Как сделать координатный луч
Координатный луч
На рисунке изображён луч OE, который разбит на деления, как линейка.
Координатный луч
Точка O — начало луча, и этой точке соответствует число 0.
Эта точка — начало отсчёта.
Точке E соответствует число 1, а длина отрезка OE принята за единицу длины и называется единичным отрезком.
Единичный отрезок может содержать разное число клеток.
Каждая следующая точка отстоит от предыдущей на расстояние, равное единице длины.
Число, соответствующее точке координатного луча, называется координатой этой точки.
Пример. Точке A соответствует число 3.
Точка А на координатном луче
Значит, координата точки A равна 3. Записывается так A (3). Читается: точка A с координатой 3.
Для любого числа можно указать соответствующую ему точку, т. к. луч можно продолжить бесконечно.
Пример #1. Можно ли назвать изображённый луч координатным лучом?
Луч АВ
Решение:
Изображённый луч не будет координатным лучом, т. к. на луче не указано начало отсчёта и нет единичного отрезка.
Ответ: нет.
Пример #2. Можно ли назвать изображённый луч координатным лучом?
Луч МР
Решение:
Изображённый луч будет координатным лучом, т. к. на луче указано начало отсчёта, положительное направление слева направо и отмечено, что второе деление соответствует 6 единичным отрезкам, значит, одно деление соответствует 3 единичным отрезкам.
Ответ: да.
Пример #3. Определи координату точки C. 
Решение:
Известно, что число, соответствующее точке координатного луча, является координатой этой точки. Точке E соответствует число 1, и длина отрезка OE принята за единицу длины и называется единичным отрезком.
До точки C от точки O — начала отсчёта — 2 единичных отрезка, поэтому точка C соответствует числу 2, т. е. координата точки C(2).
Ответ: координата точки C(2).
Пример #4. Запиши число, стоящее у конца стрелки на рисунке.
Координаты точки
Решение:
Для определения числа, стоящего у конца стрелки на данном рисунке, составим числовое выражение и найдём его значение:
Значит, искомое число, соответствующее точке у конца стрелки, равно 56.
Ответ: число, стоящее у конца стрелки на рисунке, равно 56.
Пример #5. Какую температуру показывает термометр, изображённый на рисунке? Какую температуру покажет этот термометр, если столбик опустится на 3 деления?
Определение температуры по термометру
Решение:
Анализируя данный рисунок, можно сделать вывод, что 1 деление соответствует 2 °С, значит, 3 деления соответствуют 6 °С, поэтому термометр, изображённый на рисунке, показывает температуру 26 °С.
Если столбик опустится на 3 деления, то термометр покажет температуру 26−3⋅2 = 20 °С.
Ответ: термометр показывает 26 °С, если столбик опустить на 3 деления, то термометр покажет 20 °С.
Пример #6. Запиши наибольшее число единичных отрезков, соответствующих одному делению координатного луча, чтобы можно было отметить числа: 20, 30, 40, 50, 80, 90.
Скольким делениям соответствует число 50?
Решение:
Для того чтобы можно было отметить на координатном луче числа:
20, 30, 40, 50, 80, 90 — требуется определить наибольшее число единичных отрезков, соответствующих одному делению координатного луча.
Заметим, что у предложенных чисел наибольшим общим делителем является число 10, поэтому возьмём, что одному делению соответствует число 10.
Значит, число делений, соответствующих числу 50, равно 5.
Ответ: наибольшее число единичных отрезков, соответствующих одному делению координатного луча, равно 10, а число делений, соответствующих числу 50, равно 5.
Пример #7. Определи координату точки B, изображённой на рисунке. Если координата точки O(0), а координата точки C(60).
Определение цены одного деления
Решение:
Для определения координаты точки B, изображённой на рисунке, найдём сначала, какому числу отвечает одно деление на этом координатном луче, отмеченное точкой E.
Длину отрезка OC определим как 4⋅OE, значит, точка E соответствует числу 60 : 4 = 15.
Поэтому координата точки B(180), т. к. до точки B от точки O 12 таких делений.
Ответ: координата точки B(180).
Пример #8. Определи координаты точек C и B:
Работа с координатным лучом
Решение:
Координату точки C можно узнать, отняв от координаты точки A указанное на рисунке число.
Получим: 99 − 47 = 52, т. е. координата точки C(52).
Далее, координату точки B можно узнать, прибавив к координате точки C указанное на рисунке число.
Получим: 52 + 28 = 80, т. е. координата точки B(80).
Ответ: координата точки C(52); координата точки B(80).
Пример #9. Запиши координаты точек A, B и C.
Координаты трёх точек на координатном луче
Решение:
Координату точки A можно узнать, прибавив к координате точки D указанное на рисунке число.
Получим: 80 + 50 = 130, т. е. координата точки A(130).
Далее, координату точки B можно узнать, отняв от координаты точки A указанное на рисунке число.
Получим: 130 − 37 = 93, т. е. координата точки B(93).
Координату точки C можно узнать, отняв от координаты точки B указанное на рисунке число.
Получим: 93 − 37 = 56, т. е. координата точки C(56).
Ответ: координата точки A(130); координата точки B(93); координата точки C(56).
Пример #10. Запиши точку, которой соответствует начало координатного луча на данном рисунке.
Начало координатного луча
Если известно, что координата точки H(35), координата точки L(45) и координата точки N(55).
Решение:
Анализируя рисунок, выясняем, что координата точки H(35), координата точки L(45) и координата точки N(55).
Между точками имеем по два деления.
Значит, цена одного деления: (45−35):2 = 5.
Отсчитаем от точки H влево 7 делений и получим точку, соответствующую числу 0, т. е. точку, которой соответствует начало координатного луча на данном рисунке.
Ответ: началом координатного луча на данном рисунке будет точка A.
Пример #11. Составь числовое выражение для координаты точки B и найди его значение:
Составь числовое выражение для координаты точки B
Решение:
Для определения числа, стоящего у конца стрелки на данном рисунке, т. е. для определения координаты точки B, составим числовое выражение и найдём его значение: 78 − 10 = 68.
Значит, искомое число, соответствующее точке B у конца стрелки, равно 68.
Ответ: числовое выражение для координаты точки B 78-10, его значение равно 68.
Пример #12. Изобрази координатный луч, считая, что единичный отрезок равен 2 клеткам тетради. Отметь на нём точку A (2). Скольким клеткам тетради соответствует отмеченная точка?
Решение:
Изображая координатный луч и считая, что единичный отрезок равен 2 клеткам тетради, получим, что точка A(2) соответствует
2 ⋅ 2 = 4 клеткам тетради.
Координатный луч с единичным отрезком в 2 клетки
Ответ: точка A соответствует 4 клеткам.
Пример #13. На рисунке изображена шкала. Какое число соответствует точке D? 
Шкала
Решение:
Анализируя данный рисунок, можно сделать вывод, что 1 деление соответствует числу 1, значит, точке D соответствует число 10 + 1 ⋅ 15 = 25.
Ответ: точке D на шкале соответствует число 25
Координатная прямая (числовая прямая), координатный луч.
В этой статье мы определим координатный луч и координатную прямую. Сначала изобразим координатный луч и опишем, что он из себя представляет. Далее перейдем к координатной прямой, остановимся на взаимно однозначном соответствии между точками координатной прямой и действительными числами, откуда станет понятно, почему координатную прямую называют числовой прямой. В заключении поговорим о координатах точек на координатной прямой.
Прежде чем переходить дальше, нужно иметь представление о точке и прямой, а также знать геометрическую фигуру луч.
Навигация по странице.
Координатный луч
Так у нас есть луч. Как же его сделать координатным лучом?
В-третьих, на луче от конца единичного отрезка нужно отложить еще один отрезок, равный единичному, далее от конца этого отрезка нужно отложить еще один единичный отрезок, от конца построенного отрезка нужно отложить еще один единичный отрезок, и так далее.
Так координатный луч представляет собой не что иное, как бесконечную шкалу.
В этом случае подразумевается, что мы при необходимости можем легко продолжить построение шкалы, последовательно откладывая единичные отрезки на луче.
Также допускается буквы O и X записывать над лучом, а числа – под лучом.
Координатная прямая
Координатную прямую очень легко построить, если Вы хорошо усвоили принцип изображения координатного луча, о котором мы говорили в предыдущем пункте. Сделаем это.
На практике чаще используется координатная прямая, на которой отмечено лишь начало отсчета и единичный отрезок, то есть, координатная прямая одного из следующих видов.
Итак, координатная прямая – это прямая, на которой выбрано начало отсчета, указан единичный отрезок и задано направление.
Взаимно однозначное соответствие между точками координатной прямой и действительными числами
Нам известно, что на данной прямой линии лежит бесконечно много точек. Не является исключением и координатная прямая – она также содержит бесконечно много точек. Между точками координатной прямой и действительными числами существует очень важная связь, которую называют взаимно однозначным соответствием. Эта связь выражается следующим утверждением: каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.
Озвученное утверждение, несомненно, нуждается в пояснении.
Отметим какую-нибудь точку на координатной прямой. Какое действительное число ей соответствует?
Если эта точка совпадает с началом отсчета (точкой O ), то будем считать, что ей отвечает число нуль.
Так как элементами множества действительных чисел являются все числа, которые можно записать в виде конечных и бесконечных десятичных дробей, то вся вышеизложенная в этом пункте информация позволяет утверждать, что каждой точке координатной прямой мы поставили в соответствие конкретное действительное число, при этом понятно, что разным точкам соответствуют разные действительные числа.
Также достаточно очевидно, что это соответствие является взаимно однозначным. То есть, мы можем указанной точке на координатной прямой поставить в соответствие действительное число, но мы также можем по данному действительному числу указать конкретную точку на координатной прямой, которой отвечает данное действительное число. Для этого нам придется отложить от начала отсчета в нужном направлении определенное количество единичных отрезков, а также десятых, сотых и так далее долей единичного отрезка. Например, числу 703,405 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 703 единичных отрезка, 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков, составляющих тысячную долю единичного.
Итак, каждой точке на координатной прямой отвечает действительное число, и каждое действительное число имеет свое место в виде точки на координатной прямой. Вот почему координатную прямую очень часто называют числовой прямой.
Координаты точек на координатной прямой
Число, соответствующее точке на координатной прямой, называется координатой этой точки.
В предыдущем пункте мы сказали, что каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой, поэтому, координата точки однозначно определяет положение этой точки на координатной прямой. Иными словами, координата точки однозначно задает эту точку на координатной прямой. С другой стороны каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число – координата этой точки.
Шкалы, координаты
Для определения размера какой-либо величины (длина, вес, температура и т.д.) мы используем измерительные приборы и инструменты со шкалами для отображения результата.
Шкала – это расположенный в определенной последовательности ряд отметок, которые соответствуют числовому значению измеряемой величины.
Например, в школьном курсе математики и геометрии для измерения длины геометрического объекта, в частности отрезка, используется линейка (рисунок 1).
Рисунок 1. Измерительная линейка.
Из урока Измерение величин вы уже знаете, что такое единица измерения, а их соотношения можете посмотреть в справочном разделе.
Деления шкалы – это равные части, на которые она разбита. Каждое деление шкалы обозначается отметками (черточками).
Нулевая отметка шкалы – это отметка, которая соответствует нулевому значению измеряемой нами величины.
Цена деления шкалы – это величина значения одного деления шкалы. То есть, это величина значения между двумя соседними отметками на шкале.
Как мы видим на рисунке 1, деления, обозначенные большими черточками, пронумерованы, и значение каждого такого деления равно 1 см. В этом легко убедиться, если найти разницу между значениями каждого из соседних делений: 1-0=1, 2-1=3, …, 9-8=1, 10-9=1.
Но каждое из больших делений разделено девятью маленькими черточками на 10 делений. Мы знаем, что в 1 см содержится 10 мм, поэтому разделив эти 10 мм на 10 делений, мы получим цену деления линейки, равную 1 мм.
Цена деления может отличаться не только у разных же измерительных приборов, но и у одних и тех же.
Рисунок 2 Цена деления шкалы
Например, на рисунке 2 изображены два термометра. Как вы думаете, они показывают одинаковую температуру, или нет?
Давайте посмотрим, так ли это? На левом термометре разница между двумя соседними пронумерованными отметками равна 10°C: 10-0=10, 20-10=10, и т.д. На правом же термометре эта разница равняется уже 20°C: 20-0=20, 40-20=20, и т.д. На обоих термометрах маленькие черточки делят одно большое пронумерованное деление на 10 частей. Разделив разницу между значениями пронумерованных отметок (10 и 20 соответственно) на количество делений между ними (10), мы получим цену деления каждого из термометров:
Итак, оба термометра показывают 20°C и еще два деления. Но на левом термометре это означает 20°C и еще два раза по 1°C, то есть, 20+2=22°C, а на правом – 20°C и еще два раза по 2°C, то есть, 20+4=24°C.
Координатный луч, единичный отрезок, координаты точки
Различные прямые линии со шкалами играют важную роль в школьной математике. Сейчас я познакомлю вас с одной из них.
Нарисуем точку O и проведем от нее направо луч. Обозначим направление луча стрелкой.
Рис. 3. Луч с началом в точке O
Рис. 4. Луч с равными отрезками
Поставим возле начала луча (точки O ) число 0 (нуль). Возле второго конца отрезка OP (возле точки P ) поставим число 1 (один). Таким образом мы обозначаем, что длина отрезка OP равна 1 (единице).
Аналогичным образом вы можете легко найти числа, соответствующей каждой поставленной нами на луче точке.
Рис. 5. Луч с отрезками и цифрами
Покажу еще раз на примере точки S :
так как RS=OP (по условиям построения данных отрезков),
подставив известные нам значения длины отрезков OR и OP, получим:
Значит, точке S на нашем лучу соответствует число 3.
Оставим на луче только числовые значения, а все буквы кроме O отбросим. В итоге у нас получился вот такой луч с отрезками и числами, которые соответствуют концам этих отрезков.
Рис. 6. Координатный луч
Глядя на рисунок 6, легко заметить, что отрезки, лежащие на луче, это не что иное, как нанесенная на луч шкала. Действительно, смотрите сами.
Точка O с соответствующим ей числом 0 (нуль) называется точка отсчета, что аналогично нулевой отметке шкалы. Обычно этой буквой всегда помечают в рисунках точку отсчета.
Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята нами за единицу длины и равна 1(единице). Точке, обозначающей правый конец единичного отрезка, соответствует число 1.
Координатный луч – это луч с отмеченным на нем единичным отрезком, точкой начала отсчета, которой соответствует число 0 (нуль), и указанным направлением отсчета.
Координатный луч еще называют числовой луч.
Координатный луч — это не что иное, как бесконечная шкала.
Длина единичного отрезка может быть любой. Она выбирается каждый раз отдельно и при ее выборе ориентируются на то, чтобы на рисунке поместились все необходимые в данный момент числа. Например, на рисунке 7-а длина единичного отрезка составляет 5 см, а на рисунке 7-б всего 1 см.
Рис. 7. Разные варианты единичного отрезка
Как вы заметили из предыдущего рисунка, для разметки луча отрезками можно вместо кружочков использовать штрихи везде, кроме точки O (начала отсчета). Кружочки рисуют поверх этих штрихов тогда, когда необходимо отметить на числовом луче какое-то натуральное число. В этом случае мы дополнительно обозначаем его заглавной (большой) буквой латинского алфавита (смотрите рисунок 8).
Координатный луч служит для наглядного отображения и сравнения чисел натурального ряда.
Действительно, длина каждого отрезка числового луча отличается от длины предыдущего на единицу, точно так же, как и каждый элемент числового ряда отличается от предыдущего.
Координата точки числового луча – это число, которое соответствует поставленной на числовом луче точке.
Рис. 8. Координаты точек
Точке A соответствует число 5 координатного луча, точке B – число 8, точке C – число 13. Запишем полученные координаты точек: A ( 5 ), B ( 8 ), C ( 13 ).
В отдельных случаях для обозначения на координатном луче больших натуральных чисел, допускается не отображать на рисунке точку отсчета и единичный отрезок, показывая только тот участок луча, на котором расположены данные числа.
Рис. 9. Большие числа на координатном луче.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 4 / 5. Количество оценок: 3
Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.
Так как вы нашли эту публикацию полезной.
Подписывайтесь на нас в соцсетях!
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше? Отправить отзыв