге известно количество возможных вариантов выбора, то для вычисления общего количества вариантов нужно все эти числа перемножить;
например, в двузначном числе мы можем выбрать первую цифру 9 способами (она не может быть нулем), а вторую – 10 способами, поэтому всего есть 9·10=90 двузначных чисел

· если мы разбили все нужные нам комбинации на несколько групп (не имеющих общих элементов!) и подсчитали количество вариантов в каждой группе, то для вычисления общего количества вариантов нужно все эти числа сложить;
например, есть 9·10=90 трехзначных чисел, оканчивающихся на 5, и 9·10=90 трехзначных чисел, оканчивающихся на 2, поэтому 90+90=180 трехзначных чисел оканчиваются на 2 или на 5

· если в предыдущем случае группы имеют общие элементы, их количество нужно вычесть из полученной суммы;
например, есть 9·10=90 трехзначных чисел, оканчивающихся на 5, и 10·10=100 трехзначных чисел, начинающихся на 5; в обе группы входят числа, которые начинаются и заканчиваются на 5, их всего 10 штук, поэтому количество чисел, которые начинаются или заканчиваются на 5, равно 90+100-10=180.

Что не мешает знать:

· если есть n различных элементов, число их различных перестановок равно факториалу числа n, то есть произведению всех натуральных чисел от 1 до n:

например, три объекта (А, Б и В) можно переставить 6 способами (3!=1·2·3=6):

(А, Б, В), (А, В, Б), (Б, А, В), (Б, В, А), (В, А, Б) и (В, Б, А)

· если нужно выбрать m элементов из n (где n³m) и две комбинации, состоящие из одних и тех же элементов, расположенных в разном порядке, считаются различными, число таких комбинаций (они называются размещениями) равно

например, в соревновании пяти спортсменов призовые места (первые три) могут распределиться 60 способами, поскольку

· если нужно выбрать m элементов из n (где n³m) и порядок их расположения не играет роли, число таких комбинаций (они называются сочетаниями) равно

например, выбрать двух дежурных из пяти человек можно 10 способами, поскольку

.

Пример задания:

Сколько существует различных четырехзначных чисел, в записи которых используются только четные цифры?

1) первой цифрой может быть любая четная цифра, кроме нуля (иначе число не будет четырехзначным) – это 2, 4, 6 или 8, всего 4 варианта

2) предположим, что первая цифра выбрана; независимо от нее на втором месте может стоять любая из четных цифр – 0, 2, 4, 6 или 8, всего 5 вариантов:

3) аналогично находим, что последние две цифры также могут быть выбраны 5-ю способами каждая, независимо друг от друга и от других цифр (первой и второй):

Источник

Как посчитать количество возможных комбинаций

тБУУНПФТЙН УМЕДХАЭЙЕ ЧПЪНПЦОЩЕ УРПУПВЩ ЧЩВПТБ.

1. чЩВПТ У ЧПЪЧТБЭЕОЙЕН: ЛБЦДЩК ЧЩОХФЩК ЫБТ ЧПЪЧТБЭБЕФУС Ч ХТОХ, ЛБЦДЩК УМЕДХАЭЙК ЫБТ ЧЩВЙТБЕФУС ЙЪ РПМОПК ХТОЩ. ч РПМХЮЕООПН ОБВПТЕ ЙЪ ОПНЕТПЧ ЫБТПЧ НПЗХФ ЧУФТЕЮБФШУС ПДОЙ Й ФЕ ЦЕ ОПНЕТБ. 2. чЩВПТ ВЕЪ ЧПЪЧТБЭЕОЙС: ЧЩОХФЩЕ ЫБТЩ Ч ХТОХ ОЕ ЧПЪЧТБЭБАФУС, Й Ч РПМХЮЕООПН ОБВПТЕ ОЕ НПЗХФ ЧУФТЕЮБФШУС ПДОЙ Й ФЕ ЦЕ ОПНЕТБ.

хУМПЧЙНУС, ЛБЛЙЕ ТЕЪХМШФБФЩ ЧЩВПТБ (ОБВПТЩ ЙЪ ОПНЕТПЧ ЫБТПЧ) НЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ ТБЪМЙЮОЩНЙ. еУФШ ТПЧОП ДЧЕ ЧПЪНПЦОПУФЙ.

1. чЩВПТ У ХЮЈФПН РПТСДЛБ : ДЧБ ОБВПТБ ОПНЕТПЧ ЫБТПЧ УЮЙФБАФУС ТБЪМЙЮОЩНЙ, ЕУМЙ ПОЙ ПФМЙЮБАФУС УПУФБЧПН ЙМЙ РПТСДЛПН ОПНЕТПЧ. фБЛ, РТЙ ЧЩВПТЕ ФТЈИ ЫБТПЧ ЙЪ ХТОЩ, УПДЕТЦБЭЕК 5 ЫБТПЧ, ОБВПТЩ (1, 5, 2), (2, 5, 1) Й (4, 4, 5) ТБЪМЙЮОЩ, ЕУМЙ РПТСДПЛ ХЮЙФЩЧБЕФУС. 2. чЩВПТ ВЕЪ ХЮЈФБ РПТСДЛБ : ДЧБ ОБВПТБ ОПНЕТПЧ ЫБТПЧ УЮЙФБАФУС ТБЪМЙЮОЩНЙ, ЕУМЙ ПОЙ ПФМЙЮБАФУС УПУФБЧПН. оБВПТЩ, ПФМЙЮБАЭЙЕУС МЙЫШ РПТСДЛПН УМЕДПЧБОЙС ОПНЕТПЧ, УЮЙФБАФУС ПДЙОБЛПЧЩНЙ.

фБЛ, ОБВПТЩ (1, 5, 2) Й (2, 5, 1) ОЕ ТБЪМЙЮБАФУС Й ПВТБЪХАФ ПДЙО Й ФПФ ЦЕ ТЕЪХМШФБФ ЧЩВПТБ, ЕУМЙ РПТСДПЛ ОЕ ХЮЙФЩЧБЕФУС.

рПДУЮЙФБЕН, УЛПМШЛП ЧПЪНПЦОП ТБЪМЙЮОЩИ ТЕЪХМШФБФПЧ ДМС ЛБЦДПК ЙЪ ЮЕФЩТЈИ УИЕН ЧЩВПТБ (ЧЩВПТ У ЧПЪЧТБЭЕОЙЕН ЙМЙ ВЕЪ, Й Ч ЛБЦДПН ЙЪ ЬФЙИ УМХЮБЕЧ — У ХЮЈФПН РПТСДЛБ ЙМЙ ВЕЪ).

Й ОБЪЩЧБЕФУС ЮЙУМПН ТБЪНЕЭЕОЙК ЙЪ ЬМЕНЕОФПЧ РП ЬМЕНЕОФПЧ.

Й ОБЪЩЧБЕФУС ЮЙУМПН УПЮЕФБОЙК ЙЪ ЬМЕНЕОФПЧ РП ЬМЕНЕОФПЧ.

чЙДЙН, ЮФП Ч УИЕНЕ «ВЕЪ ХЮЈФБ РПТСДЛБ» РПМХЮЙМПУШ ФТЙ ТБЪМЙЮОЩИ ТЕЪХМШФБФБ, Ч ПФМЙЮЙЕ ПФ ЮЕФЩТЈИ ТЕЪХМШФБФПЧ Ч УИЕНЕ «У ХЮЈФПН РПТСДЛБ». ъБНЕФЙН ФБЛЦЕ, ЮФП ОЙЛБЛЙН ДЕМЕОЙЕН ОБ «ЮЙУМП ЛБЛЙИ-ОЙВХДШ РЕТЕУФБОПЧПЛ», ЛПФПТПЕ РПНПЗМП ЙЪВБЧЙФШУС ПФ ХЮЈФБ РПТСДЛБ РТЙ ЧЩВПТЕ ВЕЪ ЧПЪЧТБЭЕОЙС, ЮЙУМП 3 ЙЪ ЮЙУМБ 4 РПМХЮЙФШ ОЕ ХДБУФУС.

б ФЕРЕТШ ЙЪПВТБЪЙН ТЕЪХМШФБФ ФБЛПЗП ТБЪНЕЭЕОЙС Ч ЧЙДЕ УИЕНЩ, Ч ЛПФПТПК ЧЕТФЙЛБМШОЩЕ МЙОЙЙ ПВПЪОБЮБАФ РЕТЕЗПТПДЛЙ НЕЦДХ СЭЙЛБНЙ, Б ФПЮЛЙ — ОБИПДСЭЙЕУС Ч СЭЙЛБИ ЫБТЩ:

нЩ ЧЙДЙН ТЕЪХМШФБФ ТБЪНЕЭЕОЙС ДЕЧСФЙ ЫБТПЧ РП УЕНЙ СЭЙЛБН. рЕТЧЩК СЭЙЛ УПДЕТЦЙФ ФТЙ ЫБТБ, ЧФПТПК Й ЫЕУФПК СЭЙЛЙ РХУФЩ, ФТЕФЙК СЭЙЛ УПДЕТЦЙФ ПДЙО ЫБТ, Ч ЮЕФЧЈТФПН Й РСФПН СЭЙЛБИ МЕЦЙФ РП ДЧБ ЫБТБ. рЕТЕМПЦЙН ПДЙО ЫБТ ЙЪ РЕТЧПЗП СЭЙЛБ ЧП ЧФПТПК Й ЙЪПВТБЪЙН ФБЛЙН ЦЕ ПВТБЪПН ЕЭЈ ДЧБ ТЕЪХМШФБФБ ТБЪНЕЭЕОЙС:

чЙДЙН, ЮФП ЧУЕ ТБЪНЕЭЕОЙС НПЦОП РПМХЮЙФШ, НЕОСС НЕЦДХ УПВПК ЫБТЩ Й РЕТЕЗПТПДЛЙ, ЙМЙ ТБУУФБЧМСС ЫБТПЧ ОБ НЕУФБИ. юЙУМП РПМХЮБЕФУС ФБЛ: Х СЭЙЛПЧ ЕУФШ ТПЧОП РЕТЕЗПТПДЛБ, УЮЙФБС ЛТБКОЙЕ, ОП ЙЪ ОЙИ РЕТЕНЕЭБФШ НПЦОП МЙЫШ ЧОХФТЕООАА РЕТЕЗПТПДЛХ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ЙНЕЕФУС НЕУФ, ЛПФПТЩЕ НПЦОП ЪБОСФШ ЫБТБНЙ МЙВП ЧОХФТЕООЙНЙ РЕТЕЗПТПДЛБНЙ. рЕТЕВТБЧ ЧУЕ ЧПЪНПЦОЩЕ УРПУПВЩ ТБУУФБЧЙФШ ЫБТПЧ ОБ ЬФЙИ НЕУФБИ (ЪБРПМОСС ПУФБЧЫЙЕУС НЕУФБ РЕТЕЗПТПДЛБНЙ), РЕТЕВЕТЕН ЧУЕ ОХЦОЩЕ ТБЪНЕЭЕОЙС.

пУФБМПУШ ЪБНЕФЙФШ, ЮФП УРПУПВПЧ ТБУУФБЧЙФШ ЫБТПЧ ОБ НЕУФБИ УХЭЕУФЧХЕФ

йНЕООП УФПМШЛП ЕУФШ УРПУПВПЧ ЧЩВТБФШ ЙЪ ОПНЕТПЧ НЕУФ ОПНЕТПЧ НЕУФ ДМС ЫБТПЧ.

Источник

Интересное и простое из комбинаторики. Функция Эйлера

Предисловие

Прежде всего хочу сказать, мне всего 14 лет. Я надеюсь, что информация, которой поделюсь, будет для кого-то интересна.
Речь пойдет о некоторых задачах комбинаторики.

Сколько вариантов расставить n предметов?

Способ №1

Способ №2

Факториал — количество способов расставить n предметов.
Факториал высчитывается перемножением чисел от 1 до n.
Обозначается n! (читать как факториал n).

Допустим, нам нужно узнать, сколько вариантов в расстановке 10 предметов. Умножаем: 1x2x3..x10
Получим: 10! = 3628800

Как из n предметов выбрать k предметов?

Способ №1

Допустим, вы — организатор лотереи. Из 10 участников вам нужно выбрать 2 победителя. Вы можете узнать количество способов сделать это.
Так же как и в случае с факториалом, можно посчитать вручную. Выбирать n предметов, пока не иссякнут все варианты.
Цитирую: но есть способ, который по своей простоте опережает приведенный ранее способ.

Способ №2

Число сочетаний — это количество способов из n предметов выбрать k предметов.
Обозначается так:

Высчитывается по формуле:
Итак, сколько же способов из 10 участников выбрать 2 победителя?

Числа Фибоначчи

Стоит отдать должное человеку, который «придумал» эти числа. Леонардо Пизанский. Думаю достаточно, чтобы Вы запомнили имя этого великого человека.

Приступим. Числа Фибоначчи применяются в Теории Чисел. Если сказать честно, я знаю не слишком много об этих числах.
Числа Фибоначчи — это последовательность чисел, в котором каждое последующее числовое значение равно сумме двух предыдущих. Первые два числа Фибоначии — единицы. Соответственно, 3-е число = 2.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946.

Еще раз повторюсь — я знаю не слишком много об этих числах. Если я еще не слишком вас утомил/отпугнул/надоел — идем дальше.

Функция Эйлера

В этом пункте я попытаюсь выложить все, что знаю об этом. Я потратил достаточно времени и сил, чтобы изучить эту, между прочим абсолютно простою вещь.

По правде говоря, я очень горжусь тем, что такой человек как Леонард Эйлер жил в России.

К делу. Есть три разных способа посчитать функцию Эйлера. На выбор одного из способов влияют некоторые факторы.
Функция Эйлера обозначается (читать как фи от n).

Способ №1

Увы, но этот способ применять следует для высчитывания функции простых чисел.
Например, функция Эйлера для 3 =

Способ №2

Данный способ следует применять если число можно представить как степень какого-то числа. Например, 9 — это
Посчитаем функцию для 9.


Получаем:

Способ №3

Если число нельзя представить как степень, но можно представить как два множителя — этот способ нам и нужен.
Тут немного сложнее. Нужно разложить число на два множителя, посчитать функцию для каждого из множителей и полученные результаты перемножить.
Также хочу отметить, что если число можно представить и как степень и как два множителя, то в преимуществе всегда степень какого-то числа (о как, в рифму).




Таким образом получаем:

Источник

Число сочетаний с повторениями

Пусть имеются предметы n различных типов. Сколькими способами можно составить из них комбинацию из k элементов, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации, но при этом предметы одного и того же типа могут повторяться? Иными словами, различные комбинации должны отличаться количеством предметов хотя бы одного типа. Такие комбинации называются сочетаниями с повторениями.

Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть сочетаний с повторениями по два элемента: ab, ac, bc, aa, bb, cc.

Таким образом, сочетание с повторениями из n элементов по k элементов (при этом допускается, что k>n) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно или не содержать его совсем, т.е. каждое сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из k различных элементов, но и k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Следует отметить, что если, например, две комбинации по k элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.

Формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:

Данный онлайн калькулятор позволяет найти число сочетаний с повторениями из n элементов по k.

Онлайн калькуляторы

Актуальная информация

Помимо онлайн калькуляторов, сайт также предоставляет актуальную информацию по курсам валют и криптовалют, заторах на дорогах, праздниках и значимых событиях, случившихся в этот день. Информация из официальных источников, постоянное обновление.

Источник

Комбинаторика

Комбинаторика онлайн калькуляторы

Смотрите также

Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Подскажите что использовать, перестановки с повторениями? Есть восемь элементов у каждого элемента может быть два состояния. Сколько может быть комбинаций?

составьте всевозможные перестановки из элементов множества А, если а=,иллюстрируйте решение, используя понятие регулярного дерева

У Васи есть кубики трех цветов. Он строит из них башню, ставя каждый следующий кубик на предыдущий. Запрещено использовать более 7 кубиков каждого из цветов. Вася заканчивает строить башню, как только в ней окажется по 7 кубиков каких-то двух цветов. Сколько различных башен может построить Вася?

Сколько существует четырехзначных чисел, в запись которых входит ровно одна цифра 3?

Рассмотрим четыре случая:
1) Когда число начинается на 3.
Каждый разряд (сотен, десятков и единиц) можно выбрать девятью способами.
9 × 9 × 9 = 729 чисел.

2) Когда цифра 3 в разряде сотен.
Первую цифру можем выбрать восемью способами, а третью и четвертую – девятью способами, получаем.
8 × 9 × 9 = 648 чисел.

3) Когда цифра 3 в разряде десяток.
8 × 9 × 9 = 648 чисел.

4) Когда цифра 3 в разряде единиц.
8 × 9 × 9 = 648 чисел.

Общее количество: 729 + 648 + 648 + 648 = 2673 чисел.

Источник

Алгебра

Комбинаторика

План урока:

Комбинаторика и ее основные принципы

Очень часто приходится решать задачи, в которых надо посчитать количество возможных вариантов для той или иной ситуации. Например, сколько позиций может возникнуть на шахматной доске после первого хода обоих игроков? Сколько разных паролей длиною в десять символов можно записать, если ни один символ не использовать дважды? Сколько разнообразных комбинаций чисел может выпасть при игре в лотерею «6 из 49»? На все эти вопросы помогает ответить специальный раздел математики, называемый комбинаторикой. Почти всегда комбинаторную задачу можно сформулировать так, чтобы ее вопрос начинался словами «сколькими способами…».

Очевидно, что если в конечном множестве содержится n элементов, то есть ровно n способов выбрать один из них.

Пример. В классе 15 человек. Сколькими способами учитель может назначить одного из них ответственным за чистоту доски?

Ответ. Таких способов ровно 15.

В комбинаторике существует два основных правила. Первое из них называется правилом сложения.

Несмотря на формулировку, по сути это очень простое правило.

Пример. В магазине продается 14 телевизоров Panasonic и 17 телевизоров Sony. Петя хочет купить один телевизор. Сколько у него вариантов покупки?

Решение. По правилу сложения Петя может выбрать один из 14 + 17 = 31 телевизоров.

Ответ: 31 телевизор.

Особое значение имеет второе правило, которое называют правилом умножения.

Проиллюстрируем это правило.

Пример. В секции бадминтона 15 мальчиков и 20 девочек. Тренер должен отправить на соревнования смешанную пару. Сколько вариантов действий у него?

Решение. Тренер может составить 15•20= 300 разнополых пар из своих воспитанников.

Пример. Пете нужно купить технику для компьютера. В магазине продается 20 различных клавиатур, 25 моделей геймпадов и 30 компьютерных мышей. Купить надо по одному экземпляру каждого из этих устройств. Сколько вариантов покупки есть у него?

Решение. Сначала подсчитаем число возможных пар «клавиатура-геймпад». Их количество равно 20•25 = 500. Теперь составим «тройку» из одной из 500 пар и одной из 30 мышей. Число троек равно 500•30 = 15000.

Правила сложения и умножения можно комбинировать.

Пример. Сколько слов не более чем из трех букв можно составить, используя алфавит, содержащий ровно 30 букв?

Решение. Очевидно, что слов из одной буквы можно составить ровно 30. Количество двухбуквенных слов равно количеству пар, которые можно составить из этих букв, то есть 30•30 = 900. Трехбуквенных слов можно составить 30•30•30 = 27000. Всего же слов длиною не более 3 букв будет

30 + 900 + 27000 = 27930

Далее мы изучим основные понятия комбинаторики – перестановки, размещения, сочетания.

Перестановки

Рассмотрим простейшую комбинаторную задачу. На полке расставляют по порядку книги. Их ставят вертикально друг за другом. Сколькими способами можно расставить на полке 2 книги? Очевидно, что двумя:

Либо синяя книжка будет первой слева, либо она будет находиться в конце полки, третьего варианта здесь нет. Здесь условно считается, что варианты, когда между книгами есть зазоры, идентичны вариантам без зазоров:

То есть нас интересует исключительно порядок, в котором стоят книги. Каждый из найденных вариантов называется перестановкой книг. Перестановкой называют любое конечное множество, для элементов которого указан порядок элементов.В комбинаторике перестановки являются одними из основных объектов изучения.

Например, если в забеге на 100 метров стартует 8 спортсменов, то они образуют множество участников забега. После финиша становится известно, кто занял 1-ое место, кто оказался вторым или третьим, а кто стал последним. Результат забега будет перестановкой, ведь он представляет собой список спортсменов с указанием их мест, то есть он определяет порядок между ними.

Вернемся к примеру с книгами. Обозначим количество возможных перестановок n элементов как Р_n. Две книжки можно расставить двумя разными способами, поэтому Р₂ = 2. Обозначим эти перестановки как АБ и БА. Сколько способов расстановки есть в случае трех книжек? Их все можно получить из вариантов с 2 книжками, добавляя между ними книгами ещё один том:

Видно, что между 2 книгами есть три позиции, на которые можно поставить 3-ий том. Общее количество вариантов равно произведению числа этих позиций и количества вариантов для 2 книг, то есть Р₃ = 3•Р₂ = 3•2 = 6:

Итак, мы имеем 6 перестановок для 3 книг:

А сколько перестановок существует для 4 книг? Снова-таки, между тремя книгами 4-ый том можно поставить четырьмя способами:

То есть из перестановки трех книг АБВ можно получить 4 перестановки:

Всего существует 6 перестановок для 3 книг (Р₃ = 6), и для каждой из них можно построить 4 перестановки из 4 книг. Получается, что общее количество перестановок 4 книг равно

Продолжая подобные рассуждения, можно убедиться, что количество перестановок 5 предметов в 5 раз больше, чем перестановок для 4 объектов:

И вообще, если число перестановок n объектов равно Р_n, то количество перестановок (n + 1)объекта равно в (n + 1)раз больше:

При этом отметим, что 1 книгу можно расставить на полке только одним способом:

То есть Р₁ = 1. Теперь выпишем значения чисел Р при разном количестве переставляемых предметов, используя формулуР_n+1 = (n + 1)Р_n

Видно, что количество перестановок n объектов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n. В математике есть специальная функция для вычисления значения этого произведения. Она называется факториалом и обозначается восклицательным знаком.

Например, факториал 6 вычисляется так:

Мы убедились на примере с книгами, что количество перестановок из n различных объектов, которое обозначается как Р_n, равно n!.

Относительно факториала надо заметить несколько важных моментов. Во-первых, очевидно, что факториал единицы равен 1:

Во-вторых, иногда в комбинаторных задачах приходится вычислять факториал нуля. По ряду соображений эта величина также принимается равной единице

Объяснить это можно так. Факториал числа можно представить как произведение этого числа и факториала предыдущего числа, например:

5! = 1•2•3•4•5 = (1•2•3•4)•5 = 4!•5

7! = 1•2•3•4•5•6•7 = (1•2•3•4•5•6)•7 = 6!•7

В общем случае формула выглядит так:

Из неё несложно получить, что

Подставив в эту формулу единицу, получим

Пример. Сколькими способами тренер может расставить 4 участников эстафеты 4х400 м по этапам эстафеты?

Решение. Количество таких способов равно числу перестановок 4 различных объектов Р₄:

Пример. Вася решил изучать сразу 7 иностранных языков, причем на занятия по каждому из них он собирается выделить ровно один день в неделе. Сколько вариантов расписаний занятий может составить себе Вася?

Решение. В данном случае расписание занятий – это порядок, в котором Вася в течение недели будет изучать иностранные языки, например:

Такое расписание можно описать последовательностью символов:

Ф, Ан, И, К, Я, Ар, П

Создавая расписание, Вася переставляет 7 языков, поэтому общее количество расписаний равно 7!:

Пример. Сколько пятизначных цифр можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4, причем каждую не более одного раза?

Решение. Общее количество перестановок 5 цифр составляет Р₅. Однако нельзя начинать запись числа с нуля. Так как, перестановка 12340 – это пятизначное число (двенадцать тысяч триста сорок), а перестановка 03241 – не является пятизначным числом.

Расстановок, начинающихся с нуля, ровно Р₄, поэтому общее количество допустимых цифр равно Р₅ – Р₄:

Р₅ – Р₄ = 5! – 4! = 120 – 24 = 96

Пример. На полке расставляют 7 книг, однако 3 из них образуют трехтомник. Тома трехтомника должны стоять друг за другом и в определенном порядке. Сколько существует способов расстановки книг?

Решение. Будем считать трехтомник одной книгой. Тогда нам надо расставить 5 книг

Пример. Необходимо расставить 7 книг на полке, но три из них принадлежат одному автору. Их надо поставить друг с другом, но они могут стоять в любом порядке. Сколько возможно перестановок книг.

Решение. Снова будем считать три книги как один трехтомник. Получается, что существует 5! = 120 вариантов. Однако каждому из них соответствует 3! = 6 расстановок книг внутри трехтомника, например:

В итоге на каждую из 120 расстановок приходится 6 вариантов расстановки трехтомника, а общее число расстановок равно, согласно правилу умножения, произведению этих чисел:

Перестановки с повторениями

До этого мы рассматривали случаи, когда все переставляемые объекты были различными. Однако порою некоторые из них не отличаются друг от друга. Пусть на полке надо расставить 3 книги, но две из них одинаковые. Сколько тогда существует перестановок? Общее число перестановок 3 книг составляет 3! = 6:

Здесь одинаковые книги отмечены как А и А1. Очевидно, что 1-ый и 2-ой варианты (А1АБ) и (АА1Б) на самом деле не отличаются друг от друга. В них отличается лишь порядок одинаковых книг А и А1. В первом случае за А1 следует А, а во втором, наоборот, за А следует А1. Тоже самое можно сказать про варианты 3 и 4, 5 и 6. Получается, что все возможные перестановки можно разбить на группы, в которых находятся «перестановки-дубликаты»:

В каждой группе находится ровно по два «дубликата». Почему именно по два? Это число равно количеству перестановок одинаковых книг. Так как одинаковых томов 2, а Р₂ = 2, то в каждой группе по 2 «дубликата». Действительно, если бы мы «убрали» с полки все книги, кроме повторяющихся, то там осталось бы только 2 одинаковых тома, которые можно переставить двумя способами.

Для того чтобы найти количество «оригинальных» перестановок, надо их общее количество поделить на число дубликатов в каждой группе.

Пусть теперь надо расставить 4 книги, из которых 3 одинаковы. Обозначим тома как А, А1, А2 и Б. Всего можно записать 4! = 24 перестановки. Однако каждые 6 из них будут дублировать друг друга. То есть их можно разбить на группы, в каждой из которых будет 6 идентичных «дубликатов»:

1-ая группа: БАА1А2, БАА2А1, БА1АА2, БА1А2А, БА2АА1, БА2А1А

2-ая группа: АБА1А2, АБА2А1, А1БАА2, А1БА2А, А2БАА1, А2БА1А

3-ая группа: АА1БА2, АА2БА1, А1АБА2, А1А2БА, А2АБА1, А2А1БА

4-ая группа: АА1А2Б, АА2А1Б, А1АА2Б, А1А2АБ, А2АА1Б, А2А1АБ

И снова для подсчета числа оригинальных перестановок надо из общее число расстановок поделить на количество дубликатов в каждой группе:

Для обозначения перестановок с повторениями используется запись

где n – общее количество объектов, а n₁, n₂, n₃,… n_k – количество одинаковых элементов. Например, в задаче с 4 книгами мы искали величину Р₄(3, 1), потому что всего книг было 4, но они были разбиты на две группы, в одной из которых находилось 3 одинаковых тома (буквы А, А1, А2), а ещё одна книга (Б) составляла вторую группу. Мы заметили, что для вычисления числа перестановок с повторениями надо общее число перестановок делить на количество дублирующих перестановок. Формула в общем случае выглядит так:

Пример. Вася решил, что ему стоит изучать только два иностранных языка. Он решил 4 дня в неделю тратить на английский, а оставшиеся три дня – на испанский. Сколько расписаний занятий он может себе составить.

Решение. Вася должен расставить 3 урока испанского и 4 урока английского, тогда n₁ = 3, а n₂ = 4. Общее количество уроков равно 3 + 4 = 7. Тогда

Обратите внимание, что для удобства при делении факториалов мы не вычисляли их сразу, а пытались сократить множители. Так как в ответе любой комбинаторной задачи получается целое число, то весь знаменатель дроби обязательно сократится с какими-нибудь множителями в числителе.

Пример. У мамы есть 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин. Эти фрукты она распределяет между 6 детьми. Сколькими способами она может это сделать, если каждый должен получить по фрукту?

Решение. Всего есть три группы фруктов. В первой находится 3 яблока, поэтому n₁ = 3. Во второй группе 2 банана, поэтому n₂ = 2. В третьей группе только 1 апельсин, поэтому n_k = 1. Общее число фруктов равно 6. Используем формулу:

В знаменателе формулы для перестановок с повторениями мы записываем число объектов в каждой группе одинаковых предметов. Так, если переставляются 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин, то в знаменателе мы пишем 3!•2!•1!. Но что будет, если в каждой группе будет находиться ровно один уникальный объект? Тогда мы запишем в знаменателе произведение единиц:

В итоге мы получили ту же формулу, что и для перестановок без повторов. Другими словами, перестановки без повтора могут рассматриваться просто как частный случай перестановок с повторами.

Размещения

Пусть в футбольном турнире участвуют 6 команд. Нам предлагают угадать те команды, которые займут призовые места (то есть первые три места). Сколько вариантов таких троек существует?

Сначала запишем ту команду, которая выиграет турнир. Здесь есть шесть вариантов, по количеству участвующих команд. Запишем эти варианты:

Далее выберем один из вариантов и для него укажем серебряного призера соревнований. Здесь есть только 5 вариантов, ведь 1 из 6 команд уже записана на 1-ом месте:

Такую пятерку можно записать для каждого из шести вариантов того, кто станет чемпионом. Получается, что всего есть 6•5 = 30 пар «чемпион – серебряный призер». Наконец, для одной такой пары можно записать 4 варианта того, кто окажется третьим (две команды писать нельзя, так как они уже записаны на первых двух строчках):

Для каждой пары можно записать 4 тройки призеров. Так как число пар «чемпион – вице-чемпион» равно 6•5 = 30, то число троек составит 6•5•4 = 120.

В данном случае из некоторого множества команд мы выбрали несколько и расположили их в каком-то порядке. То есть мы выбрали упорядоченное множество. В комбинаторике оно называется размещением.

Если общее число команд обозначить как n (в этом примере n = 6), а количество упорядочиваемых команд равно k, то количество таких размещений в комбинаторике обозначается как

В примере с командами количество размещений равнялось 120:

Читается эта запись как «число размещений из 6 по 3 равно 120».

Для нахождения этого числа мы перемножили k (3)множителей. Первый из них был равен n(6), так как каждая из n команд могла занять первая место. Второй множитель был равен (n– 1), так как после определения чемпиона мы могли поставить на вторую позицию одну из (n– 1) команд. Третий множитель был равен (n– 2). По этой логике каждый следующий множитель будет меньше предыдущего на единицу. Например, чтобы вычислить число размещений из 7 по 4, надо перемножить 4 множителя, первый из которых равен 7, а каждый следующий меньше на 1:

Однако математически удобнее представлять это произведение как отношение двух факториалов. Для этого умножим количество размещений на дробь 3!/3!, равную единице. Естественно, число размещений из-за умножения на единицу не меняется:

Число 3 в данном случае можно получить, если из 7 вычесть 4. В общем случае из числа n надо вычесть число k. Тогда формула для вычисления количества размещений примет вид:

Пример. В программе 8 «А» класса 12 различных предметов. В понедельник проводится 5 занятий подряд. Сколько существует вариантов расписаний для класса, если в течение понедельника нельзя проводить два одинаковых урока?

Решение. Для составления расписания нужно выбрать 5 предметов и расставить их по порядку. Поэтому нам необходимо найти размещение из 12 по 5:

Пример. В вагоне 10 свободных мест. В него зашло 6 пассажиров. Сколькими способами они могут расположиться в вагоне?

Решение. Из десяти мест надо выбрать шесть и указать для каждого, какому пассажиру оно соответствует. То есть каждый вариант рассадки пассажиров – это размещение из 10 по 6. Найдем их количество:

Заметим, что перестановка – это частный случай размещения, когда k = n. Действительно, если нам надо указать тройку призеров турнира, в котором участвуют 6 команд, то мы указываем размещение из 6 по 3. Но если мы указываем для каждой из 6 команд, какое место она займет в чемпионате, то это размещение из 6 по 6. С другой стороны, это расстановка одновременно является и перестановкой 6 команд. Убедимся, что в этом частном случае формула для подсчета количества размещений покажет тот же результат, что и формула для перестановок

Для примера с 6 командами это будет выглядеть так:

Здесь мы использовали тот факт, что факториал нуля принимается равным единице. Данное рассуждение можно, наоборот, использовать для того, чтобы доказать, что факториал нуля – это единица.

Сочетания

Выбирая размещение, мы должны были выбрать из множества несколько объектов и упорядочить их. В частности, мы выбирали три команды из шести и указывали, какая из них будет первой, какая второй, а какая третьей. Поэтому размещения «Локомотив, Зенит, Краснодар» и «Локомотив, Краснодар, Зенит» отличались друг от друга.

Однако порою этот порядок не имеет значения. Так, существует известная лотерея, где предлагается угадать 7 чисел из 49, которые выпадут во время розыгрыша из барабана. При этом порядок их выпадения не играет никакой роли. Игрок, выбирая эти 7 чисел, с точки зрения математики формирует сочетание из 49 по 7.

Количество возможных сочетаний из n по k обозначается буквой С:

Для вычисления количеств сочетаний из n по k сначала найдем количество аналогичных размещений. Оно вычисляется по формуле:

Однако все они соответствуют только одному сочетании – ЛКЗ. Таким образом, считая количество размещений, мы посчитали каждое сочетание не один, а 3! раз. Поэтому для нахождения количества сочетаний в комбинаторике надо поделить число размещений на число перестановок k элементов:

Эта формула связывает важнейшие понятия комбинаторики – перестановки, сочетания и размещения. Подставим в неё формулы для размещений и перестановок и получим:

Пример. Сколько троек призеров турнира можно составить, выбирая три футбольные команды из шести?

Решение. Посчитаем число сочетаний из 6 по 3:

Пример. Сколько комбинаций чисел может составить игрок, играющий в лотереи «5 из 36», «6 из 45», «7 из 49»?

Решение. В каждом из этих случаев игрок выбирает сочетание нескольких чисел. Посчитаем их число:

Ответ: 376992; 8145060; 85900584

Пример. На плоскости отмечены 8 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через них? Сколько треугольников и четырехугольников можно построить с вершинами в этих точках?

Решение. Для того чтобы провести прямую, достаточно выбрать любые 2 точки из 8. Общее количество прямых будет равно числу сочетаний из 8 по 2:

Заметим принципиальную важность того условия, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Оно гарантирует, что при выборе двух различных точек мы будем получать различные прямые. Если бы, например, точки АВС лежали бы на одной прямой, то при выборе сочетаний АВ, ВС и АС мы получали бы одну и ту же прямую:

Это же условие гарантирует, что, выбрав любые 3 и 8 точек, мы сможем построить треугольник с вершинами в этих точках, а выбрав 4 точки, получим четырехугольник. Поэтому для подсчета количества треугольников и четырехугольников следует искать число сочетаний по 3 и 4:

Ответ: 28 прямых, 56 треугольников и 70 четырехугольников.

Пример. В одной урне находится 10 различных шаров с номерами от 0 до 9, а в другой – 8 различных шаров с первыми восемью буквами алфавита. По условиям лотереи ведущий вытаскивает из первой урны два шара с числами, а из второй – три шара с буквами. Для победы в лотерее надо угадать выпавшие шары. Сколько комбинаций шаров может выпасть в игре?

Решение. Посчитаем отдельно, сколькими способами можно выбрать 2 шара с цифрами из 10 и 3 шара с буквами из 8:

По правилу умножения мы должны перемножить эти числа, чтобы найти общее количество возможных вариантов:

Заметим, что выбирая, например, сочетание из 49 по 7, мы одновременно выбираем и сочетание из 49 по 49 – 7 = 42. Действительно, игрок, обводящий в кружок в лотерейном билете свои 7 счастливых чисел, одновременно и определяет остальные 42 числа, какие числа он НЕ считает счастливыми. Для наглядности запишем число сочетаний в обоих случаях:

Получили одну и ту же дробь, в которой отличается лишь последовательность множителей в знаменателе. Можно показать, что и в общем случае число сочетаний из n по k совпадает с количеством сочетаний из n по (n– k):

Источник

Как рассчитать количество вариантов: Как рассчитать макс. количество возможных комбинаций?

Как посчитать количество пар для заданного числа элементов

В жизни мы достаточно часто сталкиваемся с практическими задачками, где необходимо знание математики и логики. Да, для решения задачи мы сегодня может найти готовое решение (формулу) в сети интернет. Но никогда не было лишним пошевелить мозгами и понять почему именно такое решение или формула.

Итак, занимательная задачка, в которой необходимо посчитать количество всевозможных пар среди заданного колличества объектов. Если количество объектов невелико, то можно посчитать пары методом перебора. Но с ростом объектов это количество пар прогрессивно растет.

Начнем с самого простого.

А вот на четырех элементах мы остановимся подробнее. Четыре элемента для удобства перебора пар мы изобразим в виде квадрата, разделенного на 4 равные части (квадраты). На рисунке схематично изображены варианты создания пар поочередно для каждого из четырех квадратиков. Каждый квадратик создает пару с тремя остальными другими, естественно исключая вариант создания пары самим с собой. Для наглядности каждый квадратик со стрелками имеет свою цветовую маркировку.

Таким образом каждые остальные другие 3 квадратика могут создать ровно такое же количество пар соответственно. Общее количество вариантов в итоге можно посчитать как произведение:

4×3=12

где 4 — всего количество элементов, 3 — количество элементов, с которыми каждый из квадратиков может создать пару.

Однако. В этом полученном количестве элементов каждая пара повторяется 2 раза. На рисунке мы видим как первый квадратик может создать пару вторым, а второй естественно в своих вариантах с первым, что является дублем. То есть вариант 1-2 равен варианту 2-1. Это одна пара. И так по каждому элементу. Таким образом число 12 необходимо разделить на 2 Получим 6 возможных пар. Данное решение не сложно проверить методом перебора.

Итак, формула для получения возможного количества пар из общего числа выглядит
следующим образом:

Количество пар = (Общее число элементов X Общее число элементов — 1) / 2

Формулу совершенно несложно запомнить и при случае в уме посчитать количество возможных пар не прибегая к сети интернет.

python — Как рассчитать количество всевозможных комбинаций для диапазона чисел от 1 до N?

Как я могу математически рассчитать количество всех возможных комбинаций?

Есть ли способ сделать это вычислительно, не перечисляя возможные комбинации?

alvas 15 Июн 2015 в 17:06

2 ответа

На самом деле с математической точки зрения:

k-комбинация набора — это подмножество k различных элементов S. Если набор имеет n элементов, количество k-комбинаций равно биномиальный коэффициент:

И для всех комбинаций:

Kasramvd 25 Авг 2015 в 06:18

Это определение комбинаций

Так как общая функция

CoryKramer 15 Июн 2015 в 15:05

3,14 способа запомнить число π с большой точностью

Число π показывает, во сколько раз длина окружности больше ее диаметра. Неважно, какого размера окружность, — как заметили по меньшей мере еще 4 тыс. лет назад, соотношение всегда остается одним и тем же. Вопрос только, чему оно равняется.

Чтобы высчитать его приблизительно, достаточно обыкновенной нитки. Грек Архимед в III веке до н.э. применял более хитрый способ. Он чертил внутри и снаружи окружности правильные многоугольники. Складывая длины сторон многоугольников, Архимед все точнее определял вилку, в которой находится число π, и понял, что оно приблизительно равно 3,14.

Методом многоугольников пользовались еще почти 2 тыс. лет после Архимеда, это позволило узнать значение числа π вплоть до 38-й цифры после запятой. Еще один-два знака — и можно с точностью до атома рассчитать длину окружности с диаметром как у Вселенной.

Пока одни ученые использовали геометрический метод, другие догадались, что число π можно рассчитывать, складывая, вычитая, деля или умножая другие числа. Благодаря этому «хвост» вырос до нескольких сотен цифр после запятой.

С появлением первых вычислительных машин и особенно современных компьютеров точность повысилась на порядки — в 2016 году швейцарец Петер Трюб определил значение числа π до 22,4 трлн знаков после запятой. Если напечатать этот результат в строчку 14-м кеглем нормальной ширины, то запись получится немногим короче, чем среднее расстояние от Земли до Венеры.

В принципе ничто не мешает добиться еще большей точности, но для научных расчетов в этом давно нет нужды — разве что для тестирования компьютеров, алгоритмов и для исследований в математике. А исследовать есть что. Даже про само число π известно не все. Доказано, что оно записывается в виде бесконечной непериодической дроби, то есть цифрам после запятой нет предела, и они не складываются в повторяющиеся блоки.

Дальнейшие вычисления проводятся в основном из спортивного интереса — и по той же причине люди пытаются запомнить как можно больше цифр после запятой. Рекорд принадлежит индийцу Раджвиру Мине, который в 2015 году назвал на память 70 тыс. знаков, сидя с завязанными глазами почти десять часов.

Наверное, чтобы превзойти его результат, нужен особый талант. Но просто удивить друзей хорошей памятью способен каждый. Главное — использовать одну из мнемонических техник, которая потом может пригодиться и для чего-нибудь еще.

Структурировать данные

Самый очевидный способ — разбить число на одинаковые блоки. Например, можно представить π как телефонную книгу с десятизначными номерами, а можно — как причудливый учебник истории (и будущего), где перечислены годы. Много так не запомнишь, но, чтобы произвести впечатление, хватит и пары десятков знаков после запятой.

Превратить число в историю

Считается, что самый удобный способ запомнить цифры — придумать историю, где им будет соответствовать количество букв в словах (ноль было бы логично заменить пробелом, но тогда большинство слов сольется; вместо этого лучше использовать слова из десяти букв). По этому принципу построена фраза «Можно мне большую упаковку кофейных зерен?» на английском языке:

В дореволюционной России придумали похожее предложение: «Кто и шутя и скоро пожелает(ъ) Пи узнать число, уже знает(ъ)». Точность — до десятого знака после запятой: 3,1415926536. Но проще запомнить более современный вариант: «Она и была, и будет уважаемая на работе». Есть и стихотворение: «Это я знаю и помню прекрасно — пи, многие знаки мне лишни, напрасны». А советский математик Яков Перельман сочинил целый мнемонический диалог:

— Что я знаю о кругах? (3,1415)

— Вот и знаю я число, именуемое пи — молодец! (3,1415927)

— Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать! (3,14159265359)

Американский математик Майкл Кит и вовсе написал целую книгу Not A Wake, в тексте которой содержится информация о первых 10 тыс. цифр числа π.

Заменить цифры буквами

Кому-то легче запомнить бессвязные буквы, чем случайные цифры. В этом случае цифры заменяются первыми буквами алфавита. Первое слово в названии рассказа Cadaeic Cadenza Майкла Кита появилось именно таким образом. Всего в этом произведении закодировано 3835 знаков числа пи — правда, тем же способом, что в книге Not a Wake.

В русском языке для подобных целей можно использовать буквы от А до И (последняя будет соответствовать нолю). Насколько удобно будет запоминать составленные из них комбинации — вопрос открытый.

Придумать образы для комбинаций цифр

Чтобы добиться по-настоящему выдающихся результатов, предыдущие методы не годятся. Рекордсмены используют технику визуализации: изображения запомнить легче, чем цифры. Сначала нужно сопоставить каждую цифру с согласной буквой. Получится, что каждому двухзначному числу (от 00 до 99) соответствует двухбуквенное сочетание.

Допустим, один — это «н», четыре — «р», пять — «т». Тогда число 14 — это «нр», а 15 — «нт». Теперь эти пары следует дополнить другими буквами, чтобы получилось слова, например, «нора» и «нить». Всего понадобится сто слов — вроде бы много, но за ними стоят всего десять букв, поэтому запомнить не так уж сложно.

Число π предстанет в уме как последовательность образов: три целых, нора, нить и т.п. Чтобы лучше запомнить эту последовательность, изображения можно нарисовать или распечатать на принтере и поставить перед глазами. Некоторые люди просто раскладывают соответствующие предметы по комнате и вспоминают числа, разглядывая интерьер. Регулярные тренировки по этому методу позволят запомнить сотни и даже тысячи знаков после запятой — или любую другую информацию, ведь визуализировать можно не только числа.

Марат Кузаев, Кристина Недкова

Количество комбинаций в коде из 4 цифр. Сложно ли угадать PIN-код

Собственно, суть вопроса. Какова вероятность угадывания (в любом порядке) четырех чисел, содержащихся в четырехзначном числе?

Или еще конкретнее. Мне нужно четыре раза угадать одну цифру из десяти. Но не подряд.

Ну или еще как-нибудь. В общем, нужно узнать, сколько у меня было вариантов числовой комбинации, из которой складывался пин-код карточки. Помогите, люди добрые! Только, пожалуйста, помогая, не начинайте сразу писать, что вариантов этих 9999 (вчера такое всем приходило в голову поначалу), потому что это же глупости — ведь в том ракурсе, который нас волнует, число 1234, число 3421, число 4312 и так далее являются одним и тем же! Ну и да, цифры же могут повторяться, ведь бывает пин-код 1111 или там, например, 0007. Можно представить вместо пин-кода номер машины. Допустим, какова вероятность угадать все однозначные цифры, из которых складывается номер машины? Или, чтобы вообще убрать теорию вероятности — из скольких числовых комбинаций мне нужно было выбрать одну?

Пожалуйста, подкрепите свои ответы и рассуждения какими-нибудь точными формулами, потому что мы вчера и так чуть не свихнулись. Заранее всем большое спасибо!

P.S. Один умный человек, программист, художник и изобретатель, только что очень верно подсказал правильное решение проблемы, подарив мне несколько минут прекрасного настроения: «решение задачи такое: у неё обсессивно-комп ульсивное расстройство, лечение такое: замуж и окучивать помидоры. меня бы больше на её месте волновал не вопрос «какова вероятность», а вопрос «схуя ли я обращаю внимание на все эти цифры»? В общем-то, даже нечего добавить:)

Описание алгоритма генерации под калькулятором.

Алгоритм

Комбинации генерируются в лексикографическом порядке. Алгоритм работает с порядковыми индексами элементов множества.
Рассмотрим алгоритм на примере.
Для простоты изложения рассмотрим множество из пяти элементов, индексы в котором начинаются с 1, а именно, 1 2 3 4 5.
Требуется сгенерировать все комбинации размера m = 3.
Сначала инициализуется первая комбинация заданного размера m — индексы в порядке возрастания
1 2 3
Далее проверяется последний элемент, т. е. i = 3. Если его значение меньше n — m + i, то он инкрементируется на 1.
1 2 4
Снова проверяется последний элемент, и опять он инкрементируется.
1 2 5
Теперь значение элемента равно максимально возможному: n — m + i = 5 — 3 + 3 = 5, проверяется предыдущий элемент с i = 2.
Если его значение меньше n — m + i, то он инкрементируется на 1, а для всех следующих за ним элементов значение приравнивается к значению предыдущего элемента плюс 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Далее снова идет проверка для i = 3.
1 3 5
Затем — проверка для i = 2.
1 4 5
Потом наступает очередь i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
И далее,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 — последнее сочетание, так как все его элементы равны n — m + i.

Несмотря на важную роль PIN-кодов в мировой инфраструктуре, до сих пор не проводилось академических исследований о том, как, собственно, люди выбирают PIN-коды.

Исследователи из университета Кембриджа Sören Preibusch и Ross Anderson исправили ситуацию, опубликовав первый в мире количественный анализ сложности угадывания 4-циферного банковского PIN-кода.

Используя данные об утечках паролей из небанковских источников и онлайн анкетирование, учёные выяснили, что к выбору PIN-кодов пользователи относятся гораздо серьёзнее, чем к выбору паролей для веб-сайтов: большинство кодов содержат практически случайный набор цифр. Тем не менее, среди исходных данных присутствуют и простые комбинации, и дни рождения, — то есть, при некотором везении злоумышленник может просто угадать заветный код.

Отправной точкой исследования был набор 4-циферных последовательностей в паролях из базы RockYou (1.7 млн), и базы из 200 тысяч PIN-кодов от программы блокировки экрана iPhone (базу предоставил разработчик приложения Daniel Amitay). В графиках, построенных по этим данным, проступают интересные закономерности — даты, года, повторяющиеся цифры, и даже PIN-коды, заканчивающиеся на 69. На основе этих наблюдений учёные построили линейную регрессионную модель, которая оценивает популярность каждого PIN-кода в зависимости от 25 факторов, — например, является ли код датой в формате ДДММ, является ли он возрастающей последовательностью, и так далее. Этим общим условиям соответствуют 79% и 93% PIN-кодов в каждом из наборов.

Итак, пользователи выбирают 4-циферные коды на основе всего нескольких простых факторов. Если бы так выбирались и банковские PIN-коды, 8-9% из них можно было бы угадать всего за три попытки! Но, конечно, к банковским кодам люди относятся гораздо внимательнее. Ввиду отсутствия сколько-нибудь большого набора настоящих банковских данных, исследователи опросили более 1300 человек, чтобы оценить, насколько реальные PIN-коды отличаются от уже рассмотренных. Учитывая специфику исследования, у респондентов спрашивали не о самих кодах, а только о их соответствии какому-либо из вышеназванных факторов (возрастание, формат ДДММ, и т.д.).

Оказалось, что люди действительно гораздо тщательнее выбирают банковские PIN-коды. Примерно четверть опрошенных используют случайный PIN, сгенерированный банком. Более трети выбирают свой PIN-код, используя старый номер телефона, номер студенческого билета, или другой набор цифр, который выглядит случайным. Согласно полученным результатам, 64% владельцев карт используют псевдослучайный PIN-код, — это гораздо больше, чем 23-27% в предыдущих экспериментах с не-банковскими кодами. Ещё 5% используют цифровой паттерн (например, 4545), а 9% предпочитают паттерн на клавиатуре (например, 2684). В целом, злоумышленник с шестью попытками (три с банкоматом и три с платёжным терминалом) имеет меньше 2% шансов угадать PIN-код чужой карты.

Фактор	Пример	RockYou	iPhone	Опрос
Даты
ДДММ	2311	5.26	1.38	3.07
ДМГГ	3876	9.26	6.46	5.54
ММДД	1123	10.00	9.35	3.66
ММГГ	0683	0.67	0.20	0.94
ГГГГ	1984	33.39	7.12	4.95
Итого		58.57	24.51	22.76
Клавиатурный паттерн
смежные	6351	1.52	4.99	—
квадрат	1425	0.01	0.58	—
углы	9713	0.19	1. 06	—
крест	8246	0.17	0.88	—
диагональная линия	1590	0.10	1.36	—
горизонтальная линия	5987	0.34	1.42	—
слово	5683	0.70	8.39	—
вертикальная линия	8520	0.06	4.28	—
Итого		3.09	22.97	8.96
Цифровой паттерн
заканчивается на 69	6869	0.35	0.57	—
только цифры 0-3	2000	3.49	2.72	—
только цифры 0-6	5155	4.66	5.96	—
повторяющиеся пары	2525	2.31	4.11	—
одинаковые цифры	6666	0. 40	6.67	—
убывающая последовательность	3210	0.13	0.29	—
возрастающая последовательность	4567	3.83	4.52	—
Итого		15.16	24.85	4.60
Случайный набор цифр		23.17	27.67	63.68

Всё бы хорошо, но, к сожалению, существенная часть опрошенных (23%) выбирает PIN-код в виде даты, — и почти треть из них использует дату своего рождения. Это существенно меняет дело, ведь почти все (99%) респонденты ответили, что хранят в бумажнике с банковскими картами различные удостоверения личности, на которых эта дата напечатана. Если злоумышленник знает день рождения владельца карты, то при грамотном подходе вероятность угадывания PIN-кода взлетает до 9%.

100 самых популярных PIN-кодов

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

P.S. На практике, разумеется, злоумышленнику гораздо проще подсмотреть ваш PIN-код, чем угадывать его. Но и от подглядывания можно защититься — даже, казалось бы, в безвыходном положении:

Расчет суммы последовательности онлайн

где k — порядковый номер;
n — количество членов.

Рассмотрим варианты быстрого нахождения суммы разного количества последовательных чисел.
1 вариант. Для того, чтобы определить сумму 5-ти последовательных чисел, следует умножить на 5 число, находящее посередине:
(х — 2) + (х — 1) + (х) + (х + 1) + (х + 2) = 5х,
в данном выражении х — число, находящееся посередине.
Например, сумма 30 + 31 + 32 + 33 + 34 будет равна 32 х 5 = 160

2 вариант. Чтобы найти сумму 5-ти последовательных чисел, нужно:
— умножить на 5 наибольшее число;
— из полученного произведения вычесть 10.

Возьмем, к примеру, те же 5 последовательных цифр 30,31,32,33,34
Дальше: 34 х 5 = 170
170 — 10 = 160

3 вариант. Чтобы найти сумму 5 последовательных чисел, можно:
— умножить на 5 наименьшее число;
— К полученному результату прибавить 10.

Взяв в качестве примера предыдущую последовательность:
30 х 5 = 150
150 + 10 = 160

Чтобы вычислить сумму 4-х последовательных чисел, нужно:
— умножить наибольшее число на 4;
— из полученного произведения вычесть 6.

Чтобы определить сумму 6 последовательных чисел, необходимо:
— умножить на 6 наибольшее число;
— от результата отнять 15.

Чтобы рассчитать сумму 7 последовательных чисел, нужно:
— умножить на 7 наибольшее число;
— вычесть из полученного произведения 21.

Чтобы вычислить сумму 8 последовательных чисел:
— умножим на 8 наибольшее число;
— из произведения вычесть 28.

Чтобы сложить любое количество как четных, так и нечетных последовательных чисел, нужно:
— сложить первое и последнее числа последовательности;
— полученный результат делим на 2;
— затем умножаем на число последовательных чисел, что выразим формулой:

n х (a+b)/2.

Чтобы быстро и правильно рассчитать сумму последовательности, воспользуйтесь онлайн калькулятором. Для этого вам нужно лишь выбрать последовательность и число членов последовательности.

Расчет суммы последовательности из приведенных последовательностей и количества членов

Расчет ламината — калькулятор онлайн! Сколько досок, пачек

Рассчитать количество ламината для комнаты можно как самостоятельно, так и при помощи нашего калькулятора. Это достаточно просто, и знаний арифметики начальных классов будет достаточно. Но оставим пока калькулятор ламината, и обратимся к теории.

Виды укладки

Сначала надо определиться со способом укладки. Всего есть два варианта укладки:

Всё остальное, это градации этих вариантов относительно источника света:

или расположения планок относительно друг друга:

Можно ещё привести как отдельный вариант узорный вид укладки. В этом случае из планок ламината разных оттенков на полу выкладывается какой-либо рисунок. Но этот вариант самый расходный, и уложить своими руками ламинат таким способом, без опыта не получится. И очень важный момент – без разбежки, укладывать ламинат нельзя.

Делаете ремонт в своей квартире или доме самостоятельно? Статья «Укладка ламината своими руками с Видео» будет вам полезна как никогда.

Размеры планок и расход материала

Самые распространённые размеры планок ламината 128 – 139 см. в длину и 18,5 – 19,6 см в ширину, их мы и включим в наш расчет. Одного стандарта для всех производителей нет. Встречается ламинат длиной от 0,5 до 2,1 м и шириной от 1,8 до 60 см. Поэтому ответить сколько м 2 ламината в упаковке однозначно невозможно. На каждой упаковке ламината, кроме размеров стоит общая площадь всех планок в упаковке.

Суммарная площадь требуемого ламината, всегда будет больше, общей площади комнаты. Количество отходов зависит от способа укладки и опыта отделочника:

Расчеты представлены на примере ламината 33 класса, т.к. он является самым распространенным вариантом.

Как рассчитать количество ламината

Простой способ

Воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором для расчета площади комнаты:

Проверим, 20/0,239=83,6 (≈ 84) планки.

Добавляем 5%, (84/100)х5=4,2 (≈4 планки).

Скрупулёзный способ

Такой способ расчета ламината на комнату подходит для педантичных домохозяев. Но результат будет не приблизительным, а точным. И так, планируется прямая укладка, параллельно источнику света (окну). Комната 5х4 м.

Вдоль длиной стены, умещается 5/1,28= 3,9 планки. Т.е. 3 целых планки, и от одной надо будет отрезать 1 /₁₀ или 12,8 см (13 см). Общим счётом 4 планки. Покрытая ширина комнаты – 0,186 (≈0,185) м.

Второй ряд, можно ставить с разбежкой в половину планки, т.е. одну планку распилить пополам, и начать с этой половины. В конце, укладывать оставшуюся половину, предварительно отпилив 13 см.

Третий ряд аналогичен первому. Другими словами, чётные ряды начинаются с целой планки, нечётные с половинок. Всего в комнате будет 4/0,186= 21,5 рядов ламината. Т.е. 21 ряд будет состоять из целых планок, а 22-ой из половинок. Значит, потребуется 22х4=88 планок, или 11 упаковок ламината. Один ряд, придётся распиливать вдоль, пополам. За спил можно не беспокоиться, он будет спрятан под плинтусом.

Итог

Сравнивая способы расчёта видно, что второй нагляднее и точнее, но результат одинаков. Тем не менее, всегда рекомендуется брать ламинат с «запасом». В случае повреждения покрытия во время эксплуатации, можно будет заменить планку с изъяном. При помощи онлайн калькулятора можно примерно рассчитать необходимое количество, в принципе таких расчетов вполне достаточно. Правда стоит уточнять в магазине сколько квадратов в пачке уместил производитель.

Также, наверняка вас заинтересует статья о выборе правильной подложки под ламинат.

Приведённые расчёты ламината максимально упрощены, чтобы показать общие принципы. Комнаты могут быть с нишами, выступами, аппендиксами, но зная последовательность расчётов, вы не ошибётесь.

Полезная статья? Добавьте к себе в закладки!

Как рассчитать счастье с помощью математики | Культура и стиль жизни в Германии и Европе | DW

Математика — восьмое чудо света среди всех наук. В этом убежден Кристиан Хессе (Christian Hesse), профессор математики и статистики в Штутгартском университете и автор вышедшей недавно в Германии книги «Жизнь²» («Leben²»). В ней он доказывает, что математика — это не только гимнастика для ума. У нее, как у любви и музыки, есть такая же способность делать человека счастливее. Каким образом? Вот несколько примеров.

Как избежать просчета в браке

По статистике, каждый второй брак в западных странах заканчивается разводом. В Германии среднестатистический брак длится 15 лет. Почему половина браков распадается, а другая — нет? Какие пары ждет счастливая совместная жизнь, а у каких шансы заведомо хуже? И существует ли формула семейного счастья?

Существует. Немецкий профессор приводит исследование американских ученых Джеймса Муррея и Джона Готмана. В течение многих лет они наблюдали за семейными парами. Ученые просили каждую из них поговорить о деньгах, сексе или воспитании детей. Разговоры записывали на видео и анализировали по специальной шкале эмоций. Ученые также отслеживали, какие пары спустя годы распались, а какие нет. В результате было выведено соотношение 5:1. Оно означает, что счастлив тот брак, в котором позитивные моменты превышают негативные в пять раз. То есть чтобы компенсировать, к примеру, обидное замечание, букета цветов недостаточно — доказательств любви и уважения должно быть пять. На то, что эта формула функционирует, ученые дают гарантию 90 процентов.

Стоит ли вообще выходить замуж или жениться? Ответ статистиков однозначный: да. Выгода выражается хотя бы в продолжительности жизни: по сравнению с одиночками женатые мужчины живут на девять лет дольше, замужние женщины — на шесть. Причем этот положительный побочный эффект ученые наблюдают даже тогда, когда в отношениях нет идиллии. Хотя стоит отметить, что и возраст тех, кто решается на брак, повышается. Взять, например, Германию. «Усредненный» немец женится в 36 лет, «усредненная» немка — в 33 года. Разница в возрасте положительно сказывается на браке. Лучше всего, указывает профессор статистики, если муж на пять лет старше жены, а жена интеллигентнее мужа. Брачные узы скрепляют и дети. Уже после первого ребенка риск развода снижается с 50 процентов до 30.

Семейное счастье определяют и вполне конкретные суммы. Статистически доказано, что при затратах на свадьбу свыше 20 тысяч евро доля разведенных выше. Чем дешевле обходится торжество, тем дольше супруги проживут вместе. А вот на обручальных кольцах лучше не экономить: если одно кольцо стоит меньше 500 евро, риск развода возрастает.

Простой алгоритм для правильного выбора

Как вообще найти подходящего партнера для брака, ну или претендента на вакансию, новую квартиру или место для парковки? Варианты можно рассматривать до бесконечности. Как остановить выбор на самом оптимальном? Правильный алгоритм поиска — основа основ. Определить его поможет обратное значение математической константы е — 0,37 или правило 37 процентов. Оно способствует балансу между недостаточным и слишком продолжительным поиском, ведущим к нехватке альтернатив.

Счастье в любви частично поддается математическим расчетам

Для начала следует определить для себя временной отрезок, который вы готовы уделить поиску решения. К примеру, вы даете себе восемь лет на поиск своей второй половины. 37 процентов этого времени вы посвящаете ознакомлению с возможностями. В данном случае это три года. По окончании этого срока следует выбрать первого кандидата, который по своим качествам будет лучше всех предыдущих в тестовой фазе. Этот принцип срабатывает при условии, что кандидаты появляются с регулярностью — скажем, по одному в год. Если нет, то лучше определить не временной отрезок, а общее количество вариантов. То есть, к примеру, вы решаете сделать выбор после рассмотрения восьми кандидатур. 37 процентов от этого количества — три кандидата. После знакомства с ними вы выбираете из последующих претендентов человека, превосходящего по качествам лучшего из этих троих.

Вероятность успеха — 37 процентов, тем не менее, указывает профессор из Штутгарта, такая стратегия более эффективная, чем принцип случайности.

Как поделить имущество и работу по дому

Справедливое разделение домашних обязанностей — один из трех важных факторов, способствующих долгим счастливым отношениям, — после верности и хорошего секса. Принцип «дели и выбирай» (не путать с «разделяй и властвуй») — оптимален для того, чтобы избежать обид и прийти к консенсусу. В случае двух человек все очень просто: один из них создает два на его взгляд равнозначных списка домашних дел, другому предоставляется возможность выбора. Если в ведении домашнего хозяйства должен участвовать третий человек, например, сын-подросток, дело усложняется.

Выход придумал польский математик Гуго Штейнгауз еще в 1944 году. За основу он взял пирог, который нужно справедливо разделить на троих. Первый человек делит его на три куска. Если второму человеку как минимум два куска кажутся равнозначными, то право выбора предоставляется сначала третьему участнику, потом второму, потом первому. Если второй человек считает, что два куска менее ценные, чем оставшийся третий и при этом третьему человеку все равно, то сначала второму предоставляется право выбора. Если же и второй и третий человек считают, что пирог поделен несправедливо, то первый выбирает кусок, а остальные двое делят пирог так, как их устраивает.

То же самое можно сделать и с домашними обязанностями. Один человек составляет три равнозначные для него списка дел. Скажем, первый — готовить еду и выносить мусор, второй — делать покупки, убирать кухню, третий — стирать белье, наводить порядок в квартире. Дальше по схеме с пирогом.

Вести «торг» будет легче, если каждый из участников присвоит заданиям определенное количество баллов: 5, 10, 15, 20 — в зависимости от кажущейся ему нагрузки и затрат времени. Делить по справедливости, используя систему баллов, 20 лет назад предложили американские математик Алан Тейлор и политолог Стивен Брамс. Их принцип «подстраивающегося победителя» можно применить и в случае, если речь зайдет о разводе и разделе имущества, — жизнь все же штука непредсказуемая.

Если семейное счастье не спасти, математика готова помочь. Объекты дележа оцениваются каждым участником в соответствии с его личным восприятием и делятся на основе полученного рейтинга. За основу берутся 100 баллов. Наибольшее количество баллов получает самый важный с точки зрения игрока объект. Затем начинается «подстраивание». Цель — так разделить имущество, чтобы количество баллов в списке каждого игрока совпадало.

70 лет в любви и согласии: самая крепкая британская пара

Долгожданная свадьба

Филип, правнук датского короля Кристиана IX, праправнук английской королевы Виктории и российского императора Николая I, сразу покорил сердце Елизаветы. А познакомились они в 1939 году во время королевского визита в колледж, где Филип учился. Георга VI сопровождали дочери. После этой встречи между 18-летним Филипом и 13-летней Елизаветой завязалась переписка. А после войны они поженились.

70 лет в любви и согласии: самая крепкая британская пара

Неравный союз

В этого высокого белокурого моряка, кадета Королевского военно-морского колледжа, невозможно было не влюбиться. Юную принцессу даже не поколебало то, что он был бессребреником. Ни о ком, кроме него, она даже слышать не хотела. И поначалу противившиеся их союзу родители все-таки дали согласие на этот брак.

70 лет в любви и согласии: самая крепкая британская пара

Образцовая семья

У Филипа и Елизаветы четверо детей: Чарльз, принц Уэльский (р. 1948), принцесса Анна (р. 1950), принц Эндрю, герцог Йоркский (р. 1960), и принц Эдуард, граф Уэссекский (р. 1964). Согласно утверждениям биографов, Филип был строгим, требовательным и скупым на эмоции отцом.

70 лет в любви и согласии: самая крепкая британская пара

Супруг, отец, спутник

С 1952 года, когда Елизавета взошла на престол, Филип выступает лишь в роли спутника супруги, сопровождая ее на всех мероприятиях и в зарубежных поездках. Кроме этого, принц всегда активно занимался благотворительностью, покровительствуя нескольким сотням благотворительных организаций. В разные годы он возглавлял Всемирный фонд защиты природы и Международную федерацию конного спорта.

70 лет в любви и согласии: самая крепкая британская пара

Падение рейтинга

В 1997 году, после трагической гибели принцессы Дианы, бывшей супруги принца Чарльза, рейтинг британской королевской семьи упал до критической отметки. Люди порицали королеву за молчание. Страсти поутихли лишь после того, как Елизавета прибыла на траурную церемонию.

70 лет в любви и согласии: самая крепкая британская пара

Вечный наследник

Принца Чарльза, старшего сына Елизаветы и Филипа, недаром называют «вечным наследником ее Величества»: даже в возрасте за 90 его мать живет активной жизнью и не собирается уступать престол.

70 лет в любви и согласии: самая крепкая британская пара

Всегда на вторых ролях

Протокол есть протокол: королева всегда должна быть первой. И даже при кормлении слонов в зоопарке исключений делать нельзя. Но из-за того, что ему всегда приходится быть на вторых ролях, принц Филип не комплексует. Свою планиду в тени супруги он воспринимает с утонченным юмором. Его шутки по этому поводу пользуются необычайной популярностью: британцы Филипа обожают и цитируют его на каждом шагу.

70 лет в любви и согласии: самая крепкая британская пара

С отличным чувством юмора

Принц Филип со смехом разглядывает карикатуру Елизаветы II из британской мыльной оперы «Eastenders», экспонируемую на выставке, в организации которой он сам принимал участие. У королевы, кстати, с юмором тоже все в порядке. Она обожает скетчи и карикатуры на себя и вместе с мужем от души хохочет, если они получаются удачными.

Автор: Сюзанне Кордс, Наталия Королева

Как рассчитать вероятность комбинаций — Видео и стенограмма урока

Формула комбинаций

На этой неделе вы можете взять напрокат десять новых фильмов на DVD. Джон хочет выбрать три фильма для просмотра в эти выходные. Сколько комбинаций фильмов он может выбрать?

Затем нам нужно развернуть каждый из наших факториалов. 10! будет равно 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 сверху и 3! * 7! будет 3 * 2 * 1 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1. Самый простой способ решить эту проблему — исключить подобные термины. Мы видим, что есть 7, 6, 5, 4, 3, 2 и 1 как сверху, так и снизу нашего уравнения. Эти условия могут быть отменены. Теперь мы видим, что в нашем уравнении 10 * 9 * 8 слева вверху и 3 * 2 * 1 слева внизу.Отсюда мы можем просто размножаться. 10 * 9 * 8 = 720 и 3 * 2 * 1 = 6. Итак, наше уравнение теперь 720/6.

Чтобы закончить эту задачу, мы разделим 720 на 6 и получим 120. Теперь Джон знает, что на этой неделе он мог выбрать 120 различных комбинаций новых фильмов.

Вероятность

Для расчета вероятности наступления события воспользуемся формулой: количество благоприятных исходов / количество общих исходов.

Давайте рассмотрим пример того, как рассчитать вероятность наступления события.На кассе в магазине DVD Джон также купил пакет жевательных резинок. В мешочке жевательных резинок было пять красных, три зеленых, четыре белых и восемь желтых жевательных резинок. Какова вероятность того, что Джон, нарисовавший наугад, выберет желтую жевательную резинку?

Джон знает, что если сложить все жевательные резинки вместе, в сумке окажется 20 жевательных шариков. Итак, общее количество исходов равно 20. Джону также известно, что существует восемь желтых жевательных резинок, которые представляют количество благоприятных исходов.Таким образом, вероятность случайного выбора желтой жевательной резинки из пакета равна 8 из 20.

Однако все дроби необходимо упростить. Итак, и 8, и 20 делятся на 4. Итак, 8/20 уменьшится до 2/5. Джон знает, что вероятность того, что он выберет желтую жевательную резинку из мешка наугад, составляет 2/5.

Вероятность комбинаций

Чтобы подсчитать общее количество исходов и благоприятных исходов, вам может потребоваться вычислить комбинацию. Помните, что комбинация — это способ расчета событий, порядок которых не имеет значения.

Помните, чтобы упростить эту задачу, мы можем сократить аналогичные члены как в верхней, так и в нижней части этого уравнения. Мы видим, что есть 5, 4, 3, 2 и 1 как сверху, так и снизу. Эти условия могут быть отменены. Умножив сверху 8 * 7 * 6, получим 336. Внизу 3 * 2 * 1, что равно 6. Разделив 336 на 6, мы можем увидеть, что общее количество пицц, которые может заказать Джон, равно 56.

Теперь Джон должен найти количество благоприятных исходов. Джон хотел знать вероятность выбора пиццы только с мясом.Глядя на меню, мы видим, что есть четыре вида мяса на выбор, а Джон выбирает только три.

Теперь давайте расширим верхнюю и нижнюю части нашего уравнения, чтобы найти общие члены, которые мы можем сократить. Развернув верх, мы получим 4 * 3 * 2 * 1, а нижний будет 3 * 2 * 1 * 1.Мы видим, что как сверху, так и снизу есть 3 * 2 * 1, которые можно отменить.

Джон теперь может видеть, что есть только четыре комбинации пиццы с тремя верхами, которые будут содержать только мясо. Для расчета вероятности Джону нужно будет использовать количество благоприятных исходов, равное 4, по сравнению с общим количеством исходов, равным 56. Вероятность будет 4/56, которую можно уменьшить до 1/14. Таким образом, вероятность того, что Джон выберет пиццу с 3 начинками, которая будет содержать только мясо, равна 1/14.

Сводка урока

Чтобы определить вероятность события, вам, возможно, придется найти комбинации.Чтобы рассчитать вероятность наступления события, вы воспользуетесь формулой количества благоприятных исходов по отношению к количеству общих исходов.

Результаты обучения

По завершении этого урока вы сможете:

Как рассчитать доходность опциона | Финансы

Торговля опционами — это динамичный и захватывающий компонент современного инвестирования.Торговцы опционами обычно используют кредитное плечо для создания уникальных возможностей для получения значительных выгод и рисков. Торговля опционами — это, по сути, покупка контракта, который предоставляет инвестору возможность купить или продать определенный актив в заранее определенное время в будущем по согласованной цене.

Из-за уникального контрактного характера этих сделок инвесторы часто рассчитывают ожидаемую доходность по опционному контракту до начала сделки. К счастью, научиться определять и использовать формулу возврата опционов относительно несложно и может быть выполнено за несколько простых шагов.

Совет

Основы опционных сделок

Опционный контракт обычно отличается особыми привилегиями, которые он предоставляет держателю контракта. Например, если опционный контракт предоставляет держателю контракта право купить актив в будущем по заранее определенной цене, это обычно называется «колл-опцион ».«И наоборот, когда опционный контракт предоставляет физическому лицу право продать актив в будущем по заранее определенной цене, это называется« пут-опцион ».

Опционные контракты покупаются и продаются через торговая неделя на основных биржах, одна из самых популярных — Chicago Board Options Exchang e. Опционные контракты могут охватывать различные инвестиционные активы, от ценных бумаг до товаров. Имея это в виду, велики шансы, что инвестор смогут найти рынок для своих конкретных интересов.

Сделки с опционами и премии

Лицо, продающее опционный контракт, должно быть обеспечено каким-либо стимулом для начала торговли. По этой причине к цене контракта, которую должен заплатить инвестор, будет добавлена ​​премия или дополнительная комиссия. Размер премии может резко колебаться в зависимости от суммы риска, который принимает на себя автор контракта, когда он продает инвестору.

По достижении даты истечения срока действия опционного контракта держатель контракта должен решить либо реализовать свои права, либо утратить приобретенные привилегии.Если они решат не пользоваться своими правами, они не получат возмещения страхового взноса.

Решит или нет держатель контракта реализовать свои права, в первую очередь, зависит от того, достиг ли данный актив «страйк-цены » или конкретной стоимости, при которой контракт принесет прибыль инвестору. Если контракт не достиг цены исполнения, у инвестора нет стимула для реализации своих прав.

Изучение калькуляторов прибыли опционов

Чтобы рассчитать доходность опциона, инвестору необходимо знать цену, которую он заплатил за опционный контракт, текущую стоимость рассматриваемого актива и количество приобретенных контрактов. Далее описанные шаги будут применяться как к опционам колл, так и к пут опционам.

Чтобы преобразовать эту цифру в процентное значение, отражающее общую прибыль, разделите прибыль на общую покупную цену актива, а затем умножьте полученное значение на 100. Таким образом, соответствующий расчет для этого примера будет:

1,340 / (20 * 200) = 0,335 * 100 = 33,5% доходности.

Как рассчитать опционы на начальную цену | Бюджетирование денег

i Comstock / Comstock / Getty Images

Опционы позволяют окунуться в рынок ценных бумаг, не погружаясь полностью.Они дают вам право, но не обязательство, покупать или продавать акции по заранее определенной цене, называемой ценой исполнения. У каждой акции есть опционы колл и пут, доступные по различным ценам исполнения. Опцион колл дает вам право покупать акции, а пут дает вам право продать. Для конкретной цены исполнения вы можете рассчитать стоимость покупки опциона колл или пут и стоимость его использования.

Шаг 1

Посетите любой финансовый веб-сайт, на котором представлены котировки опционов. Введите название компании или тикер ее акций в текстовое поле с котировками опционов и нажмите «Получить цену», чтобы просмотреть доступные варианты, расположенные в таблицах.

Step 2

Щелкните один из месяцев на странице, чтобы увидеть варианты, срок действия которых истекает в этом месяце. Вы можете торговать или использовать опцион до третьей пятницы месяца истечения срока. Например, если вы хотите просмотреть варианты, срок действия которых истекает в январе следующего года, щелкните этот месяц.

Step 3

Найдите желаемую цену исполнения в столбце «Strike» в середине таблицы. Каждая строка содержит информацию об опционах колл и пут для назначенной цены исполнения. Цена исполнения варьируется от цены ниже текущей цены акции до цены выше цены акции.В этом примере предположим, что цена акции составляет 30 долларов, а цена исполнения опционов составляет от 15 до 50 долларов с шагом в 1 доллар. Предположим, вы рассчитываете опцион со страйк-ценой 35 долларов.

Step 4

Определите сумму в столбце «Ask» в строке выбранной цены исполнения. Есть два разных столбца запросов. Используйте тот, который находится слева от столбца страйков, для опционов колл. Используйте тот, что справа, для пут. Цена продажи — это цена покупки опциона на акцию. В этом примере предположим, что вы рассматриваете возможность покупки опциона колл по цене продажи 1 доллар США.

Шаг 5

Умножьте цену продажи на 100, чтобы вычислить общую цену покупки одного опционного контракта. Каждый контракт представляет собой 100 акций. В этом примере умножьте 1 доллар на 100, чтобы получить цену покупки в размере 100 долларов за один контракт на опцион колл. Это не дает вам фактических запасов — только право покупать акции.

Step 6

Умножьте цену исполнения на 100, чтобы рассчитать дополнительную сумму, которую вы заплатите за возможность покупки или продажи акций. Завершая пример, умножьте 35 долларов на 100, чтобы получить 3500 долларов.Это означает, что вы можете купить 100 акций за 3500 долларов до истечения срока действия опциона в январе.

Понимание цен на опционы

Вы могли бы успешно победить рынок, торгуя акциями, используя дисциплинированный процесс, ожидая хорошего движения вверх или вниз. Многие трейдеры также приобрели уверенность в том, что могут зарабатывать деньги на фондовом рынке, определяя одну или две хорошие акции, которые вскоре сделают большой шаг вперед. Но если вы не знаете, как воспользоваться этим движением, вы можете остаться в пыли.Если это похоже на вас, возможно, пришло время подумать об использовании опций.

Ключевые выводы

В этой статье будут рассмотрены факторы, которые следует учитывать, если вы планируете торговать опционами, чтобы воспользоваться движением акций. Опционы — это контракты с производными финансовыми инструментами, которые дают держателю право, но не обязательство, купить (в случае колл) или продать (в случае пут) базовый актив или ценную бумагу по заранее определенной цене (называемой страйк-цена) до истечения срока действия контракта. Следовательно, термин «производный инструмент» просто означает, что стоимость опциона определяется в основном базовым активом, с которым он связан.

Однако важно отметить, что в опционном контракте есть две стороны: покупатель и продавец. Как уже упоминалось, покупатель опционного контракта имеет права, но продавец опционного контракта, с другой стороны, несет обязательства. Это может сбивать с толку, поэтому резюмируем:

Покупка или продажа опциона происходит по цене, называемой премией за опцион.Понимание того, как оценить эту премию, имеет решающее значение для торговли опционами и, по сути, основывается на вероятности того, что право или обязательство купить или продать акцию в конечном итоге окажется прибыльным по истечении срока. Таким образом, покупатели опциона платят премию, а продавцы опциона получают премию.

Цены на опции Модели

Прежде чем отправиться в мир торговли опционами, инвесторы должны хорошо понимать факторы, определяющие стоимость опциона. К ним относятся текущая цена акций, внутренняя стоимость, время до истечения срока или временная стоимость, волатильность, процентные ставки и выплаченные денежные дивиденды.

Существует несколько моделей ценообразования опционов, в которых эти параметры используются для определения справедливой рыночной стоимости опциона. Из них наиболее широко известна модель Блэка-Шоулза. Во многих отношениях опционы такие же, как и любые другие инвестиции — вам нужно понимать, что определяет их цену, чтобы использовать их эффективно. Также широко используются другие модели, такие как биномиальная модель и трехчленная модель.

Начнем с основных факторов, влияющих на цену опциона: текущая цена акций, внутренняя стоимость, время до истечения срока или временная стоимость и волатильность.Текущая цена акций довольно проста. Движение цены акции вверх или вниз имеет прямое, хотя и не равное, влияние на цену опциона. По мере того, как цена акции растет, более вероятно, что цена опциона колл вырастет, а цена опциона пут упадет. Если цена акций упадет, с ценой колл и пут, скорее всего, произойдет обратное.

Формула Блэка-Шоулза

Модель Блэка-Шоулза, пожалуй, самый известный метод ценообразования опционов.Формула модели получается путем умножения цены акции на кумулятивную функцию стандартного нормального распределения вероятностей. После этого чистая приведенная стоимость (ЧПС) страйковой цены, умноженная на кумулятивное стандартное нормальное распределение, вычитается из результирующего значения предыдущего расчета.

В математической записи:

C знак равно S т N ( d 1 ) — K е — р т N ( d 2 ) где: d 1 знак равно л п S т K + ( р + σ v 2 2 ) т σ s т а также d 2 знак равно d 1 — σ s т где: C знак равно Цена опциона колл S знак равно Текущая цена акции (или другого базового актива) K знак равно Цена исполнения р знак равно Безрисковая процентная ставка т знак равно Время до зрелости N знак равно Нормальное распределение \ begin & C = S_t N (d _1) — K e ^ <- rt>N (d _2) \\ & \ textbf <где:>\\ & d_1 = \ frac + (r + \ frac <\ sigma ^ <2>_v> <2>) \ t> <\ sigma_s \ \ sqrt> \\ & \ text <и>\\ & d_2 = d _1 — \ sigma_s \ \ sqrt\\ & \ textbf \\ & C = \ text <Цена опциона колл>\\ & S = \ text <Текущая цена акции (или другого базового актива)>\\ & K = \ text <Цена исполнения >\\ & r = \ text <Безрисковая процентная ставка>\\ & t = \ text <Время до погашения>\\ & N = \ text <Нормальное распределение>\\ \ end <выровнено>C = St N (d1) −Ke − rtN (d2), где: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) t и d2 = d1 −σs t где: C = цена опциона колл S = текущая цена акций (или другого базового актива) K = цена исполнения = безрисковая процентная ставка t = время до погашения N = нормальное распределение

Математика, связанная с дифференциальным уравнением, составляющим формулу Блэка-Шоулза, может быть сложной и пугающей.К счастью, вам не нужно знать или даже понимать математику, чтобы использовать моделирование Блэка-Шоулза в ваших собственных стратегиях. Торговцы опционами и инвесторы имеют доступ к множеству онлайн-калькуляторов опционов, и многие из сегодняшних торговых платформ могут похвастаться надежными инструментами анализа опционов, включая индикаторы и электронные таблицы, которые выполняют вычисления и выводят значения цен опционов.

Ниже мы более подробно рассмотрим цены на опционы, чтобы понять, что составляет их внутреннюю и внутреннюю стоимость.внешнее (время) значение, что немного проще.

Понимание цены на опционы

Внутренняя стоимость

Внутренняя стоимость — это стоимость любого опциона, если бы он был исполнен сегодня. По сути, внутренняя стоимость — это сумма, на которую цена исполнения опциона является прибыльной или в деньгах по сравнению с ценой акции на рынке. Если цена исполнения опциона невыгодна по сравнению с ценой акции, то считается, что опцион не при деньгах.Если цена исполнения равна цене акции на рынке, опцион считается «при деньгах».

Хотя внутренняя стоимость включает соотношение между страйк-ценой и ценой акции на рынке, она не учитывает, сколько (или как мало) времени осталось до истечения срока действия опциона, называемого истечением. Время, оставшееся до исполнения опциона, влияет на премию или стоимость опциона, что мы рассмотрим в следующем разделе. Другими словами, внутренняя стоимость — это часть цены опциона, которая не теряется или не подвергается влиянию с течением времени.

Формула и расчет внутренней стоимости

Ниже приведены уравнения для расчета внутренней стоимости опциона колл или пут:

Внутренняя стоимость опциона колл знак равно U S C — C S где: U S C знак равно Текущая цена базовых акций C S знак равно Цена исполнения колл \ begin & \ text <Внутренняя стоимость опциона колл>= USC — CS \\ & \ textbf <где:>\\ & USC = \ text <Текущая цена базовой акции>\\ & CS = \ text <Цена исполнения колл>\\ \ end <выровнено>Внутренняя стоимость опциона колл = USC-CS, где: USC = текущая цена базовых акций, CS = цена исполнения опциона колл.

Внутренняя стоимость опциона отражает эффективную финансовую выгоду, возникающую в результате немедленного исполнения этого опциона.По сути, это минимальная стоимость опциона. Опционы, торгующиеся на деньги или без денег, не имеют внутренней стоимости.

Внутренняя стоимость опциона пут знак равно п S — U S C где: п S знак равно Страйк-цена пут \ begin & \ text <Внутренняя стоимость опциона Put>= PS — USC \\ & \ textbf <где:>\\ & PS = \ text \\ \ end <выровнено>Внутренняя стоимость опциона пут = PS − USC, где: PS = цена исполнения опциона пут

Пример внутренней стоимости

Например, опцион пут на GE 30 будет иметь внутреннюю стоимость, равную нулю (30-34 доллара США.80 = — 4,80 доллара США), поскольку внутренняя стоимость не может быть отрицательной. С другой стороны, внутренняя стоимость пут-опциона GE 35 будет составлять 0,20 доллара (35 — 34,80 доллара = 0,20 доллара).

Временная стоимость

Поскольку опционные контракты имеют ограниченное время до истечения срока их действия, оставшееся время имеет связанную с ним денежную стоимость, называемую временной стоимостью. Это напрямую связано с тем, сколько времени есть у опциона до истечения срока его действия, а также с волатильностью или колебаниями цены акции.

Чем больше времени у опциона до истечения срока его действия, тем больше шансов, что он окажется в выигрыше. Временная составляющая опциона убывает экспоненциально. Фактический вывод временной стоимости опциона — довольно сложное уравнение.

Как правило, опцион теряет одну треть своей стоимости в течение первой половины своей жизни и две трети во второй половине своей жизни. Это важная концепция для инвесторов в ценные бумаги, потому что чем ближе опцион подходит к истечению срока, тем сильнее требуется изменение базовой ценной бумаги, чтобы повлиять на цену опциона.

Формула и расчет временной стоимости

Приведенная ниже формула показывает, что временная стоимость получается путем вычитания внутренней стоимости опциона из опционной премии.

Взаимодействие с другими людьми Т я м е V а л ты е знак равно О п т я о п п р я c е — я п т р я п s я c V а л ты е Время \ Стоимость = Вариант \ Внутренняя цена \ Стоимость Временная стоимость = Цена опциона — Внутренняя стоимость

Другими словами, временная стоимость — это то, что осталось от премии после расчета доходности между ценой исполнения и ценой акции на рынке.В результате временная стоимость часто упоминается как внешняя стоимость опциона, поскольку временная стоимость — это сумма, на которую цена опциона превышает внутреннюю стоимость.

Временная стоимость — это, по сути, премия за риск, которую требует продавец опциона, чтобы предоставить покупателю опциона право купить или продать акции до даты истечения срока действия опциона. Это похоже на страховой взнос за опцион; чем выше риск, тем выше стоимость покупки опциона.

Пример значения времени

Снова посмотрим на приведенный выше пример, если GE торгуется по цене 34 доллара.80 и опцион колл GE 30 с истечением одного месяца до истечения срока торгуется по 5 долларов, временная стоимость опциона составляет 0,20 доллара (5,00 — 4,80 доллара = 0,20 доллара).

Между тем, если GE торгуется по цене 34,80 доллара, то опцион колл GE 30, торгующийся по цене 6,85 доллара за девять месяцев до истечения срока, имеет временную стоимость 2,05 доллара. (6,85 доллара — 4,80 доллара = 2,05 доллара). Обратите внимание, что внутренняя стоимость такая же; разница в цене одного и того же варианта страйк-цены — это временная стоимость.

Волатильность

Временная стоимость опциона также сильно зависит от волатильности, которую рынок ожидает от акции до истечения срока.Как правило, акции с высокой волатильностью имеют более высокую вероятность того, что опцион будет прибыльным или окажется в деньгах по истечении срока. В результате временная стоимость — как компонент премии по опциону — обычно выше, чтобы компенсировать повышенную вероятность того, что цена акции может выйти за пределы цены исполнения и истечь в деньгах. Для акций, которые, как ожидается, не будут сильно двигаться, временная стоимость опциона будет относительно низкой.

Один из показателей, используемых для измерения волатильных акций, называется бета.Бета измеряет волатильность акции по сравнению с рынком в целом. Волатильные акции, как правило, имеют высокие бета-ставки, в первую очередь из-за неопределенности цены акции до истечения срока действия опциона. Однако акции с высоким бета также несут больший риск, чем акции с низким бета. Другими словами, волатильность — это палка о двух концах, то есть она дает инвесторам возможность получить значительную прибыль, но волатильность также может привести к значительным убыткам.

Влияние волатильности в основном субъективно и трудно поддается количественной оценке.К счастью, есть несколько калькуляторов, которые помогут оценить волатильность. Чтобы сделать это еще более интересным, существует несколько типов волатильности, из которых наиболее заметны подразумеваемые и исторические. Когда инвесторы смотрят на волатильность в прошлом, это называется исторической или статистической волатильностью.

Историческая волатильность

Историческая волатильность (HV) помогает вам определить возможную величину будущих движений базовой акции. По статистике, две трети всех изменений цены акции происходят в пределах плюс-минус одно стандартное отклонение движения акции за установленный период времени.

Историческая волатильность оглядывается назад, чтобы показать, насколько волатильным был рынок. Это помогает инвесторам опционов определить, какую цену исполнения лучше всего выбрать для конкретной стратегии.

Подразумеваемая волатильность

Подразумеваемая волатильность — это то, что подразумевается текущими рыночными ценами и используется с теоретическими моделями. Он помогает установить текущую цену существующего опциона и помогает игрокам опционов оценить потенциал сделки. Подразумеваемая волатильность показывает, какой волатильностью опционные трейдеры ожидают в будущем.

Таким образом, подразумеваемая волатильность является индикатором текущего настроения рынка. Это мнение будет отражено в цене опционов, помогая трейдерам оценить будущую волатильность опциона и акций на основе текущих цен опционов.

В совокупности факторы, которые помогают измерить влияние на премию опциона, называются «греки опционов».

Примеры цен на опционы

Ниже вы можете увидеть уже рассмотренный пример GE.Он показывает торговую цену GE, несколько страйков, а также внутреннюю и временную стоимость опционов колл и пут. На момент написания этой статьи General Electric считалась акцией с низкой волатильностью и для этого примера имела бета-коэффициент 0,49.

В таблице ниже указаны цены на колл и пут, срок действия которых истекает через один месяц (верхняя часть таблицы). В нижнем разделе указаны цены на опционы GE, срок действия которых истекает через девять месяцев.

Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2020

На рисунке ниже цены на колл и пут, истекающие через один и девять месяцев, указаны для акций Amazon.com Inc. (AMZN). Amazon — гораздо более волатильная акция с бета-версией 3,47.

Давайте сравним опцион колл GE 35 за девять месяцев до истечения с опционом колл AMZN 40 за девять месяцев до истечения срока.

Значительная премия по опциону AMZN связана с волатильным характером акций AMZN, что может привести к более высокой вероятности истечения срока опциона в деньгах.

Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2020

Продавец опционов GE не ожидает получить существенную премию, потому что покупатели не ожидают значительного изменения цены акций.

С одной стороны, продавец опциона AMZN может рассчитывать на более высокую премию из-за волатильного характера акций AMZN.Обычно, когда рынок считает, что акция будет очень волатильной, временная стоимость опциона возрастает.

С другой стороны, когда рынок считает, что акция будет менее волатильной, временная стоимость опциона падает. Ожидание рынком будущей волатильности акций является ключом к цене опционов.

Дельта позиции | Расчет дельты позиции

В «Знакомстве с греками» мы обсуждали, как дельта влияет на стоимость отдельных опционов. Теперь давайте посмотрим, как вы можете вывести дельту на новый уровень.«Дельта позиции» позволяет отслеживать чистый эффект дельты для всей группы опционов, основанных на одной и той же базовой акции.

Подумайте о дельте позиции следующим образом: опционы заменяют определенное количество акций базовой акции. Для любой опционной позиции по одной конкретной акции вы можете сложить дельты всех опционных контрактов и выяснить, на сколько акций действует вся группа ценных бумаг. Таким образом, вы всегда будете знать, как она должна реагировать, когда акция совершает движение на один пункт в любом направлении.

Как опционы заменяют акции

Контракт однократного отзыва с дельтой 0,01 заменяет одну акцию. Вот почему.

Если цена акции вырастет на 1 доллар, колл должен вырасти на один пенни. Но вообще говоря, опционный контракт будет представлять 100 акций. Итак, вам нужно умножить дельту на 100 акций:
0,01 доллара x 100 = 1 доллар.

Это означает, что если цена акции увеличивается на 1 доллар, стоимость вашей позиции колл также должна увеличиться на 1 доллар.По сути, он ведет себя как одна акция.

Расчет дельты позиции для одноэтапной стратегии с несколькими контрактами

Пример 1:

Вот пример. Допустим, у вас есть 10 контрактов на вызовы XYZ, каждый с дельтой 0,75. Чтобы вычислить дельту позиции, умножьте 0,75 x 100 (при условии, что каждый контракт представляет 100 акций) x 10 контрактов. Это дает результат 750.

Это означает, что ваши опционы колл заменяют 750 акций базовой акции.Таким образом, вы можете предположить, что если акция вырастет на 1 доллар, позиция вырастет примерно на 750 долларов. Если базовая акция упадет на 1 доллар, позиция уменьшится примерно на 750 долларов.

Расчет дельты позиции для нескольких участков и нескольких стратегий

В большинстве случаев ваши опционные стратегии будут более сложными, чем несколько опционов колл с одинаковой страйк-ценой. Вы можете использовать многоэлементные стратегии и даже одновременно использовать разные стратегии для одной и той же базовой акции.

Каждая из этих стратегий может включать опционы с разными ценами исполнения и датами истечения.Например, вы можете запустить железный кондор и длинный календарный спред с колл одновременно на одну и ту же базовую акцию.

Дельты некоторых отдельных опционов в полной позиции опционов будут положительными, а некоторые — отрицательными. Но даже если стратегии, которые вы используете, сложны, один взгляд на дельту позиции может дать вам представление о том, как должна измениться стоимость позиции, если акция сдвинется на один пункт в любом направлении.

Пример 2:

Мы не хотим загромождать этот раздел вычислением шести или семи различных этапов среди нескольких стратегий.Итак, давайте посмотрим на простой пример того, как вы рассчитываете дельту позиции для простой многоплановой стратегии. Например, рассмотрим длинный колл-спред с двумя ногами.

Пример 2 показывает детали длинного спреда колл XYZ с длинным 55 страйком и коротким 60 страйком, оба с одинаковой датой истечения. Представьте, что при торговле акциями на уровне 56,55 доллара мы купили 15 контрактов на колл с 55 страйками с дельтой 0,61 и продали 15 контрактов на колл с 60 страйками с дельтой 0,29.

Расчетный участок 1

Дельта колла с 55 страйками равна.61. Итак, чтобы определить общую дельту, мы умножаем 0,61 x 100 множитель акций на 15 контрактов. Это равно 915.

Расчетный участок 2

Расчет общей дельты позиции

Теперь вы просто складываете дельты от каждого лега вместе, чтобы определить дельту вашей позиции: 915 + (-435) = 480.Таким образом, теоретическое изменение стоимости позиции на основе движения базовой акции на 1 доллар составляет 480 долларов. Следовательно, общая стоимость этой позиции будет вести себя как 480 акций XYZ.

Как дельта позиции помогает вам управлять рисками

Ваша дельта чистой позиции по опционам на любую базовую акцию представляет ваш текущий риск относительно изменения цены акции. В примере с длинным колл-спредом вам нужно спросить себя, комфортно ли вам иметь такой же риск, как при длинной позиции по 480 акциям XYZ.Если нет, возможно, вам стоит обратить внимание на этот риск. Вы можете сделать это, закрывая часть своей позиции или добавляя отрицательные дельты, например, покупая пут или продавая акции в шорт.

Та же логика применяется, если вы держите позицию с высокой отрицательной дельтой. У вас будет такой же риск, как и при короткой позиции по акциям. Чтобы скорректировать свой риск, вы можете сбросить часть своей позиции, купить колл или купить акции.

Не забудьте про гамму

Подобно тому, как гамма влияет на дельту одного опциона при изменении цены акции, она также влияет на чистую дельту всей вашей позиции.Поэтому важно помнить, что дельта вашей позиции будет меняться при каждом небольшом движении акций. А влияние гаммы на дельту позиции может быть огромным, потому что мы говорим о множественных опционных контрактах.

Количество акций, для которых ваши опционы выступают в качестве замены, будет меняться каждый раз при изменении цены акции. Вот почему рекомендуется следить за дельтой вашей позиции на протяжении всего срока действия вашей опционной позиции.

Если у вас есть счет Ally Invest, следить за дельтой позиции очень просто.Просто посмотрите на «Вариант» на своей странице «Холдинги» или воспользуйтесь калькулятором прибылей и убытков, и мы сделаем за вас математические расчеты.

Расчет процента владения: ура новой математике!

Примечание. В этом сообщении в блоге предложен саундтрек: «Новая математика Тома Лерера». Это ушной червь, который постоянно возникал у меня в голове, когда я писал этот пост, поэтому будет уместно, чтобы он вам подыгрывал, пока вы читаете. И это запоминающаяся песня.

Как рассчитать процент владения?

Допустим, вам принадлежит миллион акций стартапов.(Молодец. Ура!) Итак, каков ваш процент владения в компании? Звучит как простой вопрос, но ответ зависит от того, как вы делаете математические вычисления.

Это не тот случай, когда фигуры лгут или фигурируют лжецы, как гласит старая пословица. В зависимости от того, кто вы и почему задают вопрос, будут использоваться разные методы расчета вашей доли владения.

Основное уравнение настолько простое, что его может решить школьник:

Сложная часть — это определить знаменатель в этом уравнении.Основная переменная — это то, как опционы и пул опционов учитываются в общем количестве акций. Два распространенных способа вычисления этого:

Между прочим, общее количество разрешенных к выпуску акций компании не имеет значения, когда вы рассматриваете процент владения, и никогда не будет использоваться в этом расчете.

Поскольку полностью разводненные акции — это надмножество, процент владения на основе полностью разводненных акций всегда будет ниже, чем процент, рассчитанный на основе выпущенных и находящихся в обращении акций. Давайте посмотрим на разницу между этими двумя методами на некоторых примерах. Предположим, у компании есть:

Процент владения вашим одним миллионом акций в зависимости от выпущенных и находящихся в обращении:

А, исходя из полностью разбавленного:

Итак, какие числа вам следует использовать? Вам принадлежит 18% или 15%? Здесь полезно понять контекст и мотивы.Вы хотите знать, что является точным в данный момент, или это спекулятивный вопрос? Вы ищете лучший или худший сценарий?

Если сегодня происходит транзакция — возможно, происходит голосование акционеров — только акции, которые фактически принадлежат прямо сейчас, будут иметь значение. Итак, выдающийся и выдающийся полезный расчет. Только действующие акционеры имеют право участвовать в голосовании.

С другой стороны, инвесторы, как правило, смотрят в будущее и думают о вещах полностью размытыми терминами.Если предположить, что компания будет продолжать расти, будет предоставлен весь пул опционов на акции и исполнена каждая отдельная акция, они смогут получить наиболее консервативную оценку того, чем они будут владеть. Эта подробная перспектива важна при размышлениях о будущем контроле над компанией и моделировании возможных результатов.

Другие случаи могут быть более сложными. Если есть предстоящее событие ликвидности, также имеет смысл учесть любые операции на лету, которые предоставят акции и любые переданные опционы, которые могут быть исполнены сверх того, что имеется в настоящее время.

При каждом новом выпуске акций или сборе средств числа корректируются, происходит разводнение, и необходимо пересчитывать проценты. Одна вещь, на которую вы можете рассчитывать, — это то, что ваш процент владения изменится — независимо от того, как вы делаете вычисления!

Хотите управлять собственностью без головной боли? Давайте поговорим о том, чем может помочь Shoobx.

Какова стоимость опциона колл или пут?

Стоимость колл-опциона или пут-опциона определяется несколькими составляющими.Стоимость опциона складывается из его внутренней стоимости и временной премии. Текущая стоимость вашей опционной сделки зависит от цены, которую вы заплатили, а также от цены базовой акции относительно цены исполнения вашего опционного контракта.

Две составляющие цены опциона

При покупке контракта по опциону колл или пут цена, которую вы платите, состоит из двух отдельных компонентов:

Источник изображения: Getty Images.

Временная премия или временная стоимость опциона — это часть цены опциона, которую вы платите за неопределенность цены опциона до истечения срока его действия. Другими словами, это сумма, которую вы платите за то, что базовая акция может стоить в будущем.

Внутренняя , или брутто, стоимость опциона — это денежная сумма опциона. Например, если у вас есть возможность заплатить 10 долларов за акцию за акцию, которая торгуется по 15 долларов, опцион имеет внутреннюю стоимость 5 долларов за акцию.

Кроме того, текущая стоимость опционной сделки в размере — это ваш чистый результат, если бы вы исполняли контракт сегодня. Другими словами, это текущая внутренняя стоимость опциона за вычетом цены, которую вы за него заплатили. Например, если вы заплатили 3 доллара за акцию за контракт на покупку акций за 10 долларов, которые в настоящее время торгуются по 12 долларов (внутренняя стоимость 2 доллара), вы в настоящее время испытаете убыток в размере 1 доллара на акцию, если воспользуетесь опционом. Таким образом, текущая стоимость вашей сделки по опциону отрицательна — 1 доллар за акцию.

Примеры

Чтобы проиллюстрировать эти принципы, рассмотрим несколько примеров:

Во-первых, предположим, что Microsoft торгуется по 50 долларов за акцию, и вы покупаете опцион колл, который позволяет вам приобрести 100 акций за 60 долларов в любое время в течение следующего года и заплатить 1 доллар за акцию. Поскольку опцион не в деньгах, он не имеет внутренней стоимости. Цена опциона в 1 доллар за акцию представляет собой уплачиваемую вами временную премию, поскольку существует бесконечное количество возможностей движения цены акции в течение следующего года.

Если цена акций Microsoft вырастет до 65 долларов, ваш опцион будет в деньгах по 5 долларов за акцию (внутренняя стоимость). Поскольку вы заплатили 1 доллар за акцию, чтобы купить опцион, текущая стоимость вашей сделки по опциону в этот момент составит 4 доллара.

В качестве другого примера предположим, что Apple торгуется по 150 долларов за акцию, и вы покупаете опцион колл, который позволяет вам приобрести 100 акций в течение следующего года по цене исполнения 135 долларов. Вы платите 18 долларов за акцию при покупке опционного контракта.Поскольку опцион находится в деньгах на 15 долларов за акцию, эта сумма представляет собой внутреннюю стоимость опциона. Разница между внутренней стоимостью и ценой, которую вы платите за опцион, или 3 доллара, представляет собой временную премию.

Теперь предположим, что цена акций Apple упала до 130 долларов. Ваш вариант больше не в деньгах, поэтому он не имеет внутренней стоимости. Однако вы заплатили 18 долларов за покупку опциона, поэтому текущая стоимость вашей сделки отрицательная 18 долларов за акцию или всего отрицательные 1800 долларов.

Расчет стоимости ваших опционов

Вот еще несколько подробностей о разнице между опционами колл и пут, а также калькулятор, который поможет вам определить стоимость вашего опциона.(Примечание: общая стоимость опциона в калькуляторе такая же, как и концепция внутренней стоимости, которую я обсуждал ранее.)

* Калькулятор предназначен только для оценки и не является финансовым планированием или советом.

Источник