Как считать интегралы

Как считать интегралы

Двойные интегралы для чайников

Данный урок открывает обширную тему кратных интегралов, с которыми студенты обычно сталкиваются на втором курсе. Двойными и тройными интегралами можно запугать обывателя не хуже, чем дифференциальными уравнениями, поэтому сразу же разберёмся с вопросом: сложно или нет? Конечно, некоторым будет сложно, и, если честно, я немного слукавил с названием статьи – для того, чтобы научиться решать двойные интегралы, необходимо обладать некоторыми навыками. Во-первых, если речь идёт об интегралах, то, очевидно, придётся интегрировать. Логично. Следовательно, для освоения примеров нужно уметь находить неопределённые интегралы и вычислять определённые интегралы хотя бы на среднем уровне. Хорошая новость состоит в том, что сами по себе интегралы в большинстве случаев достаточно просты.

Кому придётся туговато? Понятное дело. Тем, кто много пил пиво в течение первых семестров. Однако нормальных студентов тоже обнадёжу – на сайте есть все материалы, чтобы восполнить пробелы или недопонимание. Просто вам придётся потратить больше времени. Ссылки на темы, которые следует изучить или повторить, будут прилагаться по ходу статьи.

На вводном уроке поэтапно и подробно будут разобраны следующие базовые моменты:

– Понятие двойного интеграла

– Область интегрирования. Порядок обхода области интегрирования. Как изменить порядок обхода?

– Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла?

После того, как вы ХОРОШО поймёте все азы, можно будет перейти к статье Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений. Кроме того, существует распространенная задача о вычислении двойного интеграла в полярных координатах и типовое приложение о нахождении центра тяжести плоской ограниченной фигуры.

Для желающих освоить тему в максимально сжатые сроки есть компактный pdf-курс Кратные и криволинейные интегралы (3-й семестр).

И мы немедленно приступаем. Начнём с насущного вопроса – что это такое?

Понятие двойного интеграла

Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:
Как считать интегралы

Разбираемся в терминах и обозначениях:
Как считать интегралы– значок двойного интеграла;
Как считать интегралы– область интегрирования (плоская фигура);
Как считать интегралы– подынтегральная функция двух переменных, часто она довольно простая;
Как считать интегралы– значки дифференциалов.

Что значит вычислить двойной интеграл?

Вычислить двойной интеграл – это значит найти ЧИСЛО. Самое обычное число:
Как считать интегралы
И крайне желательно найти его правильно =)

Результат (число Как считать интегралы) может быть отрицательным. И ноль тоже запросто может получиться. Специально остановился на данном моменте, поскольку немало студентов испытывают беспокойство, когда ответ получается «шото вроде как странный».

Многие помнят, что «обычный» определённый интеграл – тоже число. Здесь всё так же. У двойного интеграла существует и отличный геометрический смысл, но об этом позже, всему своё время.

Как вычислить двойной интеграл?

Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его нужно свести к так называемым повторным интегралам. Сделать это можно двумя способами. Наиболее распространён следующий способ:
Как считать интегралы

Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Причём одиночные знаки вопроса Как считать интегралыу внешнего интеграла – это числа, а двойные знаки вопроса Как считать интегралыу внутреннего интеграла – это функции одной переменной Как считать интегралы, зависящие от «икс».

Откуда взять пределы интегрирования? Они зависят от того, какая в условии задачи дана область Как считать интегралы. Область Как считать интегралыпредставляет собой обычную плоскую фигуру, с которой вы неоднократно сталкивались, например, при вычислении площади плоской фигуры или вычислении объема тела вращения. Очень скоро вы узнаете, как правильно расставлять пределы интегрирования.

После того, как переход к повторным интегралам осуществлён, следуют непосредственно вычисления: сначала берётся внутренний интеграл Как считать интегралы, а потом – внешний. Друг за другом. Отсюда и название – повторные интегралы.

Грубо говоря, задача сводится к вычислению двух определённых интегралов. Как видите всё не так сложно и страшно, и если вы совладали с «обыкновенным» определённым интегралом, что мешает разобраться с двумя интегралами?!

Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже:
Как считать интегралы
Что поменялось? Поменялся порядок интегрирования: теперь внутренний интеграл берётся по «икс», а внешний – по «игрек». Пределы интегрирования, обозначенные звёздочками – будут другими! Одиночные звёздочки внешнего интеграла – это числа, а двойные звёздочки внутреннего интеграла – это обратные функции Как считать интегралы, зависящие от «игрек».

Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам, окончательный ответ обязательно получится один и тот же:
Как считать интегралы

Пожалуйста, запомните это важное свойство, которое можно использовать, в том числе, для проверки решения.

Алгоритм решения двойного интеграла:

Систематизируем информацию: в каком порядке нужно решать рассматриваемую задачу?

1) Выполнить чертёж. Без него решить задачу практически невозможо. За исключением каких-то совсем простых случаев и за исключением вундеркиндов, умеющих играть в шахматы «вслепую». На чертеже следует изобразить область Как считать интегралы, которая представляет собой плоскую фигуру. Чаще всего фигура незамысловата и ограничена какими-нибудь прямыми, параболами, гиперболами и т.д. Грамотную и быструю технику построения графиков можно освоить на уроках Графики и основные свойства элементарных функций, Геометрические преобразования графиков.

2) Расставить пределы интегрирования и перейти к повторным интегралам.

3) Взять внутренний интеграл

4) Взять внешний интеграл и получить ответ (число).

Область интегрирования. Порядок обхода области интегрирования.
Как изменить порядок обхода?

В данном параграфе мы рассмотрим важнейший вопрос – как перейти к повторным интегралам и правильно расставить пределы интегрирования. Как было сказано выше, сделать это можно так:
Как считать интегралы
И так:
Как считать интегралы

На практике эта вроде бы несложная задача вызывает наибольшие затруднения, и студенты часто путаются в расстановке пределов интегрирования. Рассмотрим конкретный пример:

Дан двойной интеграл Как считать интегралыс областью интегрирования Как считать интегралы. Перейти к повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:
Как считать интегралы

Обычная плоская фигура и ничего особенного.

Теперь я выдам каждому из вас орудие труда – палку-копалку лазерную указку. Задача состоит в том, чтобы просканировать лучом лазера каждую точку заштрихованной области:
Как считать интегралы

Луч лазера проходит область интегрирования строго снизу вверх, то есть указку вы ВСЕГДА держите ниже плоской фигуры. Луч входит в область через ось абсцисс, которая задаётся уравнением Как считать интегралыи выходит из области через параболу Как считать интегралы(красная стрелка). Чтобы просветить всю область, вам нужно строго слева направо провести указкой вдоль оси Как считать интегралыот 0 до 1 (зелёная стрелка).

Итак, что получилось:
«игрек» изменяется от 0 до Как считать интегралы;
«икс» изменяется от 0 до 1.

В задачах вышесказанное записывают в виде неравенств:
Как считать интегралы

Данные неравенства называют порядком обхода области интегрирования или просто порядком интегрирования

После того, как мы разобрались с порядком обхода, можно перейти от двойного интеграла к повторным интегралам:
Как считать интегралы

Половина задачи решена. Теперь необходимо перейти к повторным интегралам вторым способом. Для этого следует найти обратные функции. Кто ознакомился со вторым параграфом урока Объем тела вращения, тому будет легче. Смотрим на функции, которыми задается область Как считать интегралы. Если совсем просто, то перейти к обратным функциям, это значит – выразить «иксы» через «игреки». Единственной функцией, где есть и «икс» и «игрек», является Как считать интегралы.

Если Как считать интегралы, то Как считать интегралы, причём:
обратная функция Как считать интегралызадает правую ветку параболы;
обратная функция Как считать интегралызадает левую ветку параболы.

Нередко возникают сомнения, вот, к примеру, функция Как считать интегралыопределяет левую или правую ветвь параболы? Сомнения развеять очень просто: возьмите какую-нибудь точку параболы, например, Как считать интегралы(с правой ветви) и подставьте её координаты в любое уравнение, например, в то же уравнение Как считать интегралы:
Как считать интегралы
Получено верное равенство, значит, функция Как считать интегралыопределяет именно правую ветвь параболы, а не левую.

Более того, данную проверку (мысленно или на черновике) желательно проводить всегда, после того, как вы перешли к обратным функциям. Времени займет всего ничего, а от ошибки убережёт наверняка!

Обходим область интегрирования вторым способом:
Как считать интегралы

Теперь лазерную указку держим слева от области интегрирования. Луч лазера проходит область строго слева направо. В данном случае он входит в область через ветвь параболы Как считать интегралыи выходит из области через прямую, которая задана уравнением Как считать интегралы(красная стрелка). Чтобы просканировать лазером всю область, нужно провести указкой вдоль оси Как считать интегралыстрого снизу вверх от 0 до 1 (зеленая стрелка).

Таким образом:
«икс» изменяется от Как считать интегралыдо 1;
«игрек» изменяется от 0 до 1.

Порядок обхода области следует записать в виде неравенств:
Как считать интегралы

И, следовательно, переход к повторным интегралам таков:
Как считать интегралы

Ответ можно записать следующим образом:
Как считать интегралы

Еще раз напоминаю, что окончательный результат вычислений не зависит от того, какой порядок обхода области мы выбрали (поэтому поставлен знак равенства). Но, до конечного результата ещё далеко, сейчас наша задача – лишь правильно расставить пределы интегрирования.

Дан двойной интеграл Как считать интегралыс областью интегрирования Как считать интегралы. Перейти к повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.

Это пример для самостоятельного решения. Грамотно постройте чертёж и строго соблюдайте направления обхода (откуда и куда светить лазерной указкой). Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Чаще всего типовое задание встречается немного в другой формулировке:

Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования
Как считать интегралы

Решение: По условию дан первый способ обхода области. Решение опять начинается с чертежа. Здесь область Как считать интегралыне лежит на блюдечке с голубой каёмочкой, но построить её не составляет особого труда. Сначала «снимаем» функции с пределов интегрирования: Как считать интегралы, Как считать интегралы. Функция Как считать интегралы, понятно, задаёт прямую, но что задаёт функция Как считать интегралы? Давайте её немного преобразуем:
Как считать интегралы– окружность с центром в начале координат радиуса 2. Функция же Как считать интегралызадаёт верхнюю полуокружность (не забываем, что если есть сомнения, то всегда можно подставить точку лежащую на верхней или нижней полуокружности).

Смотрим на пределы внешнего интеграла: «икс» изменяется от –2 до 0.

Выполним чертёж:
Как считать интегралы
Для наглядности я указал стрелками первый способ обхода области, который соответствует повторным интегралам условия: Как считать интегралы.

Теперь нужно изменить порядок обхода области, для этого перейдем к обратным функциям (выразим «иксы» через «игреки»):
Как считать интегралы
Недавно мы преобразовали функцию Как считать интегралык уравнению окружности Как считать интегралы, далее выражаем «икс»: Как считать интегралы
В результате получаем две обратные функции:
Как считать интегралы– определяет правую полуокружность;
Как считать интегралы– определяет левую полуокружность.
Опять же, если возникают сомнения, возьмите любую точку окружности и выясните, где лево, а где право.

Изменим порядок обхода области:
Как считать интегралы

Согласно второму способу обхода, лазерный луч входит в область слева через левую полуокружность Как считать интегралыи выходит справа через прямую Как считать интегралы(красная стрелка). В то же время лазерная указка проводится вдоль оси ординат снизу вверх от 0 до 2 (зелёная стрелка).

Таким образом, порядок обхода области:
Как считать интегралы

В общем-то, можно записать ответ:
Как считать интегралы

Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования
Как считать интегралы

Это пример для самостоятельного решения. Пример не очень сложный, но обратите внимание, что порядок обхода изначально задан вторым способом! Что делать в подобных случаях? Во-первых, возникает трудность с чертежом, поскольку чертить график обратной функции наподобие Как считать интегралынепривычно даже мне самому. Я рекомендую следующий порядок действий: сначала из Как считать интегралыполучаем «обычную» функцию (выражаем «игрек» через «икс»). Далее строим график этой «обычной» функции (всегда можно построить хотя бы поточечно). Аналогично поступаем с более простой линейной функцией: из Как считать интегралывыражаем «игрек» и проводим прямую.

Анализируем исходные пределы интегрирования: входим слева в область через Как считать интегралыи выходим через Как считать интегралы. При этом все дела происходят в «игрековой» полосе от –1 до 0. После того, как вы определили на чертеже область интегрирования, сменить порядок обхода не составит особого труда. Примерный образец оформления решения в конце урока.

Похожий пример я еще разберу подробнее чуть позже.

Даже если вы всё отлично поняли, пожалуйста, не торопитесь переходить непосредственно к вычислениям двойного интеграла. Порядок обхода – вещь коварная, и очень важно немного набить руку на данной задаче, тем более, я еще не всё рассмотрел!

В предыдущих четырёх примерах область интегрирования находилась целиком в 1-й, 2-й, 3-й и 4-й координатных четвертях. Всегда ли это так? Нет, естественно.

Изменить порядок интегрирования
Как считать интегралы

Решение: Выполним чертёж, при этом, график функции Как считать интегралыфактически представляет собой кубическую параболу, просто она «лежит на боку»:
Как считать интегралы
Порядок обхода области, который соответствует повторным интегралам Как считать интегралы, обозначен стрелками. Обратите внимание, что в ходе выполнения чертежа прорисовалась еще одна ограниченная фигура (левее оси ординат). Поэтому следует быть внимательным при определении области интегрирования – за область можно ошибочно принять не ту фигуру.

Перейдем к обратным функциям:
Как считать интегралы– нужная нам правая ветвь параболы;
Как считать интегралы

Изменим порядок обхода области. Как вы помните, при втором способе обхода, область нужно сканировать лазерным лучом слева направо. Но тут наблюдается интересная вещь:
Как считать интегралы

Как поступать в подобных случаях? В таких случаях следует разделить область интегрирования на две части и для каждой из частей составить свои повторные интегралы:

1) Если «игрек» изменяется от –1 до 0 (зеленая стрелка), то луч входит в область через кубическую параболу Как считать интегралыи выходит через прямую Как считать интегралы(красная стрелка). Поэтому порядок обхода области будет следующим:
Как считать интегралы
И соответствующие повторные интегралы:
Как считать интегралы

2) Если «игрек» изменяется от 0 до 1 (коричневая стрелка), то луч входит в область через ветвь параболы Как считать интегралыи выходит через ту же прямую Как считать интегралы(малиновая стрелка). Следовательно, порядок обхода области будет следующим:
Как считать интегралы
И соответствующие повторные интегралы:
Как считать интегралы

У определенных и кратных интегралов есть весьма удобное свойство аддитивности, то есть, их можно сложить, что в данном случае и следует сделать:
Как считать интегралы– а вот и наш обход области вторым способом в виде суммы двух интегралов.

Ответ записываем так:
Как считать интегралы

Какой порядок обхода выгоднее? Конечно тот, который был дан в условии задачи – вычислений будет в два раза меньше!

Изменить порядок интегрирования
Как считать интегралы

Это пример для самостоятельного решения. В нём присутствуют полуокружности, разборки с которыми были подробно рассмотрены в Примере 3. Примерный образец оформления решения в конце урока.

А сейчас обещанная задача, когда изначально задан второй способ обхода области:

Изменить порядок интегрирования
Как считать интегралы

Решение: Когда порядок обхода задан вторым способом, то перед построением чертежа целесообразно перейти к «обычным» функциям. В данном примере присутствуют два пациента для преобразования: Как считать интегралыи Как считать интегралы.
С линейной функцией всё просто: Как считать интегралы

График функции Как считать интегралыпредставляется собой параболу с претензией на каноничность.

Выразим «игрек» через «икс»:
Как считать интегралы
Получаем две ветви параболы: Как считать интегралыи Как считать интегралы. Какую из них выбрать? Проще всего сразу выполнить чертёж. И даже если вы крепко позабыли материал аналитической геометрии о параболе, то всё равно обе ветви можно построить поточечно:
Как считать интегралы

Еще раз обращаю внимание на тот факт, что на данном чертеже получилось несколько плоских фигур, и очень важно выбрать нужную фигуру! В выборе искомой фигуры как раз помогут пределы интегрирования исходных интегралов:
Как считать интегралы, при этом не забывайте, что обратная функция Как считать интегралызадаёт всю параболу.

Стрелочки, которыми обозначен обход фигуры, в точности соответствуют пределам интегрирования интегралов Как считать интегралы.

Довольно быстро вы научитесь проводить такой анализ мысленно и находить нужную область интегрирования.

Когда фигура найдена, заключительная часть решения, в общем-то, очень проста, меняем порядок обхода области:
Как считать интегралы
Обратные функции уже найдены, и требуемый порядок обхода области:
Как считать интегралы

Ответ: Как считать интегралы

Заключительный пример параграфа для самостоятельного решения:

Изменить порядок интегрирования
Как считать интегралы

Полное решение и ответ в конце урока.

Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла?

Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла Как считать интегралыи знакомиться с его геометрическим смыслом.

Двойной интеграл Как считать интегралычисленно равен площади плоской фигуры Как считать интегралы(области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице: Как считать интегралы.

Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры Как считать интегралы, ограниченной линиями Как считать интегралы. Для определённости считаем, что Как считать интегралына отрезке Как считать интегралы. Площадь данной фигуры численно равна:
Как считать интегралы

Изобразим область Как считать интегралына чертеже:
Как считать интегралы

Выберем первый способ обхода области:
Как считать интегралы

Таким образом: Как считать интегралы

И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:
Как считать интегралы

Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел

2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:
Как считать интегралы

Более компактная запись всего решения выглядит так:
Как считать интегралы

Полученная формула Как считать интегралы– это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью «обычного» определённого интеграла! Смотрите урок Вычисление площади с помощью определенного интеграла, там она на каждом шагу!

То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с помощью определённого интеграла! Фактически это одно и тоже!

Соответственно, никаких трудностей возникнуть не должно! Я рассмотрю не очень много примеров, так как вы, по сути, неоднократно сталкивались с данной задачей.

С помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской фигуры Как считать интегралы, ограниченной линиями Как считать интегралы, Как считать интегралы

Решение: Изобразим область Как считать интегралына чертеже:
Как считать интегралы

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:
Как считать интегралы

Выберем следующий порядок обхода области:
Как считать интегралы
Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход области, поскольку в первом параграфе были приведены очень подробные разъяснения.

Таким образом:
Как считать интегралы

Как я уже отмечал, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду придерживаться и я:

1) Сначала с помощью формулы Ньютона-Лейбница разбираемся с внутренним интегралом:
Как считать интегралы

2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:
Как считать интегралы

Пункт 2 – фактически нахождение площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла.

Ответ: Как считать интегралы

Вот такая вот глупая и наивная задача.

Любопытный пример для самостоятельного решения:

С помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской фигуры Как считать интегралы, ограниченной линиями Как считать интегралы, Как считать интегралы, Как считать интегралы

Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.

В Примерах 9-10 значительно выгоднее использовать первый способ обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.

Но в ряде случаев более эффективен второй способ обхода области, и в заключение курса молодого ботана рассмотрим ещё пару примеров на эту тему:

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры Как считать интегралы, ограниченной линиями Как считать интегралы, Как считать интегралы

Решение: нас с нетерпением ждут две параболы, которые лежат на боку.

Как проще всего сделать чертёж?

Представим параболу Как считать интегралыв виде двух функций:
Как считать интегралы– верхняя ветвь и Как считать интегралы– нижняя ветвь.

Аналогично, представим параболу Как считать интегралыв виде верхней Как считать интегралыи нижней Как считать интегралыветвей.

Далее рулит поточечное построение графиков, в результате чего получается вот такая причудливая фигура:
Как считать интегралы

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:
Как считать интегралы

Что будет, если мы выберем первый способ обхода области? Во-первых, данную область придётся разделить на две части. А во-вторых, мы будем наблюдать сию печальную картину: Как считать интегралы. Интегралы, конечно, не сверхсложного уровня, но… существует старая математическая присказка: кто с корнями дружен, тому зачёт не нужен.

Поэтому из недоразумения, которое дано в условии, выразим обратные функции:
Как считать интегралы
Обратные функции в данном примере обладают тем преимуществом, что задают сразу всю параболу целиком без всяких там листьев, желудей веток и корней.

Согласно второму способу, обход области будет следующим:
Как считать интегралы

Таким образом:
Как считать интегралы
Как говорится, ощутите разницу.

1) Расправляемся с внутренним интегралом:
Как считать интегралы

Результат подставляем во внешний интеграл:

2)
Как считать интегралы

Интегрирование по переменной «игрек» не должно смущать, была бы буква «зю» – замечательно бы проинтегрировалось и по ней. Хотя кто прочитал второй параграф урока Как вычислить объем тела вращения, тот уже не испытывает ни малейшей неловкости с интегрированием по «игрек».

Также обратите внимание на первый шаг: подынтегральная функция Как считать интегралыявляется чётной, а отрезок интегрирования симметричен относительно нуля. Поэтому отрезок можно споловинить, а результат – удвоить. Данный приём подробно закомментирован на уроке Эффективные методы вычисления определённого интеграла.

Что добавить…. Всё!

Ответ: Как считать интегралы

Для проверки своей техники интегрирования можете попробовать вычислить Как считать интегралы. Ответ должен получиться точно таким же.

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры Как считать интегралы, ограниченной линиями Как считать интегралы

Это пример для самостоятельного решения. Интересно отметить, что если вы попробуете использовать первый способ обхода области, то фигуру придётся разделить уже не на две, а на три части! И, соответственно, получится три пары повторных интегралов. Бывает и такое.

Мастер класс подошел к завершению, и пора переходить на гроссмейстерский уровень – Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений. Постараюсь во второй статье так не маньячить =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Изобразим область Как считать интегралына чертеже:
Как считать интегралы
Выберем следующий порядок обхода области:
Как считать интегралы
Таким образом: Как считать интегралы
Перейдём к обратным функциям: Как считать интегралы
Изменим порядок обхода области:
Как считать интегралы
Таким образом: Как считать интегралы
Ответ: Как считать интегралы

Пример 4: Решение: Перейдём к прямым функциям:
Как считать интегралы
Как считать интегралы
Выполним чертёж:
Как считать интегралы
Изменим порядок обхода области:
Как считать интегралы
Ответ: Как считать интегралы

Пример 6: Решение: Выполним чертеж:
Как считать интегралы

Перейдем к обратным функциям:
Как считать интегралы
Как считать интегралы
Изменим порядок интегрирования, разделив область интегрирования на две части. При этом порядок обхода области:
1) Как считать интегралы, 2) Как считать интегралы
Ответ: Как считать интегралы

Пример 8: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:
Как считать интегралы
Перейдём к обратным функциям:
Как считать интегралы
Изменим порядок обхода области:
Как считать интегралы
Ответ: Как считать интегралы

Пример 10: Решение: Изобразим область Как считать интегралына чертеже:
Как считать интегралы
Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:
Как считать интегралы
Выберем следующий порядок обхода области:
Как считать интегралы
Таким образом: Как считать интегралы
1) Как считать интегралы
2) Как считать интегралы
Ответ: Как считать интегралы

Пример 12: Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже:
Как считать интегралы

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:
Как считать интегралы
Перейдём к обратным функциям:
Как считать интегралы
Порядок обхода области:
Как считать интегралы
Таким образом:
Как считать интегралы
1) Как считать интегралы
2)
Как считать интегралы
Ответ: Как считать интегралы

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Как считать интегралы «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Как считать интегралы Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys

Источник

Сложные интегралы

Данная статья завершает тему неопределенных интегралов, и в неё включены интегралы, которые я считаю достаточно сложными. Урок создан по неоднократным просьбам посетителей, которые высказывали пожелания, чтобы на сайте были разобраны и более трудные примеры.

Предполагается, что читатель сего текста хорошо подготовлен и умеет применять основные приемы интегрирования. Чайникам и людям, которые не очень уверенно разбираются в интегралах, следует обратиться к самому первому уроку – Неопределенный интеграл. Примеры решений, где можно освоить тему практически с нуля. Более опытные студенты могут ознакомиться с приемами и методами интегрирования, которые в моих статьях еще не встречались.

Какие интегралы будут рассмотрены?

Сначала мы рассмотрим интегралы с корнями, для решения которых последовательно используется замена переменной и интегрирование по частям. То есть, в одном примере комбинируются сразу два приёма. И даже больше.

Затем мы познакомимся с интересным и оригинальным методом сведения интеграла к самому себе. Данным способом решается не так уж мало интегралов.

Третьим номером программы пойдут интегралы от сложных дробей, которые пролетели мимо кассы в предыдущих статьях.

В-четвертых, будут разобраны дополнительные интегралы от тригонометрических функций. В частности, существуют методы, которые позволяют избежать трудоемкой универсальной тригонометрической подстановки.

И в заключение рассмотрим интеграл от корня из дроби, в числителе и знаменателе которой находятся линейные функции.

Конечно, название урока не совсем точно, будут и не сказать, что сильно сложные интегралы. Тем не менее, крепких орешков предостаточно. Запланировано довольно много примеров, поэтому поехали.

Последовательная замена переменной и интегрирование по частям

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Подынтегральная функция представляет собой арктангенс, под которым находится кубический корень. Первая же мысль, которая приходит в голову – избавиться бы от этого корня. Данный вопрос решается путем замены переменной, сама техника замены специфична, и она подробно рассмотрена на уроке Интегралы от иррациональных функций. Проведем замену:
Как считать интегралы

После такой замены у нас получится вполне симпатичная вещь: Как считать интегралы

Осталось выяснить, во что превратится Как считать интегралы. Навешиваем дифференциалы на обе части нашей замены:
Как считать интегралы

И само собой раскрываем дифференциалы:
Как считать интегралы

На чистовике решение кратко записывается примерно так:
Как считать интегралы

Проведем замену:
Как считать интегралы

Как считать интегралы

В результате замены получен знакомый тип интеграла, который интегрируется по частям:
Как считать интегралы

Как считать интегралы

(1) Выносим Как считать интегралыза скобки. К оставшемуся интегралу применяем прием, который рассмотрен в первых примерах урока статьи Интегрирование некоторых дробей.

(2) В подынтегральной функции почленно делим числитель на знаменатель.

(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла. В последнем интеграле сразу подводим функцию под знак дифференциала.

(4) Берём оставшиеся интегралы. Обратите внимание, что в логарифме можно использовать скобки, а не модуль, так как Как считать интегралы.

(5) Проводим обратную замену, выразив из прямой замены Как считать интегралы«тэ»: Как считать интегралы

Студенты-мазохисты могут продифференцировать ответ и получить исходную подынтегральную функцию, как только что это сделал я. Нет-нет, я-то в правильном смысле выполнил проверку =)

Как видите, в ходе решения пришлось использовать даже больше двух приемов решения, таким образом, для расправы с подобными интегралами нужны уверенные навыки интегрирования и не самый маленький опыт.

На практике, конечно же, чаще встречается квадратный корень, вот три примера для самостоятельного решения:

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Данные примеры однотипны, поэтому полное решение в конце статьи будет только для Примера 2, в Примерах 3-4 – одни ответы. Какую замену применять в начале решений, думаю, понятно. Почему я подобрал однотипные примеры? Часто встречаются в своем амплуа. Чаще, пожалуй, только что-нибудь вроде Как считать интегралы.

Но не всегда, когда под арктангенсом, синусом, косинусом, экспонентой и др. функциями находится корень из линейной функции, приходится применять сразу несколько методов. В ряде случаев удается «легко отделаться», то есть сразу после замены получается простой интеграл, который элементарно берётся. Самым легким из предложенных выше заданий является Пример 4, в нём после замены получается относительно несложный интеграл.

Методом сведения интеграла к самому себе

Остроумный и красивый метод. Немедленно рассмотрим классику жанра:

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Под корнем находится квадратный двучлен, и при попытке проинтегрировать данный пример чайник может мучаться часами. Такой интеграл берётся по частям и сводится к самому себе. В принципе не сложно. Если знаешь как.

Обозначим рассматриваемый интеграл латинской буквой Как считать интегралыи начнем решение:
Как считать интегралы

Интегрируем по частям:
Как считать интегралы

Как считать интегралы

(1) Готовим подынтегральную функцию для почленного деления.

(2) Почленно делим подынтегральную функцию. Возможно, не всем понятно, распишу подробнее:
Как считать интегралы

(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла.

(4) Берём последний интеграл («длинный» логарифм).

Теперь смотрим на самое начало решения:
Как считать интегралы
И на концовку:
Как считать интегралы

Что произошло? В результате наших манипуляций интеграл свёлся к самому себе!

Приравниваем начало и конец:
Как считать интегралы

Переносим Как считать интегралыв левую часть со сменой знака:
Как считать интегралы

А двойку сносим в правую часть. В результате:
Как считать интегралы

Или: Как считать интегралы

Константу Как считать интегралы, строго говоря, надо было добавить ранее, но приписал её в конце. Настоятельно рекомендую прочитать, в чём тут строгость:

Примечание: Более строго заключительный этап решения выглядит так:
Как считать интегралы
Таким образом:
Как считать интегралы
Константу Как считать интегралыможно переобозначить через Как считать интегралы. Почему можно переобозначить? Потому что Как считать интегралывсё равно принимает любые значения, и в этом смысле между константами Как считать интегралыи Как считать интегралынет никакой разницы.
В результате:
Как считать интегралы

Подобный трюк с переобозначением константы широко используется в дифференциальных уравнениях. И там я буду строг. А здесь такая вольность допускается мной только для того, чтобы не путать вас лишними вещами и акцентировать внимание именно на самом методе интегрирования.

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Еще один типовой интеграл для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Разница с ответом предыдущего примера будет!

Если под квадратным корнем находится квадратный трехчлен, то решение в любом случае сводится к двум разобранным примерам.

Например, рассмотрим интеграл Как считать интегралы. Всё, что нужно сделать – предварительно выделить полный квадрат:
Как считать интегралы.
Далее проводится линейная замена, которая обходится «без всяких последствий»:
Как считать интегралы, в результате чего получается интеграл Как считать интегралы. Нечто знакомое, правда?

Или такой пример, с квадратным двучленом: Как считать интегралы
Выделяем полный квадрат: Как считать интегралы
И, после линейной замены Как считать интегралы, получаем интеграл Как считать интегралы, который также решается по уже рассмотренному алгоритму.

Рассмотрим еще два типовых примера на приём сведения интеграла к самому себе:
– интеграл от экспоненты, умноженной на синус;
– интеграл от экспоненты, умноженной на косинус.

В перечисленных интегралах по частям придется интегрировать уже два раза:

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Подынтегральная функция – экспонента, умноженная на синус.

Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:
Как считать интегралы

Как считать интегралы

Как считать интегралы

Как считать интегралы

Как считать интегралы
В результате двукратного интегрирования по частям интеграл свёлся к самому себе. Приравниваем начало и концовку решения:
Как считать интегралы

Переносим Как считать интегралыв левую часть со сменой знака и выражаем наш интеграл:
Как считать интегралы

Готово. Попутно желательно причесать правую часть, т.е. вынести экспоненту за скобки, а в скобках расположить синус с косинусом в «красивом» порядке.

Теперь вернемся к началу примера, а точнее – к интегрированию по частям:
Как считать интегралы

За Как считать интегралымы обозначили экспоненту. Возникает вопрос, именно экспоненту всегда нужно обозначать за Как считать интегралы? Не обязательно. На самом деле в рассмотренном интеграле принципиально без разницы, что обозначать за Как считать интегралы, можно было пойти другим путём:
Как считать интегралы

Почему такое возможно? Потому что экспонента превращается сама в себя (и при дифференцировании, и при интегрировании), синус с косинусом взаимно превращаются друг в друга (опять же – и при дифференцировании, и при интегрировании).

То есть, за Как считать интегралыможно обозначить и тригонометрическую функцию. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби. При желании можете попытаться решить данный пример вторым способом, ответы обязательно должны совпасть.

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как решать, подумайте, что выгоднее в данном случае обозначить за Как считать интегралы, экспоненту или тригонометрическую функцию? Полное решение и ответ в конце урока.

И, конечно, не забывайте, что большинство ответов данного урока достаточно легко проверить дифференцированием!

Примеры были рассмотрены не самые сложные. На практике чаще встречаются интегралы, где константа есть и в показателе экспоненты и в аргументе тригонометрической функции, например: Как считать интегралы. Попутаться в подобном интеграле придется многим, частенько путаюсь и я сам. Дело в том, что в решении велика вероятность появления дробей, и очень просто что-нибудь по невнимательности потерять. Кроме того, велика вероятность ошибки в знаках, обратите внимание, что в показателе экспоненты есть знак «минус», и это вносит дополнительную трудность.

На завершающем этапе часто получается примерно следующее:
Как считать интегралы

Даже в конце решения следует быть предельно внимательным и грамотно разобраться с дробями:
Как считать интегралы

Интегрирование сложных дробей

Потихоньку подбираемся к экватору урока и начинаем рассматривать интегралы от дробей. Опять же, не все они суперсложные, просто по тем или иным причинам примеры были немного «не в тему» в других статьях.

Продолжаем тему корней

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

В знаменателе под корнем находится квадратный трехчлен плюс за пределами корня «довесок» в виде «икса». Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены.

Решаем:
Как считать интегралы

Замена тут проста:
Как считать интегралы

Смотрим на жизнь после замены:
Как считать интегралы

(1) После подстановки приводим к общему знаменателю слагаемые под корнем.
(2) Выносим Как считать интегралыиз-под корня.
(3) Числитель и знаменатель сокращаем на Как считать интегралы. Заодно под корнем я переставил слагаемые в удобном порядке. При определенном опыте шаги (1), (2) можно пропускать, выполняя прокомментированные действия устно.
(4) Полученный интеграл, как вы помните из урока Интегрирование некоторых дробей, решается методом выделения полного квадрата. Выделяем полный квадрат.
(5) Интегрированием получаем заурядный «длинный» логарифм.
(6) Проводим обратную замену. Если изначально Как считать интегралы, то обратно: Как считать интегралы.
(7) Заключительное действие направлено на прическу результата: под корнем снова приводим слагаемые к общему знаменателю и выносим из-под корня Как считать интегралы.

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Это пример для самостоятельного решения. Здесь к одинокому «иксу» добавлена константа, и замена почти такая же:
Как считать интегралы
Единственное, что нужно дополнительно сделать – выразить «икс» из проводимой замены: Как считать интегралы

Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда в таком интеграле под корнем может находиться квадратный двучлен, это не меняет способ решения, оно будет даже еще проще. Почувствуйте разницу:

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Краткие решения и ответы в конце урока. Следует отметить, что Пример 11 является в точности биномиальным интегралом, метод решения которого рассматривался на уроке Интегралы от иррациональных функций.

Интеграл от неразложимого многочлена 2-й степени в степени

(многочлен в знаменателе)

Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла.

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

В знаменателе подынтегральной функции находится неразложимый на множители квадратный двучлен. Подчеркиваю, что неразложимость на множители является существенной особенностью. Если многочлен раскладывается на множители, то всё намного понятнее, например:
Как считать интегралы– и далее применяется стандартный метод неопределенных коэффициентов.

Но вернёмся к примеру со счастливым номером 13 (честное слово, не подгадал). Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать.

Решение начинается с искусственного преобразования:
Как считать интегралы

Как почленно разделить числитель на знаменатель, думаю, уже все понимают.

Полученный интеграл берётся по частям:
Как считать интегралы

Как считать интегралы

Для интеграла вида Как считать интегралы( Как считать интегралы– натуральное число) выведена рекуррентная формула понижения степени:
Как считать интегралы, где Как считать интегралы– интеграл степенью ниже.

Убедимся в справедливости данной формулы для прорешанного интеграла Как считать интегралы.
В данном случае: Как считать интегралы, Как считать интегралы, используем формулу:
Как считать интегралы

Как видите, ответы совпадают.

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.

Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:
Как считать интегралы

Далее следует «безболезненная» линейная замена Как считать интегралыи получается знакомый интеграл Как считать интегралы.

Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Но в моей практике такого примера не встречалось ни разу, поэтому я пропустил данный случай в статье Интегралы от дробно-рациональной функции, пропущу и сейчас. Если такой интеграл все-таки встретится, смотрите учебник – там всё просто. Не считаю целесообразным включать материал (даже несложный), вероятность встречи с которым стремится к нулю.

Интегрирование сложных тригонометрических функций

Прилагательное «сложный» для большинства примеров вновь носит во многом условный характер. Начнем с тангенсов и котангенсов в высоких степенях. С точки зрения используемых методов решения тангенс и котангенс – почти одно и тоже, поэтому я больше буду говорить о тангенсе, подразумевая, что продемонстрированный прием решения интеграла справедлив и для котангенса тоже.

На уроке Интегралы от тригонометрических функций мы разобрали интеграл от тангенса в квадрате. На уроке Как вычислить площадь фигуры? в примере 10 фигурировал тангенс в кубе. В том примере для нахождения интеграла от тангенса в кубе мы применяли тригонометрическую формулу Как считать интегралы. Интеграл от тангенса в четвертой, пятой степени (редко в более высоких степенях) решается с помощью этой же формулы!

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Идея решения подобных интегралов состоит в том, чтобы с помощью формулы Как считать интегралы«развалить» исходный интеграл на несколько более простых интегралов:

Как считать интегралы

(1) Готовим подынтегральную функцию к применению формулы.
(2) Для одного из множителей используем формулу Как считать интегралы
(3) Раскрываем скобки и сразу же используем свойство линейности неопределенного интеграла.
(4) В первом интеграле используем метод подведения функции под знак дифференциала. Во втором интеграле еще раз используем формулу Как считать интегралы, в данном случае Как считать интегралы.
(5) Берём все три интеграла и получаем ответ.

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Это пример для самостоятельного решения. Для котангенса существует аналогичная формула: Как считать интегралы. Полное решение и ответ в конце урока.

Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций.

На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать!

Рассмотрим еще один канонический пример, интеграл от единицы, деленной на синус:

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Я приведу полное решение с комментами к каждому шагу:

Как считать интегралы

(1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла Как считать интегралы.
(2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на Как считать интегралы.
(3) По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс.
(4) Подводим функцию под знак дифференциала.
(5) Берём интеграл.

Пара простых примеров для самостоятельного решения:

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Указание: Самым первым действием следует использовать формулу приведения Как считать интегралыи аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Ну, это совсем простой пример.

Полные решения и ответы в конце урока.

Думаю, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами:
Как считать интегралыи т.п.

В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью преобразований, тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса Как считать интегралы. То есть, речь идет о замене: Как считать интегралы. В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала.

Аналогичные рассуждения, как я уже оговаривался, можно провести для котангенса.

Существует и формальная предпосылка для применения вышеуказанной замены:

Сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число, например:

для интеграла Как считать интегралы– целое отрицательное ЧЁТНОЕ число.

! Примечание: если подынтегральная функция содержит ТОЛЬКО синус или ТОЛЬКО косинус, то интеграл берётся и при отрицательной нечётной степени (простейшие случаи – в Примерах № 17, 18).

Рассмотрим пару более содержательных заданий на это правило:

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Сумма степеней синуса и косинуса Как считать интегралы: 2 – 6 = –4 – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число, значит, интеграл можно свести к тангенсам и его производной:
Как считать интегралы

(1) Преобразуем знаменатель.
(2) По известной формуле получаем Как считать интегралы.
(3) Преобразуем знаменатель.
(4) Используем формулу Как считать интегралы.
(5) Подводим функцию под знак дифференциала.
(6) Проводим замену Как считать интегралы. Более опытные студенты замену могут и не проводить, но все-таки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться.

Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Это пример для самостоятельного решения.

Держитесь, начинаются чемпионские раунды =)

Зачастую в подынтегральной функции находится «солянка»:

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:

Как считать интегралы

Искусственное преобразование в самом начале и остальные шаги оставлю без комментариев, поскольку обо всем уже говорилось выше.

Пара творческих примеров для самостоятельного решения:

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока

У многих читателей могло сложиться впечатления, что я немного подустал. Отнюдь. За окном февральский ветер – самая атмосфера для лекций. Естественно, данная страничка создана не за один день, я успел несколько раз побриться, регулярно кушаю и так далее. К тому же, загружать студентов – удовольствие бесконечное =). …Шутка! На самом деле моя миссия – разгружать посетителей сайта. Вагонами.

Переходим к заключительному пункту познавательного путешествия в мир сложных интегралов:

Интеграл от корня из дроби

Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.

Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:
Как считать интегралы, где Как считать интегралы– числа. Руководствуясь законом подлости, считаем, что все эти числа коэффициенты не равны нулю. Это уже не смешно, так обычно и бывает.

В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.

Метод стар – нужно избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить громоздкую замену.

Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, очевидна:
Как считать интегралы, при этом Как считать интегралы, т. к. корень чётный.

Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал Как считать интегралы.

Выражаем «икс»:
Как считать интегралы

Теперь найдем дифференциал:
Как считать интегралы

Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?

Я вывел готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида Как считать интегралы!

Формулы замены таковы:
Как считать интегралы

Это было ни в коем случае не хвастовство, просто я не смог быстро найти эти формулы в близлежащей литературе и Сети – оказалось проще вывести. Да и может быть кто-нибудь для реферата возьмет.

Опять – двадцать пять, заключительный пример:

Найти неопределенный интеграл
Как считать интегралы

Проведем замену: Как считать интегралы

В данном примере: Как считать интегралы
Как считать интегралы

Таким образом:
Как считать интегралы

Еще куда ни шло, могло всё оказаться значительно хуже. Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:
Как считать интегралы

Как считать интегралы

Проведем обратную замену. Если изначально Как считать интегралы, то обратно:
Как считать интегралы

Как считать интегралы

Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный!

Иногда встречаются интегралы вида Как считать интегралы, Как считать интегралы, но это нужно быть либо слишком умным либо попасть под раздачу. Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку Как считать интегралыи самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал Как считать интегралы.

Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:
Как считать интегралы
Проведем замену:
Как считать интегралы
Как считать интегралы
Интегрируем по частям:
Как считать интегралы
Как считать интегралы

Пример 3: Ответ:
Как считать интегралы

Пример 4: Ответ:
Как считать интегралы

Пример 6: Решение:
Как считать интегралы
Интегрируем по частям:
Как считать интегралы
Как считать интегралы
Таким образом:
Как считать интегралы
В результате:
Как считать интегралы

Пример 8: Решение:
Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:
Как считать интегралы
Как считать интегралы
Как считать интегралы
Как считать интегралы
Как считать интегралы
Таким образом:
Как считать интегралы

Пример 10: Решение:
Как считать интегралы
Проведем замену: Как считать интегралы
Как считать интегралы
Как считать интегралы

Пример 11: Решение:
Как считать интегралы
Замена: Как считать интегралы
Как считать интегралы

Пример 12: Решение:
Как считать интегралы
Замена: Как считать интегралы
Как считать интегралы

Пример 14: Решение:
Как считать интегралы
Дважды используем рекуррентную формулу Как считать интегралы
Как считать интегралы
Как считать интегралы
Как считать интегралы
Как считать интегралы

Пример 16: Решение:
Как считать интегралы

Пример 18: Решение:
Как считать интегралы
Используем формулу приведения: Как считать интегралыи формулу двойного угла: Как считать интегралы.
Как считать интегралы

Пример 19: Решение:
Как считать интегралы

Пример 21: Решение:
–3 – 3 = –6 – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число
Как считать интегралы

Пример 23: Решение:
Как считать интегралы

Пример 24: Решение:
Как считать интегралы

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Как считать интегралы «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Как считать интегралы Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *